Tp.1 Ej.5.bHalle, segn corresponda, la S.G. o la S.P. de las siguientes ecuaciones diferenciales.

b)

Solucin:

Separamos las variables x e y:

Tp.1 Ej.9.aResuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de 1 orden.

a)

Solucin:Por el mtodo de Lagrange sustituyo por lo tanto Sustituyo en la ecuacin diferencial:

Por un lado hacemos:

Sustituyo:

Por lo tanto:

Tp.1 Ej.16Halle la S.G. de

Solucin:

Primero bajamos el orden de la ecuacin diferencial haciendo una sustitucin:

y nos queda

Ahora sustituimos

y nos queda

sacamos factor comn

Igualamos a cero el factor

no hace falta la constante porque en esta primer etapa buscamos una solucin particular

Ahora averiguamos

Por lo tanto

Finalmente, integrando obtenemos la solucin buscada

Tp 1. Ej 12.bHalle la familia de curvas ortogonal a la dada:

Solucin:

Primero debemos encontrar la ecuacin diferencial de la familia de curvas original, para eso derivamos:

Como todava tenemos la constante y la tenemos que sacar, despejamos de la ecuacin original , y la reemplazamos en la ecuacin derivada:

es decir nos queda

Ahora cambiamos por para obtener la ecuacin diferencial ortogonal:

La intentamos resolver por variables separables:

que es la familia de curvas que buscbamos, ortogonal a la familia de curvas dada.

Tp.2 Ej.1.fReconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafquelos. En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado; indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.

f) Puntos del plano en el 1 cuadrante tales que ,

Solucin:

Llamo a la regin.

Puntos interiores:

Puntos exteriores:

Puntos frontera:

con con

con

con

No es abierto pues es punto frontera y pertenece a la regin.

No es cerrado pues es punto frontera y no petenece a la regin.

Es acotado pues contiene a la regin.

Tp.2 Ej.5.aRepresente geomtricamente los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:

a)

Solucin:

Las curvas de nivel viene a ser el conjunto

Es decir vienen dadas por la ecuacin implcita

con

luego,

Si representa los ejes cartesianos.Si y

representa hiprbolas (rotadas)Si y no se satisface la ecuacin, y con este ya vimos todos los casos posibles.

El grfico de las curvas de nivel es

Tp.3 Ej.11) Analice la existencia del

Solucin:

Si llamamos , y

,, y

podemos reescribir el lmite como

en

aplico LHopital

otra vez aplico LHopital

En

En

aplico LHopital

otra vez aplico LHopital

Por lo tanto como los 3 lmites de las componentes existen, tambin existe el lmite pedido y su valor es

Tp 3 Ej 3.c3) Analice la existencia de los siguiente lmites

c)

Hago el cambio de variables

Entonces se corresponde con

y entonces nos queda

aplico LHopital

y por lo tanto el lmite pedido existe y su valor es .

Tp 3 Ej 7.a7) Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares.

a)

Solucin:Antes que nada voy a llamar

y

La funcin est definida en el origen y vale 0.Ahora analizamos el lmite doble cuando me acerco al origen.

En :

Si nos acercamos al origen por la curva , nos queda

Lo cual es una indeterminacin de tipo 0/0. Aplicamos LHopital:

Vuelvo a aplicar LHopital:

Lo cual ya no es una indeterminacin, y da 0, por lo cual todava no podemos afirmar nada.

La idea es encontrar un camino por la cual el lmite de distinto, por eso buscamos que el denominador tienda a cero igual o mas rpido que el numerador.

Veamos ahora de acercarnos por la curva

Ahora si encontramos un camino que pasa por el origen y hace que el lmite de distinto, por lo tanto no existe lmite y no es contnua en el origen.

Tp.3 Ej.6.b6) Analice la continuidad en el orgien de los siguientes campos escalares.

b)

Nos piden: analizar si es continua en el origen. Aproximndonos por el eje y tenemos que donde la funcin vale 0, por lo tanto por ese camino el lmite existe y es igual a la funcin, para los otros caminos debemos hacer el lmite con la funcin de arriba, es decir cuando

Si nos queda

Si entonces podemos multiplicar y dividir por

El primer lmite es un infinitsimo. Para el segundo lmite si , tenemos que cuando entonces .

Por lo tanto el segndo lmite se convierte en

aplico LHopital

Como el lmite doble result ser un producto de infinitsimos, el lmite existe y es igual al valor de la funcin en el punto, por lo tanto la funcin es contnua enel orgen.

Tp 3 Ej 3.f3) Analice la existencia de los siguientes lmites.

f)

Solucin:

El lmite pedido equivale al siguiente

La funcin es acotada, luego el lmite pedido es del tipo infinitsimo por acotado y por lo tanto existe y su valor es .

Tp.3 Ej.11Sea si , .

a) Demuestre que es continua en el origen.

b) Puede analizar le lmite acercndose al origen por la lnea de nivel 1 de ?

Solucin:

a) Probamos por polares:

por lo tanto es contnua en el origen.

b) La curva de nivel 1 de son los tales que

Cuando se puede reescribir como:

por lo tanto debe cumplirse , por lo tanto

en el entorno del , es decir que a pesar que esta curva contiene el punto , el mismo no es punto de acumulacin de la curva, por lo tanto no puedo utilizarla para analizar dicho lmite. (Vale la aclaracin de que la curva de nivel original no contena el ).

A continuacin pongo el grfico de la curva definida implcitamente

como , donde puede verse que la misma no pasa por el entorno del origen de coordenadas.

Tp.4 Ej.2Dada de ec. con , analice si su recta tangente en intersecaa) al eje z.

b) a de ec.

c) a la curva de ec. con .

Solucin:

Primero calculemos la recta tangente.

Si entonces

el vector tangente en es:

por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

respondamos ahora las preguntas:a) interseca al ej zpara ello debe existir algn valor de que cumpla simultneamente o sea:

de la segunda , en la primera por lo tanto no se cumplen simultneamente, y la recta tangente no interseca al eje z.

b) interseca a de ec. veamos si se cumple para algn valor de :

de donde se desprende que y por lo tanto la recta tangente interseca a en dos puntos: y

c) interseca a la curva de ec. con .Llamemos Para que se intersecten debe existir al menos un valor de que cumpla simultneamente:

de la segunda ecuacin:

en la primera:

por lo tanto en la tercera ecuacin:

por lo tanto no se cumple simultneamente para ningn valor de , y entonces la recta tangente no interseca a la curva .

En el siguiente grfico se puede visualizar la curva en azul, la recta tangente en negro, el eje z en color cyan, la superficie en rojo, y la curva en verde. Puede verse las dos intersecciones entre la recta tangente y , y que no hay intersecciones ni con el eje z ni con la curva .

Tp 4. Ej 4.dAnalice por definicin la existencia de las derivadas parciales de en el punto ; cuando sea posible verifique aplicando la regla prctica de derivacin.

Solucin:

Primero analizo

Ahora analizo

Por lo tanto no existe en el punto

No se puede aplicar la regla prctica en el punto porque la funcin est partida en dicho punto.

Tp.4 Ej.6.aEstudie la derivabilidad en distintas direcciones en el punto que se indica en cadacaso.

a)

Solucin:

Las derivadas direccionales en el punto y la direccin del vector:

con (o sea )son:

este lmite existe solamente cuando se anula el numerador o sea cuando:

esto ocurre solamente si: o

por lo tanto las nicas derivadas direccionales que existen son las derivadas parciales (en las direcciones paralelas a los ejes de coordenadas x e y), y el valor dela derivada en esos casos es 0.

Tp.5 Ej.2Siendo si y si , calcule aplicando la definicin. Observe que en este caso , existe la derivada pedida?; si existe, cul es su valor?.

Solucin:

Lo primero que observamos es que Como el vector apunta hacia el 4 cuadrante, el valor de en esa direccin es , por lo tanto:

Por lo tanto la derivada existe y su valor es 2.

Calculemos . Sobre los ejes coordenados vale

De forma similar:

Por lo tanto

Efectivamente se cumple que

Esto implica que la funcin no es diferenciable en el origen. En el siguiente grfico puede observarse la grfica de la funcin, y la recta tangente a la superficie en el origen que avanza en la direccin de .

Tp.5 Ej.8.a

Calcule mediante aproximacin lineal y compare el resultado con el obtenido con calculadora.

a) cuando

Solucin:

Primero veamos si podemos obtener una aproximacin lineal a la funcin en el entorno del

Estas funciones son contnuas en el entorno de , por lo tanto en dicho entorno, con lo cual sabemos que la funcin es diferenciable y por lo tanto existe aproximacin lineal en ese entorno.La aproximacin lineal tendr la forma:

Si calculamos dirctamente con la calculadora el valor es

En el siguiente grfico se puede visualizar la superficie y su aproximacin lineal en el entorno del

Tp.5 Ej.14

14) Sea , si y . a) Calcule , b) determine el valor de la derivada direccional mxima de en , c) Sabiendo

que , calcule en forma aproximada

Solucin:

Llamemos

Por ser sabemos que

de donde

Luego

La derivada direccional mxima vendr dada por

Tp.5 Ej.1010) Sea la superficie de ecuacin

con , verifique que es un punto regular de . Determine y exprese en forma cartesiana el plano tangente y la recta normal a en .

Solucin:

La superficie paramtrica es

Los parmetros del punto son pues

El producto vectorial de las derivadas parciales es distinto del vector nulo

luego es un punto regular de la superficie .

El plano tangente viene dado por

La recta normal en paramtricas

con

Si

entonces

luego ecuacin cartesiana de la recta normal es

En el siguiente dibujo podemos ver la superficie en azul, el plano tangente en verde,y la recta normal en rojo.

Tp.6 Ej.13Dada con , resulta . Halle las direcciones tales que , si queda definida implcitamente por

Solucin:

Primero estudiemos como queda la composicin:

donde

En el

Calculemos de la implcita

Entonces queda

Tenemos

Aplicando la regla de la cadena

Calculamos y usando la derivacin implcita: Defino Entonces

,

,

Agrupando todos los datos

Entonces

Buscamos tal que

Entonces

Las direcciones pedidas son

Tp.12 Ej.3.aDesarrolle los siguientes campos por Taylor hasta 2 orden en un entorno de .

a) ,

Solucin:

La frmula del polinomio de Taylor de 2 orden en 2 variables es:

donde en los primeros trminos podemos ver la ecuacin conocida del plano tangente, y los dems trminos mejoran la aproximacin en el entorno del punto .

Vamos a necesitar todas las primeras y segundas derivadas parciales:

En el punto

Por lo tanto:

En la siguiente animacin podemos ver la funcin en color azul, el punto de aproximacin en rojo, y las aproximaciones sucesivas con los polinomios de taylor de grado 0, 1 y 2 en verde.

Tp.12 Ej.8.aEstudie la existencia de extremos relativos (locales) y de extremos absolutos en susdominios naturales de:

a)

Solucin:

Primero averiguamos los puntos crticos, para eso calculamos el gradiente

y lo igualamos a cero:

por lo tanto debe cumplirse simultneamente que:

de la segunda restriccin:

de la cual se desprende que y por lo tanto , o que y por lo

tanto o , o sea que los puntos crticos son:

Ahora calculamos el hessiano:

y evaluamos su determinante en cada punto crtico, segn el criterio del hessiano:

Por lo tanto es extremo relativo, y como entonces resulta que se produce un mnimo relativo en

Por lo tanto en no hay extremo sino que es un punto silla.

Por lo tanto en tampoco hay extremo sino que es otro punto silla.

Como no hay mas punto crticos conclumos que el nico extremo relativo es el mnimo que se produce en .Para ver si adems de ser mnimo local es mnimo global debemos averiguar si su valor es el mnimo que toma la funcin en todo su dominio:

pero:

por lo tanto no es un extremo global, sino que slamente es un extremo relativo.

En el siguiente grfico podemos observar el mnimo que se produce en junto con el plano tangente horizontal.

draw3d(surface_hide = true,xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",color = "light-blue",explicit(x^2 + y^2 + x*y^2,x,-1,1,y,-1,1),color = "blue",explicit(0,x,-1,1,y,-1,1));En este otro grfico podemos ver el plano tangente horizontal correspondiente a y que vendra a ser . Puede verse como en el entorno de dichos puntos, parte de la funcin queda arriba del plano, y otra aparte abajo, lo cual indica que se trata de puntos silla y no de extremos.

Tp.1Ej.5.bTp.1Ej.9.aTp.1Ej.16Tp 1. Ej12.bTp.2Ej.1.fTp.2Ej.5.aTp.3Ej.1Tp 3 Ej3.cTp 3 Ej7.aTp.3Ej.6.bTp 3 Ej3.fTp.3Ej.11Tp.4Ej.2Tp 4. Ej4.dTp.4Ej.6.aTp.5Ej.2Tp.5Ej.8.aTp.5Ej.14Tp.5Ej.10Tp.6Ej.13Tp.12Ej.3.aTp.12Ej.8.a