Resolución de Triángulos SDCSCDSOblicuángulos y Cuadriláteros

8/15/2019 Resolución de Triángulos SDCSCDSOblicuángulos y Cuadriláteros

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

1. En un triángulo ABC; m ∠C= α;m∠ A = 2 α; a = 3; c = 2, halle cos α.

A)

1

2B)

2

2C)

3

2

D)

35

E)

34

2. En un triángulo ABC, e la os a, ! " c;

sim#li$i%ue&

2 2sen A sen B' 2(

sen A B)

−= − ,

sien o ( el circunra io.

A) 2a B)

!2

C) c

D) 2! E)

c2

3. En un triángulo ABC, e la os a, !, c "

( es el circunra io. *im#li$i%ue&' = ( 3 sen2A + sen2B + sen2C)

A) 4a!c B) 2a!c C) a!c

D)

a!c2

E)

a!c4

4. En la $igura mostra a, m ∠ ABC = 12 -,m∠ ACB = 3 -, etermine la relaci n

entre los la os ! " c.

A) ! = 2c B) ! =

3c

2 C) ! =

1c

2

D) ! = 3c E) ! =3.c

5. En la $igura BC = AD, m ∠DBC = θm∠BCD = 2 θ, m∠ ABC = / -; halle θ enra ianes.

A)5π

B)0π

C)

π

D)

π

E)1π

0. os elementos e un triángulo eri$icanla relaci n& a senA = ! senB + c senC;entonces el triángulo es&

A) is sceles B) e%uiláteroC) escaleno D) rectánguloE) acutángulo

. En un triángulo ABC, e la os a, ! " c,sim#li$i%ue&

2 2 2 2 2 2! c a a ! c'

2!c 2a!+ − + −= +

A) cosB + cosC B) cos

A Ccos

2 2+

C) cosB + cosA D) cosA + cosCE) cos2A + cos2C

A

CB

B

CD A


2/11

2b a

. os la os e un triángulo mi en 4, 5 " 0uni a es. Determine el o!le e lalongitu e la me iana relati a al la oma"or.

A)33

B)3/

C)40

D) 4 E)51

/. En un triángulo ABC e la os BC= a, AB= c " AC = !; ( es el circunra io)re u ca la siguiente e6#resi n&

[ ] [ ]2 22() ! c ) sen A C) sen A B)E

sen B C)

− + +=−

A)

a!c

B)

ac!

C) a!c

D)

1a!c

E)

a!c

1 .En un triángulo ABC on e BC = a, AC= ! " AB = c; sim#li$i%ue&

2 2 2 2 2E a cos B) ! cos A) != − +

A) ! 2 B) c 2 C) a 2

D) ! E) c

11.De la $igura %ue se muestra, halle cos θ.

A)

a!

B)

!a

C)

2!a

D)

!2a

E)

a2!

12. En un triángulo ABC e la os a, ! " cse cum#le&

a + ! + c) a + ! 7 c) =

5

a!. CalculecosC.

A) 7

324

B) 7

/14

C) 7

/2

D) 7

5/

E)

5/

13. En un triángulo ABC, se tiene %ueBC = u, AC = u " AB = 5. *e tra a la

ce iana AD

e mo o %ue m·

ADC = 12 -. 8allar AD.

A) 3u B) 4u C) 5uD) 0u E) u

14. En un triángulo ABC, los la os a, ! " cmi en 2, 4 " 5 uni a es. Determine elcoseno el menor ángulo el triángulo.

A)

314

B)

334

C)

34

D)

3/4

E)

2/4

15. En un triángulo ABC& AB = c, AC = !,

BC = a. 8alle

cosA cosB cosCa ! c

+ +

A)

2 2 2a ! ca!c

+ +

B)

2 2 2a ! c2a!c+ +

C)

( )2 2 2a ! c2

a!c

+ +

D)

( )2 2 22 a ! c3a!c

+ +


3/11

E)

( )2 2 2a ! c2

3a!c

+ +

10. En un triángulo ABC, e la os BC = a, AC = ! " AB = c se cum#le&

a 2 7 ! 2 7 c 2 =

2!c3

, halle & tg 2 A.

A) 2 B) 4 C) 0D) E) 1

1 . En el #aralelogramo e la $igura, AB = CD = a, BC = AD = !, ! = 3a,m∠BAD = 0 -, halle la longitu e la

iagonal AC en t9rminos e a.

A) 23a

B)13a

C)15a

D) 4a E)1 a

1 . En un triángulo ABC& AB = c = u,BC = a = 5u, AC = ! = 4u. 8alle la

i$erencia e los cosenos el ángulo e

ma"or me i a " el e menor me i a.

A) 7

5/4

B) 7

11/

C) 7

32

D) 7

54

E) 7

2310

1/.De la $igura mostra a si : = *


4/11

C

AB

a b

c

22. En un triángulo ABC, AB = c, AC = !,BC = a), si *) es el área e la regi ntriangular, sim#li$i%ue&

= a 2 7 ! 2) sen A).sen B).csc A 7 B).

A)

*2

B) * C) 2*D) 3* E) 4*

23. En un triángulo ABC, el ángulo A mi e

0 -, si( ) ( )2 2 AC AB BC 4+ = +

, halle elárea en u 2) e la regi n triangular ABC.

A) 3 B)

3

C)

33

D) 3 +3

) E) 1 +3

)

24. El área e un triángulo ABC es igual a&

# 7 !) # 7 c), on e # es elsemi#er>metro. ?Cuánto mi e elángulo A@

A) - B) - C) / -D) 1 - E) 11 -

25. En un triángulo ABC e área *) se

cum#le %ue&

( ) ( )( )

sen B sen C2sen A

+=

.

Calcule

A' 4*.cot )

2=

.

A) a 2 B) 2a 2C) 3a 2

D) 4a 2 E) 5a 2

20.De la $igura mostra a, calcule el alor

e&

( )( )

( )( )

tan tanE

tan tan

α + θ α + β= +α − θ α −β

A) 7 0 B) 7 4 C) 7 2D) E) 2

2 .En un triángulo ABC, on e BC = a, AC= ! " AB = c; sim#li$i%ue&

2 2B CE c cos ! cos2 2

= + ÷ ÷ 2 2B Ccsen !sen

2 2

+ ÷ ÷

A) # B) 2# C) # 7 aD) # # 7 a) E) 2# 7 a

2 . En un triángulo ABC, e la os a, !, c "m∠ A + m ∠B = 12 -, sim#li$i%ue&

( ) A B' 3. a ! .ctg !2− = − − ÷

A) c B) a C) !

D) 2a E)

!2

2/. En un triángulo ABC e la os BC = a, AC = ! " AB = c, se cum#le& a = 2! "c = 0 -, etermine el ángulo B.

A) 15- B) 3 - C) 45-D) 0 - E) 5-

3 . *ea el triángulo ABC " sean a, ! " c laslongitu es e los la os o#uestos a los

B

2 θ7

5

2 α 2 βA C3


5/11

9rtices A, B " C, res#ecti amente. *im ∠ C = 0 - " a = 3!, etermine

A Bctg

2−

÷ .

A)

32

B)3

C)

2 33

D) 23

E) 33

31. En un triángulo ABC, sim#li$icar&

2 2C B!cos c cos2 2

E! c)cosA a c)cosB a !)cosC

+ ÷ ÷ =+ + + + +

A)

1

B)

10

C)

15

D)

14

E)

12

32. En el triángulo ABC e la $igura,

AB = n 7 1, BC = n + 1, AC = n,

m ∠ BAC = α, m∠BCA = θ "

1tg

2 2θ = ÷

;halle cos α.

A)

313

B)

13

C)

413

D)

513

E)

12

33. En un triángulo ABC, e la os BC = a, AC = ! " AB = c, sim#li$icar&: = tgA + tgB) !senC 7 c.senB)

A) B)

13

C)

12

D) 1 E) 2

34. Da o un triángulo ABC cu"o #er>metroes 24, a emás el ra io e lacircun$erencia circunscrita al triánguloes 5. Calcule&

: = senA + senB + senC

A) 1,2 B) 1,3 C) 1,4D) 2,4 E) 2,0

35. En un triángulo ABC e la os BC = a, AC = ! " AB = c, se cum#le& a 7 ! = 5,c = 2.

Calcular

sen A B):

sen B C) sen A C)+=

+ − +

A) ,1 B) ,2 C) ,3D) ,4 E) ,5

30. En un triángulo ABC e la os BC = a, AC = ! " AB = c, se cum#le&a + ! + c = 3 , calcule&: = a cosB + cosC) + ! cosA + cosC)+ c cosA + cosB)

A) 1 B) 15 C) 2D) 25 E) 3

3 . En un triángulo ABC e la os BC = a, AB = ! " AB = c, re ucir&

2 2 2

2 2 2! 2a!.cosc ! c

:c 2ac.cos! ! a

− −= +− −

B

C A


6/11

A) 7 1 B) C) 1D) 2 E) 3

3 . En un triángulo ABC e la os BC = a,

AC = ! " AB = c, se cum#le& a =2

" A = 0 -. 8alle el alor e ra io e la

circun$erencia circunscrito a ichotriángulo.

A)

32

B)3

C)

03

D)0

E) 3

3/. En un triángulo ABC e la os BC = a,

AC = ! " AB = c, re ucir&2 2 2

2 2

A B C!c.cos ac.cos a!.cos

2 2 2:B A

acos !cos2 2

+ +=

+

*ien o metro el triángulo ABC.

A)

<2

B) < C)

3


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C)

2a A.sec

0 2 ÷

D)

23a A.sen

2 2 ÷

E)

2a A.ctg

4 2 ÷

40. En un triángulo ABC, ( es elcircunra io " * es el área e la regi ntriangular. *im#li$i%ue&

' = ( 2. sen2A + sen2B + sen2C)

A) 4* B) * C) 12*D) 10* E) 2 *

4 . En un triángulo , e la os a, ! " c.

*im#li$i%ue&

2 # !) # c)'!c.senA− −=

, sien o #el semi#er>metro e icho triángulo.

A)

Atg

2 ÷

B)

Bctg

2 ÷

C) tgA

D)

Cctg

2 ÷ E)

( )tg 2C

4 . En un triángulo ABC, e la os a, ! " c,sim#li$i%ue&

!) c) a)'

!c !cρ − ρ − ρ ρ −= +

*ien o ρ el semi#er>metro e ichotriángulo.

A)

21 sen A2

B) sen 2B

C) 2.sen 2C D)

A Asen cos

2 2+

E) 1

4/.En un triángulo ABC, el áreae la regi n triangular es *,

entonces a %ue es e%ui alente&2 A B C# tan tan tan

2 2 2 ÷ ÷ ÷

.

A) * B) 2* C)

2*

3

D) * 2 E) 3*

5 . as tangentes e los ángulos e untriángulo ABC son #ro#orcionales a 1, 2" 3. A emás, el circunra io es igual a

5 cms. Entonces, el área el triángulo

en cm 2) es&

A) 4 B) 0 C) D) 1 E) 12

51. *e tiene un cua rilátero inscri#ti!le ela os 1, 2, 3 " 4 uni a esres#ecti amente. 8alle el coseno elángulo $orma o #or los menores la os.

A) 7

5

B) 7

3

C) 7

1

D)

3

E)

5

52. Da o el triángulo ABC, si AB = 2u,BC = 3u, m ∠BAC = 36, m ∠BCA = 6,

6 4π

. Calcule el área e la regi ntriangular ABC en u 2).

A)

153

B)

3 34

C)

3 15

D)

32

E) 2


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53. as longitu es e los la os e un

triángulo son&20u, 2 u " 1 u

.Calcule el área en u 2) e la regi ntriangular.

A)45

B) C)54

D) E) /

54. En un triángulo ABC BC = a, AC = !, AB = c), si el área e la regi ntriangular es * uni a es cua ra as, la

e6#resi n

2 22 a ! )E

cot B) cot A)−=

−, es igual

a&

A) * B) 2* C) 3*D) 4* E) 5*

55. En un triángulo ABC, cu"os la osmi en& AB = c, BC = a " AC = !. El área

e la regi n triangular ABC es igual a

12

u 2. 8alle el alor e= csc A).csc B).csc C)=

A)2 2 2

1

a ! cB)

1a!c

C) a!cD) a 2! 2c2 E) a 3! 3c 3

50. a tangente e los ángulos e untriángulo ABC son #ro#orcionales a1, 2 " 3, a emás; el circunra io es igual

a5

cm. Entonces, el área encm 2) e la regi n triangular ABC, es&

A) 4 B) 0 C) D) 1 E) 12

5 . En un triángulo ABC BC = a, AC = !, AB = c), si la longitu el ra io e lacircun$erencia circunscrita es igual al

cuá ru#le el ra io e la circun$erenciainscrita.

8alle&

# a) # !) # c )=

a!c− − −=

A)

110

B)

14

C) 1D) 2 E) 10

5 . En un triángulo ABC, si AB = cos A)u,

AC = cos 2A)u, m ∠ A =

π

ra , calculeel área en u 2) e la regi n triangular

ABC.

A)

1

B)

1

0C)

1

5

D)

14

E)

12

5/. En un triángulo ABC. E6#rese en$unci n e * área e la regi ntriangular) on e

( )( )

2 22 a !csc A cscBsen A B

−= −

A) 2* B) 4* C) 0*D) * E) 1 *

0 . En un triángulo ABC& h a , h ! " h c son laslongitu es e las alturas. Calcule&

a ! a c ! ch h h h h hEa!senC+ +=

en $unci n el semi#er>metro # " elcircunra io ( .

A)

<(

B)

<4(

C)

<2(

D)

<(

E)

2<(


9/11

R

P Q

B

A C

En un triángulo ABC se cum#le&( ) ( )! a c a ! cr r r r 2r r − − = ×

on e r a , r ! " r c son las longitu es elos ra ios e las circun$erenciase6 7 inscritas, etermine %ue ti#o etriángulo es&

A) Acutángulo B) (ectánguloC) E%uilátero D) s scelesE) Escaleno

*e muestra el triángulo ABC circunscritoa una circun$erencia e ra io r. metro es e 14u " sus iagonales mi en 4 u " 0 u.


10/11

A)

123

B)

1223

C)

1423

D)

1023

E)

123

. os la os no #aralelos e un tra#eciois sceles mi en 3 u. a !ase ma"or " su

iagonal mi en /u, calcule el área e laregi n tra#e oi al.

A)3 35

B)4 35

C)

135

4D)

5 35

E)

21 354

0/. os la os e un cua rilátero !ic9ntricose encuentran en #rogresi n aritm9tica

e ra n 2 cm; si el ma"or la o mi e10 cm; halle el área e ichocua rilátero en cm 2.

A) 1 5

B)1 1 5

C)10 1 5

D)24 1 5

E)30 1 5

. In cua rilátero !ic9ntrico tiene un áreae 2 cm 2. *i una iagonal el

cua rilátero tiene longitu 1 m " #asa#or el centro e la circun$erenciacircunscrita al cua rilátero. Calcule lasuma e sus la os, en metros.

A)2 15

B)3 15

C)4 15

D) 15 E)4 35

1. *i las iagonales e un rectángulomi en 13 cm " el seno el ángulo %ue$orman las iagonales es 12H13.Entonces, se le #i e etermine el#er>metro el rectángulo en cm).

A) B)

1 13

C) 32

D)5 13

E)13 2

2. En un cua rilátero inscri#ti!le ABCD( ) AB a, BC !, CD c , AD = = = =

si,

a ! c+ = + "

m A 53-∠ =. 8alle&

!ca

A) 1 B) 2 C) 2D) 4 E) 5

3. *ea ABCD un cua rilátero inscri#ti!le,e la os a, !, c, " * el área e su

regi n cua rangular.

*im#li$i%ue&

( )

*'

Asen a !c

2

= × + ÷

A)

Ccos

2 ÷

B)

Atg

2 ÷

C)

Cc tg

2 ÷

D)

Acos

2 ÷

E)

Csen

2 ÷

4. os la os e un cua rilátero inscri#ti!le

mi en AB 2u= , BC 4 u= , CD 3 u= " AD 5u=

. 8alle cos θ, si θ es el ángulo%ue $orma las iagonales.

A)

513

B)

013

C)13


11/11

D)

/13

E)

1113

5. *ea ABCD un cua rilátero !ic9ntrico ela os a, !, c " a. Determine&

2 C' a ctg2

= × ÷

A) a! B) !c C) a

D) ! E)

2a!

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