Resistencia de Materiales_parte1

8/13/2019 Resistencia de Materiales_parte1

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TEMA 0

INTRODUCCIN A LA RESISTENCIA DE LOS

MATERIALES

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EVOLUCIN HISTRICA

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0.1.- OBJETO DE LA ELASTICIDAD Y DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

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0.3.- MODELO TERICO DE SOLIDO. PRISMA MECNICO

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0.4.- EQUILIBRIO ESTTICO Y EQUILIBRIO ELSTICO


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0.6.- CONCEPTO DE TENSION.

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Tema 1 Estudio del comportamiento de los materiales.

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28/123

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29/123


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1.1.2.- ENSAYO A COMPRESIN

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1.1.3.- ENSAYO PARA CARGAS VARIABLES

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6+#%*+#) (+ &- 6-,'>- $+ 41+$+#,- +# /)#,-(-$ )/-$')#+$7

1.1.4.- ENSAYO A CORTADURA

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1.2.- COMPORTAMIENTOS PARTICULARES

1.2.1.- ESTADO PLSTICO


39/123


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1.2.2.- FLUENCIA Y RELAJACIN

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1.2.3. INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA

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TEMA 2

ANLISIS DE TENSIONES

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IRCULO DE MORH PARA ESFUERZOS BIAXIALES

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54/123

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58/123

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59/123

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Figura 2. 16. \)&0T)0+-# '( k#)E>


60/123

TEMA 3

ANLISIS DE DEFORMACIONES

3.1. Deformaciones.- 3.2. Analoga con el modelo tensional.- 3.3. Relacin entre tensiones y

deformaciones; Deformaciones para esfuerzos uniaxiales, Deformaciones para esfuerzos

biaxiales, Caso general.- 3.4. Los lmites del dominio elstico.- 3.5. Tensin equivalente.

Criterios de Rotura.-

3.1.- DEFORMACIONESLa deformacin es, en un sentido generalizado, el cambio geomtrico que experimenta un

cuerpo no rgido bajo la accin de acciones (cargas, efectos trmicos,..).

Esta deformacin incluir en general desplazamientos absolutos de sus partculas (corrimientos)

y desplazamientos relativos entre partculas dando lugar a la deformacin propiamente dicha,

pues es la variacin relativa de la distancia entre partculas la que origina las fuerzas

internas.(fig. 3.1).

De acuerdo con lo anterior, definimos:

Corrimiento o desplazamiento de un punto !, al vector que representa el desplazamiento

absoluto de un punto del slido, (fig. 3.2).

PP rrPP ''

A las componentes cartesianas del desplazamiento se les denomina como "# %# &funciones

continuas de (x, y, z).


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62

Figura 3.1. Concepto de deformacin

Supondremos en nuestro estudio que tales desplazamientos son muy pequeos encomparacin con las dimensiones del resto del slido, tal y como sucede en las estructuras

resistentes reales.

De igual forma, definimos;

Deformacin longitudinal unitaria ('), en un punto!segn una direccin definida por el vectornormal ' al alargamiento o acortamiento unitario que experimenta un segmento diferencial

orientado segn ', (fig. 3.3).

dr

drdrn

'

Figura 3.2. Figura 3.3.

Su valor es adimensional, denominndose por (# )# *, a los alargamientos unitarios en lasdirecciones de los ejes coordenados. Estas deformaciones son producidas por las tensiones(# )#

*respectivamente, y se relacionan con ellas como veremos en el apartado siguiente.

Un entorno paralelipdico del punto en el que slo ocurran deformaciones x# segnx#

quedara deformado como se muestra en la figura 3.4(a) 1.De igual manera se representan

entornos paralelipdicos con deformaciones segnyyz.

1 La figura 3.4(a) muestra un entorno parlelipdico deformado segn( en el que se ha eliminado el corrimiento de

los puntos situados en la carayz. En general un paraleleppedo en el que solo ocurre deformacin segnx, adems,

podra estar desplazado y girado como si se tratara de un cuerpo rgido. Iguales consideraciones pueden hacerserespecto de las figuras (b) y (c).


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Tema 3 Anlisis de deformaciones.

63

(b)(a) (c)

Figura 3.4. Deformacin longitudinal unitaria

Deformacin transversal unitaria (+,) (o distorsin angular) en un punto!, correspondiente

a dos direcciones '+y ',del entorno de! mutuamente ortogonales antes de la deformacin, a

la variacin angular experimentada por estas direcciones durante la deformacin (fig. 3.5).

'2'12 ,2 1

rdrdngulo (3.3)

Figura 3.5

()# (*# )*# representarn las variaciones angulares en un punto, segn los segmentos orientadoscon los ejes coordenadosxy,xz,yz. Estas deformaciones se relacionan con las tensiones xy, xz,

yzrespectivamente.

Un valor (radianes) positivo de distorsin angular indica una disminucin o cierre de un

ngulo inicialmente recto.

En un entorno paralelipdico del punto representan lo indicado en la figura 3.6. Lo que nos

permite relacionar las distorsiones con los desplazamientos:

x

v

y

u

x

v

y

u

yxxy

0,

lim

x

w

z

u

x

w

z

u

zxxz

0,

lim

y

w

z

v

y

w

z

v

zyyz

0,

lim


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64/123

tag 2 xy


65

En la figura 3.7 se muestra el significado de el vector deformacin -y sus componentes

intrnsecas. Sobre esta figura hay que destacar que:

a) 3,# son adimensionales.b) En la figura se han eliminado los posibles movimientos de cuerpo rgido (desplazamientoy giro entorno aPdel conjunto). Los segmentos con rayitas representan las posiciones

finales de los segmentos originalmente orientados segn 4y ', tras ser desplazados al

puntoPy girados de manera equidistante entre 'y 4.

c) El vector deformacin lo podemos apreciar mejor en la figura 3.7 b, en la que se hadesplazado su origen hacindolo coincidir con el extremo de un elemento lineal

infinitesimal de longitud unitaria '. Entonces (eliminando los movimientos de cuerpo

rgido de ste elemento), el vector deformacin representa la deformacin relativa delelemento lineal que quedara como '5.

d) Cualquier pareja de direcciones perpendiculares ('#s)distinta de ('#4) dar una menordistorsin angular.

1u

nid

ad

Figura 3.7.

Por otro lado existirn deformaciones principales e1, e2, e3,, que para el caso de esfuerzo

plano se obtienen que la expresin:

1 2

22

2

1

2 2,

x y

x y

xy

De igual forma existirn las direcciones principales de deformacin, o sea, aquellas que

definen la orientacin de un entorno paralelipdico en el punto P considerado, que sigue sindolo

despus de la deformacin: es decir que no presenta distorsiones angulares. Estas direcciones son

tambin ortogonales entre s y se podra demostrar, que para el modelo de slido elstico que

estudiamos, coinciden con las direcciones principales de tensin.

tag

xy

x y

2

2 2

Tambin, anlogamente a como ocurra en el estado de tensiones, la construccin geomtrica

de Mhr sigue siendo vlida para estados de deformacin. As, para el caso de que sea conocida

1222 2, xyxy


65/123


66/123

DireccionxL LLL


67

direccin del eje longitudinal de la pieza.

Los ensayos demuestran que, al mismo tiempo se producen deformaciones transversales

)y *, iguales entre s, de menor valor y de sentido contrario a (.La relacin entre tales deformaciones se expresa por medio de la expresin:

y zx

m siendo

m ;

1

Siendo un coeficiente adimensional denominadoMdulo de Poisson.Para materiales istropos m = 4 y por tanto = 0,25Para materiales de construccin = 0,3Para fundicin = 0,25Para hormign = 0,10

Recordando la Ley de Hook, podemos expresar las deformaciones transversales en funcin

de las tensiones:

y z

x

E

Una vez conocido el valor de , se puede calcular fcilmente el cambio de volumen queexperimenta una barra sometida a traccin, figura 3.9

Figura 3.9. Variacin de volumen.

Antes de la deformacin el volumen de la pieza sometida a traccin ser:

V L L Lx y z0

Producida la deformacin, las dimensiones en las tres direcciones habrn variado de la

siguiente forma:

Direccion x L L L Lx x x x x x x: 1 Direccion y L L L Ly y y y x y x: 1

Direccion z L L L Lz z z z x z x: 1

x: xxxxxx 1

L

L

L

P P

x

yz


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V V fxx


68

Dimensiones obtenidas teniendo en cuenta las relaciones entre las deformaciones unitarias:

xx

x

y

y

y

x z

z

z

xL L L ; ; ;

Por lo tanto el volumen final valdr:

V L L L V f x x y x z x x x 1 1 1 1 102

Desarrollando y despreciando potencias elevadas de , se tiene:

V Vf x 01 2 x

Por tanto la variacin de volumen experimentada la podemos expresar como:

V V V V V

Vf x x 0 0

0

1 2 1 2 ;

Todo lo indicado para traccin axial se puede aplicar al caso de compresin axial. El

acortamiento axial ir acompaado de dilatacin lateral.

Deformaciones para esfuerzos biaxiales

Consideremos el caso de un elemento sometido a esfuerzos biaxiales cuyo anlisis de

tensiones hemos efectuado en el tema anterior.

Al existir esfuerzos principales (, )en ambas direcciones principales X, Y del elemento,la deformacin en cualquiera de esas direcciones depender no slo del esfuerzo en esa

direccin, sino tambin del esfuerzo en la direccin perpendicular.

Por efecto de la tensin ( se tendr deformacin positiva en la direccin del eje X ydeformacin negativa en las direcciones Y y Z, mientras por actuar la tensin ) se tendrdeformacin positiva en la direccin del eje Y y negativa en las direcciones X y Z. Figura 3.11.

Se tendr pues, en el caso de una placa delgada sometida a traccin biaxial, los valores que

se indican:

xx y

E E

yy x

E E

z xE y

xx x

y

y xE E

1 12 2

Si la placa est sometida a compresin en cualquiera de las direcciones principales, se

pueden utilizar las mismas ecuaciones tomando o con signo menos.

V LLL V fxxyxz xxx 11 1110

012


68/123


69

Caso general.

Para obtener las relaciones entre tensiones y deformaciones, basta con considerar un punto

interior de un slido elstico rodeado por un paraleleppedo elemental orientado segn las

direcciones principales de tensin, que para mayor simplicidad, y sin perdida de generalidad, se

puede imaginar obtenido por superposicin de los tres estados tensionales simples indicados en

la figura 3.12.

Figura 3.12.

Cada uno de ellos reproduce el ensayo de traccin simple, y por tanto las deformaciones

sern:

Estado I:E

I 11

E

I 12

E

I 13

Estado II:E

II 21

E

II 22

E

II 23

Estado III:E

III 31

E

III 32

E

III 33

El estado general de tensin corresponde a la suma de los estadosI, II yIII:


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70

32111

E

31221

E

(3.12)

21331

E

Que es una relacin lineal y constituye la Ley de Hooke generalizada en ejes principales.

Si se realiza un cambio de sistema de referencia a ejes cualesquierax - y - z, se obtiene la

denominada LEY DE HOOKE GENERALIZADA que formalmente resulta ser la misma

relacin anterior, pero para un sistema de ejes cartesianos cualesquiera:

12

1

1

1

EGDonde

GE

GE

GE

yz

yzyxzz

xy

xyzxyy

xy

xyzyxx

3.4.- LOS LMITES DEL DOMINIO ELSTICO

Segn sean las cargas que acten sobre una pieza de determinado material, este se puede

encontrar en diferentes estados mecnicos. Si se aplica una carga, por ejemplo, a un material

metlico que, como sabemos, est constituido por unas agrupaciones de granos cristalinos de

los tomos, que forman redes cristalinas rigindose por determinadas leyes para cada metal,

se produce una alteracin de la red cristalina. El equilibrio inicial se rompe apareciendo un

sistema de fuerzas interiores en correspondencia con las variaciones de las distancias entre

los tomos, establecindose lo que hemos denominado un estado tensional en

correspondencia con la deformacin de la pieza.

Ahora bien, si tras la deformacin producida por la carga en el metal sucede que, al

desaparecer la carga como causa de la alteracin de la pieza, desaparece tambin el efecto, (esdecir, la deformacin) y los tomos vuelven a ocupar sus posiciones iniciales, estaremos frente a

lo que hemos llamado deformacin elstica, que existir mientras subsista la carga y

desaparecer cuando cese sta.

Durante este proceso de carga, fuerzas aplicadas y deformaciones se rigen por la ley de

Hooke. Pero es evidente que si aumentramos la carga tambin aumentaran los valores

caractersticos del estado tensional y, en consecuencia, la variacin de las distancias entre los

tomos, pudiendo llegar a romperse los enlaces atmicos de la red cristalina.

Llegado a este punto puede suceder que: a) se mantenga la cohesin con la formacin de

nuevos enlaces que sustituyan a los primitivos o que b) no se mantengan y entonces la rotura de


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71

los enlaces es definitiva. En el primer caso tenemos la deformacin plstica que se caracterizar,

al haberse roto enlaces interatmicos, por deformaciones de tipo permanente y en el segundo

caso lo que tenemos es un fenmeno de rotura con separacin del slido en dos o ms partes.

La iniciacin de deformaciones plsticas ya se comprende que va a producir variacionescualitativas de las propiedades del material (aumento del lmite elstico, etc.) y no digamos la

rotura de la pieza, que puede producir la ruina de la estructura de la que forma parte. Por eso es

de gran importancia averiguar como se producen y cules son las causas determinantes del

comienzo de las deformaciones anelsticas. Muchos han sido los especialistas que han

investigado estas cuestiones. El objetivo que nos proponemos en este apartado es exponer las

diversas teoras o criterios con los cuales se ha tratado de determinar la combinacin de tensiones

y sus correspondientes deformaciones que agota el rgimen elstico del material.

e

e

e

Figura 3.13. Figura 3.14.

En un estado tensional simple el problema se resuelve muy fcilmente: se hace el ensayo del

material a traccin y se obtiene en el diagrama de traccin el punto caracterstico correspondiente

a la tensin lmite 894para este material. Tomaremos como tal el limite elstico o tensin defluencia ..

En lo que sigue y cuando nos refiramos a materiales dctiles consideraremos como

diagrama elasto-plstico ideal el representado en la figura 3.13, que no es sino la simplificacin

al diagrama tensin-deformacin visto en el tema 1 para el acero dulce, en el que se ha

despreciado la falta de linealidad entre :y .., se ha confundido .. con ;0y se ha supuesto quealcanzada la fluencia el material se plastifica a tensin constante.

Si se trata de materiales frgiles el diagrama tensin-deformacin simplificado para el

ensayo de traccin monoaxial es del tipo indicado en la figura 3.14, que nos indica que el

comportamiento elstico se abandona de forma brusca, producindose la rotura sin fluir. Portanto, el valor correspondiente a la tensin lmite 894para este tipo de material lo tomaremosigual a la carga de rotura


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72

Figura 3.15

En un ensayo a traccin realizado en el laboratorio hay seis magnitudes que cuando empieza

la fluencia se alcanzan simultneamente, tomando cada una de ellas los siguientes valores.

1. La tensin principalalcanza el lmite de fluencia a traccin del material e. Estatensin principal es mxima pues las otras dos son nulas.

1= e

2. La tensin tangencial mximatoma el valor max= e/23. La deformacin longitudinal unitaria mxima alcanza el valor e= e/ E4. La energa de deformacinabsorbida por unidad de volumen vale

=E

e

ee 22

1

5. La energa de distorsin, esto es, la energa debida al cambio de forma, absorbida porunidad de volumen, es.

d=2

3

1e

E

6. La tensin tangencial octadrica alcanza el valoreeo 47,0

3

2

Estas seis magnitudes alcanzan los valores indicados simultneamente en el ensayo de

traccin que origina en el material un estado de tensin simple. Pero si el estado tensional es

doble o triple, estos seis valores no se alcanzarn simultneamente. Surge entonces la necesidad

de establecer (con vistas a definir un criterio de plastificacin), si alguna de estas magnitudes

puede considerarse limitativa de las cargas que actan sobre una pieza de material elstico para

que no se produzcan en la misma deformaciones plsticas.


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73

3.5.- TENSIN EQUIVALENTE

Existen infinidad de casos en los que un material va a estar sometido a un estado tensional

complejo. Como generalmente la informacin que disponemos de ese material es su lmiteelstico e (y/o carga de rotura R), obtenido en el ensayo de traccin / compresin, sera

deseable poder establecer algn criterio (criterio de plastificacin2), que nos permita encontrar

un estado de traccin monoaxial equivalente al estado triple que se considera y as poder hacer

posible la comparacin de esta tensin equivalente con el lmite elstico del material3.

Lo anterior quiere decir que el criterio de plastificacin que mencionbamos en apartados

anteriores nos puede dar la tensin equivalente equ=f(1,2, 3). En este caso, la constante C

que igualbamos a la funcinfser el lmite elstico del material en el ensayo de traccin e=C

(o de forma ms general lim=C).

Varios son los criterios que se han propuesto para fijar la tensin equivalente, es decir, la

tensin que existira en una probeta de ese material sometida a traccin monoaxial tal que tuviera

igual resistencia que el elemento del slido elstico sometido al estado triple dado.

Si consideramos un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas tensiones

principales en un punto son +#, y = (con la convencin + >, > =), las tensionesequivalentes, segn los diversos criterios, son las siguientes:

2 En este curso tambin denominaremos a los criterios de plastificacin como criterios de resistencia o criterios de

fallo. La razn es debido a que se entiende en la teora clsica de Resistencia de Materiales que un elementoresistente deja de resistir (se agota o falla) cuando llega al final del comportamiento elstico; bien por que comience

a fluir (comportamiento dctil) o porque rompa (comportamiento frgil).

3 La comparacin de un estado tensional triaxial con el monoaxial del ensayo de traccin mediante una tensin

equivalente (o de comparacin), suele tener como objetivo primero el comprobar que los clculos hechos en base aun supuesto comportamiento elstico son vlidos, y en segundo lugar establecer un coeficiente (o margen) de

seguridad frente al fallo. El fallo suele estar identificado por una tensin lmite lim (o admisibleadm),que se tomaigual al lmite elstico en el ensayo de traccin / compresin para el caso de materiales con comportamiento dctil, o

igual a la carga de rotura en caso de materiales con comportamiento frgil. Esto es debido a que en el ensayo

monoaxial de materiales frgil es muy fcil registrar cargas de rotura y muy difcil de registrar lmites elsticos. Por

otro lado, en los ensayos de materiales frgiles los valores de lmite elstico y carga de rotura son relativamente

cercanos.


73/123


74

3

2

1

equiv

Si consideramos un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas tensionesprincipales en un punto son1, 2y3, las tensiones equivalentes, segn los diversos criterios,son las siguientes:

1. Criterio de la tensin principal mxima o de Rankine.Segn este criterio el fallo ocurre cuando en algn punto del slido la tensin normal

mxima iguala a la que ocurre en el momento del fallo en el ensayo de traccin.

Para 1 > 0 equiv= 1

Es decir, si la mayor tensin principal es de traccin y adems sta es la de mayor valorabsoluto, el campo elstico del material en el entorno del punto que se considera est

limitado por ella.

2. Criterio de la tensin tangencial mxima o de Tresca.Este criterio establece que el fallo ocurre cuando la tensin tangencial mxima alcanza el

valor de la tensin tangencial mxima en el momento del fallo en el ensayo de traccin.

Para un estado de tensin dado2

31 max

En el ensayo de traccin2

emax

equiv= 2 max= 1- 3

Este criterio es razonablemente aceptable para materiales dctiles sometidos a estados de

tensin en los que se presentan tensiones tangenciales relativamente grandes.

3. Criterio de la energa de distorsin o de Von Mises


74/123


75

Este criterio establece el fallo del material cuando el trabajo de distorsin alcanza el

mismo valor que en el momento del fallo en el ensayo de traccin.

Para un estado de tensin dado

d= E6

1231

2

32

2

21

En el ensayo de traccin d=2

3

1e

E

2322312212

1 equiv

Numerosas experiencias realizadas con materiales dctiles han puesto de manifiesto que

la teora de Von Miseses la que explica de un modo ms satisfactorio el comienzo de las

deformaciones plsticas en estos materiales sometidos a cargas estticas.

4. Criterio de los estados lmites de Mohr.Establece que la accin anelstica en un punto de un cuerpo en el que existe un estado

tensional cualquiera comienza cuando entre las tensiones extremas 1y 3 se verifique

equivk 31

Siendo k el cociente de los valores absolutos de los lmites elsticos a traccin y a

compresin del material.

Este criterio es bastante adecuado para materiales frgiles, los cuales suelen presentar

diferente resistencia a traccin que a compresin. Cuando se aplica a materiales dctiles

con igual resistencia a traccin que a compresin coincide con el criterio de Tresca.

La expresin que se ha indicado para este criterio es una simplificacin del mismo. La

base del criterio es la siguiente:

Dado un estado tensional arbitrario supongamos que multiplicamos todas sus

componentes por un mismo nmero n, lo que equivale a decir que obtenemos un estado

tensional homottico al dado de razn de homotecia n. Si vamos aumentando el valor de

nllegar un momento en el que el estado de tensin en el cuerpo es lmite, es decir, o se

produce la rotura o aparecern deformaciones plsticas. Figura 3.17.

Procedamos con el mismo material de la operacin anterior a variar homotticamente

diferentes estados de tensin en sus puntos hasta alcanzar el estado lmite. Para cada uno

de ellos dibujamos el mayor crculo de Mohr correspondiente. La teora de Mohr admite

la unicidad de la curva envolvente de los crculos y su independencia de los valores que

toman las tensiones intermedias. La forma de esta envolvente, llamada curva intrnseca,

es una caracterstica mecnica del material que depende de las propiedades fsicas del

mismo.


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Si se conoce la curva intrnseca de un material, la determinacin del coeficiente de

seguridad de un estado tensional dado es inmediata: Dibujaramos el crculo homottico

al de Mohr correspondiente al estado tensional dado, que sea tangente a la curva

intrnseca. La razn de homotecia es precisamente el coeficiente de seguridad, ya queeste se define como el nmero por el que hay que multiplicar la matriz de tensiones para

obtener la correspondiente a un estado tensional que fuera lmite.

Debido a la dificultad de obtener con exactitud la curva intrnseca de cada material, nos

quedaremos con la solucin aproximada de considerar como curva intrnseca las

tangentes comunes a los crculos lmites correspondientes a los ensayos de traccin y

compresin simples. Figura 3.17b.

Figura 3.17 a. Figura 3.17b.


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TEMA 4

EL ESFUERZO AXIL

4.1. Introduccin.- 4.2. Caractersticas de la traccin y compresin simples.- 4.3.Tensiones.Ecuacin de resistencia.- 4.4. Deformaciones. Ecuacin de deformaciones.- 4.4.1. Cambios de

longitud de barras no uniformes.- 4.4.2. Cambios de longitud de barras prismticas sometidas a

traccin teniendo en cuenta su peso propio.- 4.5. Desplazamientos en estructuras reticuladas

cargadas en nudos.- 4.6. Hiperestatismo axial. Mtodo de las flexibilidades. Mtodo de las

rigideces.- 4.7. Efectos trmicos y deformaciones previas.- 4.8. Concentracin de tensiones.-

4.8.1.Cambios bruscos de seccin.- 4.8.2. Placas con agujero.-.

4.1.- INTRODUCCIN

Los componentes estructurales sometidos slo a traccin o compresin se conocen como

miembros sometidos a esfuerzo axial. Las barras macizas con ejes longitudinales rectos son los

tipos ms comunes, aunque los cables y resortes tambin estn sometidos a este tipo de

solicitacin. Entre los ejemplos de barras cargadas axialmente tenemos los miembros de las

estructuras reticuladas cargadas en nudos, las bielas de los motores, los pilares de edificios, etc.

El comportamiento tensin - deformacin unitaria de tales miembros se analiz en el tema 2.

En este tema consideraremos otros aspectos de los elementos sometidos a esfuerzo axial, como ladeterminacin de los cambios de longitud causados por cargas,( el clculo de los cambios de

longitud es una parte esencial del anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas), losefectos de la temperatura, las deformaciones previas y las concentraciones de tensiones.

4.2.- CARACTERSTICAS DE LA TRACCIN Y COMPRESIN SIMPLES

Si consideramos una barra prismtica, diremos que se produce esfuerzo axial de traccin o

compresin simple, cuando la accin resultante de las fuerzas exteriores situadas a un lado de la

seccin transversal ideal Sse reduce a una fuerzaNdirigida segn el eje longitudinal de la barra

prismtica, si esta es recta, o segn la tangente al eje geomtrico en el centro de gravedad de S, si

el eje es curvo. Figura 4.1. a y b.

La deformacin de la barra se traduce en que las secciones normales al eje se trasladanperpendicularmente a s mismas, producindose un alargamiento o acortamiento igual para todas


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las fibras.

Esta igualdad de alargamiento o acortamiento de todas las fibras se produce realmente si la

accin exterior resultanteNes un conjunto de fuerzas exteriores repartidas uniformemente sobre

las secciones extremas.

N

X

N

a) b)

Figura 4.1. Esfuerzo axil.

A diferencia de la traccin, en la compresin tiene mucha importancia la longitud de la

barra en relacin con las dimensiones de la seccin transversal. Si la longitud es excesiva, se

presenta el fenmeno de pandeo, que analizaremos en otro tema.

4.3.- TENSIONES. ECUACIN DE RESISTENCIA

Consideramos una barra prismtica de seccin transversal A constante, de peso despreciable

y sometida a dos fuerzas longitudinalesNconcentrada en el centro de gravedad de las secciones

extremas, iguales y de sentido contrario.

Considerando una rebanada elemental y de igual rea A y separadas un dx. Figura 4.2.

Se admite que la fuerza N se reparte uniformemente en toda la superficie de la seccin de

acuerdo con el principio de Saint-Venant.

Si designamos por xlas tensiones internas longitudinales se verificar:

N dx A

dA

Para calcular dicha integral es necesario conocer el valor de . Pero sabemos por la hiptesis

de Navier Bernoulli que estas dos secciones y se mantendrn planas despus de la

deformacin, lo que implica que el alargamiento de todas las fibras es el mismo. Adems, al

verificarse la ley de Hooke se concluye que la tensin es constante para todos los dA:

N dA dAx x x

Expresin que nos permite calcular el valor de las tensiones internas en cualquier seccintransversal recta de la barra sometida a esfuerzo axial simple.

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Tema 4 El Esfuerzo Axil

Si queremos calcular la seccin, con la condicin de que las tensiones internas no

sobrepasen el valor admisible, se tendr:

adm adm

N

A A

N

dX

x

N

dA

Figura 4.2. Ecuacin de resistencia.

4.4.- DEFORMACIONES. ECUACIN DE DEFORMACIONES

Los ensayos experimentales demuestran que si medimos el desplazamiento de un punto de

un cuerpo originado por la actuacin de una fuerza creciente gradualmente, este desplazamiento

crece proporcionalmente a la fuerza.

Esta proporcionalidad se pierde a partir de un valor determinado de la fuerza creciente. Lacitada proporcionalidad fue establecida por el fsico ingls Roberto Hook, en 1676 y constituye

la ley fundamental de laResistencia de Materiales.

La deformacin longitudinal unitaria constante para todas las fibras ser:

x xE

N

EA

1

El alargamiento total de toda la barra extendida a toda su longitud es:

l dxE

dx NEA

dxxxll l

00 0

SiNyAson constantes a lo largo de toda la longitud de la barra:

lN L

E A L x *

Esta ecuacin muestra que el alargamiento es directamente proporcional a la cargaNy a la

longitudLe inversamente proporcional al mdulo de elasticidad del materialEy al rea de la

seccin transversalA. El productoEAse conoce como rigidez axial de la barra.

Aunque la ecuacin (*) se dedujo para un miembro en traccin, tambin es aplicable a un

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miembro en compresin, en cuyo caso Lrepresenta el acortamiento de la barra.

Se define la rigidezKde una barra como la fuerza requerida para producir un alargamiento

unitario, mientras la flexibilidadfse define como el alargamiento debido a una carga unitaria. En

base a la ecuacin (*), las expresiones de estos dos parmetros seran:

KEA

L f

L

EA ;

El cambio de longitud de una barra suele ser muy pequeo en comparacin con su longitud,

en especial cuando el material es un metal estructural como el acero.

4.4.1.- CAMBIOS DE LONGITUD DE BARRAS NO UNIFORMES

Supongamos una barra prismtica cargada por una o ms cargas axiales que actan en

puntos intermedios a lo largo del eje, figura 4.3.a. Podemos determinar el cambio de longitud deesta barra sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos

individuales. El procedimiento consta de los siguientes cuatro pasos: 1) se identifican los

segmentos de la barra (segmentos AB, BC y CD) como segmentos 1,2 y 3 respectivamente. 2) se

determinan las fuerzas axiales internasN1,N2y N3en los segmentos de los diagramas de cuerpo

libre representados en las figura 4.3.b, c y d.

Del equilibrio de fuerzas en cada segmento obtenemos las siguientes expresiones:

N1= -PB+ PC+PD N2= PC+ PD N3= PD

A

L2

L1

L3

B

C

D

PD

PC

PB

B

C

D

PD

PC

PB

N1

C

D

PD

PC

N2

D

PD

N3

a) b) c) d)

Figura 4.3.Cambios de longitud en barras no uniformes.

A continuacin, se determinan los cambios de longitud de los segmentos:

lN L

EA l

N L

EA l

N L

EA11 1

2

2 2

3

3 3

en dondeL1, L2y L3son las longitudes de los segmentos yEAes la rigidez axial de la barra. 4)

Se suman L1,L2y L3para obtener L, que es el cambio de longitud de toda la barra.

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L = L1+ L2 + L3

Este mtodo puede utilizarse cuando la barra esta formada por varios segmentos prismticos,

cada uno cargados con una fuerza axial, dimensin y material diferentes. Figura 4.4.

En este caso el cambio de longitud puede obtenerse con la ecuacin:

lN L

E A

i

i ii

n

1

i

A

B

C

PA

PBL1

L2

E1

E2

En donde el subndice ies un subndice numerados para los

segmentos que integren la barra y nes el nmero total de

segmentos.

Si la fuerza axialNy el reaAde la seccin transversal varancontinuamente a lo largo del eje de la barra, la expresin para

determinar el cambio de longitud de la barra sera:

lN x

EA x

l

( )

(0 )

Figura 4.4.Estas ecuaciones se han obtenido bajo la hiptesis de distribucin uniforme de tensiones

sobre la seccin transversal. Esta hiptesis es vlida para barras prismticas pero para barras de

seccin variable slo es aceptable si la variacin es lo suficientemente suave. Por ejemplo, si el

ngulo entre lados de una barra ahusada es de 20, el esfuerzo calculado con la expresin =P/Aes un 3% menor que el esfuerzo exacto calculado con mtodos de anlisis ms avanzados.

4.4.2- CAMBIOS DE LONGITUD DE BARRAS PRISMTICA SOMETIDA ATRACCION TENIENDO EN CUENTA SU PROPIO PESO

Supongamos el prisma recto de pesoP, longitud ly seccin recta de rea constante S, en uno

de cuyos extremos est sometido a una cargaN, que supondremos uniformemente repartida en

esa seccin, creando un estado tensional de traccin. Figura 4.5.

Si el pesoPfuera despreciable frente a la carga N, podramos considerar que la tensinnormal xen cualquier seccin recta de rea S, sera:

AE

lNlamientoalely

A

Nx arg

81


81/123


82/123


l dxE

N

A x dx

N l

E A

l

E

l

EA N

l Ax

ll

1

2 200

2

El resultado al que hemos llegado nos dice que cuando se tiene un prisma de seccinconstante sometido a traccin y se considera el peso propio, la variacin de longitud que

experimenta dicho prisma es la misma que presentara un prisma de peso despreciable sometido a

una fuerza de traccin igual a la carga aplicada incrementada en otra igual a la mitad del peso

propio de la pieza.

4.5.- DESPLAZAMIENTOS EN ESTRUCTURAS RETICULADAS CARGADAS ENNUDOS

En la seccin anterior se describieron procedimientos para determinar los cambios de

longitudes de miembros cargados axialmente. El desplazamiento de cualquier punto de tales

elementos puede calcularse fcilmente despus de que se han determinado los cambios delongitud de las partes del elemento. Por ejemplo, el desplazamiento del extremo libre de la barra

de la figura 4.3., puede determinarse al sumar algebraicamente las variaciones de longitud de los

tres segmentos que constituyen la barra. Sin embargo, la determinacin de los desplazamientos

es mucho ms complicada cuando la estructura consta de ms de una barra.

El mtodo geomtrico para determinar desplazamientos cuando la estructura contiene

elementos cargados axialmente que tienen conexiones articuladas en sus extremos se denomina

mtodo de Williot o diagramas de desplazamientos. Estos diagramas se construyen

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