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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
APROPIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNREAL EN UN PUNTO
Tesis presentada como requisito parcial para optar al Grado de Doctor en EducaciónMatemática.
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Autor: Raúl MorilloTutor: José Graterol
Maracay, Abril de 2017
ii
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi carácter de Tutor del Trabajo de Grado, presentado por el ciudadano:
Raúl José Morillo Gallardo, para optar al grado de Doctor en Educación Matemática,
considero que dicha Tesis reúne requisitos y meritos suficientes para ser sometido a la
presentación pública y evaluación por parte del jurado examinador que se designe.
En la Ciudad de Maracay a los 06 días del mes de Abril del 2017
Dr. José Graterol
C.I. 8.800.057
iii
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
APROPIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNREAL EN UN PUNTO
Por: Raúl José Morillo Gallardo
Tesis Doctoral Aprobada, en nombre de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, por el siguiente jurado, en la ciudad de Maracay a los
___________________ días del mes de __________________ de__________
__________________________ ________________________
Nombre y Apellido: Nombre y Apellido:
CI: CI:
________________________ ________________________
Nombre y Apellido Nombre y Apellido
C.I C.I
iv
INDICE GENERAL
PP.LISTA DE CUADROS vii
LISTA DE GRÁFICOS viii
RESUMEN ixINTRODUCCIÓN 1CAPÍTULO
I.CONTEXTO EMPÍRICO 5
Planteamiento del Problema 5Objetivos de la Investigación 16Justificación 16
II.CONTEXTO TEÓRICO 19
Antecedentes de la investigación 19Antecedentes Nacionales 20Antecedentes Internacionales 26
Fundamentación Teórica 30Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemática 31
La Noción de Organización Praxeología 33Organización Matemática 35Organización Didáctica 35Niveles de Especificación de una Organización Didáctica 37Los Momentos Didácticos 38Limitaciones desde el Punto de Vista Antropológico 40Evaluar – Desarrollar – Algunas Observaciones 41
Teoría de las Situaciones Didácticas 43Situación Didáctica 45Alcance de la Situación Fundamental 46La Situación Didáctica y los Efectos que Interrumpen laSituación Problemática 47La situación didáctica y su paradoja 47Tipologías de las situaciones didácticas 47La Teoría de las Situaciones Didácticas y el ObstáculoEpistemológico 48Características de los Obstáculos 49Las Situaciones Didácticas y los Diferentes Tipos de Obstáculos 49La Noción de Contrato Didáctico 50
Aspectos Epistemológicos del Concepto de Límite 51
v
Aspectos Cognoscitivo del Concepto de Límite 53Aspectos Instruccionales del Concepto de Límite 55Referentes Teóricos 57
Situación Didáctica 57El Concepto de Límite de una Función Real de Variable Real 58Función 59Dominio y Rango 60Función Real 60Criterio para el Cálculo del Dominio y Rango de una Función 61Definición Formal del Límite de una Función 61Teoremas Relacionados con el Límite de una Función 62Límites Laterales 64Límites Infinitos 65Asíntota Vertical 69Límite al Infinito 69Asíntota Horizontal 70Límites Indeterminados 71Asíntota Oblicua 77Continuidad y Discontinuidad de Funciones 79
III.CONTEXTO METODOLÓGICO 83
La Naturaleza de la Investigación 83Enfoque Epistemológico 85Método 85Tipo de Investigación 87Informantes Clave 88Técnicas e Instrumentos de Recolección de la Información 89Validez y Confiabilidad 90Procedimiento 91Categorización 92Triangulación 92
IV.CONTEXTO ANALÍTICO 93
Hallazgos de la Investigación 93Procesamiento de los Datos 94Filtros Epistemológicos 97Categorías Generales 109Categorías Definitivas para la Triangulación y Teorización 111Derivación Teórica Preliminar 112
vi
V. CONTEXTO GENERATIVO
Aportes Teóricos que Conforman un Modelo Alternativo para laApropiación del Concepto de Límite de una Función Real deVariable Real
113
Modelo Teórico para la Apropiación del Concepto de LFRVR 118Referentes Teóricos y Metodológicos a seguir en el Diseño yDesarrollo de un Modelo Didáctico Alternativo
119
Unidades Didácticas y Organizadores del Currículo 119La Noción de Análisis Didáctico 122El Mapa de Enseñanza Aprendizaje (MEA) de Orellana Chacín 123
Modelo Didáctico para la Apropiación del Concepto de LFRVR 127
REFERENCIAS 129
ANEXOS 133
A. Entrevista Realizada al Docente 134
B. Entrevista Realizada a los Estudiantes 136
C. Validación del Instrumento 138
CURRICULUM VITAE 141
vii
LISTA DE CUADROS
Cuadro pp.
1 Filtro Epistemológico 1: Sujeto de Estudio LFRVR1 97
2 Filtro Epistemológico 2: Sujeto de Estudio LFRVR1 101
3 Filtro Epistemológico 1: Sujeto de Estudio LFRVR2 102
4 Filtro Epistemológico 2: Sujeto de Estudio LFRVR2 105
5 Filtro Epistemológico 1: Sujeto de Estudio LFRVR3 106
6 Filtro Epistemológico 2: Sujeto de Estudio LFRVR3 108
7 Sistematización de la Categorías Generales 109
8 Triangulación de los Informantes 111
viii
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico pp.
1 Proceso de Transposición Didáctica 32
2 Dominio y Rango de la función = ( ) 60
3 Definición Formal de Límite ( , ) 61
4 Modelo Teórico para la Apropiación del Concepto de LFRVR 118
5 Organizadores Curriculares 122
6 Mapa de Enseñanza – Aprendizaje (MEA) 124
7 Mapa de Enseñanza – Aprendizaje del Límite de una FunciónReal de Variable Real
125
8 Modelo de Análisis Didáctico 126
9 Modelo Didáctico para la Apropiación del Concepto deLFRVR
127
ix
Línea de Investigación: Curiosidades Matemática y Estrategias para la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática
APROPIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNREAL EN UN PUNTO
Autor: MSc. Raúl MorilloTutor: Dr. José GraterolFecha: Abril 2017
RESUMEN
La presente investigación tiene como propósito generar aportes teóricos sobre losprocesos epistemológicos que favorecen la apropiación del Concepto de Límite deuna Función Real en un punto con Profesores de Matemática en Formación delInstituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, sede Turmero. Para el abordajeepistemológico se asumieron la Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemáticay la Teoría de las Situaciones Didácticas, con el propósito de develar dificultades,obstáculos y errores presentes en el proceso de enseñanza del Concepto de Límite deuna Función Real de Variable Real. Metodológicamente, se abordó desde elparadigma interpretativo fenomenológico, bajo el método hermenéutico dialéctico,aspectos que corresponden con el enfoque cualitativo. Los informantes clave delestudio fueron un profesor adscrito a la Coordinación de Matemática con ampliaexperiencia en el área de cálculo y dos estudiantes de la Especialidad de Matemáticacursantes de los últimos semestres. Se utilizó como técnica de recolección de lainformación, la entrevista semiestructurada y como instrumento una guía deentrevista con preguntas relacionadas de acuerdo a las respuestas obtenidas de cadaparticipante. En correspondencia con el método de investigación, la información seanalizó siguiendo los planteamientos Leal (2005) mediante la aplicación de filtrosepistémicos que tuvieron por objeto la generación de categorías, desembocando enlos hallazgos investigativos que revelaron la necesidad de generar un ModeloDidáctico Alternativo que conforme una nueva metodología para la enseñanza delConcepto de Límite de una Función Real de Variable Real en un punto.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
x
Palabras Claves: Obstáculo epistemológico, Límite de una Función Real de VariableReal, Profesores de Matemática en Formación.
1
INTRODUCCIÓN
La investigación en Educación Matemática, según a Shoenfeld tiene dos fines
principales: el primero con la finalidad de entender la naturaleza del pensamiento
matemático, la enseñanza y el aprendizaje y el segundo aplicado con el fin de usar
tales comprensiones para mejorar la instrucción de las matemáticas, por ello la
aproximación de este problema de investigación, el cual proviene de una reflexión
desde la práctica que día a día nos invita a estudiar y analizar la complejidad de la
enseñanza y aprendizaje de ciertos conceptos matemáticos.
Las nociones fundamentales del cálculo (diferencial e integral) están definidas en
términos de límites. Por lo tanto, es primordial entender este último para la
comprensión de los conceptos en cálculo, investigaciones preliminares acerca de las
dificultades que presentan los profesores de matemática en formación en la
construcción de dicho concepto evidencian la importancia de estudiar con mayor
detenimiento la construcción que ellos realizan cuando estudian los procesos y sus
aplicaciones. Por tal motivo, el primer acercamiento a la problemática fue el de
entender algunas de sus dificultades.
De esta forma, se planteó el contenido de la investigación, en la que se
consideraron dificultades de aprendizaje de los alumnos de la Especialidad de
Matemática del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín (IPREMLF) en el
estudio del concepto de límite, de un curso regular de Cálculo Diferencial. De la
exploración de sus argumentos, se determinaron algunos de los conflictos generados
durante la apropiación de la definición de Límite de una Función Real de Variable
Real en un punto.
Al respecto, la historia de las ideas matemáticas nos muestra que el concepto de
límite es complejo, manifestación de ello es la definición de límite en términos de y
como resultado de más de cien años de ensayo y error, incorporando en unas pocas
palabras el fruto de un esfuerzo persistente para dotar a este concepto de una base
matemática sólida. Sin embargo, una comprensión clara y una definición precisa de
2
los límites estuvieron bloqueadas durante largo tiempo por una dificultad
aparentemente insuperable. (Courant y Robbins, 1941, p. 342 en la ed. en español).
De la misma manera, la historia nos revela los obstáculos que tuvieron
determinados matemáticos para entender y formalizar el concepto de límite; de ahí
entonces que dificultades también se presenten en el aula, en este contexto, se
mantuvo el interés de investigar dificultades de aprendizaje y procesos de
construcción o reconstrucción del concepto de límite, en estudiantes de pregrado que
ejercerán como profesores de matemáticas y/o de cálculo.
De igual manera Sierpinska (1985) manifiesta que es conocido, aunque paradójico,
que no se puede entender la noción de límite sin haber comprendido la noción de
número real. Entonces, la pregunta que nos hacemos es ¿la construcción del concepto
de número real es prerrequisito fundamental en la construcción del concepto de
límite? Esto nos llevaría a una discusión, pero donde no la hay, es que el concepto de
función es fundamental para dicha construcción.
Además de Sierpinska, investigadores en educación matemática, como Cornu
(1981y 1994) y Tall y Schwarzenberger (1978), entre otros, se han preocupado por
identificar la problemática relativa a las dificultades que tienen los estudiantes en la
construcción del concepto de límite. Cornu y Sierpinska han relacionado estas
dificultades con aspectos históricos del concepto de límite, estableciendo así
obstáculos de corte epistemológico.
Al detectarse algunas de las dificultades de aprendizaje del concepto de límite,
varios investigadores de los ya mencionados y otros como Hauchart y Rouche (1987);
Steven (2001); Mamona-Downs (2001); Monaghan, Sun y Tall (1994); Trouche y
Guin (1996), se han interesado en plantear una posible solución al problema,
haciendo propuestas teóricas, y llevando a cabo exhaustivas experimentaciones.
En relación a esta investigación es de tipo cualitativa y ubicada en el enfoque
epistemológico interpretativo, teniendo como método el hermenéutico, con la
intención de generar un discurso matemático referente a la apropiación del concepto
de Limite de una Función Real de Variable Real en un punto que permita mejorar su
3
proceso de aprendizaje en futuros docentes de matemática que son estudiantes de
IPREMLF.
Desde el punto de vista teórico, por tratarse del estudio de un objeto matemático
concreto en el marco del Calculo Diferencial, para el desarrollo de la investigación
fue necesario, en primer lugar realizar una revisión histórica epistemológica del
concepto de limite y su evolución a lo largo de la historia desde las concepciones
geométricas del método de exhaución de Eudoxo hasta la conformación como el
límite de una función real. En segundo lugar a medida que se realizaba la
investigación, esta se fue apoyando en los constructos de las teorías: Antropológica
de Didáctica de la Matemática de Yves Chevallard y las Situaciones Didácticas de
Guy Brousseau, teorías que conforman en parte la llamada Didáctica Fundamental de
la escuela de la Didáctica Francesa.
Además de la revisión bibliográfica realizada, se tomó como referencia la
experiencia docente del investigador en la administración de las asignaturas de
Cálculo diferencial, Calculo Integral, Cálculo de Varias Variables y Cálculo de
Funciones de Variables Compleja pertenecientes a la Coordinación de Matemática
del IPREMLF, institución de educación superior donde se forman a los futuros
profesores de matemática y que sirvió como escenario para la investigación.
De acuerdo al desarrollo de la investigación, el reporte de la misma se encuentra
estructurado en cinco capítulos que se describen a continuación:
El Capítulo I, denominado Contexto Empírico, desarrolla la caracterización del
objeto de investigación, en cuanto a la problemática existente alrededor de la
definición formal del límite y la Apropiación que realiza el Profesor de Matemática
en Formación (PMEF) del concepto, enmarcándose en el campo de la investigación
de la Educación Matemática, pero centrando la investigación en la Didáctica del
Cálculo, lo que permitió plantear las interrogantes respecto a la realidad de estudio, el
sistema de objetivos y la justificación de la investigación.
El Capítulo II, titulado Contexto Teórico está integrado por los antecedentes o
investigaciones afines relacionados con la temática que se investigó, con tópicos
nacionales e internacionales, permitiendo sus aportes canalizar mejor la investigación.
4
Se abordan las teorías en cuyos constructos se fue soportando la investigación durante
su desarrollo, mediante la revisión de material impreso, libros, revistas científicas,
documentos publicados y no publicados, simposios y eventos científicos relacionados
con el estudio, exhibiendo de esta manera los referentes teóricos que se tienen
presentes durante el desarrollo de la investigación, entre los cuales se destaca los
aspectos epistemológicos, cognoscitivos e instruccionales del Límite de una Función
Real de Variable en un Punto y la importancia de este concepto en otros que
constituyen la estructura del programa de Calculo Diferencial.
El Capítulo III, titulado Contexto Metodológico, donde se describe el plan
abordado para realizar la investigación y se ubica la postura epistemológica de la
investigación, asumida desde el paradigma cualitativo, con uso de la información
recabada en los diversos momentos de la investigación, así como también el método,
escenarios, informantes claves, criterios de selección de los informantes, técnicas e
instrumentos y procedimiento de la investigación.
El Capítulo IV, denominado Contexto Crítico, se plasma lo relativo a los
obstáculos presentes en el aprendizaje y apropiación del concepto de Limite de una
Función de Variable Real en un punto, además de analizar e interpretar los resultados
a través de los rasgos más sobresalientes de la didáctica adoptada por un docente en el
desarrollo de las actividades de enseñanza del concepto Limite de una Función Real
de Variable Real y de dos (2) estudiantes cursantes de la Especialidad de matemática
del IPREMLF, en cuanto al proceso de aprendizaje de este concepto, emergiendo así
las categorías y subcategorías, por último se presentan los hallazgos investigativos
que dan origen a la derivación teórica preliminar.
El Capitulo V, titulado Contexto Generativo, se refiere a la construcción de los
aportes teóricos que conforman la aproximación teórica emergente relacionada con la
apropiación del concepto de Limite de una Función Real de Variable Real en un
punto, con la finalidad de facilitar a los docentes el diseño de estrategias didácticas,
que transformen el proceso de enseñanza de tal manera que los estudiantes logren un
aprendizaje significativo de la Definición del Límite de una Función Real.
5
CAPÍTULO I
CONTEXTO EMPÍRICO
Caracterización del Objeto de Investigación
Partiendo del hecho que el aprendizaje es una actividad humana realizada con la
intención de apoderarse de un conocimiento en un área determinada, se abre el
camino para trabajar en función del por qué no siempre se alcanza el éxito en los
distintos estudios académicos, y por qué tantas dificultades para aprender un
contenido, cómo es el caso de los obstáculos que aparecen en el estudio de objetos
matemáticos en educación universitaria de todos los tiempos.
Es conocido por el investigador, que el aprendizaje de las matemáticas por parte
de alumnos, futuro docente de matemática, es un tanto difícil y que estas dificultades
están asociadas, algunas de ellas, con el entorno académico, entendiéndose que este
último está formado por componentes tales como: profesor, materia, alumno y
currículo escolar.
Es por ello, que se abordó en esta investigación una perspectiva que hace énfasis
en el desarrollo cognitivo de los alumnos y el método de enseñanza por parte del
docente, teniendo en cuenta para ello, un análisis exhaustivo de las dificultades que
en forma de redes complejas hacen su aparición en las prácticas matemáticas,
individuales o colectivas, como síndrome de obstáculo manifiestos durante las
prácticas matemáticas que los dicentes realizan, al que a la vez se considera como la
presencia de un esquema cognitivo colindante con el currículo institucional.
Así que, para el desarrollo de esta investigación se tomó como objeto matemático,
el límite de una función real de variable real en un punto, contenido del currículo de
Cálculo Diferencial, dictado en el segundo semestre de la Especialidad de
Matemática en el Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, sede en el
Municipio Mariño, Estado Aragua, durante el II Período Académico del año 2015,
6
seleccionando un curso de dicha asignatura con el propósito de detectar las
dificultades que generan los obstáculos epistemológicos que se manifiestan, en forma
de errores, durante las prácticas que realizan los discentes al trabajar con el contenido
antes señalado, con el fin de producir conocimiento matemático.
Para ello, se analizó el origen de esas dificultades, presentes en el proceso de
apropiación del concepto de límite de una función real de variable real como
consecuencia de una posible praxis inadecuada por parte de docente. También se le
prestó atención a la noción de obstáculo, para finalmente tratar como un caso
especial los errores puestos de manifiesto por los estudiantes durante el proceso de
aprendizaje al desarrollar las prácticas con el objeto de estudio de esta investigación.
La revolución educativa, a partir de la segunda parte del siglo XX, considera el
aprendizaje como una actividad humana. En tal sentido, se ha desarrollado una
educación para las “masas” poblacionales estudiantiles contribuyendo con las
diferentes necesidades de las sociedades emergentes: Educación; económicas;
industriales; militar, entre otros.
La Educación Matemática en evolución, levanta sus banderas como disciplina,
para contribuir de manera directa con la búsqueda de técnicas y métodos de
enseñanza de la matemática que ayuden a minimizar la cantidad de errores presentes
en las prácticas realizadas por estudiantes, con el fin de optimizar los resultados
después del desarrollo de las prácticas matemáticas.
El docente de matemática es “pieza” fundamental en el proceso educativo, por
cuanto debe poseer los conocimientos didácticos matemáticos y los recursos
pedagógicos que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática.
Como lo señala Bishop (1987), al declarar, que es necesario reexaminar y
desarrollar nuevas vías de enseñanza de las matemáticas en los diferentes niveles
educativos, con el fin de preparar más y mejores investigadores que puedan crear
nuevas tendencias del pensamiento complejo. Es decir, necesario es, que los
educadores matemáticos se aboquen a promover una enseñanza basada en estrategias
didácticas, fundamentada en métodos novedosos que permitan al estudiante un
avance fácil, seguro y sin traumas, y que conduzcan al empoderamientos de nuevos
7
constructos, nuevas técnicas y nuevos aprendizaje significativo. Esto, tomando en
cuenta la experiencia de los educadores, quienes deben abordar las prácticas docentes
como la principal herramienta pedagógica bajo la dirección de metodología de
enseñanza y aprendizaje, que sirvan de fuentes de discusiones matemáticas que
generen nuevas estrategia de enseñanza de la matemática y que motiven a los
estudiantes al trabajo de aula con la idea de que adquieran habilidad, destreza,
capacidad analítica y conocimientos.
Esto, en consideración a que los estudiantes, en gran número, se “tropiezan” con
dificultades, colide con obstáculos y comenten errores en el aprendizaje de la
matemática.
Socas (1997), declara, que las dificultades que se dan en la enseñanza y
aprendizaje de la matemática se conectan en redes complejas agrupándose en cinco
categorías, y conocidas como: 1) Dificultades asociadas (D.as) a la complejidad de
los objetos matemáticos; 2) D.as a los procesos de pensamiento matemático; 3) D.as
a los procesos de enseñanza desarrollados para aprendizaje de la matemática; 4) D.as
a los procesos de desarrollo cognitivo de los discentes; 5) D.as a las actitudes
afectivas emocionales hacia la matemática.
En cuanto a D.as a la complejidad de los objetos matemáticos desde el punto de
vista de la escritura, estos se realizan mediante signos matemáticos y se leen con la
ayuda del lenguaje respectivo favoreciendo la interpretación de los mismos, y
generando, a la vez, diferentes conflictos asociados a la comprensión y a la
comunicación de dichos objetos matemáticos. Tal es el conflicto originado por las
palabras homónimas, que escribiéndose iguales tienen diferentes significados: Matriz;
raíz; primo; producto; semejante, entre otros.
También es el caso de palabras que generan confusión de conceptualización: el
canónico de una fracción; reducción de una fracción; variable de una ecuación;
hipotenusa, sólo algunas se han presentado. Igualmente, es fuente de confusión y que
genera dificultad en el aprendizaje de la matemática del estudiante está el lenguaje de
los signos, para la cual se analizan los diferentes estadios de desarrollo presentes en
los sistemas de representación cognitivos.
8
Para Socas (Ob.cit), el lenguaje matemático opera en dos niveles: Nivel semántico,
que presenta los signos con significado claro y preciso; y el nivel sintáctico, que
permite que los signos sean operados, simplemente, con reglas independientes de
otros significados: Número; funciones; límite de una función.
Siendo, que la noción límite sirve de fundamento al desarrollo del cálculo
diferencial, de las derivadas y del cálculo integral, por sus múltiples aplicaciones es
objeto de estudio en la matemática y en otras ciencias como la Física, la Química, la
Biología, y en el currículo de la Especialidad de Matemática de la UPEL-El Mácaro
Luis Fermín, la administra en el segundo semestre de dicha especialidad.
Diversos estudios indican que el concepto de límite de una función real de variable
real, es considerado como una de las nociones básicas que presentan mayor nivel de
dificultad al estudiante que se inicia en el estudio del cálculo diferencial.
Con relación a es esto, Moreno (2005) sostiene que ésta problemática siempre
existe, y aunque se enseñe a los estudiantes a resolver de forma mecánica algunos
problemas sobre límites, derivadas o integrales, los resultados estarían muy alejados
de la verdadera comprensión de los conceptos y métodos del pensamiento.
Es decir, resulta especialmente difícil el aprendizaje de esta noción debido a la
falta de comprensión de la definición y su lenta evolución hasta lo que existe hoy en
día, por lo que esta investigación concentró sus esfuerzos en detectar los errores
relacionados con la definición de límite de una función real de variable real, con su
comprensión, su escritura y con sus operaciones.
Se considerará en este trabajo los errores, según su origen, en cuatro tipos
diferentes: Errores relacionados con la lectura y la escritura del límite de una función
real de variable real; errores relacionados con su definición; errores relacionados con
su graficación; y errores de operación.
Por supuesto, que es vital tomar en cuenta la didáctica empleada por el profesor
de matemática para enseñar la noción en cuestión, y en ese contexto, Páez (2004)
señala que es probable que la metodología de la enseñanza del límite de una función
sea la causa de los errores cometidos por los estudiantes al resolver los diferentes
problemas. Otro motivo considerado en la ocurrencia de este fenómeno es al alto
9
nivel de deficiencia que tienen los estudiantes al fallar en las operaciones elementales,
tales como la factorización, la división de polinomios, la potenciación, la
racionalización, la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números
reales.
Esto sin conjeturar que la falta de conocimiento de los discentes, en cálculo
diferencial, se deba a distracción por falta de motivación, sino que la hipótesis que se
tiene de la marcada deficiencia en esta noción matemática tiene su origen en los
modelos matemáticos erróneos.
Sin embargo, los errores relacionados con la lectura y la escritura del límite de una
función real de variable real y los errores relacionados con su definición ,tienen
origen fundamentados en la persona según los postulados de Brousseau (1983), quien
señala, que los errores de orden conceptual son debido a los obstáculos cognitivos.
Éste fenómeno se manifiesta de forma muy clara en el bajo rendimiento de los
estudiantes de introducción al cálculo en educación universitaria y en las diferentes
carreras universitarias, como la Ingeniería, Arquitectura, Economía, Administración,
Física, Química, Biología, Matemática.
La situación señalada anteriormente ha motivado a proponer en esta Tesis
Doctoral un tema de investigación de carácter Cognitivo sobre la caracterización de
las dificultades detectadas en el aprendizaje del límite de una función real de variable
real en los estudiantes cursantes de Cálculo Diferencial en la formación de profesores
de Matemática del IPREM Luis Fermín, Turmero, Estado Aragua.
Por tanto, se hizo énfasis en las dificultades asociadas a los procesos de
aprendizaje que tienen que ver con los métodos de enseñanza, sin considerar para
ello, la institución escolar o el currículo de matemática, pero sí, los elementos
organizativos de las estrategias didácticas elaborada por el profesor, tomando en
cuenta: el lenguaje, que debe estar en fase con las capacidades y comprensión de los
estudiantes; las unidades (objetivos) de aprendizaje, que tienen que estar organizadas
con el criterio de la lógica matemática; el tiempo de trabajo en clase, respetando el
ritmo de evolución del aprendizaje individual; y los recursos didácticos.
10
Para completar el esquema anterior, se utilizó la información sobre los proceso de
aprendizaje, que permitió conocer el nivel de dificultades con las cuales se enfrentan
los estudiantes.
De acuerdo a lo anterior, se abordo la teoría presentada por Socas (Ob.cit), en su
Trabajo titulado: Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las
Matemáticas en la Educación Secundaria. En este contexto, el autor señala, que es
necesario:
conocer los estadios generales del desarrollo intelectual, representadocada uno de ellos por un modo característico de razonamiento y porunas tareas específicas de Matemáticas que los alumnos son capaces dehacer, constituye una información valiosa para los profesores a la horade diseñar el material de la enseñanza (p. 122).
Como lo apunta el autor de la referencia, se puede extraer del registro de las
prácticas realizadas por los alumnos, la información necesaria, pertinente y útil que
permita al docente reformular, corregir y mejorar las estrategias de enseñanza, que lo
conduzcan a elaborar nuevas estrategias metodológicas con el fin de que los discentes
alcancen las competencias teórica-prácticas.
Esto en sintonía con lo que dice Cuesta (2007), cuando declara:
muchas de las ideas que los alumnos exponen sobre la unidaddidáctica, surgen del propio contexto en que se aplica y de condicionesen que ésta se desarrolla; algunas son coincidentes con lamanifestación, antes expuesta, de dificultades en el proceso deaprendizaje y con la apreciación personal del profesor que dirigió larealización de la unidad didáctica (p. 117).
Se desprende de esta afirmación que los estudiantes producen en función de los
que reciben y de las condiciones en que realizan las prácticas, estando su aprendizaje
limitada por las dificultades presentes en el proceso de enseñanza y de las
condiciones ambientales, interpretándose a la vez que tales dificultades constituida
en forma de red generan los obstáculos que obligan a los estudiantes a cometer los
errores en el desarrollo de las prácticas.
11
No obstante, más que las dificultades asociadas a los docentes, se enfatizó en las
dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los discentes, y para
ello se utilizó el enfoque del procesamiento de información, que presenta en términos
generales, las dificultades que se dan durante el proceso de enseñanza y aprendizaje,
permitiendo estudiar los errores que tienen su origen en los obstáculos.
A este respecto, Bachelard (1938), se refiere al obstáculo epistemológico en los
siguientes términos:
Hay que plantearse el problema del conocimiento científico en términosde obstáculos. Y no se trata de considerar obstáculos externos, como lacomplejidad y la fugacidad de los elementos, ni tampoco de culpar ladebilidad de los sentidos y de la mente humana, pues es, precisamente, enel mismo acto de conocer, íntimamente, cuando surgen, como unanecesidad funcional, torpezas de entendimiento y confusiones. Es ahídonde descubriremos causas de inercia que llamaremos obstáculosepistemológicos.
Se observa en la descripción realizada por el investigador, que define obstáculo en
el contexto del desarrollo del pensamiento complejo, evitando profundizar en la fase
del aprendizaje individual, y que el nuevo conocimiento científico se construye
obviando los obstáculos externos (la complejidad), y los que nacen durante el acto de
empoderamiento del saber manifestándose en forma de inercia y generando, en
muchos casos, la regresión de las ideas.
En ese orden de ideas, sólo se considerarán los obstáculos representativos de las
estrategias didácticas para el proceso de enseñanza y aprendizaje, como son: los de
origen ontogénicos; epistemológicos.
Por tanto, los obstáculos cognitivos serán considerados en la investigación como
consecuencia de las dificultades presentes durante un proceso natural de aprendizaje,
lo que fundamentaremos en la Teoría de Piaget del equilibrio, en el que este último
existe, si el
“conocimiento es un proceso que contiene una interacción constanteentre el sujeto que aprende y el medio ambiente,… En términosgenerales, la adaptación supone una interacción entre el sujeto y elobjeto de forma tal, que el primero puede hacerse con el segundo
12
teniendo en cuenta las particularidades, y la adaptación será tanto másprecisa cuanto más diferenciadas y complementarias sean laasimilación y la acomodación” (Socas, 1997. P. 132).
De acuerdo al discurso de Piaget, se puede deducir, que el obstáculo es el
conocimiento aprendido constituyendo un constructo que el estudiante aplica para
generar respuestas en sintonía con el ambiente escolar en el que el empoderamiento
coincide con el conocimiento institucional; en caso contrario el pensamiento
matemático, en forma de conocimiento matemático está imbuido en obstáculos
epistemológicos, que se anidan en la mente de los estudiantes como obstáculos
cognitivos, los cuales se pueden considerar como productos de las vivencias escolar
de los discentes en función del proceso interno que experimenta, de manera natural,
la lógica interna de las matemáticas.
De esta manera, se dice que el conocimiento de los errores matemáticos es de gran
utilidad para el docente porque genera la información útil de parte de los alumnos
cuando ellos interpretan los problemas aplicando diferentes procedimientos para
obtener su solución.
En este caso, insistimos que el estudiante tiene un conocimiento ulterior que le
sirve para comprender, sin esfuerzo mental, un nuevo conocimiento. Por ejemplo: el
alumno es capaz de resolver una situación problemática sobre la definición de límite,
sin ayuda del docente, con sólo conocer la definición de función real de variable real,
adquiriendo así, un nuevo episteme.
Por otro lado, ese conocimiento previo del alumno produce en él modelos
temporales que fortalecen el nuevo conocimiento matemático, que en muchos casos
se convierten en obstáculos cognitivos.
Realidad esta, interesante de investigar por cuanto es conocido el hecho de la alta
deserción escolar en el ámbito universitario, como consecuencia del elevado índice de
deficiencia cognitiva que existe en el momento de la relación con el objeto de estudio,
aunado a la frágil planificación de las estrategias elaboradas por el docente para
administrar el desarrollo de la clase.
13
De esta manera, nace la inquietud del investigador de trabajar en relación a la
apropiación del concepto de límite una función real de variable real en un punto,
convencido de que dichos resultados constituyen un aporte sólido a los profesores de
matemática en formación y a la Educación Matemática en Venezuela.
Por lo que, a partir de la presente investigación se conocieron las dificultades
asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de la
matemática; y dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los
discentes, cursantes de la asignatura Cálculo Diferencial, del IPREM Luis Fermín,
Turmero, Estado Aragua, por tanto, se realizó una síntesis global sobre las
dificultades, obstáculos y errores matemáticos expresados por los alumnos durante
una entrevista semiestructurada realizada por el investigador, con el fin de recoger la
información requerida, que permitió el análisis respectivo de las diferentes
dimensiones presentes una vez caracterizados los diferentes problemas por ellos
expuestos, pasando a la fase de elaboración de las configuraciones epistémicas, a
partir de la cual se obtuvieron las premisas que me llevaron a la elaboración de
nuevos constructos, elementos fundamentales para la conformación de una nueva
teoría que sirva de base para fortalecer la deficiencia cognitiva en matemática, cuando
se trate del límite de una función real de variable real.
Como consecuencia de lo anteriormente planteado, es pertinente señalar que el
estudio desarrollado se encuentra inmerso en la Línea de Investigación Curiosidades
Matemática y Estrategias para la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática dirigida
por el Dr. José Servelión Graterol, adscrita al Núcleo de Investigación de Educación
Matemática (NIEM) de la UPEL-Maracay.
De ahí que, la importancia de la investigación radica en la generación de nuevos
constructos como un aporte a la teoría sobre las dificultades, obstáculos y errores
detectadas durante las prácticas matemáticas y manifestadas por los estudiantes en
forma de errores, que fortalecerán: el conocimiento de los alumnos; a la Educación
Matemática y al currículo matemático, como señala García (2014), al referirse al
límite en los siguientes términos:
14
La noción de límite es esencial en el desarrollo del cálculo, y sucomplejidad resulta ser fuente de dificultades tanto en la enseñanzacomo en su aprendizaje. Su carácter estructural hace del límite el ejecentral sobre el cual se construye la estructura del cálculo diferencial eintegral, además de ser un concepto básico para abordar el estudio deconceptos de distintas ramas que conforman la matemática; de igualmanera por su carácter instrumental como herramienta para la soluciónde problemas tanto en el interior de las matemáticas como de lasciencias aplicadas (p. 3).
Es decir, la evaluación de los errores presentados por los alumnos durante una
situación problema con el límite de una función real de variable real, como
conocimientos matemáticos adquiridos durante un proceso de enseñanza de la
matemática en la educación universitaria, y detectados por los profesores servirá de
herramienta pedagógica para promover un mejor aprendizaje, pasando de una
enseñanza de contenidos y aplicaciones, a una enseñanza donde la evaluación y el
diagnóstico están en primer plano como instrumentos de detección de errores. En este
contexto, Graterol (2009) sostiene que:
es importante señalar, que el equipamiento cognoscitivo es un procesoque nunca acaba, pues tiene que ver con el cúmulo de conocimientosque se va almacenado en la memoria al transcurrir o vivir ciertassituaciones que dejan una enseñanza (en este caso la resolución de unproblema matemático que puede haber dejado algún conocimientoaplicable a otro semejante o parecido). Esta adquisición deconocimiento permite comparar la información nueva con la que ya setenía, lo cual, lleva un proceso de selección entre lo bueno y lo malo(p. 189).
Aquí se nota, de manera muy clara el planteamiento narrado por el autor, cuando
afirma que es necesario la obtención previa del conocimiento en término de
prevención que permita establecer comparación entre lo correcto y los errores,
minimizando así, las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados
para aprendizaje de la matemática, y dificultades asociadas a los procesos de
desarrollo cognitivo de los discentes.
Con la antesala de la descripción realizada hasta este punto, es conveniente señalar
que el propósito de esta investigación estuvo en caracterizar las dificultades, los
15
obstáculos y los errores presentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje, que
permita ayudar a los docentes a organizar estrategias generales y específicas que
orienten en camino hacia una mejor y más efectiva enseñanza y aprendizaje del límite
de una función real de variable real, destacándose en todo caso, aquellas dificultades
que franquean el empoderamiento del conocimiento anulando los errores en las
diferente situaciones problemas con las que se enfrentan los discentes.
En concordancia con los planteamientos expuestos, la investigación da respuestas
a las siguientes interrogantes:
¿Qué concepción sobre el límite de una función real de variable real presentan los
estudiantes de Cálculo Diferencial?
¿Cuáles estrategias didácticas favorecen la apropiación del concepto de límite en
los estudiantes de cálculo diferencial?
¿Cuáles obstáculos epistemológicos presentan los estudiantes de cálculo
diferencial para apropiarse del concepto de límite?
¿En qué medida la apropiación del concepto de límite facilitará la comprensión de
otros conceptos matemáticos?
Objetivos de la investigación
Objetivo General
Generar aportes teóricos sobre los procesos epistemológicos que favorecen la
apropiación del concepto de límite de una función real en un punto en profesores de
matemática en formación del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
Objetivos Específicos
Indagar sobre las dificultades presentes en el proceso de enseñanza del límite de
una función real de variable real en los alumnos de Calculo Diferencial en el
IPREM Luis Fermín, Turmero, Estado Aragua.
Detectar los obstáculos presentes en la situación didáctica respecto al límite de
una función real de variable real durante el proceso de aprendizaje que enfrenta el
16
discente de Cálculo Diferencial en el IPREM Luis Fermín, Turmero, Estado
Aragua.
Interpretar las concepciones respecto a la definición del límite de una función real
de variable real, dadas por los alumnos de Cálculo Diferencial en el IPREM Luis
Fermín, Turmero, Estado Aragua.
Generar aportes teóricos sobre el proceso de apropiación del concepto de límite
de una función real de variable real en un Curso de Cálculo Diferencial en el
IPREM Luis Fermín, Turmero, Estado Aragua.
Justificación
Un hecho importante a tomar en cuenta reside en revisar las diferentes
investigaciones realizadas a partir de la segunda mitad del siglo XX sobre la noción
aquí planteada, y que se han realizado a nivel mundial con mucha fuerza entre los
años 2000 y 2012.
Por otro lado, son muchas las teorías, los enfoques, las líneas de investigación que
se abordan para limitar una investigación en el campo de la matemática, como
también disciplinas como es el caso de la Educación Matemática que promueve
indagar sobre la problemática planteada en la enseñanza de la matemática desde la
perspectiva de las dificultades, obstáculos y errores presentes en las prácticas escolar
contribuyendo a erradicar, o en tal caso a minimizar: la problemática cognitiva
asociada a la complejidad del objeto matemático; la problemática asociada al
pensamiento matemático; la situación problema presentes durante el proceso de
enseñanza de la matemática; y los erróneos procesos de desarrollo cognitivo de los
estudiante, generando aportes que fortalece el campo matemático, y en particular a la
Educación Matemática.
Bien conocido es, que la primera década del siglo XXI la investigación en el
campo de la Educación Matemática en el mundo y en particular en Venezuela ha
tenido un repunte importante, puesto que son muchas las investigaciones sobre
cualquier objeto matemático. Así, es oportuno señalar que las investigaciones, en
Educación Matemática, sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje, en general,
17
son abundantes. No obstante, cuando se trata de investigaciones con situaciones más
limitadas, como el caso de las investigaciones en la detección de dificultades y
obstáculos presentes durante el desarrollo de la práctica desarrollada por el alumno
hay escasas. Por tanto, es razonable investigar la práctica de los docentes de
matemática con el fin de encontrar nuevas situaciones didácticas que sirvan de
orientación didáctica para comprender la complejidad de los procesos cognitivos
asociados a los objetos matemáticos.
En esta condición, se dice, que hay que abrir espacio para los nuevos constructo
matemáticos abordados desde la Educación Matemática en el campo matemático, y
que se enriquecen con nuevas teorías, nuevos principios, nuevas estrategias
didácticas y nuevas técnicas de resolución de problemas, consistiéndose, que esta
situación justifica la presente investigación, ya que se persigue la configuración
epistémica que defina una nueva metodología de enseñanza que permita disminuir,
con tendencia a cero, el número de errores presentes en las practicas desarrolladas
por los estudiantes.
En ese sentido, los resultados de la investigación servirán de apoyo a las teorías
didácticas de la matemática, la cual promoverá aspectos teóricos a los diferentes
procesos de enseñanza y aprendizaje que serán de gran utilidad tanto a los docentes,
a los alumnos y en general, constituyéndose en nuevos constructos que formarán
parte de la Educación Matemática.
Por tanto, el siguiente trabajo investigativo abre las posibilidades a, el “saber” en
el aula de clase en la situación problema con estrategias didácticas centradas en el
estudio de las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para
el aprendizaje de la matemática, y las dificultades asociadas a los procesos de
desarrollo cognitivo de los estudiante.
Por consiguiente, la aplicación de nuevos epistemes, bajo la concepción de la
epistemología del objeto de estudio, constituye un reto en término de estrategia
didáctica de la Educación Matemática que enriquece el conocimiento matemático y
encaja en uno de los enfoques utilizados en la investigación matemática, y en el
campo de la Educación Matemática.
18
En consecuencia, se vislumbra la importancia de la presente investigación,
desarrollada en el seno del Doctorado en Educación Matemática de la UPEL-
IPRAEL, por cuanto la generación de su aporte teórico facilita al docente
herramientas pedagógicas que le permitan realizar estrategias didácticas orientadas
en la dirección de evitar en los discentes la manifestación de los errores tradicionales
en el desarrollo de las prácticas ejecutadas sobre el límite de una función real de
variable real.
Por ende, se fundamentó la investigación en el enfoque del problema y se opta por
considerar los obstáculos basados en la organización curricular que contiene
implícitamente la reflexión epistemológica y didáctica y admitiendo la concepción
que Bachelard, Brousseau y Tall (1989) tienen sobre los obstáculos al “conjeturar
que los obstáculos cognitivos son producto de la experiencia previa de los
estudiantes y del procesamiento interno de estas experiencias”
Finalmente, se concibe la presente investigación como un aporte a la Educación
Matemática en Venezuela y una herramienta pedagógica que permitirá al docente
preparar las prácticas docentes en el sentido de elaborar estrategias didácticas
aplicadas a los discentes que conduzcan a la categorización y la triangulación de los
hallazgos que orienten la elaboración de la configuración epistémica didáctica de las
dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje
de la matemática, y las dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo
de los estudiante.
19
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
Antecedentes de la Investigación
El estudio del límite de una función real de variable real en el mundo y
particularmente en Venezuela, ha tenido un repunte importante durante la última
década. Esto es debido a que las investigaciones en los últimos diez años se han
orientado metodológicamente hacia el método documental y la investigación de
campo, y en ambos casos se tiene la visión de reconocer la importancia que las
mismas tienen para la enseñanza de la matemática de manera que, las investigaciones
en nuestro país, y en el campo de la Educación Matemática permite avizorar, que el
límite de la función real de variable real es una extraordinaria herramienta
pedagógicas para enseñar introducción al cálculo en matemática, y particularmente
en el subsistema universitario.
Por tanto, la revisión bibliográfica permitió consultar diferentes fuentes
documentales, tanto de investigadores internacionales como nacionales, relacionados
con el objeto de estudio, constituyéndose así, los antecedentes de la investigación.
En ese sentido, las bases teóricas se sustentaron en la descripción de los
componentes de la Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemática y la Teoría
de las Situaciones Didácticas.
De ahí que, la investigación se apoyó en las Curiosidades Matemática y
Estrategias para la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática, para llevar a cabo el
estudio de las teorías antes citada, aplicadas al límite de la función real de variable
real, describiendo, de esta manera, las estrategias didácticas del proceso de enseñanza
y aprendizaje que permite a los estudiantes universitarios del área en cuestión,
resolver las problemáticas didácticas planteadas en dicha asignatura.
20
De acuerdo a lo anterior, es el momento de insertar coherentemente las
investigaciones efectuadas por diversos autores, tanto nacionales como
internacionales, los cuales guardan relación con el tema de estudio de la
investigación. Así tenemos, que es suficiente tomar de ellas, lo necesariamente
importante, y que permita estudiar detalladamente la enseñanza y el aprendizaje del
límite de la función real en matemática. Para ello es necesaria la revisión de fuentes
documentales, a fin de recabar la información de investigadores foráneos y propios.
Además, en esta investigación se propone organizar un estudio sobre los
fundamentos teóricos que estructuren el límite de una función real de variable real,
consistente en la búsqueda epistemológica del objeto de estudio para precisar su
origen, desarrollo, evolución y papel que desempeña en la sociedad.
Así, García (2013), en su trabajo para optar al Título de Doctor en Ciencias de la
Educación, en la Universidad Pedagógica Libertador Núcleo Maracay, inserta en la
Línea de Investigación Curiosidades Matemática y Estrategias para la Enseñanza-
Aprendizaje de la Matemática y titulada Afectividad, Axiología y Cognición en la
Didáctica de Cálculo, asume el enfoque cognitivo en Educación Matemática según
Front, privilegiando el proceso de la información y la organización de la memoria en
redes semánticas y esquemas. Para ello, aplica dos líneas de investigación del
enfoque: El Pensamiento Matemático Avanzado con la Teoría de Acción, Proceso,
Objeto, Esquema; y la Teoría de los Campos Conceptuales. Además, aplica la Teoría
Antropológica de lo Didáctico; la conceptualización del dominio afectivo; y de la
acción humana. Esto con el propósito de valorar no solo los conocimientos sino
también los sentimientos que se manifiestan en el aprendizaje del Cálculo.
Se asume como antecedente porque coincide en la Línea de Investigación, y en el
contexto teórico, campo, de formulación de tales enfoques cognitivo en Educación
Matemática según Front y la Teoría Hermenéutica.
En el precedente trabajo, el investigador aplicó el Método Cualitativo y se apoyó
en la Teoría de Acción Humana y el Método Hermenéutico. En la indagación de
Campo realizó entrevista a estudiantes y a profesores, observando algunas clases de
los docentes entrevistados. Para el análisis de la información contó con la ayuda de la
21
Teoría Fundamentada obteniendo las categorías respectivas. Y para la Triangulación
trabajó con los informantes clave y las teorías de entrada.
El objetivo propuesto por el investigador consiste en generar aportes teóricos sobre
las dificultades obstáculos y errores como base de un discurso matemático que
permita orientar el proceso de enseñanza y aprendizaje del límite de una función real
de variable real de la Matemática en el subsistema universitario.
Igualmente, Carruido (2012), en su Trabajo para optar al título de Doctor en
Educación, en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto
Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara” Núcleo Maracay, , inserta en la Línea de
Investigación “Perspectiva de la Neurociencia en la Educación Matemática” titulado:
Análisis Histórico, Epistemológico y Cognitivo del Concepto Esperanza Matemática
de una Variable Aleatoria, trata de la concepción teórica de una didáctica para la
enseñanza del concepto de Esperanza Matemática mediante un análisis histórico,
epistemológico y cognitivo de dicho objeto, con la finalidad de mejorar el proceso de
aprendizaje en dicentes que son futuros profesores de Matemática. Se asume como
antecedente debido a que aporta a la investigación aquellos criterios epistemológicos
referidos al objeto de estudio de este trabajo y que conducen a la construcción de las
configuraciones epistémicas del límite de una función real de variable real en lo
didáctico cognitivo.
En el mismo orden de ideas, el investigador propone generar constructos teóricos
sustentados en un análisis histórico epistemológico y cognitivo del Concepto
Esperanza Matemática de una Variable Aleatoria, sobre los cuales se establecerán
estrategias didáctica alternativa para la enseñanza en el contexto del subsistema
universitario, esto con el objeto de transformar el esquema tradicional de enseñanza
del docente y así mejorar el aprendizaje.
En cuanto a la metodología utilizada en la investigación, el autor se fundamenta
en modelos teóricos que toleran este estudio, tales como: enfoque del procesamiento
de información; Teoría de Piaget del equilibrio, la Teoría de la Transposición
Didáctica de Chevallard (1985); la Teoría de las Situaciones Didácticas de
Brousseau(1986); y la Teoría del Aprendizaje Significativo de Ausubel (1976). Se
22
Aplicó el Método Cualitativo y acudió al Paradigma Interpretativo para el abordaje
epistemológico. El Escenario definido fue la Universidad Pedagógica Experimental
libertador Instituto Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara.
La técnica para la recolección de datos, por una parte, los informantes clave,
docentes, quienes han dictado la asignatura en Matemática, al menos una vez en dicha
Universidad, y por la otras los estudiantes cursantes de la asignatura, a quienes se les
aplicó la Entrevista semiestructurada como técnica de recolección de información,
después de un proceso de estudio. En síntesis, según Carruido (Ob.cit), la
metodología ayudó, al investigador, a abordar la didáctica como la disciplina
pedagógica de carácter práctico y normativo que tiene por objeto específico la técnica
de la enseñanza del objeto en estudio.
Igualmente, con la intención de llenar un vacío teórico o epistemológico se
aplicaron tres modelos de organización de actividades de enseñanza que en sintonía
con las técnicas, métodos y recursos del trabajo de Carruido (Ob.cit) le permitió la
superación de las dificultades presentes en el proceso actual de enseñanza del
concepto Esperanza Matemática de una Variable Aleatoria, fortaleciendo así, el
pensamiento instruccional del docente que administra la asignatura Estadística y
Probabilidades, siendo los modelos de organización: la Unidad Didáctica; el Mapa de
Orellana (2.009).
Por otro lado, Stekman (2012), quien en su trabajo para optar al título de doctor en
Ciencias de la Educación, en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador.
Instituto Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara” Núcleo Maracay, inserta en la
Línea de Investigación “Procesos Pedagógicos y Tecnología” y titulado:
Aproximación Teórico Fenomenológica hermenéutica implicada en la Valoración
Estética de la Matemática para el Fortalecimiento de la Emocionalidad. Concibe los
aprendizajes como instrumentos fundamentales para la realización exitosa de las
actividades académicas y de la adquisición y construcción de conocimientos
matemáticos. La investigación fue desarrollada, por el autor, en el Paradigma
Cualitativo fundamentándose en los métodos hermenéutico y fenomenológico. Los
hallazgos arrojaron, en cuanto a la Enseñanza Significativa, que se manifestó interés
23
particular en la adquisición de nuevos conocimientos. De ahí, que los ejes
ordenadores de la teorización se centró en la enseñanza y aprendizaje; en la triada
didáctica; ilusión imaginaria de lo estético; y lo axiológico en la emocionalidad del
aprendizaje de matemática.
Se asume esta investigación como antecedente porque aporta nuevos elementos en
cuanto a la construcción de conocimientos científicos matemáticos; coincide con el
método cualitativo, el paradigma hermenéutico; y la emocionalidad del aprendizaje
de la matemática. Esto es, para una pedagogía con éxito en el ámbito matemático
educativo tiene que aceptar la comprensión y el respeto por parte de los componentes
del proceso de enseñanza y aprendizaje.
Por tanto, refiriéndose Stekman (ob.cit) a la Tríada Didáctica señala, que en los
proceso de sociabilización deben crearse los modelos didácticos que relacionen
docente-estudiantes-saber. Este modelo nombrado por Stekman (ob.cit) “Modelo
Transmisivo con orientación normativo” (p. 141), y trata de la sociabilización en la
que deberían trabajar los estudiantes para la apropiación de los conocimientos
impartidos por los docentes.
De igual manera Montoya (2014), quien para optar al Título de Doctor presentó
ante la Universidad Rómulo Gallegos la tesis titulada: la matemática cotidiana como
episteme sociopedagógica: una estétesis teórica del aprendizaje escolar. El
Escenario que se tomó para realizar este trabajo fue el Instituto Pedagógico Rural “El
Mácaro”, ubicado en la carretera nacional Turmero-Maracay del Estado Aragua, cuyo
propósito fue dar importancia al aprendizaje matemático según la utilidad que pueda
tener para el estudiante ese conocimiento bien sea porque lo relaciona con su
ambiente o ejemplifica con situaciones matemáticas de la vida cotidiana.
La investigación tuvo como informantes clave a dos profesores de matemáticas y
un estudiante del octavo semestre de educación integral; bajo la óptica de la
metodología cualitativa Montoya, asume una visión respecto al enfoque
fenomenológico hermenéutico que lo condujo por varias fases en la experiencia de
campo. En la primera describe el fenómeno, en la segunda busca múltiples
perspectivas pero sin llegar a juicios, la tercera fase la dedico a la búsqueda de
24
esencia y estructura como configuración creativa, la cuatro sirvió para buscar los
significados de cada informante y la última interpreta el fenómeno con todas sus
interconexiones. De la misma forma, contextualiza las situaciones matemáticas que se
trabajan en clase así como por ejemplo el lenguaje matemático usado (sin perder
rigurosidad) entre otras y la matemática motivante, acercándola a todos los
estudiantes que intervienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje para despertar
su interés.
Concluye diciendo, que la belleza de la matemática cotidiana emerge de su
contexto social, se interconecta con el aula de clase tomando como extremo del hilo
conductor al estudiante y teniendo como estación cognoscitiva al docente, para que el
mismo en su papel de agente dinamizador, transformador de una realidad y utilizando
estrategias didáctica se pasee por la escuela donde se conjugan todos los elementos de
la matemática escolar y la vida cotidiana.
La investigación representa un antecedente por el contexto donde se desarrolla, la
implementación del paradigma interpretativo vivencial y la hermenéutica, ambos
elementos buscan introducir en el contenido la dinámica de las personas estudiadas y
sus implicaciones para dar una interpretación coherente a la nueva cultura de la
innovación permanente en Educación Matemática.
También cabe señalar a Martínez (2014), con su investigación para alcanzar el
Grado de Doctor en la Universidad Rómulo Gallegos, titulando su tesis: Hermenéusis
del conocimiento profesional del formador de profesores de matemática: Una
rizomática teórica en el entramado complejo de la Educación Matemática. El
propósito de la misma fue generar una rizomática teórica sobre el entramado
complejo de la Educación Matemática para comprender la evolución del
conocimiento profesional del profesor de Matemática formador de profesores de
matemática, centrado dentro de los objetivos que persigue la Educación Matemática
que por supuesto no es convertir el aprendizaje de la matemática en un hecho
traumático que marque negativamente al estudiante, sino que por el contrario, sea un
motivo y significativo que lleve a quienes participan en los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la matemática a desear explorar cada vez más su razonamiento formal
25
para descubrir el conocimiento y hacerse del saber lógico matemático de la mano del
profesor de matemática.
El método que orientó la investigación fue el fenomenológico hermenéutico,
utilizando como técnicas de recolección de información la entrevista en profundidad,
y el análisis de textos escritos. El escenario que se escogió para la investigación fue el
Instituto Pedagógico Rural El Mácaro, ubicado en Turmero, Municipio Mariño del
Estado Aragua, para lo cual contó con tres (3) docentes informantes clave que
laboran con áreas curriculares de la especialidad de matemática. Concluye resaltando:
solo conociendo qué formación docente tenemos, podemos decidir qué tipo de
docencia quisiéramos lograr, en un futuro inmediato la docencia ya no debería mirar
al pasado, sino resignificarlo; no debería tampoco quedarse en el presente, debería en
cambio construir con un espíritu libre y gozoso un acceso hacia la docencia futura.
Más flexible, más maleable, más creativa y, sobre todo, más abierta al cambio
permanente e inmanente.
Ahora bien, la investigación tiene una relación directa porque parte de la idea que
para lograr un cambio en el quehacer educativo la enseñanza de la matemática debe
darse de manera activa, motivante y asumir que se pueden utilizar recursos
instruccionales del entorno, crear nuevos modelos, actividades y situaciones que
conduzcan al aprendizaje de la matemática explorando la aplicación de los conceptos,
principios y teorías sin olvidar la variedad de recursos disponibles en su cotidianidad.
Concluyendo la primera parte de los antecedentes nacionales se presenta el
Trabajo de García (2014), quien para alcanzar el Grado de Doctor, presentó su Tesis
Doctoral en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto Pedagógico
“Rafael Alberto Escobar Lara” Núcleo Maracay, inserta en la Línea de Investigación
Curiosidades Matemática y Estrategias para la Enseñanza-Aprendizaje de la
Matemática, titulada:“Curiosidades con el dominó para la enseñanza de la
matemática en educación Universitaria”, la investigación tuvo como propósito
generar aportes teóricos sobre los Juegos Didácticos como base de un discurso
matemático que permitió orientar el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
Matemática en el subsistema universitario.
26
El estudio se fundamentó en teorías tales como la Teoría de Juego didáctico y las
situaciones didácticas. La misma se fundamentó, en el enfoque epistemológico,
hermenéutico, y en la epistemología del dominó, utilizando como técnica para la
recolección de la información el análisis documental y la entrevista semiestructurada.
Los informantes estuvieron constituidos por cinco docentes de Upel Maracay, las
cuales fueron seleccionados de manera intencional y cinco estudiantes de la Upel-
Maracay, cursante de la asignatura Estadística Aplicada a la Educación durante el
semestre 2013-1. El objetivo de esta tesis estuvo centrado en generar aportes teóricos
sobre la teoría de juegos didácticos como base de un discurso matemático que
permitió orientar el proceso de aprendizaje en la matemática.
Además, en base a los hallazgos se generó una matriz teórica sobre el juego de
dominó que sirvió para configurar las estrategias didácticas en la matemática que
permitió caracterizar la matemática a partir de las configuraciones epistémicas del
juego de dominós, y finalmente, la construcción de un teorema matemático
caracterizado como curiosidad matemática. Se asume esta investigación por el valioso
aporte teórico que generó a la Educación Matemática con la teoría de juegos
didácticos como base de un discurso matemático que permitió orientar el proceso de
aprendizaje en la matemática y la producción final de un teorema, denominado por
investigador: “Primer Teorema de García R.C.M” (p. 208).
Siguiendo con los antecedentes, se transcribe a partir de ahora otros trabajos, con
carácter internacional, entre ellos se menciona a Lodhi (2014); Gómez (2012), y Páez
(2004).
Comencemos con Lodhi (Ob.cit), quien realizó su trabajo para optar al Título de
Doctor en el Programa de Doctorado: Formación del Profesorado: Práctica Educativa,
en la Universidad de Barcelona. España, inserta en la Línea de Investigación
“Didáctica de las Matemáticas” y titulado: El Aprendizaje de las Matemáticas de
Estudiantes Paquistaníes en Cataluña. Siendo el objetivo general: Mejorar el
rendimiento y la actitud hacia las matemáticas de los alumnos seleccionados en la
muestra, utilizando estrategias de educación adaptativa. Las bases teóricas se
27
fundamentaron en los estudios bilingües en el aprendizaje de las matemáticas, y las
competencias matemáticas para la resolución de problemas.
Su propósito consistió en estudiar, por una parte, el papel de la lengua durante la
resolución de actividades matemáticas del alumno paquistaní de Educación
Secundaria en centros de Cataluña. Esta investigación consideró un grupo de
cincuenta y dos estudiantes paquistaníes de secundaria, escolarizados en centro
educativos de Cataluña desde 2010 hasta 2014. Por otro lado, estudió las dificultades
y estrategias de esos alumnos en la resolución de problemas matemáticos en forma
individual y en grupo cooperativo.
Finalmente, analizaron los currículos matemáticos de ambos países e hicieron una
aproximación diagnóstica de competencia matemáticas del país de origen. Además,
la investigación se realizó en cuatro fases. El autor de este trabajo utilizó el
paradigma interpretativo-descriptivo, dentro de la metodología cuantitativa, la parte
realizada en Paquistán con una población de 216 estudiantes, y el método cualitativo
para los centros escolares de Cataluña y dependiendo de cada objetivo específico.
En tanto, algunas conclusiones son las siguientes: Los alumnos cambian de lengua
durante la realización de actividades matemáticas, originado, por la confianza que
tienen esos alumnos, al cambiar de lengua para resolver los problemas.
Entendiéndose que el cambio de lengua depende del tipo de actividad planteada. Las
dificultades encontradas se deben a los cambios de unidades de medida en las
operaciones con: decimales; potencias; funciones.
Se asume la investigación, puesto que aporta teorías sobre las dificultades
relacionadas con la comprensión lectora; conocimientos previos; y operatoria. Esta
investigación, buscó explicar la situación en que se encontraban los estudiantes
pakistaníes cuando aprenden matemáticas en una lengua diferente a su lengua nativa
en el sistema educativo de Cataluña. De ahí, que esté enfocada desde una perspectiva
sociocultural en el aula de clase en matemáticas, usando aspectos micrográficos con
el fin de comprender la relación entre el uso de la lengua y la situación problema en
matemáticas.
28
Finalmente, un aporte importante desprendido de esta investigación consiste en
conocer las dificultades a las que se enfrentan los discentes durante la resolución de
problemas matemáticos y sus estrategias alternativas de resolución.
También será de un valor extraordinario la investigación realizada por Gómez
(2012), quien presentó su Tesis Doctoral en la Universidad de Valladolid, España
titulada: El proceso de Certificación de Competencias Profesionales del Formador
Ocupacional: Un Estudio Comparado entre España y México. Dicho trabajo giró en
torno a la revisión de cómo se realiza un proceso de certificación de competencias
profesionales en España y México, y se llevó a cabo mediante una revisión histórica
de la formación profesional educativa.
Siendo, que el proceso de investigación realizado esté ubicado en paradigma de la
Investigación Holística dentro de una investigación comparada. Por otro lado, se
realizó una revisión e interpretación hermenéutica del tema en estudio, así como, un
estudio de campo que incluyó la entrevista y encuestas realizadas a las personas que
aportaron información en calidad de informantes clave. Por ende, el objetivo general
de la investigación quedó escrito como sigue: Comparar el proceso de certificación de
competencias laborales de la figura del formador ocupacional entre México y España
para identificar las similitudes y diferencias en ambos contextos.
Así mismo, la investigadora justificó su trabajo, señalando, que fue su
participación en una Institución de capacitación para el trabajo donde se impartía
cursos de didáctica a maestros, lo que la llevó a realizar su propia certificación de
competencias docentes.
En ese sentido, realizó aportaciones a la teoría de validación de competencias
profesionales, formación ocupacional y culminación del proceso formativo en
España.
Además, la investigación se llevó a cabo mediante el sondeo documental dentro
del método cuantitativo, y para lograr el objetivo general analizó los modelos de
competencias profesionales españoles y usó el paradigma cualitativo, y como
instrumento hizo hincapié en las Normas Técnicas de Competencias Laboral
aplicadas en México.
29
Para ello, utilizó la entrevista, y aplicó el guion de entrevista, incluyendo las
categorías emergentes, análisis, categorizando el producto de la entrevista. Por tanto,
para esta parte de la investigación trabajó con el método cualitativo, y bajo la
conducción de la fenomenología hermenéutica realizada sobre el producto de las
entrevista a los diferentes informantes, se puede señalar, que la formación de las
personas para la adquisición de las competencias profesionales se vuelve necesaria
para preparar a la persona en oficios, como es el caso del educador.
Ahora bien, se asume el trabajo para la presente investigación, porque se
desprende como en efecto ocurrió, que el autor logró poner a la disposición de la
didáctica una estructura teórica que contuvo los elementos básicos y una
configuración epistémica de la didáctica en el proceso de certificación de
competencias profesionales del formador ocupacional
Finalmente, consideremos a Páez (Ob.cit) quien para alcanzar el Grado de Doctor,
presentó su Tesis Doctoral en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del IPN, Unidad Distrito Federal. Departamento de Matemática Educativa. España, y
titulada: Proceso de Construcción del Concepto de límite en un Ambiente de
Aprendizaje Cooperativo, Debate científico y Autorreflexión. La importancia de esta
investigación radica, para este autor, en las dificultades que presentan los estudiantes
de enseñanza universitaria en la construcción del concepto de límite y sus
aplicaciones, tuvo como propósito analizar la profundidad, dificultades de aprendizaje
detectados en los estudiantes, debido a lo difícil de los conceptos matemáticos, y los
factores que intervienen en su enseñanza.
Por otro lado, la investigación está diseñada en una perspectiva de la construcción
de conceptos, dentro de un enfoque semiótico. Además, tiene como Objetivo General:
generar un conflicto cognitivo en los estudiantes universitarios, alumnos de
Introducción al Cálculo, con la idea de organizar una discusión que indujera a un
cambio de pensamiento.
Se asume la investigación porque aborda las concepciones de límite que presentan
algunos estudiantes universitarios en el área del cálculo, y el avance del proceso de
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construcción del concepto de límite por parte de los alumnos de cálculo, frente a
situaciones adversas en un ambiente de aprendizaje cooperativo.
A este respecto, utilizó como paradigma los obstáculos epistemológicos lo que
permitió el estudio de las ideas matemáticas, igualmente aplicó la perspectiva teórica
de los sistemas de representación semiótica. Por su parte, el diseño de la investigación
fue de carácter experimental mediante una metodología renovada de aprendizaje
cooperativo, ejecutada en tres momentos: Diseño de Actividades: Debate científico y
autorreflexión; utilización de las representaciones gráficas, numéricas y algebraicas.
Otro momento consistió en la recolección de la información, y como instrumento
se usaron: Cuestionarios diagnósticos; sesiones de clases y actividades tales como:
reportes escritos; examen final; entrevistas, y el último momento consistió en analizar
la información. En este caso, para la información oral se usó la técnica de la
entrevista aplicando como instrumento la entrevista semiestructurada, y para el
análisis de la información se hizo uso del método cualitativo.
No así, se aplicó sólo el método cualitativo, sino que también en la investigación
se utilizó la metodología de enseñanza dentro de un método cuantitativo,
permitiéndolo al autor de este trabajo, integrar aspectos metodológico del debate
científico en la discusión general, siendo este, uno de los aportes de esta
investigación, “ Metodología en un ambiente de aprendizaje cooperativo” (Páez,
2004. P. 275), herramienta útil para examinar la complejidad del concepto del límite
de una función real de variable real, cuando los estudiantes de introducción al cálculo
entran en conflictos cognitivos, ambiente de aprendizaje necesario que permite al
docente detectar las dificultades presentes en la praxis.
Fundamentación Teórica
Un hecho importante a tomar en cuenta, es el contenido teórico que fundamentó la
investigación, de ahí que se dirá que la misma descansa sobre: La Teoría
Antropológica de Didáctica de la Matemática; las Situaciones Didácticas; y Los
Campos Conceptuales. Así mismo, se tiene como un aporte importante los esfuerzos
que está haciendo la investigación en Didáctica de la Matemática para articular las
31
facetas epistemológicas, cognitivas e instruccionales puestas en juego durante el
proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática.
Por otro lado, la certeza justifica el abundante conocimiento intrínseco en estas
teorías, la cual sirvió de sustento a la construcción del trabajo, cuyo contenido giró
alrededor del profesor y el alumno. Así, que en la actual investigación se
consideraron los métodos y técnicas presentes en esas teorías, siempre y cuando, se
ajusten a búsqueda de las dificultades permanentes en los procesos de enseñanza y
aprendizaje, y que contribuya a la distribución, análisis e interpretación de los
hallazgos.
Finalmente, para llevar a cabo la investigación se realizó un gran esfuerzo tanto
para la revisión documental como para la recolección de la información a partir de los
informantes clave, quienes dieron su versión acerca de los planteamientos hechos por
el investigador, registrando dicha información mediante la técnica de la entrevista, y
usando como instrumento la entrevista semiestructurada, lo que orientó la
organización de las respuesta en marcas, código; categorías; y sub categorías.
En otras palabras, para desarrollar la investigación se elaboró un cronograma de
actividades sobre el contenido propio de la Matemática y la definición del límite de
una función real de variable real. Dicho cronograma estuvo conformado de dos
actividades a la que accedieron tanto profesor como alumnos que participaron en la
experiencia.
Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemática
El máximo exponente de la Teoría es Chevallard (1992), él y sus colaboradores
definen la situación matemática como una actividad humana cuyos principios están
orientados a consolidar la didáctica de los saberes científicos, ya que partiendo del
concepto de transposición didáctica muestra el camino de la enseñanza usando para
ello el proceso cognitivo. Esta teoría afirma, que para una comunidad matemática un
objeto matemático existe, sí al menos uno de sus miembros acepta que dicho objeto
existe.
32
Por otro lado, la actividad matemática se fundamenta en la construcción de
organizaciones matemáticas constituidas por los siguientes componentes: Problemas
o tipos de tareas; las técnicas que permiten resolver los diferentes problemas;
tecnología que fundamentan a las técnicas explicándolas. En consecuencia el papel
central del docente consiste en la elaboración de organizaciones matemáticas, y el rol
del discente está, precisamente, en la reconstrucción de esa organización.
En ese sentido, el proceso mediante el cual los saberes se adaptan a los diferentes
medios, es el proceso de transformación del saber matemático erudito, al saber
matemático a enseñar en el aula, es lo que Chevallard (ob.cit) denomina transposición
didáctica, y que define como “el conjunto de las transformaciones que sufre un saber
con el fin de ser enseñado”. Esa transposición didáctica se refiere al proceso de
transformación adaptativa a la que se somete una obra matemática para ser estudiada
en el seno de una institución didáctica, siendo su representación según De Faría
(2006) como sigue:
Grafico 1. Proceso de Transposición Didáctica. De Faría (2006)
Así mismo, en la Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemática (TADM)
Chevallard (1989), la centra en la dimensión institucional del conocimiento
Saber del alumno
Saber enseñado
Saber Institucionalizado
Saber
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matemático; pone la actividad matemática, y por tanto, la actividad de estudio de la
matemática en el conjunto de la actividad humana y de las instituciones sociales.
Además, hablar de didáctica de las matemáticas, supone hablar de las matemáticas,
de los alumnos, los profesores, los manuales, los libros de textos entre otros.
La Noción de Organización Praxeológica
Para Chevallard (1991), desde la tradición pragmática “Objeto matemático” es un
emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que
se desglosan en diferentes registros semióticos: Registro oral (palabras), Registro
gestual (grafismo, formulismo, cálculos, entre otros)
El praxema es un objeto material ligado a la práctica el objeto es un emergente de
sistema de praxemas. En este sentido se tiene, en primer lugar; la noción de la
praxeología. En segundo término; los tipos de tareas: la tarea t, y los tipos de tareas,
T. Una tarea t (y el tipo de tareas asociado) se expresa por un verbo, como por
ejemplo: subir una escalera. Así, subir una escalera es un tipo de tarea t, pero subir
simplemente, no lo es. Igualmente, los tipos de tareas T, son “artefactos”, “obras”,
construcciones institucionales, cuya reconstrucción en tal institución es un problema
completo, que es el objeto mismo de la didáctica. Por otro lado, la antropología señala
que las técnicas no son herramientas para el análisis de la cognición del sujeto sino
que la cognición se interpreta en un sentido institucional.
Por lo tanto, son herramientas de tipo epistémico, no cognitivo. Por ejemplo
alrededor de un tipo de tarea T se encuentra una terna formada por una técnica τ, por
una tecnología de τ ( θ), y por una teoría de θ (§). Por ende, la terna (τ, θ, §)
constituye una praxeología relativa a un único tipo de tares T. (praxeología puntual).
Así se tiene, que una praxeología es un bloque a) práctico-técnico [T/ τ] (saber-
hacer), b) Tecnológico - teórico [T / §]. (Saber). Siendo los constituyentes de las
tecnologías y las teorías: los conceptos. Así mismo, la tecnología es un discurso
racional sobre la técnica, discurso cuyo primer objetivo es justificar “racionalmente”
la técnica, para asegurar que se realicen las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que
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se pretende. En cuanto a esto, en una institución I, cualquiera que sea el tipo de tareas
T, la técnica relativa a T está siempre acompañada de un vestigio de tecnología.
Entre las funciones de la tecnología se tienen: Justificar la técnica, es decir,
asegurar la técnica de lo pretendido; explicar y aclarar la técnica, exponer por qué
es correcta; producir las técnicas; y además, hay tecnologías potenciales, a la espera
de técnicas, que no son aún tecnología de alguna técnica.
Por ejemplo, en la aritmética elemental, el mismo discurso tiene una doble
función, técnica y tecnológica, que permite a la vez encontrar el resultado pedido
(función técnica) y justificar que es correcto el resultado esperado (función
tecnológica). Por ello, se sabe que al sumar dos números enteros positivos resulta un
número entero positivo. Se puede explicar este resultado, además, con la ayuda de la
tecnología de la suma de números naturales.
Es así como la operación con los números naturales (adición de dos números
naturales) permite generar una técnica que clasifica lo visto anteriormente a propósito
de la suma de dos números enteros y que concreta el esquema discursivo siguiente:
“Para sumar dos números enteros de igual signo (a>0; b>0), se suman los valores
absolutos de a> 0 y b>0 y se coloca el signo de cualquiera de los sumandos:
a + b = ((I a I + I b I)>0) = c>0.
(+7) + (+9) = + (I+7I + I+9I) = + (7+9) = +16
En ese contexto, los enunciados teóricos aparecen frecuentemente como
“abstractos”, término usado por los tecnólogos y técnicos, con un discurso
tecnológico que contiene afirmaciones de las que se puede pedir razón.
En cuanto, a la Praxeología, nociones propuesta como instrumentos para describir
la actividad matemática y sus objetos institucionales emergentes, permiten analizar
las prácticas docentes, y para ello, se aplican ciertas preguntas ¿Cómo realizar las
tareas del tipo T? y ¿cómo realizar mejor las tareas de este tipo ? que exigen una
producción de técnicas y de praxeologías.
Así, dado un objeto O relativo a las prácticas docentes, se tratará de observar el O
T1, describir y analizar O T2, y evaluar O T3 y desarrollar O T4.
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Considerando ahora, los tipos de objetos, se tiene: a) La realidad matemática que
puede construirse en una clase de matemáticas donde se estudia el tema. (Praxeología
Matemática u Organización Matemática y se denota por OM); b) La manera en que
puede ser construida esta realidad matemática, es decir, la manera como puede
realizarse el estudio del tema. (“la manera que...”- es lo que se denomina una
organización didáctica, OD).
En consecuencia, las nociones (instrumentos) para describir la actividad
matemática son: Obra Matemática; Organización Matemática. (Praxeología
Matemática) Organización Didáctica. (Praxeología Didáctica) y Relación
Institucional al Objeto.
Obra Matemática
Para Gascón (1999), es cualquier cosa que surge como respuesta a un conjunto de
cuestiones y un medio para alcanzar la solución, en el seno de cierta institución, de
las tareas o problemas matemáticos.
Organización Matemática (Praxeología Matemática)
Para Chevallard, Bosch y Gascón (1997), sistema de prácticas que una institución
considera apropiadas para resolver un tipo de tareas.
Organización Didáctica (Praxeología Didáctica)
Para Chevallard (ob.cit), coincide con la praxeología matemática, pero la
componente praxémica evoca a las tareas del profesor, de los alumnos, y técnica de
estudio. Incluye referencias problemáticas al lenguaje específico (dialógico) que se
instaura entre el profesor y el alumno, y al objeto llamado trayectoria didáctica
(proyecto didáctico), en el cual asume significado especifico el tiempo durante el cual
se desarrolla.
Así pues, la Organización matemática: 1. Se construye a partir de los elementos
teóricos –tecnológicos que se tienen, la técnica correspondiente de una descripción y
el análisis de una organización matemática. O.M. Por ejemplo: Describir y analizar
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la O.M que puede ser construida en una clase donde se estudia el tema: La suma de
dos números enteros de igual signo. 2. El trabajo requerido es el que puede realizar un
estudiante de matemática cuando hace la exposición sobre el tema dado.3. El
resultado tecnológico principal de la O.M es: Para sumar dos números enteros de
igual signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y se coloca el signo de
cualquiera de los dos.4. La finalidad del estudio sería precisar una técnica para
realizar el tipo de tarea T.
En ese orden de ideas, Chevallard (ob.cit) establece una Relación Personal al
Objeto, y una Relación Institucional al Objeto como sigue: a) Relación Personal al
Objeto. Aquí, Chevallard (ob.cit) afirma que reagrupa todas las nociones propuestas
en la psicología (como los casos de concepción, intuición, esquema, representación
interna). Es, a su vez, un objeto R(X, O), definido como relación personal X
(persona) al objeto O (objeto). b) Relación Institucional al Objeto. En este caso,
Chevallard (ob.cit) dice que es a su vez un objeto R (I, O), definido como relación
institucional de I (Institución) a O (objeto).
En consecuencia, que el aprendizaje se optimice o no, depende de cómo sean los
cambios que se realicen en la matemática y en la forma de estudiarlas. Por otro lado,
los cambios en las organizaciones matemáticas y didácticas que se proponen en las
diferentes instituciones basadas en los postulados de TAD, no aseguran que vayan a
producir mejoras en los aprendizajes de los estudiantes.
Organización Didáctica
La didáctica, como dimensión de la realidad social consiste en estudiar una
cuestión tal que: a) En principio se hace una pregunta: ¿Cómo sumar dos números
enteros de igual signo?; b) La hipótesis es que la persona conoce la respuesta. Esta
respuesta procede de la parte emergente de la vida social ordinaria; c) En el momento
en que la persona no sabe la respuesta se plantea un problema. Necesita por lo tanto,
una praxeología relativa al tipo de tarea considerada; d) Si la persona interrogada no
dispone de una técnica para realizar la tarea pedida, entonces la pregunta se vuelve
problemática. Ya no sería: “Para sumar dos números… “sino “Cómo sumar dos
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números…”; e) Se pasa de realizar una tarea t, a la necesidad de elaborar una técnica,
es decir, realizar una praxeología relativa a la tarea de tipo t; y, f) Construye así una
Organización Praxeológica.
Así, pues, el estudio realizado en las instituciones, interrumpe el flujo normal de la
actividad institucional ordinaria; la actividad de estudio es una fuente permanente de
confusión en la vida de la institución; el rechazo de lo didáctico, que esta
problemática genera; la institución niega las necesidades didácticas de los sujetos,
quienes se satisfacen, tomándolas a título personal, y no como sujetos de la
institución.
Así, encontramos, que la organización didáctica es el conjunto de los tipos de
tareas, de técnicas, de tecnologías, teoría, utilizadas para el estudio concreto en una
institución concreta.
De tal manera, que se tiene la gestualidad, es decir, genéricamente las praxeologías
didácticas son respuestas a las cuestiones del tipo “¿Cómo estudiar la cuestión q =
T?” o “¿Cómo estudiar la obra O?”. Por ello, hay que saber qué tipos de tareas
constituyen una praxeología didáctica; o qué “gestos” pueden ser mirados como
didácticos.
También Chevallard (ob.cit) define especificidad, como algunas praxeologías
didácticas que satisfacen determinadas restricciones, que son ecológicamente viables:
en consecuencia, todas las praxeologías que cumplen estas restricciones afectan los
niveles más específicos de la organización de estudio.
Niveles de Especificación de una Organización Didáctica
Primer Nivel
Se sitúan las condiciones y restricciones propias de un sistema de enseñanza y de
sus centros, que se aplican a todas las materias que allí se estudian: a) Cursos de
estudios estrictamente definidos. b) Programas Nacionales, Regionales y Locales. c)
Distribución de alumnos de un nivel de estudios dado (Unidad Educativa) entre
varias comunidades de estudio. d) Las clases de nivel considerado. e) Importancia
concedida a los profesores en relación con otras posibles ayudas al estudio. f)
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Existencia de sistemas y dispositivos didácticos auxiliares (clases de verano,
módulos, talleres etc.)
Segundo Nivel
Se sitúan los determinantes específicos de la materia que figuran en el curso de
estudios: Las formas didácticas que tienen sentido a priori para el conjunto de la
materia estudiada -como el tratamiento de la experimentación - de la demostración en
matemáticas.
Los Niveles Siguientes de Especificación
Contienen los aspectos propios de cada uno de los niveles de organización de la
materia estudiada - global, regional, local, puntual.
Los Momentos Didácticos
Toda Organización Didáctica se articula en: tipos de tareas; técnicas; tecnologías y
teorías. Cualquiera sea el camino de estudio, las situaciones (momentos de estudios),
(momentos didácticos) están presentes, tanto en el plano cualitativo como en el plano
cuantitativo.
Se llega forzosamente a un momento donde el “gesto del estudio” deberá ser
cumplido: Por ejemplo, el alumno deberá “fijar” los elementos elaborados (momento
de la institucionalización).
Momento
Un momento - es una dimensión en un espacio multidimensional - es un factor en
un proceso multifactorial. Se realiza generalmente varias veces, bajo la forma de una
multiplicidad de episodios continuos en el tiempo.
Momentos del Estudio
Los Momentos Didácticos: 1. El primer momento del estudio, es el primer
encuentro con la organización O, que está en juego. Además, consiste en encontrar O,
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y los tipos de tareas Ti constitutivas de O. Es decir, en un primer encuentro con una
organización matemática O se encuentra un objeto emergente de un sistema de
prácticas. Por ejemplo: primeros encuentros anunciados, primeros encuentros
verdaderos: Aquí el objeto se encuentra por estar en relación con el objeto verdadero
del encuentro. Por otro lado, es bueno preguntarse: ¿Cuáles son las formas posibles
del primer encuentro? Allanamos la respuesta considerando, que: El primer encuentro
puede inscribirse en una problemática cultural-mimética; el objeto encontrado
aparece en algunas prácticas sociales. En ese sentido mediante la manipulación
efectiva del objeto el estudiante imita la práctica “jugando” por ejemplo al
matemático; el encuentro cultural-mimético conduce a buscar y explicitar las razones
por los que el objeto ha sido construido y por qué persiste en la cultura; situaciones
fundamentales, el alumno, solo o en equipo, hace nacer el objeto; el encuentro en
situación conduce a una “definición” del objeto encontrado y aparece a priori como
un verdadero añadido a la cultura mostrando compatibilidad con las definiciones
conocidas; el encuentro en situación incluye también un sub momento cultural. Existe
por tanto, en las prácticas didácticas una amplia gama de primeros encuentros, donde
una referencia cultural se encuentra “en situación” en los planos epistemológico y
cognitivo.
2. El segundo momento del estudio, es el momento de la exploración del tipo de
tareas Ti y de la elaboración de una técnica relativa a ese tipo de tareas. Así, el
estudio y la resolución de un problema va siempre a la par con la respectiva técnica
que será a continuación el medio para resolver problemas del mismo tipo. En
consecuencia, se tiene una dialéctica fundamental: Estudiar problemas es un medio
que permite crear y poner en marcha una técnica relativa a los problemas del mismo
tipo.
3. El tercer momento del estudio, es el momento de la constitución del entorno
tecnológico-teórico (θ /£) relativo a O, la cual está en relación con cada uno de los
otros momentos, y desde el primer encuentro con un tipo de tareas, hay relación con
un entorno tecnológico-teórico (θ /£) elaborado.
40
4. El cuarto momento del estudio, es el momento del trabajo de la técnica, que
debe a la vez mejorar su propia eficacia y acrecentar su maestría. Es el momento de la
prueba de la técnica en la realización de las tareas tanto cualitativa como
cuantitativamente. Por ejemplo, la técnica utilizada para calcular la suma de dos
números enteros ha sido trabajada en un solo caso. Entendiéndose que para un trabajo
más avanzado es necesario explorar el alcance de esta técnica, o ¿No será que sólo
funciona para este caso? Para verificarlo, consideremos así el problema siguiente:
Determinar la suma de dos enteros de diferentes signos.
5. El quinto momento del estudio, es el momento de la institucionalización de la
praxeología (τ/θ/§), que tiene por objeto precisar lo que es “exactamente” la
organización matemática elaborada. Por tanto, en ella se distinguen: Los elementos
no integrados; los elementos que entrarán definitivamente a la organización
matemática considerada. Ahora bien, en un primer sub momento de oficialización,
una praxeología matemática hace su entrada en la cultura de la institución que ha
albergado su génesis. Y en un segundo sub momento, el de la institucionalización los
objetos y las relaciones oficiales, van a ser activados en grados diversos y, por ello,
van a “trabajar”. la técnica.
6. El sexto momento del estudio, es el momento de la evaluación. Este se articula
con el momento de la institucionalización, y en la práctica, es el momento de
examinar lo que se ha aprendido. Por otro lado, la operación de evaluación es
entendida como la evaluación clásica de relaciones personales, es decir, detrás de la
evaluación de “las personas”, se perfila la evaluación de la norma institucional que
sirve de patrón. Esta evaluación, no de una persona, sino de una praxeología:
Participa de la Institucionalización.
Limitaciones desde el Punto de Vista Antropológico
Los planteamientos teóricos del Enfoque Antropológico tienen ciertas
“Limitaciones” al ser considerados como fundamento para la investigación en
Didáctica de la Matemática.
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Ello se debe a que: 1. El marcado uso epistemológico anti psicológico, (la no
explicación psicológica de algunos fenómenos didácticos) limita el uso de la TAD en
el aula. 2. Se fundamenta en la intuición, sin valorar y estudiar al individuo. 3. La
TADM tiene herramientas teóricas para estudiar las Organizaciones Matemáticas, su
relación ecológica y las restricciones institucionales que condicionan su evolución y
desarrollo, pero la concatenación sujeto-institución le obstaculiza ver las condiciones
en la que ocurre el aprendizaje. 4. El nivel de análisis de las Organizaciones
Matemáticas, en cuanto a la inclusión del sistema de reglas conceptuales,
proposicionales y argumentativas en el bloque tecnológico – teórico no reconoce la
complejidad de los procesos de interpretación, de retención ni de las capacidades
necesarias para que los alumnos sigan esas reglas. 5. La investigación didáctica debe
considerar los fenómenos cognitivos que las componen, ligados al sistema de reglas.
Evaluar – Desarrollar – Algunas observaciones
Evaluar: Un esquema universal, un gesto fundamental. b) Evaluar los tipos de
tareas. b1) criterio de pertinencia, b2) criterio de identificación, b3) criterio de las
razones de ser, c) Evaluar las técnicas, d) Evaluar tecnologías
Desarrollar: a) A veces se opera según el esquema de cuatro tiempos
(T1/T2/T3/T4). Además, se comienza por observar y analizar (T1 y T2). Y después se
evalúa lo que la observación y el análisis han revelado.
Por ejemplo, un profesor reponiendo su obra sobre la materia, se decide a
“observar” uno o varios manuales para “analizar” su contenido, para “evaluar” este
contenido, y por fin para “desarrollar” sobre esta base, su propio “producto”, y su
“lección”. Nótese, que el profesor toma por objeto O, las soluciones producidas por
sus alumnos, las que de una “corrección” presenta a los alumnos de forma oral o
escrita.
Por su parte, el alumno fabrica su “solución”, con el mismo esquema a cuatro
tiempos, observando algunas “maneras de hacer”, analizándolas pero también
evaluándolas, valorando al elemento que él considerará como emblemático de lo que
el profesor espera de él, con el fin de “desarrollar” su propia solución.
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Evaluar los tipos de tareas: La evaluación se apoyará sobre criterios explícitos,
por precisar y justificar, cuyo análisis previo deberá permitir decir en qué medida los
satisface la organización matemática que se va a evaluar. 1) criterio de identificación:
los tipos de tareas T tienen que estar claramente despejados y bien identificados. 2)
criterio de las razones de ser: las razones deben ser de los tipos de tareas Ti. 3)
criterio de pertinencia: los tipos de tareas considerados proporcionan una buena
muestra de las situaciones matemáticas encontradas. Son por tanto, pertinentes en la
visión de las necesidades matemáticas de los alumnos, para hoy en día.
Evaluar tecnologías: Dado un enunciado: ¿se plantea únicamente el problema de
su justificación? ¿Se considera tácitamente este enunciado como evidente, bien
conocido. Y las formas de justificación utilizadas: ¿son parecidas a las formas
canónicas en matemáticas? ¿Se adaptan a sus condiciones de utilización? ¿Se
favorecen las justificaciones explicativas? ¿Se explotan efectivamente y de forma
óptima los resultados tecnológicos disponibles?
Por ejemplos: El caso es frecuente tratándose de la unicidad de las escrituras
canónicas utilizadas, cuando se escribe bajo la forma a+b = b+a (a y b números
enteros) la propiedad conmutativa de la adición de dos números enteros. Se dice que
existe una buena respuesta, lo que justifica por sí solo que el profesor rechace como
errónea la respuesta del alumno si ha escrito alguna otra expresión. La justificación
es fácil: Sí a+b=c y c= b+a entonces a+b = b+a.
¿Evaluar una organización didáctica?
La evaluación de una Organización Didáctica (OD) constituye un punto de
convergencia del conjunto de estudios en Didáctica de las Matemáticas, de manera
explícita o implícita, uno de los motores del progreso de las investigaciones
didácticas.
Desarrollar
Principios “teóricos” susceptibles de aclarar el trabajo tecnológico-teórico. Primer
principio: Heterogeneidad histórica e institucional de los “materiales “constitutivos de
43
una praxeología existente o por construir. Desde este punto de vista, no existe una
organización didáctica que se pueda decir que es de una época, totalmente fechada, o,
en el otro extremo, completamente moderna en cada una de sus componentes; las
actividades de desarrollo deben tomar en cuenta la necesidad de un “mestizaje
histórico” de toda producción posible, toda “innovación” es parcialmente
conservadora, dado que utiliza nuevamente los materiales antiguos que de otro modo
se podrían tildar de “obsoletos”.
Segundo principio: Introduce la noción de desarrollo próximo, refiriéndose a la
problemática ecológica constitutiva del enfoque antropológico en didáctica; la
problemática ecológica conduce a cuestionar la realidad observable de la evidencia
del hecho establecido, visto como natural; el cuestionamiento ecológico permite
interrogarse sobre el orden de cosas existente: si es verdad que la realidad es como es
porque tiene fuertes restricciones, siempre se puede proponer examinar las
modificaciones que, para un costo aceptable; el conjunto de estos estados “próximos”
de la realidad constituye la zona de desarrollo próximo de esta realidad; a la inversa,
lo “simplemente posible” puede exigir un cambio limitado en las condiciones
prevalecientes, existiendo una zona donde lo virtual puede actualizarse y lo actual
volverse virtual en un grado de variaciones de escasa amplitud.
Teoría de las Situaciones Didácticas
Brousseau (1986, 1999), propone el modelo pensar en la enseñanza de la
matemática como un proceso ajustado a la producción de conocimientos matemáticos
en el salón de clases. Tal producción de conocimientos supone, por un lado,
establecer nuevas relaciones, y por otro lado, transformar y reorganizar otras. Esto es,
producir conocimientos obliga a los actores del acto educativo a validarlos, según las
normas y los procedimientos propuesto por la comunidad matemática en la que dicha
producción se ha obtenido.
En el caso, en que la clase se tome como un laboratorio de producción de
conocimientos implica tomar decisiones respecto de la enseñanza, el aprendizaje, el
44
conocimiento matemático, relación entre el conocimiento matemático que se produce
en la escuela y el que se produce en su noósfera.
Brousseau (ob.cit), se fundamenta en la epistemología genética de Piaget para
organizar la producción de conocimientos. Se ampara en el constructivismo para
afirmar que el estudiante produce conocimiento de la acomodación de un ambiente
resistente con el que interactúa. En ese sentido, afirma, que “El alumno aprende
adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de
desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la
adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son las pruebas del
aprendizaje” (1986).
Al definir Brousseau (1988a), a la matemática como un producto de cultura le
lleva a considerar la diferencia entre el conocimiento que se produce en una situación
particular y el saber estructurado, institucionalizado y organizado a partir de
sucesivas interpelaciones, generalizaciones, interrelaciones y descontextualizaciones
de las organizaciones que son productos de situaciones específicas. Resultando que es
imposible acceder al saber matemático sino se tienen las herramientas para obtener
las relaciones producidas en la resolución de un problema específico a partir de la
construcción teórica que abarque dicha relación.
Brousseau (ob.cit), describe el proceso de producción de conocimientos en una
clase a partir de dos tipos de interacciones básicas: la interacción del alumno con una
situación problema que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los
conocimientos matemáticos puestos en juego; y la otra interacción es la del docente
con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la situación problema en
matemática. De acuerdo con esto, postula la necesidad de “medio” pensado y
sostenido con una intencionalidad didáctica.
Así mismo, las interacciones entre docente y alumno con base en la interacción del
alumno con el medio se describen y se explican mediante la noción de Contrato
Didáctico. Esta herramienta detecta la elaboración de un conocimiento matemático
cada vez que cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las
intenciones y las expectativas del otro, durante el proceso de comunicación.
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Las interacciones entre alumnos y medio se fundamentan en el concepto teórico de
situación adidáctica, que modeliza la actividad de producción de conocimiento por
parte del alumno independientemente de la asesoría del docente. El estudiante se
inserta en una situación problemática bajo la concesión de sus propios conocimientos,
los que a la vez modifica, rechaza o produce otros nuevos, a partir de sus adecuados
resultados de sus acciones.
Por otro lado, Brousseau (ob.cit), señala, que el Contrato Didáctico es el
instrumento que permite describir y explicar las interrelaciones entre docentes y
alumnos a propósito de la interacción del alumno con el medio. En efecto, el
concepto de Contrato Didáctico permite tomar conciencia de que una parte de las
ideas matemáticas de los alumnos son productos de inferencias que provienen del
docente, pero que no ha querido expresar.
En este contexto, Brousseau (ob.cit), señala, que la necesidad de un “medio” es
importante, por el hecho de que la relación didáctica se extingue, y el alumno en el
futuro tiene que hacer frente a situaciones carentes de intenciones didácticas.
Igualmente, se refiere a la clase como espacio de producción en las que las
interacciones sociales son condiciones necesarias y suficientes para la emergencia y
la elaboración de planteamientos matemáticos. Siendo que el marco cultural de clase
restringe y condicionan el conocimiento que se elabora.
De todo esto se tiene, que la Teoría de las Situaciones Didácticas es un sistema
constituido por interacciones básicas tales como sujeto/medio y alumno/docente, y
ese sistema es la situación didáctica.
Situación Didáctica
Para Brousseau (1999), es una interacción entre un sujeto y un medio entre los que
media un conocimiento. Considerando, situación: como un modelo de interacción de
un sujeto con cierto medio que genera un conocimiento dado como el recurso del que
dispone el sujeto para alcanzar en dicho medio un estado favorable. Se concibe
además, al modelo como un acondicionador tanto de las características del medio
como tanto la posición del sujeto que interactúa con él.
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Por otro lado, el modelo Situación Adidáctica está concebido bajo el supuesto de
los conocimientos que están en juego en tal situación posee una complejidad que
requiere de mayor tiempo de elaboración.
Se puede observar, que hay dos condiciones: la necesidad de que el sujeto elija, y
la existencia de una finalidad que se pueda identificar de manera independiente del
conocimiento matemático a producir, pero esta dos condiciones no garantizan que un
estudiante aprenda. Por tanto ningún modelo teórico puede garantizar que el discente
aprenda.
Brousseau (ob.cit), elaboró para el investigador que diseña y estudia una situación
didáctica el modelo que le permitirá: hacer un análisis que implique pensar que la
motivación cognitiva conduce a producir tal o cual estrategia como la solución del
problema propuesto; analizar por qué una solución al problema puede leerse en
término de un conjunto de conocimientos puesto en juego; explicar por qué la
producción de un cierto conocimiento es un medio más económico que otro para
resolver un determinado problema; identificar los elementos de una situación que
devuelvan al alumno información sobre los resultados de su producción y decidir a
partir de ellos como pueden evolucionar los conocimientos iníciales puestos en juego
en la situación.
Alcance de la Situación Fundamental
Todo conocimiento prevé una situación fundamental que representa la
problemática que permite la emergencia de tal conocimiento. Es decir, el
conocimiento aparece como la estrategia óptima para resolver el problema en
cuestión. Así, “Cada conocimiento puede caracterizarse por una o más situaciones
adidácticas que preservan su sentido y que llamaremos situaciones fundamentales”
(Brousseau, Ob.cit)
47
La Situación Didáctica y los Efectos que Interrumpen la Situación
problemática
Brousseau (1989), identifica algunos efectos inhibidores o interruptores de la
elaboración del conocimiento que construye el estudiante en el seno de un medio
didáctico que el docente prepara. En ese sentido, los efectos interruptores negativos
son actitudes que bloquean el proceso de enseñanza y aprendizaje. Siendo eso efectos
los siguientes: El Efecto Topaze; El Efecto Jourdain; Deslizamiento Metacognitivo;
El Abusivo de la Analogía.
La Situación Didáctica y su Paradoja
Brousseau (ob.cit), señala muchas paradojas, para los fines de la investigación sólo
nombraremos tres: La transmisión de las situaciones, es decir, el Efecto Topaze, que
se traduce de la manera siguiente: 1) El docente quiere el aprendizaje del alumno, y
este último desea aprender, en seguida el profesor sugiere al discente la forma de
afrontar los problemas propuestos, esta acción interrumpe la construcción del
conocimiento y en consecuencia un aprendizaje significativo. 2) La inadaptación a la
exactitud, que consiste en degradar los conocimientos matemáticos. En este caso, el
docente anula la transposición didáctica a cambio de que los estudiantes aprendan; en
otro caso prefiere mayor rigurosidad con la consecuencia de incomprensión por parte
de los discentes; 3) La Inadaptación a una situación ulterior. En este caso, los
estudiantes construyen de forma aceptable el conocimiento, constituyéndose algunas
veces en un obstáculo didáctico para ulteriores conocimientos.
Tipología de las Situaciones Didácticas
Para Brousseau (ob.cit), es el caso en que algunas situaciones didácticas
desembocan en una situación adidáctica, lo que implica que el estudiante entra en un
proceso de confrontación ante un problema propuesto, en el que construirá su propio
conocimiento.
48
Entre ellas se tienen: 1. Situación Acción: Consiste básicamente en que el discente
trabaje sólo con un problema, aplique sus conocimientos previos y desarrolle un
determinado saber. Lo que se quiere es que el estudiante interactúe con el medio
didáctico, de tal manera que llegue a la solución del problema y a la construcción de
su propio conocimiento. 2. La Situación de Formulación: En este caso, los estudiantes
trabajan en grupos, y es por ellos que la comunicación controlada es necesaria en la
situación problemática si se quiere construir el conocimiento.
De ahí, que Brousseau (ob.cit), sostenga la necesidad de que cada integrante del
grupo participe del proceso y se vea obligado a exponer sus ideas e interactuar con el
medio didáctico. 3. La Situación de la Validación: Una vez que los estudiantes han
concluido la interacción con el medio didáctico sólo o en equipo, se somete a juicio
de un interlocutor el producto obtenido durante la interacción, con la intención de
cerciorarse si efectivamente es correcto. 4. La Institucionalización del Saber: Esta
fase representa una actividad importante al cierre de una situación didáctica. Es el
momento en que los alumnos han construido su conocimiento, y es el tiempo en que
el docente revisa aportando observaciones y clarificando los conceptos para aquellas
situaciones adidáctica en donde se manifestó un problema.
La Teoría de la Situaciones Didácticas y el Obstáculo Epistemológico
Brousseau (ob.cit), fundamentado en la Obra titulada: El Nuevo Espíritu Científico
de Bachelard (1938), donde el investigador describe las características del obstáculo
epistemológico como efectos limitantes del sistema de conceptos durante el
desarrollo del pensamiento, analiza el aprendizaje y defiende el hecho de que sí el
aprendizaje es entendido como adaptación al medio, entonces, inevitablemente, se
generan las rupturas cognitivas; las acomodaciones; los cambios de modelos
implícitos como por ejemplo, las concepciones; las rupturas del lenguaje, y de los
sistemas cognitivos. Esto es, si se obliga a los estudiantes a adquirir el conocimiento
paso a paso, el principio de adaptación se activa para contrariar el rechazo de un
conocimiento inadecuado. No obstante esta ruptura se prevé aplicando el estudio
49
directo de las situaciones, en sintonía, con el estudio indirecto del comportamiento de
los estudiantes.
Brousseau (ob.cit), define obstáculo como la noción efectiva que permite resolver
una situación problemática en un momento determinado, pero que luego falla cuando
se aplica a otra situación problemática. En estas condiciones de principio se niega a
ser modificado o rechazado, constituyéndose en un obstáculo epistemológico a causa
de que durante largo tiempo su aplicación se convierte en barrera para el aprendizaje
a posteriori.
Ahora bien, para superar esos obstáculos es necesario crear situaciones didácticas
que permitan a los estudiantes la necesidad de cambiar sus propios aprendizajes en
función de los nuevos aprendizajes significativos.
Características de los Obstáculos
Brousseau (ob.cit), refiriéndose a los obstáculos señala las siguientes
características: Un obstáculo es un conocimiento, y no la ausencia de conocimiento;
el discente usa ese conocimiento para generar respuestas adaptadas al medio y al
contexto que encuentra con frecuencia; Si se aplica ese conocimiento fuera de
contexto resultan respuestas incorrectas. Por ende, una respuesta generalizada exigirá
diferentes puntos de vista; el estudiante se resiste a las contradicciones que el mismo
obstáculo produce y rechaza el establecimiento de mejor conocimiento. Por lo tanto,
es vital, y hay que identificarlo para incorporarlo al nuevo saber; Su existencia
persiste de manera esporádica, a pesar de que muestra su inexactitud.
Las Situaciones Didácticas y los Diferentes Tipos de Obstáculos
Entre los diferentes tipos de obstáculos se encuentran: Obstáculos
epistemológicos; Obstáculos Didácticos; Obstáculos ontogenéticos: Los obstáculos
epistemológicos están intrínsecamente relacionado con el propio concepto a lo largo
de su evolución; los obstáculos didácticos, se refieren a la elección didáctica errónea
para resolver una situación problemática durante la situación de enseñanza, los
50
obstáculos ontogenéticos: se genera a partir del comportamiento de la persona cuando
se enfrenta a una nueva situación problemática en el medio donde trabaja.
La Noción de Contrato Didáctico
La Noción de Contrato Didáctico asume el análisis de los fenómenos relativos a la
enseñanza y al aprendizaje de la matemática como: la intención de que el alumno
aprenda un saber cultural, intención que tiene el docente y que el estudiante tiene que
compartir. En ese sentido, para Brousseau (1998), el contrato didáctico es la relación
de comunicación que el docente sostiene con el (los) alumno (s) a propósito de una
situación didáctica a raíz de un objeto matemático (relación didáctica) que el profesor
va comunicando mediante palabras, gestos, actitudes y/o aspectos vinculados al
funcionamiento del estudio del objeto matemático que está tratando en la clase.
Por otro lado, el término “contrato” refiere Brousseau (ob.cit), como el convenio
explícito o implícito que contraen profesor – alumnos mediante sus interacciones en
clase, en la que cada uno de los actores espera del otro a propósito de un cierto
conocimiento. Es por ello, que los estudiantes, en el salón de clase, hacen una
representación interna acerca de aquello que está permitido y lo que no es posible con
relación a un objeto matemático. Elaborando así, un conjunto de normas que
monitorean su accionar, en el entendido de que habilitan ciertas posibilidades e
inhiben otras. En concordancia con el desenvolvimiento de los discentes, el profesor
tiende a suponer que controla las elaboraciones de los alumnos mediante lo que se va
haciendo explícito en la clase. Pero, este es el momento en que el estudiante pone en
juego una conducta no esperada por él, tomando conciencia de que muchas de las
construcciones del alumno escapan completamente del control del docente.
Además, el contrato didáctico relacionado a un objeto matemático está regido por
reglas de naturaleza diferentes referidas tanto a los conceptos como a las normas que
controlan la manera de enfrentar cada situación problemática. Esto trae como
consecuencia que los alumnos justifiquen algunas de esas reglas aplicando
conocimiento matemático no justificando otras, por falta de explicación, pero
aceptándolas y poniéndola en juego sin mayor cuestionamiento.
51
Es bueno señalar, que cuando uno de los actores (docente – alumno) de la relación
didáctica hace algo con respecto al conocimiento que es inesperado por el otro, se
produce una ruptura, y todo ocurre como si hubiera existido un contrato que regulara
las conductas permitidas.
Finalmente, para Brousseau (ob.cit), la noción de contrato didáctico, es la
herramienta teórica que modela las interacciones entre docente y estudiante para
avanzar en la comprensión del objeto matemático en estudio.
Aspectos Epistemológicos del Concepto de Límite
Cornu (1991) señala que el tiempo Greco - Alejandrina (S. III a.C. – S. II) es la
época en que se presentan situaciones que dan señales de las primeras
manifestaciones intuitivas de la idea de límite. Ellas tienen que ver con el encuentro
de procesos geométricos infinitos que surgen de las paradojas de Zenón, el
descubrimiento de los inconmensurables o irracionales y la comparación de áreas y
volúmenes de figuras curvilíneas por aproximación de figuras rectilíneas. Por ejemplo
el problema de calcular el área del círculo proporcionó una oportunidad para
desarrollar herramientas muy similares a este concepto. Considera esta noción como
un proceso de aproximación o acercamiento, más que el concepto del valor límite.
La definición formal de límite es el producto de todo un proceso que se construyó
a través del tiempo en la mente de los matemáticos, mediante el empleo de objetos
geométricos, palabras y simbología. La definición de límite es una rigurosa cadena
ordenada de proposiciones lógicas y símbolos con un significado matemático preciso.
Sierpinska (1987) indica que la consecución del límite no es una operación
matemática, sino que está oculta en el método de exhaución, para probar ciertas
relaciones entre magnitudes. En el método de exhaución de Eudoxo se privilegian las
demostraciones por reducción al absurdo, así probaba las relaciones entre magnitudes
geométricas, deducidas intuitivamente, más que el hallazgo de resultados.
Otro criterio en la concepción geométrica heurística – rigurosa se observan en los
trabajos de Arquímedes. El paso al límite está implícito en el método heurístico de
aproximaciones sucesivas” que conduce a hallazgos gracias a la intuición geométrica
52
y conocimiento sobre mecánica y que luego llega a demostrar por reducción al
absurdo. Con su “método mecánico” (oculto) y de aproximaciones sucesivas
encuentra resultados que luego prueba por el método de exhaución.
Se observa también en los trabajos de Cavalieri y Kepler la geometría heurística de
aproximación finita. La construcción del límite no se fundamenta en una operación
matemática, pero está implícito en un método heurístico que permite la búsqueda de
lo que no conocemos más que aproximaciones.
Por ejemplo, tanto Stevin (1548-1620) como Luca Valerio en 1604, (citados por
Boyer, 1999), se aproximaron a la idea de límite aunque en lo geométrico al indicar la
condición necesaria para la existencia de un límite a saber, “que la diferencia entre
determinadas áreas puede hacerse menor que un área específica” (p. 105, 106).
El límite se aplica a magnitudes geométricas, como áreas, volúmenes, superficies
barridas, ángulos de rotación. En la época griega se considera como una
aproximación de procesos geométricos infinitos, dada por la intuición geométrica o
espacial, y en el renacimiento el límite se considera como una “aproximación finita”,
como que toma “una” de un número finito de cantidades que se aproximan al límite
como la mejor aproximación, y no tanto como se desee. El infinito que es un
concepto consustancial a la noción de límite se rechaza y evade en matemáticas,
generándose el obstáculo “Horror al infinito” (Cantor) que impide ver el proceso de
aproximación como una operación que llega a un resultado (Limite).
Boyer (1999) sostiene que la idea de límite era desconocida en la época de
Eudoxo, y que así fue durante los dos mil años siguientes. En el caso de la
Matemática se analizó el movimiento de los cuerpos a partir de la función que define
la posición de una partícula, en que hallándose el límite de la misma para la tendencia
de la variable, se determina la velocidad de dicha partícula en el punto de la
trayectoria, y afirmó que el límite estuvo asociado, en el mundo griego, a la
Geometría y a la noción de infinito. D’alembert interpreta las expresiones de Newton
“Razones primeras y últimas” como límites y no como una primera o última razón de
dos cantidades que están exactamente surgiendo al ser o desvaneciéndose
respectivamente. Su artículo sobre “límite” que escribió para la Encyclopedie, llama a
53
una cantidad el límite de una segunda cantidad variable sí la segunda puede
aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada
(sin llegar nunca a coincidir con ella). Esta definición de D’Alembert sobre límite fue
eliminada por los matemáticos del siglo XIX. Euler consideraba las cantidades
infinitamente grandes como inversas de las cantidades infinitamente pequeñas, pero
D’Alembert, al rechazar los infinitésimos, definía lo infinitamente grande en término
de límites (Boyer, pp.567-568)
Aspectos Cognitivos del Concepto de Límite
Cornu (1991), y Sierpinska (1985), manifiestan, que la enorme dificultad de la
enseñanza y del aprendizaje del concepto de límite se debe a su riqueza y
complejidad tanto como al hecho de que los aspectos cognitivos implicados no se
pueden generar puramente a partir de la definición matemática. Los estudios de
Cornu (1991) demostraron que los alumnos tienen “concepciones espontáneas
personales” sobre la noción de límite que provienen de su experiencia cotidiana. Las
concepciones espontáneas personales son muy resistentes al cambio y permanecen
durante mucho tiempo de manera que pueden contener factores contradictorios que se
manifiestan según las situaciones.
Blázquez y Ortega (2001), consideran que en el aprendizaje del concepto de límite,
el cambio de registro de representación presenta dificultades, y concluyeron que los
alumnos mostraron dificultades significativas en la conceptualización de los procesos
de límite que sustentan el concepto de derivada y en la utilización apropiada de las
representaciones gráficas. Existen distintas representaciones dentro de un mismo
sistema, por ello es necesario considerar las transformaciones de unas a otras. Por
ejemplo, un sistema algebraico para representar el límite debe incluir una serie de
reglas para pasar de la definición topológica a la definición métrica. Además existen
distintas representaciones dentro de un sistema, existen pluralidad de sistema de
representación vinculado a un mismo concepto, con lo que la traducción de un
sistema a otro se hace imprescindible. Por ejemplo, los cuatro sistemas considerados
(verbal, numérico, gráfico y simbólico). Una vez que se consigue la traducción entre
54
todos los sistemas de representación asociados, el concepto surgirá como aquello que
tienen en común todas sus representaciones y el campo conceptual de límite habrá
cristalizado. La estructura conceptual asociada al límite sirve para modelizar muchas
situaciones, por ejemplo, aquellas en la que existe una variación relativa entre
magnitudes.
Claros, Sánchez y Coriat (2007) sostienen que el concepto de límite es reconocido
en Educación Matemática como una de las nociones clave en el desarrollo del
pensamiento matemático avanzado de los alumnos, subrayando que las
investigaciones desarrolladas en este ámbito han experimentado en los últimos años
una evolución significativa en sus enfoques y propósitos, caracterizando las
dificultades y obstáculos existentes en la comprensión de este concepto, analizando
las razones que subyacen a tales dificultades y proporcionando, en base al nuevo
conocimiento generado, soluciones efectivas en forma de propuestas didácticas
sustentadas en marcos teóricos operativos. Así las definiciones formales de límite
admiten análisis desde un punto de vista simbólico y fenomenológico con diferencias
identificadas en dos definiciones formales específicas para el límite como son, el de
una sucesión y el de una función en un punto. Los estudios didácticos raramente han
distinguido entre el estudio del límite de una sucesión y el límite de una función. Se
han ocupado en la mayoría de los casos del estudio del límite en general
Otros autores como Espinoza y Azcárate (2000) teniendo en cuenta las dificultades
que plantea la definición formal de límite de una función, decidieron dar una
definición de esta noción como “aproximación óptima”. El esfuerzo realizado por
estos autores es notable al profundizar en la naturaleza de los distintos fenómenos
organizados por el límite, estudiar su presencia en la enseñanza, el currículo y
analizar su influencia en la comprensión de los sujetos. Sus investigaciones
transcurren en torno a los problemas didácticos generados por el uso de las distintas
nociones, ideas y definiciones que configuran el campo semántico vinculado al
concepto de límite finito de una función en un punto de las que se derivan
consecuencias relevantes para la construcción y la organización didáctica del
concepto de límite de una función.
55
Así mismo, los fenómenos de aproximación óptima que se manifiestan de forma
no rigurosa, permiten que el límite en su faceta dinámica admita una clasificación
básica con dos tipos diferenciados, presentes en el caso de las sucesiones de números
reales y de las funciones reales de variable real. Emplean la expresión, “parecen
acercarse”, para capturar, al usarla, cualquier intuición para el límite finito de la
función en un punto.
Aspectos Instruccionales del Concepto de Límite
De La Torre (2002), señala que son notorias las deficiencias de la enseñanza de las
matemáticas, en los distintos niveles de escolaridad, y que son problemáticos los
conceptos asociados con la noción de infinito, como los de límite, tangente, derivada
e integral, en el contexto del pensamiento matemático avanzado. Sostiene que las
concepciones que construyen los alumnos del primer año universitario con respecto
a las distintas manifestaciones de la noción de límite, producen en ellos una gran
confusión y conflicto en el momento de estudiar la definición formal.
Sierpinska (Ob.cit) señala que durante los años 1940 – 1995 los cambios
estructurales y curriculares en cuanto al contenido de la noción límite, eran continuos,
conociéndose que en un principio aparece ligado al concepto de sucesión y que
posteriormente se aplica para definir la continuidad de funciones. Por otro lado los
contenidos se repiten en los diferentes niveles, ampliándose y completándose en el
siguiente. El desarrollo es secuencial y formal, las demostraciones no son rigurosas,
sino que tienen un desenlace intuitivo. Durante ese período subyace la idea de la
matemática ya hecha y el estudiante debe memorizar y practicar resolviendo
ejercicios. Así las capacidades que se pretenden desarrollar en el alumno son:
memorización de definiciones y propiedades y prácticas algorítmicas.
En cuanto a las representaciones gráficas y simbólicas, aparecen tablas,
gráficas cartesianas y otras representaciones estrechamente ligadas al tipo de
definición que se utiliza. En las tablas, cuando los autores presentan el concepto de
límite utilizando sucesiones, aparecen tablas con los valores de dichas sucesiones y
los correspondientes de f(x), las tablas de valores de la función se usan para
56
comprobar que se verifica dicha definición en casos particulares. Las gráficas
cartesianas aparecen realizada a mano alzada presentando las características que
interese resaltar.
Charnay (1994), enfatiza la manera en que fue jerarquizado el concepto de límite
condicionando la enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial en los primeros
cursos del nivel universitario. Para ello presenta tres Modelos de Enseñanza: El
modelo normativo, El modelo incitativo, El modelo apropiativo. Distingue estos tres
modelos de enseñanza, de acuerdo a las relaciones que prevalecen en el esquema
didáctico, y los relaciona con el papel que juega en los mismos la resolución de
problemas:
1. El modelo normativo, está centrado en el contenido, donde la relación que
prevalece es la del profesor con el saber. Los problemas en este caso juegan el papel
de control sobre el aprendizaje.
2. El modelo incitativo, está centrado en el alumno, prevaleciendo en este caso la
relación entre el docente y el alumno. Los problemas juegan aquí el papel de móvil
del aprendizaje.
3. El modelo apropiativo, está centrado en la construcción del saber por parte del
alumno. Los problemas son usados como recursos del aprendizaje.
Bucari (2007), señala que el material de la cátedra para la enseñanza de límites
está estructurado de acuerdo al orden usual en los escritos matemáticos tradicionales:
definición, teorema, demostración y, eventualmente, algún ejemplo.
Esta noción se introduce luego del estudio del concepto de sucesión y límite de
una sucesión, condicionando la enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial en
los primeros niveles universitarios, generando tres modelos de enseñanza, de acuerdo
a las relaciones que prevalecen en el esquema didáctico, y los relaciona con el papel
que juega en los mismos la resolución de problemas:
1. El primer modelo, considera al profesor como eje central del proceso de
enseñanza y el contenido lo relaciona con su conocimiento. Los problemas sirven de
control sobre el aprendizaje.
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2. El segundo modelo, tiene al alumno como protagonista del proceso de
aprendizaje y los problemas juegan el papel de móvil del aprendizaje.
3. El tercer modelo considera la construcción del saber por parte del alumno, y los
problemas son usados como recursos del aprendizaje.
El estudio del límite de una sucesión, en forma previa al límite funcional, no se
justifica como estrategia de enseñanza puesto que el límite de una variable discreta no
es menos complicado que el de una variable continua. Son de alguna manera, de
dificultad equivalente y conceptualmente son cosas diferentes. Hay una diferencia
sustancial entre el límite de una función en infinito (que describe un comportamiento
“asintótico”), y el límite de una función cuando la variable tiende a un valor finito
(que da cuenta del comportamiento de la función en las cercanías de ese valor). La
analogía entre ambos límites ni siquiera es formal. La ocurrencia del límite de una
sucesión antes del límite funcional puede justificarse en una presentación de los
fundamentos del análisis real, en la que ciertas sucesiones de números racionales
pueden usarse para construir a la recta real.
Referentes Teóricos
En este aparte, se hará una breve descripción de los contenidos teóricos en los que
se basa la investigación con el fin de fortalecer su estructura final. Por supuesto, que
los contenidos son extraídos de la propia naturaleza del trabajo de manera consciente
con la idea de obtener los beneficios adecuados que colaboren con la conformación
de la investigación. Entre ellos se tiene: La situación Didáctica; El concepto de límite
real de una función real de variable real; teoría de dificultades, obstáculos y errores;
Situación Didáctica
Para Brousseau (1999), es una interacción entre un sujeto y un medio, en el
contexto de un conocimiento. Considerando, situación: como un modelo de
interacción de un sujeto con cierto medio que genera un conocimiento dado como el
recurso del que dispone el sujeto para alcanzar en dicho medio un estado favorable.
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Se concibe además, al modelo como un acondicionador tanto de las características del
medio como tanto la posición del sujeto que interactúa con él.
Por otro lado, el modelo de Situación Adidáctica está concebido bajo el supuesto
de los conocimientos que están en juego en tal situación, poseen una complejidad que
requiere de mayor tiempo de elaboración.
Se puede observar, que hay dos condiciones: la necesidad de que el sujeto elija, y
la existencia de una finalidad que se pueda identificar de manera independiente del
conocimiento matemático a producir, pero esta dos condiciones no garantizan que un
estudiante aprenda. Por tanto ningún modelo teórico puede garantizar que el discente
aprenda.
Brousseau (ob.cit), elaboró para el investigador que diseña y estudia una situación
didáctica el modelo que le permitirá: Hacer un análisis que implique pensar que la
motivación cognitiva conduce a producir tal o cual estrategia como la solución del
problema propuesto; analizar por qué una solución al problema puede leerse en
término de un conjunto de conocimientos puesto en juego; explicar por qué la
producción de un cierto conocimiento es un medio más económico que otro para
resolver un determinado problema; identificar los elementos de una situación que
devuelvan al alumno información sobre los resultados de su producción y decidir a
partir de ellos como pueden evolucionar los conocimientos iníciales puestos en juego
en la situación.
El Concepto de Límite de una Función Real de Variable Real
Para Quintero (2015), el concepto comenzó a gestarse en el siglo XVII, en un
contexto epistemológico en el que se requería transformar el estudio matemático de
leyes del movimiento, puesto que se comprendió que el estado estático no existe en la
naturaleza, dado que al final de la edad media las investigaciones dieron como
resultado el llamado “Nuevo Mundo” permitieron la ampliación de fronteras
geográficas y mentales de la época, haciendo un lugar al estudio de la mecánica y la
tecnología interpretando el mundo de una forma diferente e impulsando la
investigación cualitativa, surgiendo de esta manera la necesidad de estudiar
59
problemas matemáticos para resolver situaciones problemática con intervención del
movimiento. Para ello, fue necesario crear un nuevo instrumento matemático que
permitiera trabajar en cualquiera de las circunstancia presente en el problema, cuyo
desarrollo posibilitó la creación del concepto de límite.
Ahora bien, si los fenómenos estudiados son las funciones de variable real,
entonces, el instrumento es el límite de una función real. En ese sentido, Laurentiey
(1976), afirma, que el concepto de infinitésimo da la idea de límite, que conlleva a
estudiar fenómenos relacionados con el cambio y el movimiento. Así pues, la idea de
límite fue producto de una construcción social, que a lo largo de la historia, varias
generaciones estudiaron problemas de movimiento mecánico que no podían ser
resueltos por medios simples de aritmética, algebra y geometría elemental.
Finalmente, se dará a continuación una lista de contenidos específicos de la noción
del límite de una función: Límite lateral, tendencia de un número, tender al infinito,
indeterminación, asíntota, continuidad, discontinuidad, límite de una función en un
punto, límite de una función en infinito, asíntota horizontal, asíntota vertical, asíntota
oblicua, continuidad en un punto, discontinuidad en un punto, cálculo de límite de
una función en un punto por sustitución directa o mediante representación gráfica,
cálculo del límite mediante las propiedades del límite respecto las funciones a saber,
suma, producto, y composición, cálculo de límites en un punto con ayuda de una
tabla de valores, reconocimiento de la continuidad de una función polinómica,
representación gráfica, límite de funciones notables.
Función
Una función es una relación entre dos conjuntos: un conjunto de partida A y un
conjunto de llegada B, donde se aplica una regla de correspondencia que asigna a
cada elemento de “x” que pertenece a A( ), un único elemento “y” que pertenece
a B( ).En este sentido, una función es una relación que cumple con dos condiciones:
“existencia y unicidad”, que se refiere a que para todo elemento del conjunto de
partida existe un único elemento en el conjunto de llegada.
60
Una función se denota como : → , en forma de conjunto como:= {( , ) ∈ / = ( )}.Dominio
Si : → es una función, el conjunto { ∈ / ∃ ∈ : ( ) = }, es el
conjunto de todos los elementos del conjunto de partida para los está definida, este
conjunto se denomina Dominio de f, .Rango
Si : → es una función, el conjunto { ∈ / = ( )}, es el conjunto de
todas las imágenes, este conjunto se denomina Imagen o Rango de f, .Función Real
Una función real de variable real, es una función cuyo dominio y conjunto de
llegada son subconjuntos deℝ. Ejemplos:
a. : → b. : − {0} → c. ℎ: →( ) = ( ) = 1 ℎ( ) = 5Gráficas de Funciones
Se llama gráfica de la función : → al conjunto = {( , ( )) | }Y = ( )
Rango
XDominio
Gráfico 2. Dominio y rango de la función = ( )
61
Criterio para el cálculo del dominio y rango de una función
El dominio de una función f se determina hallando todos los valores posibles que
pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo en el caso en que dicho dominio
sea especificado.
El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de y,
luego se analiza todos los valores posibles que puede tomar y, de tal manera que x sea
real.
Definición formal del límite de una función
Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene
a , excepto posiblemente en el número mismo. El límite de ( ) conforme se
aproxima a es , lo que se escribe como → ( ) = , si la siguiente
proposición es verdadera: dado cualquier > 0, no importa cuán pequeño sea, existe
una > 0, dependiendo de tal que si 0 < | − | < entonces | ( ) − | < .
En símbolos:→ ( ) = ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 0 < | − | < ⇒ | ( ) − | <⁄
Gráfico 3. Definición formal de límite ( , )Ejemplo: Demuestre que:) ⟶ (4 − 5) = 3
62
Solución
Dado > 0 buscaremos una > 0 de manera tal que si 0 < | − 2| <entonces |(4 − 5) − 3| <Esto es:∀ > 0, ∃ > 0 | 0 < | − 2| < ⇒ |(4 − 5) − 3| <Análisis previo: debemos buscar una que dependa de , así que evaluamos
la desigualdad de la derecha|(4 − 5) − 3| < ⇔ |4 − 8| <⇔ |4( − 2)| <⇔ |4|| − 2| <⇔ | − 2| < |4|Así, selecciono =Demostración formal: partiendo de la hipótesis y usando la relación -
llegamos a la tesis 0 < | − 2| < ⇒ 4| − 2| < 4⇒ |4 − 8| < 4⇒ |(4 − 5) − 3| < 4 14 , = 4⇒ |(4 − 5) − 3| <Lo que se quería demostrar / ∴ ⟶ (4 − 5) = 3
Teoremas relacionados con el límite de una función
Sea un número positivo, una constante y y funciones que tengan límites en
, donde lim ⟶ ( ) = y lim ⟶ ( ) = entonces:. lim⟶ ( + ) = +. lim⟶ =
63
. lim⟶ =. lim⟶ ( ) = lim⟶ ( ) =. lim⟶ [ ( ) ± ( )] = lim⟶ ( ) ± lim⟶ ( ) = ±
. lim⟶ [ ( ). ( )] = lim⟶ ( ) . lim⟶ ( ) = .. lim⟶ ( )( ) = ⟶ ( )⟶ ( ) = , Siempre que lim ⟶ ( ) ≠ 0. lim⟶ [ ( )] = lim⟶ ( ) =T.9 lim ⟶ ( ) = lim ⟶ ( ) = √ , siempre que ( ) > 0 cuando es par.
Ejemplos:
1) Determine lim ⟶ 2Aplicándose los teoremas 4, 8, 2 tenemos que:lim⟶ 2 = 2 lim⟶ = 2 lim⟶ = 2(3) = 162
2) Determine lim ⟶ (3 − 2 )lim⟶ (3 − 2 ) = lim⟶ (3 ) − lim⟶ ( 2 ) .= 3 lim⟶ − 2 lim⟶ .= 3 lim⟶ − 2(4) . y .= 3(16) − 8 = 40 .
3) Determine lim ⟶ √
lim⟶ √ + 9 = lim⟶ √ + 9lim⟶ .
64
= lim⟶ ( + 9)4 = lim⟶ + lim⟶ 94 . y . .= lim⟶ + 94 = √4 + 94 = 54 .
Teorema de sustitución
Si es una función polinómica o racional, entonces lim ⟶ ( ) = ( ), con
tal que ( ) esté definida. En el caso de la función racional, esto significa que el
valor del denominador en , no sea cero.
Ejemplo:
Determinar el valor del siguiente límite:
1) lim⟶ 7 − 10 − 13 + 63 − 6 − 8Por teorema de sustitución se tiene que:
lim⟶ 7 − 10 − 13 + 63 − 6 − 8 = 7(2) − 10(2) − 13(2) + 63(2) − 6(2) − 8 = − 112Límites laterales
Límite por la derecha: decir que lim ⟶ ( ) significa que tiende o se
aproxima a " " por los valores mayores a .
Límite por la izquierda: decir quelim ⟶ ( ) significa que se aproxima
o tiende a " " por los valores menores a .
Teorema de los límites laterales
El lim ⟶ ( ) existe y es igual a L si y sólo si lim ⟶ ( ) y lim⟶ ( )existen y son iguales a L.
65
Ejemplos:
1) Sea la función definida por ( ) = | | ≠ 02 = 0Determinar si lim ⟶ ( ) existe.
Recordemos que| | = − ≥ 0< 0Ahora, de acuerdo al teorema anterior, veamos si existe el límite:) lim⟶ ( ) = lim⟶ (− ) = 0) lim⟶ ( ) = lim⟶ = 0Como lim⟶ ( ) = lim⟶ ( ) = 0 entonces el límite lim ⟶ ( ) existe y
es igual a 0.
2) Sea la función definida por( ) = + 59 −3 − < −3− 3 ≤ ≤ 3> 3Determinar: ) lim⟶ ( ) ) lim⟶ ( ) ) lim⟶ ( )) lim⟶ ( ) ) lim⟶ ( ) ) lim⟶ ( )) lim⟶ ( ) = lim⟶ ( + 5) = −3 + 5 = 2) lim⟶ ( ) = lim⟶ 9 − = √0 = 0) lim⟶ ( ) No existe ya que lim⟶ ( ) ≠ lim⟶ ( )
) lim⟶ ( ) = lim⟶ 9 − = √0 = 0) lim⟶ ( ) = lim⟶ (3 − ) = 0) lim⟶ ( ) si existe ya que lim⟶ ( ) = lim⟶ ( ) = 0 y lim⟶ ( ) = 0Límites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la
variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.
Crecimiento infinito: significa que cuando ⟶ , ( ) crece sin límite, lo
cual se escribe como lim ⟶ ( ) = +∞
66
Decrecimiento infinito: significa que cuando ⟶ , ( ) decrece sin límite,
lo cual se escribe como lim ⟶ ( ) = −∞.
Teorema 10
Si n es cualquier número entero positivo, entonces1) lim⟶ 1 = +∞2) lim⟶ 1 = −∞+∞si es imparsi es par
Ejemplo: a partir del teorema 10 tenemos:
lim⟶ 1 = +∞, lim⟶ 1 = +∞,lim⟶ 1 = −∞, lim⟶ 1 = +∞
Teorema 11
Sea ∈ ℝ y ≠ 0 una constante cualquiera, lim⟶ ( ) = 0 y lim⟶ ( ) =1) lim⟶ ( )( ) = +∞,si > 0, y ( )⟶ 02) lim⟶ ( )( ) = −∞, si > 0, y ( )⟶ 03) lim⟶ ( )( ) = −∞, si < 0, y ( )⟶ 04) lim⟶ ( )( ) = +∞,si < 0, y ( )⟶ 0
Este teorema es válido para ⟶ y ⟶Ejemplo:
Calcular a) lim ⟶ , b) lim ⟶a) lim ⟶ , analicemos los límites del cocientelim ⟶ 2 = 2 lim⟶ = 2(1) = 2, constante positivalim⟶ ( − 1) = lim⟶ − lim⟶ 1 = 0, ( )⟶ 0
67
Por lo tanto aplicando T.11.2 resultalim⟶ 2− 1 = −∞b) lim ⟶ , analicemos los límites del cocientelim⟶ 2 = 2 lim⟶ = 2(1) = 2, Constante positivalim⟶ ( − 1) = lim⟶ − lim⟶ 1 = 0, ( )⟶ 0
Por lo tanto, aplicando el T.11.1 resulta:
lim⟶ 2− 1 = +∞Teorema 12
1) Si lim⟶ ( ) = +∞ y lim⟶ ( ) = , donde es una constante, entonces
⟶ [ ( ) + ( )] = +∞2) Si lim⟶ ( ) = −∞ y lim⟶ ( ) = , donde es una constante, entonces
⟶ [ ( ) + ( )] = −∞Este teorema es válido para ⟶ y ⟶Ejemplo:
Determinar lim⟶ +lim⟶ = +∞ y lim⟶ =
Así aplicando T.12.1tenemos que
lim⟶ 1− 2 + 1+ 2 = +∞Teorema 13Si lim⟶ ( ) = +∞ y lim⟶ ( ) = , donde es una constante distinta de cero,
entonces
1) lim⟶ [ ( ). ( )] = +∞,si > 0,
68
2) lim⟶ [ ( ). ( )] = −∞, si < 0Válido para ⟶ y ⟶Teorema 14
Si lim⟶ ( ) = −∞ y lim⟶ ( ) = , donde es una constante distinta de cero,
entonces
1) lim⟶ [ ( ). ( )] = −∞, si > 02) lim⟶ [ ( ). ( )] = +∞, si < 0
Válido para ⟶ y ⟶Ejemplos:
Determinar los siguientes límites1) lim⟶ lim⟶ + 2− 4 = lim⟶ + 2( + 2)( − 2) = lim⟶ 1− 2lim⟶ 1 = 1, constante positivalim⟶ ( − 2) = 0, ( )⟶ 0Aplicando T.11.1
lim⟶ + 2− 4 = +∞2) lim⟶ −
lim⟶ 1 − 1 = lim⟶ − = lim⟶ ( − 1)= lim⟶ , analizamos los límites del cocientelim⟶ ( − 1) = −1, constante negativalim⟶ = 0, ( )⟶ 0
69
Aplicando T.11.3 resulta lim⟶ − = −∞Asíntota vertical
La recta = , donde no forma parte del dominio de las funciones racionales, es
una asíntota vertical de la gráfica de la función si al menos uno de los siguientes
enunciados es verdadero:
1) lim⟶ ( ) = +∞ 2) lim⟶ ( ) = −∞3) lim⟶ ( ) = +∞ 4) lim⟶ ( ) = −∞Límites al infinito
Existen ciertas funciones que toman un valor fijo determinado cuando la variable
toma valores muy grandes o muy pequeños.
El límite cuando ⟶ +∞: significa que cuando tiende a tomar valores muy
grandes ( ) se acerca , lo cual se escribe como lim⟶ ( ) = El límite cuando ⟶ −∞: significa que cuando tiende a tomar valores cada
vez más pequeños ( ) se acerca , lo cual se escribe como lim⟶ ( ) =Teorema 15
Si n es cualquier número entero positivo, entonces
1) lim⟶ 1 = 0 2) lim⟶ 1 = 03) lim⟶ = +∞ 4) lim⟶ = +∞, si n es par−∞, si n es imparEjemplos:
1) Determinar lim⟶ ∞
Aquí utilizamos un artificio matemático: dividir cada término entre la potencia
más alta de
70
lim⟶ 4 − 32 + 5 = lim⟶ 4 − 32 + 5 = lim⟶ 4 − 32 + 5= lim⟶ 4 − lim⟶ 3
lim⟶ 2 + lim⟶ 5Luego aplicamos T.15.1 resulta
= lim⟶ 4 − lim⟶ 3lim⟶ 2 + lim⟶ 5 = 4 − 02 + 0 = 2
Por lo tanto lim⟶ = 22) Determinar lim⟶lim⟶ 1 + = lim⟶ 1 + = lim⟶ 11 + 1
= lim⟶ 1lim⟶ 1 + lim⟶ 1
Luego aplicamos T.15.2 resulta
= lim⟶ 1lim⟶ 1 + lim⟶ 1 = 00 + 1 = 0
Por lo tanto lim⟶ = 0Asíntota horizontal
La recta = es una asíntota horizontal de la gráfica de la función ( ) = , si
se cumple:lim⟶ ( ) = o lim⟶ ( ) =
71
Ejemplo: encontrar la asíntota horizontal de ( ) =Por definición de asíntota horizontal debe cumplirse lim⟶ ( ) = olim⟶ ( ) = , así:
lim⟶ 2− 1 = lim⟶ 2− 1 = lim⟶ 21 − 1= ⟶⟶ ⟶ Aplicando T.15.1
= lim⟶ 2lim⟶ 1 − lim⟶ 1 = 21 − 0 = 2Por lo tanto = es una asíntota horizontal.
Límites indeterminados
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y
productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende
se generan indeterminaciones del tipo , , ∞ − ∞, 0. ∞, 1 . Así que para
resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la
indeterminación.
Indeterminación de la forma
Este tipo de indeterminación se puede resolver de las siguientes formas, según sea
el caso:
1) Factorizando el numerador y denominador de la fracción, a fin de establecer
cuál es el factor que en ambos origina el valor cero.
2) En algunos casos la factorización es posible si se racionaliza la fracción
utilizando para ello el concepto de la conjugada.
Al simplificar la fracción se rompe la indeterminación y la expresión genera el
resultado del límite.
72
Muchas de las factorizaciones se obtienen multiplicando por la conjugada de laexpresión:
Expresión (E) Conjugada Producto
1 − + −2 √ − √ √ + √ −3 − √ + √ −4 √ + √ − −5 √ − √ + √ + −6 − √ + √ + −7 √ − + √ + −
Ejemplos:
Calcular:
1) lim⟶Sustituyendo el valor de por 1 en la fracción
lim⟶ − 3 + 2+ − 5 + 3 = 1 − 3 + 21 + 1 − 5 + 3 = 00Así que procedemos a factorizar el numerador y denominador de la fracción y
simplificamos los factores comuneslim⟶ − 3 + 2+ − 5 + 3 = lim⟶ ( − 1)( − 1)( + 2)( − 1)( − 1)( + 3)= lim⟶ + 2+ 3 = 34
Por lo tanto lim⟶ =2) lim⟶ √
lim⟶ 1 − √1 − = 1 − √1 − 00 = 00
73
Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador
lim⟶ 1 − √1 − = lim⟶ 1 − √1 − ∙ 1 + √1 −1 + √1 −= lim⟶ (1 − 1 − )(1 + √1 − )1 + √1 − = lim⟶ 1 − √1 −1 + √1 −= lim⟶ 1 − (1 − )1 + √1 − = lim⟶ (1 + 1 − ) = lim⟶ 11 + √1 −= 11 + √1 − 0 = 12Por lo tanto lim⟶ √ =Indeterminación de la forma
La resolución de este tipo de límites se realiza dividiendo todos los términos del
numerador y denominador por la mayor potencia de la variable .
Ejemplos:
Calcular:
1) lim⟶ 3 − − 12 + 2 + 1Si se sustituye el valor de por ∞ se tienelim⟶ 3 − − 12 + 2 + 1 = 3(∞) − ∞ − 12(∞) + 2(∞) + 1 = ∞∞
Se divide cada uno de los términos del numerador y denominador por lamayor potencia de la cual es
lim⟶ 3 − − 12 + 2 + 1 = lim⟶ 3 − − 12 + 2 + 1= lim⟶ 3 − 1 − 12 + 2 + 1 = 0 − 0 − 02 + 0 + 0 = 02
74
Por lo tanto lim⟶∞
3 − − 12 + 2 + 1 = 02) lim⟶ √ − 2+ √ + 1
Si se sustituye el valor de por ∞ se tiene
lim⟶ √ − 2+ √ + 1 = (∞) − 2(∞)∞ + (∞) + 1 = ∞∞Se divide cada término del numerador y denominador por la mayor potencia
de , que es
lim⟶ √ − 2+ √ + 1 = lim⟶ √ − 2+ √ + 1
= lim⟶ − 21 + + 1 = lim⟶ − 2
1 + + 1= lim⟶ 1 − 2
1 + 1 + 1 = lim⟶ √1 − 01 + √1 + 0 = lim⟶ 11 + 1 = 12por lo tanto lim⟶ √ − 2+ √ + 1 = 12
Indeterminación de la forma∞ − ∞Este tipo de indeterminación se suele romper haciendo operaciones y
simplificando antes de sustituir la variable o multiplicando y dividiendo por la
expresión conjugada. Dicho de otra manera, al hacerse las transformaciones se puede
convertir estas indeterminaciones a las formas indeterminadas , o a formas no
indeterminadas.
75
Ejemplos:
Calcular:1) lim⟶ √ + 1 − √Sustituyendo por ∞ se tienelim⟶ √ + 1 − √ = √∞ + 1 − √∞ = ∞ − ∞
Para romper con la indeterminación se multiplica y divide la expresión por laconjugada,lim⟶ √ + 1 − √ = lim⟶ √ + 1 − √ . √ + 1 + √√ + 1 + √
= lim⟶ √ + 1 − √ . √ + 1 + √√ + 1 + √ = lim⟶ √ + 1 − √√ + 1 + √= lim⟶ + 1 −√ + 1 + √ = lim⟶ 1√ + 1 + √ = 1√∞ + 1 + √∞= 1∞ + ∞ = 1∞ = 0
Asi, lim⟶ √ + 1 − √ = 02) lim⟶ 2 − 7+ 1 − 6 + 43 + 5
lim⟶ 2 − 7+ 1 − 6 + 43 + 5 = ∞ − ∞Operando las fracciones:
lim⟶ 2 − 7+ 1 − 6 + 43 + 5 = lim⟶ (2 − 7)(3 + 5) − (6 + 4)( + 1)( + 1)(3 + 5)= lim⟶ 6 + 10 − 21 − 35 − 6 − 6 − 4 − 43 + 5 + 3 + 5= lim⟶ 4 − 25 − 393 + 8 + 5
76
Sustituyendo por ∞ se tiene4∞ − 25∞ − 393∞ + 8∞ + 5 = ∞∞Resolviendo el límite se tiene
lim⟶ 4 − 25 − 393 + 8 + 5 = lim⟶ 4 − 25 − 393 + 8 + 5 = lim⟶ 4 − 25 − 393 + 8 + 5= 4 − 0 − 03 + 0 + 0 = 43
finalmente lim⟶ 2 − 7+ 1 − 6 + 43 + 5 = 43Indeterminación de la forma 1Para romper con esta indeterminación aplicamos el siguiente teorema:
Teorema 16
Si lim⟶ ( ) = 1 y lim⟶ ( ) = ∞ entonces lim⟶ ( )( ) = ⟶ [ ( ) ]. ( )Ejemplo:
Calcular lim ⟶ 1 +Evaluamos cada uno de los límites
lim⟶ 1 + + 1 = lim⟶ + 1 ++ 1 = 1 + 0 + 01 + 0 = 11 = 1lim⟶ 3+ 2 = 10 + 0 = ∞
Nos encontramos con una indeterminación de la forma 1 , aplicando el teoremaT.16
⟶ 1+ 2+1 .Resolvemos lim⟶ 1 + 2+1 − 1 .
77
lim⟶ 1 + 2 + 1 − 1 . + 2 = lim⟶ 2 + 1 . + 2= lim⟶∞ + 2 + + 2 = lim⟶∞ + 2 + + 2= lim⟶ 11 + 22 + 13 + 24 = 10 = ∞
de esta forma ⟶∞. = ∞ = ∞
Asíntota oblicua
La recta : = + es una asíntota oblicua de la gráfica de la función ( ) =si se cumple el siguiente teorema:1) Lim → ( ) = y lim → [ ( ) − ] = ⇔ = + Es una
asíntota oblicua a la derecha de ( ) =2) Lim → ( ) = y lim → [ ( ) − ] = ⇔ = + Es una
asíntota oblicua a la izquierda de ( ) =Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de
unas, implica la no existencia de las otras.
Ejemplos:
1) Hallar las asíntotas de ( ) =Tenemos que = lim → ∞
( ) = lim→ ∞= lim→ ∞= lim→ 11 = 1 =
= lim→ [ ( ) − ] = lim→ − 3− 2 −
78
= lim→ − 3 − + 2− 2 = lim→ −3 + 2− 2 = 2Luego, = + 2 es una asíntota oblicuaObsérvese que = 2 es una asíntota vertical
2) Hallar las asíntotas de ( ) = √a) Asíntota vertical: como el dominio de la funciones = (−∞; −1) ∪(1; +∞), los puntos 1 y −1 son candidatos a ser asíntotas verticales, así que por
definición, evaluamos:lim⟶ ( ) = lim⟶ √ − 1 = 1√1 − 1 = 10 = +∞lim⟶ ( ) = lim⟶ √ − 1 = −1√1 − 1 = −10 = +∞Por lo tanto = − y = son las asíntotas verticales de ( )b) Asíntotas horizontales: evaluemos:
lim⟶ ( ) = lim⟶ √ − 1 = 10 = +∞Como lim⟶ ( ) = +∞ ≠ entonces no existen asíntotas horizontales.
c) Asíntotas oblicuas:
Asíntota oblicua a la derecha
= lim→ ( ) = lim→ √ − 1 = lim→ √ − 1= lim→ √ − 1 = lim→ − 1 = lim→ 11 − 1= lim→ − 1 = 1√1 − 0 = =
b = lim→ [ ( ) − ] = lim→ √ − 1 −
79
= lim→ − √ − 1√ − 1 . + √ − 1+ √ − 1= lim→ − √ − 1 + √ − 1√ − 1 + √ − 1= lim→ − ( − 1)√ − 1 + √ − 1= lim→ √ − 1 + ( − 1)= lim→ √ − 1 + −= lim→ − 1 + −= lim→ 01 1 − 1 + 1 − 1 = 01 = 0b = 0
Luego, = es una asíntota oblicua a la derecha
Continuidad y discontinuidad de funciones
Geométricamente, la continuidad es fácil de explicar. Una función es continua
si su gráfico no tiene saltos o interrupciones. En otras palabras, su gráfico puede ser
trazado sin levantar el lápiz del papel.
Continuidad en un punto
Se dice que la función es continua en el número si y sólo si se satisfacen las
tres condicionessiguientes:
(i) ( ) existe,
(ii) lim → ( ) existe
(iii) lim → ( ) = ( )
80
Discontinuidad
Si una o más de las tres condiciones de continuidad no se cumplen en el punto
, entonces se dice que la función es discontinua en .
Tipos de discontinuidad
Si es discontinua en y existe lim → ( ), diremos que la discontinuidad
en es removible. Se llama así debido a que se puede redefinir a en de modo
que la discontinuidad es eliminada. Es claro que la redefinición deber ser del modo
siguiente: ( ) = lim→ ( ) La discontinuidad es esencial si no existe lim → ( ), En este caso no hay
modo de salvar la discontinuidad.
Ejemplos:
1) Sea ( ) = 6 ≠ 4= 4 verificar si es continua en = 4Deben verificarse las tres condiciones de continuidad:( ) ( ) = (4) = 6
( ) lim→ − 16− 4 = lim→ ( − 4)( + 4)− 4 = lim→ ( + 4) = 8Luego ( ) existe en = 4( ) No se cumple ya que lim → ( ) = 8 ≠ 6 = (4)En consecuencia tiene una discontinuidad removible en = 4, para ello se define la
función:( ) = − 16− 48 ≠ 4= 42) Sea ( ) = 3 + 2− 1 < −1≥ −1 verificar si es continua en = −1
81
Deben verificarse las tres condiciones de continuidad:( ) (−1) = (−1) − 1 = 0( ) Probar que lim→ ( ) existe:) lim→ 3 + 2 = −3 + 2 = −1) lim→ − 1 = (−1) − 1 = 0Luego lim→ ( ) ≠ lim→ ( ) por lo tanto lim→ ( ) no existe.
En conclusión f tiene una discontinuidad esencial en el punto = −1Continuidad lateral
1. Una función es continua por la derecha en el punto si: → ( ) =( )2. Una función es continua por la izquierda en un punto si: → ( ) =( )De allí que es continua en si y sólo si es continua por la izquierda en y
es continua por la derecha en .
Continuidad en intervalos
1. Una función es continua en un intervalo abierto ( , ) sí es continua en
todo punto de ese intervalo.
2. Una función es continua en el intervalo [ , ) si es continua en el
intervalo ( , ) y es continua por la derecha en .
3. Una función es continua en el intervalo ( , ]si es continua en el intervalo( , ) y es continua por la izquierda en .
4. Una función es continua en el intervalo [ , ] si es continua en el
intervalo ( , ) y es continua por la derecha en a y continua por izquierda en .
Se tienen definiciones similares a las anteriores, para la continuidad en los intervalos[ , +∞) y(−∞, ]
82
Ejemplos:
1) Sea ( ) = √4 − determine el intervalo más grande donde la función es
continua
a) Primero determinamos el dominio de
Como ( ) = √4 − ⇒ 4 − > 0 ⇒ (−2, 2)Por lo tanto es continua en el intervalo abierto (−2, 2)) Como deseamos determinar el intervalo más grande donde la función es
continua, entonces calculamoslim → ( ) = ( )ylim → ( ) = ( )Esto es:lim→ ( ) = lim→ 4 − = 4 − (−2) = 0 = (−2)lim→ ( ) = lim→ 4 − = 4 − (2) = 0 = (2)
De modo que, es continua por la derecha en −2 y continua por la izquierda de 2.
Así que de ) y ) es continua en el intervalo [−2,2]
83
CAPÍTULO III
CONTEXTO METODOLÓGICO
La Naturaleza de la Investigación
Toda investigación realizada en el Campo Educativo trae consigo su propia
problemática. Por tanto, como señala García (2014)
la importancia radica en la metodología adoptada, así como la técnicade recolección de datos, un plan de trabajo adecuado y un escenariobien definido con sus respectivos informantes clave que haga posibleque el estudio se realice(. p. 64)
Es decir, el investigador tiene que enfrentar sus propios retos con la intención de
vencer las diferentes dificultades encontradas durante el proceso de investigación
documental, la recolección de la información oral o escritas, de parte de los
informantes clave, la cual debe vaciar, categorizar, organizar, sistematizar, analizar,
interpretar, para finalmente teorizar según sus objetivos planteados.
Por ello, el investigador centró el desarrollo de la Tesis Doctoral en las dificultades
detectadas durante la apropiación del concepto de límite de una función real de
variable real en estudiantes universitario de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, Municipio Mariño,
Estado Aragua.
En este aspecto, se señaló el proceso metodológico realizado en la presente
investigación con el fin de aplicar una metodología Cualitativa dentro de un enfoque
epistemológico haciendo énfasis en el desarrollo cognitivo de los alumnos y el
método de enseñanza por parte del docente, teniendo en cuenta para ello, un análisis
exhaustivo de las dificultades que en forma de redes complejas hacen su aparición en
las prácticas matemáticas como síndrome de obstáculo y manifestándose durante las
prácticas matemáticas que los dicentes materializan en forma de errores.
84
Además, cómo la investigación necesita de un modelo teórico para interpretar
exhaustivamente las narraciones suministradas por los informantes se utilizó la teoría
hermenéutica, los informantes clave, las técnicas e instrumentos de recolección de la
información, las técnicas de análisis de la información, validez y confiabilidad,
procedimiento y cronograma de actividades.
Por ello, la elección del Método Cualitativo respondió, entre otras cosas, a la
relación existente entre el profesor y el alumno en el aula de clase durante el proceso
de enseñanza y aprendizaje del límite de una función real de variable real, desde
ambas perspectiva, donde interviene también la interpretación personal del
investigador con el fin de obtener de manera cercana las actitudes tanto de profesor
como la del alumno.
Así, el trabajo consistió en recolectar la información narrada por los informantes
clave, quienes respondieron a las preguntas hechas por el investigador sobre la noción
de estudio, y quien aplicando la entrevista semiestructurada durante el momento
seleccionado de mutuo acuerdo entre ambos, registrando mediante un grabador las
respuestas obtenidas, siendo luego traducida en palabras para su subsiguiente
tratamiento.
En segundo lugar, las narrativas de los informantes clave se vaciaron en una
matriz, a partir de la cual se escogieron las categorías emergentes, base fundamental
para la interpretación hermenéutica del total de las categorías, las que permitieron la
estructuración de la nueva teoría bajo el enfoque del realismo, puesto que se parte de
la realidad del docente y del estudiante.
Por otro lado, reforzando las razones de la selección del método Cualitativo se
tiene que no hay manipulación de variables, por parte, del investigador, por cuanto, se
registra magnetofónicamente la narración del informante respectivo, traduciéndose
dicha información como temporal, debido a que la narración de un mismo informante
en otro momento, y con las mismas preguntas generan respuestas diferentes de la
primera versión.
85
Enfoque Epistemológico
De acuerdo al propósito de la investigación se utilizó el enfoque epistemológico
(Godino y Batanero, 1994) con base en la Didáctica de la Matemática (Gascón,
1998), unida a la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD), de Brousseau (1999),
debido a que proporciona herramientas que facilitan el proceso de aprendizaje
matemático en una situación problema.
De tal manera, que la sumisión a esta teoría es motivada por la hipótesis que el
aprendizaje matemático, en términos de adaptación a un medio adidáctico, puede
orientar consistentemente la construcción de situaciones didácticas mediante los
cuales los estudiantes construyan los conocimientos matemáticos de forma
significativa.
Método
Para Godino y Batanero (1998), el foco de atención preferente de la Teoría de
Situaciones Didácticas ha sido la caracterización de la dimensión adidáctica de las
situaciones de aprendizaje matemático, sin olvidar el estudio del papel del profesor
como constructor y gestor del medio en que el alumno interactúa para construir el
conocimiento matemático.
Por otro lado, como el enfoque aplicado en la investigación es el epistemológico se
tiene que el método idóneo sería el Cualitativo, específicamente el estudio de las
situaciones didácticas, en sintonía con el enfoque realista permitiendo elaborar las
bases que orienten la construcción de un sistema algorítmico que conduzca al
planteamiento de problemas con solución en el campo matemático.
Todo esto, en el contexto del Manual de Trabajo de Grado, de Especialización,
Maestrías y Tesis Doctorales de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador
(2013) se inscribe en una investigación de campo:
El análisis sistemático de problemas en la realidad, con el propósito biensea de describirlos, interpretarlo, entender su naturaleza y factorescontribuyentes, explicar sus causas y efectos, o predecir su ocurrencia,
86
haciendo uso de métodos característico de cualquiera de los paradigmas oenfoque de investigación conocidos o en su desarrollo… (p. 18)
La investigación que se realizó es de tipo cualitativo, en el método hermenéutico
ya que, en virtud de su naturaleza, orientación disciplinaria, la clase de información
que se recabó, el tratamiento que se le dio a ésta y la concepción que se asumió, el
diseño de estudio que sirvió de base para su desarrollo, se corresponde con un estudio
interpretativo.
La utilización del método interpretativo para investigar en escenarios educativos,
esta mediado por una sociología de la educación cuya preocupación dominante es
que, se aborde aspectos micro educativos, que tiene que ver con el entendimiento del
proceso mismo de la educación, vinculándose con la práctica educativa, tal como la
ejercitan los maestros y profesores, con complejidades propias de las interacciones y
negociaciones que se producen entre docentes y estudiantes en las actividades que
cotidianamente se llevan a cabo en el aula de clases.
Es por ello, que se contó con la participación, en la actividad, con un profesor
procedente del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, considerando que
la especialidad en que se desempeñe sea la Matemática, estableciendo así, el criterio
que los profesionales que comparten esta característica tienen la madurez en el
desarrollo de las capacidades matemáticas, necesarias para responder las preguntas de
la entrevista semiestructurada presentada por el investigador, donde grabó las
disertaciones realizadas por el docente.
De igual manera, la investigación ubicó su interés en las aportaciones de los
dicentes de educación superior del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis
Fermín, en cuanto al contenido relacionado con el límite de una función real de
variable real en el campo de la Matemática sobre la base de herramientas conocidas,
como lo es la definición de función, dominio y rango de una función, definición
intuitiva y formal del límite de una función real de variable real, presentes en el
programa sinóptico de la asignatura Cálculo Diferencial del segundo semestre de la
Especialidad de Matemática.
87
De hecho, participaron dos (2) estudiantes, uno del octavo (8º) semestre y otro del
decimo (10º) semestre motivado a la necesidad de poseer cierto nivel de formación
matemática, acumulado por su tránsito en otras asignaturas que desarrollen dentro sus
contenidos este tipo de actividad, respetando los conocimientos significativos que
traen de estudios anteriores. En este sentido a cada estudiante se le realizaron las
mismas preguntas, las cuales respondieron con toda libertad.
Tipo de Investigación
El presente trabajo se abordó desde un modelo metodológico de tipo cualitativo,
de acuerdo con las diferentes etapas del estudio y según las fases del problema
estudiado, es decir, se utilizaron diferentes técnicas y un solo enfoque metodológico.
En otras palabras, para desarrollar la investigación se elaboró un cronograma de
actividades sobre el contenido propio de la Matemática y particularmente sobre el
límite de una función real de variable real.
Por consiguiente, el cronograma lo conformaron dos actividades a las cuales
accesaron tanto el docente como los alumnos que participaron en la experiencia,
dichas actividades contaron con una introducción a modo de justificación y las
soluciones a las interrogantes planteadas durante su desarrollo.
Así constatamos que, para Martínez (2.008), el Modelo Cualitativo rechaza la
intención desmedida e irracional, de cuantificar toda realidad y destacando en
cambio, la importancia del contexto, la función y el significado de los actos y las
relaciones humanas.
En el mismo orden de ideas, Martínez (ob.cit), afirma que “la metodología
cualitativa trata del estudio de un todo integrado que forma… una unidad de análisis
y que hace que algo sea lo es…trata de identificar la naturaleza profunda de las
realidades, su estructura dinámica, aquella que da razón plena de su comportamiento
y manifestaciones…es un todo… no se opone a lo cuantitativo, sino que lo implica e
integra…” (p. 8).
88
Es decir, se interpreta que cualquiera sea enfoque aplicado a la investigación
cualitativa, sus resultados no son previamente conocidos, ni se parte con la seguridad
determinista.
Esto es confirmado por Morín, y otros (2006), cuando afirman, que:
“El método es un discurso, un ensayo prolongado de un camino que sepiensa, es un viaje, un desafío, una travesía, una estrategia que se ensayapara llegar a un final pensado he imaginado y al mismo tiempo insólito,imprevisto y errante… es una búsqueda que se inventa y se reconstruyecontinuamente” ( p. 17)
En síntesis, Morín (ob.cit), da un vuelco a la estrategia con el fin de conocer los
hechos, los procesos y los fenómenos, estableciéndose por tanto, un procedimiento
que da un carácter particular a las observaciones.
Pues, es un proceso de interacción mutua, por lo que no importa tanto las
generalizaciones de sus conclusiones, sino la peculiaridad del fenómeno estudiado,
dándose entre los elementos constituyentes, relaciones dependientes, dialógicas y
participativas, donde el investigador se sumerge en la realidad para captarla,
apropiarla y comprenderla.
Igualmente, Villamizar (2011), señala, que el método, que más se adapta al
enfoque epistemológico de una investigación es el cualitativo, fundamentándose
para ello en la cercana relación que existe entre el investigador y el fenómeno,
permitiendo la comprensión y la interpretación de las diferentes construcciones de
modelos mentales que poseen los participantes respecto a una situación problema o
fenómeno determinado.
Informantes Clave
En la investigación se consideraron tres informantes clave, un docente con amplia
experiencia en el área de la Educación Matemática y dos estudiantes de semestre
avanzados de la misma especialidad. Al respecto, Martínez (1.998), afirma, que es
conveniente escoger a los individuos, con toda intención, de manera que queden
representadas las variables de género, edad, nivel socio económico y profesión,
89
según sea el caso, puesto que la información, no necesariamente tiene que ser igual,
ya que puede ser contrastante.
En ese sentido, se seleccionaron como informantes clave a un docente
universitario del Departamento de Matemática de la Universidad Pedagógica
Libertador, Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, elegido
intencionalmente con base a los siguientes criterios: profesor adscrito al
Departamento de Matemática de UPEL Mácaro Luis Fermín, cualquier género, sin
más traba que no sea la de haber dictado Cálculo Diferencial; y dos estudiantes,
inscritos en la especialidad de Matemático, constituyéndose con ellos dos grupos.
Técnicas e Instrumentos de Recolección de la Información
En la investigación se utilizó como técnica para recolectar la información el
análisis documental y la entrevista semiestructurada. Por tanto, se empleó el análisis
documental con el propósito de recabar y analizar la información escrita, audiovisual,
digital, electrónica, entre otros, orientada con las teorías, enfoques, reglamentos e
investigaciones relacionadas con el tema de investigación, así como todo tipo de
información relevante al objeto de estudio.
En ese contexto, Corbetta (2007) afirma, que:
Por documento entendemos el material informativo sobre un determinadofenómeno social que existe con independencia de la acción delinvestigador. Por tanto, el documento es generado por los individuos opor las instituciones para fines distintos de la investigación social. Noobstante puede apropiarse de él para utilizarlo con fines cognoscitivos (p.401).
En cuanto a la entrevista, la misma fue de tipo semiestructurada, con la finalidad
de llegar a raíces del tema estudiado, permitiendo contrastar lo señalado por los
docentes acerca del conocimiento sobre el límite de una función real de variable real,
así como, el punto de vista de los discentes en cuanto al mismo tema, de manera, que
se pueda generar una triangulación, de acuerdo a lo anterior Muñoz (1997), afirma,
que “el cruce de datos de origen diferente acerca de una misma realidad, suele ser
90
fértil y provechosa, pues conduce a aumentar considerablemente la confiabilidad y
validez de los resultados” (p. 27).
Por su parte, Rodríguez (2007), concibe a la entrevista como un diálogo
intencional orientado hacia unos objetivos, sosteniendo, que es un diálogo entre dos o
más personas, con los mismos intereses y con los mismos propósitos específicos de
obtener información relevante para su investigación.
La entrevista semiestructurada fue aplicada mediante un guion contentivo de los
temas que permitieron al informante expresarse con libertad y que se ajustaron a
situaciones y a individuos particulares.
Validez y Confiabilidad
La validez del instrumento, se realizó mediante el método de juicio de expertos
sustentado en la opinión de un metodólogo, un profesor especialista del área de
lingüística y un profesor especialista en el área de matemática. Esto con el fin de
revisar el contenido, la redacción y la pertinencia de cada pregunta orientada hacia las
debidas correcciones.
Por ende, el instrumento se elaboró para consultar a los expertos en función de los
diferentes contenidos definidos como indicadores del criterio, selección y alcance del
contenido, además se implementó en tres etapas: Primera Etapa: Se proporcionó al
experto una aclaratoria de las metas perseguidas con esta investigación. Segunda
Etapa: se les solicitó a los expertos la revisión minuciosamente del guion de
preguntas con el fin de identificar su redacción y las características buscadas. Tercera
Etapa: se revisó la entrevista semiestructurada con los expertos, con el objetivo de
precisar la certeza de su respuesta, logrando así, ampliar o mejorar el punto de vista
sobre la respuesta dada a la pregunta planteada.
Por otra parte, la confiabilidad del instrumento no se realizó debido a que en las
investigaciones bajo el método cualitativo lo que se debe garantizar es la
confiabilidad de los hallazgos, la cual se realizó mediante la triangulación, que
permitió cruzar las ideas, contrastar y comparar los relatos y respuestas a las
temáticas tratadas con los informantes clave. El proceso de validación de la
91
información se vio reflejado en la matriz de triangulación, al referirse a dicho proceso
Elliot (2007), afirma que:
Sin duda alguna, la triangulación implica la obtención de relatos acerca deuna situación de enseñanza desde tres puntos de vista bastante distintos:lo correspondiente al profesor, a los alumnos y a un observadorparticipante. La determinación de quien obtiene la información, de cómose presentan los relatos y de quien los compara dependeconsiderablemente del contexto. (p. 150).
Procedimiento
Para Martínez (ob.cit), toda investigación plantea tres tareas básicas: hallar la
información, categorizarla e interpretarla, sin necesariamente, realizarla en tiempo
sucesivo, sino que se entrecruzarán continuamente.
En ese orden de idea, la investigación consistió, en primer lugar, recoger la
información mediante la entrevista semiestructurada a los informantes clave: Docente
y alumnos, mediante las preguntas elaboradas, contenidas en un cuestionario guía y
registradas en un grabador.
Luego, se extrajo cada respuesta acerca de las concepciones en relación al límite
de una función real de variable real, su definición, su aplicación, el desarrollo de una
estrategia didáctica matemática basada en la apropiación del concepto del límite de
una función real de variable en el nivel universitario.
Por estas razones, el investigador elaboró las mismas preguntas para todos los
informantes clave (profesor – alumnos), la cuales administró a cada participante. Y
una vez que se obtuvo la información de todos ellos, no se clasificó cronológicamente
por fecha de producción, sin la necesidad de respetar el orden en que se realizó la
actividad.
Todo lo anterior, en sintonía con los objetivos de la investigación, elementos que
orientaron la categorización, para finalmente realizar el proceso de triangulación con
el fin de verificar la información recabada, organizando las ideas de los informantes
clave en un marco de referencia, para comparar y contrastar los relatos emitidos por
92
cada informante, quienes con el mayor grado de libertad narraron oralmente sus
experiencias y conocimientos.
Finalmente la investigación se realizó mediante el cumplimiento de tres etapas, en
concordancia con las actividades propuestas y mediante la organización teórica que
surgió de las observaciones realizadas por parte del investigador a las narraciones
orales de los informantes clave.
Categorización
Consistió en describir consistentemente, las narraciones realizadas por los
informantes clave una vez registrada en la matriz respectiva, las cuales debieron ser
vaciadas por fecha de recolección, y en concordancia con los objetivos de la
investigación con la intención de definir las categorías emergentes.
Triangulación
Consistió en organizar la información obtenida de las diferentes narraciones con
el fin de contrastar las versiones expuestas por los diferentes informantes clave,
como lo declara Rojas (2007), al señalar, que “consiste en contrastar datos
provenientes de diversas fuentes, técnicas, métodos, investigadores e interpretarlos
desde distintos enfoques teóricos” (p. 166)
Es decir, la información aportó datos de gran importancia que permitieron
comparar, desechar y captar el insumo pertinente con el objeto de obtener otros datos
que no se detectaron a simple vista, y que sirvieron de insumo para el reconocimiento
de concepciones, definiciones, posturas didácticas en el campo de la didáctica
matemática.
Así lo confirma Denzin (1970), quien define triangulación como “la combinación
de dos o más teorías, fuentes de datos o métodos de investigación en el estudio de
fenómeno singular”, (p. 67).
De donde se desprende que la combinación se puede llevar a cabo a partir de la
fuente de datos, o mejor dicho considerando los diferentes grupos como informantes
clave.
93
CAPÍTULO IV
CONTEXTO ANALÍTICO
Hallazgos de la Investigación
En este Momento, se presentan los hallazgos obtenidos de las entrevistas
realizadas para identificar, desde los actores, las dimensiones del constructo Límite
Real de una Función Real de Variable Real; cabe resaltar que después de obtener
información, producto de las entrevistas realizadas, se procedió a categorizar,
contrastar y triangular los hallazgos, cotejándolos con la teoría presentada es espacios
anteriores de la investigación. Al respecto, Martínez (2006), refiere que la
categorización es:
Un proceso que trata de asignar categorías o clases significativas, de irconstantemente diseñando y rediseñando, integrando y reintegrando eltodo y las partes, a medida que se revisa el material y va emergiendo elsignificado de cada sector, párrafo, evento, hecho o dato; y como nuestramente salta velozmente de un proceso a otro tratando de hallarle un sentidoa las cosas que examina. (p.4).
Por esto, se considera que los datos deben ser categorizados de acuerdo al
propósito del argumento presentado por los informantes para poder ubicarlos en
significados comunes y relacionarlos con el todo e ir diseñando y rediseñándolo, a
medida que se revisa el material con la intención de hacer emerger material
significativo para cada sector o evento.
El procedimiento señalado especifica que debe haber una concordancia en los
datos obtenidos en el proceso de la entrevista para categorizarla, en función del
diseño establecido por el investigador bajo un análisis e interpretación de todos los
elementos obtenidos con la intención de efectuar una reflexión sobre la situación
vívida.
94
Ello concuerda con lo expresado por Martínez (2006), “El análisis e interpretación
de la información no son actividades mentales separadas, por ello, se requiere ir
desarrollándolas a medida que la información se va obteniendo”.
La entrevista, semiestructurada, se compuso de planteamientos abiertos donde se
tocaron diversos puntos relacionados con la formación de pregrado en cuanto a la
definición del límite de una función real de variable real y el desarrollo profesional de
los informantes clave; se les aplicó a un profesor experto, entrevistado en lugar
adecuado por separado y que, además de la entrevista, se les agradeció por su
participación en el estudio. Los estudiantes igualmente se entrevistaron por separado
en fechas diferentes y distintos lugares con las condiciones óptimas para desarrollar la
actividad
Procesamiento de los Datos
Una vez recabada toda la información, de las entrevistas semiestructurada, el
investigador procedió a transcribir, detalladamente, cada uno de los contenidos en
porciones o unidades temáticas (párrafos) que expresan una idea central de la
temática que se estudió para su fácil manejo posterior. El desarrollo de este estudio,
tuvo un tiempo limitado y por lo tanto, el investigador recabó toda la información
posible en el lapso pautado de tres meses.
De allí que el investigador para procesar los datos y visualizarlos, los exhibió en
una matriz epistémica, lo que Strauss y Corbin (2002) definen como: "(...) una
representación diagramática de un conjunto de ideas" (p. 200). La matriz epistémica
presentada por el investigador tiene los siguientes elementos: el texto, código,
propiedad, significado y la interpretación, todos descritos de acuerdo a la información
que se recogió del escenario de la investigación.
Es evidente que la matriz es un mecanismo de codificación que ayuda al
investigador a tomar en cuenta varios aspectos (texto, código, propiedad,
categorización, significado e interpretación), la importancia de la matriz epistémica es
ubicar el fenómeno en el contexto, significa construir un relato sistemático, lógico e
integrado, que especifique la naturaleza de las relaciones entre los acontecimientos y
fenómenos significativos.
95
En cuanto al texto, según el método postulado por Martínez, (2006):
El texto representa en cierto modo, el sujeto que es su autor, de maneraque un examen adecuado de la huella, que el sujeto deja en la superficietextual puede permitir la inferencia de ciertas características de ese sujeto(...) y lograr la medición de las actitudes del sujeto, productor del textocon respecto a los objetos que aparecen expresados en el mismo (p. 134)
De ahí que, el texto forme un todo a ser parte de un todo. En el caso que me ocupa,
el texto fue generado por medio de entrevistas en profundidad y observación
participativa.
Dentro de este orden, se tiene también el código, está compuesto por un conjunto
de palabras, frases o párrafos, que tienden a exhibir una idea central unitaria y pueden
estar subsumidos en otros más amplios.
También las propiedades forman e integran la matriz epistémica. son considerados
los diferentes aspectos o características del fenómeno, son importantes para
comprender el proceso; luego se continua con la categorización: consiste en colocarle
un nombre breve que sintetice o resuma el significado del código; siguiendo el orden,
se coloca que la significación es el sentido explicito con la aparición de símbolos
verbales (categorías) y seguidamente la interpretación que no es más que una
interacción dialéctica entre las expectativas del intérprete y el significado de un texto
o acto humano.
A continuación se explica el método que utilizó el investigador para la validación
de la información. La Triangulación, según Leal (2005) consiste en determinar ciertas
intersecciones o coincidencias a partir de diferentes apreciaciones y fuentes
informativas o varios puntos de vista del mismo fenómeno. Denzin (1989) citado por
Leal (2005), la define como "la combinación de dos o más teorías, fuentes de datos,
método de investigación en el estudio de un fenómeno singular". (p. 16).
En este estudio, el investigador la utilizó como método para la validación de la
información que se recabó de las entrevistas, fuentes de información de los
informantes claves, de manera que la confirmabilidad se realizó a través de la
triangulación. La confirmabilidad está referida al grado en que un instrumento valora
96
algo consistente y determina la utilidad de los resultados, estos fueron obtenidos bajo
ciertas consideraciones de espacio y tiempo.
A continuación, se presenta el contenido de cada una de las entrevistas aplicadas a
los informantes clave, facilitándose con ello la categorización de la temática en
estudio, obteniéndose así las códigos y categorías que permitieron construir
información nueva sobre lo reflejado por los informantes, utilizando los llamados
filtros epistémicos (Leal, 2005), que a continuación se presentan.
97
Cuadro1
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR1: Profesora egresada del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro en Educación Integral, conexperiencia en Educación Superior en el tema de estudio. Actualmente cursa el octavo semestre de la Especialidad de Matemática en elInstituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS¿Cómo fue la experienciavivida al confrontar el conceptode Límite de una Función Realde Variable Real a lo largo de túformación como docente dematemática?Mi primer contacto con elaprendizaje del concepto de límitede una función real fue en el año1991 en la universidad central deVenezuela, Núcleo Maracay,Facultad de Agronomía, en esaépoca estudiante del primersemestre en la materia MatemáticaI, recuerdo que se nos dijo que elconcepto de límite de una funciónreal no era de fácil comprensiónpor parte de los estudiantes, se nosdio una definición simbólica delímite que en ese momento lamemorice y solo la aplique en unaevaluación sin entender elsignificado de los símbolos queestaban presente en ese concepto;en esa época el docente trabajomás el contenido de lasindeterminaciones y recuerdo que
Primer contactoMomento de la Primeraconfrontación con la definiciónde LFRVR.
Encuentro inicial con ladefinición formal de LFRVR.
ProfesorDocente que presentó ladefinición por primera vez alentrevistado.
Profesor del curso de CálculoDiferencial o equivalente.
EstudioForma de apropiarse delconocimiento.
Forma de Aprendizaje.
98
Cuadro 1(Cont.)
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR1: Profesora egresada del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro en Educación Integral, conexperiencia en Educación Superior en el tema de estudio. Actualmente cursa el octavo semestre de la Especialidad de Matemática en elInstituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍASnos dio clase un ingeniero. Esimportante mencionar que se nosenseño el concepto de Límite deuna función real y no se nos hablodel concepto del límite de unafunción real de variable real. En1998 en el Tecnológico de lavictoria (sede la Victoria) me dioClase de Matemática I el ProfesorLuis Capace, recuerdo que eldocente nos dio el contenido delconcepto de Límite de una funciónreal de variable real, el mismo nolos explicó a través de un ejemplo,donde nos dio una función real yun valor de X como punto deacumulación, donde teníamos queconstruir una tabla de datos ygraficar la función. El propósitoera estudiar el comportamiento delos valores de la función, paracada uno de los valores de X deldominio próximos a ese punto deacumulación, pero diferente a elvalor de X dado por el docente.De la tabla de valores que obtuvey de la gráfica de la función;observe que para valores de X que
Segundo contacto Momento en que enfrenta denuevo la definición de LFRVR,en otro contexto.
Definición de LFRVR.
99
Cuadro 1(Cont.)
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR1: Profesora egresada del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro en Educación Integral, conexperiencia en Educación Superior en el tema de estudio. Actualmente cursa el octavo semestre de la Especialidad de Matemática en elInstituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAStienden al punto de acumulaciónpor la izquierda (se aproximan X,con valores menores al punto deacumulación) los valores de lafunción tienden a un valor de Ycon valores menores que Y. Porotra parte, para valores de X quetienden al punto de acumulaciónpor la derecha (se aproximan a X,con valores mayores al punto deacumulación) los valores de lafunción tienden a un valor de Ycon valores mayores que Y. Deese análisis se concluyo que, si Xtiende al punto de acumulación (siX tiende al punto de acumulaciónpor la izquierda y X tiende alpunto de acumulación por laderecha) entonces los valores de lafunción tienden a Y.Posteriormente, el profesor nosdio la simbolización del conceptode límite de una función real devariable real. En esta oportunidadno se realizaron demostraciones yse le dio más importancia a loslímites indeterminados.
Procedimiento para calcular ellímite de una función
Aproximaciones laterales a unpunto de acumulación
Representación simbólica de ladefinición de limite
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Cuadro 1(Cont.)
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR1: Profesora egresada del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro en Educación Integral, conexperiencia en Educación Superior en el tema de estudio. Actualmente cursa el octavo semestre de la Especialidad de Matemática en elInstituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍASTambién de función real devariable real, es decir, el profesornos habló del límite de unafunción. Como futuros docentesdebemos tener cuidado y estarpendiente de nuestro aprendizaje yno quedarnos solo con lo que elprofesor nos da en clase, ya que éles solo un facilitador y queda departe de cada uno de losestudiantes profundizar en loscontenidos desarrollados en cadamateria.
Relevancia de la definición deLFRVR.
Visión amplia de la definición. Definición formal de LFRVR.
101
Cuadro 2FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 2SUJETO DE ESTUDIO LFRVR1: Profesora egresada del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro en Educación Integral, conexperiencia en Educación Superior en el tema de estudio. Actualmente cursa el octavo semestre de la Especialidad de Matemática enel Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín.
CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS SIGNIFICACIÓN INTERPRETACIÓNPrimer contacto Momento de la Primera
confrontación con ladefinición de LFRVR.
Encuentro inicial con ladefinición formal deLFRVR.
Primera vez que elinformante confrontó ladefinición de LFRVR.
La definición de LFRVRse ve por primera vez enun primer semestre deEducación Universitaria.
Profesor Docente que presentó ladefinición por primeravez al entrevistado.
Profesor del curso deCálculo Diferencial oequivalente.
Persona encargada dedictar el tema deLFRVR.
La definición de LFRVRes presentada por unresponsable de laenseñanza.
Estudio Forma de apropiarse delconocimiento.
Forma de Aprendizaje. Acciones paracomprender la definiciónde LFRVR.
Se debe buscar unmecanismo deapropiación delconocimiento impartidoen clases.
Segundo contacto Momento en queenfrenta de nuevo ladefinición de LFRVR,en otro contexto.
Definición de LFRVR. El entrevistado tuvo otraexperiencia con ladefinición de LFRVR.
Se compara la definiciónconocida por la vista enotro momento.
Relevancia de ladefinición de LFRVR
Visión amplia de ladefinición de LFRVR.
Definición formal deLFRVR.
El profesor detalla ladefinición de LFRVR.
El profesor manifiestainterés en lacomprensión de ladefinición de LFRVR.
102
Cuadro 3
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR2: Estudiante del decimo semestre de la especialidad de matemática del Instituto Pedagógico Rural ElMácaro Luis Fermín. Cursante del sexto semestre de Matemática en la Universidad Nacional Abierta.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS¿Cómo fue la experienciavivida al confrontar el conceptode Límite de una Función Realde Variable Real a lo largo de túformación como docente dematemática?Considero que es importanteque todos los estudiantesmanejen esta importantedefinición ya que así se puedetener una idea de porque ellímite es único aparte que sepermite ir aprendiendoconceptos como punto deacumulación, entorno, bolaabierta y bola cerrada. Lasaproximaciones que uno varealizando en un puntodeterminado le dan a idea alestudiante de este importanteconcepto.Es muy complicado ya que ellenguaje matemático requierede mucho tiempo demaduración, un estudiante delos primeros semestres va a
Conexión matemáticaAsociación de la definición deLRVR con otros conceptosmatemáticos.
Aplicaciones a otras áreas de lamatemática.
Complicación epistémica La definición de LFRVR no esfácil de entender.
Obstáculos para la comprensiónde la definición de LFRVR
103
Cuadro 3 (Cont.)
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR2: Estudiante del decimo semestre de la especialidad de matemática del Instituto Pedagógico Rural ElMácaro Luis Fermín. Cursante del sexto semestre de Matemática en la Universidad Nacional Abierta.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAStener un poco de dificultadaprenderlo pero es necesarioque en cada curso de cálculo elestudiante vaya reforzando sulenguaje matemático y desde elmismo primer semestre realizarejercicios prácticos y sencillosde límites mediante ladefinición formal matemáticapara que así se puedacomprender con el paso deltiempo este importanteconcepto.Ejercicios prácticos muysencillos que el estudiantedemuestre que el límite esúnico y que vea que todo valorque se aproxime en un punto,tiene un entorno comprendido aese punto de acumulación. Enlas evaluaciones sería necesarioseñalar cuál es la hipótesis ycuál es la tesis para que elestudiante pueda hacer lademostración, aparte que es
Complicación epistémica La definición de LFRVR no esfácil de entender.
Obstáculos para la comprensiónde la definición de LFRVR.
Asimilación epistémica El tiempo de estudio es vitalpara la comprensión
Tiempo de estudio
Lenguaje MatemáticoDebe conocerse el léxicoutilizado en la matemática Lenguaje Matemático
104
Cuadro 3 (Cont.)
FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR2: Estudiante del decimo semestre de la especialidad de matemática del Instituto Pedagógico Rural ElMácaro Luis Fermín. Cursante del sexto semestre de Matemática en la Universidad Nacional Abierta.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍASmuy importante que el alumnomaneje adecuadamente ladefinición rigurosa medianteresolución de ejercicios, unacartelera expositiva donde semuestre la definición formalrigurosa del límite, se le pediríala elaboración individual dedicha cartelera para que así vanconociendo los conceptos dedelta-épsilon.Realizando retos matemáticosdonde el estudiante se sientamotivado a resolver dichosretos en conjunto con suscompañeros y tambiéninspirando ganas de resolverejercicios haciéndolos tambiénjunto con ellos de tal maneraque el estudiante vea en elprofesor su inspiración y sediga "si él lo hace, yo tambiénlo puedo lograr"
Lenguaje MatemáticoDebe conocerse el léxicoutilizado en la matemática. Lenguaje Matemático.
Estudio colaborativoOír la opinión de paresacadémicos para lacomprensión de la definiciónde LFRVR.
Aprendizaje cooperativo.
Emoción hacia la matemáticaSituaciones de éxito y fracasoen las tareas matemáticas
Dominio afectivo.
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Cuadro 4FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 2SUJETO DE ESTUDIO LFRVR2: Estudiante del decimo semestre de la especialidad de matemática del Instituto Pedagógico Rural ElMácaro Luis Fermín. Cursante del sexto semestre de Matemática en la Universidad Nacional Abierta.
CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS SIGNIFICACIÓN INTERPRETACIÓNConexión matemática Asociación de la
definición de LFRVRcon otros conceptosmatemáticos.
Aplicaciones a otrasáreas de la matemática.
Relación del conceptode límite con otra áreade la matemática
El concepto de LFRVRse conecta con otrasáreas del conocimientomatemático.
Complicaciónepistémica
La definición de LFRVRno es fácil de entender.
Obstáculos para lacomprensión de ladefinición de LFRVR.
No es fácil entender ladefinición épsilon-delta
La nomenclaturapresente en la definiciónépsilon-delta no es fácilde asimilar.
Asimilación epistémica El tiempo de estudio esvital para lacomprensión.
Tiempo de estudio.Hay que darle tiempo ala maduración de la idea.
El concepto de límitemadura con laexperiencia.
Lenguaje Matemático Debe conocerse el léxicoutilizado en lamatemática.
Lenguaje Matemático Léxico utilizado por elfacilitador de ladefinición épsilon-delta.
La definición épsilon-delta, en sí misma, tieneun lenguaje matemáticopropio.
Estudio colaborativo Oír la opinión de paresacadémicos para lacomprensión de ladefinición de LFRVR.
Aprendizajecooperativo.
Estudiar en grupo ycompartir ejercicios.
Compartir experienciasde aprendizaje.
Emoción hacia lamatemática
Situaciones de éxito yfracaso en las tareasmatemáticas.
Dominio afectivo. Sentimientosmanifestados en relacióna la resolución deproblemas.
El estudiante seinvolucraemocionalmente durantela apropiación delconcepto del LFRVR
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Cuadro 5FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR3: Profesor de matemática, asociado a dedicación exclusiva del Instituto Pedagógico Rural El MácaroLuis Fermín, egresado del Instituto Pedagógico de Maracay, con 24 años de experiencia en Educación Superior, formando profesoresde Matemática.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS¿Cómo fue la experienciavivida al confrontar el conceptode Límite de una Función Realde Variable Real a lo largo de túformación como docente dematemática?En el año 1977, cuando curséCálculo I, vi por primera vez ladefinición formal de límite de unafunción real, de variable real, enun punto de su dominio. No fuemuy fuerte, dado que ya habíamostrabajado el concepto de límite deuna Sucesión de números reales.Recordemos que una sucesión denúmeros reales es un casoparticular de las funciones realesde variable real. Hubo un poco dedificultad para determinar el valorDELTA (δ) en función deEPSILON (ε).En esa época solo se hacíandibujos en la pizarra, quecomplementaban o trataban deaclarar lo de los textos, quetambién eran pocos.Indudablemente, la realización denumerosos ejercicios permitió
Primer momentoPrimera vez que recibeinformación sobre el LFRVR
Definición formal.
Relación épsilon – delta (ε, δ)Obtención de un valornumérico a partir de otro.
Operaciones con númerosreales.
VisualizaciónAspecto visual de la definiciónde LFRVR.
Para una mejor comprensión dela definición de LFRVR, sedebe realizar gráficos.
107
Cuadro 5 (Cont.)FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 1SUJETO DE ESTUDIO LFRVR3: Profesor de matemática, asociado a dedicación exclusiva del Instituto Pedagógico Rural El MácaroLuis Fermín, egresado del Instituto Pedagógico de Maracay, con 24 años de experiencia en Educación Superior, formando profesoresde Matemática.
TEXTO CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍASafianzar esta definición, la cualfue ampliada en Cálculo III (dos ytres dimensiones). Sin embargo,para mi concepto, la idea terminóde afianzarse al cursar Análisis I,pues la definición se generalizó adiversos Espacios Métricos,conservándose la idea más no lasformas de la imágenes y preimágenes junto con su relación.Durante mi experiencia al tratar eltema en clase, con la llegada delas TIC, los software Derive,Maple, Matlab, Wxmaxima,Geogebra, entre otros, cambió lavisión del tema. Lo dinámico ypotente de estos programaspermite la comprensión rápida dela definición épsilon - delta,siempre que haya un instructorcomprometido con el trabajo.
Realización de ejercicios Refuerzo de lo aprendido.
Para fijar la definición deLRVR deben realizarsediferentes tipos de ejercicios.
Uso de software especializado Programas para elaborargraficas matemáticas
Programas especializados enaplicaciones matemáticas.
108
Cuadro 6FILTRO EPISTEMOLÓGICO Nº 2SUJETO DE ESTUDIO LFRVR3: Profesor de matemática, asociado a dedicación exclusiva del Instituto Pedagógico Rural El MácaroLuis Fermín, egresado del Instituto Pedagógico de Maracay, con 24 años de experiencia en Educación Superior, formando profesoresde Matemática.
CÓDIGOS PROPIEDADES CATEGORÍAS SIGNIFICACIÓN INTERPRETACIÓN
Primer momento Primera vez que recibeinformación sobre elLFRVR
Definición formal.La primera vez que vi ladefinición traté deasociarla a la de Límitede una sucesión.
Asociación de ladefinición de LFRVRcon algo conocido.
Relación épsilon – delta(ε, δ)
Obtención de un valornumérico a partir deotro.
Operaciones connúmeros reales.
Hay que conocer eltrabajo condesigualdades denúmeros reales.
La definición esoperativa
Visualización Aspecto visual de ladefinición de LFRVR.
Para una mejorcomprensión de ladefinición de LFRVR,se debe realizar gráficos.
Es necesario visualizarlas diferentes situacionesque se presentan alestudiar la definición deLFRVR.
Hay que apoyar ladefinición de LFRVRcon el aspecto grafico.
Realización de ejercicios Refuerzo de loaprendido
Para fijar la definiciónde LFRVR debenrealizarse diferentestipos de ejercicios.
Hay que hacer muchosejercicios paracomprender la definiciónde LFRVR.
La ejercitación sobreeste tema es esencialpara la comprensión delconcepto.
Uso de softwareespecializado
Programas para elaborargraficas matemáticas
Programasespecializados enaplicacionesmatemáticas.
Apoyar las clases conrecursos tecnológicos.
Recurrir a las TIC paracomprender la definiciónde LFRVR
109
CUADRO DE SISTEMATIZACIÓN DE CATEGORÍAS GENERALES
De manera de dar organicidad, a las categorías obtenidas durante las verbalizaciones de cada uno de los informantes, procedí a
vaciar en el cuadro adjunto, cada una de ellas, denominándolas categorías generales, puesto que provienen del proceso de
interpretación y comprensión “del todo” (texto, código, propiedades, significación e interpretación).
Cuadro 7
CATEGORÍAS GENERALES
CATEGORÍASLFRVR1
SIGNIFICACIÓNEncuentro inicial con ladefinición formal de LFRVR
Primera vez que el informante confrontó la definición de LFRVR.
Profesor del curso de CálculoDiferencial o equivalente
Persona encargada de dictar el tema de LFRVR.
Forma de Aprendizaje. Acciones para comprender la definición de LFRVR.
Definición de LFRVR El entrevistado tuvo otra experiencia con la definición de LFRVR.
Definición formal de LFRVR El profesor detalla la definición de LFRVR.
CATEGORÍASLFRVR2
SIGNIFICACIÓNAplicaciones a otras áreas de lamatemática.
Relación del concepto de límite con otra área de la matemática
Obstáculos para lacomprensión de la definiciónde LFRVR.
No es fácil entender la definición épsilon-delta
110
Cuadro 7(Cont.)
CATEGORÍAS GENERALES
CATEGORÍASLFRVR2
SIGNIFICACIÓNTiempo de estudio Hay que darle tiempo a la maduración de la idea.Lenguaje Matemático Léxico utilizado por el facilitador de la definición épsilon-delta.
Aprendizaje cooperativo Estudiar en grupo y compartir ejercicios.
Dominio afectivo Sentimientos manifestados en relación a la resolución de problemas.
CATEGORÍASLFRVR3
SIGNIFICACIÓNDefinición formal La primera vez que vi la definición traté de asociarla a la de Límite de una sucesión.Operaciones con númerosreales
Hay que conocer el trabajo con desigualdades de números reales.
Para una mejor comprensión dela definición de LFRVR, sedebe realizar gráfico.
Es necesario visualizar las diferentes situaciones que se presentan al estudiar la definición deLímite de Función Real de Variable Real (LFRVR).
Para fijar la definición deLFRVR deben realizarsediferentes tipos de ejercicios.
Hay que hacer muchos ejercicios para comprender la definición de LFRVR.
Programas especializados enaplicaciones matemáticas.
Apoyar las clases con recursos tecnológicos.
111
CATEGORÍAS DEFINITIVAS PARA LA TRIANGULACIÓN Y TEORIZACIÓN
Luego de haber obtenido las categorías denominadas generales, y bajo un proceso de decantación o saturación de categorías, por su
contenido, presento a continuación las categorías definitivas, todas ellas provenientes de las categorías generales.
Cuadro 8
TRIANGULACIÓN DE INFORMANTES
CATEGORÍASSIGNIFICACIÓN
LFRVR1 LFRVR2 LFRVR3Encuentro inicial con la definiciónformal de LFRVR.
Primera vez que el informanteconfrontó la definición deLFRVR.
Relación del concepto de límitecon otra área de la matemática
La primera vez que vi ladefinición traté de asociarla a la deLímite de una sucesión.
Forma de Aprendizaje Acciones para comprender ladefinición de LFRVR.
Estudiar en grupo y compartirejercicios.
Hay que hacer muchos ejerciciospara comprender la definición deLFRVR.
Definición formal de LFRVREl profesor detalla la definición deLFRVR.
Léxico utilizado por el facilitadorde la definición épsilon-delta.
Es necesario visualizar lasdiferentes situaciones que sepresentan al estudiar la definicióndel Límite de Función Real deVariable Real (LFRVR).
Obstáculos para la comprensiónde la definición de LFRVR.
El entrevistado tuvo otraexperiencia con la definición deLFRVR y la relación (ε, δ).
No es fácil entender la definiciónépsilon-delta
Hay que conocer el trabajo condesigualdades de números reales yla relación (ε, δ).
Aprendizaje cooperativo La resolución de diferentes tiposde ejercicios en grupo.
Estudiar en grupo y compartirejercicios.
Hay que hacer muchos ejerciciospara comprender la definición deLFRVR.
112
INTERPRETACIÓN DE LAS CATEGORÍAS DEFINITIVAS
(DERIVACIÓN TEÓRICA PRELIMINAR)
De la información suministrada, se desprende que el primer contacto con la
definición formal de Límite de una Función Real de Variable Real, en un punto de su
Dominio, juega un papel esencial en la comprensión de la misma. En este sentido el
primer acercamiento que el Profesor de Matemática en Formación (PMEF) tiene con
la definición determina su relación a lo largo de la vinculación y aplicación del
concepto con otros contenidos matemáticos propios del Calculo Diferencial e
Integral.
Así es, que dicha definición juega un papel importante para las definiciones
posteriores de diferenciación e integración, por lo tanto la apropiación del concepto
de Límite de una Función Real de Variable Real determinará la asimilación de
contenidos teóricos propios del cálculo diferencial e integral, encontrando que con el
tiempo dicha definición se convierte en el obstáculo epistemológico descritos por
varios autores a lo largo de la historia de la noción de límite.
Por otro lado el lenguaje matemático propio del contexto donde se define el Límite
de una Función Real de Variable Real en un punto se convierte en un elemento
fundamental al momento de apropiarse del concepto, en ese orden de ideas, la
relación épsilon – delta (ε, δ) representa el punto de origen para la manipulación de la
definición. Los hallazgos presentados con anterioridad confirman que el PMEF
encuentra dificultades para escribir la relación de delta en función de épsilon (δ= δ
(ε)) por la falta de compresión de conceptos propios del contenido de Función Real
de Variable Real, dominio y rango.
De igual forma, la apropiación del concepto de Límite de una Función Real de
Variable Real, pasa por un proceso de maduración, sobre la base de la práctica,
entendida como una amplia ejercitación y discusión con pares académicos, libros de
texto y en algunos casos el manejo de TIC mediante la implementación de software
para la enseñanza del cálculo.
113
CAPÍTULO V
CONTEXTO GENERATIVO
Aportes Teóricos que Conforman un Modelo Alternativo para la Apropiación
del Concepto de Límite de una Función Real de Variable Real
El aporte teórico o práctico de toda investigación en la ciencia que se desarrolla,
tiene por característica generar conocimientos que pueden ser utilizados por otros
investigadores o académicos que incursionen en estudios similares, permitiendo
interpretar, entender e imprimiendo rapidez al crecimiento de ese conocimiento.
El proceso de teorización utiliza todos los medios disponibles para lograr la
síntesis final de un estudio o investigación. Más concretamente, este proceso trata de
integrar en un todo coherente y lógico los resultados de la investigación en curso,
mejorándolo con los aportes de los autores reseñados en el marco teórico-referencial
después del trabajo de contrastación.
Para Rusque (2007), la teoría como modo de constitución del objeto de
conocimiento científico, es inmanente a toda observación y constituye una condición
necesaria, aunque no suficiente para el conocimiento científico de lo social; como lo
señala Martínez (1989), la teoría es una construcción mental simbólica, verbal o
icónica, de naturaleza coyuntural o hipotética que nos obliga a pensar de un modo
nuevo al completar, integrar, unificar, sistematizar o interpretar un cuerpo de
conocimiento, que hasta el momento se consideran incompletos, imprecisos,
inconexos o intuitivos.
Construir la teoría, en este caso los constructos se logra relacionando siempre más
entre si las categorías y sus propiedades, así irán apareciendo cada vez más nexos y
analogías y las teorías implícitas se van haciendo cada vez más explícitas, es decir
una red de relaciones entre las categorías. Al respecto Galeano (2004), plantea que las
114
interrelaciones entre categorías se diagraman trazando mapas. Una forma de
interrelación la constituyen los mapas conceptuales o construcción de tipologías.
La teorización derivada de la investigación se realizó en base a las perspectivas
originadas del proceso de contrastación y triangulación, a partir del propósito general
de mi investigación, que consistió en interpretar la apropiación que hace el Profesor
de Matemática en Formación del concepto de Límite de una Función Real de
Variable en un punto, en el Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, sede
Turmero, a fin de generar aportes teóricos sobre el proceso de apropiación del
concepto de Límite de una Función Real de Variable Real en un Curso de Cálculo
Diferencial.
Los constructos teóricos como producto final del estudio tienen su fundamentación
en las teorías de entrada presentadas en el capítulo dos y principalmente en relación
con la enseñanza, la transposición didáctica y las situaciones didácticas, sustentadas
en la Teoría Antropológica de Didáctica de la Matemática de Yves Chevallard (1992)
y la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau (1986), en este sentido, el
principio de apropiación que utiliza el profesor de matemática en formación en
relación al concepto de Límite de una Función Real de Variable Real en un punto se
encuentra inscrito en una realidad particular de la Educación Matemática, es decir, las
actividades y conocimientos puestos en práctica se encuentra bajo la visión
institucional donde ocurren dichas prácticas, por lo tanto puedo afirmar que este tipo
de actividad subyace en una Organización Matemática (OM).
La Organización Matemática representa la realidad o clase de matemática, para la
investigación se encuentra representada en la clase de un curso de cálculo diferencial
en el Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, sede Turmero, mas aun la
organización matemática también representa los problemas o tareas, la técnica que
permite resolver este tipo de tarea y la tecnología que explica la técnica, por lo tanto
esta investigación se encontró frente a una Praxeología Matemática en torno a la
apropiación del concepto de Límite de una Función Real de Variable Real en un
punto.
115
La Praxeología Matemática en torno a la apropiación del concepto de Límite de
una Función Real de Variable Real en un punto estuvo definida por un conjunto de
actividades o tareas (T) que deberán ser resueltas por un conjunto de técnicas (π)
explicadas por la tecnología (α) que subyace en el seno de una teoría (β), es decir, T
(π, α, β) representada por la demostración de la existencia del límite de una Función
de Variable Real en un punto, mediante la definición (relación épsilon – delta) por
medio de la resolución de desigualdades numéricas o inecuaciones fundamentadas en
la teoría axiomática de los Números Reales, en ese sentido, se encontró la implicación
de las configuraciones epistémicas del concepto y su asimilación por parte del
Docente de Matemática en Formación.
En correspondencia con la misma teoría, se presentó la Organización
Didáctica (OD) que coincide con la praxeología matemática, pero la componente
praxémica evoca a las tareas del profesor, de los alumnos, y técnica de estudio.
Incluye referencias problemáticas al lenguaje específico (dialógico) que se instaura
entre el profesor y el alumno, y al objeto llamado trayectoria didáctica (proyecto
didáctico), donde asume significado especifico el tiempo en que se desarrolla. Así,
encontramos, que la organización didáctica es el conjunto de los tipos de tareas, de
técnicas, de tecnologías, teoría, utilizadas para el estudio concreto en una institución
concreta.
En este sentido, es necesario pensar en una didáctica que se ocupe de facilitar los
conceptos y definiciones, en ambiente atractivo para las partes y que permita el
encuentro entre docente, estudiante y conocimiento transformado en contenidos para
ser enseñados (el triángulo didáctico), donde la apropiación del concepto de Límite de
una Función Real de Variable Real en un punto trascurra entre actividades
intencionadas por el docente para facilitar la comprensión de la relación épsilon –
delta mediante gráficos y tareas destinadas a disminuir la abstracción de los
contenidos, las definiciones y operaciones matemáticas que tienen lugar en una clase
de cálculo diferencial.
En relación a la segunda teoría de entrada, la Teoría de las Situaciones Didácticas
de Guy Brousseau (1986), describe el proceso de producción de conocimientos en
116
una clase a partir de dos tipos de interacciones básicas: la interacción del alumno con
una situación problema que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los
conocimientos matemáticos puestos en juego; y la otra interacción es la del docente
con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la situación problema en
matemática. De acuerdo con esto, postula la necesidad de “medio” pensado y
sostenido con una intencionalidad didáctica y define a la matemática como un
producto de cultura que le lleva a considerar la diferencia entre el conocimiento que
se produce en una situación particular y el saber estructurado, institucionalizado y
organizado a partir de sucesivas interpelaciones, generalizaciones, interrelaciones y
descontextualizaciones de las organizaciones que son productos de situaciones
específicas.
De igual manera, las interacciones entre docente y alumno con base en la
interacción del alumno con el medio se describen y se explican mediante la noción de
Contrato Didáctico. Esta herramienta detecta la elaboración de un conocimiento
matemático cada vez que cada uno de los interlocutores de la relación didáctica
interpreta las intenciones y las expectativas del otro, durante el proceso de
comunicación. Por otro lado el Contrato Didáctico es el instrumento que permite
describir y explicar las interrelaciones entre docentes y alumnos a propósito de la
interacción del alumno con el medio. En efecto, el concepto de Contrato Didáctico
permite tomar conciencia de que una parte de las ideas matemáticas de los alumnos
son productos de inferencias que provienen del docente, pero que no ha querido
expresar.
De acuerdo a lo anterior, el principio de apropiación que utiliza el profesor de
matemática en formación en relación al concepto de Límite de una Función Real de
Variable Real en un punto se encuentra inmerso en una situación didáctica que le es
propia, debido a cada objeto matemático en sí, genera su situación didáctica, por lo
tanto se concibe la interacción del estudiante con la situación problema que ofrece
resistencia, en nuestro caso la definición formal del límite de una función real de
variable real en un punto mediante la relación épsilon – delta y las interacciones del
docente con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la situación
117
problema en matemática, mediante la importancia que le imprimen los profesores de
Cálculo Diferencial del Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, sede
Turmero, al contenido del Límite de una Función Real de Variable Real en un punto,
y su dificultad en el proceso de aprendizaje, situación que he podido constatar durante
mi experiencia de 10 años como docente de las asignaturas de Cálculo diferencial,
Calculo Integral, Calculo de Varias Variables y Cálculo de Funciones de Variables
Complejas en el IPREMLF.
De igual manera, la noción de contrato didáctico queda explicitada en algunos de
fragmentos pertenecientes a la conversación sostenida en la entrevista con los
informantes clave, en muchos casos mencionan las relaciones existe entre el docente
y los estudiantes mediante la interpretación de las intenciones y las expectativas del
otro durante el proceso de comunicación, además que las ideas matemáticas de los
alumnos son productos de inferencias que provienen del docente, pero que no ha
querido expresar. Al respecto presento el siguiente fragmento:
“el docente nos dio el contenido del concepto de Límite de una funciónreal de variable real, el mismo no los explicó a través de un ejemplo,donde nos dio una función real y un valor de X como punto deacumulación, donde teníamos que construir una tabla de datos y graficarla función. El propósito era estudiar el comportamiento de los valores dela función, para cada uno de los valores de X del dominio próximos a esepunto de acumulación, pero diferente a el valor de X dado por el docente”
Más aún, encontré otro fragmento donde el docente manifiesta sus ideas
matemáticas, produciendo en el estudiante una igual concepción, que lo invita a
reflexionar sobre la importancia y complejidad de la definición del Límite de una
Función Real de Variable Real en un punto:
“también de función real de variable real, es decir, el profesor nos hablódel límite de una función. Como futuros docentes debemos tener cuidadoy estar pendiente de nuestro aprendizaje y no quedarnos solo con lo que elprofesor nos da en clase, ya que él es solo un facilitador y queda de partede cada uno de los estudiantes profundizar en los contenidosdesarrollados en cada materia”
118
De todo lo anterior, el investigador decidió elaborar un ajuste del Triángulo
Didáctico Francés; para establecerlo como constructo teórico enmarcado en la Teoría
Antropológica de Didáctica de la Matemática de Yves Chevallard (1992) y la Teoría
de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau (1986) que sustente una nueva forma
de enseñanza de la definición del Límite de una Función Real de Variable Real en un
punto, de los conceptos y contenidos propios del Calculo Diferencial. Todo esto
enmarcado en el objetivo de la Educación Matemática, específicamente en la
Didáctica del Cálculo.
Gráfico 4. Modelo Teórico para la Apropiación del Concepto de LFRVR. Morillo(2017).
De igual manera, en esta producción teórica se concibe a la didáctica como la
disciplina pedagógica de carácter práctico y normativo que tiene por objeto específico
la técnica de la enseñanza, definida como la manera coherente y sustentada de dirigir,
orientar, acompañar eficazmente a los estudiantes en su aprendizaje, respetando sus
características, intereses y saberes. Es importante resaltar que la tarea del educador en
Docente Estudiante
Definición de LFRVR
Relaciones dialécticas entorno alObjeto Matemático como
producción de conocimiento
Transposición Didáctica
Praxeología MatemáticaT (π, α, β)
Inscritos en una Organización Matemática(OM) y una Organización Didáctica (OD)
Apropiación
del concepto
de LFRVR
119
la implementación de estas estrategias metodológicas está enmarcada en el diseño y
presentación de situaciones que apelando a las estructuras anteriores, que el
estudiante dispone; le permitirá asimilar y acomodar nuevos significados del objeto
de aprendizaje y nuevas operaciones asociadas a él, para luego socializar estos
significados a través de una negociación con otros estudiantes; con el profesor, con
los demás.
Por todo lo anterior, sobre la base de los hallazgos de la investigación y como un
intento de resolver el vacío teórico encontrado, se presentan tres modelos de
organización de actividades de enseñanza que en concordancia con las técnicas,
método y recursos permitirían la superación de las debilidades encontradas en el
proceso de apropiación del concepto de Límite de una Función Real de Variable Real
en un punto y de todos los conceptos que dependen de su conocimiento, fortaleciendo
el pensamiento instruccional de los docentes que administran la asignatura de Cálculo
Diferencial en el Instituto Pedagógico Rural El Mácaro Luis Fermín, Dichos
referentes teóricos son los siguientes: Las Unidades Didácticas, la Noción de Análisis
Didáctico y el Mapa de Enseñanza Aprendizaje (MEA) de Orellana Chacín.
Referentes Teóricos y Metodológicos a seguir en el Diseño y Desarrollo de un
Modelo Didáctico Alternativo
Unidades Didácticas y Organizadores del Currículo
El currículo en Matemática es un plan de formación, que se propone ofrecer
propuestas concretas sobre modos de: entender el conocimiento matemático,
interpretar el aprendizaje de la Matemática, colocar en práctica la enseñanza de la
Matemática, valorar la utilidad y dominio de los aprendizaje realizados en
Matemática.
Para Segovia y Rico (2001) un currículo se establece cuando de determinan los
siguientes componentes: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Estos
cuatro componentes no pueden considerarse de manera independiente y aislada, sino
120
en modo de conjunto, como un sistema, ya que existe una relación muy estrecha entre
todas las componentes.
Por su lado el currículo escolar necesita de un conocimiento matemático
considerado desde la pluridad de significados, a los efectos de ser enseñados y
aprendidos. A diferencia de la Matemática formal, las matemáticas escolares
necesitan mostrar y considerar una mayor riqueza de significados, de manera que los
niños y jóvenes puedan integrar con sentido los nuevos conocimientos.
Son varios los significados del conocimiento matemático que se consideran
importantes para la enseñanza: el significado fenomenológico, la diversidad de
representaciones, la diversidad de los modelos, los materiales manipulables, la
significación cognitiva, la significación histórica y la resolución de problemas.
Estos significados proporcionan un segundo nivel de planificación. Ante una estructura
matemática es imprescindible dominar sus aspectos formales pero también hemos de
conocer y estudiar sistemáticamente los fenómenos que sostienen ese conocimiento
matemático, la diversidad de las representaciones que se cruzan en cada concepto, los
modelos que aportan para la gestión de fenómenos, los materiales y recursos, los errores y
las dificultades de aprendizaje, su evolución histórica y los problemas que se abordan y
resuelven mediante la familia de conceptos matemáticos en cuestión.
Una vez que se ha completado el segundo nivel de planificación y se dispone de
información sobre la diversidad de significados del bloque de conocimientos que se
quiere trabajar, el profesor está en condiciones de abordar una planificación más
concreta. La enseñanza y aprendizaje de la matemática en el aula se desarrolla a
través de unidades de información y de trabajo cuyos elementos integrantes tienen
una estrecha relación.
La unidad didáctica es una unidad de programación y actuación docente
constituida por un conjunto de actividades que se desarrollan en un tiempo
determinado para la consecución de unos objetivos específicos. La unidad didáctica
121
representa la planificación de una serie de sesiones de trabajo sobre un tema de
matemática concreto y con prioridades determinadas en los significados
considerados.
Una propuesta para la articulación de unidades didácticas es trabajar con los
organizadores curriculares que según los autores (Segovia y Rico, 2001), no son más
que los conocimientos que se adoptan como componentes fundamentales alrededor de
los cuales se diseñan y desarrollan las unidades didácticas. Los organizadores son
aquellos conocimientos que sostienen los significados contemplados para las
matemáticas escolares.
Entre los organizadores relevantes se encuentra:
la fenomenología didáctica, cuyo objeto de estudio son los fenómenos de los que
han surgido los conceptos como formas de organización, así como las aplicaciones
prácticas de los conocimientos.
los sistemas de representaciones de los conceptos y procedimientos, establecidos
mediante convenios.
los modelos matemáticos y los procesos de modelización usuales, mediante los
cuales se asigna una estructura matemática a una familia de fenómenos que quedan
representados mediante un sistema.
los materiales y recursos que pueden emplearse en la enseñanza para manipular y
experimentar.
los errores, dificultades y obstáculos asociados a conceptos y procedimientos de
cada unidad que se ha detectado en el aprendizaje y que se ha puesto de manifiesto en
estudios e investigaciones de psicología matemática.
la historia de las matemáticas que nos muestra los momentos de interés
relacionado con cada uno de los tópicos del currículo de las matemáticas escolares.
También los estudios sobre resolución de problemas constituyen un conocimiento
organizador relevante del currículo de matemática.
122
Gráfico 5. Organizadores Curriculares
En el diseño de una unidad didáctica en torno a la definición del Límite de una
Función Real de Variable Real en un punto, se podrían considerar los aspectos: (a)
Conceptuales, (b) Procedimentales; (c) Actitudinales; y (d) Didácticos, que
alcanzarían los docentes de matemática en formación al realizar tareas asociadas con
la apropiación del concepto de Límite de una Función Real de Variable Real. En el
contexto concreto de la planificación de una unidad didáctica, el docente puede
organizar la enseñanza basándose en cuatro análisis (Gómez y Rico, 2002):
Análisis de contenido: procedimiento en virtud del cual el profesor identifica y
organiza la multiplicidad de significados de un concepto matemático. Este análisis
podría ser en parte la vía para revisar en profundidad la relación épsilon – delta y las
diferentes interpretaciones que realiza el profesor de matemática en formación
Análisis cognitivo: el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los escolares
pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura
matemática cuando enfrenten tareas que compondrán las actividades de enseñanza y
aprendizaje. En relación al análisis cognitivo los aspectos a considerar serian los
siguientes: Conceptuales (Definir, reconocer, dar ejemplos, contraejemplos,
contrastar, comparar), Procedimentales (Demostrar, inducir, deducir, resolver,
aplicar, ejecutar, desarrollar) Actitudinales (Apreciar, valorar, reconocer, juzgar,
criticar) y Didáctico (Ilustra, explica, ejemplifica, relaciona, uso de material).
Errores, Dificultades yobstáculos
Los Sistemas depresentación
FenomenologíaDidáctica
La Historia de laMatemática
OrganizadoresCurriculares
Modelos MatemáticosMateriales y Recursos
La Resolución de Problemas
123
Análisis de la instrucción: en el que el profesor diseña, analiza y selecciona las
tareas que constituirán las actividades de enseñanza y aprendizaje objeto de la
instrucción. Para la determinación de las tareas se pudiesen considerar, entre otros,
proyectos, problemas, presentaciones orales, modelación de fenómenos, actividades
de exploración o simulación con apoyo tecnológico, permitiendo el análisis
instruccional a la luz de la teoría antropológica de didáctica de la matemática y la
teoría de las situaciones didácticas.
Análisis de la actuación: en el que el profesor determina las capacidades que los
escolares han desarrollado y las dificultades que puedan haber manifestado hasta ese
momento. El análisis de actuación se verá reflejado a través del contraste antes y
después de la puesta en práctica de una unidad didáctica para determinar el desarrollo
cognitivo del concepto de Limite de una Función Real de Variable Real y de los
contenidos asociados a la definición.
De acuerdo a lo expuesto anteriormente, el análisis didáctico se puede definir
como un procedimiento cíclico que incluye estos cuatros análisis, atiende a los
condicionantes del contexto e identifica las actividades que idealmente un profesor
debería realizar para organizar la enseñanza de un contenido matemático concreto.
El Mapa de Enseñanza Aprendizaje (MEA) de Orellana Chacín
Según Orellana Chacín (2002) la enseñanza de cualquier tema o tópico en matemática
depende del docente y de los recursos disponibles para la ejecución del acto didáctico
(Docente, estudiante, contenido), para ello propone un modelo denominado Mapa de
Enseñanza – Aprendizaje (MEA) conformado por una serie de elementos que facilitan
este proceso, haciendo uso de recursos tradicionales así como de los recursos basados en
nuevas tecnologías.
Un MEA está conformado por una secuencia de recuadros que contienen los aspectos
relevantes a considerar en la enseñanza de un tema específico; estos aspectos son los
siguientes: fundamento matemático, relación del tema con otro conocimiento
matemático, mundo real, exploración gráfica y numérica, dibujo a mano alzada y cálculo
124
manual, dibujo y cálculo con tecnología, generalización problemas abiertos, desarrollo
histórico y su aplicación en la enseñanza del tópico o tema.
Gráfico 6. Mapa de Enseñanza – Aprendizaje. Tomado de Orellana Chacín (2002)
A continuación se describen los cuadros que Orellana (2002) considera necesario
desarrollar para contestar la pregunta: ¿Qué enseñar de un tópico o tema matemático?
Cuadro 1. Se establecen las definiciones a utilizar y los teoremas que serán
demostrados para determinar sus consecuencias y plantear ejercicios: en el paradigma
explicativo, el profesor de matemática se centra en el significado formal del
conocimiento matemático, dejando a un margen otros significados de la matemática.
Cuadro 2 y 3: aquí está presente un aspecto que no siempre se lleva a cabo en las
asignaturas de matemática, como lo es la conexión con temas matemáticos de otras
asignaturas y con el mundo real.
Cuadro 4: en este particular se puede proponer un problema previo a enunciados
de definiciones y teoremas, pero en lugar de intentar su resolución analítica, se realice
una exploración grafica y numérica de la naturaleza de dicho problema. Esto es un
camino inverso de la clase tradicional en donde primero hay definiciones, los
Desarrollo Histórico(En la enseñanza del tema)
Generalización
Didáctica del Tema
FundamentoMatemático Relación con
Otros Tópicos
Mundo Real(Modelos Matemáticos)
Exploración Gráficay Numérica
Dibujo a ManoAlzada
Dibujo y Cálculocon Tecnología
Uso de Materiales(Juegos y Recreación)
UN TÓPICO O TEMA
125
principios generales, los teoremas y luego son los ejemplos, los problemas y sus
aplicaciones.
Cuadro 5 y 6: se trabaja con cálculos realizados manualmente y asistido por
calculadoras y computadoras (Derive, Maple, Matlab, Wxmaxima, Geogebra).
Cuadro 7: en este cuadro se promueve la generalización del conocimiento
matemático.
Cuadro 8: se recomienda la utilización del enfoque histórico como recurso
didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Se pretende dar
respuesta a las interrogantes: ¿Cómo surgió el tópico en estudio? ¿Qué problemas lo
originaron? ¿Quiénes contribuyeron significativamente a su desarrollo? ¿Qué
aplicaciones posee el tópico en otras ramas del conocimiento?, entre otras.
Cuadro 9: se enfatiza en la utilización de materiales y recursos didácticos, así
como de juegos y actividades vinculadas a la matemática recreativa.
Cuadro 10: especialmente en los programas de formación docente, Orellana
plantea que es obligatorio tratar lo relacionado con la didáctica del tema o tópico
matemático.
Gráfico 7. Mapa de Enseñanza – Aprendizaje del Límite de una Función Real deVariable Real. Diseño Carruido (2012) modificado por Morillo (2017)
Limite de unaFunción Real de
Variable Real
(3) La AceleraciónInstantánea de unMóvil
(2) Derivadas eIntegrales
(1) Definición Formal delLFRVR (ε, δ)
(4) Exploración gráfica ynumérica de la relación (ε, δ)en el dominio y rango de lafunción, previa a los conceptosy teoremas
(5). Demostraciones de laExistencia del Límite de unaFunción
(6) Utilización de Software deCálculo: Derive, Maple,Matlab, Wxmaxima, Geogebra
(7) Problemas abiertosrelacionados con DefiniciónFormal del LFRVR
(9) Curiosidades Matemáticasen Relación a la Definición del
LFRVR(8) Desarrollo Histórico
Epistemológico de la Nociónde Límite (10) Unidad Didáctica sobre
Límite de Funciones
¿Cómo están vinculados?
ModelosMatemáticosProblemasaplicados
126
En relación a todo lo anterior, García (2009) propone un modelo que permite
integrar el análisis didáctico en las etapas de elaboración de una didáctica propuesta,
considerando los elementos presentes en el mapa de enseñanza - aprendizaje de
Orellana Chacín (2002) y los organizadores curriculares de Rico y Segovia (2001).
Grafico 8. Modelo de Análisis Didáctico. Tomado de García (2009) conmodificaciones de Morillo (2017)
Finalmente de las consideraciones anteriores y los referentes teóricos considerados
para la elaboración de una unidad didáctica centrada en el contenido del límite de una
Función Real de variable, el autor decidió generar un constructo didáctico para la
Apropiación del Concepto del Límite de una Función Real de Variable Real
enmarcado en la concepción de la Transposición Didáctica, el Análisis Didáctico, el
Dominio Afectivo en Educación Matemática y la Unidad didáctica para la Enseñanza
de la Definición del Límite de una Función Real de Variable mediante el modelo que
se presenta a continuación:
ANÁLISIS DIDÁCTICO
Análisis de Contenido
Mapa de Enseñanza –Aprendizaje delLFRVR. Morillo(2017)
Organizadores delCurrículo.Segovia y Rico(2001)
Análisis Cognitivo
Aspectos Conceptuales, Procedimentales,Actitudinales y Didácticos.Pensamiento Matemático Avanzado. Tall(1991)
Análisis de Actuación
Producciones Realizadas por losEstudiantes.Evaluación de la Unidad Didácticadesarrollada con el contenido deLFRVR
Análisis de Instrucción
Resolución de Problemas Relacionadoscon la Definición del LFRVR.Uso de Software de Calculo: Derive,Maple, Matlab, Wxmaxima, Geogebra
Teoría Antropológica de Didácticade la Matemática (1992)Teoría de las Situaciones Didácticas(1986)
127
Gráfico 9. Modelo Didáctico para la Apropiación del Concepto de LFRVR.Morillo (2017).
128
129
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133
ANEXOS
134
[ANEXO A]
[ENTREVISTA REALIZADA AL DOCENTE]
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
DOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
GUIÓN DE ENTREVISTA
Estimado colega:
El presente instrumento ha sido diseñado con el propósito de conocer su
opinión, con relación al proceso de Apropiación del Concepto del Límite de una
Función Real de Variable en un Punto, que usted experimento como Profesor de
Matemática en Formación y su influencia en el desempeño como Profesor de
Matemática en el área de Cálculo.
El guión de entrevista consta de tres (03) preguntas de respuestas abiertas,
siendo de vital importancia su colaboración al responder a estas interrogantes. La
información suministrada por usted, será manejada en forma científica por lo cual
tendrá carácter confidencial.
Atentamente,
El Investigador
135
GUIÓN DE LA ENTREVISTA
1. ¿Cómo fue la experiencia vivida al confrontar el concepto de Límite de una
Función Real de Variable Real a lo largo de tú formación como docente de
matemática?
2. ¿De qué manera se llevaron a cabo las actividades didácticas durante el
aprendizaje del Concepto de Límite de una Función Real de Variable?
3. ¿Puede usted establecer relaciones entre el concepto del Límite de una
Función Real de Variable Real en otros conocimientos matemáticos?
136
[ANEXO B]
[ENTREVISTA REALIZADA A LOS ESTUDIANTES]
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
DOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
GUIÓN DE ENTREVISTA
Estimado Estudiante:
El presente instrumento ha sido diseñado con el propósito de conocer su
opinión, con relación al proceso de Apropiación del Concepto del Límite de una
Función Real de Variable en un Punto, que usted experimento como Profesor de
Matemática en Formación y su influencia en su futuro desempeño como Profesor de
Matemática.
El guión de entrevista consta de tres (03) preguntas de respuestas abiertas,
siendo de vital importancia su colaboración al responder a estas interrogantes. La
información suministrada por usted, será manejada en forma científica por lo cual
tendrá carácter confidencial.
Atentamente,
El Investigador
137
GUIÓN DE LA ENTREVISTA
1. ¿Cómo fue la experiencia vivida al confrontar el concepto de Límite de una
Función Real de Variable Real a lo largo de tú formación como docente de
matemática?
2. ¿De qué manera se llevaron a cabo las actividades didácticas durante el
aprendizaje del Concepto de Límite de una Función Real de Variable?
3. ¿Puede usted establecer relaciones entre el concepto del Límite de una
Función Real de Variable Real en otros conocimientos matemáticos?
138
[ANEXO C]
[VALIDACIÓN DEL INSTRUMENTO]
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
DOCTORADO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Ciudadano:
Me dirijo a usted, muy respetuosamente para solicitar su valiosa colaboración
profesional, en el sentido de emitir su juicio de experto, acerca del instrumento de
recolección de información que le anexo a la presente.
El mencionado instrumento ha sido diseñado para recabar información
relacionada con la investigación “Apropiación del Concepto de Limite de Función
Real en un Punto” cuyo objetivo principal es generar constructos teóricos de
fortalecimiento pedagógico, en cuanto a la enseñanza de este concepto para el futuro
docente de matemática.
En tal sentido, le agradezco emitir su opinión sobre dicho instrumento, de
manera que pueda determinarse su validez, y para ello le suministro un formato de
validación.
Atentamente,
Raúl José Morillo Gallardo
139
INSTRUCCIONES
A continuación se presenta una tabla que usted, debe llenar para la validación del
instrumento. Marque con una “X” en la casilla que corresponda según sea el grado de
contenido, redacción, claridad, lenguaje y correspondencia que a su criterio presentan
cada uno de los ítems con los objetivos propuestos en el estudio.
Se le agradece evaluar categóricamente cada ítem, siguiendo la escala de
puntuación señalada a continuación:
Cualidad Puntuación
Muy Bueno 5
Bueno 4
Regular 3
Deficiente 2
Muy deficiente 1
Se muestra además, una casilla correspondiente a observación, la cual sugiere su
uso para las recomendaciones a que hubiere lugar.
De ante mano, gracias por su colaboración.
Raúl José Morillo Gallardo
140
ACTA DE VALIDACIÓN
Yo, __________________________ C.I.: __________________ de profesión
____________________________________, a través del presente escrito hago
constar que he revisado el instrumento de recolección de datos para el estudio
titulado: “Apropiación del Concepto de Limite de Función Real en un Punto”,
diseñado para registrar las observaciones, considerando que se ajusta a las normas de
contenido, redacción, claridad, lenguaje y correspondencia con los objetivos
propuestos en el estudio, lo que hace a este instrumento capaz de cumplir con el
objetivo que originó su diseñó.
Turmero, a los ________ días del mes _____________de _________.
______________________
Firma del experto
141
CURRICULUM VITAE
Raúl José Morillo Gallardo titular de la cedula de identidad V-12.612.062, nació
en Maracay- Estado-Aragua el 30 de Agosto de 1976. Realizó sus estudios
Académicos en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto
Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara”, obteniendo el Titulo de Profesor en la
Especialidad Matemática el 08 de Agosto de 2003, Culminó sus estudios de
Postgrado en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto
Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara, obteniendo el Título de Magister en
Enseñanza de la Matemática el 18 de Agosto de 2012, ha laborado en el Instituto
Universitario de Tecnología Pascal como profesor por horas de las cátedras de
Análisis Matemático I, Análisis Matemático II y Estadística General durante los años
2002-2005. De igual manera laboró en la Unidad Educativa Nacional “Saúl Albano
Moreno” como profesor por horas en los niveles de 7º, 8º, 4º, 5º de Educación Básica
y Diversificada área de Matemática durante los años 2002-2010. Desde el 09 de Abril
del 2007, labora en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto
Pedagógico Rural “El Mácaro” como Profesor Ordinario en la Categoría de Agregado
a dedicación Exclusiva adscrito al Departamento de Ciencia y Tecnología. Coordinó
la Especialidad del Programa de Educación Matemática hasta Noviembre de 2014 y
actualmente se desempeña como el Jefe de la Unidad de Personal del IPREMLF.
