radiacion

Indice general

6. Radiacion 36.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.1.1. El mecanismo fsico de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.2. Cuerpo Negro, Leyes de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.3. Intensidad de radiacion y Ley de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.2. Intercambio de energa radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2.1. Radiacion en una cavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2.2. Analoga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.3. Intercambio entre n-superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

67.31 Transferencia de Calor y Masa

2

6 Radiacion

6.1 Introduccion

6.1.1 El mecanismo fsico de la radiacion

Origen de la radiacion

Para una descripcion cuantitativa de los mecanismos atomicos y moleculares que participan del fenomenode la radiacion, es preciso acudir a la mecanica cuantica: en este curso nos limitaremos a una descripcioncualitativa. Cuando se transfiere energa a un cuerpo, algunos de los atomos o moleculas que lo consti-tuyen pasa a estados excitados. Este estado no es estable y las partculas tienden a retornar al estadode energa original. En el restablecimiento, emiten una cierta cantidad de energa bajo forma de ondaselectromagneticas. La energa emitida es lo que llamamos radiacion. La potencia emisiva E(W/m2) nosindica la cantidad de energa radiante por unidad de tiempo y de area. Cuando consideremos escalas queinteresan tpicamente a la ingeniera mecanica, solidos, el area de intercambio se correspondera con lasuperficie de un solido. En lo que sigue, supondremos que el medio fluido no participa en el intercambioradiativo entre un solido y otro. Estudiamos as a la radiacion como un fenomeno de superficie.

Caractersticas de la radiacion, radiacion termica. Formas de interaccion de la radiacioncon la materia

La radiacion electromagnetica se caracteriza por su longitud de onda y su frecuencia f de forma quela velocidad de propagacion de onda c = f .Asimismo, la radiacion manifiesta su naturaleza corpuscular ya que interactua con la materia por mediode cuantos discretos, fotones que tienen una energa E = hf , donde h = 6,626 1034 es la constantede Planck. La cantidad de movimiento de cada foton es hf/c.La radiacion termica esta dada por el intervalo de longitudes de onda tales que al ser absorbido por uncuerpo, se transforma en energa calorica. El rango es:

termico [0,1 . . . 100m]

mientras que el espectro visible es visible [0,4 . . . 0,7m]

6.1.2 Cuerpo Negro, Leyes de Radiacion

Un cuerpo negro es la superficie que absorbe la totalidad de la radiacion incidente, no importandoel angulo ni su longitud de la onda. No se produce reflexion de la radiacion. Luego, toda radiacionque proviene de un cuerpo negro es emitida exclusivamente por su superficie. Segun la ley de Stefan

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Edificios Humanos Mariposas Punta de aguja

Protozoos Molculas tomos Ncleo atmico

104 108 1012 1015 1016 1018 1020

1 K 100 K 10.000 K 10.000.000 K

Penetra la atmsfera terrestre?

Radio Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Rayos X Rayos gamma103 102 105 0,5106 108 1010 1012

Tipo de radiacinLongitud de onda (m)

Escala aproximada dela longitud de onda

Frecuencia (Hz)

Temperatura de los objetos en los cuales la radiacin con estalongitud de onda es

la ms intensa 272 C 173 C 9.727 C ~10.000.000 C

Figura 6.1: Espectro electromagnetico..Fuente

Boltzmann, la emision vale

Eb = T4 [W/m2] (6.1)

donde = 5,67 108W/m2K4 es la constante de Stefan-Boltzmann.Por otro lado, la ley de Wien, establece el desplazamiento de los maximos de las curvas en funcion dela temperatura de la emision. maxT = 2897m K. Una consecuencia practica de la ley de Wien es quecuanto mayor sea la temperatura de un cuerpo negro, menor es la longitud de onda en la cual emite.Se observa entonces que la emision del cuerpo negro no es independiente de la longitud de onda. La leyde Planck que establece la variacion de la emision en funcion de la longitud de onda surgio como unaexpresion emprica que asimila las leyes anteriores. Se rige por:

Eb =C1

5

eC2/T 1 (6.2)

donde, si esta en m, C1 = 3,742 108Wm4m2 y C2 = 1,4389 104m K.Integrando la expresion (6.2) se recupera el resultado de Stefan-Boltzmann.

Cuerpos grises, Ley de Kirchoff.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros ideales. La emisividad depende de lalongitud de onda de la radiacion, la temperatura de la superficie, angulo de emision y de propiedadescomo rugosidad, etc.En algunos casos resulta conveniente suponer que existe un valor de emisividad constante para todas laslongitudes de onda, siempre menor que 1 (que es la emisividad de un cuerpo negro). La simplificacionque nos sirve para resolver algunos casos en ingeniera donde no es necesario introducir la expresion de

4

Radiacion

102 101 100 101 102[m]

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Eb

T = 5400 K

T = 2000 K

T = 1000 K

T = 500 K

T = 300 K

Ley de Wien

Figura 6.2: Potencia emisiva monocromatica de una superficie negra a diferentes temperaturas de acuerdode la expresion de Planck. El pico de la curva se desplaza hacia las longitudes cortas para mayorestemperaturas como establece la ley de Wien.

Planck y eventuales calculos.En un cuerpo real, no toda la energa incidente es absorbida sino que una parte es reflejada y otratransmitida por el mismo. Si consideramos el comportamiento global de un cuerpo, podemos definir loscoeficientes:

de absorcion =Energa absorbida

Energa incidente.

de reflexion =Energa reflejada

Energa incidente.

de transmision =Energa transmitida

Energa incidente.

Luego, debe cumplirse que + + = 1. Este modelo simplista no tiene en cuenta que los cuerposreales presentan coeficientes que son funcion de la longitud de onda de la energa incidente.La ley de Kirchoff es una relacion entre la emision monocromatica direccional y la absorcion mono-cromatica direccional para una superficie que esta en equilibrio termodinamico con su alrededor.

(T, , ) = (T, , ) (6.3)

La ley establece que un cuerpo en equilibrio termodinamico emite tanto energa como la que absorbeen cada direccion y en cada longitud de onda. Si esto no ocurriese, el cuerpo podra actuar como unabomba de calor absorbiendo desde una direccion y emitiendo en otra: podra refrigerar una direccion sin

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necesidad de trabajo... lo que ira contra el segundo principio de la termodinamica. El mismo razona-miento se extiende para el comportamiento espectral de , luego, la ley de Kirchoff es una consecuenciade la aplicacion del segundo principio.Otra forma de abordar el enunciado de Kirchoff es considerar las superficies de dos cuerpos, la primerauna cavidad y la segunda la frontera de un cuerpo inmerso en la cavidad como se aprecia en la Figura6.3a Supongamos que el primer cuerpo es un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura T0 mien-tras que el segundo cuerpo, a la misma temperatura T0, no lo es sino que su absorcion y su emision son arbitrarias. Nuestro analisis es mas simple si solo depende de la longitud de onda , aunque elresultado se puede extender para (, , ). El cuerpo 2 recibe una cantidad de calor para una dada ,qa = EbA donde Eb es la potencia emitida por el cuerpo negro a la longitud de onda y A es elarea. Por otra parte, como el cuerpo 2 esta inmerso en el 1 y a la misma temperatura, emite radiacionsegun qe = EbA. La condicion de equilibrio exige que qe = qa, luego, = , un resultado quesolo depende de las propiedades espectrales del cuerpo 21.Se desprende de la ley de Kirchoff que = . Dado que el cuerpo negro se define como aquel en donde = 1, en cuerpos reales < 1 y entonces, ningun cuerpo real podra emitir mas que un cuerpo negro ala misma temperatura.El cuerpo negro es un cuerpo ideal pero en algunas circunstancias, se puede aproximar el comportamientode un cuerpo real al de un cuerpo negro.

a) b) ]

Figura 6.3: a)Una cavidad con un cuerpo inmerso. b)Materializacion de un cuerpo negro.

6.1.3 Intensidad de radiacion y Ley de Lambert

Para considerar los efectos de la geometra en el intercambio por radiacion, debemos estudiar la maneraen la cual los angulos de orientacion afectan la radiacion entre superficies como muestra la figura 6.4.La superficie circular dA emite radiacion en todas las direcciones. Una superficie de radio r recibe laradiacion y, en particular, una porcion dAa de la misma. El calor que fluye hasta dAa sera proporcionalal angulo solido2 d que se establece desde dA. Si la superficie es esferica, dAa = rdr sin d luegod = sin dd. El flujo de calor depende tambien del angulo : en la figura 6.4 pueden observarse treselementos de area como son vistos desde dA. En los dos casos extremos es facil ver el efecto: para = 0,el area coincide con dA ; por otro lado, para = 90, el area es nula.

1Senalemos nuevamente que podemos extender = a ,, = ,,.2As como para una curva, el angulo se define a partir de dr = dS en radianes, para una superficie es d = dA/r2 en

estereo-radianes

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Radiacion

Figura 6.4: Elementos de superficie que intervienen en la definicion de la intensidad.

Ahora podemos definir a la intensidad de radiacion I(, ) como la cantidad de calor que fluye desde dApor unidad de angulo solido y por unidad de area proyectada ortogonalmente a la direccion considerada.si dAa percibe un flujo de calor dQ(, ),

I(, ) =dQ(, )

dA cos d[W/m2] (6.4)

Si I(, ) fuera independiente de la direccion, se dice que la radiacion es difusa. Si se cumple estacondicion, se satisface la ley de Lambert3. Una forma practica ocurre cuando dA es una superficieesferica (en vez de un disco) negra. El flujo total por unidad de superficie que sale en este caso desdedA vale:

q =dQ

dA= I cos d (6.5)

reemplazando la expresion para el angulo solido d e integrando sobre el hemisferio, obtenemos laradiosidad J :

J =

2pi0

2pi0

I(, ) cos sin dd (6.6)

Siendo una superficie de un material que se comporta en forma difusa frente a la radiacion termica, I esconstante, luego J = piI. Si la superficie es negra, la intensidad la emision es T 4 por unidad de area.

3Formulada para optica, fotometra.

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Luego,

I =T 4

pi(6.7)

Los cuerpos negros o grises son por definicion de radiacion difusa. En cuerpos reales, los no metalespresentan su emisividad mayor para la direccion normal a la superficie, mientras que los metales latienen en una cercana a la azimutal (Figura 6.5).

Figura 6.5: Variacion de la emitancia direccional con el angulo para algunos materiales.

6.2 Intercambio de energa radiante

6.2.1 Radiacion en una cavidad

Supongamos en primer caso dos superficies negras A1 y A2 a temperaturas T1 y T2 respectivamente quese encuentran dispuestas como muestra la figura 6.6. Segun la ley de Stefan-Boltzmann, el objeto interioremite una radiacion T 42A2. Si las superficies se encuentran en equilibrio, a temperaturas T2 = T1, elcuerpo absorbe T 42A2. Si el objeto tuviera una absortancia , en equilibro la emision sera igual a laabsorcion A2T

4.Si no hay equilibrio de temperaturas, la emision es T 42A2 pero la absorcion sera T

41A2, el intercambio

neto resulta:Q21 = A2(T

42 T 41 ) (6.8)

El intercambio de calor en algunas configuraciones geometricas se corresponde bien con el ejemploanterior: 2 esferas concentricas, 2 cilindros largos coaxiales, 2 placas grandes enfrentadas.

Factor de forma

Otras geometras pueden implicar que una parte de la radiacion emitida por una de las superficie no seacompletamente absorbida por la restante, como se ve en el esquema de la figura 6.7. Es necesario definir

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Radiacion

Figura 6.6: Intercambio de calor por radiacion en dos superficies

Figura 6.7: No toda la energa radiada de 1 es absorbida por 2.

un factor de forma

Fmn =Potencia emisiva de m que llega a n

Potencia emisiva de m en todo espacio

Fmn 1 y es funcion del tamano, de la forma y de la orientacion de 2 superficies. En forma similar a(6.8),

Q21 = F21A2T42 F12A1T 41 (6.9)

Si ambas superficies estuviesen a la misma temperatura, Q12 = 0 y F21A2 = F12A1. Como el factor deforma no depende de la temperatura, el resultado anterior es valido aun cuando las temperaturas sondiferentes. La relacion se conoce como regla recproca. Entonces

Q21 = F21A2(T42 T 41 ) (6.10)

En forma analtica,

A2F21 = A1F12 =

A1

A2

cos 1 cos 2dA1dA2pis2

(6.11)

Para configuraciones sencillas, el factor de forma se encuentra tabulado. Algunas propiedades utiles:

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Figura 6.8: Determinacion analtica del factor de forma entre 2 superficies arbitrarias.

Para un recinto cerradonj=1

Fij = 1

F1,(2+3) = F12 + F13, generalizando: Fij =nk=1

Fik.

6.2.2 Analoga electrica

Cuerpos negros

La ecuacion (6.10) nos muestra el intercambio entre 2 superficies negras. Si llamamos potencia emisivadel cuerpo negro Eb = T

4, la forma lineal de (6.10) sugiere una analoga electrica.

Q21 =Eb2 Eb11/F21A2

En forma general para 2 superficies ij:

Qij =Ebi Ebj1/FijAi

(6.12)

Luego, las potencias emisivas Ebi pueden asociarse a potenciales electricas y la inversa del area afectadapor el factor de forma puede asociarse a una resistencia espacial a la radiacion. El planteo nos permitever con sencillez algunas configuraciones.Consideremos el caso de una pantalla (o escudo) que separa dos placas infinitas (Figura 6.9 ). En estadoestacionario la pantalla no puede almacenar energa y los flujos de calor: Q13 = Q32. Como Q1 = Q13 y

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Radiacion

Q2 = Q23, Q1 = Q2. El circuito equivalente de la Figura 6.9 determina:

Q1 =Eb1 Eb2

1/A1F13 + 1/A3F32

Como las areas son las mismas y F13 = F32 = 1,

Q1 =Eb1 Eb2

2/A1

El efecto del escudo es reducir la mitad el intercambio por radiacion. Puede probarse que para n pantallas,las radiacion se reduce m+ 1 veces.

Figura 6.9: Pantalla. Analoga electrica.

Cuerpos grises

Figura 6.10: Esquema del intercambio de una superficie gris.

En el caso de superficies grises hay que agregar al analisis las caractersticas de absorcion, emision yde reflexion de las mismas. La figura 6.10 muestra los flujos de calor radiativos para una superficie gris

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opaca (sin transmision). Sobre ella incide una irradiacion G. La radiosidad J representa la radiacion quesale de la superficie, ya sea por emision o por reflexion: J = Eb + G. Por otro lado, el flujo de calor esq = J G, positivo si sale mas de lo que entra.

q = Eb + GG = Eb + ( 1)Gq = Eb + ( 1)(J q)

siendo + = 1 y = , luego = 1 .q = Eb + ()(J q)

q(1 ) = Eb + (J)

q =

1 (Eb J) (6.13)

Tenemos as definido el flujo de calor radiante neto a partir de una superficie gris en funcion de lapotencia emisiva de cuerpo negro Eb y de la radiosidad J . Si consideramos 2 superficies grises del tipode la figura 6.6, de un cuerpo encerrado dentro de otro, los flujos de calor pueden definirse segun:

Q12 = J1A1F12 J2A2F21donde J1A1F12 representa la energa que recibe el cuerpo 2 a partir del 1 y J2A2F21 respectivamente laenerga que recibe el cuerpo 1 a partir del 2. Recordando que A1F12 = A2F21,

Q12 = A1F12(J1 J2)

Retomando el resultado de (6.13), Q1 = q1A1 = A11

1 1 (Eb1 J1) y el flujo Q2 = A22

1 2 (Eb2 J2).El balance de energa del problema estacionario es:

Q1 = Q12 = Q2Reemplazando, podemos despejar el valor del flujo de calor Q12

Eb1 Eb2111A1

+ 1A1F12

+ 122A2

(6.14)

Para un problema donde los datos sean las temperaturas, el factor de forma y la emisividad de las super-ficies, obtenemos as el valor del flujo de calor para superficies grises. Pensando en la analoga electrica,(1 i)/iAi representa una resistencia de la superficie i. Otras configuraciones pueden resolverse conla ayuda de la analoga.

6.2.3 Intercambio entre n-superficies

La analoga electrica deja de ser conveniente cuando se tienen mas de 3 superficies en juego. Una cavidadde multiples superficies como la representada en la figura 6.11, precisa un planteo matricial. Para ello,supondremos que:

las superficies son grises y opacas.

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Radiacion

Figura 6.11: Cavidad de n-superficies.

Las temperaturas son conocidas en cada superficie.

Son conocidos los factores de forma.

La conduccion y la conveccion son despreciables y el fluido presente es transparente y no radiante.

Para cada superficie,Ji = iT

4i + iGi = iT

4i + (1 i)Gi

La energa incidente sobre cada superficie sera

Gi =nj=1

FijJj

. Entonces:

Ji = iT4i + iGi = iT

4i + (1 i)

nj=1

FijJj (6.15)

y se define un sistema de n ecuaciones a resolver.

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RadiacinIntroduccinEl mecanismo fsico de la radiacinCuerpo Negro, Leyes de RadiacinIntensidad de radiacin y Ley de Lambert

Intercambio de energa radianteRadiacin en una cavidadAnaloga elctricaIntercambio entre n-superficies

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