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LA TEORA DE REDES EN INGENIERA DECONTROL: APLICACIN AL ANLISIS

DINMICO Y AL CONTROL DE PROCESOS

Luis T. Antelo, Irene Otero-Muras, Julio R. Banga,Antonio A. Alonso

Grupo de Ingeniera de Procesos, Instituto deInvestigaciones Marinas (CSIC). Eduardo Cabello, 6

36208, Vigo (ESPAA)

Resumen: Los procesos de la industria qumica, alimentaria o biotecnolgica, ascomo muchos de los mecanismos propios de la biologa de sistemas, pertenecen ala clase de los llamados sistemas de proceso. En esta contribucin se hace uso deun conjunto de resultados previos que combinan aspectos de la teora de sistemasy grafos, con mtodos de termodinmica y de redes de reaccin para as sentar lasbases sobre las que elaborar una representacion formal y generalizada de procesosen trminos de redes complejas.Esta representacin -parcialmente desarrollada por los autores- adems de unificarun amplio nmero de procesos aparentemente diversos, proporciona una sis-temtica eficiente con la que abordar los problemas de control descentralizadoy anlisis dinmico avanzado (incluyendo el anlisis de bifurcacin). Copyright c2007 CEA-IFAC.

Palabras clave: Redes Complejas, sistemas de proceso, anlisis dinmico, anlisisde bifurcacin, control descentralizado.

1. INTRODUCCIN

Desde un punto de vista global, los sistemas deproceso pueden caracterizarse como aquellos queobedecen las leyes de la termodinmica (Alonsoet al. 2004). Una planta qumica completa, unacolumna de destilacin, un reactor o una rutametablica en el interior de la clula son ejemplosde sistemas de proceso. Sin embargo, tanto suanlisis dinmico como el control y operacin destos se ha venido abordando tradicionalmente demanera descontextualizada, desaprovechando porlo tanto, muchas de las analogas y propiedadesintrnsecas que los caracterizan como sistemasde proceso. Esto es debido en gran medida a lacarencia de una representacin unificada y decarcter general para los mismos.

En algunos trabajos previos se ha abordado par-cialmente el problema de la representacin formalunificada a fin de caracterizar la estabilidad es-tructural de plantas qumicas (Hangos et al. 1999)o el control de inventarios (Farschman et al. 1998).En esta contribucin se propone una descripcinformal generalizada de los sistemas de proceso. Setrata de una herramienta conceptual que hace usode una representacin en grafos definidos por con-juntos de nodos caracterizando fases materiales, yconectados mediante una topologa definida, a suvez asociada a un sistema de ecuaciones diferen-ciales ordinarias.

Este conjunto de ecuaciones, que definen el mo-delo del sistema de proceso puede escribirse deforma general como:

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JLDIEZISSN: 1697-7912. Vol. 4, Nm. 1, Enero 2007, pp. 24-34

z = f(z, k) (1)

donde z es el vector de variables de estado yk los parmetros del sistema, o magnitudes quese mantienen constantes durante todo el proceso.Para los sistemas de proceso, la primera ley de latermodinmica, relacionada con la conservacinde propiedades, establece las ecuaciones del mo-delo correspondientes a los balances de materia,energa y cantidad de movimiento, mientras quela segunda ley de la termodinmica fija la di-reccin en la que evolucionan los estados en eltiempo, proporcionando un candidato a funcin deLyapunov (la entropa) para el anlisis dinmico(Alonso y Ydstie 2001).

Los sistemas termodinmicos fuera del equilibrioo sometidos a fuerzas externas evolucionan me-diante procesos irreversibles que producen en-tropa hacia el equilibrio termodinmico (igualdadde temperaturas, potenciales qumicos y presin).Por otra parte, los sistemas de proceso son sis-temas termodinmicos abiertos que intercambianmateria, energa o momento con los alrededoresa travs de la frontera del volumen de control(Demirel 2002). Esta interpretacin de los sis-temas basada en la termodinmica es til a la horade construir el grafo asociado, pues permite definirlos nodos como subsistemas termodinmicos y lasconexiones como las relaciones de transporte depropiedades entre los distintos subsistemas y conlos alrededores.

Los fenmenos de transporte caractersticos deesta clase de sistemas poseen un origen diverso, loque resulta en diferentes tipos de conexiones (contopologas distintas asociadas a las ecuaciones ca-ractersticas de cada fenmeno). Los fenmenosconvectivos son debidos a movimientos en masa defluidos, mientras que los fenmenos disipativos sonconsecuencia directa de choques entre partculas(Alonso et al. 2002). Los fenmenos disipativosque tienen lugar en los sistemas de proceso in-cluyen (Alonso et al. 2000):

-La difusin, gobernada por las leyes de New-ton, Fick y Fourier para el transporte conductivode momento, masa y energa, respectivamente.Estas leyes se caracterizan por ecuaciones linealescon respecto a los estados.

-La transferencia entre interfases, descritageneralmente mediante leyes empricas basadas enlas anteriores, tambin lineales con respecto a losestados.

-Las reacciones qumicas, que tambin se clasi-fican dentro de los fenmenos de tipo disipativo(Gorban et al. 2004), aunque en este caso estnregidas por una ley de tipo no lineal con respectoa los estados: la ley de accin de masas.

Los fenmenos convectivos y de transferencia pordifusin caractersticos de los sistemas de procesostienen lugar en dos escalas de tiempo diferen-ciadas, lo cual ocasiona que el grafo de la redrepresentativa de estos sistemas posea una estruc-tura jerarquizada, apareciendo subredes dentrode la red compleja principal (Antelo et al. 2007a).Este aspecto, particularmente crtico en la inter-pretacin de las redes de proceso, se describiren detalle en la seccin dedicada al formalismoterico.

Una vez que el modelo fenomenolgico de unsistema de procesos se asimila a esta descripcinen forma de red compleja, ste deja de ser una"caja gris", proporcionando tanto el significadofsico como la estructura matemtica necesariapara abordar el anlisis dinmico y el control demanera eficiente y sistemtica. A continuacin seenumeran algunas de las utilidades de la repre-sentacin generalizada propuesta en este trabajo,en varios mbitos de la ingeniera de procesos:

Modelado: Una herramienta conceptual comoes el grafo asociado a un sistema de proceso per-mite utilizar de manera ms eficiente los nuevosentornos de modelado informticos para la simu-lacin de procesos (EcosimPro, gPROMS, etc)basados en la programacin orientada a objetos.Asimismo representa un avance hacia un lenguajeunificado de modelado.

Anlisis dinmico: en un enfoque clsico, laconcepcin de los sistemas de proceso como redesde subsistemas termodinmicos interconectadossistematiza el uso de mtodos basados en la teorade Lyapunov, por ser la entropa termodinmicauna funcin de Lyapunov inherente a estos sis-temas. Adems, la entropa es una posible fun-cin de almacenaje para un anlisis de estabilidadbasado en teora de pasividad, muy til a la horade estudiar la estabilidad de sistemas a partirde las propiedades dinmicas de los subsistemasacoplados que los componen.

Desde un enfoque ms puramente estructural, laconectividad caracterstica de un grafo est rela-cionada con la dinmica de los sistemas, tal comose demuestra, por ejemplo, con la relacin entrelas conexiones en configuracin de feedback po-sitivo y la aparicin de multiplicidad de estadosestacionarios (Angeli et al. 2004). La no linealidadpresente en las conexiones relacionadas con la leyde accin de masas es la causante de patronescaractersticos, fenmenos de autoorganizacin,ciclos lmite, multiplicidades u otro tipo de com-portamientos no lineales complejos. En la seccinde aplicaciones se ilustrar cmo propiedades in-herentes al grafo de una red de reacciones deter-minan la estabilidad asinttica o la presencia decomportamiento complejo en el sistema.

MarinaText BoxL. T. Antelo, I. Otero-Muras, J. R. Banga, A. A. Alonso

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Anlisis de bifurcacin : los modelos quenos ocupan contienen parmetros que se mantienenconstantes durante todo el proceso, como sonlas difusividades, constantes cinticas, coeficientesglobales de transmisin de propiedad, etc. La pre-sencia de muchos parmetros hace que el anlisisclsico de bifurcacin no sea aplicable en la ma-yora de los casos. En la seccin de aplicacionesse muestra un nuevo mtodo (Otero-Muras et al.2006b) en el que una propiedad estructural delas redes se usa para parametrizar las ecuacionesdel modelo en funcin de un nmero reducido deparmetros. De esta manera se divide el espaciode parmetros originales en regiones con distintocomportamiento dinmico.

Control descentralizado: En la seccin deaplicaciones se ilustrar el uso de las redes deproceso y de inventario aplicadas al diseo sis-temtico de estructuras descentralizadas de con-trol

2. FORMALISMO TERICO

2.1 Jerarquas en la red asociada a un proceso

Como redes complejas, las redes de proceso serepresentan mediante un grafo jerarquizado. Acontinuacin se ilustra esta jerarqua de la redasociada a un sistema de proceso describiendo losconceptos de red de proceso, red de inventario,subredes disipativas y redes de reaccin.

Las redes de proceso (Antelo et al. 2007a, An-telo et al. 2007b) se definen como un conjuntoj=1,. . . , de regiones homogneas conectadaspor flujos de materia y energa, que a su vezpueden ser de carcter convectivo o disipativo.Las conexiones convectivas son un conjunto de flujos, que para cada nodo se denominan fj R+c(flujo de materia) y pj(fj) R+ (flujo de e-nerga). Las conexiones disipativas se representanmediante los vectores k R+dc ( k=1. . . ,c) y R+du , donde dc y du denotan las transfe-rencias de materia y energa, respectivamente. Demanera grfica, como se muestra en la Figura1, los flujos disipativos se simbolizan mediantedobles flechas continuas (transporte de materia)y discontinuas (transporte de energa), mientrasque los flujos convectivos se representan medianteuna sola flecha.

La dinmica de las redes de proceso se repre-senta formalmente mediante el siguiente sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias para la masaen moles n y la energa u:

nk = N0fk0 + Nfk + Nk +R (2)

con nk, fk R+; fk0 R+di ; k = 1, . . . , c y

V

L

J

f ,p(f )V V

f ,p(f )L L

pJ

k

Figura 1. Red de proceso para un plato genricode destilacin con intercambio de calor. Losnodos L y V indican la fase lquida y vapor,respectivamente. El nodo J corresponde a unintercambiador.

u = N0p0 + Np + N + Q (3)

con u, p R+; p0 R+di . En estas ltimasexpresiones, f0 Rdi es el vector de entradasconvectivas (y di el nmero de entradas) y lasmatrices N0 R+di , N R, N Rdcy N Rdu denotan conexiones disipativas yconvectivas. Finalmente, los trminos R y Q pre-sentes en (2)-(3) se han incluido para considerarlos efectos de las reacciones qumicas y fuentesexternas de calor, respectivamente.

Los fenmenos convectivos y de transferencia ca-ractersticos de los sistemas de proceso tienen lu-gar en dos escalas de tiempo diferenciadas. Ana-lizando, por ejemplo, lo que ocurre en la redde proceso asociada al plato de una columna dedestilacin sin intercambio de calor, se obtiene elesquema representado en la Figura 2. Para uninstante de tiempo t, el flujo convectivo introduceun paquete de fluido definido por las condicionesiniciales de dicho flujo. Entonces, se genera unfenmeno disipativo en un instante de tiempo debido a la existencia de gradientes de potencial(ya sea potencial qumico, temperatura o presin),que hace que el sistema evolucione hasta el estadode equilibrio, en el cual dichos potenciales se hacencero. Tras esto, en un instante t + , tiene lugarla descarga del primer paquete de fluido y laentrada del siguiente. En el intervalo de tiempo ,el sistema puede considerarse cerrado, existiendonicamente flujos disipativos.

Nodo L Nodo V

Nodo L Nodo V

Nodo L Nodo V

t t+

Figura 2. Escalas de tiempo asociadas al trans-porte de materia convectivo y disipativo paraun plato de destilacin.

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MarinaText BoxLa Teora de Redes en Ingeniera de Control: Aplicacin al Anlisis Dinmico y al Control de Procesos

Este hecho permite establecer una jerarqua en elgrafo de una red de proceso, a travs del conceptode redes de inventario (ver Figura 3). En An-telo y colaboradores (Antelo et al. 2007a, Anteloet al. 2007b) se define una subred disipativaD(j), como aquella subred formada por j nodosinterconectados nicamente por flujos disipativos.De esta forma, cada subred disipativa es, a su vez,un nodo de la red de inventario asociada formadapor nodos conectados nicamente mediante flu-jos convectivos.

Red Fundamental Red de Inventario

Red disipativa

Red de Reacciones

ESCALA DE TIEMPO LENTA (t)

ESCALA DE TIEMPO RPIDA (t)

k

k -

+

A,B

A B

1 2

1

2

f(1),p(f1)

f p1 1

Figura 3. Relacin jerrquica entre las subredesen una red de proceso y su relacin con lasredes de inventario.

La expresin para la red de inventario asociada a(2)-(3) es:

nI = NFI +R nI , FI ,R R+ (4)uI = NpI uI , pI R+ (5)

Ntese que la dinmica global puede representarsepor un sistema de la forma (1), en el que paracj componentes qumicos, el vector de estados zjasociado a cada nodo posee dimensin cj + 2 y esde la forma:

zj = (n1j , ..., ncj , uj)T . (6)

2.2 Estructura de las redes de reaccin

El trminoR en (4) incluye las posibles reaccionesqumicas presentes en los nodos del proceso quea su vez pueden describirse mediante una redde reacciones. sta est constituida por unconjunto de r pasos de reaccin entre c especiesqumicas, como la representada en la Figura 4.

En la teora de redes de reaccin o CRNT desa-rrollada por Feinberg, Jackson y Horn (Feinberg1979), stas se representan mediante un grafo di-rigido sobre los llamados complejos, o conjuntos

de especies qumicas que aparecen a la izquierday a la derecha de cada paso de reaccin.

A 2A

12

21

2AA

CA + B

BC 34 45

A +B C B

5443

k

k

k k

k k

Figura 4. Mecanismo de Edelstein y grafo asociadocon m = c = 5. El grafo cuenta con doscomponentes fuertemente conectados.

La relacin entre los m complejos de una redy las especies qumicas se recoge en una matrizY Rcm, cuyo componente yij es el coeficienteestequiomtrico de la especie i en el complejoj. Cada complejo de la red es un nodo en elgrafo, mientras que las reacciones irreversibles en-tre complejos se representan mediante flechas queconectan dichos nodos. Estas reacciones obedecenla ley de accin de masas; por lo tanto, cadacomplejo lleva asociada una funcin escalar de laforma:

i(x) =c

j=1

xyijj , (7)

as como un peso asociado a cada flecha que rela-ciona complejos (ver Figura 4) y que se corres-ponde con las constantes de reaccin. Los "sub-grafos aislados" que conforman una red se de-nominan componentes, y debido a la reversibilidadde la mayora de mecanismos de reaccin, sonfrecuentemente (en trminos de teora de grafos)componentes fuertemente conectados.

Siguiendo con el formalismo descrito, la dinmicade una red de reacciones se expresa mediante elconjunto de ecuaciones diferenciales:

x = Y Ak (x) (8)donde Y es la matriz estequiomtrica, (x) esel vector de monomios (7) y Ak es una matrizconstruida a partir de la matriz de adyacencia delgrafo (R) como:

Ak = R diag(RT 1 ) (9)

Los balances de materia para cada radical o es-pecie qumica fundamental Ci (i = 1, ..., s) satis-facen:

C0i = bTi x para i = 1, ..., s (10)donde los elementos del vector bi Nc representanlas unidades de Ci en cada especie, y C0i = bTi x0con x0 = x(0). La interseccin del ortante positivo(i.e. Rc+) con el conjunto de s leyes de conservacindefine el denominado simplex de reaccin:

(x0) ={x R+c /bTi (x x0) = 0, i = 1, ..., s

}(11)

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el cual representa un invariante para la dinmicade las reacciones del sistema equivalente a laregin compacta para el caso de las redes deproceso.

Es preciso destacar, por ltimo, las posibilidadesque pueden derivarse de las analogas existentesentre redes de reaccin tal y como han sido for-muladas en CRNT (Feinberg 1979), y las redesde proceso. As, las redes de proceso participande conexiones tanto reversibles (subredes disipati-vas) como irreversibles (subredes convectivas) enlas que el flujo de propiedad extensiva (masa oenerga) es proporcional al correspondiente valorde la propiedad intensiva. Por lo tanto, una vezestablecidas las relaciones entre ambos tipos deredes, es posible hacer uso de los potentes re-sultados de estabilidad desarrollados en CRNT yorientarlos al estudio de redes de proceso.

3. APLICACIONES

3.1 Propiedades dinmicas en redes de reaccin

En este apartado, y en el contexto de redes dereaccin, se pondr de manifiesto las estrechasrelaciones existentes entre la estructura del grafo,estructura dinmica de la red (8) y la naturalezade los puntos de equilibrio posibles.

3.1.1. Naturaleza de los posibles puntos de equi-librio en la red Tal y como se deduce de laexpresin (8) para la evolucin dinmica de unared de reacciones, una condicin necesaria paraque el punto x sea un estado estacionario esque, o bien el vector (x) pertenezca al espacionulo de Ak, o bien el producto Ak (x) est enel espacio nulo de Y . Por lo tanto, la regin deposibles puntos de equilibrio Y Ak (x) = 0 serelaciona con dos subespacios caractersticos. Elprimero de ellos es:

D0 = {z Rm/Ak(z) = 0} (12)

cuya base generadora se compone de un nmerode vectores no negativos igual al nmero de com-ponentes del grafo, satisfaciendo en el caso decomponentes fuertemente conectados, que cadaelemento {Xj}j=1 de la base satisface Ti Xj > 0siempre que i pertenezca al componente j, y ceroen el resto de los casos.

El segundo subespacio se define como:

D = {z Rm/z Null(Y ) Im(Ak)} (13)cuya dimensin se conoce en la bibliografa comodeficiencia de la red. Esta dimension se calculadirectamente a partir del grafo de la red de reac-ciones con la frmula = m , donde y denotan el nmero de componentes y la dimensin

del subespacio generador del simplex de reaccin,respectivamente.

Una solucin de equilibrio x del sistema (8) debesatisfacer, adems de la pertenencia de (x) a unode los subespacios descritos, la siguiente relacindeterminada por la ley de accin de masas:

ln(x) = Y T lnx (14)

Resultados de la CRNT demuestran que cualquiersolucin positiva en x D0 interseca al simplexde reaccin exactamente en un punto, que resultaser un punto de equilibrio asintticamente estable.De hecho, el Teorema de Deficiencia Cero aseguraque las redes cuya deficiencia es nula slo aceptansoluciones en D0 (el subespacio D contiene sla-mente al vector nulo) y por lo tanto el equilibrioser nico y asintticamente estable, indepen-dientemente de los valores que tomen losparmetros. Por otro lado, las redes de reaccincon deficiencia positiva pueden albergar multipli-cidades u otros comportamientos complejos, aso-ciados al subespacio D.

3.1.2. Anlisis de bifurcacin Tal y como se haexpuesto en el apartado anterior, una propiedadestructural del grafo, denominada deficiencia, esdeterminante en el comportamiento dinmico delas redes de reaccin. Esta propiedad se ha uti-lizado asimismo en la formulacin de un mtodopara detectar bifurcaciones en redes dereaccin (Otero-Muras et al. 2006b) cuyas basesse enuncian brevemente a continuacin, y que per-mitir definir los distintos rangos de parmetrosen donde aparece comportamiento complejo.

Como ya se ha indicado, una red de deficiencianula corresponder siempre a un sistema con unnico punto de equilibrio asintticamente estable,mientras que para una red con deficiencia no nulacualquier tipo de comportamiento complejo estarasociado al subespacioD. As, para las solucionespertenecientes a (13) se cumple que:

Ak (x) =

i=1

iwi (15)

con i R y wi N+m. Utilizando las ecua-ciones (14) y (15), la curva de soluciones se puedeexpresar en funcin de un nuevo conjunto deparmetros, que ser el utilizado en el anlisis debifurcacin. En este caso, el nmero de parme-tros a variar es igual a la deficiencia de la red,que por lo general ser un nmero bajo, inclusordenes de magnitud menor que el nmerode parmetros originales.

Este mtodo se ilustra sobre un ejemplo de red dereacciones conocido como mecanismo de Edelstein(ver Figura 4). La deficiencia de esta red es = 52 2 = 1, y por lo tanto el anlisis se har


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mediante la variacin de un solo parmetro.La expresin de la curva parametrizada H enfuncin de es:

H(x, p, ) = p1x1 + x21 p2x1x2 + x3

x3 p3x2 +

(16)

donde los parmetros originales se han agrupadoen p1 = k12/k21, p2 = k34/k43 y p3 = k54/k45.

De esta ecuacin se deducen las expresiones re-presentadas en la Figura 5 para x1, x2 y x3en funcin de , donde se observa que la solu-cin x R3 existe slamente para > 0 con0 = p12/4. Por otro lado, el lugar geomtricodonde la derivada de la expresin (16) se hace cero(p3 = p2x1) determina el valor crtico para quedivide las regiones del espacio de parmetros concomportamiento cualitativo distinto. Del anlisismostrado en la Figura 6 se pueden descartar,dentro de cada regin, los intervalos donde no haysoluciones positivas, y entre los intervalos dondehay soluciones positivas se comprueba si se cumpleuna condicin necesaria para la existencia de mul-tiplicidades. Dado que los puntos de equilibrioson intersecciones entre la curva de soluciones yel simplex de reaccin, se establecen condicionessobre las posiciones relativas entre el simplex y lacurva para detectar el comportamiento complejo.En el caso de las multiplicidades, stas ocurrensiempre que se cumpla que bT (H) = 0 paraalgn .

Figura 5. Multiplicidad de estados estacionarios(tres intersecciones entre la curva de solu-ciones y el simplex) para la red de Edelstein(p1 = 8.5, p2 = 1 p3 = 0.2).

En este ejemplo, esta relacin equivale a la condi-cin dx2/d = 1/(1 + p3) = dx3/d, que slose cumple (como se deduce de la Figura 6) enla regin III del espacio de parmetros (paravalores de entre 0 y ). El espacio de parme-tros est, por lo tanto, dividido en tres regionescon comportamiento cualitativo distinto (Figura6.d). Eligiendo arbitrariamente un conjunto deparmetros que pertenecen a R.III se comprueba(Figura 5) cmo las multiplicidades aparecen, dehecho, en esta regin.

Se resalta por ltimo la conveniencia de explorarprocedimientos algoritmos de bsqueda de bifur-caciones basados en la metodologa aqu expuesta.

3.2 Control descentralizado de redes de proceso

La metodologa desarrollada en (Antelo et al.2007a) permite el diseo sistemtico de estruc-turas de control a partir del desarrollo de con-troladores descentralizados robustos que asegu-ran la estabilidad global de los sistemas de pro-ceso. Para ello se combinan resultados previosque relacionan la termodinmica y la teora depasividad. Los ingredientes tericos bsicos deesta metodologa fueron establecidos por Alonso eYdstie (1996) en lo referente al diseo de controlpasivo, as como en el contexto de sistemas dis-tribuidos (Alonso y Ydstie 2001). Siguiendo unalnea de argumentacin similar, estos conceptoshan sido aplicados al control de inventarios demateria y energa (Farschman et al. 1998). Final-mente, en (Antelo et al. 2007a, Antelo et al. 2007b)se aprovecha la estructura algebraica que subyacea cada red de proceso para definir una descompo-sicin de la misma en redes fundamentales de ma-teria y energa sobre las cuales se pueden definir,de forma sencilla, lazos conceptuales de control deinventario.

3.2.1. Control de inventario A partir de lasEcuaciones (4) y (5), se disean los controladoresde inventario de materia y energa con los queasegurar que los estados de la red permanezcanen una regin compacta definida por inventariosconstantes de la forma:

(D) =

{(zj , vj)

nj=1

jD

vj = v;

jD

uj = u;

jD

ck=1

k

nkj = m

}(17)

Puesto que es sobre esta regin compacta donde laentropa alcanza un mximo para un volumen (),masa (m) y energa interna (u) total constante,sta funcin (la entropa) se puede emplear comocandidato a funcin de Lyapunov con la quedisear esquemas de control descentralizado quede forma robusta aseguren la estabilidad de losinventarios de materia y energa (Alonso y Ydstie1996, Alonso y Ydstie 2001). Dichos inventarios,que para cada nodo j D deben ser estrictamentepositivos, esto es:

j > 0; uj > 0;c

k=1

knkj = mj > 0 j D(18)

se regulan mediante controladores proporcionalesde la forma:

I = I + m (mI mI) ; pI = pI + u (uI uI)(19)

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05

0

5

10

x 1

05

0

5

10

15

20

x 2

5 0 5 10 15 2020

10

0

10

20

x 3

*0

05

0

5

10

x 1

020

10

0

10

20

30

x 2

020

10

0

10

20

30

x 3

0*

(a) p3 > p1p2 (b) p1p2 > p3 > 12p1p2

05

0

5

10

15

x 1

020

10

0

10

20

30

x 2

20 15 10 5 0 5 10 15 2020

10

0

10

20

30

x 3

*0(c) p3 < 12p1p2 (d) Regiones I, II y III

Figura 6. Soluciones de equilibrio como funcin de para las tres regiones con comportamiento cualitativodistinto (R.I, R.II and R.III) representadas en (d) en escala logartmica.

en los que I pertenece al espacio nulo de N , yn, u en (19) representan matrices de ganancias.A fin de asegurar convergencia exponencial, stasse construyen de manera tal que la parte realde los autovalores asociados a Nm y Nu seanegativa. Mediante el diseo conceptual propuestode los lazos de control de inventario, y teniendoen cuenta las Ecuaciones (4) y (5), se asegurala convergencia de los estados de la red a -verprueba de convergencia en (Antelo et al. 2007a)- ydel mismo modo la estabilidad de las variables ex-tensivas. Argumentos similares pueden emplearsepara demostrar las estabilidad de controladorescon trminos proporcional e integral (Farschmanet al. 1998)

3.3 Ejemplo de Aplicacin: Control del ProcesoTennessee Eastman

Desde que Downs y Vogel publicaron en 1993el Proceso Tennessee Eastman (cuyas siglas sonTEP) (Downs y Vogel 1993), ste ha sido amplia-mente utilizado en la bibliografa como banco depruebas debido a sus mltiples posibilidades desdeel punto de vista de la ingeniera de control: es al-tamente no lineal, inestable en lazo abierto y pre-

senta un elevado nmero de medidas y variablesmanipuladas, lo que permite un amplio conjuntode posibles estrategias de control. Por tanto, elTEP proporciona la oportunidad a los diseadoresde proponer y probar sus estrategias de control enuna base comparable. Nuestro trabajo pretende lasistematizacin del mtodo de diseo de estruc-turas de control a travs del desarrollo de contro-ladores descentralizados robustos que aseguren laestabilidad global del TEP.

La Figura 7 recoge el diagrama de flujo correspon-diente al proceso TEP, destacndose la unidadde reaccin (izquierda del diagrama) y separacin(unidades flash y stripper a la derecha del dia-grama) conectadas por un lazo de recirculacin.Este diagrama se corresponde con la red de pro-ceso mostrada en la Figura 8 en la que se integranla red de materia y energa. Cada fase presenteen el proceso se representa mediante un crculomientras que el entorno se denota por los crculosslidos.

En este punto, es preciso recordar que a cadanodo j en la red se le asocia un vector de estadoszj = (n1j , ..., ncj , uj)

T , con c = 8 (nmero deespecies qumicas) en el TEP. Los nodos y el


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Figura 7. Diagrama de flujo correspondiente al Proceso Tennessee Eastman (TEP).

entorno se conectan a travs de un conjunto den flujos convectivos de componente y energa,respectivamente. Como ejemplo de la notacindesarrollada en la Seccin 2 para las redes deproceso, en la Figura 8 se muestra tanto el flujoconvectivo de materia que abandona el nodo 1 (f1)como el flujo de energa asociado a l (p1(f1)).

Los nodos en la red tambin pueden interconec-tarse a travs de flujos disipativos de transferencia(debidos a potenciales termodinmicos) de ma-teria y energa, los cuales estn recogidos en losvectores k y , respectivamente. Grficamente,estos flujos disipativos se representan mediantedobles flechas continuas, en el caso de materia,y discontinuas, en el de energa. En la Figura8 se detallan los vectores correspondientes a latransferencia de materia existente entre los nodoslquido y vapor en el reactor (), as como loscorrespondientes a la transferencia de calor en-tre el reactor y su camisa (). En este caso, elnmero total de conexiones disipativas de materiay energa es dc = 4 y du = 3.

3.3.1. La descomposicin de la red de procesospara el caso TEP El comportamiento no linealasociado a la dinmica del TEP, y causante de lamayor parte de los problemas de estabilidad enel proceso Tennessee Eastman est relacionado,prcticamente en su totalidad, con las reaccionesqumicas que tienen lugar en el reactor. Por ello,parece conveniente la descomposicin del procesoTEP en dos secciones o subredes que integren,por una parte, la zona de reaccin, y por otrala de separacin y recirculacin a fin simplificarel procedimiento de diseo del control. En estesentido es importante destacar que asegurando, atravs de estructuras de control, la pasivacin decada una de las subredes, se asegura al pasividadde la planta completa que, por lo tanto, ser

1

2

f , p (f )

3

4

5

6

7

8

10

9

11

12 13

11 1

k

Figura 8. Red de Proceso del TEP

fcilmente estabilizable dado que la interconexinde sistemas pasivos preserva la pasividad del con-junto (Willems 1972).

A tal fin, la red de proceso correspondiente alTEP (Figura 8) se integra en una nueva red deinventarios constituida nicamente por dos nodostal y como la mostrada en la Figura 9, los cualesrepresentan las partes o secciones de reacciny separacin del sistema. El nodo R denota laseccin de reaccin y el nodo S la seccin deseparacin, respectivamente. Por otra parte, conuna mayor grado de detalle, el nodo R puederepresentarse con una nueva subred de proceso(Figura 9) con dos niveles acoplados (materia yenerga).

Del mismo modo se pueden construir subredes dede materia y energa para el caso de la seccin deseparacin, tal y como se muestra en la Figura10. Ntese que en esta figura, la torre de desti-lacin est representada por una unidad genrica

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(condensador, plato de alimentacin y caldern)que integra las diferentes fases vapor y lquidasdel sistema. Una representacin ms realista de lacolumna sera aquella constituida por N subredesequivalentes correspondiente a cada uno de losplatos de la columna de destilacin. Sin embargo,y tal como se discute en la Seccin 2.1, los in-tercambios en las subredes disipativas suceden enuna escala de tiempo considerablemente menorque la de proceso por lo que pueden considerarsede equilibrio y as concentrar todos los nodos enla representacin abreviada.

Sobre las secciones de reaccin y separacin, asdefinidas, ser sobre las que se aplicar el proce-dimiento jerrquico de diseo de la estructura decontrol.

V

J

L

C

J

V

L

C

R S

Masa

Energa

Figura 9. Red de proceso simplificada para el TEPjunto con las subredes de materia y energapara la seccin de reaccin.

R S

J D

D

S

SV

V

L

L

Figura 10. Subredes de materia y energa parala seccin de separacin. Los nodos SL ySV representan la fase lquida y vapor en elseparador. Los nodos DL y DV representanla fase lquida y vapor para un plato genricoen la torre de destilacin.

Una vez llevada a cabo esta descomposicin, y taly como se ha descrito en la seccin anterior, paracada nodo de estas subredes se disean lazos de

control de inventario capaces de mantener a lasvariables extensivas acotadas en la regin inva-riante y convexa definida por la Ecuacin (17). Endicha regin, la segunda ley de la termodinmicaproporciona una funcin (la entropa del sistema)acotada superiormente, por lo que el sistema espasivo. Dado que adems puede demostrarse queesta funcin posee una curvatura definida (de he-cho es cncava), puede emplearse como base parala construccin de funciones de Lyapunov con lasque disear esquemas de control estable (Alonsoy Ydstie 2001)

Los lazos conceptuales de control de inventariodesarrollados para las secciones de reaccin y se-paracin del proceso Tennessee Eastman se mues-tran en la Figura (11). Para el caso de la seccinde reaccin (Figura 9), y considerando el nivelde materia, es necesario mantener el inventariode materia en los nodos L y V . Para ello, elflujo total de inventario entrando en el nodo V seemplea como variable manipulada para controlarel inventario de masa en el nodo L, dado que queno existe ningn flujo de salida en este nodo. Parael caso del nodo V -Figura (9)- el nico grado delibertad disponible es su flujo de salida. Por tanto,el control de este inventario de materia en fasevapor debe realizarse mediante la combinacin deun control de la presin (que emplea como variablemanipulada este flujo de salida del nodo V ) conel control de inventario de energa (el cual se llevaa cabo mediante el flujo de energa que abandonael nodo J).

Para el caso de la seccin de separacin(Figura 10) y, ms concretamente, para el caso dela torre de destilacin, se considera que los inven-tarios de materia y energa en cada una de las fasespresentes en cada plato son autorregulables ya quese asume la condicin de equilibrio as como deflujo molar constante. Por ello, nuestra atencin secentra nicamente en el inventario de materia enel fondo de columna y en cada uno de las nodos delseparador, utilizndose los flujos de salida de cadauno de stos como variables manipuladas. Parael caso de los inventarios de energa, la vlvulade vapor presente en el caldern podra emplearsepara el control de dicho inventario en la columna.

En relacin con el separador, ntese que su tem-peratura no puede manipularse de forma directaal no disponer de ms corrientes de refrigeracin ocalefaccin en dicha seccin del proceso. Por ello,y como alternativa factible se propone el flujo deenerga a la entrada del separador como candidatoa variable manipulada.

El siguiente paso en el proceso de diseo lo cons-tituye la realizacin de los lazos conceptuales decontrol de inventario, utilizando para ello las en-tradas y salidas fsicas del proceso. El control deinventario, por s mismo, no garantiza la con-


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VJ

L

C

J

V

L

C

c

r

D

D

S

SV

V

L

L

J D

D

S

SV

V

L

L

(a) (b) (c)

Figura 11. Lazos de control de inventario propuestos: a) Niveles de materia y energa para la seccin dereaccin; b) Nivel de materia para la seccin de separacin; c) Nivel de energa para la seccin deseparacin.

vergencia de las variables intensivas a un puntode operacin deseado. As pues, son necesariosalgunos lazos extra para asegurar esta convergen-cia. A este respecto, en (Antelo et al. 2007a) seproponen estructuras de control no lineal estables.

En este punto, es importante sealar que el pro-cedimiento descrito no conduce a una nica con-figuracin descentralizada de control sino a unconjunto de alternativas de control con la particu-laridad de que todas ellas aseguran la estabilidaden el sentido entrada-salida de la planta. Puede,por lo tanto, considerarse como un procedimientoformal con el que definir el conjunto de todos losposibles candidatos de control descentralizado es-tables. Sobre este conjunto, puede elegirse aquellaconfiguracin ptima de acuerdo con un objetivodado.

Es preciso indicar que en algunos casos los gradosde libertad disponibles no son suficientes para im-plementar la estructura de control necesaria quegarantice la convergencia tanto de las variablesextensivas como de las intensivas. Es en estassituaciones donde puede resultar conveniente elempleo de las referencias de los controladores deinventario como nuevas variables manipuladas conlas que completar el diseo de la estructura decontrol descentralizado.

Por ltimo, resaltar que en aquellos procesos enlos que estn presentes reacciones qumicas, estaestructura de control no tiene porqu asegurar laestabilidad de las variables intensivas, puesto quela alta no linealidad debida a la ley de accin demasas puede provocar comportamientos comple-jos tales como fenmenos oscilatorios o mltiplesestados estacionarios (Otero-Muras et al. 2006a).En este contexto, la teora CRNT, discutida en

la Seccin 2, se revela como una herramientade utilidad en la deteccin de comportamientoscomplejos. Asimismo, y en combinacin con la sis-temtica expuesta, cabe plantearse su aplicacinen el diseo de lazos de control extra que asegurenla estabilidad global tanto de las variables exten-sivas como de las intensivas.

4. CONCLUSIONES

En este trabajo se han propuesto las bases parauna representacin formal generalizada de los sis-temas de proceso. Utilizando los conceptos desa-rrollados por los autores en trabajos previos (redesde proceso, redes de inventario, subredes disipa-tivas y redes de reacciones), as como resultadosde la termodinmica, la teora de sistemas y lateora de grafos, se establecen las jerarquas yse definen los protocolos a seguir para unificarlos niveles dinmicos existentes en un procesobajo una misma estructura formal. Asimismo,se demuestra cmo el uso de esta herramientaconceptual permite abordar diferentes problemasabiertos en el campo de la ingeniera de con-trol: el anlisis dinmico de sistemas a partir depropiedades grficas como la deficiencia, el anli-sis de bifurcacin mediante un nuevo mtodo quepermite reducir el nmero de parmetros crticosaprovechando propiedades estructurales de la redy el diseo sistemtico de estructuras de control.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen la financiacin recibida delGobierno Espaol (Proyecto MCyT PPQ2001-

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3643 y DPI2004-0744-C04-03) y de la Xunta deGalicia (PGIDIT02-PXIC40209PN).

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