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alcantarillado
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MÉTODOS DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE REDES DE
ABASTO DE AGUA
Dr. ERIC CABRERA ESTUPIÑÁN
La Habana, 9 de marzo de 2011
Redes malladasRedes malladasLas redes malladas (o también llamadas redes cerradas) son aquellas formadas por un sistema de tuberías conectadas de modo que se cierran formando circuitos.
12
3
4 5
6
78
Análisis: Consiste en determinar los Qij (en tramos) y las Hi (en nodos), supuesta la red completamente diseñada (diámetros, longitudes equivalentes, rugosidades, etc).
Redes malladasRedes malladas
C3
C8
C7
C6
Q38
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
La solución del análisis se basa en las siguientes ecuaciones:
Redes malladasRedes malladas
a) Ecuación del nudo: Resulta de imponer continuidad en cada nodo de la red
i
T
tij CQ
1
Sería la ecuación para el nudo “i”, donde la sumatoria se extiende a todos los tramos que tengan uno de sus extremos en el nodo “i”. Qij es el caudal en cada tramo [(-) si entra y (+) si sale del nodo]. Ci es el consumo exterior asociado al nodo “i”.
7786757 CQQQ
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Redes malladasRedes malladas
a) Ecuación de pérdidas: Las pérdidas localizadas y por tramos vendrán dadas por la ecuación correspondiente en la que intervendrá Qij.
nijijij QKhf
52
8
ij
ijijij Dg
LfK
Darcy-Weisbach:
852.187.4
649.10
HWij
ijij CD
LK
Williams-Hazen:
2n
852.1n
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Para una red determinada, la pérdida de energía entre dos de sus nodos es igual a la suma algebraica de las pérdidas en cada tramo del recorrido, cualquiera sea dicho recorrido.
Redes malladasRedes malladas
En particular si partimos y llegamos a un mismo nodo recorriendo completamente el circuito elemental, se cumplirá la “ecuación del circuito”.
T
tijhf
1
0 , siendo jiij HHhf
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
T
tijhf
1
0 , siendo jiij HHhf
Extendiendo la sumatoria a todos los tramos de dicho circuito y siendo este recorrido en un sentido único (por ejemplo sentido horario), de modo que hfij<0 si la dirección del caudal circulante en el tramo ij es contrario al sentido positivo escogido.
El conjunto de ecuaciones de nodo y ecuaciones de circuito definen un sistema no lineal, cuya solución proporciona los valores de Qij y Hi buscados. De ahí que la solución del caso estacionario en una red cerrada sea un problema íntimamente relacionado a los métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.
- Método de Hardy Cross (1946)
- Método de Newton-Raphson
- Método matricial
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
Se debe a Hardy Cross (1946) [“Analysis of Flow in Networks of Conduits or Conductors”, Univ. Illinois. Bull.286]. Se trata de un método numérico de aproximaciones sucesivas, el cual exige una solución inicial de caudales circulantes por los tramos de la red que cumpla las ecuaciones de nudo (continuidad).
A continuación, es calculado en cada iteración un incremento o corrección de caudal en cada circuito o malla elemental, aplicándose de modo que los circuitos queden compensados, de la forma siguiente:
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
Sean Qij y hfij el caudal y la pérdida de carga correspondiente al tramo comprendido entre el nodo “i” y el nodo “j”, de modo que:
Si el sentido real de circulación es 0, ijij hfQ “i” “j”
0, ijij hfQ Si el sentido real de circulación es “j” “i”
y sea la ecuación de pérdidas para el tramo considerado:
nijijij QKhf , que escribiremos como:
1
n
ijijijij QQKhf
conforme el criterio de signos tomado, con jiij HHhf
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
Consideremos ahora una malla genérica de la red:
Donde los caudales:
)(17
)(74
)(34
)(13 ,, KKKK QyQQQ Q13
Q34
Q74
Q17
Correspondientes a una Iteración (K) cumplen lasecuaciones del nodo, pero no verifican la ecuación de pérdida para el circuito1-3-4-7
Se introduce entonces un caudal correctivo
Q
Q
de manera que
los nuevos caudales (iteración K+1) sean:
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Se introduce entonces un caudal correctivoQ de manera que los nuevos caudales
(iteración K+1) sean:
)()(17
)1(17
)()(74
)1(74
)()(34
)1(34
)()(13
)1(13
KKK
KKK
KKK
KKK
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
(1)
Siendo Q positivo para un determinado sentido de recorrido
del circuito (por ejemplo, coincidente con el sentido horario).
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
El término Q se obtiene como sigue:
ij+1 si el sentido asumido para el tramo coincide con el horario
-1 si el sentido asumido para el tramo no coincide con el horario
Ecuación de pérdidas para el circuito:
T
tijij hf
1
0
En nuestro caso,
017743413 hfhfhfhf
Suprimimos en lo que sigue el subindice (K)
que indica el # de iteración.
En nuestro caso,
017743413 hfhfhfhf
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
01717747434341313 nnnn QQKQQKQQKQQK
0
...
...
11717
17474
13434
113131717747434341313
1171717
1747474
1343434
1131313
nnnnnnnn
nn
nnnnnn
QnKQnKQnKQnKQQKQKQKQK
QnQQK
QnQQKQnQQKQnQQK
11717
17474
13434
11313
1717747434341313
nnnn
nnnn
QnKQnKQnKQnK
QKQKQKQKQ
Para un caso general será:
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
T
t
nijij
T
t
nijijij
QnK
QKQ
1
1
1
T
t
n
ijij
T
t
n
ijijijij
QnK
QQKQ
1
1
1
1En prevención de que algún valor Qij
fuese negativo (lo cual es indicativo de haber tomado a priori un sentido equivocado para alguno de los tramos) se calcula mediante:
Se procede de igual modo en el resto de los circuitos, obteniéndose una corrección para cada uno de ellos.
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Q
Los nuevos caudales Q(K+1) se obtienen mediantes las ecuaciones del sistema (1), pero agregando también (con su signo), las correcciones en circuitos contiguos para los tramos que pertenezcan a dos circuitos. De este modo se garantiza que el nuevo conjunto de valores: )1( K
ijQ
verifiquen la ecuación de continuidad en todos los nodos, al igual que sucedía en la iteración anterior (k).
-NO SIEMPRE CONVERGE a la solución cuando el conjunto inicial de Qij se aparta mucho de la solución.
-GRAN NÚMERO DE ITERACIONES necesarias para el caso de redes grandes.
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Resolver la siguiente red por el método de Cross.
12
3
4
500l/s
700l/s
800l/s
100m
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Supongamos los siguientes sentidos y caudales iniciales:
12
3
4
0.5m3/s
0.7m3/s
0.8m3/s
100m
0.3m3/s
0.5m3/s
0.3m3/s
0.4m3/s
0.9m3/sI II
Usando la ecuación de Darcy-Weisbach para expresar las pérdidas en cada uno de los tramos en función del caudal:
2252
2 8
2 ijijijijijij
ij
ijijij QKQ
Dg
Lf
g
V
D
Lfhf
Sustituyendo los datos:
356.468;594.10;431.38;486.313;962.20 3412132314 KKKKK
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Las correcciones
III QyQ se calculan según:
T
tijij
T
tijijijij
QK
QQKQ
1
1
2
Dado que (n=2) en este caso
141434341313
141414343434131313
2 QKQKQK
QQKQQKQQKQI
131323231212
131313232323121212
2 QKQKQK
QQKQQKQQKQII
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Y los caudales en la iteración (K+1) se obtienen en función de los correspondientes a la iteración (K) según:
IKK
IIKK
IIIKK
IIKK
IKK
QQQ
QQQ
QQQQ
QQQ
QQQ
)(34
)1(34
)(12
)1(12
)(13
)1(13
)(23
)1(23
)(14
)1(14
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Los resultados obtenidos en la serie de iteraciones partiendo de la solución inicial adoptada son los siguientes:
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
Las pérdidas de carga correspondientes a estos caudales son:
mQKHHhf
mQKHHhf
mQKHHhf
mQKHHhf
mQKHHhf
77.0
97.0
32.11
28.12
09.12
234344334
212122112
213133113
223233223
214144114
Tomando H1=100m resulta:
mH
mH
mH
91.87
68.88
97.100
4
3
2
Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross
ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO
DISEDISEÑOÑO
Redes malladasRedes malladas
Problema de optimización.
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