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INTRODUCCIN AL DISEO Y ANLISIS DE EXPERIMENTOS (ADE)
1. OBJETIVOS
Al final de este laboratorio, el estudiantes ser capaz de
analizar un experimento con un diseo factorial
para dos factores a dos niveles cada uno utilizando EXCEL. La
meta es proveer al estudiante con lahabilidad de planear, disear,
analizar y concluir vlidamente con bases estadsticas de este tipo
particularde experimentos.
2. MATERIALES
Excel versin 98 o ms nuevo Notas de clase provistas en la sesin
impartida por el instructor
3. ANTECEDENTES
El Diseo y Anlisis de Experimentos (ADE) es el rea de la
estadstica que tiene como objeto estudiar losefectos de variables
de inters dispuestas en varios niveles en una o varias respuestas o
medidas dedesempeo. Sir Ronald A. Fisher introdujo ADE por primera
vez en la primera mitad de los aos 1930s enel rea de la
agricultura. La mayora de los campos de ingeniera y ciencias ahora
practican las ideas deFisher junto con las cuantiosas
contribuciones de muchos otros investigadores en el rea.
Los ingenieros usan experimentos en su prctica diaria para
alcanzar diversos objetivos. Algunos ejemplosincluyen: encontrar
condiciones factibles de operacin paa un proceso o una mquina,
optimizar unamedida de desempeo, investigar las causas de defectos
de calidad, disear un sistema nuevo o hacer unproceso insensible a
la variacin externa (robustez).
En general, se considera que la experimentacin es una disciplina
iterativa, donde se debe prestar debidaatencin a la planeacin, el
diseo, y el anlisis del o de los experimentos.
Los mtodos estadsticos en ADE pueden hacer ms eficiente la
ejecucin de experimentos y a menudofortalecen las conclusiones
obtenidas de esta manera (Montgomery, 1997). Sin embargo, es
siemprerecomendable usar el conocimiento no-estadstico de un
proceso o sistema para complementar el procesode experimentacin, as
como para mantener el tamao y la concentracin del experimento
dentro delmites adecuados.
4. PROCEDIMIENTO
Este laboratorio se divide en dos partes:
La primer parte consiste en reproducir el anlisis mostrado por
el instructor en la primera sesin con ayudade EXCEL.En la segunda
parte se proveer un conjunto de datos nuevo para que los
estudiantes puedan llevar a caboun anlisis similar a aqul de la
primera parte.
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Primera parte
Se recomienda mantener copias del material de la sesin impartida
por el instructor para el material,dado que este manual lo
referenciar con frecuencia bajo el nombre de NOTAS.
En la sesin de clase, se explic que el objetivo de este
experimento es especificar el contenido de la cargayla temperatura
del molde en un proceso de moldeo de SMC para mejorar la calidad de
la superficie descritapor un ndice de calidad. Supongamos que ya
hemos planeado el experimento, y que decidimos usar undiseo
factorial para dos factores a dos niveles cada uno, sto es un
experimento factorial 22.(Ver pginas 10y 11 de las NOTAS).
Supongamos tambin que el experimento ya se llev a cabo. Ahora lo
que necesitamoshacer es el anlisis estadstico
1. Abrir Excel.
2. Introducir los datos experimentales.
Aqu estn los datos del experimento (Pgina 12 de las NOTAS), cada
nmero representa unamedicin del ndice de calidad bajo las
condiciones especificadas por el rengln y la
columnacorrespondiente:
Temperatura del Molde (oF)
Carga (%) 302 327
40 90 86 98 87 89 107 102 105 94 91
44 85 104 82 79 84 72 77 78 82 67
Esta manera de representar los resultados de un experimento es
muy conveniente dado que permitevisualizar la variacin a travs de
columnas y renglones. Comencemos por introducir esta tabla en
Excel
respetando el formato sealado arriba, y respetando las filas y
columnas que se muestran en la ilustracin.
3. Crear una tabla de operaciones preliminares
Una vez que se han introducido los datos, podemos calcular la
tabla de anlisis de varianza usando lasfrmulas que se detallan en
las pginas 12-15 de las NOTAS. Esencialmente, queremos ver al
finalla tablaque sigue (de la pgina 16 de las NOTAS).
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Sin embargo, para llegar a esta tabla final, es necesario hacer
algunos clculos preliminares. Para ello, ysiempre siguiendo las
frmulas todava de la pgina 12 de las NOTAS, podemos generar la
siguiente tabla declculos preliminares.
Primero introduzca las etiquetas carga, temperatura, sumas de
columna, sumas de rengln,cuadrados de suma de rengln y suma de
cuadrados as como las etiquetas 40, 44, 302 y 327.
En la celda D11, se introducirn la suma de las rplicas de los
datos tomados bajo un determinado nivel decarga y de temperatura.
En este caso en D11 se introduce la frmula =SUMA(C4:G4), donde el
rango C4:G4contiene los cinco datos tomados con una carga de 40% y
una temperatura de 302 oF. Introducir frmulassimilares para las
celdas D12, E11, y E12.
Las sumas de columna y de rengln contienen las sumas
correspondientes de datos. En este caso, la celda parala columna 1,
D13, contiene la frmula =SUMA(D11:D12), donde el rango D11:D12
contiene las sumas dedatos a travs de cada condicin experimental
especfica (Nivel de carga, Temperatura). Introducir unafrmula
similar para la celda E13.
De manera similar, las sumas de rengln contienen las sumas a
travs de las columnas para cada rengln. Parael primer rengln, la
celda F11 contiene la suma de D11+E11. Introducir una frmula
similar para el segundorengln.
El gran total, en celda D13 contiene la suma de las celdas F11 y
F12, que a su vez contienen sumas derengln.
Una columna ms de clculos (columna G) se necesita para obtener
valores que necesitaremos despus. stosson los cuadrados de las
sumas de rengln. Para el primer rengln, por ejemplo, se introduce
la frmula:F11^2. Introduzca frmulas similares para el rengln 2, y
para cuadrar el gran total.
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La suma de cuadrados en la celda D15 eleva al cuadrado cada
medicin experimental y suma estas cantidades.Para lograrlo se
introduce la frmula = SUMA.CUADRADOS (C4:L5), donde el rango C4:L5
contiene todoslos datos experimentales.
Una vez terminado estos pasos, la tabla de clculos preliminares
se deber ver como la tabla siguiente.
4. Crear la tabla de anlisis de varianza
Con las frmulas de la pgina 14 y 15 de las NOTAS, procederemos a
crear la tabla de anlisis de varianza.
Hay que recordar que el primer factor se encuentra variado a 2
niveles, asignamos a=2.De la misma manera,el segundo factor se
encuentra variado a b= 2niveles. Y en total tenemos n= 5rplicas por
combinacin decondiciones experimentales.
Procederemos entonces a introducir las siguientes frmulas
(pginas 14 y 15 de las NOTAS detallan lasfrmulas):
Una vez que se hayan introducido estas frmulas, se debern
observar los nmeros siguientes:
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Las sumas de cuadrados nos dan una idea un tanto burda de cunta
variacin gener cada una de las fuentesen nuestra medida de
desempeo.
Los grados de libertad esencialmente nos indican el nmero de
trminos independientes en nuestrassumatorias.
El cuadrado medio, que es la suma de cuadrados dividida entre
los grados de libertad, puede entenderse comola variacin ajustada
proveniente de cada fuente. El cuadrado medio del error es
precisamente nuestroestimador de la varianza en nuestros datos.
Los cocientes F0 comparan la variacin generada por cada una de
las fuentes (en el numerador), contraaquella que tenemos como
variacin aleatoria, expresada por el cuadrado medio del error o
varianza. Porsupuesto, cocientes mayores a 1 indican una variacin
producida mayor a la variacin considerada aleatoria, yaquellos
menores a 1, una variacin menor a aquella considerada aleatoria.
Sin embargo, estos cocientesdeben an compararse contra un valor de
tablas para establecer bases estadsticas. ste es el valor
Falpha,grados de libertad del numerador, grados de libertad del
denominador. Alpha () es la probabilidad de un
error tipo I, que en este contexto se refiere a concluir que hay
un efecto significativo de alguna fuente cuandoen realidad no lo
hay.
Con la salvedad de checar algunos supuestos acerca de los
residuos (que explicamos ms adelante), paraobtener conclusiones de
la tabla de anlisis de varianza se utilizan generalmente los
siguientes criterios:
1) Si F0F, GL num, GL denom para determinada fuente de variacin,
entonces concluiremos que esta fuente devariacin afecta
significativamente a la medida de desempeo al nivel
especificado.
2) Si valor-ppara determinada fuente de variacin, entonces
concluiremos que esta fuente de variacinafecta significativamente a
la medida de desempeo al nivel especificado.
Es conveniente notar en este punto que el nivel escogido para
estos ejemplos es de 5% ( = 0.05), y que esevalor se introdujo en
EXCEL junto con los grados de libertad para el numerador y el
denominador paraobtener la F, GL num, GL denom. Alternativamente se
pudo haber encontrado este valor de las tablas de ladistribucin F.
Tambin es necesario hacer hincapi que se utilizaron las funciones
de EXCEL paradeterminar convenientemente el valor-p, lo cual puede
ser un poco trabajoso si se utilizan las tablas. Unainterpretacin
general del valor-p es decir que es el mnimo valor de bajo el que
an concluiramos quedeterminada fuente de variacin tiene un efecto
significativo. Con esta interpretacin no debe sorprender que
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Ahora utilizaremos estos nmeros para encontrar los parmetros de
nuestro modelo estadstico usando lasfrmulas siguientes (verificar
que se obtengan los valores mostrados):
Usaremos estos trminos para predecir nuestros datos
experimentales. Ntese, sin embargo, que solamentetenemos cuatro
combinaciones experimentales (ver pgina 11 de NOTAS), as que
solamente podremos hacerestas cuatro predicciones. Sin embargo,
sabemos que tenemos 5 rplicas por cada combinacin experimental(20
datos experimentales en total), por lo tanto, para cada una de las
cinco rplicas nuestra prediccin ser la
misma y tendremos una discrepancia. Esta discrepancia es un
residuo. Evidentemente en nuestro experimentotenemos 20
residuos.
Introduzcamos primero las frmulas para nuestras
predicciones:
Para corroborar los valores que se deben mostrar en la pantalla
son los siguientes:
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Obtengamos ahora los residuos o errores de nuestro
experimento.
Para corroborar, los valores que se deben tener en los residuos
despus de estas frmulas son:
Estos residuos, tal como lo sealamos anteriormente, deben
cumplir con tres supuestos: (1) deben sernormalmente distribudos,
(2) deben ser independientes, y (3) deben mantener una desviacin
estndarconstante .
Aunque existen tcnicas estadsticas formales para probar estos
tres supuestos, nuestro inters aqu es mostrarla intuicin de un
mtodo grfico.
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Antes de comenzar a graficar, ser necesario crear la siguiente
tabla para contar la frecuencia de los datos enintervalos dados (el
tamao de los intervalos lo decide uno):
Por otro lado, necesitaremos la siguiente tabla (esencialmente
con clculos anteriores):
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El primero de los grficos, residuos vs. Orden de experimentacin,
se realiza para observar que no haya unpatrn reconocible i.e. que
los residuos efectivamente se comportan de una manera aleatoria
alrededor de 0. Sieste no es el caso, puede estarse violando el
supuesto de independencia. En este caso la grfica no muestra
unpatrn determinado, aunque nuevamente hay un residuo que
sobresale, el cual es el mismo que se detect enel histograma.
Decidimos dejar este punto porque no se encontr nada que nos
indicara que estuvieraequivocado en nuestro experimento, de tal
manera que creemos que es variacin que se puede encontrar ennuestro
proceso.
Los siguientes dos grficos, residuos vs. Carga y residuos vs.
Temperatura, proveen una buena manera dechecar que se tenga
aproximadamente la misma dispersin alrededor de 0, i.e. que los
residuos tengan undesviacin estndar aproximadamente constante.
Dejando de lado el residuo grande que decidimos dejar, losgrficos
de este caso no acusan algo extremadamente problemtico.
El ltimo grfico, residuos vs. Predicciones, nos sirve para
checar que los residuos no se encuentrencorrelacionados con la
magnitud de las predicciones (pues eso violara el supuesto de
independencia), ascomo checar que la dispersin sea aproximadamente
la misma.
En resumen, hemos verificado que los supuestos de normalidad,
independencia y homogeneidad de varianzano se hayan violado en los
experimentos a travs del anlisis de residuos. Checar que
efectivamente no hayauna violacin a estos supuestos, transfiere un
buen apoyo estadstico y fortaleza a las conclusiones de
nuestroexperimento.
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6. Crear grficas de efectos principales y de interaccin.
Por ltimo, se pueden crear las grficas de efectos principales y
de interaccin a manera de ilustrar nuestrasconclusiones, aunque se
debe evitar hacer conclusiones basados en el slo uso de estos
grficos.
Segunda Parte
En la segunda parte de este laboratorio, se pide al estudiante
repetir el procedimiento anterior con un Nuevoconjunto de datos.
Aunque los pasos son los mismos, el anlisis del experimento y las
conclusiones se debernbasar en el nuevo conjunto de datos.
Temperatura de Molde (oF)
Carga (%) 275 302
40 77 72 75 77 80 90 86 98 87 89
44 76 75 75 69 62 85 104 82 79 84
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EJERCICIO ADICIONAL
El director de operaciones de ComPsitos S.A., compaa que produce
partes de resina polister reforzadacon fibra de vidrio (SMC), sabe
que el tiempode curado(tc)de las partes que producen en sus
prensas
podra ser reducido ya sea incrementando la temperatura del molde
(Tw) o precalentando el preformado deSMC, esto es incrementando la
temperatura inicial del material (To). Un tiempo menor de
curadoimplicara un potencial aumento de su produccin.
El director no sabe, sin embargo, si ambas acciones son
importantes o no, o si es en realidad necesarioejecutar ambas para
mejorar ms. Est dispuesto a asignar parte de su presupuesto para
comprar unaunidad de precalentamiento para el material pero
solamente si se puede justificar la adquisicin.
Se ha pedido tu ayuda a tomar esta decisin. T (inteligentemente)
sugieres que se lleve a cabo unexperimento factorial 22para
investigar los efectos que ambos, Twy To, tienen en el tiempo de
curado (tc).Aqu estn los resultados (el tiempo de curado se reporta
en segundos y la temperatura en grados kelvin.
Temperatura del Molde (K)Temperatura inicial
del material (K) 413 423
298 74.9 73.4 68.5 76.1 81.3 41.1 39.1 42.3 37.7 35.9
323 66.9 74.0 75.6 75.0 76.5 40.3 32.4 41.2 45.5 43.3
Se deber comprar una unidad de precalentamiento de material?
En su respuesta, provea toda la evidencia estadstica necesaria
(tabla de anlisis de varianza, anlisis deresiduos, grficos de
efectos principales y de interaccin, etc.) as como una discusin de
qu indica elanlisis.
