Schroedinger y la matemática del espacio-tiempo

Escrito por Redacción Matematicalia lunes, 22 de noviembre de 2010 Recibido: martes, 09 febrero 2010; revisado: sábado, 31 julio 2010

Schroedinger y la matemática del espacio-tiempo

Rafael Andrés Alemañ Berenguer Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Miguel Hernández de Elche e-mail: [email protected] página web: http://raalbe.jimdo.com El austriaco Erwin Schroedinger (1887-1961) debe su justa reputación al decisivo papel desempeñado entre los fundadores de la mecánicacuántica, cuya controvertida interpretación nunca dejó de subrayar. Fruto de tales esfuerzos es la conocida ecuación de onda de Schroedinger,que actúa en la teoría cuántica tal como la segunda ley de Newton opera en la mecánica clásica. Se trata de una ecuación que, a partir de unafunción de ondas específica, predice analíticamente la probabilidad de los distintos estados que el sistema cuántico puede alcanzar con el

tiempo. Schroedinger, más que deducir, postuló en 1926 su famosa ecuación de onda[1] para una partícula no relativista representada por unafunción ψ, que en el caso estacionario era:

.

Como de costumbre, 2 es el operador laplaciano (de las derivadas parciales segundas con respecto a las coordenadas de posición), m la masade la partícula, V el potencial al que se halle sometida, y E la energía total. De manera condensada esta ecuación suele escribirse ψ = Eψ,donde es el operador hamiltoniano, que simboliza el conjunto de los términos del primer miembro. Si el sistema depende del tiempo, tenemosa su vez:

.

Schroedinger nunca fue ajeno a los problemas conceptuales entrañados por el micromundo que él mismo tanto había contribuido a explorar. Lacélebre paradoja del “gato de Schroedinger” condensa magistralmente su perplejidad ante las consecuencias relacionadas con el carácter noclásico de la información contenida en la función de onda, y concretamente con el principio de superposición de estados cuánticos, que no semanifiesta a escala macroscópica aunque aparentemente habría de hacerlo. Mostró también un gran interés en explicar en términos de la teoría cuántica las bases moleculares de la biología. Y nunca postergó susinquietudes científicas; ni tan si quiera cuando la ascensión del nazismo en Europa central le obligó a exiliarse en Irlanda. Allí permanecióejerciendo brillantemente sus labores investigadoras y docentes hasta que el final de la Segunda Guerra Mundial le permitió regresar a Austria,donde falleció a los 73 años. Como se ha dicho, Schroedinger es mucho más conocido por su participación en el origen de la física cuántica que por sus aportaciones a lateoría del campo unificado, principal preocupación de Einstein a partir de 1917. Sin embargo, precisamente a causa de su destacado papel enuno de los descubrimientos clave en la física del siglo XX, no pudo evitar la atracción de la empresa unificadora. Schrodinger conocía muy bienla Relatividad General de Einstein, y también sabía las tremendas dificultades que entrañaba pretender su conjunción con la teoría cuántica. Talvez por eso eligió el mismo camino que la mayoría de sus contemporáneos: ensayar en primer lugar una posible combinación de la gravedad yel electromagnetismo. No lo consiguió, pero con su empeño nos legó algunas de las más bellas tentativas dirigidas a construir una teoría

unitaria de campos basada tan solo en el concepto de afinidad geométrica[2]. Menos conocida aún es su faceta de divulgador científico, una tarea que Schroedinger cultivó con amenidad y maestría envidiables.Schroedinger publicó un delicioso manual en el que venía a resumir con magistral elegancia los rasgos básicos del espacio-tiempo relativista y

las posibles extensiones de la Relatividad General[3]. Tales ampliaciones apuntaban claro está hacia una teoría de unificación que reuniesela gravedad y el electromagnetismo en términos de una geometría puramente afín. En su primera parte, el libro comienza con una presentación clásica del análisis tensorial, en mitad de la cual Schroedinger desliza un

comentario que demuestra una preocupación por el rigor formal harto inusual entre los físicos[4]:

“Por convenio general, la escritura de los indicadores como subíndices o como superíndices sirve para distinguir el comportamiento«covariante» del «contravariante», respectivamente. Los propios dxk son así un vector contravariante (infinitesimal), de hecho suprototipo. En relación a nuestro convenio, algunos escriben xk en lugar de xk. No creo que esto contribuya a la consistencia, ya que (i)los propios xk no son un vector en modo alguno, y (ii) los símbolos ∂ /∂xk pueden considerarse en muchos aspectos una entidadcovariante (simbólica) …”

Desde este punto de vista, cualquier objeto matemático que se transforme como una variación de coordenadas, dxμ, se denomina vectorcontravariante o, más correctamente, componente contravariante de un vector. Proyectando este vector sobre los vectores unitarios de la base

se ve fácilmente que

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y

Definimos a continuación el espacio dual formado por los vectores unitarios tales que el producto de un vector de la base del espaciooriginal por los de la base del espacio dual conduce a un escalar de la forma . Los componentes covariantes del vector se

obtienen proyectando sobre la base : . Entonces, y sin excesivo rigor, diremos que un tensor consiste en una función lineal

que asocia un número real a p vectores contravariantes y a q vectores covariantes. De acuerdo con esto, los componentes del tensor métrico de Minkowski , característico de la geometría de la relatividad especial, setransforman como el producto de las componentes de dos vectores covariantes, y por ello la métrica minkowskiana viene dada por un tensorcovariante de rango 2. En general, podemos definir componentes covariantes , contravariantes , o mixtos , de un tensor . En estecaso se trata de un tensor de segundo rango, pero nada nos impide ampliar la discusión: los tensores de orden cero son los escalares y los deprimer orden son los vectores del espacio considerado. El planteamiento inicial de Schroedinger comienza en una variedad disconexa. Como sabemos, una variedad se denomina disconexa literalmente, “sin conexión” cuando las magnitudes en ella definidas sólo pueden estudiarse punto a punto. Es decir, las propiedades devectores o tensores, por ejemplo, deben definirse por separado en cada punto de la variedad, pues carecemos todavía de leyes que relacionenunos puntos con otros (por eso se llama disconexa). En esta etapa de la exposición, Schroedinger se limita a caracterizar los tensores por suinvariancia general frente a transformaciones continuas de coordenadas siempre en referencia a un mismo punto y a enumerar identidadesinteresantes entre ellos definidas de ese modo. Pero de inmediato se echa en falta mayor libertad de acción, lo que sugiere la necesidad de ampliar el formalismo. Schroedinger prepara el

camino a sus lectores[5]:

“Recordemos, no obstante, que hemos basado la noción de tensores en la de los vectores, y esta última en la noción de gradiente, ydifícilmente existe una alternativa sencilla y natural a este procedimiento. Ahora bien, al formar un gradiente teníamos realmente quecomparar los valores de un invariante en puntos diferentes, y al mismo tiempo dimos el primer paso en la introducción del análisis ennuestro continuo […].”

Erwin Schroedinger. Y dado que la derivada de una componente tensorial, Ak,i, carece de significado por obtenerse de la comparación de tensores referidos a

distintos puntos, Schroedinger añade[6]:

“[…] Ni siquiera una pregunta tan simple como esta tiene algún sentido: ¿cuándo un campo vectorial, Ak, debe ser consideradoconstante a través de una cierta región? Ya que la anulación de todas las derivadas Ak,i no es […] una propiedad independiente delsistema de referencia, porque Ak,i no es un tensor.”

El siguiente paso, obviamente, consiste en introducir la idea de conexión afín, o afinidad, como un conjunto de funciones de las derivadas de lascoordenadas que nos permiten calcular el cambio de las magnitudes tensoriales al desplazarlas de un punto a otro de nuestra variedad, lo quenos sitúa en una variedad afínmente conexa. En concreto, la afinidad nos proporciona la noción de derivada covariante llamada “derivadainvariante” por Schroedinger y con ello cobra sentido el concepto de transporte paralelo de un tensor a lo largo de una cierta trayectoria (lageodésica afín o “curva autoparalela”). De todo ello se ocupa la parte II del texto de Schroedinger. Cuando transportamos un vector o un tensor paralelamente a sí mismos a lo largo de una trayectoria cerrada, sus valores finales son distintosde los iniciales. O dicho de otro modo, el resultado de transportar un tensor cualquiera de un punto a otro de nuestra variedad afínmente conexadependerá del camino escogido para llevar a cabo el desplazamiento. En caso contrario si el transporte es independiente del trayecto recorrido, se dice que la afinidad es integrable. La integrabilidad, o no, de la conexión afín depende a su vez de la anulación de un tensor de cuarto

rango, el tensor de curvatura de Riemann-Christoffel. Pero la conexión afín todavía puede dar más de sí. Al transportar paralelamente un vector tangente desde un punto a otro de una curvageodésica, obtenemos un patrón natural (natural con respecto a la afinidad escogida, por supuesto) para comparar el tamaño o la “longitud”, sise quiere de dos tramos de dicha curva. Basta comparar el número de desplazamientos infinitesimales necesarios para que nuestro vectorrecorra ambos fragmentos de la curva. Tomando el límite de la proporción, o el cociente, entre el número de desplazamientos implicados encada recorrido, será legítimo considerar mayor aquel tramo para el cual se precise mayor número de desplazamientos. Como afirmaSchroedinger:

“Es algo totalmente destacable el que una conexión puramente afín haga posible una comparación de longitudes (lo cual es unconcepto métrico) aunque sólo sea a lo largo de una geodésica. Ciertamente, no se proporciona ninguna comparación natural entregeodésicas diferentes […].”

Sabiendo esto, estamos ya preparados para la introducción del concepto de métrica en la parte III del libro de Schroedinger. En efecto, enbusca del concepto de distancia, se hace imperativo admitir el tensor métrico como ingrediente esencial en la estructura de nuestra variedadafín, que ahora pasa a llamarse “afín-métrica”. Si la conexión afín nos permitía definir el transporte paralelo, las curvas geodésicas y las



derivadas covariantes, gracias a la idea de conexión métrica contaremos con la noción de distancia y la posibilidad de intercambiar el caráctercovariante y contravariante de las componentes de un tensor (“subir y bajar índices”). Con la conexión afín, Γi

kl, y la conexión métrica, gik, a nuestra disposición (ambas supuestas simétricas), adoptamos la hipótesis geométrica dela gravitación sugerida por Einstein, según la cual en ausencia de gravedad la Γ del espacio-tiempo es integrable; en otras, palabras el tensorde curvatura se anula, Ri

jkl = 0. Cuando la gravedad se halla presente pero no hay materia en la región considerada, las ecuaciones a imponersobre la afinidad vienen dadas por Ri

jki = Rjk = 0. Y en presencia de materia, se tienen las conocidas ecuaciones de Einstein, Rkl − Rgkl = κTkl.Obviamente, careciendo del tensor métrico no hubiésemos podido incluir el término − Rgkl, y las ecuaciones hubieran resultado incorrectas. Las dificultades comienzan cuando pretendemos extender este esquema geométrico para incluir el electromagnetismo suprimiendo el requisitode simetría para la métrica. Admitiendo la posibilidad de una gik asimétrica nos dice Schroedinger nos quedamos sin saber muy bien quédebería ser en ese caso la derivada covariante de la métrica, gik;l. Usando el método de Palatini (se manipulan variacionalmente las Γi

kl y las gikcomo si fuesen funciones independientes) cuando la métrica y la afinidad son ambas asimétricas, se obtiene la teoría de Einstein-Strauss.Schrodinger no se contenta con ello y pretende llegar más allá sirviéndose tan solo de la conexión afín. Eddington y Einstein trataron de obteneruna teoría puramente afín sin éxito, pero en opinión del físico austriaco el fracaso se debió a su deseo de retener la simetría en lascomponentes de la afinidad. Liberado de tal exigencia, Schroedinger adopta como punto de partida la ecuación Rik = 0, que deberíamosrecuperar en el caso gravitatorio puro, puesto que el tensor Rik puede construirse empleando únicamente la conexión afín. Acto seguido, seplantea cómo conseguir un integrando del que se deducirían variacionalmente las ecuaciones de campo de la nueva teoría si no contamos conun tensor métrico que nos permita contraer otros tensores ni subir o bajar sus índices. La respuesta pasa por escoger una función lagrangiana proporcional al invariante escalar más simple que cabe construir partiendo de Rik,esto es, la raíz cuadrada del determinante de dicho tensor. Variamos esta lagrangiana con respecto a Rik, y obtenemos una densidadcontravariante de segundo rango que por conveniencia −como después se aclarará llamamos gik. Con ello, Schrodinger sostiene quedisponemos de una relación directa entre la conexión afín (pues la función se obtiene a partir de Rik, que a su vez depende tan solo de Γi

kl) y lamétrica (representada por el papel que gik desempeñará en adelante). Sustituyendo esa relación en la teoría de Einstein-Strauss(concretamente en la derivada invariante que estos autores desarrollan con un orden peculiar de los índices), llegamos a unas ecuaciones enlas que la única variable es, efectivamente, la afinidad. Pero, como el mismo Schrodinger señala, todo el razonamiento anterior sería igualmente válido para cualquier función que sólo dependiesede Rik. En realidad, no hay un criterio unívoco para definir en general la forma concreta de la lagrangiana. Ese es el motivo de que se escoja lasimplicidad matemática como guía de selección. Y el físico austriaco, en la siguiente etapa de su procedimiento, se muestra dispuesto a pagarun pequeño precio de complicación formal a cambio de lo que él estima una importante ventaja teórica. Se trata de que las dos siguientesigualdades,

y Rik = λgik,

son de hecho equivalentes, con el parámetro λ igual a la constante cosmológica en el caso simétrico (cuando la métrica y la afinidad sonasimétricas queda como una constante propia de la teoría). Por ello Schroedinger aduce como ventaja que la teoría puramente afín permitededucir de modo natural el término cosmológico en las ecuaciones relativistas de la gravitación pura. Con la palabra “natural”, Schroedinger serefiere al hecho de que admitiendo Rik = λgik ocurre, en efecto, que la derivada de con respecto a Rik es igual a gik. Y gik, entendida como unadensidad tensorial contravariante de segundo rango, reproduce las mismas reglas de derivación covariante que la métrica con una conexiónafín simétrica. Es decir, recuperaríamos la compatibilidad entre la conexión métrica y la conexión afín (las geodesias métricas coincidirían conlas afines) cuando ambas fuesen simétricas. Pese a todo, Schroedinger deja translucir su insatisfacción en las últimas líneas del texto, cuando reconoce la ausencia de fenómenosdistintivos que permitan contrastar experimentalmente la teoría, y, sobre todo, su desconfianza acerca de la posible conciliación entre estas

formulaciones geométricas en el espacio-tiempo y las inusitadas peculiaridades de la física cuántica[7]:

“Supongamos, por ejemplo, que tenemos suerte y logramos realmente una bella solución exacta con simetría cilíndrica,correspondiendo, en alguna interpretación admisible, a una carga eléctrica localizada rodeada, asimismo, por un campo dipolarmagnético. ¿Qué podríamos hacer con esto? ¿Podríamos considerarlo como un modelo de electrón, o protón, girando sobre símismo? No podríamos. Pues sabemos que la interacción clásica de dichos juguetitos no es competente, en su conjunto, para describirla interacción electromagnética real de los constituyentes últimos de la materia, y todavía menos sus interacciones en el núcleo […].Es poco probable que este camino lleve a soluciones muy complicadas de «tipo partícula» […].”

Del relato precedente cabe extraer varias conclusiones. En primer lugar, deberíamos ser siempre conscientes de que la historia de la ciencia como cualquier otra parcela de la historia tiende a concentrar su atención en aquellos aspectos parciales considerados más brillantes de loshechos y los personajes. Así, a Schroedinger se le recuerda principalmente por su ecuación de ondas y por su paradoja felina, omitiendo unagran cantidad de otras contribuciones como la búsqueda de un campo unificado en absoluto desdeñables. En segundo lugar, un gigante intelectual como el físico austriaco cultivó en más de una ocasión la literatura de divulgación científica, un géneroque muchos de sus colegas entonces y hoy miran con cierto menosprecio; una actitud tanto más lamentable cuanto que la necesidad deestrechar los lazos entre los profesionales de la ciencia y la sociedad en que se desenvuelven se hace cada vez más acuciante. También es dereseñar la necesidad de que cualquier teoría física conduzca a situaciones o hechos que puedan ser medidos experimentalmente, como asísucedió con los primeros estadios del desarrollo histórico de la física cuántica, a diferencia de algunas teorías de unificación hoy en boga,extremadamente especulativas y sin apenas conexiones con la contrastación empírica. Y, por último, siempre resulta aconsejable conocer los caminos recorridos por nuestros predecesores para conocer sus intereses y evitar suserrores. Con respecto a sus inquietudes, Schroedinger, al igual que Einstein, jamás cesó en su búsqueda de una explicación fundamental parala naturaleza que fuese a la vez verdadera y bella. Quizás también en eso deberíamos aprender de su ejemplo. Referencias [1] ^ M. Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York,

1966. [2] ^ E. Schroedinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung & Zweite Mittelung).

Annalen der Physik 79 (1926), 361-376 y 489-527.[3] ^ E. Schroedinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung). Annalen der Physik



[1] Schroedinger [2, 3, 4]. Quienes se interesen por un excelente análisis del proceso que llevó a la ecuación cuántica de ondas, pueden consultar Jammer [1].

[2] Schroedinger [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].

[3] Schroedinger [19].

[4] Schroedinger [21, p. 41].

[5] Ibid. p. 49, cursivas en el original.

[6] Ibid. p. 62.

[7] Schroedinger [21, p. 184].

80 (1926), 437-490.[4] ^ E. Schroedinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mittelung). Annalen der Physik

81 (1926), 109-139.[5] ^ E. Schroedinger: World structure. Nature 140 (1937), 744.[6] ^ E. Schroedinger: Sur la théorie du monde d’Eddington. Il Nouvo Cimento 15 (1938), 246-

254. [7] ^ E. Schroedinger: The general unitary theory of the physical fields. Proceedings of the Royal

Irish Academy 49A (1943), 43-58. [8] ^ E. Schroedinger: The affine connexion in physical field theories. Nature 153 (1944), 578.[9] ^ E. Schroedinger: The union of the three fundamental fields (gravitation, meson,

electromagnetism). Proceedings of the Royal Irish Academy 49A (1944), 275-287.[10] ^ E. Schroedinger: The point charge in the unitary field theory. Proceedings of the Royal Irish

Academy 49A (1944), 225-235. [11] ^ E. Schroedinger: Unitary field theory: conservation identities and relation to Weyl and

Eddington. Proceedings of the Royal Irish Academy 49A (1944), 237-244.[12] ^ E. Schroedinger: On distant affine connection. Proceedings of the Royal Irish Academy 50A

(1945), 143-154. [13] ^ E. Schroedinger: Infinitesimal affine connection with twofold Einstein-Bargmann symmetry.

Proceedings of the Royal Irish Academy 50A (1945), 223-231.[14] ^ E. Schroedinger: The general affine field laws. Proceedings of the Royal Irish Academy 51A

(1946), 41-50. [15] ^ E. Schroedinger: The relations between metric and affinity. Proceedings of the Royal Irish

Academy 51A (1947), 141-146. [16] ^ E. Schrodinger: The final affine laws I. Proceedings of the Royal Irish Academy 51A (1947),

163-171. [17] E. Schroedinger: The final affine laws II. Proceedings of the Royal Irish Academy 51A

(1948), 205-216. [18] E. Schroedinger: The final affine laws III. Proceedings of the Royal Irish Academy 52A

(1948), 1-9. [19] ^ E. Schroedinger: Space-time structure. Cambridge University Press, Cambridge, 1950.[20] E. Schrodinger: On the diferential identities of an affinity. Proceedings of the Royal Irish

Academy 54A (1951), 79-85. [21] a b E. Schroedinger: La estructura del espacio-tiempo. Alianza Editorial, Madrid, 1992.

Sobre el autor

Rafael Andrés Alemañ Berenguer (Alicante, 1966) se licenció en Química (Bioquímica) por la Universidad de Valencia y en Física por la UNED. Actualmente investigador colaborador en el Departamento de Ciencia y Tecnología de los Materiales en la Universidad Miguel Hernández de Elche, es autor de diversos libros y artículos sobre historia y epistemología de la ciencia, matemáticas y biología evolutiva, así como física teórica y aplicada. Sus intereses investigadores se dirigen hacia el estudio de biomateriales en interacción con la luz y de los distintos modelos del espacio-tiempo en la física fundamental. Actualmente prosigue su labor en la divulgación científica como conferenciante en la Agrupación Astronómica de Alicante.



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