DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

PRACTICA 7 De una población compuesta por tres niños: Angel, Carlos y María, cuyas edades son

Angel : 7 Carlos: 9 Marías: 5

Se pide:

1. Seleccionar todas las muestras de tamaño 2 (de dos personas a la vez, por ejemplo Angel

y Carlos)

N=(Angel y Carlos, Angel y María, Carlos y María)

N=3

n=2

1.1 Si no se permite la repetición o reposición

(𝑁

𝑛) = (

3

2) = 3

1.2 Si se permite la repetición o reposición

𝑁𝑛 = 32 = 9

2. Obtener el promedio de edades de cada muestra (por ejemplo Angel : 7 y Carlos: 9;

promedio 8)

2.1. Si no se permite la repetición o reposición

5 7 9

5 6 7

7 8

2.2. Si se permite la repetición o reposición

3. En una tabla relacionar el promedio de edades con su probabilidad

3.1. Si no se permite la repetición o reposición

3.2. Si se permite la repetición o reposición

5 7 9

5 5 6 7

7 6 7 8

9 7 8 9

ni P

6 1 1/3

7 1 1/3

8 1 1/3

3 1

ixix

ni P

5 1 1/9

6 2 2/9

7 3 3/9

8 2 2/9

9 1 1/9

9 1

ixix

4. Graficar las anteriores relaciones

4.1. Si no se permite la repetición o reposición

4.2. Si se permite la repetición o reposición

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

6 7 8

Pro

bab

lidad

Promedio de edades

Relación promedio de edades y su probabilidad

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

5 6 7 8 9

Pro

ba

bili

da

d

Promedio de edades de las muestras

Relación promedio de edades y su probabilidad

5. Obtener la media poblacional

6. Obtener la varianza poblacional

𝜎2 = (5−7)2+(7−7)2+(9−7)2

3

𝜎2 = 4+0+4

3

𝜎2 = 𝟐, 𝟔𝟕

7. Obtener la media del promedio de edades de las muestras

7.1. Si no se permite la repetición o reposición

3

975

7

2

2

n

X i

P *P

6 1/3 2

7 1/3 2,33

8 1/3 2,67

1 7

ixix

ixix

Por lo tanto, la media de las medias muestrales, cuando no se permite la repetición o

reposición es igual a:

𝜇�̅� = 7

7.2. Si se permite la repetición o reposición

Por lo tanto, la media de las medias muestrales, cuando se permite la repetición o reposición

es igual a:

𝜇�̅� = 7

8. Obtener la varianza del promedio de edades de las muestras

8.1. Si no se permite la repetición o reposición

𝜎2�̅� = (6 − 7)2 ∗ 0,33 + (7 − 7)2 ∗ 0,33 + (8 − 7)2 ∗ 0,33

𝜎2�̅� = 0,33 + 0 + 0,33

𝜎2�̅� = 𝟎, 𝟔𝟕

P *P

5 1/9 0,56

6 2/9 1,33

7 3/9 2,33

8 2/9 1,78

9 1/9 1

1 7

ixix

ixix

xx

ix PX *22

O bien:

6 1/3 1/3

7 1/3 0

8 1/3 1/3

∑ 2/3

Por lo tanto la varianza de las medias muestrales cuando no se permite la repetición o

reposición, es igual a:

𝜎�̅�2 =

2

3= 0,67

8.2. Si se permite la repetición o reposición

𝜎2�̅� = (5 − 7)2 ∗ 1/9 + (6 − 7)2 ∗ 2/9 + (7 − 7)2 ∗ 3/9 + (8 − 7)2 ∗ 2/9 + (9 − 7)2 ∗ 1/9

𝜎2�̅� = 𝟏, 𝟑𝟑

ixx

ix PX *22

O bien:

5 1/9 4/9

6 2/9 2/9

7 3/9 0

8 2/9 2/9

9 1/9 4/9

∑ 1 12/9

Por lo tanto la varianza de las medias muestrales cuando se permite la repetición o

reposición, es igual a:

𝜎�̅�2 =

12

9= 1,33

9. Comparar la media poblacional con la media del promedio de edades de las muestras:

Media poblacional:

𝜇 = 7

Media de las medias muéstrale sin reposición o repetición, es igual a:

𝜇�̅� = 7

Media de las medias muéstrale con reposición o repetición, es igual a:

𝜇�̅� = 7

Por lo tanto, la media poblacional es igual a la media de las medias muestrales en

cualquier caso.

10. Comparar la varianza poblacional con la varianza del promedio de edades de las muestras

Varianza poblacional:

𝜎2 = 𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕

Sin reposición:

𝜎�̅�2 =

2

3= 0,6667

Con reposición:

𝜎�̅�2 =

12

9= 1,3333

Por lo tanto, la varianza poblacional es mayor que la varianza de las medias muestrales, tanto

cuando se permite la repetición como cuando no se permite la misma.

HASTA AQUÍ ERA LA TAREA. AÑADIENDO: Si a la varianza poblacional, se divide entre el tamaño de la muestra, se

tiene: 𝜎2/2 = 𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕/𝟐

𝜎2

2= 𝟏, 𝟑𝟑𝟑

Que es igual a la varianza de las medias muestrales cuando se permite la

reposición, por lo tanto se tiene:

𝜎�̅�2 =

𝜎

2= 1,3333

Es decir la varianza de las medias muestrales cuando se permite la

reposición es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la

muestra.

Si a la varianza poblacional, se divide entre el tamaño de la muestra, y se

multiplica por un factor, llamado FACTOR DE CORRECCION DE

POBLACIONES FINITAS, QUE ES IGUAL A:

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

Donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la muestra:

Que en el presente caso es igual a: 3 − 2

3 − 1= 0,5

se tiene:

𝜎2

2∗ 0,5 =

𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕

𝟐∗ 𝟎, 𝟓

𝜎2

2∗ 0,5 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟕

𝜎�̅�2 = 0,6667

Que es igual a la varianza de las medias muestrales cuando no se permite

la reposición, por lo tanto se tiene:

𝜎�̅�2 =

𝜎

𝑛∗

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝜎�̅�2 =

2,6667

2∗

3 − 2

3 − 1

𝜎�̅�2 = 0,6667

Es decir la varianza de las medias muestrales cuando se permite la

reposición es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la

muestra y multiplicada por el factor de corrección de poblaciones finitas.

Por lo tanto, la forma funcional de la distribución de medias muestrales es

igual a:

𝑧 =�̅� − 𝜇

𝜎�̅�

Que se lee como Z es igual a la media muestral menos la media

poblacional sobre el error típico de la media muestral. Y el error típico de

la media muestral es la raíz cuadrada de la varianza muestral, puede ser

con reposición o sin reposición; en el primer caso se asume una población

infinita y en el segundo una finita.