ROTACIONAL.

En coordenadas ortogonales está representado por:

∇× f = 1hr hθ hz [hr er hθ eθ hz e∅

∂∂r

∂∂θ

∂∂ z

hr f r hθ f θ hz f z]

Reemplazando en la transformación:

∇× f =1r [ er ℜθ e∅

∂∂r

∂∂θ

∂∂ z

f r rf θ f z]

EJEMPLO:

Determinar el rotacional de:

f = 1r2

er+r tanθer−z2ez

Solución

∆ ×f =1r [

er ℜθ ez

∂∂r

∂∂θ

∂∂ z

1r2

r2tanθ −z2]∇× f =1

r [er[ ∂∂θ

∂∂ z

r2 tanθ −z2]−ℜθ[ ∂∂θ

∂∂ z

1r2

−z2]+e z[ ∂∂r

∂∂θ

1r2

r2 tanθ ]][ ∂

∂θ∂

∂ zr2tanθ −z2]= ∂

∂θ(−z

2 )− ∂∂ z

r2tanθ=0

[ ∂∂ r

∂∂ z

1

r2−z2]= ∂

∂r(−z2 )− ∂

∂ z1

r2=0

[ ∂∂ r

∂∂θ

1

r2r2tanθ ]= ∂

∂ rr2tanθ−

∂∂θ

1

r2=2 rtanθ

Reemplazando:

∇× f =1r0er+0eθ+2rtanθ ez

∇× f =2 tanθez

LAPLACIANO.

En coordenadas ortogonales está representado por:

∇2. f = 1hr hθ hz

∂∂ r

hθ hz

hr

∂ f∂ r

+ ∂∂θ

hr hz

hθ

∂ f∂θ

+ ∂∂ z

hr hθ

hz

∂ f∂ z

Reemplazando en la transformación:

∇2. f =1r

∂∂ r

r∂ f∂ r

+ ∂∂θ1r

∂ f∂θ

+ ∂∂z

r∂ f∂ z

EJEMPLO:

Determinar el palaciano de:

f = r2

r+zcosθ

Solución:

∇2. f =1r

∂∂ r

r∂ fr

+ ∂∂θ1r

∂ f∂θ

+ ∂∂z

r∂ f∂ z

∂ f∂ r

=2 r (r )+z−r2

r+ z2cosθ= r2+2 rz

r+ z2cosθ

∂ f∂ r

=2 r (r )+z−r2

r+ z2cosθ= r2+2 rz

r+ z2cosθ

∂ f∂θ

=−r2

r+ zsenθ

∂ f∂ z

= −r 2

r+z2cosθ

∂∂ r

r∂ f∂ r

= ∂∂r

r ( r2+2 rzr+z2 )cosθ

∂∂ r

r∂ f∂ r

= ∂∂r

r3+2r 2 zr+z2

cosθ

∂∂ r

r∂ f∂ r

=3 r2+4 rz (r+z2 )−r3+2r 3+2 r2 z2 (r+z )

r+z4cosθ

∂∂ r

r∂ f∂ r

=3 r3+7 r2 z+4 r z2−2r3−4 r 2 zr+z3

cosθ

∂∂ r

r∂ f∂ r

= r3+3 r2 z+4 rz2

r+z3cosθ=

r (r2+3 rz+4 z2 )r+z3

cosθ

∂∂θ1r

∂ f∂θ

= ∂∂θ1r− r2

r+zsenθ= ∂

∂θ− r

r+zsenθ

∂∂θ1r

∂ f∂θ

= −rr+z

cosθ

∂∂ z

r∂ f∂ z

= ∂∂ z

− r3

r+z2cosθ

∂∂ z

r∂ f∂ z

=2 r3 (r+z )

r+z 4cosθ= 2 r3

r+z3cosθ

Reemplazando:

∇2. f =1r

rr 2+3 rz+4 z2

r+z3cosθ− r

r+zcosθ+ 2 r3

r+z3cosθ

∇2. f = r2+3 rz+4 z2

r+ z3cosθ− 1

r+zcosθ+ 2r2

r+z3cosθ

∇2. f =cosθr 2+3 rz+4 z2

r+z3− 1

r+z+ 2 r2

r+ z3

∇2. f = cosθr+z

r2+3rz+4 z2

r+z2−1+ 2 r2

r+z2

∇2. f = cosθr+z

3 r 2+3 rz+4 z2−r2−2 rz−z2

r+z2

∇2. f = cosθr+z

2 r2+rz+3 z2

r+z2

∇2. f =2 r2+rz+3 z2

r+z3cos θ

COORDENADAS ESFERICAS.

En coordenadas esféricas la posición del punto P se determina por las siguientes coordenadas:

0≤ r ≤+∞

0≤ θ≤ π

0≤∅ ≤2π

x=rcos∅ senθ

y=rsen∅ senθ

z=rcosθ

Ahora la trasformación de coordenadas ortogonales a esféricas estará dada por:

Vector tangente a la curva:

R=xi+ y j+ zk

R=rcos∅ senθ i+rsen∅ senθ j+rcosθ k

br=∂ R∂r

=cos∅ senθ i+sen∅ senθ j+cosθk

bθ=∂R∂θ

=rcos∅ cosθ i+rsen∅ cosθ j−rsenθ k

b∅=∂R∂z

=−rsen∅ senθ i+rcos∅ senθ j

Factores de escala:hr=br=1hθ=bθ=r

h∅=b∅=rsenθ

Vectores tangentes unitarios:

er=1hr

∂R∂r

=cos∅ senθ i+sen∅ senθ j+cosθk

eθ=1hθ

∂ R∂θ

=cos∅ cosθ i+sen∅ cosθ j−senθk

e∅=1h∅

∂ R∂ z

= 1rsenθ

−rsen∅ senθ i+rcos∅ senθ j=sen∅ i+cos∅ j

GRADIENTE:

En coordenadas ortogonales está representado por:

∇ f = 1hr

∂ f∂ r

er+1hθ

∂ f∂θ

eθ+1h∅

∂ f∂∅

e∅

Reemplazando en la transformación:

∇ f =∂ f∂r

er+1r

∂ f∂θ

eθ+1

rsenθ∂ f∂∅

e∅

Ejemplo:

Determinar el gradiente de:

f =1r

cosθsen∅

Solución:

∂ f∂ r

=−1r2

cosθsen∅

∂ f∂θ

=−1r

senθsen∅

∂ f∂∅

=1r

cosθcos∅

Reemplazando:

∇ f =−1r2

cosθsen∅ er−1

r2senθsen∅ eθ+

1rsenθ

1r

cosθcos∅ e∅

∇ f =−1r2

cosθsen∅ er−1

r2senθsen∅ eθ+

1

r2ctgθcos∅ e∅

∇ f = 1r2

(−cosθsen∅ er−senθsen∅ eθ+ctgθcos∅ e∅)

DEVERGENCIA.

En coordenadas ortogonales está representado por:

f =f r er+f θ eθ+f z e∅

∇ . f= 1hr hθh∅

∂∂r

hθ h∅ f r+∂

∂θhr h∅ f θ+

∂∂∅

hr hθ f ∅

Reemplazando en la transformación:

∇ . f= 1

r2 senθ

∂∂r

r2 senθ f r+∂

∂θrsenθ f θ+

∂∂∅

rf ∅

Ejemplo:

Determinar si el siguiente campo es selenoidal:

f =2cosθ

r3er+

senθ

r3eθ

Solución:

∇ . f=1

r2 senθ ( ∂∂ r

r2senθ

2cosθ

r3+

∂∂θ

rsenθsenθ

r3+

∂∂∅0)

∇ . f= 1r2 senθ ( ∂

∂ r2 senθcosθ

r+ ∂

∂θsen2θ

r2 )∇ . f=

1

r2 senθ (−2 senθcosθ

r2+2 senθcosθ

r2 )∇ . f = 1

r2 senθ(0)

∇ . f=0→esuncampo selenoidal .

ROTACIONAL.

En coordenadas ortogonales está representada por:

∇× f = 1hr hθ h∅ [hr er hθ eθ h∅ e∅

∂∂r

∂∂θ

∂∂∅

hr f r hθ f θ h∅ f ∅]

Reemplazando en la transformación:

∇× f = 1r2 senθ [ e1 r e1 rsenθe1

∂∂r

∂∂θ

∂∂∅

f r r f θ rsenθ f ∅]

Ejemplo:

Determinar si el siguiente campo es conservativo:

f =2cosθ

r3er+

senθ

r3eθ

Solución:

∇×f = 1

r2 senθ [e1 r e1 rsenθ e1∂∂r

∂∂θ

∂∂∅

2cosθr3

rsenθ

r3rsenθ(0)]

∇× f =1

r2 senθe1[ ∂

∂θ∂

∂∅senθ

r20 ]−r e1[ ∂

∂r∂

∂∅2cosθ

r30 ]+rsenθ e1[ ∂

∂r∂

∂θ2cosθ

r3senθ

r2]

[ ∂∂θ

∂∂∅

senθ

r 20 ]=0 ;[ ∂

∂r∂

∂∅2cosθ

r30 ]=0

[ ∂∂r

∂∂θ

2cosθ

r3senθ

r2]= ∂

∂rsenθ

r2−

∂∂θ2cosθ

r3

[ ∂∂r

∂∂θ

2cosθ

r3senθ

r2]=2 senθ

r3+2 senθ

r3=0

Reemplazando:

∇× f = 1

r2 senθ¿¿

∇× f =0→el campo esconservativo .

LAPLACIANO.

En coordenadas ortogonales está dado por:

∇2. f = 1hr hθ h∅

( ∂∂r

hθ h∅

hr

∂ f∂ r

+ ∂∂θ

hr h∅

hθ

∂ f∂θ

+ ∂∂∅

hr hθ

h∅

∂ f∂∅ )

Reemplazando en la transformación:

∇2. f = 1

r2 senθ ( ∂∂r

r2 senθ∂ f∂ r

+ ∂∂θ

senθ∂ f∂θ

+ ∂∂∅

1senθ

∂ f∂∅ )

Ejemplo:

Determinar el laplaciano de:

f = r2

∅+θcosθ

Solución:

∂ f∂ r

= 2 r∅+θ

cosθ

∂ f∂θ

=r2−senθ(∅+θ)−cosθ

(∅+θ)2

∂ f∂∅

= −r2

∅+θ2c osθ

∂∂r

r2 senθ∂ f∂r

= ∂∂r

2 r3

∅+θsenθcosθ

∂∂ r

r2 senθ∂ f∂r

= 6 r2

(∅+θ )senθcosθ …….( A)

∂∂θ

senθ∂ f∂θ

= ∂∂θ

r2−sen2θ(∅+θ)−senθcosθ

(∅+θ)2

∂∂θ

senθ∂ f∂θ

=r2−sen2θ (∅+θ )2− (∅+θ )+3 sen2θ (∅+θ )−sen2θ

(∅+θ)3

∂∂θ

senθ∂ f∂θ

=r2(∅+θ ) (−sen2θ (∅+θ )−1+3 sen2θ )−sen 2θ

(∅+θ )3……. (B )

∂∂∅

1senθ

∂ f∂∅

= ∂∂∅

− r2

(∅+θ )2tanθ

∂∂∅

1senθ

∂ f∂∅

= 2r2

(∅+θ )3tanθ……. (C )

Reemplazando:

∇2. f = 1

r2 senθ( A+B+C )

A1

r2 senθ= 6 r2

(∅+θ )senθcosθ( 1

r2 senθ )= 6(∅+θ )

cosθ …….(P)

B1

r2 senθ= 1

(∅+θ )3(∅+θ )−cosθ (∅+θ )− 1

senθ+3 senθ−2cosθ

B1

r2 senθ= 1

(∅+θ )2−cosθ (∅+θ ) 1

senθ+3 senθ−2cosθ …….(Q)

C1

r2 senθ= 2 r2

(∅+θ )3tanθ ( 1

r2 senθ )C

1

r2 senθ= 2

(∅+θ )3tanθsecθ …….(R)

∇2. f =P+Q+R

∇2. f=6

(∅+θ )cosθ+( 1

(∅+θ )2−cosθ (∅+θ ) 1

senθ+3 senθ−2cosθ)+ 2

(∅+θ )3tanθsecθ

WRONSKIANO.

Es una función llamada así por el matemático polaco Josef Hoene – Wronski tiene gran importancia en el estudio de ecuaciones diferenciales.

Dado un conjunto de N funciones está definida por:

W ( f 1… …….. f n )=[ f 1 f 2f '1 f '

2

… f n

⋯ f 'n

⋮ ⋮f 1

(n−1) f 1(n−1)

⋱ ⋮… f 1

(n−1)]El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer reglón, la primera derivada e cada función en el segundo reglón y así sucesivamente hasta la derivada n-1 formando así una matriz llamada cuadrada llamada muchas veces matriz fundamental.

EL WRONSKIANO Y LA INDEPENDENCIA LINEAL.

El wronskiano es usado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado.

Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

W f 1……… .. f n≠0

Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente es un intervalo eso implica obligatoriamente que el wronskiano es igual a cero, pero esta proposición no implica la primera.Por ejemplo comprobar si las siguientes funciones son linealmente independientes:

y1=ex ; y2=e− x

Solución:

W ( y1 , y2)=[ y1 y2y '1 y ' 2]

y '1=ex

y '2=−e−x

Reemplazando:

W ( y1 , y2)=[e x e−x

e x −e−x ]W ( y1 , y2)=−¿

EL WRONSKIANO Y LA SOLUCION DE EDUCACIONES DIFERENCIALES.

Se usa el método de variación de parámetros donde el wronskiano estará dado por la función complementaria ( yc).

Sea la ecuación diferencial:

y ' '+ p ( x ) y '+q (x ) y=f ( x )

donde : yc= y1+ y2

TENSORES.

TENSORES DE SEGUNDO ORDEN:

Observemos el convenio de sumación de los índices repetidos o también denominado notación indicial, así tendremos:

O todavía mas simplificadamente: ajxj adoptando el convenio de que cuando aparezcan un índice repetido se entenderá como una suma desde el valor uno hasta n.

Se denomina tensor de segundo orden o diacticas cuando la expresión indicial tiene dos índices libres.

La representación de este tensor será: