Radio Critico de to

5/6/2018 Radio Critico de to - slidepdf.com

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Tema 2. Ecuación general de conducción del calor. Aplicación al régimen permanente unidireccional

- 15 -

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

2. TEMA 2: ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN. APLICACIÓN ALRÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL 16

2.1 INTRODUCCIÓN 16

2.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR 16

2.3 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDESPLANAS 20 2.3.1 Pared plana de capa única 20 2.3.2 Pared plana de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas 22 2.3.3 Analogía eléctrica. Concepto de resistencia térmica 23 2.3.4 Resistencia térmica de contacto 24

2.4 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDESCILÍNDRICAS 25 2.4.1 Pared cilíndrica de capa única 25 2.4.2 Pared cilíndrica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas 27

2.5 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDESESFÉRICAS 28 2.5.1 Pared esférica de capa única 28 2.5.2 Pared esférica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas 29

2.6 SUPERFICIES DE CONTORNO RODEADAS POR FLUIDOS DE TEMPERATURACONOCIDA 29

2.7 EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR 31

2.8 ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO EN TUBERÍAS 32



Capítulo 2. Transmisión de calor por conducción

- 16 -

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

2. TEMA 2: ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN.APLICACIÓN AL RÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL

2.1 INTRODUCCIÓN

En este tema se va a presentar la ecuación general que rige la transmisión de calor por conducción (apartado 2.2). A continuación, en el resto de apartados, se aplica dicha ecuaciónal estudio de la conducción del calor en régimen permanente, es decir, permaneciendo latemperatura en cualquier punto del cuerpo invariable con el tiempo, y unidireccional, es decir,que sólo se precisa de una coordenada espacial para describir la distribución de temperaturasdentro del cuerpo.

Un ejemplo habitual de este tipo de régimen es el caso de una pared plana sometida auna diferencia de temperaturas entre sus superficies interna y externa, lo que da lugar a unflujo de calor entre ellas. Siendo el alto y ancho de la pared mucho mayores que el espesor dela misma, puede considerarse a este último como la única dimensión a través de la cual existeconducción del calor. Por tanto, el flujo de calor será unidireccional y, en consecuencia, latemperatura en cualquier punto de la pared será únicamente función de su localización en unasección determinada (perpendicular a la dirección de la transferencia de calor). Otros casostípicos de conducción unidireccional son los cilindros muy largos (por ejemplo, tuberías) o loscontenedores de forma esférica, donde la conducción de calor y el gradiente de temperaturasse desarrollan en la dirección radial.

2.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

El problema de la conducción del calor consiste en determinar la temperatura encualquier momento y en cualquier punto del cuerpo que se estudia. Una vez conocida ladistribución de temperaturas, es posible calcular el flujo de calor (y la propia tasa de calor) encualquier punto e instante de tiempo sin más que aplicar la ley de Fourier, presentada en elTema 1.

La deducción de la ecuación general de la conducción necesita de un balance de energía.

En un sistema cualquiera, la diferencia entre la energía (calor) aportada ( ent Q&

) al sistema y laenergía (calor) cedida por el mismo ( sal Q& ), más la energía generada en él ( gen E & ), debe ser

igual a la variación de la energía almacenada en el interior ( alm E & ), ecuación (2.1). En dicha

ecuación se utiliza tasa de energía (energía en la unidad de tiempo) en lugar de energía, que esigualmente válida.

alm gen sal ent E E QQ &&&& =+− (2.1)

Supóngase un paralelepípedo infinitesimal de aristas dx, dy, dz , con caras paralelas a losejes de coordenadas, perteneciente a un cuerpo cualquiera, tal y como se muestra en la Figura

2.1. En este paralelepípedo se calculan a continuación todos los términos de la ecuaciónanterior, para lo cual se aceptan las siguientes hipótesis de cálculo:




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• Sólido homogéneo y con sección transversal constante en cualquiera de las direccionesindicadas por el sistema de coordenadas elegido. Esta condición viene impuesta de inicio,

por ser el volumen diferencial considerado para este análisis un paralelepípedo (Figura 2.1)y escoger los ejes de coordenadas paralelos a las aristas.

• Densidad y calor específico constantes en el cuerpo• Medio continuo.

dx d y

d z

A

B

C

D

E

F

G

H

z

y

x

dQ x dQ x+dx

Figura 2.1. Conducción del calor en un paralelepípedo de dimensiones conocidas.

Para realizar el balance de calor que entra y sale del paralelepípedo, considérese primerola dirección del eje x. El calor que entra por conducción en el cuerpo lo hace (suponiendoarbitrariamente conducción en el sentido positivo de los ejes) a través de la superficie ABCD,y su expresión es dydz Qd x x φ =& . El calor que sale del cuerpo (superficie EFGH) se calcula

como dydz Qd dx xdx x ++ = φ & . Teniendo en cuenta que se trata de un volumen diferencial y

desarrollando φ x+dx en serie de Taylor, se llega a la expresión que relaciona φ x+dx y φ x, ecuación(2.2), donde se han despreciado los términos de segundo y mayor orden:

dx

x

x xdx x

δ

δφ φ φ +=+ (2.2)

El flujo de energía neta en el elemento debido a la conducción en la dirección x será, por tanto:

( ) dxdydz x

dydz Qd Qd xdx x xdx x x

δ

δφ φ φ −=−=− ++

&& (2.3)

Aunque en la Figura 2.1 no se ha representado por simplicidad, el calor que fluye através del volumen diferencial en las otras direcciones del espacio vendrá dado por lasexpresiones (2.4) y (2.5):

dxdydz yQd Qd

y

dy y y δ

δφ

−=− +

&&

(2.4)

dxdydz Qd Qd z dz z z

δ

δφ −=− +

&& (2.5)

Por tanto, combinando las tres ecuaciones anteriores, la tasa de calor neta que fluye através del cuerpo por conducción es:

dxdydz z y x

Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd z y xdz z z dy y ydx x x sal ent

++−=−+−+−=− +++δ

δφ

δ

δφ

δ

δφ &&&&&&&& (2.6)




- 18 -

La energía generada en el paralelepípedo de la Figura 2.1 se calcula fácilmente con laexpresión (2.7), donde g es la tasa de generación de calor por unidad de volumen del cuerpo

3m

W, que puede ser función de la posición en dicho cuerpo ( g = f ( x, y, z )).

gdxdydz gdV E d gen ==& (2.7)

Por último, suponiendo que el proceso ocurre a presión constante, como lo es en todaslas aplicaciones consideradas en este texto, la variación de energía almacenada se calculasegún la ecuación (2.8):

dxdydz t

T c

t

T mc E d p palm

δ

δ ρ

δ

δ ==& (2.8)

Balance final de energía: ecuación general de la conducción del calor

Sustituyendo en la ecuación (2.1) las expresiones encontradas para sus términos(ecuaciones (2.6), (2.7) y (2.8)), y simplificando dx·dy·dz , se obtiene:

t

T c g

z y x p

z y x

δ

δ ρ

δ

δφ

δ

δφ

δ

δφ =+

++− (2.9)

Por último, y aplicando la ley de Fourier, se llega finalmente a la ecuación (2.10),conocida como ecuación general de la conducción del calor (en coordenadas cartesianas). Laresolución de esta ecuación diferencial proporciona el campo de temperaturas T ( x, y, z ,t ) en elcuerpo, a partir del cual puede obtenerse la tasa y el flujo de calor por aplicación directa de la

ley de Fourier.

t

T c g

z

T K

z y

T K

y x

T K

x pδ

δ ρ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ =+

+

+

(2.10)

Nótese que la ecuación (2.10) fue deducida sin restricción alguna sobre la conductividadtérmica K y la generación volumétrica de calor g . En el caso más general, éstas pueden ser dependientes de las coordenadas espaciales y de la propia temperatura. Si la conductividadtérmica es constante, entonces la expresión anterior adopta la siguiente forma,

t

T

t

T

K

c

K

g T

p

δ

δ

α δ

δ ρ 12 ==+∇ (2.11)

donde α es la difusividad térmica, propiedad física del material que fue descrita en el Tema 1,y 2∇ es el operador Laplaciano.

Para la resolución de la ecuación (2.10) en un caso particular cualquiera se necesitaconocer algunas condiciones de contorno. Por ser esta ecuación de segundo orden encualquiera de las coordenadas espaciales y de primer orden en el tiempo serán necesarias, enel caso general, dos condiciones de contorno por cada coordenada espacial y una condicióninicial (distribución de temperaturas para t =0). Las condiciones de contorno más habituales enla práctica se representan en la Figura 2.2 para una sola coordenada espacial (sería análogo enel resto de coordenadas):• Temperatura del cuerpo conocida en la frontera, condición de contorno de primer tipo, o

condición de Dirichlet (ecuación (2.12), Figura 2.2 A):




- 19 -

sT t x xT == ),( 0 (2.12)• Flujo de calor conocido en un punto, condición de contorno de segundo tipo, o condición

de Neumann (ecuación (2.13), Figura 2.2 B). Esta condición de contorno se puede dar aquellas situaciones donde el flujo de calor a través de una superficie se mantiene constante

mediante resistencias eléctricas adosadas a la misma. Un caso particular de este tipo decondición es el de superficies adiabáticas (perfectamente aisladas), donde el flujo de calor es nulo (Figura 2.2 C)

s

x x x

t xT t x x K φ

δ

δ ==−

= 0

),(),( 0 (2.13)

• Condición de contorno convectiva, condición de tercer tipo, o condición de Robin(ecuación (2.14), Figura 2.2 D). Se trata de una condición muy habitual en casos prácticos,como paredes que separan ambientes o tuberías por cuyo interior circula un fluido.

( )),(),(

),( 00

0

t x xT T h x

t xT t x x K

x x

=−==− ∞

=δ

δ (2.14)

x xx x x 0

Ts

T( ) x,t

x xx x x 0

φs

T( ) x,t

x xx x x 0

T( ) x,t

x xx x x 0

T( ) x,t T

h

A B C D

Figura 2.2. Condiciones de contorno unidimensionales, coordenadas cartesianas.

Para terminar el apartado, es necesario expresar la ecuación general de la conducción delcalor en coordenadas cilíndricas y esféricas, útil en aquellas situaciones en las que lageometría del problema pueda ser descrita más fácilmente en ellas (por ejemplo, en tuberías ycontenedores esféricos). Si se aplican los sistemas de ejes de la Figura 2.3, las ecuaciones deconducción del calor en coordenadas cilíndricas y esféricas son, respectivamente, lasexpresiones (2.15) y (2.16). El número de condiciones de contorno necesarias es el mismo queen el caso de coordenadas cartesianas.

t

T

c g z

T

K z

T

K r r

T

rK r r p δ

δ

ρ δ

δ

δ

δ

δϕ

δ

δϕ

δ

δ

δ

δ

δ

=+

+

+

2

11

(2.15)

t

T c g

T K

r

T K

r r

T K r

r r pδ

δ ρ

δθ

δ θ

δθ

δ

θ δϕ

δ

δϕ

δ

θ δ

δ

δ

δ =+

+

+

sen

sen1

sen11

2222

2 (2.16)




- 20 -

zzzz

y yy y

x xx x

rrrr

ϕ

zzzz

x xx x

rrrr

ϕ

θ y yy y

Figura 2.3. Representación de un punto en un sistema de coordenadas cilíndricas (izquierda) y esféricas

(derecha).

2.3 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN APAREDES PLANAS

2.3.1 Pared plana de capa única

Para paredes planas, donde la conducción del calor ocurre en una sola dirección (através del espesor de la misma) y en régimen permanente (la temperatura no depende deltiempo), la ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cartesianas, ecuación(2.10), se reduce a:

0)()(

)( =+

x g

dx

xdT x K

dx

d (2.17)

Éste es el caso de la pared plana de la Figura 2.4, de espesor finito e=b-a, pero de

longitud mucho mayor en las demás direcciones (e<<W , H ), manteniendo cada una de suscaras a temperatura uniforme. Integrando la ecuación (2.17) se obtiene la distribución detemperaturas en el cuerpo, ecuación (2.18). El flujo y la tasa de calor a través de una superficie

paralela al plano yz vienen dados por las ecuaciones (2.19) y (2.20), respectivamente, donde A es el área perpendicular a la dirección de la conducción del calor ( A=W·H ).

z

y

x x=b x=a

W

H

e

Figura 2.4. Pared plana de capa única.

[ ]∫ ∫ ≤≤−= b xadxdx x g x K xT )()(

1

)( (2.18)




- 21 -

∫ ≤≤=−= b xadx x g dx

dT x K x )()()(φ (2.19)

∫ ≤≤== b xadx x g A x A xQ )()()( φ & (2.20)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica constante: K ( x)= K

La integración de las ecuaciones anteriores suponiendo que la conductividad térmicaes constante y de valor K , y que la generación interna de calor también es constante ( g ( x)= g 0),conduce a las expresiones (2.21), que dependen de dos constantes de integración, C 1 y C 2,cuyos valores deben buscarse mediante dos condiciones de contorno.

)()(

)(2

)(

10

10

2120

K C x g A xQ

b xa K C x g x

C xC x K

g xT

−=

≤≤−=

++−=

&

φ (2.21)

Si suponemos que dichas condiciones de contorno son las propias temperaturas en lassuperficies de la pared ( x=a → T=T a, x=b → T=T b), es posible calcular el valor de las mismas,obteniendo así las siguientes expresiones para la temperatura, flujo y tasa de calor:

( ) ( ) ( )

( )

)()(

2)(

22)(

220

0

220220

x A xQ

b xaab

ab K

g T T

K x g x

ab K

g T T

ab

a x xa

K

g T xT

ab

aba

φ

φ

=

≤≤−

−+−−=

−+−

−

−+−+=

&

(2.22)

Un caso práctico es suponer que la generación interna de calor es nula ( g 0=0), comoocurre con paredes y cerramientos en edificación, y en la mayoría de cuerpos físicos. En esecaso las ecuaciones anteriores se reducen a las expresiones (2.23), (2.24) y (2.25). Se deduceque en este caso (conductividad térmica constante y sin generación de calor) la temperaturaaumenta o disminuye linealmente a lo largo del espesor de la pared, y tanto el flujo de calor como el calor por unidad de tiempo (o tasa de calor) son constantes. Esto último es lógico, yaque en régimen permanente y sin generación de calor, los términos de generación yalmacenamiento en el balance energético de la ecuación (2.1) son nulos, lo que impone que elcalor que entra por conducción en un cuerpo debe también salir ( cte=Q& ).

b xaab

a xT T T xT aba ≤≤

−

−−+= )()( (2.23)

b xaab

T T K x ba ≤≤=

−

−= cte)(φ (2.24)

b xaab

T T KA xQ ba ≤≤=

−

−= cte)(& (2.25)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica variable

Casi todos los cuerpos presentan una dependencia de la conductividad térmica con la

temperatura, y, como ya se vio en el capítulo anterior, esta dependencia suele ser lineal y de la




- 22 -

forma )1(0 bT K K += . Supóngase una pared plana de espesor e, sin generación de calor, y con

temperaturas conocidas en las superficies, T a y T b. Aplicando la ley de Fourier se tiene:

dx

xdT AbT K

dx

xdT KA xQ

)()1(

)()( 0 +−=−=& (2.26)

Dado que en régimen permanente y sin generación de calor la tasa de calor debe ser constante (ver ecuación (2.20)), la expresión anterior puede integrarse, resultando en:

cte)(2

10 =−

++−=

e

T T AT T

b K Q ab

ba& (2.27)

Finalmente, la ecuación anterior puede escribirse de la forma,

e

T T A K Q ba

m

−=& (2.28)

donde K m es la conductividad térmica evaluada a la media aritmética de las temperaturas de

las dos superficies de la pared.

En la expresión (2.28) se observa que para el cálculo de la tasa de calor y del flujo decalor son válidas las ecuaciones que consideran conductividad térmica constante (ecuaciones(2.24) y (2.25)) si se evalúa la conductividad a la temperatura media de las superficies de la

pared. Esto solamente es válido cuando la conductividad térmica varía linealmente con latemperatura.

Por último, la distribución de temperaturas dentro del cuerpo no es la misma que en elcaso de conductividad térmica constante. Para encontrar el perfil de temperaturas conconductividad térmica variable es necesario integrar directamente la ecuación (2.26), llegando

a una ecuación cuadrática en T .

2.3.2 Pared plana de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas

Considérese una pared plana compuesta por varias capas de materiales de diferenteespesor y conductividad térmica (se asume que ésta es constante para cada material), y dondeno existe generación interna de calor (Figura 2.5). Según la ecuación (2.1), en régimen

permanente la tasa de calor en cualquier capa de la pared debe ser constante, y su valor puedecalcularse aplicando la ecuación (2.25) en cualquiera de las capas (expresión (2.29)):

34

34

43

23

23

32

12

12

21

AK e

T T

AK e

T T

AK e

T T

Q

−

=

−

=

−

=&

(2.29)

x

K

12

23

34

K K

T1

2

3

4

TT

T

e12 23

34

34e e

Figura 2.5. Pared plana de capas múltiples.




- 23 -

Despejando las diferencias de temperatura se obtienen las expresiones (2.30), que unavez sumadas permiten eliminar las temperaturas intermedias (T 2 y T 3) y conocer la tasa decalor en función de las temperaturas extremas (accesibles), ecuación (2.31):

34

3443

23

2332

12

1221

AK

eQT T

AK

eQT T

AK

eQT T

&

&

&

=−

=−

=−

(2.30)

34

34

23

23

12

12

41

AK e

AK e

AK e

T T Q

++

−=&

(2.31)

Conocido el valor de la tasa de calor con la ecuación anterior, se pueden determinar lastemperaturas intermedias empleando las expresiones (2.30).

2.3.3 Analogía eléctrica. Concepto de resistencia térmica

En el caso de tener conducción en régimen permanente unidireccional, sin generación decalor y con conductividad térmica constante, se puede establecer una analogía entre laconducción del calor y la conducción de corriente eléctrica (Figura 2.6). Igual que laintensidad de corriente eléctrica se puede entender como un flujo, producido por unadiferencia de potencial, al que se opone una resistencia eléctrica ( Re), el calor también se

puede expresar como un flujo, promovido en este caso por una diferencia de temperaturas, a

cuya circulación se opone una resistencia térmica ( Rt ).

I V A B V Re

TB

T A

Q

⇔

∆⇔∆

⇔∆

=−

=⇔∆

=−

et

t t

B A

ee

B A

R R

V T

I Q

R

T

R

T T Q

R

V

R

V V I

&

& =

Figura 2.6. Análisis de la transmisión del calor mediante la analogía eléctrica

Identificando términos entre la ecuación (2.25) y la expresión del calor dada en la Figura2.6 se observa que la resistencia térmica, Rt , de una pared plana se define como:

KA

e Rt =

WK

(2.32)

Obsérvese en la ecuación (2.32) que la resistencia térmica (resistencia que un cuerpoofrece al paso del calor) es mayor en el caso de los aislantes, caracterizados por valores

pequeños de conductividad térmica. El uso de la analogía eléctrica es particularmenteinteresante en situaciones con capas múltiples, donde la ecuación (2.31), en el caso general den capas, se expresa de la forma:




- 24 -

1,34,23,12,

11

... +

+

++++

−=

nnt t t t

n

R R R R

T T Q& (2.33)

En muchas ocasiones, cuando se trabaja con paredes planas, se desconoce el valor delárea normal a la dirección de conducción del calor, A, si bien permanece constante. Es

interesante en estos casos aplicar la analogía eléctrica pero identificando el flujo de calor (y nola tasa de calor) con la intensidad de corriente eléctrica. Así, la nueva expresión para elcálculo de la resistencia térmica es:

K

e R

R

T t

t

=

⋅⇒

∆=

WmK 2

φ (2.34)

2.3.4 Resistencia térmica de contacto

En la discusión desarrollada anteriormente sobre la pared de capas múltiples se suponíaque había un contacto perfecto entre las capas adyacentes. De este modo, las temperaturas dedos capas adyacentes son iguales en el plano de contacto. En la práctica, esto no ocurre así. Elcontacto directo entre los dos materiales sólo tiene lugar en unos puntos concretos, mientrasque en las demás zonas existe un fluido que las separa, ver Figura 2.7, que suele ser aire. Por lo tanto, el calor fluye en estos casos no solo por conducción a través de los puntos decontacto, sino también por convección a través de los huecos y, si la temperatura es elevada,

por radiación. Esto provoca un descenso de la temperatura en la superficie de contacto entrelos dos materiales, Figura 2.7.

Si T A y T B representan las temperaturas en la superficie de contacto para cada uno de losmateriales, se define la resistencia térmica de contacto como la relación entre la diferencia de

temperaturas entre las superficies en contacto y la tasa de calor que las atraviesa, ecuación(2.35):

Q

T T R B A

tc &

−= (2.35)

puntos de

contacto

fluidoatrapado

A BT A

TB

x xx x

A B

Figura 2.7. Resistencia térmica de contacto.

En aquellas aplicaciones donde se desee que el flujo de calor a través de la unión seamáximo, los huecos se rellenan con sustancias de mayor conductividad térmica que el aire (deesta forma, la resistencia térmica de contacto disminuye), como puede ser la silicona. En lamayoría de los casos los valores de las resistencias térmicas de contacto se obtienen de formaexperimental, y su valor suele ser bastante pequeño. La presencia de resistencias de contactoen paredes de capas múltiples supone resistencias adicionales que deben ser incluidas en laexpresión del cálculo del calor. Así, la expresión (2.33) se amplía a (2.36). Nótese en esta




- 25 -

ecuación que, en general, las resistencias de contacto son despreciables en el caso de paredesconstruidas con materiales aislantes (elevada resistencia térmica), pero no pueden despreciarsea efectos de cálculo en el caso de paredes fabricadas con buenos conductores térmicos, comolos metales (resistencia térmica muy reducida), ya que en este caso las resistencia de contacto

podrían ser el parámetro dominante en la transferencia de calor.

1,,343,232,12

11

... +

+

+++++++

−=

nnntctctc

n

R R R R R R R

T T Q& (2.36)

2.4 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN APAREDES CILÍNDRICAS

2.4.1 Pared cilíndrica de capa única

Considérese un cilindro hueco cuyo espesor (diferencia entre el radio externo y el

interno) es mucho menor que su longitud, Figura 2.8. En estas condiciones, se puedendespreciar los efectos de borde y el problema se reduce a uno de régimen permanenteunidireccional, en el que la distancia radial r es la coordenada a través de la cual se transfiereel calor. Considerando la ecuación general de la conducción del calor en coordenadascilíndricas, ecuación (2.15), y simplificando, se obtiene la expresión (2.37):

210)()(

)(1

r r r r g dr

r dT r r K

dr

d

r ≤≤=+

(2.37)

L

1

2rr

Figura 2.8. Conducción radial en un cilindro hueco ( L >> r2-r1).

Integrando la ecuación (2.37) y aplicando la ley de Fourier se obtienen las expresiones para la distribución de temperaturas en el cilindro, el flujo de calor y la tasa de calor (ecuaciones (2.38), (2.39) y (2.40), respectivamente). En el caso de cilindros, es muy habitualtrabajar con cuerpos de longitud L desconocida, por lo que en lugar de tasa de calor convienedefinir la tasa de calor por unidad de longitud. Para el cálculo de ésta se ha tenido en cuentaque el área normal a la dirección de conducción del calor depende del radio de la forma

rLr A π2)( = .

( ) 21)()(

1)( r r dr r dr r rg

r rK r T ≤≤−= ∫ ∫ (2.38)

∫ ≤≤=−= 21)(1)(

)()( r r r dr r rg r dr

r dT r K r φ (2.39)




- 26 -

∫ ≤≤−== 21

)(π2)()(π2

)(r r r

dr

r dT r r K dr r rg

L

r Q& (2.40)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica constante: K (r )= K

Suponiendo conductividad térmica constante y, además, generación interna de calor también constante ( g (r )= g 0), las expresiones anteriores, una vez integradas, quedan de lasiguiente forma:

212120 ln

4)( r r r C r C r

K

g r T ≤≤++−= (2.41)

2110

2)( r r r

r

K C r g r ≤≤−=φ (2.42)

21102 π2π

)(r r r K C g r

L

r Q≤≤−=

&

(2.43)

Nuevamente aparecen dos constantes de integración, por lo que son necesarias doscondiciones de contorno en la coordenada radial para resolver las expresiones anteriores. Sidichas condiciones son las temperaturas en las superficies interior y exterior del cilindro (r=r 1

→ T=T 1, r=r 2 → T=T 2), las ecuaciones anteriores se transforman en:

)ln(

)(4π2π

)(

)ln(

)(4

2)(

)(4

)()ln()ln(

)(4

)(

12

21

22

012

20

2112

21

22

012

0

21

22

012

12

1221

01

/r r

r r K

g T T K r g

L

r Q

r r r /r r

r r K

g T T

r

K r g r

r r K

g T T

/r r

r/r r r

K

g T r T

−+−−=

≤≤−+−

−=

−+−+−+=

&

φ (2.44)

Al igual que en el caso de una pared plana, también aquí es útil manejar las expresionescuando no existen generación de calor (expresiones (2.45), (2.46) y (2.47)), aplicable, por ejemplo, a una tubería por la que circula un fluido a una temperatura distinta a la delambiente. De dichas ecuaciones se deduce que la cantidad de calor que atraviesa por unidadde longitud y tiempo cualquier superficie de un cilindro hueco, con conductividad térmicaconstante y sin generación interna de calor, es constante. Sin embargo, el flujo de calor no loes, ya que la superficie normal a la dirección de la transmisión de calor depende del radio

( A=2πrL). La distribución de temperaturas en el interior varía con el logaritmo natural delradio. Se deduce de la ecuación (2.47) que la resistencia térmica cuando las ecuaciones deconducción están planteadas en coordenadas cilíndricas (ecuación (2.48)) es diferente a laobtenida previamente en cartesianas.

211212

11 ln

lnr r ) r T (T

) /r (r

)(r/r T T(r) ≤≤−+= (2.45)

2112

21

lnr r r

) /r (r

T T

r

K (r) ≤≤

−=φ (2.46)

2112

21

ln

π2r r r ) /r (r

)T K(T

L

(r)Q

≤≤

−

=

&

(2.47)




- 27 -

KL

r r

R R

T (r)Q

K

r r

R R

T

L

(r)Qt

t

t

t π2

ln ;

π2

ln1

2

1

2

=⇒∆

=

=⇒∆

= &&

(2.48)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica variable )1(0 bT K K += :

El análisis de este caso es semejante al de paredes planas (apartado 2.3.1), llegándose alas mismas conclusiones:• Las expresiones del flujo (2.46) y la tasa de calor (2.47) son válidas si se usa como

conductividad térmica el valor obtenido al evaluar la expresión de la conductividad térmicaa la temperatura media entre las superficies interna y externa.

• La distribución de temperatura cambia con respecto a la que se obtendría en el caso deconductividad térmica constante.

2.4.2 Pared cilíndrica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas

Considérese un cilindro compuesto por tres capas de diferente material, cada una de lascuales posee una conductividad térmica determinada (Figura 2.9), y donde se conocen lastemperaturas de las paredes interior y exterior del cilindro. Según la ecuación (2.47), la tasa decalor por unidad de longitud a través de cada una de las capas será:

34

34

43

23

23

32

12

12

21

π2)/ln()(

π2)/ln()(

π2)/ln()(

K

r r

T T

K

r r

T T

K

r r

T T

L

Q −=

−=

−=

&

(2.49)

12r

r

r3

r4

Figura 2.9. Cilindro de capas múltiples.

La eliminación de las incógnitas T 2 y T 3 a través del mismo procedimiento descrito en elapartado 2.3.2 proporciona finalmente la expresión de la tasa de calor en función latemperatura de la superficie interna y externa del cilindro:

total t

total

t t t R

T

R R R

T T

K

r r

K

r r

K

r r

T T

L

Q

,34,23,12,

41

34

34

23

23

12

12

41 )(

π2)/ln(

π2)/ln(

π2)/ln(

∆=

++

−=

++

−=

&

(2.50)

Igual que en el caso de la pared plana de capas múltiples, se pueden introducir en eldenominador de la ecuación anterior las resistencias térmicas de contacto, si las hubiese y nofuesen despreciables.




- 28 -

2.5 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN APAREDES ESFÉRICAS

2.5.1 Pared esférica de capa única

Considérese ahora una esfera hueca cuyos radios interno y externo son, respectivamente,r 1 y r 2 (Figura 2.10). La ecuación general de la conducción del calor en coordenadas esféricas,ecuación (2.16), queda reducida a la expresión (2.51), asumiendo conducción únicamente enla dirección radial:

212

2 0)())(

)((1

r r r r g dr

r dT r K r

dr

d

r ≤≤=+ (2.51)

r2r1

Figura 2.10. Corte transversal de una esfera hueca.

Integrando la ecuación anterior, se obtienen las siguientes expresiones para ladistribución de temperaturas, el flujo de calor y la tasa de calor (siendo en este caso el área a

través de la cual se transfiere calor A(r ) = 4πr 2):

( )

∫

∫

∫ ∫

=

≤≤=

−=

dr r g r r Q

r r r dr r g r r

r

dr dr r g r r r K

r T

)(π4)(

)(1

)(

)()(

1)(

2

212

2

22

&

φ (2.52)

En el caso de conductividad térmica y generación de calor constantes ( K y g 0,respectivamente), la integración de las ecuaciones anteriores conduce a:

1

30

21210

2120

π43

π4)(

3)(

6)(

KC r g

r Q

r r r r

K C r g r

C r

C r

K

g r T

+=

≤≤+=

++−=

&

φ (2.53)

Si se suponen conocidas las temperaturas en las superficies de la esfera, es decir, en r =r 1 → T=T 1 y en r =r 2 → T=T 2, las ecuaciones anteriores se expresan de la forma:




- 29 -

( )

12

21

22

0123

0

2112

21

22

012

2

0

21

22

012

12

1221

01

11

)(6π4

3π4)(

11

)(6

3)(

)(611

11)(

6)(

/r /r

r r K

g T T

K r g

r Q

r r r /r /r

r r K

g T T

r

K r g r φ

r r K

g T T

/r /r

/r /r r r

K

g T r T

−

−+−

+=

≤≤−

−+−

+=

−+−

−

−+−+=

&

(2.54)

En el caso de que la generación de calor sea nula es fácil comprobar que la distribuciónde temperatura varía con la inversa del radio, mientras que el flujo lo hace con la inversa delcuadrado del radio. El calor (o la tasa de calor) se mantiene constante. Los demás casos no sedesarrollan por ser de poca aplicación y deducción análoga a los anteriores. Tan solo indicar que la resistencia térmica de una capa, en coordenadas esféricas, tiene la siguiente expresión:

K

r r R

R

T r Q t

t π4

11)( 2112

−=⇒

∆=& (2.55)

2.5.2 Pared esférica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas

Este caso es menos frecuente en ingeniería que el caso del cilindro o el de la pared plana, siendo el procedimiento seguido para su obtención igual a los anteriores. La tasa decalor se calcula aplicando la ecuación (2.56), teniendo en cuenta la nueva expresión para laresistencia térmica en coordenadas esféricas, ecuación (2.55). Nuevamente se debe introducir,si las hay, las resistencias térmicas de contacto en el denominador de la ecuación (2.56).

...π4

11

π4

11

π4

11...

34

43

23

32

12

21342312

+−

+−

+−

∆=

+++

∆=

K

r r

K

r r

K

r r

T

R R R

T Q total total &

(2.56)

2.6 SUPERFICIES DE CONTORNO RODEADAS POR FLUIDOS DE TEMPERATURA CONOCIDA

En la práctica, las configuraciones anteriormente estudiadas están, por lo general, bañadas por fluidos a ambos lados. Las temperaturas de las superficies interna y externa no

son, habitualmente, conocidas, pero sí lo son las de los fluidos. En consecuencia, es necesariodisponer de expresiones para el cálculo del calor transmitido en estos casos. Ello se consigueteniendo en cuenta la forma de la ley de enfriamiento de Newton (introducida en el Tema 1),que rige la transmisión de calor por convección, y la expresión de la resistencia térmica deconvección, ecuación (2.57):

( )S

t

t

S S S

hA R

R

T T T T hAQ

1=⇒

−=−= ∞

∞& (2.57)

Ya que la finalidad de este tema es estudiar la conducción, se introduce el mecanismo deconvección sólo para señalar la importancia de esta condición de contorno en un problema deconducción. En todos los temas del presente Capítulo 2 (temas 2, 3 y 4), se supone que elvalor del coeficiente de transmisión de calor por convección, h, es conocido. En el Capítulo 3de este texto se aborda el cálculo de dicho coeficiente.




- 30 -

Pared plana bañada por fluidos a diferente temperatura

Supóngase una pared plana (constituida por dos capas de diferente material) limitada encada cara por fluidos, como se muestra en la Figura 2.11 (donde el subíndice “ i” hacereferencia a la superficie interna y “e” a la externa). La expresión de la tasa de calor, constante

por no haber generación interna en la pared, para cada capa/fluido viene dada por la ecuación(2.58). Nótese en ésta que el valor del área superficial de intercambio de calor por conveccióncoincide con la sección transversal de la pared ( AS =A).

( ) ( )∞∞ −=

+

−=−= ,3

23

23

12

12

311, eeii T T Ah

A K

e

A K

e

T T T T AhQ&

(2.58)

12

23

K K

T1

2

3

TT

Te,e12 23

heTe,

hiTi,

Ti,

e

Figura 2.11. Pared plana de capas múltiples bañada por fluidos a distinta temperatura.

Operando de la misma forma que en apartados anteriores, se obtiene la expresión buscada para la tasa de calor en función de la diferencia de temperatura de los fluidos,

ecuación (2.59). En el caso que nos ocupa (paredes planas) es fácil obtener la expresiónanáloga para determinar el flujo de calor sin más que dividir la expresión por el área

perpendicular a la transferencia de calor.

total t

total

t

total

ei

ei

R

T

R

T

Ah A K

e

A K

e

Ah

T T Q

,

23

23

12

12

,,

11∆

=∆

=

+++

−=

∑∞∞&

(2.59)

Pared cilíndrica bañada por fluidos a diferente temperatura

Este caso, Figura 2.12, tiene un enorme interés práctico ya que los fluidos se

transportan, calientan, evaporan y condensan en tuberías, tubos y recipientes cilíndricos. Demanera similar al caso anterior, la tasa de calor se calcula ahora con cualquiera de lasexpresiones (2.60). La ecuación (2.61) proporciona la misma magnitud en función de lastemperaturas de los fluidos, conocidas en la mayoría de los casos.




- 31 -

12r

r

r3r4

heTe,hiTi,

Figura 2.12. Pared cilíndrica de capas múltiples bañada por fluidos.

)(π2

π2)/ln(

π2)/ln(

π2)/ln(

)()(π2 ,44

34

34

23

23

12

12

411,1 ∞∞ −=

++

−=−= eeii T T Lhr

LK

r r

LK

r r

LK

r r

T T T T Lhr Q&

(2.60)

total t

total

t

total

ei

ei

R

T

R

T

Lhr LK

r r

LK

r r

LK

r r

Lhr

T T

Q,

434

34

23

23

12

12

1

,,

π21

π2)/ln(

π2)/ln(

π2)/ln(

π21

∆=

∆=

++++

−

= ∑∞∞&

(2.61)

2.7 EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR

Este coeficiente, U , se define como aquella magnitud que multiplicada por el área (encuya dirección normal se transmite el calor) y por la diferencia total de las temperaturas

proporciona la tasa de calor transmitido a través de la configuración considerada:

∆=

K m

W 2U T UAQ total

& (2.62)

Comparando la expresión anterior con la expresión de la tasa de calor empleando la

analogía eléctrica, se deduce fácilmente quetotal t R

UA,

1= .

En el caso de una pared plana de capas múltiples y bañada por fluidos en sus superficiesextremas, igualando las expresiones (2.59) y (2.62), se obtiene el valor del coeficiente globalde transmisión de calor:

ei h K

e

K

e

h

U 11

1

23

23

12

12

+++

= (2.63)

En el caso de una pared cilíndrica como la de la Figura 2.12, el producto UA esconstante, tal y como se definió anteriormente, pero el coeficiente U depende de la superficiea la que vaya referido (ya que el área a través de la cual se transmite el calor no es constante).Por su aplicación práctica, se ofrece a continuación las expresiones de dicho coeficientereferidas a la superficie interna y externa (U i y U e, respectivamente), obtenidas al igualar lasecuaciones (2.61) y (2.62) y despejar el valor del coeficiente global de transmisión de calor.Siguiendo el mismo procedimiento podría encontrarse dicho coeficiente en el caso derecipientes esféricos.




- 32 -

ei

i

hr

r

K

r r r

K

r r r

K

r r r

h

U

4

1

34

341

23

231

12

121 )/ln()/ln()/ln(11

++++

= (2.64)

ei

e

h K

r r r

K

r r r

K

r r r

hr

r U 1)/ln()/ln()/ln(

1

34

344

23

234

12

124

1

4 ++++= (2.65)

La importancia del coeficiente global de transmisión del calor es que no depende de latemperatura de los fluidos que bañan las paredes (si se desprecia la dependencia delcoeficiente de película con la temperatura), sino únicamente de la configuración, materiales ydimensiones de la configuración dada. Por lo tanto, en casos como muros, suelos, ventanas,etc. este coeficiente suele estar tabulado, con el fin de poder realizar cálculos de formasencilla aplicando la ecuación (2.62).

2.8 ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO EN TUBERÍAS

Supóngase una tubería de espesor despreciable y radio R por cuyo interior circula unfluido caliente a temperatura constante T (Figura 2.13). La tubería está situada en un ambienteexterior de condiciones conocidas (h, T ∞ ), mientras que la resistencia térmica de convecciónen el interior de la tubería es despreciable (es decir, la temperatura del fluido interno coincidecon la de la tubería). Se propone aislar (material aislante de conductividad K ) dicha tubería

para disminuir las pérdidas de calor del fluido interno. A medida que se añade aislante a latubería (es decir, aumenta r ), disminuye la temperatura de la superficie exterior pero aumentael área de transmisión de calor por convección, teniendo ambos efectos contrarios en la

transmisión de calor. Por tanto, existe un determinado espesor de aislamiento para el cual se produce un óptimo (se comprueba más adelante que es un máximo relativo) en la transmisiónde calor. El aumento del área, unido a la disminución de la temperatura de la superficie encontacto con el ambiente, hace que aparezca un máximo en la transferencia de calor, la cual se

puede calcular como )(π2)( ∞∞ −=−= T T rLhT T hAQ S S S & .

R

rT

T h

Figura 2.13. Radio crítico de aislamiento en una tubería.

Para calcular el radio crítico (r c) que proporciona el máximo mencionado, se expresa elcalor transmitido en función del radio, ecuación (2.66), se impone que la primera derivada seanula, ecuación (2.67). El valor así obtenido para el radio crítico de aislamiento es r c= K /h, y secomprueba que la segunda derivada evaluada en r c es negativa (condición de máximo

relativo).




- 33 -

( ) K

Rr

hr

T T

L

Q

ln1

)(π2

+

−= ∞

&

(2.66)

( ) h

K r

K R

r

hr

Kr hr T T

dr

L

Qd

c

r r cc

=⇒=

+

+−−−

=

∞

0ln1

11)(π2 2

&

(2.67)

Si el tamaño de la tubería es tal que R<r c, entonces la adición de aislante hasta alcanzar el radio crítico no consigue más que aumentar la pérdida de calor (Figura 2.14), lo cual puedeser contraproducente. Después de alcanzar el radio crítico la pérdida de calor comienza adisminuir. Si R>r c, cualquier adición de aislante reduce la pérdida de calor. En el caso decuerpos cilíndricos de pequeño diámetro ( D/2< r c), como es el caso de cables de alta tensión

conductores de electricidad, la adición de aislante hará aumentar la pérdida de calor (o, si lacondición inicial fuese calor transmitido constante, haría disminuir la temperatura del hilo).Por el contrario, las tuberías y conducciones de fluidos suelen tener radios mayores al radiocrítico, por lo que cualquier adición de aislante disminuye la transferencia térmica.

rrrr

Q/LQ/LQ/LQ/L

r =K/hc R>rcR<rc Figura 2.14. Variación del calor transmitido en una tubería al variar el espesor de aislamiento.




- 34 -

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