INSTITUTO POLITCNICO NACIONALCENTRO DE INVESTIGACIN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGA AVANZADA

Resignificacin del algoritmo para operar aditivamente con fracciones en un contexto escolarTesis para optar al grado de Maestra en Ciencias en Matemtica Educativa Mxico, D.F.

Presenta: Pilar Pea Rincn Director de tesis: Gustavo Martnez Sierra

Santiago de Chile, 2011

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INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL SECRETARA DE INVESTIGACIN Y POSGRADO

CARTA CESIN DE DERECHOS

En la Ciudad de Mxico el da 28 del mes de enero del ao 2011, el (la) que suscribe Pilar Alejandra Pea Rincn alumno (a) del Programa de Maestra en Ciencias e n Matemtica Educativa con nmero de registro A090677, ad scrito al Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada, Unidad Legaria, manifiesta que es autor (a) intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la direccin de l Doctor Gustavo Martnez Sierra y cede los derechos del trabajo intitulado Resignificacin del algoritmo para operar aditivamente con fracciones en un contexto escolar, al Instituto Politcnico Nacional para su difusin, con fine s acadmicos y de investigacin. Los usuarios de la informacin no deben reproducir el co ntenido textual, grficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente direccin

pilaralejandrapena@yahoo.es. Si el permiso se otorga, el usuario deber dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Pilar Alejandra Pea Rincn 2

Todos nosotros sabemos algo. Todos nosotros ignoramos algo. Por eso, aprendemos siempre Paulo Freire

Agradecimientos A mis hijos, Nahuel y Marahui, por comprender y compartir mi pasin por aprender A mi padre, por su apoyo incondicional A mis amigos Pancho y Silvia, por su cario y por sus aportes a este trabajo A Silvana, y a los amigos de Mxico, por su amistad y solidaridad sin fronteras A mis compaeros y compaeras de maestra, por tanto trabajo compartido A Gustavo Martnez, por su disposicin y acompaamiento Al CICATA-IPN, por la oportunidad de crecer humana y profesionalmente

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IndiceRelacin de Ilustraciones y Tablas ...................................................................................................... 5 Resumen:........................................................................................................................................... 7 Abstract: ............................................................................................................................................ 8 Introduccin................................................................................................................................... 9 1 Antecedentes y problema de investigacin ...............................................................................11 1.1 1.2 2 Antecedentes ....................................................................................................................11 Problema de investigacin y objetivo.................................................................................17

Marco Terico ...........................................................................................................................19 2.1 2.2 2.3 2.4 Teora de las Situaciones Didcticas (TSD) .........................................................................19 Las nociones de Tarea y Tcnica.........................................................................................21 La nocin de Convencin Matemtica. ...............................................................................22 La nocin de Resignificacin ..............................................................................................23

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Marco metodolgico: ................................................................................................................24 3.1.1 Ingeniera Didctica ...................................................................................................24

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Diseo de la secuencia ..............................................................................................................26 4.1 Fase de planeacin: Anlisis Preliminar ..............................................................................26 Anlisis epistemolgico: El concepto de fraccin ........................................................26 Anlisis cognitivo: las concepciones de los estudiantes ..............................................34 Anlisis didctico: Cmo se ensea la operatoria con fracciones ................................42 Conclusiones generales del anlisis preliminar ...........................................................61

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.3 4.4 5 6 7

Fase de diseo ...................................................................................................................64 Fase de experimentacin ...................................................................................................79 Fase de validacin..............................................................................................................80

Resultados de la experiencia didctica.....................................................................................112 Conclusiones ...........................................................................................................................114 Bibliografa: .............................................................................................................................118

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Relacin de Ilustraciones y TablasI LUSTRACIN 1 .........................................................................................................................................9 I LUSTRACIN 3 .........................................................................................................................................9 I LUSTRACIN 2 .........................................................................................................................................9 I LUSTRACIN 4 .........................................................................................................................................9 I LUSTRACIN 5 ....................................................................................................................................... 16 I LUSTRACIN 6 ....................................................................................................................................... 20 I LUSTRACIN 7 ....................................................................................................................................... 25 I LUSTRACIN 8 ....................................................................................................................................... 30 I LUSTRACIN 9 ....................................................................................................................................... 36 I LUSTRACIN 10...................................................................................................................................... 39 I LUSTRACIN 11...................................................................................................................................... 39 I LUSTRACIN 12...................................................................................................................................... 44 TABLA 1 ............................................................................................................................................... 65 I LUSTRACIN 13...................................................................................................................................... 67 I LUSTRACIN 14...................................................................................................................................... 69 I LUSTRACIN 15...................................................................................................................................... 70 I LUSTRACIN 16...................................................................................................................................... 71 I LUSTRACIN 17...................................................................................................................................... 73 I LUSTRACIN 18...................................................................................................................................... 75 I LUSTRACIN 19...................................................................................................................................... 76 I LUSTRACIN 20...................................................................................................................................... 79 I LUSTRACIN 21...................................................................................................................................... 80 I LUSTRACIN 22...................................................................................................................................... 81 I LUSTRACIN 23...................................................................................................................................... 82 I LUSTRACIN 24...................................................................................................................................... 83 I LUSTRACIN 25...................................................................................................................................... 85 I LUSTRACIN 26...................................................................................................................................... 86 I LUSTRACIN 27...................................................................................................................................... 86 I LUSTRACIN 28...................................................................................................................................... 88 I LUSTRACIN 29...................................................................................................................................... 88 I LUSTRACIN 30...................................................................................................................................... 88 I LUSTRACIN 31...................................................................................................................................... 89 I LUSTRACIN 32...................................................................................................................................... 91 I LUSTRACIN 33...................................................................................................................................... 92 I LUSTRACIN 34...................................................................................................................................... 93 TABLA 2 ............................................................................................................................................... 93 I LUSTRACIN 35...................................................................................................................................... 94 I LUSTRACIN 36...................................................................................................................................... 95 I LUSTRACIN 37...................................................................................................................................... 96 I LUSTRACIN 38...................................................................................................................................... 97 I LUSTRACIN 39...................................................................................................................................... 99 I LUSTRACIN 40...................................................................................................................................... 99 I LUSTRACIN 41...................................................................................................................................... 99 I LUSTRACIN 42.................................................................................................................................... 101

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I LUSTRACIN 43.................................................................................................................................... 101 I LUSTRACIN 44.................................................................................................................................... 104 I LUSTRACIN 45.................................................................................................................................... 104 I LUSTRACIN 46.................................................................................................................................... 104 I LUSTRACIN 47.................................................................................................................................... 106 I LUSTRACIN 48.................................................................................................................................... 107 I LUSTRACIN 49.................................................................................................................................... 107 I LUSTRACIN 50.................................................................................................................................... 107 I LUSTRACIN 51.................................................................................................................................... 107 I LUSTRACIN 52.................................................................................................................................... 107 I LUSTRACIN 53.................................................................................................................................... 109 I LUSTRACIN 54.................................................................................................................................... 110 I LUSTRACIN 55.................................................................................................................................... 110 I LUSTRACIN 56.................................................................................................................................... 110 I LUSTRACIN 57.................................................................................................................................... 111 I LUSTRACIN 58.................................................................................................................................... 111

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Resumen:Sin duda, y as lo pueden asegurar muchos profesores y profesoras, uno de los conceptos matemticos que mayor dificultad presenta en el avance de los y las estudiantes en la educacin bsica es el de las fracciones. Las diferencias epistemolgicas respecto de los nmeros naturales, que es lo que han trabajado antes de enfrentarse a este tema, producen obstculos importantes e n su comprensin y en su aprendizaje. Estos obstculos permanecen en el tiempo y son arrastrados hasta bien avanzada la educacin secundaria 1, e incluso, hasta la educacin superior o terciaria. Dentro de este tema, la operatoria con fracciones, en particular la aditiva, suele traer ms inconvenientes de los deseados a los estudiantes, planteando un desafo al docente, quien debe gestionar el aprendizaje. Utilizando como soportes terico principal la Teora de las Situaciones Didcticas (TSD) de Brousseau (Brousseau, 1986), las nociones de tarea y tcnica de la Teora Antropolgica de lo didctico (TAD), y las nociones de convencin matemtica y de resignificacin planteadas por Martnez Sierra (2005) y por Garca y Montiel (2007) respectivamente, diseamos una secuencia didctica que aborda la adicin de fracciones . Utilizando la ingeniera didctica como metodologa, analizamos las dimensiones: epistemolgica, didctica y cognitiva relativas a su proceso de enseanza-aprendizaje con el objeto de determinar cules son las condiciones en las que la fraccin se constituye como un conocimiento funcional para los estudiantes. Atendiendo dichas condiciones y las acciones que realizan los estudiantes en cada situacin, utilizando el concepto de convencin matemtica como una metfora de aprendizaje y la nocin de resignificacin para dar cuenta del carcter dinmico de la construccin de los conocimientos, diseamos, pusimos en escena y analizamos los resultados de la secuencia cuyo objetivo fue que las y los estudiantes construyesen progresiva y fundamentadamente un procedimiento para sumar fracciones, y que a travs de dicho proceso resignificasen el algoritmo convencional aprendido previamente como una abreviacin del recin construido.1

El sistema educativo chileno consta de ocho aos de educacin bsica, o educacin primaria (1 a 8 ao bsico, estudiantes de 6 a 13-14 aos); y de cuatro aos de educacin media o secundaria (1 a 4 ao medio, estudiantes de 14 a 17-18 aos).

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Abstract:Without a doubt this be can be assured by many teachers, one of the most difficult mathematical concepts for the successful learning of students in primary education is the concept of fraction. Epistemological differences with respect to the natural numbers, which is what they have been working on before approaching this issue, cause significant obstacles in their understanding and learning. These obstacles remain over the years and are easily carried forward into late years of high school2, and even into tertiary or higher education. Within this topic, the operations with fractions - including the additive - usually cause students more problems than expected, posing a challenge to teachers who must manage to provide effective techniques for the students learning. By using as main theoretical supports the theory of didactic situations (TDS) of Brousseau (1986), the notions of task and technique of anthropological theory of didactics (TAD), and the notions of mathematical convention and of resignification raised by Martinez Sierra (2005) and Garcia and Montiel (2007) respectively, we have designed a teaching sequence that addresses the addition of fractions. By using teaching engineering as a methodology, we analyzed the following: epistemological, didactic and cognitive aspects related to their teaching-learning process in order to determine the conditions under which the fraction is constituted as a functional knowledge for students. Taking into consideration these conditions and actions that the students perform in each situation, and using the concept of mathematical convention as a metaphor for learning and the notion of resignification in order to convey the dynamic nature of knowledge construction, we have designed, put on stage and analyzed the results of a sequence aimed at students to construct a procedure for adding fractions in a progressive and justified way. By being involved in the procedure the goal was for students to re-define the previously learnt conventional algorithm as an abbreviation of the recently built algorithm.

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The Chilean education system consists of eight years of primary school (1st to 8th Grade, 6 to 13-14 year old students); and four years of secondary school equivalent to high school (1st to 4th Secondary Grade, 14 to 17-18 year old students).

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Introduccin-Tengo que buscar los mltiplos de los nmeros de ac abajo [se refiere a los denominadores 2 y 4, ilustracin 1]. Escribe secuencialmente la tabla de los mltiplos de 2 y la de los mltiplos de 4

Ilustracin 1

-Se tiene que repetir el menor nmero, lo encerramos y vemos en qu lugar queda [ilustracin 2], ste queda en el 1, y amplificamos, este otro queda en el 2, y amplificamos 3. Y anota los nmeros 1 y 2 sobre las fracciones [ilustracin 3].Ilustracin 3 Ilustracin 2

-Despus aqu, tengo que restar, uno [el factor de amplificacin de la segunda fraccin] menos cuatro [el denominador de la segunda fraccin] son tres. Anota el tres en el numerador de la fraccin amplificada [ilustracin 4] y contina del mismo modo: uno [el factor de amplificacin de la Ilustracin 4 segunda fraccin] menos 3 [el numerador de la segunda fraccin] son dos [lo anota en el denominador] aqu sera dos menos dos son cero, [lo anota en el numerado r] y aqu dos menos tres son una [lo anota en el denominador]. Es decir, en vez de multiplicar para amplificar las fracciones y expresarlas como otras equivalentes a las originales pero con iguales denominadores, resta el nmero auxiliar (el factor de amplificacin) con el numerador y lo anota en el denominador, de la misma manera resta el nmero auxiliar con el denominador y lo anota en el numerador. Justifica dicho procedimiento diciendo como en este caso e s resta se hace con resta.Descripcin de parte del procedimiento para restar fracciones de una estudiante de 6 ao bsico del sistema educativo chileno

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Amplificar es el trmino utilizado en Chile para referirse al proceso de bsqueda de una fraccin equivalente mediante la multiplicacin de numerador y denominador por un mismo factor. Simplificar es el proceso inverso: dividir el numerador y el denominador por un factor comn.

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Los saberes matemticos son un producto cultural. Han surgido como parte de la actividad humana en el proceso constante de ir construyendo su realidad. En ciertos momentos histrico-culturales bien precisos, han dado respuestas a problemticas o necesidades sociales especficas. Al igual que otros saberes construidos socialmente, el pensamiento matemtico es una forma de pensar particular que permite al ser humano transformarse a s mismo y a su realidad (G. Martnez-Sierra, 2005). Sin embargo, usualmente en el sistema de enseanza predomina una concepcin en la que la razn de ser de los conocimientos matemticos son olvidados, y a los estudiantes slo llega el as se hace, esperando que retengan el cmo sin el por qu. Por lo general, las prcticas educativas no dan cuenta de la historia ni del sentido de los objetos matemticos. En este escenario, resulta difcil para los y las estudiantes construir un significado para un concepto multifactico como las fracciones, y ms an lo es dotar de sentido a los algoritmos para operar con ellas. Como los algoritmos tradicionales, suelen ser abreviaciones de procesos ms extensos , en los que s se pueden apreciar los fundamentos matemticos de los procedimientos, con frecuencia los y las estudiantes slo logran retener una seguidilla de pasos mecnicos que carecen de argumentacin, y que dan origen a procedimientos como el descrito al inicio de este apartado. Esta investigacin, tiene como objetivo adentrarse en la teora para recabar elementos epistemolgicos, cognitivos y didcticos con los cuales disear una secuencia didctica que permita que los estudiantes transiten desde la concepcin de la fraccin como una parte de un todo hacia la fraccin como un objeto que sirve para expresar medidas o cantidades no enteras, para desde all construir, mediante un proceso de convencin matemtica, un procedimiento que permita operar aditivamente las fracciones con sentido. Con ello se produce necesariamente una resignificacin del concepto de fraccin y se supera el conflicto cognitivo suscitado por la excesiva mecanizacin de los algoritmos, y por la incomprensin de los fundamentos que lo sustentan. El aporte inmediato de esta investigacin, es contribuir a la comprensin del concepto de fraccin, y particularmente, al mejoramiento del trabajo aditivo con fracciones. En los captulos siguientes se abordan detalladamente los aspectos que constituyen nuestro trabajo de investigacin. En el primer captulo se revisan los antecedentes, el problema de investigacin y el objetivo. El captulo 2 se refiere a los fundamentos tericos en los que nos basamos para realizar esta investigacin, y el tercero, a los metodolgicos. El cuarto captulo da cuenta de las diversas fases que constituyen el diseo de una secuencia didctica. En el captulo 5 analizamos los resultados de la puesta en escena, y en el sexto establecemos las conclusiones de la investigacin. El ltimo captulo, presenta las referencias bibliogrficas que hemos utilizado a travs de las diversas fases del presente trabajo.

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1 Antecedentes y problema de investigacin1.1 AntecedentesHistricamente, la enseanza y el aprendizaje de las fracciones ha conflictuado a estudiantes y profesores. En la bsqueda de una explicacin a dicha dificultad, se han realizado numerosas investigaciones en diversas partes del mundo (Charalambous y Pitta-Pantazi, 2005; Fandio, 2005; Flores, 2010; T. E. Kieren, 1988; S. Llinares y M. V. Snchez, 1997; Perera y Valdemoros, 2007) En la actualidad, una de las hiptesis que ha cobrado ms peso es la que establece una relacin con su carcter polismico, es decir, la multiplicidad de significados4 asociados a las fracciones sera un factor preponderante que dificulta su aprendizaje. En la investigacin titulada Significados asociados a la nocin de fraccin en la escuela secundaria Flores (2010), confirma dicha hiptesis sealando que la variedad de significados asociados a la fraccin es la razn principal de las dificultades con el concepto y con sus operaciones . (Flores, 2010, p. 93). La investigacin realizada por Flores (2010) contempl una revisin de investigaciones relacionadas con los significados de los nmeros fraccionarios, un anlisis del programa de estudio y de tres series de libros de texto de la escuela secundaria en Mxico, y la aplicacin de un cuestionario de problemas a estudiantes secundarios. A travs de su trabajo, Flores pudo determinar que en el discurso matemtico escolar mexicano estn presentes al menos 11 de los 14 significados asociados a la nocin de fraccin revisados. Mediante el anlisis de las producciones de los estudiantes fue posible constatar que uno de los significados ms presente es el de y que hay escasa presencia de nociones como equivalencia, particin y unitizacin. Se evidenciaron dificultades con la presencia de varios significados en un mismo problema; con los cambios de registro (geomtrico, algebraico); y particularmente con los cambios de referente, cuando es preciso arribar a una nueva unidad para solucionar el problema (unitizacin). Por otra parte, se constat que los estudiantes recurren al trabajo con nmeros decimales para evitar hacerlo con las fracciones. La nutrida revisin de las investigaciones mexicanas recientes en torno al tema que realiza Flores (2010) evidencia la preocupacin por el significado. Figueras (1988, citado por Flores, 2010) en su investigacin denominada Dificultades de aprendizaje en dos modelos de enseanza de los racionales, en la que trabaj con nios de 1 grado de educacin secundaria en Mxico (11 a 14

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Hay mltiples acepciones para el concepto de significado. Para Saussure(1945), es el contenido mental que se le da a un signo lingstico, en cambio Wittgenstein (1922) plantea que ste deviene del uso, de la funcin del signo. En el mbito de la matemtica educativa, consideraremos la definicin propuesta por Flores, (2010) el significado de un concepto matemtico descansa fundamentalmente en las situaciones que nos permiten describir y en los problemas que nos permiten resolver de una manera eficaz

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aos), lleg a establecer que los nios tenan concepciones errneas del conce pto. vila y Mancera (1989, citado por Flores, 2010), en La fraccin: una expresin difcil de interpretar, investigacin realizada con nios de sexto ao de educacin primaria y de 1 de secundaria, establecieron que los libros de texto introducen aisladamente diversas interpretaciones del concepto de fraccin : como parte de una magnitud continua o discreta (figuras geomtricas o colecciones de objet os), como porcentajes, como razones y como medida(citado por Flores, 2010, p. 18), y detectaron que los estudiantes tenan dificultades para establecer la relacin parte-todo y para ir ms all de las conceptualizaciones basadas en el modelo del pastel (vila y Mancera, 1989, citada en Flores 2010). En La construccin del lenguaje de las fracciones y de los conceptos involucrados en l, (Valdemoros, 1993, citado en Flores 2010), la autora concluye que los estudiantes manifiestan una yuxtaposicin de representaciones de distinta naturaleza. En La nocin de razn en las matemticas de la escuela primaria, Block (2001, citado por Flores, 2010) investiga la forma en que la nocin de razn en situaciones determinadas subyace a ciertas nociones que son objeto de enseanza en la escuela: medida y aplicacin, nmero natural y racional y concluye que dicha nocin es la base o andamiaje sobre el que se construyen otros significados de las fracciones Respecto a investigaciones realizadas fuera de Mxico, Flores (2010) se apoya fuertemente en la obra de Fandio (2005, citada por Flores, 2010) quien, en su investigacin Aspectos didcticos y conceptuales de las fracciones, realiza una revisin, a lo largo de 6 aos, de muchsimos trabajos en torno a las fracciones, lo que, por una parte, le permite distinguir las tendencias de los estudios sobre fracciones en diversos periodos de tiempo entre los aos 1960 y 2005, y por otra, le permite recopilar informacin acerca de los significados de las fracciones. Fandio distingue tres periodos de tiempo, en los cuales est siempre presente el tema de los significados. En el primer periodo (1960 a 1980) el problema de los significados era la tendencia central. En el segundo (1980 a 1990), adems se incluyen otros tpicos tales como la relacin entre las fracciones y los nmeros decimales, el aprendizaje en general y el aprendizaje de la operatoria ; en este periodo, surgen con fuerza los planteamientos de Brousseau en relacin con la enseanza de los nmeros decimales y la preocupacin por el nmero racional en EEUU, que en adelante se tornarn muy relevantes. De manera que en el ltimo periodo, (1990 a 2005) las investigaciones se refieren a reas ms especficas: fracciones, nmeros decimales, nmeros racionales y algunas combinaciones como: fracciones y nmeros racionales, y fracciones y nmeros decimales (Flores, 2010, p. 16). Es as como a travs de la revisin de las investigaciones de cada uno de dichos periodos, Fandio lleg a establecer 14 significados distintos para el concepto (Fandio, 2005, citado por Flores, 2010):

1. 2. 3. 4. 5. 6.

La fraccin como parte de un todo a veces continuo, a veces discreto. La fraccin como cociente. La fraccin como razn. La fraccin como operador. La fraccin en probabilidad. La fraccin en los puntajes. 12

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

La fraccin como nmero racional. La fraccin como punto de una recta orientada. La fraccin como medida. La fraccin como indicador de una cantidad de eleccin en el todo La fraccin como porcentaje. La fraccin en el lenguaje cotidiano. La conceptualizacin de la fraccin en la teora de Vergnaud. La conceptualizacin signo objeto de Duval

En un trabajo posterior, que Valdemoros realiza junto a Perera, Propuesta didctica para las enseanza de las fracciones en cuarto grado de educacin primaria (Perera y Valdemoros, 2007), las autoras plantean un alternativa didctica para ensear algunos significados asociados a las fracciones en cuarto grado de educacin primaria en Mxico. Pero esta vez el nfasis est puesto no slo en los significados que piensan es pertinente abordar, sino en la manera de abordar el proceso de enseanza aprendizaje, explcitamente sealan que su objetivo fue: Establecer si una enseanza matemtica realista y ldica, realizada con un enfoque constructivista, propiciar en el nio de cuarto grado de educacin primaria la elaboracin de la nocin de fraccin y los significados de medida, cociente intuitivo y la idea embrionaria de operador multiplicativo (Perera y Valdemoros, 2007, p. 2, las negritas no corresponden al original). Para ello, inicialmente, aplicaron un cuestionario a 30 estudiantes de 9 aos de edad que les permiti saber lo que conocan los nios acerca de las fracciones y seleccionar tre s estudiantes para un estudio de casos. El cuestionario contempl tres bloques en los que se abordan las fracciones como medida, como cociente intuitivo (reparto) y como operador multiplicativo, respectivamente. En segundo lugar, implementaron un programa constructivista de enseanza que aborda la fraccin en los tres significados mencionados, a travs de situaciones ldicas vinculadas a la vida real. Por ltimo, aplicaron un cuestionario final en el que se plantearon tareas anlogas a las del cuestionario inicial. Las autoras concluyen que su programa favoreci la consolidacin de las nociones relativas a la fraccin, salvo en el caso de la fraccin como operador multiplicativo, puesto que los nios lograron realizar tareas que implicaban reducir los lados de una figura a la mitad, pero un grupo importante no lo logr cuando se les peda los redujeran a un tercio. Este estudio entrega interesantes elementos en relacin a las implicancias del trabajo con algunos significados de las fracciones, pero no analiza especficamente el tema de la operacin con fracciones. La revisin hecha con anterioridad, nos permite afirmar que l os significados asociados a las fracciones, efectivamente inciden en la manera en que stas se aprenden, pero, tal como observamos en el ltimo trabajo no son el nico factor a considerar.

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Las fracciones en el curriculum chileno En el curriculum chileno, las fracciones se abordan en cuarto, quinto y sexto ao bsico. En cuarto se introduce la nocin, en quinto se aborda la operatoria aditiva y en sexto la multiplicativa. Segn lo indican los Programas de estudio del Ministerio de Educacin (2006b), las fracciones se debiesen introducir en cuarto ao bsico como nmeros que dan respuesta a situaciones en que no se puede cuantificar a travs de los nmeros naturales. En efecto, las fracciones permiten cuantificar trozos o partes de objetos, colecciones o unidades de medida. Se trata de que alumnos y alumnas, a travs de actividades con material concreto, puedan identificar, representar, leer, escribir y resolver situaciones problemticas en las que participan las fracciones de uso ms frecuente, como son, por ejemplo, medios, tercios, cuartos, dcimos y centsimos (Mineduc, 2006b, p. 142) Pese a que el enfoque propuesto por el Ministerio de Educacin alude al sentido amplio de la fraccin, y a que indica expresamente que se trabajen situaciones de reparto equitativo: Por ejemplo, repartir 5 papeles entre 2 nios o nias. Se trata de que descubran que cumplir la tarea significa darle a cada uno 2 papeles enteros y el que sobra deben partirlo para poder continuar con el reparto (Mineduc, 2006b, p. 180), usualmente se lo aborda exclusivamente como una parte de un todo que ha sido dividido en partes iguales, quizs porque es el significado ms conocido y asimilado por los profesores, y no sienten la misma seguridad al abordar otras interpretaciones. Posteriormente, en quinto bsico se aborda la operatoria aditiva, y en sexto, la multiplicativa. En ambos casos, implcitamente, se suelen ampliar los significados asociados a las fracciones a travs del trabajo con los textos escolares. Sin embargo, los docentes no son conscientes de ello, ni de las implicaciones epistemolgicas que trae consigo cada una de estas nuevas interpretaciones, producto de que los argumentos iniciales (construidos al seno del significado parte-todo) ahora resultan insuficientes para abordar algunas situaciones problemticas. Por ejemplo, en aquellas las que la medida de una porcin o de una cantidad es mayor que la unidad naturalmente surge la pregunta respecto de la posibilidad de utilizar ms partes de las que tiene un entero. En aquellas en las que el entero a repartir es mayor que una unidad, como al repartir dos chocolates entre seis personas a cada una le toca un tercio surge el siguiente conflicto cmo es posible que a cada una le toque un tercio si eran seis personas y no tres? O el relativo al cambio de referente Cmo un tercio (de chocolate) puede ser un sexto (del reparto)?. El programa de estudio de quinto bsico, cuando se refiere a los contenidos, menciona que se abordarn las fracciones en situaciones correspondientes a diversos significados (particin, reparto, medida...) (Mineduc, 2006a, p. 88), pero no explica en qu consiste cada uno de esos significados, ni reflexiona en torno al trabajo con ellos. Las orientaciones didcticas son bastante escuetas en este sentido, sealan que el objetivo del trabajo referido a la unidad de fracciones es ampliar y profundizar el uso y el conocimiento sistemtico de las fracciones como signos que permiten dar cuenta de acciones de fraccionamiento, como 14

razones y con un status de nmeros; es decir, que se pueden ordenar y se puede operar con ellas, avanzando progresivamente a la asociacin, en trminos generales, de un entero a la unidad (uno) (Mineduc, 2006a, p. 89) y entrega algunas orientaciones referidas a su trabajo didctico en las que se sugiere realizar un trabajo contextualizado en el que las regularidades, el lenguaje, las equivalencias se visualizan en la resolucin de problemas numricos y geomtricos, con apoyo de materiales concretos y de representaciones grficas, apoyarse en el trabajo con la re cta numrica para asociar la idea de entero a la nocin de unidad y trabajar con el sistema de medidas incluyendo mltiplos y submltiplos de ellas (Mineduc, 2006a, p. 89).

En relacin con la operatoria aditiva con fracciones el programa de quinto bsico indica que deben ser realizadas con y sin apoyo de materiales concretos y representaciones grficas, poniendo el acento en el uso de fracciones equivalentes, en la estimacin de resultados y su evaluacin y comprobacin (Mineduc, 2006a, p. 90) y no se refiere especficamente a los algoritmos. El algoritmo ms tradicional, an en uso, es el que utiliza el mnimo comn denominador. Al revisar bibliografa especfica que abordara el algoritmo aditivo en el sistema escolar, descubrimos que por lo menos data de la primera mitad del siglo pasado. El profesor Manuel Lara, en el ao 1951, escribe un libro de aritmtica para el primer ao de humanidades (equivalente al pri mer ao de secundaria, o al sptimo ao bsico chileno actual) en el que aborda la adicin de fracciones del siguiente modo: Para sumar fracciones de distinto denominador se las reduce a fracciones que tengan el mismo denominador y enseguida se ejecuta la suma. El denominador comn es el M.C.M. entre los denominadores.(Lara, 1951, p. 238) El procedimiento para determinar el mnimo comn mltiplo, se ha explicado previamente como sigue: Para determinar el M.C.M. entre dos o ms nmeros, por divisiones sucesivas, se colocan estos nmeros en rengln y enseguida se divide por el menor nmero primo que divida alguno de los nmeros dados. El cociente se escribe debajo del nmero que fue dividido y se escriben de nuevo los nmeros que no eran divisibles por ese nmero primo. A los nmeros del segundo rengln se dividen por el menor nmero primo que pueda dividir a algunos de ellos y tenga como cociente final 1 en todas las columnas.(Lara, 1951, p. 233)

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Ilustracin 5

La explicacin alude al uso de una tabla de descomposicin prima an en uso. Finalmente, se deben multiplicar los factores primos (ilustracin 5). La reduccin de fracciones con distinto denominador a fracciones con un mismo numerador se explica en otro apartado: se busca el M.C.M. entre los denominadores y ese M.C.M. es el denominador comn de todas las fracciones propuestas. Enseguida se amplifica cada fraccin por un nmero tal que el denominador se convierta en denominador comn. Se divide el M.C.M entre los denominadores por cada denominador y el cociente obtenido multiplica al numerador correspondiente. Este producto, es el nuevo numerador de la fraccin(Lara, 1951, pp. 234, 235). Es decir, cada uno de los procedimientos implicados en la adicin de fracciones es abordado separadamente, sin asociar cada paso a un fundamento, ni a un contexto que les d significado. Esta misma secuencia de procedimientos para abordar la adicin de fracciones: calcular mnimo comn denominador mediante tabla de descomposicin prima, luego igualar denominadores mediante amplificacin o simplificacin, para finalmente sumar los numeradores y conservar el denominador, contina en uso hasta hoy. Otra variante de este procedimiento son la de la multiplicacin cruzada y la de cuntas veces cabe, ambas parten de la premisa que no se pueden sumar fracciones si no tienen igual denominador: i) Se multiplican los denominadores entre s, generando el denominador de la suma. Luego se multiplica en forma cruzada el denominador de una fraccin con el numerador de la otra y se generan dos sumandos a anotar en el numerador. Estos ltimos se suman y se genera el numerador de la suma. ii) Se multiplican los denominadores para generar el denominador de la suma. Y luego, para generar el numerador se formula la pregunta cuntas veces cabe el numerador de cada fraccin en este nuevo denominador, la respuesta indica el nmero por el que se debe multiplicar el numerador para generar uno nuevo. Se repite el procedimiento con el numerador del otro sumando, y se suman los nuevos numeradores. Como podemos observar, todos los procedimientos descritos abordan los trminos de la fraccin como entes separados, y si bien hacen hincapi en la ne cesidad de igualar los denominadores, no es fcil comprender por qu se hace lo que se hace.

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1.2 Problema de investigacin y objetivoLa experiencia docente de muchos profesores y profesoras indica que trabajar con fracciones constituye una dificultad no menor para los estudiantes, incidiendo en la calidad de sus aprendizajes. En particular, los mayores conflictos que se observan en el aula se producen a la hora de operar con ellas. Los anlisis de las producciones de los estudiantes (Centro Felix Klein, 2010) muestran, con ms frecuencia de la deseada, que los estudiantes las abordan en forma parcelada, como si una fraccin fuese un nmero compuesto por dos entidades independientes, el numerador y denominador. Llinares y Snchez (1997)sostienen que los estudiantes operan con ellos haciendo una extensin de los algoritmos construidos para el trabajo con los nmeros naturales, al trabajo con las fracciones. Para llegar a conceptualizar la fraccin como un nmero racional, es necesario abordarla desde las distintas situaciones contextuales que han dado origen a sus diversos significados. En el apartado anterior, hemos puesto de manifiesto que una de las caractersticas que hacen del concepto de fraccin un tema matemtico complejo es su polisemia. A travs de dicha revisin, hemos observado que esta multiplicidad de significados incide en el aprendizaje de los estudiantes. Sin embargo, ser la polisemia el factor ms preponderante en las dificultades de aprendizaje de las fracciones? Tratar las fracciones con sus distintos significados, ser suficiente para superarlas? El carcter mltiple de este concepto constituye una de las variables didcticas que incide su aprendizaje, pero tambin la forma en que se le aborda en el Discurso Matemtico Escolar (en adelante DME), dificulta su conceptualizacin como un nmero racional, cuya principal funcionalidad es expresar cantidades continuas. Como ejemplo de esto, la investigacin de Perera y Valdemoros (2007) aborda la polisemia del concepto de fraccin, no slo contemplando el tr abajo con ms de un significado o interpretacin de la fraccin, sino aspectos relativos a la estrategia didctica con que se le aborda. Sin embargo, no slo el trabajo conceptual en torno a las fracciones es un tema difcil de abordar por alumnos y profesores, sino que tambin a nivel operatorio se presentan grandes dificultades. Dado que la operatoria es el medio por el cual se resuelven las situaciones problema, en donde se contextualizan y adquieren sentido cada una de las interpretaciones que hemos mencionado, nos interesa indagar en el proceso de construccin de la operatoria, para identificar qu variables debemos considerar para que los algoritmos utilizados tengan sentido para los estudiantes, y cmo este trabajo permite contribuir al asentamiento de algunas de las interpretaciones mencionadas. En particular, queremos plantear una propuesta que permita dotar de sentido tanto al concepto como al algoritmo aditivo. Nos interesa abordar el algoritmo aditivo, porque las situaciones problemticas que se resuelven con adiciones, son las que surgen con ms naturalidad en los primeros aos de la escolaridad, y por lo mismo, persisten ms en el tiempo , y tambin porque el nivel de complejidad del algoritmo aditivo en s, es mayor que el de los algoritmos multiplicativos.

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A partir de aqu, definimos la pregunta que gua esta investigacin: Qu caractersticas debera tener una propuesta didctica que busque resignificar el algoritmo aditivo promoviendo la comprensin tanto del concepto como del propio algoritmo? Una vez que nos insertamos en el trabajo operatorio para resolver problemas, lo procedimental y lo conceptual no se pueden disociar como aspectos distintos. No es posible trabajar la operatoria por s sola porque se fundamenta en el concepto. Valdemoros y Perera (2007) hicieron un gran aporte en cmo trabajar el concepto, lo que proponemos aqu es una propuesta de trabajo conjunto que relaciona concepto y procedimiento. Como el procedimiento operatorio no puede vivir sin una nocin conceptual, planteamos, la resignificacin del concepto como medio para la resignificacin del procedimiento. Por lo tanto, esta investigacin tiene como objetivo general: Construir una propuesta didctica que a travs de un trabajo conceptual resignifique el algoritmo para operar aditivamente con fracciones. Para construir esta propuesta, utilizaremos la ingeniera didctica (Douady, 1996) como metodologa, de manera que el objetivo general se operacionalizar en las siguientes fases: o o o Disear una secuencia de actividades Experimentar esta propuesta para tener evidencias tanto de las hiptesis que sustentan las actividades como de los procesos de aprendizaje de los estudiantes. Analizar dichos resultados, para ser incorporados en una propuesta final.

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2 Marco TericoPara abordar esta problemtica, hemos utilizado principalmente la aproximacin terica, proporcionada por La Teora de las Situaciones Didcticas (TSD) de Brousseau (1986), y las nociones de convencin matemtica (G. Martnez-Sierra, 2005), de tarea y tcnica (Chevallard, 1999) y de resignificacin (M. Garca y G. Montiel, 2007). Brousseau nos permite entender las relaciones entre los distintos actores del sistema didctico , y nos brinda categoras para analizar las diversas situaciones que surgen en una situacin de aula. La nocin de convencin matemtica de Martnez Sierra y la de resignificacin de Garca y Montiel se utilizan para dar cuenta del proceso de construccin social del conocimiento matemtico. En este caso, queremos utilizar un proceso de convencin matemtica en momentos puntuales e n el transcurso de construccin del algoritmo, y el concepto de resignificacin pensamos debe recorrer toda la secuencia. Las nociones de tarea y tcnica de Chevallard se utilizan para hacer algunas distinciones especficas en la actividad de aula.

2.1 Teora de las Situaciones Didcticas (TSD)Para comprender y analizar lo que ocurre en una situacin de enseanza aprendizaje al interior del aula, y para el diseo de la secuencia didctica, tomamos los siguientes planteamientos de la teora de situaciones didcticas de Brousseau: En el proceso de aprendizaje de las matemticas en el aula participan el conocimiento matemtico, los estudiantes y el profesor. La interaccin entre estos tres polos (ilustracin 6) da vida a las situaciones didcticas definidas por Brousseau (1986) como:Un conjunto de relaciones explcitas y/o implcitas entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vas de constitucin.

Esta trada de elementos, comnmente llamada tringulo didctico, da origen a tres dimensiones de anlisis de los fenmenos didcticos surgidos: a) La dimensin epistemolgica, referida a las caractersticas del saber a ensear. Dicho conocimiento se ha desarrollado a travs de la historia y es poseedor de una naturaleza propia. b) La dimensin cognitiva, asociada a las caractersticas del conocer. Es decir, cmo conocen los y las estudiantes. 19

c) La dimensin didctica, referida al funcionamiento del sistema didctico, y a cmo el docente conduce o facilita la construccin del conocimiento por Ilustracin 6 parte del estudiante. Al interior de una situacin didctica, la relacin entre profesores y estudiantes est regida por un conjunto de comportamientos interrelacionados: aquellos que el profesor espera de los y las estudiantes y aquellos que los y las estudiantes esperan del profesor (responsabilidades, plazos, uso o no de ciertos recursos, etc). Este conjunto de pautas de comportamiento, es denominado contrato didctico (Brousseau, 1986), y de l se desprenden reglas explcitas e implcitas acerca de lo que cada uno debiese hacer y exigir al otro en una actividad de aula. Los saberes sufren un proceso de transposicin didctica mediante el cual el saber sabio es transformado en saber enseado; sin embargo, usualmente, la forma de presentar los contenidos en el aula elimina completamente la historia de los saberes (Brousseau, 1986) La evolucin del comportamiento de los y las estudiantes en relacin con su proceso de apropiacin del saber depende de las caractersticas y condiciones presentes en la situacin didctica. El control de dichas condiciones o variables didcticas permitir reproducir y optimizar los procesos de adquisicin escolar del conocimiento en estudio (Glvez, 1994, p. 40)Una parte importante del anlisis de una situacin didctica, lo constituye la identificacin de las variables didcticas y el estudio, tanto terico como experimental, de sus efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparicin del conocimiento que la situacin didctica pretende ensear. Se trata de apreciar las condiciones de las que depende que sea se el conocimiento que interviene y no otro. (Glvez, 1994, p. 44)

Las variables didcticas, entonces, son aquellos elementos de la situacin que pueden ser controlados y modificados por el docente, para provocar un cambio de estrategia en los y las estudiantes de manera que pueda llegar al saber matemtico deseado. Considerando dichas ideas claves, Glvez (1994) describe muy bien cul debe ser el foco de anlisis de las situaciones de aula:El objetivo fundamental de la Didctica de las Matemticas es averiguar cmo funcionan las situaciones didcticas, es decir, cules de las caractersticas de cada situacin resultan determinantes para la evolucin del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de sus conocimientos.

Por otra parte, Brousseau establece una clasificacin de situaciones experimentales, segn la accin que estn realizando los estudiantes. Distingue cuatro tipos: a) situaciones de accin en las que los y las estudiantes interactan con el medio fsico para resolver la tarea o problema encomendado b) situaciones de formulacin, en la que las y los estudiantes se comunican informaciones entre s, discuten estrategias, etc c) situaciones de validacin, en las que los y las estudiantes deben elaborar pruebas para convencer a otros sobre la validez de sus afirmaciones 20

d) situaciones de institucionalizacin, en las que participan tanto profesores como estudiantes, puesto que se trata de estos ltimos asuman la significatividad de un conocimiento construido por ellos mismos en las situaciones previas, como una convencin social. (Glvez, 1994)

2.2 Las nociones de Tarea y TcnicaPara organizar algunos aspectos especficos de la actividad matemtica en el aula, utilizaremos algunas nociones propuestas por Chevallard en su Teora Antropolgica de lo Didctico (en adelante TAD) Para Chevallard el conocimiento matemtico es producto de una actividad humana que involucra tareas que resultan problemticas para una determinada comunidad en un momento especfico y es producto de un proceso de estudio. En concordancia con ello, propone una modelizacin de la actividad matemtica. Tomando como unidad de anlisis la nocin de la organizacin matemtica (OM), Chevallard plantea un modelo praxeolgico que distingue los elementos asociados al saber hacer, de los fundamentos que explican dicho saber hacer. Al primer grupo de elementos los denomina bloque prctico -tcnico cuyo foco es el saber hacer, all es posible distinguir tipos de tareas y tareas especficas a resolver por los estudiantes, y tcnicas mediante las cuales se realizan esas tareas. El segundo bloque, denominado bloque tecnolgico-terico, se concentra en el saber. Comprende las descripciones, explicaciones y justificaciones de las tcnicas que se utilizan, agrupadas bajo el nombre de tecnologa; y tambin el discurso que, a su vez, describe, explica y justifica la tecnologa: la teora. Para la evolucin de la secuencia didctica, utilizaremos las nociones del bloque prctico tcnico (tarea y tcnica) y articulndolas con la nocin de variables didcticas de Brousseau, por cuanto estas ltimas, posibilitan graduar tanto el grado de dificultad de la tarea a la que se enfrenta el estudiante como la o las tcnica(s) que utiliza para resolverla Las tareas son las actividades concretas a desarrollar por los estudiantes: problemas, ejercicios, demostraciones, construcciones geomtricas, etc. Y las tcnicas son los procedimientos utilizados para llevar a cabo esas tareas. Es interesante notar que pese a que en el mbito de las matemticas, las tcnicas suelen considerarse universales, Chevallard seala que estas varan de institucin en institucin: en una institucin I dada, y a propsito de un tipo de tareas T dado, existe en general una sola tcnica, o al menos un pequeo nmero de tcnicas institucionalmente reconocidas, con la exclusin de tcnicas alternativas posibles -que pueden existir efectivamente pero en otras instituciones.(Chevallard, 1999) El objetivo ltimo de la secuencia didctica contenida en esta investigacin, es que los y las estudiantes construyan un procedimiento (una tcnica) para sumar fracciones, y que a travs de 21

dicho proceso de construccin puedan resignificar la tcnica que han conocido en su institucin educativa. Por lo tanto, la progresin de tareas propuestas en la secuencia didctica ser construida considerando la relacin entre las condiciones o variables presentes en cada una de ellas y las tcnicas que esperamos vayan construyendo los y las estudiantes para resolver dichas tareas . De manera de promover la apropiacin paulatina del saber en cuestin: la operatoria aditiva con fracciones.

2.3 La nocin de Convencin Matemtica.Por otra parte, se utiliza la nocin de convencin matemtica con la intencin de cuestionar la idea de validez universal del conocimiento matemtico e invitar a preguntarse sobre las con diciones sociales de dicha validez convencional. Cada vez son ms los enfoques que contradicen la idea de la pureza del conocimiento matemtico, dando cuenta del rol de lo social en su constitucin: la nocin de contrato didctico de Brousseau seala la importancia del contexto escolar en las situaciones de aprendizaje, la teora antropolgica de Chevallard pone en el tapete el rol de las instituciones (G. Martnez-Sierra, 2005), y la teora de las representaciones sociales (Jodelet, 2000), releva el papel del conocimiento de sentido comn en la construccin del conocimiento matemtico. La nocin de convencin matemtica tambin se refiere a la importancia de lo social en la construccin del conocimiento matemtico. El concepto surge al seno de la aproximacin socioepistemolgica en Matemtica Educativa, cuya caracterstica fundamental es incorporar l a dimensin social en la construccin del conocimiento matemtico. La socioepistemologa es una aproximacin terica sistmica que considera que el conocimiento no slo es el resultado de la adaptacin de las explicaciones tericas con las evidencias empricas puesto que dicho proceso ocurre en un escenario socialmente situado. En el marco de dicha lnea de investigacin, surge la nocin de convencin matemtica como un proceso constituyente en la construccin del conocimiento matemtico. El concepto se origina a partir de una investigacin que aborda las dificultades para brindar significado a potencias con exponentes no naturales. El estudio histrico epistemolgico mostr que:El significado de los exponentes no naturales es convenido para posibilitar la construccin de cuerpos unificados y coherentes de conocimiento matemtico (es decir para la integracin sistmica de conocimientos). (Martnez-Sierra, 2009)

A partir de all se generaliza esa forma de construccin como convencin matemtica. Es decir, la convencin matemtica es una prctica social, y un proceso funcional cuyo objetivo es lograr una integracin sistmica de un conjunto de conocimiento. (Martnez-Sierra, 2009)

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En sus cortos aos de existencia, el concepto de convencin matemtica, ha sido til para explicar algunos fenmenos didctico-cognitivos y tambin para interpretar procesos epistemolgicocognitivos. En este estudio en particular utilizamos la nocin de convencin matemtica para explicar parte del fenmeno didcticocognitivo que se expresa en las mltiples dificultades para operar aditivamente con fracciones. Las cogniciones asociadas a la comprensin del algoritmo para operar adi tivamente con fracciones, producen conflictos cognitivos tanto en estudiantes como en profesores, y el manejo escolar de dichos conocimientos reproduce y perpeta el fenmeno didctico observado. Especficamente, en esta investigacin se propicia que los y las estudiantes convengan un algoritmo que articule el procedimiento mismo con los fundamentos matemticos que lo sustentan.

2.4 La nocin de ResignificacinLa nocin de resignificacin tambin se utiliza en este estudio para dar cuenta de la vida social de un conocimiento. Tal como plantean Garca y Montiel (2007), buscar la resignificacin de un concepto supone que los estudiantes han tenido ya un acercamiento escolar del mismo (p. 160), y en este trabajo, al igual que las autoras, buscamos romper con las formas tradicionales de enseanza del algoritmo aditivo para fracciones. De esta manera pretendemos tomar distancia de la idea que habla de la existencia de conceptos puros, inmodificables, como si algn decreto divino les hubiese dado origen independiente de la existencia humana. Garca y Montiel, (2007) sealan que La nocin de resignificacin busca hacer una distincin de origen con respecto a la idea platnica que establece la preexistencia de los objetos y procesos matemticos y que implica considerar la unicidad de los significados. La nocin de resignificacin emerge, entonces, como elemento para dar cuenta de que el conocimiento tiene significados propios, contextos, historia e intensin; lo que seala la posibilidad de enriquecer el significado de los conocimientos en el marco de los grupos humanos (P 159)

.

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3 Marco metodolgico:Para la construccin de la secuencia didctica se utilizar la ingeniera didctica como metodologa de investigacin.

3.1.1 Ingeniera Didctica La ingeniera didctica surge en Francia en la dcada de los ochenta como mtodo para las realizaciones tecnolgicas de investigaciones realizadas en el marco de la TAD y la TSD. Su nombre se analoga a la actividad ingenieril en el sentido de que cuando se lleva a cabo un proyecto ste debe realizarse bajo ciertos cnones cientficos, peo tambin debe trabajar con objetos que estn fuera del marco de las ciencias. Este trmino es utilizado en el mbito de la didctica de las matemticas en dos sentidos: como metodologa de investigacin y como produccin de situaciones de enseanza y aprendizaje.

El trmino ingeniera didctica designa un conjunto de secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido matemtico dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en funcin de las decisiones y elecciones del profesor. As, la ingeniera didctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un anlisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptacin de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinmicas de una clase. Douady (1996, p. 241) La ingeniera didctica como metodologa de investigacin se caracteriza por tener un esquema experimental sobre la concepcin, realizacin, observacin y anlisis de secuencias de enseanza, y por el registro de los estudios de caso. Su validacin es esencialmente interna, pues est basada en la confrontacin entre el anlisis a priori y a posteriori (De-Fara, 2006) Es una investigacin a nivel de micro-ingeniera, pues su objeto de estudio es un tema local determinado y porque interesa considerar los fenmenos al interior del aula.

Etapas o fases del proceso, se distinguen cuatro fases (ilustracin 7): anlisis preliminar; diseo y anlisis a priori de las situaciones didcticas; experimentacin; y anlisis a posteriori y evaluacin. 1. Primera fase, Anlisis preliminares: Tiene por propsito establecer los elementos tericos generales y los conocimientos didcticos relativos al tema en estudio, que deben ser atendidos para la construccin de la situacin didctica. En este caso consideraremos:

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a) b) c)

Anlisis de la naturaleza del concepto y de los algoritmos aditivos Un anlisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstculos que determinan su evolucin. Cmo se ensea la operatoria con fracciones, entrevistas a profesores y anlisis de textos

2. Segunda fase, Diseo y anlisis a priori de las situaciones didcticas : Se selecciona un determinado nmero de variables del sistema que se articularn de determinada manera para controlar los comportamientos posteriores de los estudiantes e intencionar la emergencia de un conocimiento. Este anlisis se basa en un conjunto de hiptesis y contempla una parte descriptiva y una predictiva. 3. Tercera fase, Experimentacin: Es la implementacin de la secuencia didctica con una determinada poblacin de estudiantes. En ella es necesario explicitar los objetivos de la investigacin y las condiciones de realizacin, establecer el contrato didctico, aplicar los instrumentos de investigacin, registrar las observaciones. Si la experimentacin implica trabajar ms de una sesin, es adecuado hacer un anlisis a posteriori local, confrontando con los anlisis a priori, para poder hacer las correcciones necesarias. 4. Cuarta fase: Anlisis a posteriori y validacin En esta fase se organiza el conjunto de datos recolectados a lo largo de la experimentacin, es decir, en las observaciones realizadas al implementar la secuencia de enseanza: los registros escritos del observador, los informes de los estudiantes si los hubiese, y los registros de audio o video. Finalmente, para validar o refutar las hiptesis formuladas en la investigacin se confrontan los anlisis a priori y a posteriori.

Validacin Experimentacin

Diseo y anlisis a priori Anlisis preliminar

Ilustracin 7

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4 Diseo de la secuencia4.1 Fase de planeacin: Anlisis PreliminarEn este anlisis, consideramos primeramente las caractersticas del saber matemtico en cuestin. Para ello se realiz un anlisis de la naturaleza del concepto a travs de una revisin acerca del origen y el desarrollo del concepto de fraccin. En segundo lugar, analizamos las concepciones de los estudiantes: qu entienden por fraccin, qu dificultades reconocen al trabajar con ellas. Con ello, esperbamos poder conocer algunas caractersticas cognitivas de los estudiantes y tambin, algunos elementos relativos al sistema de enseanza. Por ltimo, profundizamos la dimensin didctica, explorando cmo se ensea la operatoria con fracciones, mediante un anlisis de las concepciones de los profesores y un anlisis de texto. De esta manera esperamos poder determinar cules son los elementos epistemolgicos, cognitivos y didcticos que intervienen en el proceso de enseanza-aprendizaje de la operacin aditiva con fracciones. Y ms especficamente, cules son las condiciones en las cuales se constituye la fraccin y su operatoria aditiva como un conocimiento funcional para los estudiantes. 4.1.1 Anlisis epistemolgico: El concepto de fraccin

4.1.1.1 Por qu surgen las fracciones?

Llegar a la comprensin del concepto de fraccin es un largo camino debido a sus mltiples interpretaciones, sin mencionar a las ya establecidas desde el lenguaje cotidiano, cuestin que suele estar presente en los procesos de aprendizaje de estos temas (S. Llinares y M. V. Snchez, 1997). Al hacerse la pregunta qu son las fracciones? es necesario preguntarse tambin cmo surgen, ya que la concepcin de una idea matemtica va directamente relacionada con su emergencia y evolucin histrica. En este sentido, no podemos desconocer que los objetos matemticos han sido construidos a partir de alguna necesidad social: todo conocimiento es una respuesta, una adaptacin que la humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha planteado (Glvez, 1994). Por lo tanto, para entender el sentido de existencia de las fracciones, es preciso investigar qu es aquello que les dio origen. Segn los diferentes registros histricos, todo apunta a que fue la necesidad de medir y de resolver situaciones de reparto, en las que el objeto medido, o la medida de la porcin repartida, result ser una cantidad no entera, lo que propici la emergencia de lo que hoy llamamos fraccin. Ya en el ChuPe, obra matemtica china escrita alrededor del 1200 ac 5, aparecen diversos problemas en los5

Algunos historiadores ubican esta obra en el 300 ac.

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que se utilizan nmeros fraccionarios. Por otra parte, tanto los griegos como los romanos conocan las fracciones unitarias de los egipcios, pero rehuan realizar clculos con ellas (Contreras, 2004) El registro ms antiguo relativo a su origen se halla en las civilizaciones babilnica y egipcia. Alrededor del ao 2500 ac, los babilonios decidieron uniformar sus medidas para facilitar sus intercambios comerciales. Hasta entonces trabajaban con un sistema de subunidades: l a unidad menor era el dedo, 30 dedos componan un codo, y 120 codos una vara (Fowler, 2008). Una medida determinada poda ser expresada en una cierta unidad de medida, por ejemplo siete codos, pero cuando dicha medida no era una cantidad entera, surge la necesidad de fraccionar dicha cantidad, por ejemplo, siete codos y un tercio de codo, permitiendo de esta manera cuantificarla. Como alternativa a este sistema, se utilizaron submltiplos de dicha medida, o bien unidades de medidas menores para complementar, por ejemplo, siete codos, un palmo y tres dedos. Sin embargo, a la hora de operar con cantidades expresadas de ese modo, por ejemplo, multiplicar, la tarea se volva compleja. As, la fraccin resultaba ser una nocin ms eficaz para efectuar dichos clculos, al estar expresada la medida en una sola unidad. El concepto de fraccin tambin fue utilizado para medir porciones no enteras de un reparto. En el papiro de Rhind, o papiro de Ahms, documento escrito hace casi 4000 aos (1650 a.c.), es posible apreciar la costumbre egipcia de expresar toda fraccin como una suma de fracciones unitarias. Aparece, por ejemplo, la descomposicin en fracciones unitaria de l a fraccin 2/47: 2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 (Pulpn, 2008) Este resultado se explica por la forma en que hacan la reparticin. Por ejemplo, si queran repartir 4 panes en partes iguales entre 7 personas, los egipcios dividan cada pan en dos y entregaban medio pan a cada persona. El medio restante, lo dividan en siete partes, cada una de las cuales corresponde a un catorceavo de pan, y repartan una de aquellas partes a cada persona. Por lo tanto, cada invitado reciba 2008) En la medida que se institucionaliza la fraccin como un objeto matemtico, ste se vuelve un tipo de nmero que permite expresar la medida de las porciones no enteras. An as, segua resultando complejo operar con la notacin egipcia que consideraba slo fracciones unitarias. Los griegos, por ejemplo, marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o bien colocaban al denominador sobre el numerador (como actualmente anotamos los exponentes). Finalmente, fueron los hindes quienes resolvieron el problema de la notacin, escribiendo el numerador sobre el denominador. De hecho, los antecedentes ms antiguos acerca de la resolucin de operaciones con nmeros fraccionarios o quebrados, datan de Aryabhata, en el siglo VI d.C. y Bramagupta, en e l siglo VII d.C. Posteriormente, Mahavira, en el siglo IX y Bhskara en el siglo XII, sistematizan la operatoria llegando al algoritmo actual.6

de pan, lo que en nuestra notacin actual equivale a

de pan6 (Pulpn,

Se ha de hacer nfasis en que los egipcios utilizaban casi exclusivamente fracciones unitarias, las nicas excepciones conocidas son las fracciones 2/3 y 3/4

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Por su parte, la mayora del mundo rabe utilizaba una escritura similar a la egipcia para representar fracciones. Pero es a mediados del siglo IX dc cuando Muhammad ibn M usa Al Khw arizm adopta la notacin india al redactar un manual sobre aritmtica que recoge precisamente toda la tradicin matemtica india. No es sino hasta el siglo XII que la obra de Al Khw arizm es traducida al latn, y uno de sus grandes difusores -Leonardo de Pisa- comienza a hacer uso de la lnea horizontal para representar divisiones originando la notacin actual. El uso social que se ha hecho del concepto de fraccin, tanto en las cultur as antiguas como en la poca moderna, ha estado fuertemente vinculado a una relacin parte-todo basada en el reparto equitativo. El ejemplo egipcio es iluminador, ya que ellos separaban el todo en partes, y stas, a su vez, se repartan equitativamente. Sin embargo, hay otras nociones de fraccin que emergen en la historia. Si los egipcios hubieran denotado la reparticin del pan como 4/7, stos hubieran cuantificado la medida de la reparticin, y aunque se relaciona con la idea de parte-todo, la concepcin predominante en este caso hipottico hubiera sido la fraccin como medida. Lo importante de rescatar es que en ambos casos las fracciones se presentan como un constructo matemtico que permite expresar medidas o porciones (cantidades) no enteras de una un idad u objeto unitario.

4.1.1.2 Vida actual de las fracciones: modelos tericos contemporneos

Si bien el uso social predominante del concepto de frac cin, lo vincula a una relacin parte-todo, en la actualidad la fraccin es utilizada en distintos contextos si tuacionales que dan origen a distintos significados. En el captulo 1 sealamos que diversos autores han dado cuenta de la multitud de significados en que el objeto fraccin se ve involucrado, y que se ha llegado a recabar hasta 14 significados: la fraccin como parte de un todo, como cociente, como razn, como operador, como probabilidad, en los puntajes, como nmero racional, como punto de una recta orientada, como medida, como indicador de una cantidad de eleccin en el todo, y como porcentaje. Sin embargo, no todos los significados se presentan con la misma fuerza, ni cobran la misma importancia en el sistema escolar. Es el modelo propuesto por Kieren (1988), erigido sobre la base de comprensin del nmero racional, el que ha logrado un mayor grado de validacin social. Dicho modelo concentra los cinco principales significados de fraccin: a) Fraccin como parte-todo o partes de una unidad: considera la fraccin7

como la relacin que

existe entre un todo b continuo o discreto dividido en partes alcuotas , y una parte a que indica un cierto nmero de partes alcuotas del todo.

7

Se entiende por partes alcuotas las que son capaces de medir exactamente a su todo.

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b) Fraccin como divisin o cociente: la fraccin

es el resultado de una situacin de reparto

donde se busca conocer el tamao de cada una de las partes resultantes al distribuir a unidades en b partes iguales. c) Fraccin como resultado de una medida: se relaciona con su origen histrico correspondiente a expresar una medida tal que no se puede cuantificar con una cantidad entera de unidades de medida. En este caso la unidad de medida se ha dividido en b subunidades iguales y se ha repetido a veces para completar la medida deseada. d) Fraccin como operador: la fraccin es un objeto que modifica un valor multiplicndolo por a y dividindolo por b, con a y b nmeros enteros positivos. e) Fraccin como razn: la fraccin indica una comparacin entre dos cantidades a y b citadas en el mismo orden en que han sido comparadas. Si realizamos una mirada transversal a estas cinco interpretaciones de fraccin, podemos notar que en todas ellas, excepto en la fraccin como operador, hay un referente. En la interpretacin partetodo, la fraccin depende de qu se considera por eso todo; en la interpretacin como divisin se debe tener claridad qu es aquello que se reparte; al considerar la fraccin como medida, se debe tener en cuenta la medida que se subdivide; y en la interpretacin como razn, la fraccin depende de las cantidades que se comparan. Sin embargo, al considerar la fraccin como operador, nos acercamos a la idea de la fraccin como nmero, despojado de referente concreto. Relevamos esta vinculacin de la fraccin al referente dependiendo de su significado, pues influye en las propuestas de actividades que se trabajan con los estudiantes en el aula. Proponer un a actividad que utilice un contexto determinado, requerir la reflexin previa acerca de qu significado se le est dando a la fraccin en dicho contexto. Por otra parte, llegar a conocer funcionalmente cada uno de estos significados o interpretaciones del mega concepto de fraccin conlleva el dominio de diferentes estructuras cognitivas, entendidas como esquemas de pensamiento subyacente a las acciones necesarias para desarrollar tareas que implican la idea de nmero racional (S. Llinares y M. V. Snchez, 1997, p. 75) para cualquiera de estas interpretaciones. Estas estructuras cognitivas condicionan significativamente las secuencias de enseanza de este concepto segn el momento de desarrollo en que se encuentre el estudiante. Como ya se anticipa, es muy difcil aislar cada una de estas interpretaciones para llegar a la comprensin del nmero racional, ya que en mayor o menor medida, stas estn vinculadas de forma natural. Para comprender estas relaciones, los trabajos de Behr et al. (1983, citado en Charalambous y Panzani, 2005) ofrecen un modelo mediante el cual podemos estudiar las relaciones establecidas (flechas continuas) y las relaciones que se pueden conjeturar (flechas segmentadas). Estos autores proponen una relacin entre las diferentes interpretaciones ya sealadas por Kieren y las operaciones bsicas de fracciones y la resolucin de problemas (ilustracin 8).

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Parte Todo / Particin

Razn

Operador

Cociente

Medida

Equivalencia

Multiplicacin

Resolucin de Problemas

Adicin

Fuente: Behr et al., 1983, p. 100 Ilustracin 8

A partir de este modelo, Charalambous y Pitta-Pantazi (2005) sostienen, en primer lugar, que la interpretacin parte-todo y su relacin con los procesos de particin, se considera fundamental, aunque no suficiente, para desarrollar una adecuada comprensin de las dems interpretaciones de las fracciones. En cualquier caso, la preponderancia de esta interpretacin es lo que justificara que en muchos currculos este aspecto tome un rol central, sobre todo en los primeros aos en que se introduce el concepto de fraccin (Baturo., 2004). En segundo lugar, el diagrama sugiere que la interpretacin de fraccin como razn se considera lo ms natural para promover el concepto de equivalencia, y consecuentemente, el proceso de encontrar fracciones equivalentes. Adems, la concepcin de operador y medida, ayudan de gran manera a desarrollar una comprensin solida de la multiplicacin y adicin de fracciones, respectivamente. Finalmente, comprender las cinco interpretaciones de las fracciones se considera indispensable para llegar a resolver problemas en el campo de las fracciones.

4.1.1.3 La fraccin como medida

En consecuencia con los planteamientos del apartado anterior, nos concentraremos en los significados de fraccin como parte-todo y como medida, significados que segn el planteamiento de Llinares y Snchez (1997), corroborado posteriormente por Charalambous y Pitta-Pantazi (2005), estn ntimamente relacionados, siendo el primero el fundamento de la interpretacin del segundo. Ya hemos mencionado que el conocimiento matemtico surge de contextos histricos y necesidades humanas. Para darle una razn de ser a las fracciones como objeto matemtico, revivi remos en esta secuencia didctica su emergencia histrica poniendo a los estudiantes en una situacin en la que deben cuantificar una medida no entera. De esta manera, el objeto fraccin surge, al comienzo de la

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situacin didctica, como un tipo de nmero que permite expresar cunto mide una cierta longitud, en este caso, una cinta dada 8. Cuando se trabajan situaciones aditivas con fracciones, es comn obtener sumas mayores que un entero que resultan difciles de significar en el contexto del significado parte-todo, pues surge la siguiente contradiccin: si el todo est dividido en n partes, cmo puedo obtener un nmero de partes mayor que n? Ampliar el concepto de fraccin ms all de la idea de parte-todo es lo que permitir superar esta supuesta contradiccin. La conceptualizacin de fraccin como medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fraccin es veces , es decir, que si repite 2 veces obtendr , y si lo repite 4 veces, obtendr .

Las situaciones de medicin son un contexto propicio y natural en el cual se obtienen habitualmente medidas no enteras mayores que uno o que varios enteros, por lo que resulta ms apropiado para que el estudiante signifique las cantidades fraccionarias mayores que el entero. Aun as, la interpretacin de fraccin como parte-todo no queda fuera, ya que fundamenta la interpretacin como medida, lo cual se ve claramente cuando el estudiante observa que al repetir 3 veces obtiene un entero, lo cual se relaciona con que es una parte de un entero que se ha dividido en tres.

4.1.1.4 Consideraciones sobre los algoritmos aditivos

Pareciera ser que hablar de los distintos significados de las fracciones pone nfasis en lo conceptual ms que en lo procedimental. Sin embargo, las concepciones de fracciones, tal como vimos en el esquema de Behr, apuntan a la resolucin de problemas, y para ello son necesarias ciertas claridades sobre las operaciones que permiten resolverlos. En particular, en el apartado anterior hemos visto cmo las situaciones de medida, junto con las de parte-todo, se relacionan con las situaciones de adicin; y es en su operatoria donde deseamos centrar este trabajo. Al plantearse la enseanza formal del algoritmo aditivo para fracciones, surgen grandes discrepancias de cmo hacerlo, al contrario del consenso existente en cuanto a las interpretaciones de una fraccin. En este punto es conveniente distinguir entre el concepto de la operacin y su algoritmo, tal como sealan Llinares y Snchez (1997): *Se ha de hacer la distincin entre] comprender el significado de la operacin, estando este punto vinculado a la aplicacin de la operacin en la resolucin de situaciones problemticas, y ser hbil en la ejecucin de los pasos necesarios, y en el orden correcto,8

Inicialmente, los estudiantes miden la cinta con una unidad de medida y con partes de dicha unidad. Sin embargo, para poder cuantificar el valor de cada trozo de cinta, han de repetir el trozo en la unidad de medida tantas veces como sea necesario. En esa accin, es la nocin parte-todo la que les permite saber a qu parte de la unidad de medida corresponde el trozo.

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que llevan a la obtencin del resultado de una operacin; lo que en lenguaje usual se denomina realizar los clculos (p. 132). Esta distincin ayuda a sobreponerse a la larga discusin sobre si ensear o no, o de qu manera, los algoritmos para operar con fracciones. En la gran mayora de los procesos de aprendizaje, este manejo aritmtico se vuelve mecanicista y sin sentido para el aprendiz, lo que lo lleva o bien a reemplazarlos por otros con mayor significado, o bien a modificarlos, convirtindolos en procedimientos errneos. Las razones para este manejo mecanicista son variadas, pero se destaca, por una parte, la introduccin demasiado temprana de la enseanza del algoritmo en la escuela, y por otra, la introduccin desvinculada de un fundamento suficientemente concreto y natural de la operacin (S. Llinares y M. V. Snchez, 1997, p. 133). Estas razones hacen ver claramente que no basta con un tiempo prolongado de trabajo sobre los algoritmos, sino una vinculacin con el significado de cada uno de los pasos. Es aqu donde se hace necesaria la idea de resignificacin de la fraccin, a travs del estudio de situaciones de medida, que es uno de los contextos originarios de las fracciones. Es importante tambin tener en cuenta que ciertas operaciones aparecen de forma natural en ciertas situaciones problemticas, y que en el caso particular de la suma y resta de fracciones se necesita de fracciones equivalentes para desarrollar su algoritmo, cuestin que no ocurre con la multiplicacin y divisin, lo que pone al algoritmo aditivo en un nivel de complejidad mayor para los estudiantes. Las secuencias de enseanza para trabajar el algoritmo aditivo de fracciones pueden variar segn las consideraciones y las experiencias de cada profesor o profesora. Sin embargo, es claro que se debe ir recorriendo un camino con los estudiantes desde sus propios modelos para sumar y restar fracciones hacia el algoritmo convencional, el cual es de un mayor nivel de abstraccin, a la vez que es de mayor eficiencia, al ser capaz de resolver cualquier situacin aditiva con fracciones. Uno de los caminos para lograr esta transicin es plantear secuencias donde vare el tipo de fraccin presente en las actividades propuestas (sin dejar de lado la naturaleza de la situacin y su relacin con las operaciones aditivas). De manera que las primeras situaciones que se podran plantear corresponden al uso de fracciones con igual denominador (ej. 2/8 + 3/8), ya que para resolverlas solo es necesario un proceso de conteo: dos octavos y tres octavos son cinco octavos, lo que se basa en definitiva en la suma o resta de fracciones unitarias (con numerador 1). Si se representan las fracciones en este tipo de situaciones, se debe tener cuidado al sealar el objeto unidad, y que ste sea el mismo para cada una de las particiones que hemos seleccionado (2 y 3 particiones de 8). La evolucin de esta situacin, y por tanto la dificultad que se puede presentar, corresponde cuando la unidad que se cuenta ya no es la misma en ambos sumandos, es decir, cuando sumamos o restamos fracciones con distinto denominador. Sin embargo, aun se puede utilizar la tcnica de contar si es que se logra encontrar fracciones equivalentes, llevando este caso al anterior (mismo denominador). Dentro de este tipo de situaciones, se presentan tres casos segn la relacin entre los denominadores:

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a. Fracciones con denominadores mltiplos entre s:

b. Fracciones con denominadores primos entre s:

c.

Fracciones con denominadores con un factor comn:

En cualquiera de los tres casos, la estrategia implica buscar fracciones equivalentes de modo tal que ambas fracciones queden con un denominador comn. En este sentido, no es imprescindible llegar rpidamente al mnimo comn mltiplo, ya que ste es un proceso de mayor nivel de abstraccin. Aun as, posteriormente es posible potenciar la transicin hacia el algoritmo convencional, pero dotado de significado.

Conclusin del anlisis epistemolgico Con este recorrido por los significados de la fraccin y sus relaciones, se evidencia que el concepto es complejo, y que en relacin a la enseanza, es conveniente, como mnimo: considerar objetivos a largo y corto plazo en relacin a cada uno de las interpretaciones o significados, seleccionar los apropiados para desarrollar esos objetivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas necesarias , y proporcionar secuencias de enseanza (actividades) que contribuyan al desarrollo de estas estructuras. Especficamente, en relacin con la enseanza de la operatoria aditiva con fracciones, nos parece conveniente: (a) revivir la emergencia histrica del la fraccin como objeto matemtico poniendo a los estudiantes en una situacin en la que deban cuantificar una medida no entera. (b) proponer situaciones problemticas en las que la adicin sea la operacin que resuelve el problema (c) que la secuencia aborde la interpretacin de medida tanto para conceptualizar la fraccin, como para proponer problemas que sean resueltos naturalmente mediante adicin. (d) y la interpretacin de razn para promover el concepto de igualdad o equivalencia entre fracciones.

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4.1.2

Anlisis cognitivo: las concepciones de los estudiantes

Este apartado se construy mediante el anlisis de la informacin recogida a travs de tres entrevistas grupales a un total de diecisiete estudiantes de un sexto ao bsico de una escuela perteneciente al municipio de La Florida, comuna ubicada en Santiago de Chile. Las entrevistas fueron realizadas por la investigadora en la biblioteca del colegio, en horario de clases, en grupos compuestos por cinco o seis estudiantes, y tuvieron una duracin aproximada de treinta minutos. Se utiliz la metodologa de entrevista semi-estructurada 9 de manera de poder recoger simultneamente la mayor cantidad de informacin acerca del concepto de fraccin que tienen los y las estudiantes, y abordar con ms profundidad algunos focos importantes. Las preguntas gua de la entrevista fueron: Cundo conocieron las fracciones? Qu conocen de ellas? En qu situacin de la vida cotidiana utilizamos fracciones? Qu son las fracciones? Por qu piensan que se habrn inventado las fracciones? Tienen dificultades al trabajar con fracciones? Cules son? En la suma de fracciones, Por qu se igualan los denominadores?

Resultados de las entrevistas Fracciones en la vida cotidiana El conocimiento acerca de las fracciones al que aludieron inicialmente los estudiantes es el escolar. Todos respondieron que las haban conocido en cuarto ao bsico, que vieron algunas cosas en quinto bsico y que en el presente ao haban aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Ninguno recuerda haber odo mencionar las fracciones en un contexto no escolar. Tanto cuando dieron ejemplos por iniciativa propia, como cuando se les pregunt en qu situaciones de la vida cotidiana utilizamos o estn presentes las fracciones, los estudiantes, may oritariamente, sealaron ejemplos relativos al reparto de algo con el referente de parte-todo: -Cuando cortamos una pizza -cuando partimos una torta -cuando reparto una sanda

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Por entrevista semi-estructurada, entendemos aquella que permite alternar preguntas predefinidas y preguntas espontneas.

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Uno de los diecisiete estudiantes seal una situacin distinta: en las recetas, en las que tambin se utiliza la fraccin como medida, y otro seal que se las utilizaba en los planos, en los que la fraccin juega el rol de razn. No hay conciencia de que la fraccin se utiliza cuando queremos cuantificar una cantidad n o entera, y no en la accin de partir o repartir un objeto fraccionable.

Concepto de fraccin Cuando se les solicita que expliquen con sus palabras qu es una fraccin para ellos, los estudiantes sealaron: -es una parte de un nmero -es una regin que se divide en partes y se consideran algunas -es una mitad de un nmero -se forman al dividir las cosas -es una figura que se divide en partes, se pintan algunas y se saca el resultado (se refiere e la escritura numrica de la fraccin). Como puede observarse, la definicin que subyace en todas las menciones, y en la que todos estuvieron de acuerdo, es que una fraccin es una o varias partes de un todo dividido en partes iguales. La mayora evocaba la imagen del diagrama al hacer la definicin. Al pedirles que explicaran qu podra representar una fraccin impropia determinada (5/3), se observaron algunas confusiones derivadas de la dificultad de que el todo sea ms que un entero. Tendan a identificar el numerador y el denominador de la fraccin por separado como nmeros independientes y los representaban separadamente en algn elemento del diagrama. Algunos establecieron relacin directa entre el numerador o el denominador con el nmero de enteros dibujados. No hay conciencia de que el nmero de enteros depende de la relacin por cociente entre el numerador y el denominador. Por otra parte, nos llam la atencin el siguiente hecho: un estudiante nombr en reiteradas ocasiones las partes como mitades (es la mitad de un nmero que se puede sumar o res tar, 5/3 representa cuantas mitades se tienen que repartir para las personas), independientemente de la cantidad de partes en que se haya dividido el entero. Ningn compaero o compaera del grupo 2 (5 estudiantes) coment o corrigi el trmino utilizado. Ello da cuenta del enorme arraigo de la conceptualizacin de la fraccin como un trozo de algo.

Sentido de las fracciones La conversacin acerca del sentido de las fracciones se inici con la pregunta por qu piensan que se habrn inventado las fracciones? La respuesta intuitiva, formulada un poco en broma, pero que puede estar dando cuenta de la poca razn de ser que estos