Representacionfunciones

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836

1

Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo:

11)(−

=x

xf

1º) Dominio. { }1)(Dom −ℜ=xf 2º) Simetrías.

⎩⎨⎧

−≠≠

−−=−

impar es No)(par es No)(

11)(

xfxf

xxf

No hay simetría. 3º) Puntos de corte.

Eje x: ⇒≠−

⇒= 01

10)(x

xf No corta el eje x.

Eje y: )1,0(110

1)0( −⇒−=−

=f

4º) Asíntotas

Asíntota vertical: 11

1lim)(lim11

=⇒±∞=−

=→→

xx

xfxx

Asíntota horizontal: 001

1lim)(lim =⇒=−

=±∞→∞±→

yx

xfxx

Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.

0)1(

10)(')1(

1)(' 22 ≠−

−⇒=→

−

−=

xxf

xxf

No tiene puntos candidatos a máximos y mínimos. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = 1

-1 – – 2)1( −x + +

)(' xf – – Siempre es decreciente excepto en x = 1. 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.

0)1(

20)('')1(

2)('' 33 ≠−

⇒=→−

=x

xfx

xf

No tiene puntos candidatos a puntos inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = 1

2 + + 3)1( −x – + )('' xf – +

Convexa en ),1( ∞ y cóncava en )1,(−∞


2

7º) Representación gráfica:

Segundo ejemplo:

1)( 2 +=

xxxf

1º) Dominio. ℜ=)(Dom xf 2º) Simetrías.

)(11)(

)( 22 xfx

xx

xxf −=+

−=+−

−=− Simetría impar

Eje de simetría perpendicular a los ejes x e y. 3º) Puntos de corte.

Eje x: )0,0(001

0)( 2 ⇒=⇒=+

⇒= xx

xxf

Eje y: )0,0(010

0)0( ⇒=+

=f

4º) Asíntotas Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales.


lim)(lim 2 =⇒=+

=±∞→∞→

yx

xxfxx


10)1(

10)(')1(

1)1(

·2)1()(' 22

2

22

2

22

2±=→=

+

−⇒=→

+

−=

+

−+= x

xxxf

xx

xxxxxf

1±=x Son puntos candidatos a máximos y a mínimos.


3

Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 1 x = 1

21 x− – + – 22 )1( +x + + +

)(' xf – + – Decreciente en ),1()1,( ∞∪−−∞ . Creciente en )1,1(− .

Máximo por tanto en x = 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

+=⇒

21,1

21

111)1( 2f

Mínimo en x = – 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒−=

+

−=−⇒

21,1

21

111)1( 2f

6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.

0)1(620)(''

)1(62

)1()1)(1(2·2)1(2)('' 32

3

32

3

42

2222=

+

−⇒=→

+

−=

+

−+−+−=

xxxxf

xxx

xxxxxxxf

60 ±== xx Tres puntos candidatos a puntos inflexión, . Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = 6− x = 0 x = 6

xx 62 3 − – + – + 32 )1( +x + + + +

)('' xf – + – + Cóncava en )6,0()6,( ∪−−∞ y convexa en ),6()0,6( ∞∪− Los puntos candidatos, son por tanto puntos de inflexión con coordenadas:

)0,0(010

0)0(0 2 ⇒=+

=⇒= fx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±±⇒±=

+±

=±⇒±=76,6

76

166)6(6 fx

7º) Representación gráfica:


4

Tercer ejemplo:

11)( 2 −

=x

xf

1º) Dominio. { }1)(Dom ±−ℜ=xf 2º) Simetrías.

)(1

11)(

1)( 22 xfxx

xf =−

=−−

=− Simetría par

Eje de simetría y. 3º) Puntos de corte.

Eje x: 01

10)( 2 ≠−

⇒=x

xf No tiene.

Eje y: )1,0(110

1)0( ⇒=−

=f

4º) Asíntotas.

Asíntotas verticales: 11

1lim)(lim 211=⇒±∞=

−=

→→x

xxf

xx

11

1lim)(lim 211−=⇒±∞=

−=

−→−→x

xxf

xx


1lim)(lim 2 =⇒=−

=±∞→∞→

yx

xfxx


00)1(

20)(')1(

2)(' 2222 =→=−

−⇒=→

−

−= x

xxxf

xxxf

0=x Punto candidato a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 1 x = 0 x = 1

x2− + + – – 22 )1( −x + + + +

)(' xf + + – – Decreciente en { }1),0( −∞ . Creciente en { }1)0,( −−−∞ . Y como se puede ver, hay un máximo en x = 0, cuyas coordenadas son:

x = 0 ( )1,0110

1)0( 2 −⇒−=−

=⇒ f


0)1(260)(''

)1(26

)1()1(2·2·2)1(2)('' 32

2

32

2

42

222≠

−+

⇒=→−+

=−

−+−−=

xxxf

xx

xxxxxxf

No hay puntos candidatos a puntos inflexión.


5

Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1 x = 1

26 2 +x + + + 32 )1( −x + – +

)('' xf + – + Cóncava en )1,1(− y convexa en ),1()1,( ∞∪−−∞ 7º) Representación gráfica:

Cuarto ejemplo:

1)(

2

+=

xxxf

1º) Dominio. { }1)(Dom −−ℜ=xf 2º) Simetrías.

⎩⎨⎧

−≠≠

−=

+−−

=−impar es No)(

par es No)(11

)()(22

xfxf

xx

xxxf

No hay simetría. 3º) Puntos de corte.

Eje x: )0,0(01

0)(2

⇒=+

⇒=xxxf

Eje y: )0,0(110

0)0( ⇒=+

=f

4º) Asíntotas.

Asíntotas verticales: 11

lim)(lim2

11−=⇒±∞=

+=

−→−→x

xxxf

xx

Asíntota horizontal: ⇒±∞=+

=±∞→∞→ 1

lim)(lim2

xxxf

xx No tiene asíntota horizontal.


6

Asíntota oblicua: 11

lim)(lim 2

2=

+==

±∞→±∞→ xx

xxfm

xx

11

lim1

lim))((lim2

−=+−

=−+

=−=±∞→±∞→±∞→ x

xxxxmxxfn

xxx

La asíntota oblicua es y = x – 1. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada.

⎩⎨⎧

−==

⇒=+

+⇒=→

+

+=

+

−+=

20

0)1(20)('

)1(2

)1()1(2)(' 2

2

2

2

2

2

xx

xxxxf

xxx

xxxxxf

Dos puntos candidatos a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 2 x = – 1 x = 0

xx 22 + + – – + 2)1( +x + + + +

)(' xf + – – + Creciente en ),0()2,( ∞∪−−∞ y decreciente en { }1)0,2( −−− . Por tanto:

Máximo x = – 2 )4,2(412

)2()2(2

−−⇒−=+−

−=−⇒ f

Mínimo x = 0 )0,0(010

0)0(2

⇒=+

=⇒ f


0)1(

20)('')1(

2)1(

)1(2)·2()1)(22()('' 334

22≠

+⇒=→

+=

+

++−++=

xxf

xxxxxxxxf

No tiene puntos candidatos a puntos de inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1

2 + + 3)1( +x – + )('' xf – +

Cóncava en )1,( −−∞ y convexa en ),1( ∞− . 7º) Representación gráfica:

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