I. DEFINICIN DE ESPACIO VECTORIAL.Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar, dichas propiedades vistas en espacios n-dimensionales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vaco.Un espacio vectorial es la abstraccin de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifican operaciones ni vectores, entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operacin se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar, pero siempre cumpliendo con las propiedades. Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, segn sean los escalares.En el estudio de las matemticas o de la fsica, el trmino vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y direcciones, ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El trmino vector tambin se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

II. DEFINICIN DE SUB ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un sub espacio vectorial si contiene al vector K, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S. (Se puede decir que S es cerrado para las operaciones suma y producto por escalar.) Sea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y suponga que H es en s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espaciode V.Existen mltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrar un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.Un subconjunto no vaco de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:Reglas de cerradura para ver si un subconjunto novacies un sub espacioi)SixHyyH, entoncesx + yH.ii)SixH,entonces xHpara todo escalar .Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se debern cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deber demostrar que los axiomas i) a x) de la definicin cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicacin por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hiptesis, como los vectores en H son tambin vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii),v),vii),viii),ix) yx)] se cumplen.Este teorema demuestra que para probar siHes o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:x + yy X estn enHcuandoxyyestn enHy es un escalar.PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1.- El vector 0 es combinacin lineal de cualquier familia de vectores. Por tanto, si un sistema tiene al vector nulo, entonces el sistema es ligado.2.- El vector v es combinacin lineal de toda familia que contenga a v.3.- Si un sistema s de vectores es ligado, entonces tambin lo es cualquier sistema que resulte de aadir algn vector a S.4.- Si un sistema S de vectores es libre, entonces tambin lo es cualquier sistema que resulte de prescindir, de alguno de los vectores de S.5). El vector cero de V est en H.26). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v est en H.7). H es cerrado bajo la multiplicacin por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu est en H.

III. COMBINACIN LINEAL, INDEPENDENCIA NORMAL.Una combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros que tengan distinta direccin.Esta combinacin lineal es nica.Sean v1,v2,,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:1v1+2v2++nvndonde 1v1+2v2++nvn son escalares se denomina combinacin lineal de v1,v2,,vn. Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)Entonces se dice que V es una combinacin lineal de los 3 vectores i,j,k.Propiedades:1. - Si varios vectores son dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros.2. - Dos vectores del plano son dependientes si, y solo si, son paralelos.3. - Dos vectores del plano U= (U1,U2) Y V=(V1,V2) son dependientes si sus componentes son proporcionales.U = KV, (U1,U2) = K(V1,V2) U1/V1 = U2/V2 = K

INDEPENDENCIA LINEAL.Los vectores sonlinealmente independientessi tienendistinta direcciny sus componentesno son proporcionales.Un conjunto de vectores {v1,v2,,vk} es un espacio vectorial V eslinealmente dependientesi existen escalares c1,c2,,ck,al menos uno de los cuales no es cero, tales que:c1v1+c2v2++ckvk=0Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.Criterios de Independencia LinealSean u1, u2, ,ukk vectores en Rny A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene nicamentesolucin trivial.Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene solucionesno triviales (solucin mltiple).Si k=nLos vectores son linealmente independientessi A es invertibleSi k>nLos vectores son linealmente dependientes.Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es mltiplo escalar del otro.Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo ms n vectores.Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y slo si son coplanares, esto es, que estn en un mismo plano.Teoremas1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.2. Cualquier conjunto que contenga un nico vector diferente de cero, v 0, es linealmente independiente.3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 0,v2 0, es linealmente dependiente si, y slo si, uno de los vectores es mltiplo escalar del otro.4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.5. Cualquier subconjuntode un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

IV. BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASEUn conjunto de vectores S={v1, v2,, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.* S genera a V.* S es linealmente independienteUna base posee 2 caractersticas que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinacin lineal de los dems vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita. En caso contrario, V es de dimensin infinita.BASE.En trminos generales, una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en l definidas.La base es natural, estndar o cannica si los vectores v1, v2,, vnforman base para Rn.Si S={v1, v2,, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:1. V = c1v1+ c2v2++ cnvn2. V = k1v1+ k2v2++ knvnRestar 2-10 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2++(cn- kn) vn

UNICIDAD REPRESENTACIN DE LA BASESiS= {v1,v2,,vn} es una base de un espacio vectorialV, entonces todo vector enVpuede escribirse de una y solo una forma como combinacin lineal de vectores enS.Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse slo de una manera), se supone queutiene otra representacinu= b1v1+ b2v2++bnvn.Al restar la segunda representacin de la primera se obtiene:u-u= (c1-b1)v1+ (c2-b2)v2+ + (cn-bn)vn=0.Sin embargo como S es linealmente independiente, entonces la nica solucin de esta ecuacin es la trivial,c1-b1=0c2-b2=0,,cn-bn=0.DIMENSINSe llama dimensin de un espacio vectorial V al nmero de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).La dimensin de Rncon las operaciones normales esn.La dimensin de Pncon las operaciones normaleses n+1.La dimensin de Mm,ncon las operaciones normales es mn.SiWes un subespacio de un espacio vectorialn-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensin deWes finita y que la dimensin deWes menor o igual quen.Definicin de Espacio Rengln y Espacio Columna de una matrizSea A una matrizm x n.Elespacio renglndeAes el subespacio deRngenerado por los vectores rengln deA.Elespacio columnadeAes el subespacio deRngenerado por los vectores columna deA.Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio rengln de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones. El siguiente teorema establece que las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio rengln.Base para el Espacio Rengln de una MatrizSi una matrizAes equivalente por renglones a una matrizBque est en forma escalonada, entonces los vectores rengln deBdiferentes de cero, forman una base del espacio rengln deA.Definicin del Rango de una MatrizLa dimensin del espacio rengln (o columna) de una matriz A se llamarangode A y se denota por rango (A).

V. ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO, Y SUS PROPIEDADES.Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operacin que asigna a cada par de vectores u y v en V un nmero real .Un producto interior sobre V es una funcin que asocia un nmero real u, v con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:Propiedades:

i. (v, v) 0ii. (v,v) = 0 si y slo siv= 0.iii, (u, v+w) = (u, v)+ (u, w)iv. (u+v, w) = (u, w)+(v, w)v. (u, v) = (v, u)vi. (u, v) = (u, v)vii. (u,v) = (u, v)Espacios con producto interior:El producto interior euclidiano es solo uno ms de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notacin.u v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)u, v = producto interno general para espacio vectorial V.Propiedades de los productos interiores:1. 0, v = v, 0 = 02. u + v, w = u, w + v, w3. u, cv = cu, v.Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

VI. BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT.BASE ORTONORMALDefinicin de conjunto ortogonales y conjuntos ortonormalesUn conjuntoSde vectores en un espacioVcon producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores enSesortogonal, adems cada vector en este conjunto es unitario, entoncesSse denomina ortonormal.Proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt1.SeaB= {v1,v2, . . .,vn} una base de un espacioVcon producto interno2.SeaB= {w1,w2, . . .,wn} dondewiest dado por:w1= v1EntoncesBes una base ortogonal deV.3.Sea ui= wi w1entonces el conjuntoB={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal deV.

Para hallar una base ortonormal B= {u1,u2}, se usa la forma alternativa del proceso de ortonormalizacin de Gram- Schmidt como sigue. Descripcin del algoritmo de ortonormalizacin de GramSchmidtLos dos primeros pasos del proceso de GramSchmidtEl mtodo de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideono normalizado) de cualquier base no euclidea.En primer lugar tenemos que:

Es un vector ortogonal a. Entonces, dados los vectores, se define:

Generalizando en k:

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectoreses ortogonal.Para hallar los vectores ortonormales basta con dividir entre la norma de cada vector de la base hallada:Construccin de un conjunto ortonormal.