DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA

MATEMÁTICAS III

SEGUNDO SEMESTRE 2011

Profesores: José Luis Bonifaz (A) Jefes de prácticas: Bill Gee (A)

Oswaldo Velásquez (B) Gonzalo Chávez (B)

Carlos Aparicio (C) Fabricio Chala (C)

Fernando Ruíz

Enrique Valeriano (D) Enrique Chávez (D)

Diego Novoa

Solución de la Práctica Dirigida Nº 5

Sucesiones en Rn, límites y continuidad de funciones, derivadas parciales y direccionales, y

transformaciones de Rn a Rm

1. Sea nna )( la sucesión definida por .1

12

n

nan

a) Determine si nna )( es monótona y especifique el tipo de monotonía de ser el caso.

Solución.

Únicamente, debe iterarse el valor de n desde cero hasta un número natural prudente para

verificar si existe monotonía o no.

b) Muestre que nna )( es convergente y calcule su límite L.

Solución.

2 1lim lim

1n

n n

na

n

Por la regla de L’ Hôpital, deducimos que:

2 1lim lim 2

1n

n n

nL a

n

Por tanto, es convergente y su límite es 2.

c) Determine 0n tal que, 410 Lan para todo .0nn

Solución.

40

0

4 4

0

4 4

0

4 4

0 0

2 12 10

1

110 10

1

110 10

1

10 ( 1) 1 10 ( 1)

n

n

n

n

n n

Como nos interesa saber, únicamente, 0n decidimos por optar por la parte positiva de la

inecuación:

4

0

4

0

0

1 10 ( 1)

10 1

9,999

n

n

n

2. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión .)1)(2(

123

0

2

nnn

nn

Solución.

2

123limlim

2

2

nn

nnS

nn

n

Por la regla de L’Hôspital:

32

6lim

12

26limlim

nnn

n n

nS

Por lo tanto, la sucesión converge a 3.

3. Una de las propiedades fundamentales del Análisis Real es el Teorema de Bolzano-Weierstrass

para sucesiones reales: “Toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión

convergente”. Analice solo el caso donde .)( 2mx

Solución.

Por simplicidad en la notación, haremos la demostración para el caso 2n . Sea 2)( mx una

sucesión acotada, luego ))(())(( 21 mm xyx son sucesiones acotadas.

Como ))(( 1 mx es acotada, por el Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones reales,

tenemos que existe ))(())(( 11 mk xxm

tal que 11 )(lim xxmk

m

.

Consideremos ahora la sucesión ))(( 2 mkx , la cual es acotada; usando nuevamente el

Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones reales, tenemos que existe

))(())(( 22 mmk kj xx tal que 22 ))((lim xxmkjm

.

Observe que ))(())(( 11 mmk kj xx , y se sabe que, si axmm

lim entonces toda subsucesión de

)( mx converge hacia a.

Entonces, tenemos que 11 ))((lim xxmkjm

. Si definimos

2

21 ),( xxx , entonces

)2,1())((lim

ixx ijim mk

, es decir xxmkjm

lim . De esta manera, hemos construido

)()(mmk kj xx subsucesión convergente.

4. Dada la función 2:Gf y )(0 GAdhx si existe Lxfxx

)(lim0

dicho límite es único.

Con el enunciado anterior, demuestre que el límite de la función 2121 ),( xxxxf vale 0, cuando el

vector ),( 21 xx tiende al vector nulo. (Note que )(0,00 GAdhxt )

Solución.

Aplicando directamente la definición dada, consideremos un número positivo y elijamos, a partir

de éste, otro también positivo )( , tal que si se verifica que

0),(

0

021

2

1xxf

x

x

Pues bien, elijamos )( , entonces tenemos

0

0

22

11

xx

xx

Veamos entonces cuánto vale 0),( 21 xxf

2

212121 00),( xxxxxxf

Como queríamos demostrar, ya que

0)(0,,0 xfx

5. Mediante los procedimientos de límites iterados y límites direccionales, demuestre la existencia y la

unicidad del límite de la función 22

32

),(yx

yxyxf

siempre que

0),( tyx y considere, además,

que .0,00

tx

Solución.

Utilizando los límites iterados:

Si 0y , tenemos que

yyx

yxyxf

xx

22

32

00lim),(lim

Si 0y

1lim)(lim2

2

00

0

x

xxf

xx

Por tanto,

01

0)(2

ysi

ysiyyf

Así pues,

0lim)(lim0

20

yyfyy

Por otro lado, calculemos )(1 xf

00

01)(

0lim)0(,0

1lim)(,0

1

2

3

01

22

32

01

xsi

xsixf

y

yfxsi

yx

yxxfxsi

y

y

Por tanto,

11lim)(lim0

10

xx

xf

Por lo cual ambos límites iterados existen y son distintos; no obstante, esto no garantiza que el

límite exista como único.

Utilizando los límites direccionales:

Tomando límites direccionales según rectas nos quedaría:

mxyyxfx

);,(lim0

222

332

0lim

xmx

xmx

x

)1(

)1(lim

22

32

0 mx

xmx

x

222

32

0 1

1lim

myx

yx

x

El límite depende de la pendiente de la recta; por ende, el límite no existe.

6. Demuestre que la función real 2

2

2

121 ),( xxxxf es definida continua para todo

.),( 2

21 txx Puede utilizar para su facilidad la composición de funciones.

Solución.

Obsérvese cómo puede obtenerse f como composición de dos funciones, la primera f1 de 2

R en R

definida de tal manera que a todo par de elementos de le hace corresponder la suma de sus

cuadrados:

1 2 2

1 2 1 2( , )f

x x x x

Y la segunda, f2 de

R en R definida de tal manera que a todo número real positivo, le hace

corresponder su raíz cuadrada.

2fy y

Es, por tanto, una función continua, puesto que f1 y f2 lo son.

7. Dada la función de producción, obtenga mediante límites:

,),( 2

2

121 xxxxf

a) La productividad marginal del primer factor utilizando la derivada parcial, si se sabe que el

segundo factor no varía.

Solución.

La productividad marginal del primer favor vendrá dada por

),()(lim 21211

0

xxfxxf

2

2

12

2

1

0

)(lim

xxxx

212

2

21

02

2lim xx

xxx

b) La productividad marginal conjunta utilizando la noción de derivada direccional, si el primer

factor aumenta en una unidad y el segundo se reduce en dos unidades.

Solución.

La derivada direccional de f según el vector nv en el punto Gx 0 se define como:

)()(lim)( 00

00

xfvxfxfDv

Nuestro problema enuncia que las productividades marginales irán en dirección del vector t)2,1( :

)()(lim)(

0

xfvxfxfDv

),())2,1(),((lim 2121

0

xxfxxf

),()2,(lim 2121

0

xxfxxf

2

2

12

2

1

0

)2()(lim

xxxx

)2()4()22(lim

3

12

22

121

0

xxxxx

2

121 22 xxx

2

121 )2()2(1 xxx

)2,1(),2( 2

121

txxx

vxf t))((

Es decir, cuando estamos en el punto ),( 21 xxx y nos movemos en la dirección definida por el

vector )2,1( la tendencia de la variación que sufre la función f vendrá dada por 2

121 22 xxx .

8. Si la función mnGf : es diferenciable en ,Dx entonces la diferencial viene

caracterizada por la matriz jacobiana, de forma que:

vxJfvxDfv

xDf

t

mn

)()()(

:)(

Solución.

Revisar los libros y apuntes. Esta relación entre la matriz jacobiana y el vector gradiente de una

función vectorial y escalar, respectivamente, ha sido expuesta en clase. No olvidar sus notables

diferencias para el cálculo de la diferencial de una función.

9. Dadas las funciones responden a las transformaciones lineales: 33: F y

23: G y,

t

ty

vuwvuwvuG

zyxzxzyxF

3/12

2/12

,),,(

)ln(,,),,(

a) Si se forma la composición de funciones ,FG calcule la diferencial de dicha composición

evaluada en el vector .1,1,1t

Solución.

Primero que nada, vemos los órdenes de las transformaciones:

33: F y 23: G

Dado que existe concordancia entre el output de F y el input de G, entonces es factible realizar

la composición. Así:

t

GF

zyxxdondexFGxFG ,,),()(

233

Jacobiano de F:

zyz

xxyx

zx

fDfDfD

fDfDfD

fDfDfD

xFJ yy

zyx

zyx

zyx

1ln0

0ln

5.002

)( 1

5.0

333

222

111

Jacobiano de G:

uvw

u

gDgDgD

gDgDgDxGJ

mvu

mvu3/2

222

111

3

1012

)(

Por la regla de la cadena:

FDGDFGD

El punto de evaluación es .1,1,1t

Para ello, debemos tener en cuenta que:

1,10,1,00,1,01,1,1 GyF

Por tanto: )1,1(1,1,1 FG

003/1

001

100

001

2/102

03/10

0101,1,1

1,1,10,1,01,1,1

FGD

FDGDFGD

b) Halle el vector aproximado de la composición FG en el punto .02.1,99.0,01.1t

Solución.

La aproximación se da alrededor del punto .1,1,1t

)1,1,1(1,1,102.1,99.0,01.1 FGdFGFG

El vector de cambios: x

02.0

01.0

01.0

102.1

199.0

101.1

xd

La matriz diferencial de la función compuesta es:

)3/1(01.0

01.0

02.0

01.0

01.0

003/1

001

xdFGDFGd

Finalmente, dado que de a), sabemos que :)1,1(1,1,1 FG

003.1

01.1

)3/1(01.0

01.0

1

102.1,99.0,01.1FG

Sujeto a errores del autor

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