RAZONES PROPORCIONES

MAGNITUDESREGLA DE TRES

REPARTO PROPORCIONAL

María tiene 12 soles y Manuel 8 soles ¿ en cuanto excede el dinero de María a los de Manuel?

Alex tiene 120 canicas y los quiere repartir a sus cuatro hermano ¿Cuántos canicas recibe cada hermano?

¿ qué operación matemático has aplicado para dar tu respuesta?

RAZONES Y PROPORCIONES

Se llama «razón» a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer mediante una DIFERENCIA ( resta ), en tal Caso se llama «razón aritmética» o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama«razón geométrica»

La razón aritmética ( R.A ) a – b = d

La razón geométrica ( R.G )a

kb

Donde :

a : antecedente b : consecuente

Sean las R.A:

a – b = kC- d = k

a – b = c - d Se lee: «a es b como c es d»

Se llama proporción a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal, que esta dos razones son iguales.

Sea las R.G:

ak

bc

kd

a c

b d Se lee: «a es a b como c es a d»

Ejercicio de aplicación:

1. Halla la razón aritmética (por diferencia), entre los siguientes objetos, e interpreta el resultado.

a) 120 niños y 42 niñas.

………………………………………………………………………………………………………b) 82 pelotas y 72 libros

…………………………………………………………………………………………………………b) 58 mandarinas y 36 melocotones.

..................................................................................................................

2. Halla la razón geométrica e interpreta entre:

a) 20 niños y 42 niñas…......................................................................................................b) 18 pelotas y 72 libros

………………………………………………………………………………………………………………c) 27 plátanos y 36 naranjas

………………………………………………………………………………………………………………….d) 25 perros y 125 gatos

……………………………………………………………………………………………………………

a) en una bolsa con bolas blancas y negras, la razón debolas blancas a negras es de 2 a 7.b) en cierto examen, la razón entre aprobados y desaprobados.es de 4 a 3

3. Representa mediante una razón:

Desarrollo a :a : n° de bolas blancas.b : n° de bolas negras.

Quiere decir que por 2 bolas blancas hay 7 negra.

Desarrollo b :

a : n° aprobados

d : n° de desaprobados.

2

7

a

b

4

3

a

d Quiere decir que por 4 aprobados hay 3 desaprobados.

3. en cierto examen la razón entre aprobados ydesaprobados es de 4 a 3. Si desaprobaron 81 alumnos,¿cuantos aprobaron?

Desarrollo:

4

3

a

d

4

3 81

x

4.81

3x

x = 108

Desaprobaron 108 alumnos

4. Si 3 entradas de cine cuestan 21 euros, ¿Cuánto costaran 5 entradas iguales?

Respuesta : 35

5.En un salón de clase hay 38 alumnos, de de los cuales 24 son varones. Halla la razón aritmética y geométrica entre el número varones y de mujeres.

Respuesta: 12 /7

5. En un establo hay 80 vacas y 20 ovejas. Halla la razón aritmética y geométrica entre:

a) Número de vacas y de número de ovejas

Respuesta: 40 y 3

b) Numero total de animales y número de vacas.

respuesta: 20 y 4/5

c) Número total de animales y número de ovejas.

Respuesta: 60 y 4

5. Completa la tabla y haya la razón de proporcionalidad directa de cada una.

a) N° de objeto

s

1 2 5 8 9 13

costo 15 30

b)N° de cajas 1 2 3 5 7 9

N° de tarros de leche

48

c)

HORA 20 17 15 12 10 5 1

SUELDO 300

PROPORCIONES

Es la igualdad de dos razones equivalentes de la misma clase y puede ser:

I.PROPORCIÓN ARITMÉTICA ( P. A )

Es la igualdad de dos razone aritméticas.

Ejemplo:

20 – 13 = 32 - 25

En general: a – b = c - d

Donde : a , c

b , d

antecedente

Consecuente.

Término medio

Término extremo

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

La suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.

a + d = b + c

II. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA. ( P. G )

Es la igualdad de dos razones geométricas del mismo valor.

Ejemplo:

18 15

24 20

a c

b d

Donde : a y b son los antecedentes b y d son los consecuentes.

Además : a y d son los extremos c y d los medios .

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

a . d = b. c

CLASES DE PROPORCIÓN:

1.Proporción aritmética discreta: se denomina discreta o discontinua cuando sus términos medios son diferentes.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA

20 – 16 = 18 - 14

Diferentes

En general : a – b = c - d

Donde: d 4° diferencial de a, b y c

4 7

12 21 7 y 12 son diferentes.

En general: a c

b d

Donde: d es la 4° diferencial de a,b,y c

PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTÍNUA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTÍNUA

40 – 32 = 32 - 24

Iguales

En general: a – b = b - c

Donde :

C : la 3° diferencia o aritmética de a, b

b : media diferencial o aritmética de a y b.

2

a cb

12 6

6 3 Los medios son iguales

En general:

a b

b c

Donde :

C: la 3° proporcional o geométrica de a y b.

b : la media proporcional o geométrica de a y c.

.b a c

MAGNITUD

Es una propiedad de la física que puede ser medida comparado con otra de la misma naturaleza tomada como unidad. El resultado de la medición se denomina cantidad o valor de la magnitud.

MAGNITUDES UNIDAD DE MEDIDA CANTIDADES

LONGITUD metro 4m, 56 cm

MASA Kilogramo 10kg, 2gr

TIEMPO segundos 5seg; 2 horas

PROPORCIONALIDAD ENTRE DOS MAGNITUDES:

1.Magnitudes directamente proporcionales

Ejemplo:

En una imprenta, el costo por cada millar de impresión es de diez nuevos soles

a) ¿ cuál será el costo por 6 millares?

b) Grafica en un plano cartesiano.

c) ¿Los valores de los dominios y rangos son proporcionales?

MILLARES 1 2 3 4 5 6

PRECIO 10 20 30 40 50 60

1 2 3 4 5 6

10 20 30 40 50 60

millar

costo

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 60

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondiente de la otra aumentan o disminuyen en la misma proporción.La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean directamente proporcionales es que el cociente entre sus valores correspondientes sea constante.

( )

( )

valor AK

valor B

VALORES CORRESPONDIENTES

Magnitud A a1 a2 a3……. an

Magnitud B b1 b2 b3 …… bn

Se cumple: 31 2

1 2 3

... n

n

a aa a

b b b b

2.Magnitud inversamente proporcional

Ejemplo:

Para pintar un salón de clase un pintor se demora 360 minuto.

a)¿ que tiempo se demorará en pintar el salón si hay 5 pintores?

b) Grafica en un plano cartesiano

c) ¿existirá la proporcionalidad entre sus valores?

Desarrollo:

N° DE PINTORES

1 2 3 4 5

TIEMPO 360 180 120 90 72

1.360 = 2.180 = 3.120 = 4. 90 = 5. 72 =360

tiempo

pint

ores

72 90 180120 3600

1

2

3

4

5

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud A, los valores correspondiente de B disminuyen o aumentan en proporción inversa.La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales es que el producto de sus valores correspondientes sea una constante.

Valor de ( A ) . Valor de ( B ) = K (constante )

VALORES CORRESPONDIENTES

Magnitud A a1 a2 a3……. an

Magnitud B b1 b2 b3 …… bn

Se cumple: 1 1 2 2 3 3. ... n na b a b a b a b K

CONCEPTO

Es una de las aplicaciones mas usuales de la proporcionalidad. Consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o mas magnitudes proporcionales.

1.Regla de tres simpe directa:

Para abrir una zanja de 100m de largo se requiere 6 obreros.¿ Cuantos obreros se requiere para abrir otra zanja de 350m en el mismo tiempo?

Desarrollo:

Obra en metro

100 200 300 350

N° de obrero

6 12 18 21

Aplicando la regla de tres:

Magnitud directa.

Longitud N° de obreros

100 6

350 x

3506.100

x X = 21

E n general:

Magnitud A magnitud B

a1 b1

a2 x

21

1

.a

x ba

2.Regla de tres simple inversa.

Una cuadrilla de 15 obreros hace una obra en 18 días. ¿ En cuantos días se hará la misma obra una cuadrilla de 6 obreros?

N° de obreros 15 6

tiempo 18 x Inversa

15.18 = 6 x X = 45

Aplicando la regla de tres simple inversa:

N° de obreros tiempo

15 18

6 x

1518.

6x

X = 45 días

En general: A IP B

Magnitud A magnitud B

a1 b1

a2 x

11

2

.a

x ba

3.Regla de tres simple compuesta:

1.Se reconoce las magnitudes que interviene en el problema.

2.Se dispone los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubiquen un una misma columna y expresados en la mismas unidades.

3.En la primera fila ( supuesto ) se colocan los datos y en la segunda fila ( pregunta ) los demás valores incluido la incógnita.

4. La magnitud que contiene la incógnita se compara con cada una de las demás, indicando en su parte inferior si es directa ( D ) o inversa ( I )proporcional.

5. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud: en el orden en que están dispuestos, si es I.P., y en el orden invertido si es D.P.

Ejemplo:

¿qué rendimiento tienen 6 obreros que en 16 días, trabajando 9h/d, hacen de una obra cuya dificultad es como a 3, si para hacer de la misma obra, de dificultad como 5, se emplean 8 obreros con 60% de rendimiento durante 12 días a 8h/d ?

321m314m

Desarrollo:

Rendimiento. N° de obreros N° de días h/d obra dificultad

60% 8 12 8 14 5

X % 6 16 9 21 3

( I ) ( I ) ( I ) ( D ) ( D )

X = 48%

8 12 8 21 360% . . . .

6 16 9 14 5x

En general:

Magnitud A magnitud B magnitud C

a1 b1 c1

X b2 c2

D I

2 11

1 2

. .b c

x ab c

Ejercicios de aplicación.

1. Para pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó «n» soles y para pintar otro cubo de 15 cm de arista se pagó S/. 32 . Halle el valor de n.

Desarrollo:

Trabajo costo

15 cm S/. 32

5 cm n

D.P

532.15

x X = 10,70

2. Un grupo de 5 jardineros iban a podar un jardín en 6 horas. Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín?. Desarrollo:

Jardineros horas/trab.

5 6

3 xI.P

56.3

x X = 10 horas

3. Dos jardineros pueden sembrar 20 plantas ornamentales en una semana. ¿ Cuántos jardineros serían necesario para sembrar 50 plantas en 5 días?

Desarrollo:

N° de jardineros siembran días

2 20 7

X 50 5

D.P I.P

50 72. .20 5

x X = 7 personas

REPARTO PROPORCIONAL:Consiste en dividir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índice de reparto o números proporcionales. El reparto se puede efectuar en forma directa o inversamente proporcional.

1. REPARTO DIRECTO: cuando el reparto se hace directamente proporcional a un solo grupo de índice.

Ejemplo:

Un abuelo reparte 450 soles entre sus nietos de 8, 12 y 16 años de edad, proporcionalmente a sus edades.¿Cuánto corresponde a cada uno?

Desarrollo:

Sea : a, b y c las cantidades que recibe cada uno

1. El reparto es proporcional a sus edades:

8 12 16

a b c

2. Por propiedad de los razones iguales:

450

8 12 16 8 12 16 36

a b c a b c

Cada nieto recibirá:

450

8 36

a

450

12 36

b

450

16 36

c

a = S/.100

b = S/.150

C = S/. 200

2. REPARTO INVERSO:

cuando el reparto se hace inversamente proporcional a un solo grupo de índices. Para resolver este problema se considera la propiedad de magnitudes.

Ejemplo:

Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente S/.5900 . Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

Sea : a, b y c las cantidades que recibe cada uno

Desarrollo: ( método de las proporciones)

Como estos números deben de ser directamente proporcionales a 20, 24 y 32, el cociente debe ser constante:

Luego :

5900

76 20

a a = 1552, 63

5900

76 24

b b = 1863, 16

5900

76 32

c C = 2484, 21

S = 20 + 24 + 32 = 76

Sumamos los números proporcionales