Ejercicios de CalculoFunciones de varias variablesFundamentos Matematicos de la Arquitectura

1. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =xy

x2 + y2.

b) f(x, y) = (x2 9y2)2.

c) f(x, y) =y2

x+ y2.

d) f(x, y) = x2 y24 + y.e) f(x, y) = ln(x+ y).

f ) f(x, y) = e2xpy2 1.

g) f(x, y) =

25 x2y 5 .

h) f(x, y) =xy.

i) f(x, y) =p

(1 x2)(y2 4).j ) f(x, y) =

pln(y x+ 1).

k) f(x, y) = exy+1.

En cada caso, hacer un dibujo del dominio.

2. Dibuja, usando matlab, las graficas de las siguientesfunciones:

a) z = x.

b) z = y2.

c) z =px2 + y2.

d) z =p

9 x2 3y2.e) z =

p16 x2 y2.

3. Dibujar, usando matlab, algunas curvas de nivel de lassiguientes funciones:

a) f(x, y) = x+ 2y.

b) f(x, y) = y2 x.c) f(x, y) =

px2 y2 1.

d) f(x, y) =p

36 4x2 9y2.e) f(x, y) = eyx

2.

f ) f(x, y) = arctg(y x).g) f(x, y) = sen(x+ y).

h) f(x, y) = cos(2x+ y).

Con ayuda de las curvas de nivel, intentar esbozar lasgraficas.

4. Estudiar los lmites propuestos y discutir la continuidadde las correspondientes funciones:

a) lm(x,y)(2,1)

(x+ 3y2).

b) lm(x,y)(2,4)

x+ y

x y .

c) lm(x,y,z)(2,0,1)

xeyz.

d) lm(x,y)(0,0)

sen(xy)

xy.

e) lm(x,y)(0,0)

xy

x2 + y2.

f ) lm(x,y)(0,0)

y

9x2 y2 .

g) lm(x,y)(1,3)

6x 2yx2 + y2

.

h) lm(x,y)(0,0)

2x y22x2 + y

.

i) lm(x,y)(2,1)

ln(x2 + y2).

j ) lm(x,y)(0,0)

x3y

x6 + y2.

5. Calcular zx

y zy

en los siguientes casos:

a) z = x.

b) z = y2.

c) z =4x

3y2 + 1.

d) z = (x3 y2)1.e) z = cos2(5x) + sen2(5y).

f ) z = xex3y .

g) z = xy ln(y).

6. Para cada una de las siguientes funciones, senalar enque puntos no existe z

x:

a) f(x, y) = |x|.b) f(x, y) = |x|+ |y|.c) f(x, y) = |x|y.d) f(x, y) =

px2 + y2.

7. Calcular la pendiente de la recta tangente a la graficaz = 4x3y4 en el punto (1,1, 4) y en la direccion de losejes x e y.

8. Para las siguientes funciones, calculese la derivada par-cial que se indica:

a) z = exy;2z

x2.

b) z = x4y2;3z

y3.

c) z = 5x2y2 2x3y; 2z

xy,2z

yx.

d) z = ln

x+ y

y2

;2z

xy,2z

yx.

9. Dada f : D R R, se define el operador de Laplaceo laplaciano como:

f =2f

x2+2f

y2.

Comprobar que las siguientes ecuaciones satisfacen laecuacion de Laplace f = 0:

a) z = ln(x2 + y2).

b) z = ex2y2 cos(2xy).

10. Hallar las diferenciales totales para las siguientes fun-ciones:

a) z = x2y2 + 3xy3 2y4.b) z =

xy

x2 + 2y2.

c) z = ln(x4 y3).d) z = xy

x+y.

e) z =x

y+y

x.

f ) z = cos(x+ ln(y)).

g) z = arctg(x+ y).

h) z = xy .

i) w = x2 2xz + y3.11. Se conoce la longitud de la base x y la altura y de un

triangulo, con errores h y k respectivamente. Si h y kson pequenos, estimar mediante la diferencial el ordendel error cometido al calcular el area del triangulo.

12. Se desea determinar la aceleracion de la gravedad gmidiendo el tiempo t de caida en segundos de un cuerpoque se deja caer, partiendo del reposo, desde una alturax. Dar la formula para calcular dicha aceleracion. Six = 1m con un error del orden de 01m, y t = 045 scon un error del orden de 104 s, determinar el valorde g que se obtiene y estimar el error cometido.

13. En los siguientes apartados se pide calcular, en el pun-to P que se indica, el gradiente y las derivadas en lasdirecciones dadas por los angulos = pi/4 y = pi/6:

a) f(x, y) = 3x+ 5y; P = (0, 0).

b) f(x, y) = 3x2 + 5y2; P = (1, 1).

c) f(x, y) = x2 y2; P = (1, 2).d) f(x, y) = sen(x) + cos(y); P = (0, 0).

e) f(x, y) = ex cos(y); P = (0, pi).

f ) f(x, y) =p

2x2 + y2; P = (1, 1).

g) f(x, y) = cos(x+ y); P = (0, 0).

14. En los siguientes apartados se pide calcular, en el puntoP que se indica, el gradiente y la derivada direccionalrespecto al vector ~u dado:

a) F (x, y, z) = z2 x2 y2; P = (1, 0, 1),~u = (4, 3, 0).

b) F (x, y, z) = xyz xy yz zx + x + y + z;P = (2, 2, 1), ~u = (2, 2, 0).

c) F (x, y, z) = xz2 + y2 + z3; P = (1, 0,1),~u = (2, 1, 0).

15. En los siguientes apartados, hallar la ecuacion del planotangente a la superficie definida por z = f(x, y) en elpunto P que se indica:

a) f(x, y) = x3 2x2y + 6xy2 + piy2; P = (1, 1).b) f(x, y) = 3x2 + 4y2; P = (1, 2).

c) f(x, y) = 2 cos(x y) + 3 sen(x); P = (pi, pi/2).d) f(x, y) =

px2 + y2; P = (1, 2).

e) f(x, y) = ex cos(y); P = (1, pi/4).

f ) f(x, y) = exy; P = (ln(2), 1).

g) f(x, y) =R x2+y20 e

t2dt; P = (1, 1).

16. Determinar las derivadas parciales que se indican, usan-do la regla de la cadena:

a) z = euv2; u = x3, v = x y2; z

x,z

y.

b) z = u2 cos(4v); u = x2y3, v = x3 + y3;z

x,z

y.

c) z = 4x 5y2; x = u4 8v3, y = (2u v)2;z

u,z

v.

d) z =x yx+ y

; x =u

v, y =

v2

u;z

u,z

v.

e) w = (u2 +v2)3/2; u = et sen(), v = et cos();w

t,w

.

17. Determinar, usando la regla de la cadena, la derivadadzdt

en los siguientes casos:

a) z = ln(u2 + v2); u = t2, v = t2.

b) z = u3v uv4; u = e5t, v = sen(5t).c) z = cos(3u+ 4v); u = 2t+ pi/2, v = t pi/4.

d) z = exy; x =4

2t+ 1, y = 3t+ 5.

e) z =u

2v + w; u = t2, v =

1

t2, w =

t.

f ) z =xy2

w3; x = cos(t), y = sen(t), w = tg(t).

18. La tension electrica en los extremos de un conductoraumenta a razon de 2V/min y la resistencia disminuyea razon de 1 /min. Aplquese la formula I = E/R y laregla de la cadena para evaluar la tasa de variacion dela corriente que pasa por el conductor cuando R = 50 y E = 60V .

19. Si z = f(u) es una funcion derivable de una varia-ble y u = g(x, y) posee primeras derivadas parciales,obtengase z

xy zy

.

20. Aplquese el problema anterior para demostrar que siz = f(x/y), con f derivable, entonces z satisface larelacion:

xz

x+ y

z

y= 0.

21. Se dice que f es homogenea de grado n si:

f(x, y) = nf(x, y).

Probar que si f es homogenea y posee derivadas par-ciales primeras, entonces se verifica:

xf

x+ y

f

y= nf.

22. Para funciones de una variable, se sabe que si f (x) = 0para cada x R, entonces f es una funcion constante.Si para una funcion z = f(x, y) se tiene que z

x= 0 en

todo punto de R2, se puede deducir que f es constante?Y si f = 0 en todo punto?

23. Determinar los extremos relativos de las siguientes fun-ciones:

a) f(x, y) = x2 + y2.

b) f(x, y) = 4x2 + 8y2.

c) f(x, y) = x2 + y2 + 5.

d) f(x, y) = x2 y2 + 8x+ 6y.e) f(x, y) = 3x2 + 2y2 6x+ 8y.f ) f(x, y) = 5x2 + 5y2 + 5xy 10x 5y + 18.g) f(x, y) = (2x 5)(y 4).h) f(x, y) = 2x3 2y3 + 6xy + 10.i) f(x, y) = 3x2y 3xy2 + 36xy.j ) f(x, y) = xex sen(y).

k) f(x, y) = ey23y+x24x.

l) f(x, y) = sen(x) + sen(y).

m) f(x, y) = sen(x) sen(y).

24. Hallar el valor maximo de f(x, y) = 3x2 4y2 + 2xyen los puntos de la region cuadrada de vertices (0, 0),(0, 1), (1, 0) y (1, 1).