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ANLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO
1.- SEALES DE ENTRADA
Funcin impulso:
La funcin impulso es ms un concepto matemtico que una funcin.
Tiene las siguientes
propiedades
La funcin es cero para cualquier valor de t, excepto para t = 0
(cero).
Cuando la t es cero el valor de la funcin es infinito
Funcin Escaln Unitario:
La funcin escaln unitario se define como la integral de la
funcin impulso desde el infinito
negativo hasta el tiempo t. Conceptualmente, la integral de la
funcin impulso es 0 si el tiempo t es
menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que cero. As es como se
define exactamente el escaln
unitario.
El valor de la funcin en t=0, es indefinido. Otros textos lo
pueden definir como 1 0.
Funcin Rampa
La funcin rampa es la integral de la funcin escaln. Si
consideramos que estamos sumando toda el
rea bajo la funcin escaln a hasta un tiempo t. Si t < 0
(cero), el valor de la integral ser 0 (cero).
Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor ser igual a la
integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el
tiempo t, la cual tambin tiene el valor t, es decir:
-
Repuesta transitoria y respuesta en estado estable :
En los sistemas de control lineales se usa el tiempo como una
variable independiente y por esto resulta
interesante, en general, calcular la respuesta en el tiempo del
sistema. Con frecuencia se aplica una seal
de referencia en la entrada del sistema y se estudia el
comportamiento del sistema en el dominio del
tiempo. Si la finalidad del sistema de control es que la salida
siga las variaciones de la entrada lo ms
fielmente posible, es importante comparar las variables de
entrada y salida en todo tiempo.
En general, la respuesta en el tiempo de un sistema consta de
dos partes: la respuesta transitoria y la
respuesta de estado estable.
En donde:
respuesta transitoria;
: respuesta en estado estable.
La respuesta transitoria est definida como la parte de la
respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando
el tiempo se hace muy grande.
La respuesta en estado estable es la parte de la respuesta total
que permanece despus que la transitoria
ha desaparecido.
Si la respuesta en estado estable de la salida no concuerda
exactamente con la referencia deseada, se dice
que el sistema tiene un error en estado estable.
En el problema de diseo, las especificaciones se proporcionan
normalmente en trminos del desempeo
transitorio y en estado estable, y los controladores se disean
para que todas esas especificaciones sean
cumplidas por el sistema diseado.
2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden.
Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario
es 1/s, sustituyendo R(s)=1/s en
la ecuacin:
1
1
)(
)(
TssR
sY.
Obtenemos: sTs
sY1
1
1)(
Expandir Y(s) en fracciones parciales produce:
)/1(
11
1
1Y(s)
TssTs
T
s
Si tomamos la transformada inversa de Laplace obtenemos
y(t)= 1 e-t/T, para t 0
-
La ecuacin plantea que la salida y(t) es inicialmente cero y al
final se vuelve unitaria. Una
caracterstica importante de tal curva de respuesta exponencial
y(t) es que, para t=T, el valor de y(t)
es 0.632, o que la respuesta y(t) alcanz 63.2% de su valor
final. Esto se aprecia con facilidad
sustituyendo t=T en y(t).
y(t)=1- e-1
=0.632
Constante de tiempo (T).- Es el tiempo que toma la respuesta al
escaln unitario alcanzar el 63,2 %
del valor final.
Tiempo de levantamiento (crecimiento) tr.- Es el tiempo de
duracin que la respuesta aumenta
desde 0.1 a 0.9 del valor final.
tr = 2.2T Tiempo de asentamiento (ts).- Es definido como el
tiempo que la respuesta alcanza y permanece
dentro del 2 % del valor final.
ts = 4T
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden.
Dado que la transformada de Laplace de la funcin rampa unitaria
es 1/s, obtenemos la salida del
sistema de la figura
-
Como: 2
1
1
1)(
sTssY
Si expandimos Y(s) en fracciones parciales, obtenemos
1
1)(
2
Ts
T
s
T
ssY
tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuacin
obtenemos
y(t) = t T + Te-t/T, para t 0
De este modo, la seal de error e(t) es
e(t) = r(t) - y(t)
= T(1 - e-t/T
)
Conforme t tiende al infinito, e-t/T
se aproxima a cero y, por tanto, la seal de error e(t) se
aproxima a
T o
e()=T La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se
muestran en la figura
-
El error despus de la entrada rampa unitaria es igual a T para
una t suficientemente grande. Entre
ms pequea es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en
estado estable despus de la
entrada rampa.
Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden
Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del
sistema de la figura
Pueden obtener como
1
1)(
TssY
o bien
TteT
ty /1
)( para t 0
La curva de respuesta obtenida mediante la ecuacin aparece en la
siguiente figura:
-
3.- SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Respuestas escaln de sistemas de segundo orden.
La funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema de la
figura
Es
KBsJs
K
sR
sY
)(
)(
Que puede rescribirse como:
J
K
J
B
J
Bs
J
K
J
B
J
Bs
J
K
sR
sC
22
2222
)(
)(
Los polos en lazo cerrado son complejos si B - 4JK < 0, y son
reales si B - 4JK 0. En el anlisis de la respuesta transitoria, es
conveniente escribir
,2nJ
K
22 nJ
B
en donde:
: se denomina atenuacin; n, : frecuencia natural no amortiguada
y
: relacin de amortiguamiento del sistema.
La es el cociente entre amortiguamiento real B y el
amortiguamiento crtico Bc = JK2 , o bien
JK
B
Bc
B
2
en trminos de y n, el sistema de la figura:
Se convierte en el que aparece en al figura:
Y la funcin de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s) obtenida
mediante la ecuacin
-
J
K
J
B
J
Bs
J
K
J
B
J
Bs
J
K
sR
sY
22
2222
)(
)(
Se escribe como:
2
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sY
La relacin de amortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8.
-
d : Frecuencia natural amortiguada
Para 0 1, sobreamortiguado
)(12
1)(21
2
21
s
e
s
ety
tsts
n
, para t 0
ns )1(2
1
ns )1(2
2
Especificaciones de respuesta transitoria : la respuesta
transitoria a una entrada escalon unitario se
caracteriza por definir:
1. Tiempo de retardo (td): es el tiempo requerido para que la
respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.
2. Tiempo de levantamiento o crecimiento (tr): es el tiempo
requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o
del 0 al 100% de su valor final.
Sistemas subamortiguados 0 a 100%.
Sistemas sobreamortiguados, 10 a 90%.
3. Tiempo pico, tp: es el tiempo requerido para que la respuesta
alcance el primer pico del sobrepaso. 4. Sobrepaso mximo
(porcentaje), Mp : es el valor pico mximo de la curva de respuesta,
medido a
partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la
respuesta es diferente de la unidad, es
comn usar el porcentaje de sobrepaso mximo. Se define
mediante.
ss
ssp
y
ytymximoSobrepaso
)(_
5. Tiempo de asentamiento, ts: es el tiempo que se requiere para
que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor
final del tamao especificado por el porcentaje absoluto del valor
final
(por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de l.
-
Tiempo de crecimiento tr
)(tan1 1
n
d
d
rt
Donde
21 nd Para valores pequeos de tr , n debe ser elevado
Tiempo de pico tp
d
pt
Mximo sobrepaso Mp
%10021xeM p
Si debe estar entre 0.4 y 0.8 entonces Mp debe estar entre 25 %
y 2.5% Constante de tiempo
n
T
1
Tiempo de establecimiento ts Criterio del 2 %
n
s Tt
44
Criterio del 5 %
n
s Tt
33
Respuesta impulso para sistemas de segundo orden
Para una entrada impuso unitario r(t), la transformada de
Laplace correspondiente es la unidad, o
R(s)=1. La respuesta impulso unitario Y(s) del sistema de
segundo orden de la figura
-
es: 2
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sY
.
La transformada inversa de Laplace de esta ecuacin da la solucin
en el tiempo para la respuesta
y(t), del modo siguiente:
Para 0 1,
tntn nn eety
)1(2
)1(
2 1212)(
, para t 0
Sin tomar la transformada inversa de Laplace de Y(s), tambin se
obtiene el tiempo de respuesta y(t)
diferenciando la respuesta escaln unitario correspondiente, dado
que la funcin impulso unitario es
la derivada con respecto al tiempo de la funcin de escaln
unitario. En la figura:
aparece una familia de curvas de respuesta impulso unitario
obtenida mediante las ecuaciones:
tsenety ntn n 1
1)(
y t
nntety
2)(
con diversos valores de . Las curvas y(t)/n se grafican contra
la variable nt y por tanto, slo son funciones de . Para los casos
crticamente amortiguado y sobreamortiguado , la respuesta
impulso
unitario siempre es positiva o cero; es decir y(t) 0. Esto se
aprecia en las ecuaciones anteriores . Para el caso subamortiguado,
la respuesta impulso unitario y(t) oscila alrededor de cero y
toma
valores tanto positivos como negativos.
-
Se concluye que si la respuesta impulso y(t) no cambia de signo,
el sistema crticamente
amortiguado o sobreamortiguado, en cuyo caso la respuesta escaln
correspondiente no se sobrepasa
pero aumenta o disminuye en forma monotnica y tiende a un valor
constante.
El sobrepaso mximo para la respuesta impulso unitario del
sistema subamortiguado ocurre en :
2
1
1
1tan
n
t , donde 0 < < 1
y el sobrepaso mximo es:
),1
tan-1
exp(- y(t)mx
2
1
2n
donde 0 < < 1
Dado que la respuesta impulso unitario es la derivada con
respecto al tiempo de la funcin de
respuesta escaln unitario, el sobrepaso mximo Mp para la
respuesta escaln unitario se encuentra
partir de la respuesta impulso unitario correspondiente. Es
decir, rea bajo la curva de respuesta
impulso unitario desde t=0 hasta el tiempo del primer cero, tal
como aparece en la figura:
es 1+Mp, en donde Mp es el sobre paso mximo para la respuesta
escaln unitario) obtenido
mediante la ecuacin
4.- ERROR EN ESTADO ESTABLE
El error de estado estable mide la precisin del sistema, la
salida en estado estable rara vez coincide
con la entrada.
En el diseo, el error debe mantenerse en un valor mnimo dentro
de tolerancia. Por ejemplo, en un
sistema de control de posicin, se desea que la posicin final de
salida corresponda exactamente con
la referencia. En un sistema de control de velocidad, el
objetivo es lograr que la velocidad de salida
est lo ms cerca posible del valor de referencia.
Si la entrada de referencia r(t) y la salida controlada y(t) son
homogneas dimensionalmente, por
ejemplo, un voltaje controlando un voltaje, una posicin
controlando una posicin, etc., y estn al
mismo nivel de magnitud o son del mismo orden, la seal de error
es:
e(t) = r(t) - y(t) Las seales de entrada y de salida deben ser
de la misma dimensin y estar al mismo nivel antes de
restarlas.
-
En caso contrario, es comn incorporar en el camino de
retroalimentacin un elemento no unitario,
H(s).
El error de este servosistema con retroalimentacin no unitaria
est definido por:
e(t ) r (t ) b(t ) E (s) R(s) B(s) R(s) H(s)Y(s) Y(s) G(s) E(s)
E(s) R(s) G(s) H(s) E(s)
)()()(1
1)( sR
sHsGsE
Por ejemplo, si se usa como referencia un valor de 10V para
regular un generador de voltaje con una
salida de 100 V, H(s) es una constante y es igual a 0.1. Cuando
el voltaje de salida toma
exactamente el valor de 100 V la seal de error es:
e(t ) 10 0.1100 0 Otro ejemplo, la entrada r(t) se utiliza como
referencia para el control de velocidad de la salida del
sistema, siempre que y(t) indique el desplazamiento a la salida.
Entonces, se requiere un dispositivo,
tal como un tacmetro en la trayectoria de retroalimentacin, de
manera que H(s) = Kt s. De este
modo el error de velocidad se define como sigue:
Aplicando el teorema del valor final, el error de estado estable
del sistema es:
-
donde sE(s) no debe tener polos en el eje imaginario ni en la
regin real positiva del plano s.
)()(1
)(lim)(lim
0 sHsG
ssRtee
stss
expresin que indica que el error de estado estable depende de la
entrada de referencia R(s) y de la
funcin de transferencia en lazo abierto G(s) H(s).
Error ante entrada Escaln
El error ante entrada escaln se obtiene de substituyendo como
expresin de la entrada y resulta:
y aplicando propiedades de lmites se tiene:
y si
por tanto
Error ante entrada Rampa
El error ante entrada tipo rampa se obtiene substituyendo la
expresin de una entrada rampa, resulta
en:
si se aplican las reglas de lmites se tiene:
y si
por tanto
Y
-
Error a la Aceleracin
El error a la aceleracin se obtiene substituyendo el valor de la
entrada ante una aceleracin, y
resulta en:
aplicando las reglas de lmites:
y s
por tanto
5.- TIPO DE SISTEMA
El Tipo de un sistema de control est definido como la cantidad
de polos de lazo abierto que tiene el
sistema en el origen, como se ve en, donde m representa el tipo
de sistema.
En la se puede observar: si el sistema es Tipo 0 tiene un error
de estado estable constante cuando se
le aplica una entrada en escaln y para las entradas en rampa y
aceleracin el error crece hasta
hacerse infinito cuando el tiempo es infinito. Para un sistema
Tipo 1 con una entrada en rampa se
tiene un error de estado estable constante y con la entrada
escaln no tiene error de estado estable, y
cuando se aplica una entrada en Aceleracin el error crece hasta
hacerse infinito cuando el tiempo es
infinito. Para un sistema Tipo 2 con entradas escaln y rampa no
se tiene error de estado estable y
con una entrada en aceleracin se tiene un error de estado
estable constante. Un sistema Tipo 3 no
tiene error de estado estable bajo ninguna de las tres entradas
tipo. Aunque los sistemas Tipo 2 y
Tipo 3 son muy poco comunes porque slo unos cuantos, muy raros,
son estables.
