Respuesta a una entrada en escalón

La salida de un sistema de segundo orden a una entrada de tipo escalón es:

y (s )=k p

r2 s+2ϛ τ s+1Ms

Para poder descomponer la respuesta en fracciones simples y poder obtener la respuesta en tiempo real hay que hallar las raíces del denominador: [1]

s1 , s2=−ϛ ±√ϛ2−1τ

En función del valor del coeficiente de amortiguamiento se pueden plantear tres casos. [1]

1. Respuesta sobreamortiguada

Es la respuesta obtenida cuando ϛ>1, las dos soluciones son reales. La salida con el tiempo es:

y ( t)k pM

=1−e−ϛ t

τ (cosh(√ϛ2−a tτ )+ ϛ√ϛ2−1

senh(√ϛ2−1 tτ ))En este caso la respuesta no presenta oscilaciones. Cuanto mayor es el coeficiente de amortiguamiento más amortiguada es la respuesta, el sistema necesita más tiempo para alcanzar el nuevo estado estacionario. La ganancia k p tiene el mismo sentido físico que para los sistemas de primer orden. [1]

2. Respuesta críticamente amortiguada

Cuando solo hay una solución real (repetida) ϛ=1:

y ( t)k pM

=1−(1+ tτ )e−tτ

3. Respuesta subamortiguada

Se obtiene cuando las soluciones son complejas (conjugadas, obviamente), para que eso se produzca ϛ<1. La función respuesta obtenida es: [1]

y ( t)k pM

=1− 1√1−ϛ2

e−ϛ t

τ sen (√1−ϛ2 tτ +atan √1−ϛ2ϛ )

Figura 1. Respuesta de diferentes sistemas de segundo orden a un escalón unidad según su coeficiente de amortiguamiento.

La respuesta es oscilatoria y se pueden definir los siguientes parámetros característicos:

Overshoot (disparo):

Overshoot= AB=exp( −π ϛ

√1−ϛ2 )El overshoot aumenta al disminuir el coeficiente de amortiguamiento. Para el caso límite de que el coeficiente de amortiguamiento tienda a 1, el overshoot también tiende a 1. [1]

Razón de disminución (decay ratio):

Razón dedisminución=CA=exp(−2 π ϛ√1−ϛ2 )=Overshoot2

Período de oscilación:

T=1v=2πw

= 2π τ√1−ϛ2

Si ϛ=0 ,T=2π τ es el período natural de oscilación.

Tiempo de respuesta (response time): Un sistema subamortiguado alcanza su valor estacionario de manera oscilatoria cuando el tiempo se hace infinito. A efectos prácticos se toma como tiempo de respuesta el necesario para que la salida del sistema esté dentro del ±5% de la respuesta estacionaria y permanezca en ese intervalo. [1]

Rise time: De esta manera se caracteriza la velocidad con la que responde el sistema subamortiguado. Se define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su valor estacionario por primera vez. Es importante resaltar que cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, menor es el rise time pero mayor es el overshoot. [1]

[1] http://web.udl.es/usuaris/w3511782/Control_de_procesos/Unidades_files/Cap05_10-11.pdf