7/26/2019 Resumen de algunas estructuras algebraicas

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Matemtica Discreta

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Unidad 6

Estructuras Algebraicas

Operaciones

Sea Sun conjunto no vaco. Una operacin sobre Ses una funcin de SS en S .

El conjunto Sy una operacin en Sse denota por ( ),*S .

Ejemplos

La adicin ( )+ y la multiplicacin ( ) son operaciones en N . Sin embargo, la

sustraccin ( ) y la divisin ( ) no son operaciones en N .

Semigrupos

Sea S un conjunto no vaco con una operacin. Entonces S se denominasemigrupo si la operacin es asociativa. Si la operacin tambin tiene unelemento identidad, S se denomina monoide.

Ejemplos

Considere los enteros positivos N . Entonces, ( )+,N y ( ),N son semigrupospuesto que la adicin y la multiplicacin en N son asociativas.

Si adems se cumple la propiedad conmutativa, se dice que es un semigrupoconmutativo.

Semigrupo libre

Sea A un conjunto no vaco. Una palabra w en A es una secuencia finita desus elementos. Por ejemplo, las siguientes expresiones son palabras en

{ }cbaA ,,= :4

ababababbbbu == y42

abacbaccaaaav == (se escribe2

a por aa. ,3

a por aaa .. y as sucesivamente). La longitud de una palabra w , denotada por

( )wl , es el nmero de elementos en w . As, ( ) 7=wl y ( ) 8=vl .La concatenacin de las palabras u y v en un conjunto A , se escribe vu ouv , es una palabra obtenida al escribir los elementos de u seguidos por los

elementos de v . Por ejemplo, ( )( ) 425424 aacabababacababuv == .Ahora, sea ( )AFF= la coleccin de todas las palabras en A bajo la operacinde concatenacin. Resulta evidente que para las palabras arbitrarias u , v , w ,

las palabras ( )wuv y ( )vwu son idnticas; simplemente consisten de los

elementos de u , v , w escritos uno despus del otro. As F con la operacin

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de concatenacin es un semigrupo; se denomina semigrupo libre de A , y loselementos de A se denominan generadores de F .

Elemento identidad

Considere una operacin en un conjunto S. Un elemento e en S sedenomina elemento identidad para si, para cualquier elemento a en S,

aaeea == ** .

Homomorfismo de semigrupos

Considere dos semigrupos ( ),S y ( ),S . Una funcin S se llamahomomorfismo de semigrupos, o simplemente, homomorfismo, si

( ) ( ) ( )bfafbaf = .

Si f es biyectiva, entonces f se denomina isomorfismo entre S y S , y se

dice que Sy S son semigrupos isomorfos.

Semigrupos productos y cocientes

Sean ( )11

, S y ( )22 , S semigrupos. Un nuevo semigrupo 21 SSS = ,

denominado producto directo de1S y

2S , se forma como sigue:

1. Los elementos de S provienen de21 SS ; es decir, son pares

ordenados ( )ba, donde 1Sa y 2Sb .2. La operacin en S se define componente a componente; es decir,

( ) ( ) ( )bbaababa = 21 ,,, .

Sea Sun semigrupo y ~ una relacin de equivalencia en S. Recuerde que larelacin de equivalencia ~ genera una particin de S en clases de

equivalencia. Tambin [ ]a denota la clase de equivalencia que contiene alelemento Sa y que la coleccin de clases de equivalencia se denota por

~S .

Suponga que la relacin de equivalencia ~ en Stiene la siguiente propiedad: Siaa ~ y bb ~ , entonces baab ~ . Entonces, ~ se denomina relacin decongruencia en S .

Adems, ahora es posible definir una operacin en clases de equivalencia por

[ ] [ ] [ ]baba = . Ms an esta operacin en ~S es asociativa; por tanto, ~S es un semigrupo.

~S bajo la operacin [ ] [ ] [ ]baba = se denomina semigrupo cociente.

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Grupos

Definicin: Un conjunto G con una operacin binaria en l definida se diceque es un gruposi se cumplen las siguientes propiedades:

G1 La operacin binaria es asociativa, esto es,( ) ( )

321321 **** gggggg = para todo Gggg 321 ,, .

G2. Existe un elemento neutro Ge tal que gegge == ** para todo

Gg .

G3. Para todo elemento Gg existe un elemento Gg 1 , denominado

inverso de g , tal que egggg == ** 11 .

Si ( )*,G es un grupo y la operacin binaria posee la propiedad de que

1221 ** gggg = para todo Ggg 21 , , que se llama propiedad conmutativa

diremos que ( )*,G es un grupo conmutativo o abeliano.

Si G es un grupo con un nmero finito de elementos, G es un grupo finitoy

el orden de G es el nmero de elementos en G y se simboliza G .

Ejemplos:

( )+,Z es un grupo abeliano, donde Z es el conjunto de los nmerosenteros.

Si Q es el conjunto de los nmeros racionales, ( ),Q no es un grupoporque el elemento Q0 y no posee inverso.

Propiedades

Propiedad cancelativa por la derecha y por la izquierda en un grupo

Si ( )*,G es un grupo, se tienen las siguientes propiedades:

i. De cbca ** = se deduce ba= .ii.De bcac ** = se deduce ba= .

El elemento neutro de un grupo ( )*,G es nico.

El elemento inverso de un elemento de g de un grupo ( )*,G es nico.

Sea ( )*,G un grupo y Gg ; se tiene que ( ) gg = 11 .

En un grupo ( )*,G se tiene que ( ) 111 ** = abba para todo Gba , .

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Subgrupos

Dado un grupo ( )*,G y un subconjunto H de G , diremos que H es un

subgrupo de ( )*,G y escribiremos ( ) ( )*,*, GH , si H es un grupo con

respecto a la operacin definida en G . Puesto que la operacin esasociativa en G, esta operacin tambin ser asociativa en cualquier

subconjunto Hde G ; se tiene entonces que ( )*,H es un subgrupo de ( )*,G si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. es cerrada en H.2. el elemento neutro de G pertenece a H.

3. si Hx , su inverso, 1x , tambin pertenece a H.

Cuando la operacin del grupo G sea conocida se utilizar la notacin GH para indicar que H es un subgrupo de G .

Ejemplos:

( )+,Z es un subgrupo de ( )+,Q y este a su vez, es un subgrupo de

( )+,R .

( ),*Q es un subgrupo de ( ),*R , donde *Q y *R son los conjuntos denmeros racionales y reales, respectivamente, de los que se haeliminado el cero.

Todo grupo ( )*,G posee al menos dos subgrupos; stos son el subgrupoformado por el elemento neutro de G y el subgrupo formado por todos los

elementos de G . Estos subgrupos de ( )*,G reciben el nombre de subgrupos

impropiosde ( )*,G . Al resto de los subgrupos de un grupo se les denominasubgrupos propios de ( )*,G .

Para demostrar que Hes un subgrupo ( )*,G no es necesario demostrar quese cumplen las condiciones 1, 2, 3 dadas anteriormente, basta con verificar quese cumple la condicin siguiente:

Sea ( )*,G u grupo y Hun subconjunto de G , con H ; Hes un subgrupode ( )*,G si y slo si para todo Hyx , , Hyx 1* .

Grupo producto

Si1

G y2

G son grupos, entonces21

GGG = es un grupo con la operacin

definida por ( )( ) ( )21212211

,,, bbaababa = .

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Clases laterales

Suponga que H es un subgrupo de G y Ga , entonces el conjunto

{ }HhhaHa = / se denomina clase lateral derecha de H. (En formasemejante, aH se denomina clase lateral izquierda de H)

Subgrupos normales

Un subgrupo Hde G es un subgrupo normal si HHaa 1 , para todo Ga o

en forma equivalente, si HaaH= , es decir si las clases laterales derechas eizquierdas coinciden.

Grupo cociente

Sea Hun subgrupo normal de un grupo G , entonces las clases laterales deHforman un grupo bajo la multiplicacin de clases laterales: ( )( ) abHbHaH = .Este grupo se denomina grupo cociente y se denota HG/ .