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Cómo funciona la regla de la cadena de las derivadas
Sabemos cuáles son las derivadas de las funciones elementales. Sabemos también derivar la suma, la resta,
el producto y la división de dos o más funciones elementales. Pero, ¿y si tenemos la función de una función?
Por ejemplo, ¿y si tenemos ? Entonces aplicamos la regla de la cadena.
Informalmente podemos decir que la regla de la cadena consiste en ir derivando las funciones una a una, y
multiplicar todos los resultados. Por ejemplo, si tenemos , podemos derivar primero el
logaritmo y decir que la derivada de este logaritmo es (con todo lo que tenga “dentro” sin
preocuparnos) y que la derivada de es . Al multiplicar ambos resultados queda:
Vamos con otro ejemplo. Tenemos . Tenemos una raíz, y dentro de la raíz
tenemos .
La derivada de esta raíz es (recuerda: el argumento, lo de “dentro” de la función, lo dejamos
como está).
La derivada de es .
Al multiplicar ambos, nos queda
Un tercer ejemplo: supongamos que tenemos la función . Tenemos una potencia y “dentro”
de la potencia un seno (lo que está elevado a 5 es un seno). Derivamos la potencia, derivamos el seno, y
multiplicamos los resultados:
La derivada de la potencia es .
La derivada del seno es .
Formalmente decimos que si tenemos una composición de dos funciones f y g, es decir, algo como f (g (x)), su
derivada la hallamos haciendo f’ (g (x)) · g’ (x). ¿Ves con los ejemplos cómo funciona esta fórmula? Lo que
suele aparecer en los libros de texto es que si tenemos una función h que es composición de dos
funciones f y g, es decir, tal que h(x) = f (g (x)), entonces h’(x) = f’ (g (x)) · g’ (x).
¿Y si tenemos tres funciones cada una dentro de la anterior? Es decir, y si tenemos que h (x) = f (g (k (x)))?
Entonces la fórmula de la regla de la cadena sería h’ (x) = f’ (g (k (x))) · g’ (k (x)) · k’ (x). Pongamos un
ejemplo.
Tenemos . Tenemos tres funciones: una potencia, un logaritmo y un seno.
La derivada de la potencia es
La derivada del logaritmo es
La derivada del seno es
que también podríamos poner como
La regla de la cadena puede ser difícil de ver al principio, pero una vez comprendida y practicada un poco es
realmente sencilla de aplicar. Lo malo es que precisamente por eso lo más probable es que en nuestro centro
de estudios nos pidan resolver derivadas especialmente enrevesadas.
