Resumen de Solidos

8/4/2019 Resumen de Solidos

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ciencias Fsicas

Fsica del Estado Solido

Jaime Francisco Vento Flores

Lima - Peru


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Indice general

1. Introduccion 4

2. Modelo de Drude de los Metales 5

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Concentracion o densidad electronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Modelo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Conductividad electrica de CC de un metal . . . . . . . . . . . . . . . 82.6. Calculo de la conductividad electrica con campos aplicados . . . . . . 10

2.6.1. Efecto Hall y magnetoresistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.2. Campo electrico dependiente del tiempo (oscilante) y espacial-

mente uniforme: Conductividad electrica a corriente alterna deun metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7. Propagacion electromagnetica en un metal . . . . . . . . . . . . . . . 162.7.1. Caso de frecuencias altas

1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8. Conductividad termica de un metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9. Efecto Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Modelo de Sommerfeld de los Metales 35

3.1. Propiedades del estado fundamental (T = 0) del gas de electrones libres 353.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Propiedades termicas del gas de electrones libres: La distribucion de

Fermi - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Aplicaciones de la mecanica estadstica de Fermi - Dirac . . . . . . . 48

3.4.1. Capacidad termica experimental de los metales . . . . . . . . 57

3.5. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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4. Red de Bravais 67

4.1. Tipos de redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Red inifinita y cristales finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3. Numero de coordinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4. Celda primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. Red Recproca 76

5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Determinacion de estructuras cristalinas por difraccion de rayos-X 83

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7. Electrones en un Potencial Periodico 85

7.1. El Potencial Periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2. El potencial periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3. Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4. Forma alternativa del teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.4.1. Primera prueba del teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . 877.5. Condicion de frontera de Born - von Karman . . . . . . . . . . . . . . 89

7.6. Segunda prueba del teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.7. Comentarios generales acerca del teorema de Bloch . . . . . . . . . . 937.8. La superficie de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.9. Densidad de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.10. Modelo de Kronig-Penny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8. Electrones en un potencial periodico debil 107

8.0.1. Caso degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9. Teora clasica del cristal armonico 1099.1. Aproximacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2. Calor especfico de un cristal clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.3. Modos normales de una red de Bravais unidimensional monoatomica . 113

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9.4. Modos normales de una red de Bravais unidimensional con base . . . 1169.5. Modos normales de una red de Bravais tridimensional . . . . . . . . . 117Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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Captulo 1

Introduccion

El contenido del curso de Fsica del Estado Solido, que se presenta, y buena partedel material desarrollado tiene una gran influencia de textos como Solid State deAshcroft - Mermin e Introduction to Solid State de Ch. Kittel. Algunos captulos sonadaptaciones de resumenes de clase del curso Fsica del Estado Solido I del propioautor dictados durante los anos 2006-2008 en la Facultad de Ciencias F sicas de laUNMSM. Por lo tanto, en ningun momento el texto de los proximos captulos tiene lapretension de ser original o inedito. Muchos pasajes son traducciones literales de lasreferencias arriba citados, el objetivo es, simplemente, proporcionar una referencia deestudio accesible al estudiante.

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Captulo 2

Modelo de Drude de los Metales

2.1. Introduccion

En este captulo vamos a estudiar algunas propiedades basicas de los metales. Ini-ciamos estudando el solido desde el punto de vista de la Mecanica Clasica. En 1900Drude propone la teora de conduccion electrica y termica de los metales, tres anosdespues, que J. J. Thomson descubre el electron. Drude considero un metal como ungas de electrones libres contenidos en una caja.El modelo del gas de electrones libres e independientes permite una explicaci on cual-itativa sencilla de la conductividad electrica y termica de los metales. Dado que loselectrones de conduccion son moviles, se puede trasladar por todo el solido bajo laaccion de fuerzas externas, producidas por campos externos aplicados y por tantoexplicar por que los metales son buenos conductores electricos y termicos.

2.2. Metales

Los atomos que forman los metales esta compuesto al menos por dos clases departculas: a) electrones (negativos) b) nucleos, partculas muy pesadas (positivos).Un grupo de los electrones estan fuertemente ligados al nucleo (denominados elec-trones de coraza) y otro grupo (relativamente pocos) estan ligados debilmente alnucleo (electrones de valencia). Los iones (compuesto por el nucleo y los electronesde coraza) tienen carga positiva y forman la estructura del material, son represen-tados por esferas duras, impenetrables y fijas. Los electrones (que forman el gas de

partculas) se mueven entre los iones y chocan entre ellos y con los iones.Sea

Za numero atomico (numero de electrones)

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Figura 2.1: .

e = 4,80 1010 esu = 1,60 10/19 CeZa carga nuclear.eZa carga total alrededor del nucleo.Z numero de electrones debilemente ligados al nucleo (son muy pocos).Za Z electrones fuertemente ligados al nucleo (electrones de coraza). No

juegan un rol importante en las reacciones qumicas.

Cuando los atomos se condensan para fornar el metal (solido)

los electrones de coraza se mantinen ligados al nucleo, formando el ion.

los electrones de valencia se mueven libremente por todo el solido y son llamadoselectrones de conduccion en el contexto metalico.

Drude aplica la teora cinetica al gas de electrones de conduccion, de masa m, que semueven en un fondo positivo de los iones pesados.

2.3. Concentracion o densidad electronica

La concentracion o densidad electronica (n), se define como el numero de electrones(en general, partculas) por unidad de volumen

n =N

V(2.1)

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Figura 2.2: .

donde N numeto de partculas y V volumen del sistema. Entonces:

n =N

V=

#mol ZNA#mol

vmol

(2.2)

donde

vmol =A

m(2.3)

y m es la densidad de masa y A es la masa atomica. Remplazando

n = ZNAmA

n = 0,6022 1024 ZmA

(2.4)

numero de electrones por cm3. Estas densidades son 1000 veces mayor que las densi-

dades del gas clasico a p y T normales.Tambien, se define el radio de la esfera rs = rs(n)

V

N=

1

n=

4

3r3s (2.5)

rs =

3

4n

1/3(2.6)

rs 108cm

2.4. Modelo de Drude

El gas de electrones metalicos (denso) es estudiado usando la teora cinetica delos gases diluidos (cuya densidad es baja) de partculas neutras, con ligeras modifica-ciones.Suposiciones basicas:

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Figura 2.3: .

a) Entre las colisiones el electron no interactua con la red (aproximacion de elec-trones libres) ni con los otros electrones (aproximacion de electrones indepen-dientes).

b) Las colisiones son eventos instantaneos (se evita especificar los detalles de lascolisiones). En presencia de campos externos ( E y/o B) el movimiento del elec-tron cumple con la ley de Newton.

c) Las colisiones ocurren con una probabilidad por unidad de tiempo 1/, es decir,la probabilidad de que ocurra una colision en un intervalo de tiempo dt, es dt/,donde es llamado tiempo libre medio o tiempo de relajacion.

d) Los electrones alcanzan el equilibrio termico con su vecindad solo a traves delas colisiones. Despues de una colision el electron surge con una velocidad quedepende de la temperatura circundante y es aleatoria (no esta relacionada con

la velocidad inmediatamente antes de la colision).

2.5. Conductividad electrica de CC de un metal

De la ley de Ohm

V = RI (2.7)

donde R es la resistencia del alambre, que depende de las dimensiones de la muestray es independiente de V y I. Drude determina el valor de la magnitud de R. Envez de R, es mejor determinar el valor de la resistividad, , que es una propiedad

caracterstica del metal.

Se define

E = j (2.8)

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Figura 2.4: .

donde es una constante de proporcionalidad, en general, E no es paralelo a j (esparalelo al flujo de carga).

Si I es uniforme y la seccion transversal del alambre es A, entonces

j =I

A(2.9)

puesto que

V = EL = jL = I

AL =

L

AI (2.10)

entonces

R = L

A(2.11)

Si n electrones por unidad de volumen se mueven con velocidad v (j v).

Figura 2.5: .

El numero de electrones que deben atravezar A perpendicular a la direccion del flujo:

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nV = nLA = nvdtA.La carga total: dQ = envdtA, entonces la corriente es

I =dQ

dt

= nevA (2.12)

entonces, remplazando

j = nev (2.13)En cualquier punto de un metal los electrones se mueven en diferentes direcciones condiferentes energas termicas. La corriente neta es dada por ecuacion anterior, dondev es la velocidad electronica promedio (< v >).

Si E = 0, entonces, < v >= 0 y j = 0, ni hay corriente electrica.Si E= 0, v = 0, entonces

v = v0 e E

m t (2.14)

y la velocidad promedio

< v >= eE

m (2.15)

Entonces

j = nevp = nee E

m

= ne2m

E = E (2.16)

donde,

=1

=

ne2

m(2.17)

es la conductividad. El tiempo de relajacion, , no es conocido y puede ser determi-nado si se conoce la resistividad (que puede se calculado experimentalmente)

=m

ne2=

m

ne2(2.18)

2.6. Calculo de la conductividad electrica con cam-

pos aplicadosEn un tiempo t

v =p(t)

m(2.19)

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donde p(t) es el momento total de un electron. Tambien sabemos

j = nep(t)m

(2.20)

En un tiempo t + dt, el momentum sera

p(t + dt) (2.21)

La probabilidad que el electron colisione en un intervalo de tiempo dt es dt/ y queno colisione 1 dt/.Si el elctron no colisiona debe adquirir un momento adicional debido a una fuerzaproducido por el campo externo ( E y/o B).

f(t)dt + 0(dt)2 (2.22)

La contribucion de todos aquellos electrones que no colisionan

p(t + dt) = (1 dt/)p(t) + f(t)dt + 0(dt)2

p(t + dt) = p(t) p(t)

dt + f(t)dt + 0(dt)2

p(t + dt) p(t)dt

= p(t)

+ f(t) + 0(dt) (2.23)

En el lmite en que dt 0dp

dt = p(t)

+ f(t) + 0(dt) (2.24)

El efecto de las colisiones de los electrones individuales introduce un termino deamartiguamiento friccional (p(t)/).

2.6.1. Efecto Hall y magnetoresistencia

Sobre un placa metalica paralela al plano xy (ver figura) se aplica un campo

electrico en la direccion del eje x ( E = Exi) y un campo magnetico en la direccion

del eje z ( H = Hk). Entonces, la fuerza que actua sobre cada electron es

f = e E+ 1c

v H (2.25)El campo magnetico ejerce un torque sobre el electron, que inicialmente se mueve en

la direccion del eje x. Entonces, el campo magnetico crea una corriente transversal a

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Figura 2.6: .

la direccion inicial del flujo de electrones.Remplazando, la ecuacion de movimiento del electron viene dado por

dp

dt= p(t)

e

E+

1

cv H

= p(t)

e E+ 1mcp H (2.26)Veamos el producto vectorial

p H = (pyH) i (pxH) j (2.27)En el estado estable la corriente es independiente del tiempo, entonces

dp

dt= 0 (2.28)

Escribiendo las ecuaciones en cada direccion

eEx eHmc

py px

= 0 (2.29)

eEy + eHmc

px py

= 0 (2.30)

Haciendo c =eHmc

, entonces escribimos las ecuaciones

eEx cpy px

= 0 (2.31)

eEy + cpx py

= 0 (2.32)

multiplicando por nem

ne2

mEx ne

mcpy ne

m

px

= 0 (2.33)

ne2

mEy +

ne

mcpx ne

m

py

= 0 (2.34)

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Sabemos que

j = nev = nem

p (2.35)

y 0 = ne2m (conductividad DC del modelo de Drude en ausencia de campo magnetico),las ecuaciones de movimiento toman la forma

0Ex = c jy + jx (2.36)

0Ey = c jx + jy (2.37)La corriente transversal (generada por H) tiende a acumular cargas negativas en unlado de la muestra (y en consecuencia cargas positivas en el lado opuesto), surguiendoun campo electrico transversal que aumenta con la acumulacion de cargas. Esto esllamado efecto Hall. La diferencia de potencial debido a la acumulaci on de cargas esllamado potencial de Hall (VH).Ahora, cuando no hay corriente transversal, entonces, jy = 0, usando las ecuacionesde movimiento el campo del Hall viene dado por

Ey = c0

jx

= Hnec

jx (2.38)

El coeficiente de Hall se define como,

RH = EyjxH

(2.39)

remplazando, se tiene

RH = 1nec

(2.40)

Si jy = 0, el efecto Hall causa un aumento en la resistividad del material, llamadamagnetoresistencia, definidad como,

(H) =Exjx

(2.41)

Podemos escribir la ecuacion en forma matricial:

Ex =1

0jx +

1

0cjy (2.42)

Ey = 10

c jx +1

0jy (2.43)

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ExEy

=

1

0

1 c

c 1

jxjy

(2.44)

El tensor reisteividad es dfefinido por la relacionExEy

=

1

0

xx xyyx yy

jxjy

(2.45)

Entonces

xx = yy =1

0(2.46)

yx = xy = c0

=H

nec(2.47)

As, este modelo simple (de Drude) predice que la resistencia longitudinal es constante,

mientras que la resistencia de Hall se incrementa linealmente con el campo magnetico.

2.6.2. Campo electrico dependiente del tiempo (oscilante)y espacialmente uniforme: Conductividad electrica acorriente alterna de un metal

Podemos calcular la corriente inducida en un metal sometido a un campo electricoque depende del tiempo, E(t). De la ecuacion de movimiento de un electron en uncampo electrico dependiente del tiempo

dpdt

= p(t)

e E(t) (2.48)

Figura 2.7: .

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Resolvemos esta ecuacion diferencial aplicando la tramsformanda de Fourier

F

dp

dt

= F

p(t)

eF

E(t)

(2.49)

se tiene

ip() = p()

e E() (2.50)

Despejando

p() = e1

iE() (2.51)

Puesto que

j(t) = nem

p(t)

F

j(t)

= nem

F {p(t)}(2.52)

entonces

j() = nem

p() (2.53)

Remplazando p()

j() = nem

e1

i

E()

= () E() (2.54)

donde () es la conductividad electrica de corriente alterna (CA) y es compleja.

() =ne2/m1

i =ne2 /m

1 i() =

01

i

(2.55)

con 0 = ne2 /m la conductividad de Drude. Vemos que si = 0, esta se reduce a la

conductividad de corriente continua.

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2.7. Propagacion electromagnetica en un metal

Veamos el caso cuando l donde es la longitud de onda de la radiacion y les el camino libre medio, donde se cumple

j(r, ) = () E(r, ) (2.56)

En presencia de un j particular, escribimos las ecuaciones de Maxwell

E = 0 H = 0

E = 1c

H

t H = 4

cj +

1

c

E

t

Tomando rotacional

E = 1c

t H (2.57)

El primer termino

E = ( E) 2 E= 2 E (2.58)

Como j = E escribimos el segundo termino

H = 4c

E+1

c

E

t(2.59)

Remplazando

2 E =

1

c

t 4c E+ 1c E

t (2.60)Tomando transformada de Fourier

2 E() = 1c

(i)

4

c E() +

1

c(i) E

=

2

c2

i

4

+ 1

E() (2.61)

Entonces la ecuacion de onda viene dado por

2 E() = 2

c2() E() (2.62)

donde

() = 1 + i4

(2.63)

es la constante dielectrica compleja.

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2.7.1. Caso de frecuencias altas 1

Sabemos que

() = 1 + i

4

= 1 + i4

01 i (2.64)

veamos el factor

1

1 i =1

1 i1 + i

1 + i

=1 + i

1 + ()2(2.65)

Como 11

1 i 1 + i

()2

i

(2.66)

Remplazando

() 1 + i40

i

1 42

ne2

m(2.67)

entonces

() 1 2p

2(2.68)

donde

2p =4ne2

m(2.69)

es la frecuencia de plasma.De la ecuacion de onda tenemos los siguientes casos:

Si p > entonces () es real y negativa. La radiacion decae exponecialmente

en el espacio (no puede propagarse).

Si p < p entonces () es real y positiva. La radiacion es oscilatoria en elmaterial (puede propagarse), se dice que el metal es transparente.

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Ejerccios

1. Ecuacion de Movimento para J - Obtenga la ecuacion de movimiento de lacorriente electrica en campos E y B

dJ

dt+

J 0E

+ (B J) = 0 (2.70)

donde 0 = ne2 /m es la conductividad electrica en el modelo de Drude y = e/m

es la razon carga-masa del electron. Use

dp

dt= p

e(E + p

m B) (2.71)

donde p = mv.

2. Matriz Producto Vectorial - Demuestre que a matriz definida en la ecuacion

B = 0 Bz ByBz 0 Bx

By Bx 0

(2.72)aplicada a un vector A es igual al producto vectorial B A.3. Matriz de Propagacion - Demuestre que a Ec.

J(t) = U(t, 0)J(0) +t0

U(t, t)A(t)dt (2.73)

donde U(t, t) es una matriz de evolucion temporal y que satisface la ecuacion ho-

mogeneadU(t, t)

dt+

1

+

U(t, t) = 0

con U(t, t) = 1, es solucion de la Ec.

dJ

dt+

1

+

J = A(t) (2.74)

siendo A(t) = 0E(t)/ y donde U(t, t) satisface la ecuacion diferencial

dU(t, t)

dt

+ 1

+ U(t, t) = (t

t)

4. Efecto Hall en un Cilindro - Considere el vector densidad de corriente electrica Jen coordenadas cilndricas:

J = J + J + Jz z

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Usando

J() = 0

1

+

1E (2.75)

donde (1/ + ) es la matriz 1/ Bz ByBz 1/ BxBy Bx 1/

(2.76)cuya inversa puede ser obtenida facilmente:

1

+

1=

3

1 + 22(B2x + B2y + B

2z )

y

1/2

+ 2

B2x (Bz/ +

2

BxBy) (2

BxBz By/)(2BxBy Bz/) 1/2 + 2B2y (2ByBz + Bx/)2BxBz + By/ (

2ByBz Bx/) 1/2 + 2B2z

(2.77)encuentre las componentes estacionarias de J para B = Boz y E = Eo.

5. Distribuicion de Poisson - En el modelo de Drude la probabilidad de que un elec-tron sufra una colision en un intervalo de tiempo infinitesimal dt es dt/, donde esel tiempo de relajacion.(a) Demuestre que un electron selecionado aleatoriamente en un instante dado nosufrio ninguna colision durante los t segundos precedentes con probabilidad et/.

(b) Demuestre que la probabilidad de que ocurra dos colisiones sucesivas entre t yt + dt es (dt/)et/.(c) Demuestre, como consecuencia de (a), que en cualquier instante el tiempo medioentre colisiones calculado sobre todos los eletrones es .(d) Demuestre, como consecuencia de (b), que el tiempo medio entre sucesivas coli-siones de un electron tambien es .6.Consideremos un cristal con solamente una clase de portadores, de carga q (=

1,6 1019C) y concentracion n. Aplicamos un campo elctrico fijo E. Derivar lasrelaciones entre v (velocidad media), j (densidad de corriente), y E en trminos dela movilidad () y la conductividad . Prestar particular atencion a los signos (porconvencion la movilidad es una cantidad positiva).

Aplicamos un campo magnetico fijo a lo largo del eje z (Bx = 0, By = 0, Bz = B).

Demostrar que la ley de Ohm se generaliza a E =

j, o equivalentemente j =

E,,

y demostrar explcitamente los tensores resistividad

y conductividad

, referidas alos ejes Oxyz. En la literatura el angulo , con | tan |= B, el llamado angulo de

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Hall. Esto le sugiere una interpretacion geomtrica?Considerar una barra de longitud L a lo largo de Ox con seccion transversal pequenax, y, tal que la densidad de corriente se encuentre a lo largo del eje Ox.(a) Dar la relacion entre jx y Ex (conductividad longitudinal).

(b) Aunque la corriente es puramente longitudinal, notamos que aparece el campoelctrico transversal (el campo de Hall).; dar una expresion para este.Aplicacion practica: en una barra de silicio con dimensiones L = 2cm, z = 0,2cm,y = 0,2cm, con campo magnetico B = 0,1T, pasamos una corriente total deIx = 10mA. Medimos un voltaje VQ VP = 4,15V entre los extremos de la bar-ra, y un voltaje VN VM = 0,21 103V a travs de las caras MN de la barra.Calcular las caractersticas de la muestra de silicio. Qu tipo de voltmetros se re-quieren en la practica para estas mediciones? (Los contactos M y N son soldadurasde area 0,1cm 0,1cm.)7. Considerar un cristal con dos tipos de portadores (1) y (2), con cargas, densi-

dades y movilidades q1, n1, 1 y q2, n2, 2 respectivamente (por ejemplo, electronesy huecos). En todos los casos | q1 |=| q1 |= e = carga del electron. Hallar el tensorconductividad. Considere una barra delgada. Calcule la conductividad longitudinallong = jx/Ex. Calcula la constante de Hall RH = Ey/jxB.Nota: el calculo exacto es laborioso. Use el hecho de que en general 1B 1 y2B 1 y calcule hasta segundo orden en estas cantidades. Discuta que sucede enla superficie de la muestra en el caso de un solo tipo de portador, y en caso en quelas densidades de electrones y huecos son iguales.

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22/67

2.8. Conductividad termica de un metal

Se define jq como la densidad de corriente termica, paralelo a la direccion del flujode calor y

|jq

|la energa termica por unidad de tiempo a traves de un area unitaria

perpendicular al flujo.Para pequenos gradientes de temperatura (T), se tiene la Ley de Fourier

Figura 2.8: .

jq = T (2.78)donde (> 0) es la conductividad termica, el flujo de corriente termica es opuestoal a la direccion del gradiente de temperatura (T es debido al caracter aleatorio delas colisiones).Consideremos el caso unidimensional. La ley de Fourier en una dimension es dadopor:

jq = dTdx

(2.79)

Considereremos el caso en el que T disminuye uniformemente en la direccion del ejex positivo. En el estado estacionario jq fluye en la direccion del eje x positivo.Calculamos jq usando la cuarta suposicion de Drude, la cual establece que los elec-trones en los puntos de temperaturas altas deben tener mas energa que los electronesen puntos de temperaturas bajas. Por lo tanto, se tiene un flujo neto de energa termi-ca hacia puntos de temperaturas bajas.En el modelo unidiemensional los electrones se mueven en la direccion del eje x, tal

que, la mitad del numero de electrones llegan al punto x desde la izquierda y la mitaddel numero de electros desde la derecha.Sea (T), la energa termica por electron en un metal en equilibrio termico a la tem-peratura T. Entonces, un electron cuya ultima colision fue en x debe, en promedio,tener una energa termica [T(x)].

21


23/67

Los electrones que llegan a x desde la region de altas temperaturas deben de habertenido su ultima colision en xv y deben por consiguiente tener una energa termicapor electron de magnitud

Figura 2.9: .

[T(x v)] (2.80)y su contribucion a jq en x debe ser

n

2v[T(x v)] (2.81)

Analogamente, los electrones que llegan a x de regiones de temperaturas bajas deben

tener una energa termica por electron de magnitud

[T(x + v)] (2.82)

y su contribucion a jq en x debe ser

n

2(v)[T(x + v)] (2.83)

Sumando

jq =n

2v {[T(x v)] [T(x + v)]} (2.84)

Si el cambio de temperatura en el intervalo l = v es pequeno, podemos hacer undesarrollo en series de Taylos alrededor del punto x.

[T(x v)] = [T(x)] + (v) ddT

dT

dx+ (2.85)

22


24/67

Remplazando:

jq = nv2d

dT

dT

dx

(2.86)

En tres dimensiones, para v con simetra esferica se tienev2x

=

v2y

=

v2z

=

1

3

v2

(2.87)

y ademas

nd

dT=

N

V

d

dT=

1

V

dE

dT= cv (2.88)

donde cv es el calor especfico.Remplazando

j

q

=

1

3v

2

cv (T) (2.89)De donde se tiene que que la conductividad termica viene dado por

=1

3v2 cv =

1

3lvcv (2.90)

Ahora hallamos el cociente entre la conductividad termica y la conductividad electrica(de Drude)

=

13v

2 cvne2m

=2

3

1

ne21

2mv2cv (2.91)

Drude aplica las leyes de la teora cinetica de los gases al gas de electrones libres,entonces

cv =3

2nkB (2.92)

donde kB es la constante de Boltzmann, y del teorema de equiparticion de la energa:

1

2mv2 =

3

2kBT (2.93)

Remplazando

=

3

2

kBe

2T (2.94)

Se define el numero de Lorentz:

T=

3

2

kBe

2(2.95)

23


25/67

2.9. Efecto Seebeck

Un gradiente de temperatura genera una corriente termica, tal que produce unacumulamiento de carga en los extremos del conductor y por lo tanto surge un campo

electrico, denominado campo termo electrico, opuesto al gradiente de temperatura.Convencionalmente se tiene

E = QT (2.96)

donde Q es denominado termopotencia.Veamos el caso unidimensional. La velocidad media electronica, vQ, en un punto xdebido al gradiente de temperatura, dT/dx, es:

vQ =1

2[v(x vt) v(x + vt)] (2.97)

y cuando t =

vQ =1

2[v(x v) v(x + v)] (2.98)

Haciendo un desarrollo en series de Taylor alrededor de x

v(x v) = v(x) + (v) dvdT

dT

dx+ (2.99)

Remplazando

vQ = 12v(x) v dv

dTdTdx

v(x) v dvdT

dTdx

= v dv

dT

dT

dx

= ddT

v2

2

dT

dx(2.100)

En tres dimensiones, para v con simetra esferica

v2x

=

v2y

=

v2z

=1

3 v2

(2.101)

Entonces, la velocidad termica viene dado por

vQ = 6

dv2

dTT (2.102)

24


26/67

ya velocidad media, del electron, debido al campo electrico es

vE = eE

m (2.103)

Para alcanzar el equilibrio se requiere que

vQ + vE = 0 (2.104)

Remplazando

6

dv2

dTT e

E

m = 0 (2.105)

Depejando el campo electrico

E = m6e

dv2dT

T

= 13e

d

dT

1

2mv2

T (2.106)

De donde se tiene

Q = 13e

d

dT

1

2mv2

(2.107)

Ademas, de la definicion de calor especfico

cv = 1V

dEdT

= NV

ddT

= n ddT

= n ddT

12

mv2 (2.108)Remplazando

Q = cv3ne

(2.109)

Se sabe que cv = 3/2nKB, entonces

Q = kB2e

(2.110)

25


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Ejerccios

8. Efecto Joule- Considere un metal en un campo electrico estatico uniforme E. Un

electron experimenta una colision, y luego, despues de un tiempo t, una segundacolision.(a) Demuestre que la energa perdida en la segunda colision, que ocurre despues deun tiempo t, es (eEt)2/2m.(b) Si la probabilidad de una colision en el instante t es dada por P(t) = et//,donde es el tiempo de relajacion, demuestre que la energa media perdida (a causade los iones) por el electron por colision es (eE)2/m, y por tanto, la energa mediaperdida por centmetro cubico por segundo es (ne2 /m)E2 = E2. Compare con lapotencia disipada en una varilla de longitud L, seccion transversal A y resistencia R,por la cual circula una corriente I.

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Soluciones de los Ejercicios

1.

La ecuacion de movimiento para una partcula sometida a campos electrico y

magnetico, en el modelo de Drude, es

dp

dt= p

e(E + p

m B)

Sustituyendo J = nep/m en la ecuacion anterior, obtenemos:dJ

dt= J

+

(ne2/m)E

+ (e/m)J B

Usando las definiciones 0 = ne2 /m y = e/m podemos escribir:

dJ

dt +

J

0E

+ +B J = 0

2.

La matriz es definida como

=

0 Bz ByBz 0 BxBy Bx 0

Multiplicando por un vector A encontramos

A = 0 Bz ByBz 0 Bx

By Bx 0 AxAy

Az

= ByAz BzAyBzAx BxAzBxAy + ByAx

Calculando ahora el producto vectorial B A encontramos

B A = [(ByAz BzAy)i + (BzAx BxAz)j + (BxAy + ByAx)k]Comparando las dos ecuaciones anteriores verificamos que

A = B A

3.

La solucion general para J es dada por

J(t) = U(t, 0)J(0) +t0

U(t, t)A(t)dt

27


29/67

Sustituyendo la solucion anterior en la ecuacion diferencial

dJ(t)

dt+

1

+

J(t) = A(t)

encontramosdU(t, 0)

dt+

1

+

U(t, 0)

J(0)+

d

dt

t0

U(t, t)A(t)dt+

1

+

t0

U(t, t)A(t)dt = A(t)

Siendo la derivada realizada sobre la variable t y la integral sobre a variable t podemosescribir

dU(t, 0)

dt+

1

+

U(t, 0)

J(0)+

t0

dU(t, t)

dt+

1

+

U(t, t)

A(t)dt = A(t)

Sabiendo que U(t, t) satisface la ecuacion

dU(t, t)

dt+

1

+

U(t, t) = (t t)

verificamos que el primer termino se anula y la integral sera igual a A(t).

4.

La solucion estacionaria de la ecuacion de movimiento de una partcula cargadasumetida a campos eletrico y magnetico estaticos es dada por

J() =0 1 +

1

E

En coordenadas cartesianas:

B = Bxi + Byj + Bzk i j = k; k i = j; j k = i

o en coordenadas cilndricas

B = B + B+ Bzk = k; k = ; k =

Como no existen operadores de derivada, mas solamente de produtos vectoriais,

podemos simplemente sustituir

Bx B i By B j Bz Bz k k

28


30/67

Procediendo de esta manera encontramos la matriz

1

+

1

=3

1 + 22B20

1/2 B0 0B0/ 1/2 0

0 0 1/2

+ 2

B20

Sustituyendo en la solucion estacionaria encontramos:

J() = 0E01 + 20

2

010

para las componentes de J en coordenadas cilndricas.

5.

(a) Sean:

dt/ probabilidad de que ocurra una colision en el intervalo de tiempo dt.P(t) probabilidad de que el electron NO haya sufrido ninguna colision hasta el

instante de tiempo t.P(t + dt) probabilidad de que el electron NO haya sufrido ninguna colision hasta

el instante de tiempo t + dt.Entonces tenemos P(t+dt) = P(t) (prob. de que no ocurra colision en el intervalo

de tiempo dt)= P(t) (1 dt/) y

P(t + dt) P(t) = P(t)dt/

dP(t) = P(t)dt/ t

0

dP(t)

P(t) = t

0

dt

ln P(t)P(0) = tsabiendo que P(0) = 1 encontramos

P(t) = et/

(b)P(t) probabilidad de no colisionar hsta el instante t.dP(t + dt) probabilidad de colisionar entre los instantes t y t + dt.Entonces podemos escribir dP(t + dt) = P(t)(prob. de colisionar en intervalo

dt)

dP

(t + dt) = P(t)dt/que es la probabilidad de que ocurra dos colisiones sucesivas entre el intervalo t yt + dt.

(c)

29


31/67

El tiempo medio puede ser calculado a partir de

< t >=

0tP(t)dt = 1

0tet/dt =

(d)

dP(t + dt) dP(t) = et/

dt

a partir de ahpodemos calcular < tcol >

< tcol >=1

0tet/dt =

6. (a) Bajo un campo aplicado E la fuerza es F = q E y la velocidad media es:

v = qm

E

La movilidad se define como: =

v

EEsta cantidad es tomada convencionalmente como una cantidad positiva. As tenemos:

=| q |

my v =

| q |q

E

La densidad de corriente j es

j = nqv = n | q | E (2.111)La ley de Ohm:

j = E

donde la conductividad

= n | q | = nq2

mes positivo.(b) Cuando son aplicados un campo electrico y un campo magnetico, la fuerza es:

F = q( E+ v B)y la velocidad media es dada por la ecuacion:

v =q

m( E+ v B)

30


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Usando j , y , encontramos:

E =1

j +

| q |q

B j

Esta formula puede escribirse como:

E == j

, donde el tensor resistividad respecto a los ejes xyz es:

==

1

Note que en el plano xOy los vectores E y j no son colineales (ver figura), el

angulo entre j y E es dado en signo y magnitud por:

tan =q

| q |B

El tensor conductividad= es dado simplemente invirtiendo el tensor

=:

FALTA(c)En la barra delgada, asumimos jy = jz = 0. Usando el vector E y la matriz

==

encontramosjx = Ex

Esta es la misma relacion como en la ausencia de campo magnetico. La conduccion no

cambia por la presencia de un campo magnetico para un solo tipo de portador (hemosadoptado en el modelo de transporte simple): no hay el efecto magnetoresistencia.Sin embargo vemos que un campo electrico transversal aparece, el cual de la definicionde y toma la forma:

Ey =jxB

nq

Medidas de este campo de HallEy nos permiten medir la densidad de portadoresn y el signo de la carga. Conociendo n, una medicion de = n | q | da la movilidadde los portadores.(d) Del signo de la medida del voltaje vemos que los portadores son huecos (positi-

vamente cargados). La aplicacion numerica de las formulas anteriores da:

i) Angulo de Hall: B 5 04rad.ii) Movilidad: = 0, 05m2V1s1.

31


33/67

iii) Conductividad: = 12S m1 (S Siemens).iv) Concentracion: n = 1,5 1021m3.

7. a) La corriente de los dos tipos de portadores :

j = j1 + j2 = (1 + 2) E

Tenemos: = 1 + 2

debemos primero sumar los tensores conductividad (matrices tipo x) para obtener ,primero invertimos esta matriz para encontrar xx y xy.Sea

1 =q1

|q1

|

1B y 2 =q2

|q2

|

2B

=

1(1 21) + 2(1 22) 11 + 22 0

(11 + 22) 1(1 21) + 2(1 22) 00 0 1 + 2

(2.112)b) Como jy = jz = 0, las cantidades requeridas se obtienen inmediatamente del tensor

Ex = xxjx y Ey = yxjx

Usando el hecho que xx = yy y xy = yx encontramos

xx =

xx

(xx)2 + (xy)2

y

yx =yx

(xx)2 + (xy)2

Expandiendo hasta segundo orden esto da:

long = 1 + 2 121 + 2

(1 2)2

o con 1 =| q | n11 y 2 =| q | n22

long =| q | (n11 + n22) 1 + (n11n22(q11 q22)2B2e2(n11 + n22)2

Vemos que en este caso la conductividad longitudinal depende en segundo orden delcampo magnetico a menos que los portadores tengan el mismo signo (q1 = q2) y la

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34/67

misma movilidad (1 = 2). Este resultado, la variacion de la resistencia con el campomagnetico, o magnetoresistencia, es generico en cuanto no estamos tratando con unsolo tipo de portadores con solo tiempo de relajacion. Del mismo modo, la constantede Hall es dado (todava a segundo orden) por

Eyjx

= B. RH = yx = 11 + 22(1 + 2)2

RH =q1n1

21 + q2n2

22

q2(n11 + n22)2

En el dominio de validez de estas formulas vemos que:

La magnetoresistencia es siempre positiva (la resistencia se incrementa con elcampo magnetico). Podemos medir la resistencia para B = 0, la magnetoresistencia

(el cual bajo nuestras suposiciones es un efecto pequeno), y la constante de Hall RH.De estas tres medidas independientes es en general imposible determinar las cuatrodesconocidas (n1, 1, n2, 2)incluso si es posible adivinar el signo de las cargas.Si tenemos razon para suponer que n1 = n2 = n, para portadores de cargas opuestas(semimetal o semiconductores intrnsecos), podemos escribir

long =| q | n(1 + 2)(1 12B2)

RH =21 22

(1 + 2)21

nq

Encontramos que para el efecto Hall es el portador con mayor movilidad que domina.

Si 1 = 2 el efecto Hall desaparece (pero la conductividad y la magnetoresistencia semantienen). Para el caso mas real de una distribucion de tiempos de relajacion debe-mos generalizar el anterior tratamiento usando la ecuacionde Boltzmann. Esperamosque el efecto Hall sea ligeramente modificado: all aparece en la Ec. (Ey =) un factorde correccion de la forma < 2 > / < >2. Aun para un solo tipo de portador decarga, una distribucion de tiempos de relajacion crea magnetoresistencia. Esta mag-netoresistencia debe ser calculada usando la ecuacion de Boltzmann.(c) Con un solo tipo de portadores tenemos jy = 0 el campo electrico Ey que compen-sa la fuerza de Lorentz es causada por las cargas que se acumulan sobre las caras M yN una vez que el campo magnetico es encendido. Cuando hay dos tipos de portadorestenemos:

jy = j1y + j2y = 0

pero j1y y j2y no son cero separadamente: hay corrientes transversales de tipos deportadores los cuales cancelan. Esta claro que las cargas no pueden acumularse in-definidamente sobre las caras, y tenemos un regimen estacionario donde los dos tipos

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de cargas alcanzan la superficie (por ejemplo, electrones y huecos) se recombinan enpares. Esta recombinacion debe dar lugar a efectos medibles, tales como emision deluz en energa del gap de la banda.

8.(a)Debemos encontrar la velocidad de la partcula a partir de

F = ma = eE a = eE/mConociendo la aceleracion encontramos

v =eE

mt

La energa cinetica sera entonces

Ec =

1

2 mv2

=

(eEt)2

2m

(b)La energa media es calculada a partir de

< Ec >=

0EcP(t)dt

Usando P(t) = et// y sustituyendo en la integral anterior, obtenemos

< Ec >=(eE)2

2m

0t2et/dt =

(eE)2

m

La energa media total perdida por cm

3

por segundo sera igual a:< Pc >

V=

N < Ec >

V =

ne2

m

E2 = 0E

2

donde V es el volumen, n = N/V es la densidad eletronica y = ne2 /m es laconductividad electrica del material, en el modelo de Drude.

Comparando la expresion anterior con la potencia disipada en un hilo de longitudL, seccion transversal A y resistencia R, sometido a una corriente I tenemos:

P

V= E2

siendo E = RI/L encontramos

P =V R2I2

L2=

(AL)R2I2

L2=

A

L

R2I2 =

1

RR2I2 = RI2

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Captulo 3

Modelo de Sommerfeld de los

Metales

Sommerfeld aplico la Mecanica Cuantica al modelo de Drude, el gas de electronesclasico, libres e independientes para los metales. Hace uso de la estadstica de Fermi-Dirac, al gas ideal cuantico: gas de fermiones, para explicar varias propiedades delgas son consecuencias de la naturaleza cuantica del electon.

3.1. Propiedades del estado fundamental (T = 0)

del gas de electrones libres

Consideremos un gas de electrones (N) confinados dentro de un volumen V. En laaproximacion de electrones independientes (los electrones no interactuan) el problemade N partculas (que es un problema de muchos cuerpos) se reduce a N problemasde una partcula, todos identicos. Por lo tanto, el estado fundamental del sistema, seencuentra:

hallando los niveles de energa de un electron dentro de una caja de volumenV.

llenando los niveles (de un electron) con los N electrones (del gas de electroneslibres) de acuerdo con el principio de exclusion de Pauli.

La ecuacion de Schrodinger de una partcula independiente del tiempo es

Hk(r) = k(r) (3.1)

35


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donde el hamiltoniano de un electron libre es

H = h2

2m2 = h

2

2m

2

x2+

2

y2+

2

z2

(3.2)

Resolviendo la ecuacion de Schrodinger

k(r) =1V

eikr (3.3)

y

=h2k2

2m(3.4)

Un electron es caracterizado por su funcion de onda ((r)), la orientacion de su espn

(

o

) y (k), que es independiente del espn.

El confinamiento de los electrones en el volumen V (debido a la atraccion de losiones), implica aplicar condiciones de frontera al problema.La funcion de onda, k(r), cumple la condicion de normalizacion

Vdr | k(r) |2= 1 (3.5)

que representa la probabilidad de encontrar un electron dentro de V.

a) Significado de k.La nuncion de onda del electron libre,

k

(r), es un eigenestado del operador p:

p = hi

r=

h

i (3.6)

pk(r) = hi k(r) = hi 1V eikr=

1V

h

i

xi +

yj +

zk

k(r)e

i(kxx+kyy+kzz)

=1V

h

i(ikxi + ikyj + ikzk)e

i(kxx+kyy+kzz)

=1V

hkeikr = hkk(r) (3.7)

Un electron con funcion de onda k(r), tiene momentum hk.

36


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b) Velocidad

v =k

m=

h

mk (3.8)

c) Energa

=h2k2

2m=

p2

2m=

1

2mv2 (3.9)

Sabemos que una onda plana es constante en cualquier plano perpendicular a k (frente

de onda), tal que k r = Cte, entonces, la onda plana es periodica a lo largo de lalnea paralela a k, con longitud de onda = 2/k (longitud de onda de De Broglie).

3.2. Condiciones de fronteraLos electrones estan confinados en un volumen V (debido a la atraccion de los

iones). Por lo tanto, aplicando condiciones de frontera a la funcion de onda y asum-iendo que las porpiedades del bulk (region del solido lejos de la superficie), no esafectada por la configuracion de la superficie. Podemos elegir:

a) Condiciones de frontera fija.En una dimension (1D) viene dado por

k(0) = k(L) = 0 (3.10)

la cual da ondas estacionarias (inconveniente).b) Condiciones de frontera periodica.

En 1D viene dado por

k(x) = k(x + L) (3.11)

la cual da ondas viajeras, conveniente porque, por lo general, estudiamos trans-porte de carga y energa.

En tres dimensiones (3D) las condiciones de frontera periodicas o de Born-von Kar-man vienen dado por

k(x + L,y,z) = k(x,y,z)k(x, y + L, z) = k(x,y,z) (3.12)

k(x,y,z + L) = k(x,y,z)

(3.13)

37


39/67

Entonces, aplicando las condiciones de Born von Karman a k(r), se tiene:En la direccion x:

k(x + L,y,z) = k(x + L,y,z) (3.14)

Remplazando

ei(kx(x+L)+kyy+kzz) = ei(kxx+kyy+kzz) (3.15)

eikxL = 1 (3.16)

entonces,

kx =2

Lnx nx Z (3.17)

Analogamente para la direcciones y y z

eikyL = eikzL = 1 (3.18)

entonces

ky =2

Lny kz =

2

Lnz (3.19)

donde ny y nz son numeros enteros. Vemos que, los vectores de onda son discretos,estos representan los estados permitidos, en el espacio k (espacio recproco) y estanseperados por una distancia constante, 2/L (si el solido es un cubo de lado L), encada una de las direcciones.Ell volumen por k permitido es

k = kxkykz (3.20)

=

2

L

2

L

2

L

=

2

L

3=

(2)3

V(3.21)

En el estado fundamental (T = 0) los estados permitidos ocupados son los de

mas baja energa y necesitamos conocer cuantos estados permitidos (k), contenidosen una region del espacio k de volumen , estan ocupados. Esta region es enorme, enla escala 2/L, y por consiguiente contiene un gran numero de puntos.En la practica tratamos con regiones, en el espacio k, que son muy grandes y quecontienen puntos del orden de 1022. Por lo tanto, podemos asumir que son regiones

38


40/67

Figura 3.1: .

regulares, por lo general esferas de volumen .Entonces, el numero de estados permitidos dentro de es,

(2/L)3=

L3

(2)3=

V

(2)3(3.22)

donde

V

(2)3(3.23)

es la densidad de puntos, es decir, el numero de puntos permitidos por unidad devolumen.Asumimos, que los electrones no interactuan (electrones independientes) y por lo tan-to, construimos el estado fundamental del sistema de N electrones, ubicando cada unode los electrones en los niveles permitidos de un electr on, de acuerdo con el principiode exclusion de Pauli: en cada k un electron con espn h/2 () y/o h/2 (). Esdecir, por cada k permitido hay dos niveles electronicos de un electron, uno para cadaorientacion de espn.Puesto que k2 cuando N es enorme, entonces, la region ocupada debe ser indis-tinguible de una esfera, cuyo volumen es

=4

3k3F (3.24)

39


41/67

Figura 3.2: .

donde kF (llamado vector de onda de Fermi), es el radio de la esfera (esfera de Fermi),que es la superficie que encierra los niveles ocupados de un electr on.El numero de estados ocupados es igual a

N

2=

V

(2)3=

4

3k3F

V

(2)3(3.25)

de donde

n =N

V=

k3F32

(3.26)

El vector de onda de Fermi en terminos de la densidad del numero de electrones

kF =

32n1/3

(3.27)

Tambien podemos expresar en terminos de el radio rs (radio de la esfera que ocupaun electron):

V

N=

1

n=

4

3r3s (3.28)

entonces

kF =

323

4r3s

1/3=

941/3

rs

=1,92

rs(3.29)

40


42/67

o

kF =1,92/a0

rs/a0

= 3,63rs/a0

A1 (3.30)

La longitud de onda correspondiente a kF es

F =2

kF(3.31)

viene a ser la longitud de onda de De Broglie.La velocidad de Fermi

vF =pFm

=h

mkF

= 4,20rs/a0

108cm/s (3.32)

donde vF es del orden del 1 % de la velocidad de la luz. Recordando, de la mecanicaclasica, que en T = 0 la velocidad es nula (v = 0) y a Tamb la velocidad es solamentedel orden de 107cm/s.La energa de Fermi es

F =h2k2F2m

=h2

2ma20(kFa0)

2 (3.33)

Se sabe que el radio de Born es

a0 =h2

me2 h

2

m= a0e

2 (3.34)

Remplazando

F =e2

2a0(kFa0)

2

= (kFa0)2Ry (3.35)

donde 1Ry = e2

2a0= 13,6eV es la unidad de energa Rydberg.

Tambien

F = 3,63

rs/a0a0

2Ry

=50,1

(rs/a0)2eV (3.36)

41


43/67

para elementos de densidades metalicas la energa de Fermi varia entre 1,5eV y 15eV.

La energa del estado fundamental del gas de electrones (N), contenidos en un

volumen V, viene dado por

E =

k


44/67

Resolvemos la integral en coordenadas esfericas dk = 4k2dk, para el caso de elec-trones libres

E

V=

2

(2)3

h2

2m4 k


45/67

vemos que la temperatura sera del orden de

T =2

5TF 104K (3.51)

Dada la energa del estado fundamental , se puede calcular la presion ejercida por elgas de electrones

P = EV

N

(3.52)

Remplazando

P =3

2

E

V(3.53)

El modulo de compresion B o la compresibilidad K

B = 1K

= PV

(3.54)

Remplazando

B =5

3P (3.55)

=5

3

3

2

E

V=

10

9

E

V=

10

9

E

N

N

V=

10

9

3

5Fn

=2

3Fn (3.56)

B = 6,13rs/a0

5 1010dy/cm2 (3.57)3.3. Propiedades termicas del gas de electrones li-

bres: La distribucion de Fermi - Dirac

Cuando T = 0 es necesario examinar tanto el estado fundamental como los estadosexcitados, teniendo en cuenta los principios basicos de la mecanica estadstica.Si un sistema de N electrones esta en equilibrio termico, a un temperatura T, suspropiedades se calculan promediando sobre todos los estados estacionarios (de energa

E) del sistema de N partculas con un peso proporcional a eE/kBT. La probabilidadde encontrar al sistema de N electrones en un estado con energa E es

PN(E) =eE eE

N

(3.58)

44


46/67

donde = 1/kBT, EN es la energa del -esimo estado estacionario del sistema de N

electrones y

Q = eEN (3.59)

es la funcion de particion canonica y esta relacionada con la energa libre de HelmholtzF = U T S

Q =

eEN = eFN (3.60)

Remplazando, tenemos

PN(E) = e(EFN) (3.61)

Por el principio de exclusion de Pauli, para construir un estado de un sistema de N

electrones deben llenarse N diferentes niveles de un electron. As, cada estado esta-cionario de N electrones debe ser especificado listando cuales de los N niveles de unelectron estan ocupados en ese estado.Se define una cantidad util fNi , que representa la probabilidad de encontrar un elec-tron en el nivel particular i de un electron, cuando el sistema de N electrones estaen equilibrio termico. Viene a ser, la suma de las probabilidades independientes deencontrar el sistema de N electrones en cualquir uno de estos estados de N electronesen el que el i-esimo nivel esta ocupado.

fNi =

PN(E

N ) (3.62)

La suma es sobre todos los estados de N electrones en el cual hay un electron enel i-esimo nivel de un electron.Evaluamos fNi siguiendo los siguientes pasos

a) Expresamos fNi como

fNi = 1

PN(EN ) (3.63)

La suma es sobre todos los estados de N electrones en el cual no hay unelectron en el nivel i de un electron.

b) Tomamos cualquier estado de un sistema de N + 1 electrones en el cual hayun electron en el i-esimo nivel de un electron (con el i-esimo nivel ocupado).Apartir de esto podemos construir un estado de un sistema de N electrones enel que el i-esimo nivel este desocupado, quitando el electron del i-esimo nivel

45


47/67

y manteniendo el resto de estados ocupados, del sistema de N + 1 electrones,inalterados.El estado de un sistema de N electrones con el i-esimo nivel desocupado con-struido a partir del estado de un sistema de N+ 1 electrones con un electron en

el nivel i. Evidentemente, las energas de ambos sistemas son diferentes en i, laenerga del nivel de un electron cuya ocupacion es diferente en los dos estados.Entonces

fNi = 1

PN(EN+1 i) (3.64)

Ahora

PN(EN+1 i) = e(E

N+1 iFN)

= e(EN+1 FN+1)e(i+FNFN+1)

= PN+1(EN+1 )e

[i(FN+1FN)]

= PN+1(EN+1 )e[i] (3.65)

donde

= FN+1 FN (3.66)es el potencial qumico.Remplazando

fNi = 1

PN+1(EN+1 )e

[i]

= 1 e(i)fN+1i (3.67)

Relacion de probabilidades del nivel i de un electron ocupado a la temperaturaT en un sistema de N electrones y un sistema de N + 1 electrones.

c) Cuando N en muy grande (en nuestro caso N 1022) se puede amsumir quefN+1i = f

Ni (3.68)

es decir, el adicionar un electron extra no altera apreciablemente la probabilidad.Entonces

fNi = 1 e(i)fNi (3.69)Despejando fNi

fNi =1

e(i) + 1(3.70)

En adelante se obvia N en fNi (= fi) y nos da el numero promedio de electrones

en el nivel i de un electron (en el caso del gas de electrones usamos i k).

46


48/67

Figura 3.3: .

Figura 3.4: .

Puesto que el numero total de partculas es

N =i

fi =i

1

e(i) + 1(3.71)

vemos que

N = N(T, ) (3.72)

En muchas aplicaciones T y N (o n = N/V) son conocidos, tal que, la ecuacionanterior se usa para determinar

= (n, T) (3.73)

que es una funcion de interes temodinamico.

47


49/67

3.4. Aplicaciones de la mecanica estadstica de Fer-mi - Dirac

Calculamos la contribucion electronica al calor especfico a volumen constante enmetales. El calor espefico se define como

cv =T

V

S

T

V

=u

T

V

(3.74)

donde u = U/V.La energa del gas de electrones en equilibrio termodinamico a una temperatura T es,

U = 2k

(k)f((k)) (3.75)

donde 2 es debido a la degeneracion de espn, (k) energa de los niveles de un electron

y f((k)) el numero promedio de electrones en el nivel (k).La funcion de Fermi f(),

f() =1

e() + 1(3.76)

depende de k solo a traves (k).Remplazando la sumatoria por una integral

U = 2V

(2)3

(k)f((k))dk (3.77)

y la densidad de energa por unidad de volumen,

u =U

V=

1

43

(k)f((k))dk (3.78)

El numero de partculas

N = 2k

f((k)) (3.79)

Remplazando la sumatoria por una integral

N = 2V

(2)3 f((k))dk (3.80)y la densidad de partculas por unidad de volumen o concentracion

n =N

V=

1

43

f((k))dk (3.81)

48


50/67

esta expresion se usa, por lo general, para determinar el potencial qumico () y yaque el numero de particulas es constante (no se crea ni aniquila parculas) y la tem-peratura es un parametro que se puede fijar experimentalmente.El la aproximacion de electrones independientes los niveles de un electron son especi-

ficados por el vector de onda k y el espn del electron s ( o ). La energa del electrones independiente del espn (cuando H = 0)

(k)) =h2k2

2m(3.82)

En el estado fundamental (T = 0) los niveles ocupados son aquellos con (k) < F,tal que la funcion distribucion es

fk,s =

1, (k) < F0, (k) > F

(3.83)

Para T = 0 (T 0) la funcion distribucion

lmT0

fk,s =

1, (k) <

0, (k) > (3.84)

Para que sea consistente en el lmite T 0

lmT0

= F (3.85)

el potencial qumico es igual a la energa de Fermi. Para metales, por lo general se

considera que = F hasta temeraturas del orden T = Tamb.En general

= F T = 0 (3.86) = F T = 0 (3.87)

Evaluamos integrales al forma

1

43 F((k))dk (3.88)

donde

F((k)) =

(k)f((k)), para la energa

f((k)), para el numero de partculas(3.89)

49


51/67

Usando el hecho de que el integrando depende de k solamente a traves de (k) =h2k2/2m. En coordenadas esfericas

1

43 F((k))dk =1

43 F((k))4k2dk=

k2dk

2F((k)) (3.90)

Haciendo un cambio de variable

=h2k2

2m

k2dk =m

h2

2m

h2

1/2d (3.91)

Entonces

1

43

F((k))dk =

m

h2

2m

h2

1/2F()d

=

g()F()d (3.92)

donde

g() =m

h2

2m

h2

1/2(3.93)

es denominado denisidad de estados.

Puesto que

1

V

k,s

F((k)) =1

43

F((k))dk =

g()F()d (3.94)

entonces

g()d =1

V

numero de niveles de un electronen el intervalo entre d y + d

(3.95)

donde g() es la densidad de niveles por unidad de energa.

Tambien podemos escribir

g() =3

2

n

F

F

1/2(3.96)

50


52/67

Densidad de niveles en el nivel de Fermi ( = F)

g(F) =3

2

n

F(3.97)

o (3.98)

g(kF) =mkF

h22(3.99)

Escribiendo densidad de energa y la concentracion en funcion de la densidad deestados:

u =

g()f()d (3.100)

n =

g()f()d (3.101)

Estas integrales tienen una estructura compleja y pueden ser resueltas realizandoun desarrollo en series de Taylos alrededor del potencial qumico y, que llamadaExpansion de Sommerfeld.Las dos integrales pueden ser resumidas en la siguiente integral

I=

H()f()d (3.102)

donde

H() =

g(), para la energag(), para la concentracion

(3.103)

En metales para toda temperatura de interes correponde a T TF (TF 104K).Para el gas electrones libres en 3D

H()

1/2 = 3/2, para la energa1/2, para la concentracion

(3.104)

las cuales son funciones suaves, bien comportadas.La figura () muestra en comportamiento de la funcion distribucion con la temperatura

f() =1

e(

)/kBT + 1(3.105)

y se observa que en T = 0 y T = 0 son diferentes solo alrededor de . Por lo tanto,los valores de las integrales para T = 0 y T = 0 son diferentes.Como H() no cambia rapidamente en el intervalo = kBT alrededor de , para

51


53/67

T = 0 hacemos una expansion de Taylor de H() alrededor de y tomamos losprimeros terminos.

H() =

n=01

n!

dnH()

dn = ( )n (3.106)Definimos

K() =

H()d (3.107)

tal que

H() =dK()

d(3.108)

Remplazando en la integral

I=

H()f()d =

dK()

df()d (3.109)

Integrando por partes

u = f() du = f

d

dv =K

d v = K() (3.110)

remplazando

I = K()f()|

K()f

d (3.111)

ya que K( ) = 0 y f( ) = 0, entonces

I =

K()

f

d (3.112)

La funcion K() es regular e infinitamente diferenciable alrededor de . Entonces,expandiendo K() en potencias de alrededor de

K() = K() +n=1

1n!

dnK()dn

=

( )n

= K() + ( ) dK()d

=

+1

2( )2 d

2K()

d2

=

+ (3.113)

52


54/67

Figura 3.5: .

Figura 3.6: .

Remplazando

I =

K() + ( ) dK()d

=

+1

2( )2 d

2K()

d2

=

+ f

d

= K()

f

d +

dK()

d

=

( )f

d

+

1

2

d2K()

d2 =

( )2

f

d + (3.114)Resolvemos cada una de las integrales:

53


55/67

La primera integral

f

d =

( )d = 1 (3.115)

La segunda integral

f

=

1

e() + 1

=

e()(e() + 1)

2

= 1e1

2() + e

1

2()

2 (3.116)vemos que f/ es una funcion par de ( ).

Por lo tanto, los terminos que contienen integrandos con potencias impares se anulan,entonces

I = K() + 12

d2K()

d2

=

( )2f

d + (3.117)

Veamos ahora el coeficiente de d2K()/d2 |, haciendo un cambio de variables x =( )

( )2f

d =

1

2

x2ex

(ex + 1)2dx

=2

2

0

x2ex

(ex + 1)2dx

=2

22

6(3.118)

Luego, remplazando

I =

H()f()d = K() +2

6(kBT)

2 d2K()

d2

=

+ (3.119)

Usando la definicion de K()

I=

H()f()d =

H()d +2

6

(kBT)2 d

d dK()

d = =

H()d +2

6(kBT)

2 dH()

d

=

(3.120)

Entonces, aplicando la expansion de Sommerfeld, para T TF, tenemos para:

54


56/67

La energa

u =

g()f()d

= 0

g()d + 26

(kBT)2 d

d(g())

=

+ 0(T4)

=0

g()d +2

6(kBT)

2 [g() + g()] + 0(T4) (3.121)

La concentracion

n =

g()f()d

=

0g()d +

2

6(kBT)

2

d

d(g())

=

+ 0(T4)

=0

g()d +2

6(kBT)

2g() + 0(T4) (3.122)

Para resolver la integral, para u y n, tenemos que llevar en cuenta la correccionalrededor del potencial qumico:

0H()d =

F0

H()d + ( F)H() (3.123)

Remplazando, tenemos

u = F0

g()d + ( F)Fg(F) + 2

6(kBT)

2 [Fg(F) + g(F)]

=F0

g()d + F

( F)g(F) +

2

6(kBT)

2g(F)

+2

6(kBT)

2g(F) + 0(T4) (3.124)

y

n =F0

g()d + ( F)Fg(F) + 2

6(kBT)

2 [Fg(F) + g(F)]

= F0

g()d + ( F)g(F) + 26

(kBT)2g(F) + 0(T

4) (3.125)

Los terminos independientes de T son los valores de u y n para el estado fundamental(T = 0).

55


57/67

Puesto que calculamos el calor espcfico, cv, para n constante (independiente de T),entonces

n =

F

0g()d (3.126)

Remplazando

0 = ( F)g(F) + 2

6(kBT)

2g(F) + 0(T4) (3.127)

despejando ,

= F 2

6(kBT)

2 g(F)

g(F)

= F

1

2

6(kBT)

2 g(F)

Fg(F)

(3.128)

Para electrones libres en 3D g 1/2, entonces

= F 2

6(kBT)

2 1

2F

= F

1 13

kBT

2F

2 (3.129)Remplazando en u

u =

F

0g()d +

2

6(kBT)

2g(F)

= u0 +2

6(kBT)

2g(F) (3.130)

donde u0 es la densidad de energa del estado fundamental (independiente de T).El calor especfico se define

cv =u

T

n

(3.131)

entonces

cv =2

3

k2BT g(F) (3.132)

Para el gas de electrones independientes en 3D, g(F) = 3n/2F, entonces

cv =2

2

kBT

F

nkB (3.133)

56


58/67

Una consecuencia importante de la estadstica de Femi - Dirac es que cv T lacual representa una buena prueba de la teora del gas de electrones de un metal.A altas temperaturas la contribucion de los iones es dominante, para T < Tamb cv T3y a muy bajas temperaturas la contribucion electronica se hace importante cv

T:

3.4.1. Capacidad termica experimental de los metales

A temperaturas bajas (T TF), la capacidad termica de los metales puede con-siderarse como la suma de las contribuciones de las vibraciones de la red (fonones) yde los electrones:

cv = T + AT3 (3.134)

donde y A son constantes caractersticas del material. El termino electronico eslineal en T y es el dominante a temperaturas suficientemente bajas. Es conveniente

presentar los valores experimentales de C como una representacion grafica de C/T enfuncion de T2:

cvT

= + AT2 (3.135)

ya que entonces los puntos deberan caer sobre una lnea recta con pendiente A yordenada en el origen .Los valores observados de los coeficientes tienen el orden de magnitud esperado,

Figura 3.7: .

pero frecuentemente no concuerdan mucho con el valor calculado a parttir del modelo

57


59/67

del gas de electrones libres de masa m.Como

=2

3k2Bg(F) (3.136)

con

g(F) =3

2

n

F=

3

2

2mn

h2k2F(3.137)

Es una practica comun expresar exp y (para el gas de electrones libre) en funcion deuna masa efetiva (termica), m, y la masa del electron, m, respectivamente, entonces:

exp

m

m(3.138)

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60/67

3.5. Ejerccios

1. Energa Termica - Cuando calentamos un metal, inicialmente a T = 0, solamente

los electrons dentro de una region kBT proxima al nivel de Fermi pueden ser excitadostermicamente.(a) Evalue la energa termica total de excitacion y demuestre que esta es proporcionala T2.(b) Evalue el calor especfico.

2. Potencial Qumico - La funcion de distribucion f() para un gas de fermioneses dada por:

f() =1

e((T))/kBT + 1

donde es llamado potencial qumico. A T = 0 se tiene = F. Para valores bajos

de T se puede demostrar que (T) difere muy poco de F.(a) Demuestre, usando la expansion

+

H()f()d =

H()d +2

6(kBT)

2H

() +74

360(kBT)

4H

() + . . .

que la densidad electronica, n =+

g()f()d, es igual a:

n = n0 + ( F)g(F) + 2

6(kBT)

2g

(F)

donde n0 = F

g()d.

(b) Suponga n constante e igual a n0. Calcule el potencial qumico.(Sugerencia: Descomponga la integral

g()d =F

g()d +F

g()d y con-sidere que g() es una funcion suave entorno de = F.)

(c) Demuestre, usando los resultados de los items (a) y (b), que la energa interna,u =

g()f()d, es igual a:

u = u0 +2

6(kBT)

2g(EF)

donde u0 =F0 g()d.

3. Corriente de Probabilidad - La corriente de probabilidad es definida en MecanicaCuantica por:

J(r, t) =h

2mi[ ]

59


61/67

Demuestre que si fuera real J = 0. Calcule J asociada a una partcula libre. Comparecon la expresion clasica para la corriente electrica debida a un unico electron: J = ev,donde v es la velocidad.

4. Condiciones de Born-von Karman - Demostrar las relaciones

kx =2nx

L, ky =

2nyL

, kz =2nz

L(3.139)

donde nx, ny, nz son enteros. Aplicando las condiciones de frontera de Born-von Kar-man

(x,y,z + L) = (x,y,z)

(x, y + L, z) = (x,y,z) (3.140)

(x + L,y,z) = (x,y,z)

a la funcion de onda de la partcula libre

(x,y,z) =1V

eikxxeikyyeikzz =1V

eikr (3.141)

5. Energa de Fermi de Metales Simples - Calcule n, kF, vF, TF y F para los siguientes

metales (Z es el numero de electrones de valencia):

Be (Z=2)Mg (Z=2)Nb (Z=1)

Fe (Z=2)Pb (Z=4)Zn (Z=2)

6. Densidad de Estados en 2D - Cual es la relacion entre n e kF en dos dimensiones?Demuestre que en este caso g() es independiente de .

7. Electrones en una Caja - (a) Calcule la magnitud del vector de onda de Fermi (enA1) para 4, 2 1021 electrones en una caja con un volumen de 1 cm3.(b) Calcule la energa de Fermi en eV.(c) Si los electrones son sustituidos por neutrones, cuales son los valores de kF e F?

8. Funcion de Distribucion vs. Funcion Delta - (a) Demuestre que

df()

d f()[1 f()]

60


62/67

donde f() es la funcion distribucion de Fermi-Dirac

f() =1

e((T))/kBT + 1(3.142)

(b) Graficar f()[1 f()] versus , y demuestre que cuando T es muy pequeno estafuncion puede ser aproximada por una funcion delta.

61


63/67

Soluciones de los Ejercicios

1.

(a) El numero de electrones en un intervalo kBT proximo al nivel de Fermi (Nf)

es dado porNf 2 g(F)kBT

donde el factor 2 es debido al espn. Por otro lado, la energa de cada electron enrelacion a F es aproximadamente igual a kBT. Entonces la energa total en esteintervalo, por unidad volumen (V) es

U NfV

kBT =2g(F)k

2B

VT2 T2

(b) El calor especfico sera

cv =UT

= 4g(F)k2B

VT T

2.

(a) A partir da expansion dada tenemos

n =

g()d +2

6(kBT)

2g() +74

360(kBT)

4g() + . . .

Separando la integral

g()d =F

g()d+F

g()d y despreciando el termi-no proporcional a T4 tenemos

n =F

g()d +F

g()d +2

6(kBT)

2g()

Suponiendo que g() sea una funcion suave en torno de = F el segundo terminodel lado derecho es g(F)( F). Considerando F en el calculo de la derivadade g() encontramos:

n = n0 + g(F)( F) + 2

6(kBT)

2g(F)

donde n0

= F g()d.(b) suponiendo n = n0 tenemos que = EF

2

6(kBT)

2 g(F)

g(F)

62


64/67

(c) A partir de la expansion dada en el item (a) tenemos

u =0

g()d +2

6(kBT)

2 (g() + g())

Considerando g() una funcion suave en torno de F, podemos separar la integralanterior en dos terminos, de 0 a F y de F a . Considerando g() g(F) eg() g(F), podemos escribir

u =F0

g()d + ( F)F(F) + 2

6(kBT)

2(Fg(F) + g(F))

Reagrupando los terminos obtenemos

u = u0 + F

( F)g(F) +

2

6(kBT)

2g(F)

+

2

6(kBT)

2g(F)

En el item (b) obtenemos que, para n = n0,

( F)g(F) + 2

6(kBT)

2g(F) = 0

y entonces la energa interna sera

u = u0 +2

6(kBT)

2g(F)

3. (a) Si fuera real tenemos que = y entonces

J = (h/2mi)[ ] = 0

(b) para la partcula libre tenemos (r) = eikr y (r) = eikr calculando e obtenemos

= ikeikr

= ikeikr

sustituyendo estos terminos en la expresion de J obtenemos

J(r, t) = (h/m)k(r, t) = pm

donde multiplicando el resultado anterior por la carga del electron, e, obtenemos elvector densidad de corriente electrica.

63


65/67

4.

Condiciones de frontera de Born-von Karman

(x,y,z + L) = (x,y,z)

(x, y + L, z) = (x,y,z)

(x + L,y,z) = (x,y,z)

Funcion de onda de la partcula libre:

(x,y,z) =1V

eikr

Aplicando la primera condicion de frontera tenemos

(x,y,z + L) = (x,y,z)

eikxxeikyyeikz(z+L) = eikxxeikyyeikzz

eikz(z+L) = eikzz

ekzL = 1

entoncescoskzL + isenkzL = 1

Esta condicion es satisfecha si

kz =2

Lnz

Anlogamente para las otras componentes, encontramos

ky =2

Lny

kx =2

Lnx

5.

kF = (32n)1/3

vF = hkF/m 3, 6 104n1/3

F = (hkF)2/2m 3, 6 1019n2/3

TF = F/kB 4, 2 1015n2/3

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donde kF, vF, F e TF tienen unidades de m1, m/s, eV y K, respectivamente. n es

dado por n = 6, 022 1024Zm/A, donde Z es el numero de electrones de valencia,m es la densidad del metal y A es el n umero de masa.

Los valores de n para el Be, Mg, Fe, Pb e Zn son, respectivamente: 24,7, 8,61,

5,56, 17,0, 13,2 e 13,2 veces 1028 eletrones/m3.

6.

(a) En dos dimensiones el crculo de Fermi tiene un area igual a k2F. El numerototal de electrones sera igual a dos veces el area del crculo dividida por la areaelemental, (2/L)2 = 42/A.

N = 2(k2F)A/(42) = k2FA/(2)

siendo n = N/A tenemos kF =

2n(b) En dos dimensiones tenemos

d2k

Af((k)) =

1

A

k0

20

kdkdf() =2

A

f()kdk

usando la relacion k =

2m/h2 obtenemos

2

A

f()kdk =

2m

Ah2

f()d

donde el termino entre parentesis es la funcion densidad de estados

g() =

2m

Ah2

y por lo tanto independiente de .

7.

(a)La magnitude del vector de onda de Fermi es dada por

kF =

32N

V

1/3

Sustituyendo los valores de N = 4, 2 1021

electrones y V = 1 cm3

= 106

m3

encontramoskF 5 109m1 = 0, 50 A1

(b)

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La energa de Fermi es dada por

F =h2k2F2m

Siendo h = 1, 05 1034 Js, m = 9, 11 1031 kg y kF = 5 109 m1 encontramosF 1, 51 1019J = 0, 94 eV

(c)Si los electrones fuesen sustituidos por neutrones, tendramos kF = 0, 50A

1,identico al valor calculado anteriormente para electrones, porque kF no depende dela masa y solamente depende de la densidad de partculas.

La energa de Fermi, por otro lado, sera modificada, ya que esta depende de lamasa de la partcula. La masa del neutron es mn = 1, 671027 kg, que es 1833 vecesmayor que la masa del electron (me), entonces

neutronF =h2k2F2mn

=1

1833

h2k2F2me

=eletronF1833

=0, 94

1833 5 104 0,5 meV

8.

(a)La funcion distribucion de Fermi-Dirac es dada por:

f() =1

e(F)/kBT + 1

Derivando en relacion a :

df()

d=

1

(e(F)/kBT + 1)21

kBTe(F)/kBT =

1

kBT

1

(e(F)/kBT + 1)

e(F)/kBT

e(F)/kBT + 1

df()

d=

1

kBTf()[1 f()]

o seadf()

d f()[1 f()]

(b)El producto f()[1 f()] demuestra la forma de una distribucion, del tipo gaus-

siana cuyo ancho es del orden de kBT y la altura del orden de 1/kBT alrededor deF .

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Resumen de Solidos