Tema 2 Análisis de Servosistemas 1314a ocw Tema 2. Análisis de Servosistemas ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 5 Las especificaciones básicas que debe cumplir el servo

Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 2. Análisis de Servosistemas

Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí


ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 2

Contenido

1. Retroacción ............................................................................................................................................... 4 1.1 Lazo retroactivo básico. Notación ................................................................................................... 4 1.2 Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada) .......................................................... 5

1.2.1 Desensibilización/robustez frente a variaciones de la planta .................................................... 5 1.2.2 Rechazo/atenuación de las perturbaciones ............................................................................... 6 1.2.3 Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda) ................................... 6 1.2.4 Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal) .................................................. 6

1.3 Inconvenientes de la retroacción ....................................................................................................... 7 1.3.1 Debido a la ganancia elevada del lazo ...................................................................................... 7 1.3.2 Debido a la inclusión del sensor ............................................................................................... 7

1.4 Limitaciones de la retroacción .......................................................................................................... 8 1.5 Otras configuraciones de control ...................................................................................................... 8

2. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I) .............................................................................. 11 2.1 Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall ................................................... 11 2.2 Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black ......................................... 14 2.3 Ejercicio resuelto ............................................................................................................................ 17

3. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II) ............................................................................ 21 3.1 Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans .................................................... 21 3.2 Pasos para el trazado del LGR de Evans ........................................................................................ 22 3.3 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 30

4. Análisis de estabilidad ........................................................................................................................... 37 4.1 Criterio de Routh-Hurwitz ............................................................................................................... 37 4.2 Criterio de Nyquist .......................................................................................................................... 42 4.3 Márgenes de estabilidad ................................................................................................................. 47

4.3.1 Margen de ganancia (MG) y margen de fase (MF) ................................................................ 47 4.3.2 Margen de módulo (M) y margen de retardo () ................................................................ 48

4.4 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 49

5. Análisis del comportamiento ................................................................................................................. 57 5.1 Precisión (estática).......................................................................................................................... 57

5.1.1 Constantes de error estáticas (régimen permanente)............................................................... 57 5.1.2 Tipo de sistema ....................................................................................................................... 57 5.1.3 Determinación de las constantes de error a partir del lazo y del servo ................................... 58 5.1.4 Principio del modelo interno .................................................................................................. 60

5.2 Integrales de error (dinámico) ........................................................................................................ 60 5.2.1 Tabla de integrales cuadráticas ............................................................................................... 61

5.3 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 63

6. Análisis de sensibilidad y robustez ....................................................................................................... 71 6.1 Funciones de sensibilidad ............................................................................................................... 71

6.1.1 Definiciones ............................................................................................................................ 71 6.1.2 Aspectos de cálculo ................................................................................................................ 72 6.1.3 Aplicación de S(j) al cálculo de errores de regulación (perturbaciones) .............................. 72 6.1.4 Aplicación de S(j) al cálculo de errores en el seguimiento (señales de mando) .................. 72 6.1.5 Sensibilidad. Relación entre S y L-1 ....................................................................................... 73 6.1.6 Ejercicios resueltos ................................................................................................................. 74

6.2 Incertidumbre y robustez ................................................................................................................. 83 6.2.1 Cómo modelar la incertidumbre de la planta. Familia de plantas .......................................... 83 6.2.2 Análisis de robustez ................................................................................................................ 88 6.2.3 Estabilidad .............................................................................................................................. 89



6.2.4 Comportamiento ..................................................................................................................... 92

7. Extensión del análisis clásico ................................................................................................................. 95 7.1 Efecto de las no linealidades (saturación) ...................................................................................... 95 7.2 Efecto de la discretización (Ts) ........................................................................................................ 95 7.3 Efecto del ruido ............................................................................................................................... 96



1. Retroacción

1.1 Lazo retroactivo básico. Notación La Fig. 1 muestra un lazo retroactivo con un grado de libertad (un único controlador).

Fig. 1. Lazo retroactivo básico de un grado de libertad

Señales:

r: señal de referencia, consigna o set-point e: señal de error u: señal de control o esfuerzo de control d: señal de perturbación o ruido (disturbance) y: señal de salida o respuesta del servo v: ruido de medida

Funciones de transferencia:

Función de lazo: )()()( sGsCsL

Función diferencia de retorno: )(1)( sLsF Función de sensibilidad (función de transferencia en lazo cerrado desde r a e):

)(1

1

)(

)()(

sLsR

sEsS

Función de sensibilidad complementaria (función de transferencia en lazo cerrado de r a y):

)(1

)(

)(

)()(

sL

sL

sR

sYsT

Función de esfuerzo de control (función de transferencia en lazo cerrado desde r a u):

)()()(1

)(

)(

)()( sSsC

sL

sC

sR

sUsTu

Cuando hablamos del lazo o del lazo abierto nos referimos a L(s); cuando decimos el servo o el lazo cerrado nos estamos refiriendo a T(s). Puesto que el sistema es lineal, la salida del servo es la superposición del efecto de todas las señales de entrada:

TvGSdTryvL

Ld

L

Gr

L

Ly

111

C(s) G(s)

controlador planta

r e u y

d

v

+

+

+

+ +

_



Las especificaciones básicas que debe cumplir el servo son las siguientes:

1) Estabilidad. En el sentido BIBO (bounded input bounded output)

2) Seguimiento de las señales de consigna (tracking): Para tener y r, interesa que T1. Ello es equivalente a tener L>>.

3) Rechazo de las perturbaciones: Para tener y r a pesar de la presencia de d, interesa que S<<. Ello es equivalente a tener L>>.

4) Insensibilidad al ruido de medida: Para que el ruido de medida v no se refleje en la salida, interesa que T<<, para ello el lazo debe ser pequeño L<<.

La especificación 4) entra en contradicción con las especificaciones 2) y 3). Este dilema se resuelve mediante la conformación del lazo L (loopshaping) a diferentes frecuencias:

A bajas frecuencias (BF) se fuerza a que el lazo sea grande L>> a fin de asegurar el tracking y el rechazo de perturbaciones. En los servosistemas la banda de interés suele ser las bajas frecuencias.

A frecuencias intermedias, alrededor del crossover (frecuencia a la cual L=1, es decir, L=0dB), se fuerza a que la pendiente de L sea suave (-20dB/dec) a fin de evitar problemas de estabilidad.

A altas frecuencias (AF) se fuerza a que el lazo sea pequeño L<< a fin de evitar la influencia del ruido de medida y otros efectos parásitos (incertidumbre del modelo de la planta).

1.2 Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada) Los efectos deseables del uso de la retroacción son los siguientes:

1) Desensibilización frente a la incertidumbre en el modelo de la planta. 2) Desensibilización frente a perturbaciones aditivas. 3) Modificación de la dinámica. 4) Mejora de la linealidad.

Estos efectos se consiguen en mayor grado si se aumenta la ganancia del lazo. Sin embargo, un aumento excesivo de ésta puede provocar problemas de inestabilidad y saturación de los actuadores. Veamos los efectos con más detalle:

1.2.1 Desensibilización/robustez frente a variaciones de la planta

Considerar el sistema retroactivo de la Fig. 2. La función de transferencia en lazo cerrado viene dada por

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sR

sYsT

.

Los siguientes dos casos muestran cómo la retroacción desensibiliza las características de la transmisión:

+

-G(s)

H(s)

R(s) Y(s)E(s)

Fig. 2. Robustez



Diseño inverso y robusto. Si la ganancia de lazo ( ) ( ) ( )L s G s H s es tal que ( )L j ,

entonces )()( 1 jHjT . La conclusión es que (si el sistema es estable) el servo se comporta

como )(1 sH independientemente de los valores que tome G(s). Como H(s) puede implementarse fácilmente con alta precisión, se consigue realizar una T(s) exacta a pesar de la incertidumbre en el modelo de G(s) o de sus propiedades desfavorables (no lineales y/o variantes con el tiempo). El

diseño )()( 1 sHsT recibe el nombre de diseño robusto con relación a la incertidumbre en el modelo de la planta.

Seguimiento robusto. En el caso de retroacción unitaria, H = 1, se tiene 1

( ) ( )1 ( )

E s R sG s

. Si

( )G j entonces )(sE y, por tanto, ( ) ( )Y s R s , lo que es lo mismo, 1)( sT .

Nota: Es importante notar que estos dos resultados sólo se cumplen en el caso de sistemas estables

y en la gama de frecuencias en que ( )G j .

1.2.2 Rechazo/atenuación de las perturbaciones

En general, las perturbaciones se describen mediante una señal w, determinista o aleatoria, que afecta de manera aditiva a la salida del servo (ver figura). Su efecto sobre la salida y viene dado por

)()()()(1

1)( sDsSsD

sGsY

, siendo S(s) la

función de sensibilidad de Bode.

+

-G(s)

R(s) Y(s)E(s)D(s)

+ +

Fig. 3. Rechazo de perturbaciones

Si ( )G j , el efecto de la perturbación d(t) se ve fuertemente reducido a la salida.

1.2.3 Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda)

Es otra consecuencia de ( )L j . Para hacerlo más intuitivo supongamos que H = constante.

En este caso T constante dentro de la gama de frecuencias en que ( )L j . Diseñar L(s) es lo

que se conoce como conformación del lazo (loopshaping). Notar que la retroacción ni añade ni quita polos con respecto al número de polos que teníamos en lazo abierto. Al cerrar el lazo y ajustar su ganancia lo que hacemos es mover los polos del lazo abierto a otras posiciones. En el caso de mover los polos en lazo abierto que estaban en el semiplano derecho del plano complejo al semiplano izquierdo, lo que se consigue es estabilizar al sistema. En el caso de alejar los polos del lazo del eje imaginario lo que conseguimos es aumentar el ancho de banda (velocidad de respuesta) del sistema.

1.2.4 Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal)

Con la retroacción, además de la robustez, se pueden obtener otros efectos beneficiosos, entre ellos el de la mejora de la linealidad.



Como hemos visto, si ( )L j , 1 HT y, por tanto, si H(s) es lineal (fácilmente realizable),

el servo lo es a pesar de las alinealidades de la planta.

1.3 Inconvenientes de la retroacción Hasta aquí se ha evidenciado que la retroacción permite obtener resultados muy útiles. No obstante también presenta algunos inconvenientes:

1.3.1 Debido a la ganancia elevada del lazo

Desestabilización: Los sistemas retroactivos con ganancia de lazo elevada presentan una serie de propiedades tales como mejora de su linealidad, aumento de su banda pasante, rechazo de las perturbaciones y robustez frente a la incertidumbre en el modelo de la planta. La condición supuesta en todas ellas es que el sistema es estable. Por desgracia los servos, incluso los que son estables para cierta ganancia, pueden tornarse inestables si ésta es aumentada (y, a veces, reducida). La inestabilidad se produce debido a que la señal retroalimentada es excesiva o su fase (timing) es inadecuada.

El tema de la inestabilidad será motivo de estudio detallado próximamente, pero conviene adelantar algunas ideas de cómo superar el dilema:

a) En general, se trata de relacionar la ganancia del lazo con la estabilidad del servo y b) Obtener consecuencias para diseñar servos de manera que el lazo sea lo más elevado

posible a la vez que preserve la estabilidad.

El estudio de la estabilidad se realizará con los siguientes instrumentos:

a) En sistemas lineales invariantes con el tiempo (SLI). Búsqueda de condiciones suficientes y necesarias (Routh, Nyquist,...)

b) En sistemas no lineales (SNL). Teorema de la ganancia pequeña. Es muy general, pero sólo presenta condiciones suficientes y sólo es aplicable a servos con ganancias pequeñas (las deseamos elevadas) conduciendo a diseños excesivamente conservadores.

Saturación: A veces una ganancia de lazo elevada aunque no produzca inestabilidad sí genera señales elevadas (sobre todo a la entrada de la planta) dando lugar a fenómenos no lineales, en particular la saturación que, al reducir la ganancia efectiva, degrada la calidad de las prestaciones del servo.

1.3.2 Debido a la inclusión del sensor

Efecto del error de medida: Al requerir un sensor, se añade un coste adicional al diseño (a veces muy importante) y además, se introduce error en la información sobre la salida, lo que implica pérdida de precisión en el servo,

)()(1

)()( sV

sG

sGsYN

.

+

-G(s)

R(s) Y(s)E(s)

V(s) + +

Fig. 4. Ruido de medida

Comentario: La expresión anterior indica que V tiene el mismo efecto que R, dentro de su banda pasante, por lo que resulta difícil atenuar su efecto sin sacrificar las ventajas. La única solución es reducir V usando un sensor de calidad.



1.4 Limitaciones de la retroacción

1) Las especificaciones del servo han de ser realistas, es decir, han de tener en cuenta las limitaciones físicas de los componentes, en particular el ancho de banda y la máxima amplitud de la señal de control u(t).

2) La ganancia y la fase no son independientes (están relacionadas por los Teoremas de Bode) y, por tanto, las especificaciones de la ganancia del lazo repercuten en la fase aumentando el riesgo de inestabilidad.

3) En los sistemas de control con un grado de libertad (1 DOF, 1 degree of freedom), la S(s) (función de sensibilidad) y la T(s) (transmitancia del servo, también llamada función de sensibilidad complementaria) no son independientes sino que se cumple que S(s) + T(s) = 1, por lo que no se pueden especificar independientemente. Para poder especificar independientemente S y T hay que recurrir a las estructuras con 2 DOF.

En este tema se presentan los instrumentos de análisis de los sistemas retroactivos de un grado de libertad. Todos estos instrumentos se aplican sobre el lazo abierto L y su aplicación nos da información sobre el lazo cerrado T.

1.5 Otras configuraciones de control La retroacción es la configuración de control básica. Por ejemplo, la Fig. 5 corresponde al sistema de control automático para la orientación de una antena que debe apuntar a un determinado satélite geoestacionario. La función de transferencia de la planta incluye la dinámica dominante de la antena junto con el amplificador de potencia y el motor que constituyen los actuadores. El sensor se considera ideal.

)5)(1(

5

sss

U a

Gc(s) E

+ R

Fig. 5. Lazo retroactivo básico

Sin embargo, a fin de aumentar las prestaciones del sistema de control, en la práctica se admiten algunas variaciones y la retroacción se puede combinar con otras configuraciones. Por ejemplo, es posible añadir lazos auxiliares tal y como se muestra en las siguientes figuras. La Fig. 6 muestra el caso de lazo auxiliar tacométrico. La inclusión del tacómetro sirve para mejorar la respuesta transitoria del servo.

)5)(1(

5

sss

U a

kTs

E +

R +

Fig. 6. Compensación tacométrica



En la Fig. 7, el control en cascada dispone de un controlador para cada lazo. La variable principal (ángulo) se controla mediante el lazo exterior (principal o primario). Su salida es la referencia para el lazo de velocidad. Y la salida del regulador de velocidad hace de referencia al lazo de corriente. El lazo externo es el más lento. La sintonización de cada lazo es muy simple, y se ajusta de dentro afuera. Este tipo de configuración de control es el más usado en accionamientos industriales.

5

1.0

s

5

1

s

1

50

s

5

1

s

s

1

5

1

s

D1

I a k1 k2 k3

+

-

+

D2

+ +

D3

+ +

- -

R + + +

Fig. 7. Compensación en cascada

También es posible hacer retroacción de las variables de estado. Siguiendo con el ejemplo, podemos mejorar aún más el control si añadimos un nuevo lazo correspondiente a la tercera variable de estado (de fase en este caso), es decir, la aceleración. El sensado de la aceleración se hace de manera indirecta sensando la corriente del motor (que, a través del par, determina y es proporcional a la aceleración).

5

1.0

s

5

1

s

1

1

s

5

1

s

s

1

5

1

s

I a

k1

k2

k3

-

- -

R + 5

Tm1 Tm2

10 U

Fig. 8. Retroacción de las variables de estado En muchas ocasiones la retroacción (feedback) se combina con el control anticipativo (feedforward). En la Fig. 9, con objeto de compensar el efecto de las perturbaciones (si son

medibles) se añade un corrector GF(s) de manera que la transmitancia 1w

m

T

T. Para facilitar la

implementación, el corrector debe ser realizable, es decir no debe tener más ceros que polos, así por

ejemplo podemos tomar ( 5) 50

( )5 ( 50)F

sG s

s

.



Fig. 9. Feedforward de las perturbaciones En la Fig. 10 con objeto de acelerar el efecto de la señal de mando se establece un nuevo paso de R a a mediante un nuevo corrector GF2 de manera que este nuevo paso presente una ganancia 1. Aquí vuelve a aparecer el problema de la realización, hay que tomar una GF2 realizable.

)5)(1(

5

sss

U a

kc = 1 E

+ R +

GF2(s)

+

Fig. 10. Feedforward de la señal de mando Finalmente, para tener libertad de fijar las especificaciones se adopta la configuración de la figura, añadiendo un prefiltro al lazo principal. Se puede interpretar de varias maneras: 1) Libertad para fijar independientemente T y S; y 2) Fijación de polos y ceros.

)5)(1(

5

sss

U a

Gc(s) E

+ R GPF(s)

Fig. 11. Control de dos grados de libertad



2. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I) Objetivo: Inferir el efecto que tienen las modificaciones en L(j) o L(s) (lazo abierto) sobre T(j)

o T(s) (lazo cerrado) sin tener que calcular este último de forma explícita. El motivo radica en que, en general, los compensadores/controladores a calcular se sitúan en serie (cascada) con el resto de componentes del lazo y, por tanto, su efecto sobre L(j) o L(s) es directo.

2.1 Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall El ábaco de Hall es un ábaco que se sitúa sobre la representación en coordenadas polares (diagrama de Nyquist) de la respuesta frecuencial del lazo (abierto) L(j). Para cada frecuencia i, la intersección del diagrama polar de L(ji) y el ábaco de Hall nos dice cuánto vale el módulo del lazo cerrado |T(ji)| y la fase en lazo cerrado )( ijT .

Hay dos ábacos: el directo que se sitúa sobre la representación de L(j), y el inverso que se sitúa sobre la representación de L-1(j). A continuación se indican las fórmulas para el trazado del ábaco. Éste consiste en una serie de círculos M de módulo del lazo cerrado constante y una serie de círculos N de fase de lazo cerrado constante.

1) Polar directo: )()()(1

)()(

NMjL

jLjT

2) Polar inverso: 1)(

1)(

1

jL

jT (los círculos de M = cte se construyen representando

los lugares donde ctejL 1)(1 )

L(j1) 1+L(j1)

-1

1

L-1(j1)

1+L-1(j1)

-1

1

Directo Inverso

Fig. 12. Construcción ábacos de Hall

3) Cálculo de los lugares geométricos de M (módulo) y N (fase) constantes del servo.

Los lugares de M constante son círculos de radio 12 M

M y centrados en

0,12

2

M

M:



M constante: 22

22

2

2

2

)1())(Im(

1))(Re(

M

MjL

M

MjL si M 1,

2

1))(Re( jL , si M = 1.

Los lugares de N constante son círculos de radio 2

2

1

4

1

N y centrados en

N2

1,

2

1:

N constante: 222

2

1

4

1

2

1))(Im(

2

1))(Re(

NNjLjL

4) Ábacos resultantes:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 j

-1.5 j

- j

-0.5 j

0

0.5 j

j

1.5 j

|M| = 1.2

|M| = 1

|M| = 0.6

|M| = 0.707

= -300

-270

-180

-120

-90

-70

-60

-50

-40

-30 -20

Fig. 13. Ábaco de Hall (polar directo).

-3 -2 -1 0 1 2-2 j

-1.5 j

-1 j

-0.5 j

0

0.5 j

j

1.5 j

2 j

|T| = 0.5

|T| = 2.0

|T| = 0.6

|T| = 1.0

|T| = 0.7 = -30º

= -60º = -90º

= -150º

= -180º

Fig. 14. Ábaco de Hall (polar inverso).



Ejemplo 1. Interpretación del ábaco de Hall. La siguiente figura muestra en rojo el diagrama

polar de la función de lazo )1006)(10(

1000)(

2

ssssL y en gris los círculos de módulo M del

ábaco de Hall directo.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Re [ L (j)]

M = 1.2 M = 1.4

M = 1.6

M= 2.0

L (j )] M= 1.0

M= 3.0 M= 5.0

M = 0.8

M = 0.4

M = 0.5

M = 0.6

M = 0.35 Mr = 3.02

b = 16.33

= 13.57

r = 11.65

= 10.75

= 10.09

= 0

= 5.56

= 7.96 = 9.00

= 9.61

Im [

La superposición del diagrama polar de L(j)=G(j)H con los círculos de módulo constante, nos da

información sobre el módulo de la respuesta frecuencial del lazo cerrado HjG

jGjT

)(1

)()(

,

con .1H La siguiente figura muestra en coordenadas cartesianas el módulo del servo.

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[rad/s]

T (j ) |

b = 16.33r = 11.65

Mr = 3.02

0.35

|



Notar que el ancho de banda b es la frecuencia a la cuál el módulo vale 0.7 veces la ganancia en continua (es decir, la frecuencia a la cual la potencia a caído a la mitad). Puesto que en continua (=0) el módulo del servo vale M=0.5, el ancho de banda será la frecuencia a la cual el lazo intersecta el círculo de valor M=0.70.5=0.35. Esta es b=16.33rad/s. Notar que la frecuencia de resonancia r es la frecuencia a la cual el diagrama de Nyquist del lazo intersecta con el círculo M de mayor magnitud (y el valor de la resonancia es precisamente dicho valor de M).

2.2 Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black Objetivo: El objetivo es el mismo del caso anterior pero ahora a partir de los diagramas de Bode de

L(j), más fáciles de estimar que los polares. Para ello se usan las coordenadas (logarítmicas) de fase y ganancia. A partir de ahí, y con ayuda de los nuevos ábacos de M y N constantes (modificados según la correspondiente transformación de coordenadas), se puede estimar la respuesta en lazo cerrado T(j).

Comentarios:

Las ecuaciones de los lugares geométricos (M, N) no tienen la elegancia sencilla del ábaco de Hall. Mediante la transformación de coordenadas,

)()()(1

)()(

M

jL

jLjT ;

1

a jbu jv

a jb

; jeLjL )(

Lugar geométrico de (u, v) con a = constante:

2 2

22 1 1

2(1 ) 2(1 )

au v

a a

,

Lugar geométrico de (u, v) con b = constante: 2 2

2 1 11

2 2u v

b b

resultan ser:

Ecuación curvas de M = constante:

122

sincos1

LLM

Ecuación curvas de N = constante:

cos

sin

LtgN

El efecto de un compensador en serie se ve muy claramente en Bode (y bastante bien en estos

nuevos ejes) facilitando así la determinación del controlador por loopshaping.



6 db

12 db

4 db

3 db

2 db

1 db

0.5 db

0.25 db

8

4

-4

0

-12

-8

-16

-20

-24

-28

12

16

20

24

28

32

-260

-240

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-280

-2 db

-3 db

-4 db

-5 db

-6 db

-9 db

-180

-18 db

-24 db

-12 db

-300

-0.5 db

-1 db

0 db

-2

-5

-10

-20

-30

-90

Fig. 15. Ábaco de Nichols



Ejemplo 2. Interpretación del ábaco de Nichols. Las siguientes figuras muestran la interpretación del ábaco de Nichols para el mismo lazo del ejemplo anterior.

Diagrama fase-ganancia de )1006)(10(

1000)(

2

ssssL y ábaco de Nichols

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 -50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Fase de L(j) [grados]

10dB

1dB

2dB

0dB

-3dB

-6dB

-9dB

= 67.3

= 35.1 Mód

ulo

de L

(j

) [d

B]

-20dB

-40dB

-200º -50º-150º -100º-250º

-20º

6dB

= 46.8

-70º-230º

-300º

-120º-280º

= 9.0

= 10.7r = 11.6

Mr = 9.54

= 13.6

b = 16.3

= 22.5

= 7.1 = 0.1

Diagrama de Bode de )(1

)()(

jL

jLjT

10 0 101 102 10 3 -120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

100 101 102 10 3 -300

-250

-200

-150

-100

-50

0

[rad/s]

[rad/s]

Mód

ulo

[dB

] Fa

se [

grad

os]

Mr = 9.54

r = 11.6 b = 16.3

-9dB



2.3 Ejercicio resuelto

Ejercicio 1. Dada la respuesta del lazo de un servo con H=1,

30

-30

-20

-10

0

10

20

-10dB

2dB

4dB

6dB8dB

10dB

-1dB

-3dB

0dB

-20dB

-70 -50 -100

-120 -150 -200 -230

-250 -280

-300

= 0.70

= 0.95 = 1.13

= 1.43 = 1.66

= 2.2

= 2.88

= 4.41

0

-300 -250 -200 -150 -100 -50

Ma

gnitu

d d

e G

(j

) [d

B]

Fase de G(j) [grados]

se pide: 1) Representar punto a punto y a escala el diagrama de Bode de la magnitud del lazo cerrado |T(j)|

indicando el valor de Mr, r, b y T(0). 2) Si se excita T(s) con una señal r(t)=2sen(1.13t) determinar la frecuencia y la amplitud de la salida y(t) una

vez extinguido el transitorio. Ídem con r(t)=2sen(4.41t). Solución: 1) El ábaco de Nichols sobre la representación fase-ganancia del lazo abierto nos da la siguiente información del lazo cerrado:

0.7 0.95 1.13 1.43 1.66 2.2 2.88 4.41 |T(j)|dB 2 4 6 10 6 -3 -10 -20

Resonancia: Se busca el círculo M de mayor magnitud que toca el lazo. En nuestro caso es el círculo 10dB y el lazo lo toca a frecuencia 1.43rad/s. Así pues, en el lazo cerrado, la resonancia viene definida por Mr=10dB y r=1.43rad/s. Ganancia en continua T(0): A frecuencia 0 el lazo tiene un módulo infinito, una fase de -90° y, en consecuencia, toca el círculo de 0dB (ello indica que el lazo tiene un integrador), así pues, en lazo cerrado la ganancia en continua es T(0)=0dB. Ancho de banda a -3dB: Puesto que la ganancia en continua es 0dB el ancho de banda hay que buscarlo en el círculo de -3dB (0dB-3dB=-3dB). En nuestro caso el ancho de banda del servo es 2.2rad/s. Diagrama de Bode de magnitud del servo:



0.1 0.2 0.4 1 2 4 10

dB

10

5

0

-5

-10

-15

-20

T(0)=0dB

Mr=10dB

r=1.43rad/s b=2.2rad/s

2)

r(t)=2sin(1.13t) y(t)=4sin(1.13t-1) puesto que 16)13.1( dBjT y 6dB en lineal es 2

r(t)=2sin(4.41t) y(t)=0.2sin(4.41t-2) puesto que 220)41.4( dBjT y -20dB en lineal es 0.1

Ejercicio 4. Ábaco de Nichols.

1) Considerar un servo con retroacción unitaria cuya ganancia de lazo es LjeLjL )( . Así,

el servo es )(1

)()(

jL

jLjT

. Se pide demostrar que la ecuación que cumplen los lugares

M de ganancia del servo constante ctejTM )(

es la siguiente:

01

cos1

22

2

2

22

M

ML

M

ML L

2) Considerar un servo con ganancia de lazo )40)(4(

1600)(

ssssL . Se pide:

(a) Representar su respuesta frecuencial en un diagrama fase-ganancia (Nota: para ello puede ser útil bosquejar antes el diagrama de Bode).

(b) En la representación anterior, usar el ábaco de Nichols para determinar las siguientes características del servo: ganancia en continua, resonancia y ancho de banda (a -3dB).

(c) A partir del ábaco de Nichols, y a partir de unos cuantos puntos, bosquejar los diagramas de Bode del servo.

Solución: La ganancia de lazo puede descomponerse en parte real e imaginaria:



LLj LjLeLjL L sincos)(

Así, el módulo del servo queda como

LLLLL

LL

LLL

L

LL

LLMjT

2222

2

222

2222

sincoscos21sincos1

sincos)(

2

2

2

cos21 LL

LM

L

0cos222222 LMLMLM L

0)1(cos22222 LMMLM L

0cos1

2

12

2

2

2

2

LLM

M

M

ML c.q.d.

2) En primer lugar se traza el diagrama de Bode del lazo y se toman algunos puntos (frecuencia, ganancia en dB y fase en grados) que nos servirán para trazar el diagrama fase-ganancia del lazo.

Con los puntos de la tabla anterior se traza el diagrama fase-ganancia del lazo. A partir de la superposición del ábaco de Nichols con el diagrama fase-ganancia del lazo podemos sacar las siguientes conclusiones:

(rad/s) |L(j)|dB (j) 0.2 0.4 1 2 4 6 10 20 30

34 28 20 13 5 0 -9 -20 -30

-94º -96º -105º -120º -135º -150º -175º -200º -210º



(a) La ganancia en continua del servo es |M(0)|=0dB (como ya era de esperar puesto que el lazo presenta un integrador). (b) El círculo M de magnitud más grande que toca el lazo es el círculo rotulado 6dB y ello ocurre a la frecuencia 6rad/s. Por tanto, el valor de la resonancia del servo será Mr=6dB y la frecuencia de resonancia del servo será r=6rad/s (notar que es muy cercana a la frecuencia de crossover del lazo, es decir, a la frecuencia a la cual el lazo vale 0dB). (c) Para buscar el valor de la frecuencia correspondiente al ancho de banda a -3dB hay que buscar el círculo M de valor (ganancia en continua del servo) - 3dB. En nuestro caso, puesto que la ganancia en continua es 0dB, basta con buscar a qué frecuencia intersectan el lazo y el círculo M de valor -3dB. Esta frecuencia está un poco antes de 10rad/s. Por tanto, concluimos que el ancho de banda del servo es b=9.5rad/s.

Finalmente, nos fijamos en el resto de círculos M (de módulo) y N (de fase) del ábaco a cada una de las frecuencias que hemos rotulado y, de ahí, sacamos los puntos necesarios para bosquejar los diagramas de Bode del servo.

(rad/s) |M(j)|dB (j) 0.2 0.4 1 2 4 6 10 20 30

0 0.1 0.2 0.7 3 6 -6 -20 -28

0º -2.5º -5.5º -12º -35º -85º -165º -195º -210º



3. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II)

3.1 Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans Objetivo: Ver gráficamente cómo evolucionan los polos del servo (lazo cerrado) al variar un

parámetro del lazo (abierto). En general, este parámetro es la amplificación k, aunque también puede ser un polo (p) o un cero (z).

El trazado rápido (aproximado) del LGR es de una gran ayuda para estudiar los polos dominantes, residuos y estabilidad, y para diseñar controladores sencillos.

Trazado del LGR: Preliminares. En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación característica) en la forma estándar:

0)(

)(1

sD

sNk , con k>0.

El lugar geométrico de las raíces (LGR) es la solución gráfica de la ecuación anterior. Muestra todos los valores “s” (lugares) que la satisfacen. Resolver la ecuación característica es equivalente a resolver las siguientes dos ecuaciones que reciben el nombre de condición modular y condición argumental respectivamente:

0)(

)(1

sD

sNk 1

)(

)(

sD

sNk

argumentalcondición180)(

)(

modularcondición1)(

)(

sD

sNk

sD

sNk

Comentarios: (a) El número de ramas del LGR es igual al número de polos del lazo (raíces de D(s)). Notar que la retroacción no añade ni quita polos. El lazo cerrado tiene el mismo número de polos que el lazo abierto, sólo que cambiados de sitio. (b) Cada rama del LGR empieza en un polo del lazo abierto (raíces de D(s)) y termina en un cero del lazo abierto (raíces de N(s)):

Origen (k=0): 0)(0)()(0)(

)(1

0

sDskNsD

sD

sNk

k

Final (k=): 0)(0)()(

0)(

)(1

sNsNk

sD

sD

sNk

k

(c) Si k es la ganancia del lazo, kN(s)/D(s) coincide con el lazo L(s). Pero si el parámetro para el

cual vamos a dibujar el LGR es otro, por ejemplo un polo p, el numerador y el denominador que quedan N’(s) y D’(s) no tienen nada que ver con L(s):



)('

)('1

sD

sNp , con p>0.

Las ramas irán de las raíces de D’(s) (polos) a las raíces de N’(s) (ceros). (d) Analogía electrostática: Para ayudar en el trazado de las trayectorias es útil imaginar que los

polos y ceros son cargas de distinto signo: Las cargas de igual signo se repelen y las de signo distinto se atraen. Así, los polos se repelen y los ceros atraen a los polos.

(e) El LGR también sirve para hallar las raíces de polinomios.

3.2 Pasos para el trazado del LGR de Evans Los pasos para el trazado son:

Paso 1) Tramo sobre el eje real: Hay LGR si a la derecha hay un número impar de polos y ceros. Paso 2) Asíntotas: Cuando en la función de transferencia N(s)/D(s) hay más polos que ceros finitos ello significa que los ceros que faltan están en el infinito. Los polos correspondientes a estos ceros tendrán que viajar al infinito. Las ramas al infinito siguen unas rectas asintóticas que se definen indicando su origen (centroide) y su pendiente (fase):

Centroide: ZP

zpA NN

VV

Fase: ZP NN

n

180 , ( n = 1, 3, 5…)

donde Vp y Vz son el valor de los polos y los ceros, y NP y NZ son el número de polos y de ceros finitos. Paso 3) Punto de emergencia (o de incidencia) del (al) eje real: Cuando la k() es máxima (mínima). A veces es aconsejable determinarlo de manera numérico-gráfica aproximada. Además, las ramas (si son dos) emergen perpendicularmente al eje real.

Paso 4) Punto de cruce del eje imaginario: Se determina aplicando el criterio de Routh o resolviendo la ecuación característica para s=j. Paso 5) Ajustes

(a) Ángulo de salida (llegada) desde (hacia) los polos (ceros) complejos: Se aplica la condición angular a un punto cercano a dicho polo (cero).

(b) Parametrización: Se asigna la k a un punto del LGR, mediante la aplicación (gráfica) de la condición modular.

(c) Ajuste local del trazado: Se aplica la condición argumental (la fase total debe ser -180)



Ejemplo 3. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura,

)2)(1(

4

sssk

+

Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito. El LGR nos da esta información de manera gráfica en el plano complejo. Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo como

0)2)(1(

41

sssk .

A continuación, hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0, -1 y -2. Ahora ya se pueden aplicar las reglas de trazado: Paso 1) Eje real: Hay LGR entre - y -2 (puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces, hay 3 polos). No hay LGR entre -2 y -1 (puesto que a la derecha de –2 hay un número par de raíces, hay 2 polos). Hay LGR entre -1 y 0 (puesto que a la derecha de –1 hay un número impar de raíces, hay 1 polo). No hay LGR entre 0 y + (puesto que a la derecha de 0 hay un número par de raíces, hay 0).

-2 -1 0

Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.

Centroide:

103

210

zp

zpA NN

VV

Fases:

60

300,180,60180

zpA NN

i

-2 -1 0

+60º

-60º

+180º



Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. En nuestro caso será de emergencia, puesto que, a medida que k aumente, los dos polos en -1 y 0 se acercarán el uno al otro por el eje real, se juntarán y, a continuación se separarán (emergerán) para viajar al infinito. Puesto que estamos en el eje real, se sustituye s= en la ecuación del LGR:

042304)2)(1(0)2)(1(

41 23

kkk

Justo en el punto de emergencia es donde la k (de todas las k's que cumplen la ecuación anterior) es máxima. Por ello, podemos hacer

57.1

0962.042.00263

4

123

4

1 223

kk

k

El punto de emergencia es el primero puesto que, por la aplicación del Paso 1), sabemos que -1.57 no pertenece al lugar de Evans. Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas, sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. De manera análoga a la regla anterior, ahora hay que sustituir el valor s=j en la ecuación del LGR:

0042304)(2)(3)( 2323 jkjjkjjj Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

real: 043 2 k

imag.: 023

El cruce se produce a k=3/2, 2 . Paso 5) Ajustes: No son necesarios

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4j




)43(

12 sss

k +

El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por:

)43(

11

)43(

1

)(

2

2

sssk

sssk

sM .

Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito. Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación a resolver) como

0)43(

11

2

sssk .

El LGR es la solución a esta ecuación. A continuación, hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0,

3.15.1 j . Paso 1) Eje real: Hay LGR entre - y 0 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 polo. (Notar que tener en cuenta el par de polos complejos conjugados no cambia el resultado puesto que no afectan a la paridad de raíces a un lado y otro de ellos)

-2 -1 0

1.3j

-1.3j

-1.5

j

Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.

Centroide:

13

3

03

3.15.13.15.10

jj

NN

VV

zp

zpA



Fases:

60

300,180,60180

zpA NN

i

Notar que la fase 300° es equivalente a 60° con lo que no hace falta buscar más múltiplos impares. Otra forma de verlo es que, puesto que tenemos 3 polos, como mucho habrá tres asíntotas.

-2 -1 0

1.3j

-1.3j

-1.5

j

+60º

-60º

+180º

Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Esta regla no es necesario aplicarla puesto que los dos polos complejos conjugados no van a incidir en el eje real. Si tuviéramos dudas se podría aplicar, pero entonces el resultado obtenido no sería coherente con el resto de reglas (saldrían puntos que no pertenecen al Evans según lo obtenido en el primer paso o bien saldrían números complejos). Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas, sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. Hay que sustituir el valor s=j en la ecuación del LGR:

00430)(4)(3)( 2323 jkjjkjjj Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

real: 03 2 k

imag.: 043 El cruce se produce a k=12, 2 . Paso 5) Ajustes: Podemos calcular el ángulo de salida del polo p=-1.5+j1.3. Para ello, consideramos un punto muy cercano al polo (marcado como un cuadrado) y vemos cuánto tiene que ser su fase para que el cuadradito pertenezca al LGR, es decir, cuánto tiene que ser su fase para que la suma de todas las fases sea -180°.



-2 -1 0

1.3j

-1.3j

-1.5

j

~90º

~140º

50180140900)( p Así pues, el ángulo de salida del polo p es -50° (y el del polo p* es +50°. Notar que siempre el LGR es simétrico respecto al eje real). El LGR definitivo es:

0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5j

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2


)1(

3

ss

sk +

El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por:

)1(

31

)1(

3

)(

ss

sk

ss

sk

sM .

Así pues, la ecuación a resolver (cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito) es:



0)1(

31

ss

sk .

El LGR no es otra cosa que la solución gráfica de la ecuación anterior. Paso 0) En primer lugar hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso hay un cero finito (-3) y dos polos (0 y -1). Paso 1) Eje real: Hay LGR entre - y -3 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 cero y 2 polos. No hay LGR entre -3 y -1 porque a la derecha de -3 hay un número par de raíces (hay 2 polos). Hay LGR entre -1 y 0 puesto que a la derecha de -1 hay un número impar de raíces (hay un polo)

-3 -2 -1 0

j

Paso 2) Asíntotas: No hace falta calcularlas. Uno de los ceros es finito (una rama terminará en él) y el cero que está en el infinito ya tiene su rama dibujada (es la que va de -3 a ). Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Tenemos un punto de emergencia y un punto de incidencia. A medida que k aumente, los dos polos se acercarán hasta juntarse, ahí se separarán (emergencia), viajarán por el plano s y volverán a entrar en el eje real (incidencia) a fin de que uno de ellos acabe en -3 y el otro en . Los puntos de emergencia/incidencia son sobre el eje real, por tanto, la ecuación a resolver es la ecuación característica del servo particularizada sobre el eje real, es decir, tomando s .

0)1(

31

ss

sk 0

)1(

31

k 032 kk

Vamos a buscar el máximo local y el mínimo local de k sobre el eje real :

3)(

2

k

0

3

36

3

312)(2

2

2

2

d

dk

)delocal(mínimoincidencia899.945.5

)delocal(máximoemergencia101.055.00362

kk

kk



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

j

incidencia emergencia

Paso 4) Eje imaginario. Cruce: No hace falta aplicar esta regla puesto que las ramas no cruzarán el eje imaginario. Paso 5) Ajustes: No hacen falta pero se podría usar la condición argumental en algún punto del trazado para determinar si la representación es correcta. El LGR final es:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

j

Nota: Para obtener la k para un par de polos conjugados dominantes con =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto indicado en la figura siguiente:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4j

45°



3.3 Ejercicios resueltos

Ejercicio 2. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Dada la planta )3)(2(

1)(

ssssG , se trata

de controlarla mediante las dos configuraciones indicadas:

ck G(s)

)164( 2 sskc G(s)

ajustando, en ambos casos, kc de manera que el sistema global tenga unos polos dominantes con = 0.7. Se pide: 1) Dibujar, para cada caso, el lugar geométrico de las raíces. 2) Determinar la kc de cada diseño (para =0.7). 3) Comparar ambas situaciones desde el punto de vista de la sensibilidad de las raíces dominantes. 4) Deducir el concepto de "ceros de anclaje". Solución:

Primer LGR: 0)3)(2(

11

sssk .

Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3. A continuación se aplican las reglas de trazado: (1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay LGR entre 0 e . (2) Asíntotas:

Centroide:

67.13

5

03

320

zp

zpA NN

VV

Ángulos:

180,606003

180180ii

NNi

zpA

(3) Punto de emergencia del eje real (s = ): 65 23 k

06103 2 d

dk

78.0

55.22,1

78.0e , 11.2)78.0(6)78.0(5)78.0( 23 ek

(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j): 065 23 kjjj

06

053

2

jj

k 45.26 , 30k



(5) Ajustes: No son necesarios

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

-6j

-4j

-2j

0

2j

4j

6j

j

e=-0.78 ke=2.11

a=-1.67

c=2.45 kc=30

Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:

5.39.24.19.0 DN

Dk

Segundo LGR: 0)3)(2(

1641

2

sss

ssk .

Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3 y 2 ceros: 46.32 j . A continuación se aplican las reglas de trazado: (1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay LGR entre 0 e . (2) Asíntotas: No hacen falta

(3) Punto de emergencia del eje real (s = ): 164

65)(

2

23

kk



064

9616062822

234

d

dk

85.0

54.2

23.63.2

4,3,2,1

j

85.0e , 157.016)85.0(4)85.0(

)85.0(6)85.0(5)85.0(2

23

ek

(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j): No hace falta (5) Ajustes: Ángulo de llegada a los ceros

180120907490z 14194180z

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

-6j

-4j

-2j

0

2j

4j

6j

j

e=-0.85 ke=0.157

Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:

22.03.42.3

9.24.19.0

N

Dk

El segundo diseño es menos sensible: grandes variaciones de k no mueven demasiado los polos de sitio, en particular cerca de los dos ceros, de ahí el nombre “ceros de anclaje”.



Ejercicio 3. Lugar geométrico de las raíces de Evans Dada la planta

)164)(1(

1)(

2

ssss

ssG , se trata de controlarla en lazo cerrado mediante la siguiente

configuración de control:

k G(s)+

Se pide: 1) Obtener y representar a mano el lugar geométrico de las raíces. Indicar claramente los pasos

seguidos así como los cálculos realizados. (Nota: La ecuación de 4º grado no hace falta resolverla a mano)

2) Determinar para qué valores de k tenemos polos dobles. Indicar el valor de dichos polos. 3) Determinar para qué valores de k el servo es estable. 4) Verificar el resultado con ayuda del Matlab (función rlocus). Solución: En primer lugar se representan los polos y los ceros de G(s) en el plano complejo s.

Regla 1. Eje real. Si a la derecha hay un número impar de raíces, existe LGR en el eje real. En nuestro caso, existe LGR desde =-∞ hasta =-1 y desde =0 a =+1. Regla 2. Asíntotas. Puesto que hay 4 polos y 1 cero finitos, ello indica que los 3 ceros que faltan están en el infinito. Los tres polos que deben llegar hasta ellos lo harán viajando por unas rectas asintóticas de centro en:

67.03

2

3

13

14

)1()46.3246.3210(

jj

NN

VV

zp

zpA

y ángulos:

º180,º6014

180180

iNN

izp

A

j

-2 -1 +1

-3.46j

3.46j



Regla 3. Puntos de emergencia/incidencia del/al eje real. En primer lugar particularizamos la ecuación característica en el eje real s=.

0)164)(1(

11

2

k

Ahora hallamos la expresión de k en función de :

1

16123

1

)164)(1()(

2342

kk (Ec. 1)

Y buscamos los puntos que la maximizan o minimizan:

0

1

)16123()1)(162494()(2

23423

d

dk

0

1

162421103)(2

234

d

dk

Nota: Para obtener la derivada también es posible usar el Matlab:

>>[nd,dd]=polyder(-[4 3 12 -16 0],[1 1]) Los puntos que anulan el numerador de la expresión anterior son: 26.21 , 45.02 y

16.275.04,3 j . El primero 1 es un punto de incidencia al eje real puesto que se trata de un

mínimo local de k(). Su k asociada se calcula con ayuda de la (Ec. 1) y resulta ser kinc=70.56. El segundo 2 es un punto de emergencia del eje real puesto que se trata de un máximo local de k(). Su k asociada se calcula con ayuda de la (Ec. 1) y resulta ser kem=3.07. Los dos puntos restantes, al ser complejos, no tienen sentido. La siguiente figura muestra la función k() a fin de que se puedan apreciar su máximo y mínimo local.

>> s=linspace(-3,1,500); >> k=-(s.^4+3*s.^3+12*s.^2-16*s)./(s+1); >> plot(s,k),axis([-3 1 -120 120]),grid,xlabel('\sigma'),ylabel('k') >>

j

-2 -1 +1

-3.46j

3.46j



-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-100

-50

0

50

100

k

Regla 4. Cruce con el eje imaginario. En primer lugar se particulariza la ecuación característica para s=j:

0)(16)(12)(3)(

11

234

jjjj

jk

0)()(16)(12)(3)( 234 kjkjjjj Se separa la ecuación en dos, una para la parte real y otra para la imaginaria, y se resuelve el sistema resultante:

012:Re 24 k

0163:Im 3 kjjj

De la segunda ecuación se obtiene que 163 2 k . Sustituyendo este valor de k en la primera ecuación, tenemos:

0169 24 Cuyas soluciones son:

68.3531656.256.6 2111

21 k

32.2331656.144.2 2222

22 k

Regla 5. Ajustes. Para determinar el ángulo de salida del polo -2+3.46j basta con trazar los vectores que van del resto de raíces al polo en cuestión y ver cuáles son sus ángulos. La condición argumental establece que el argumento del LGR debe ser -180º, de ahí:

º55º90º140º120º115º180



El LGR final es:

Los polos dobles los tenemos en los puntos de emergencia e incidencia. Así, en k=3.07 tenemos dos polos reales en =0.45 y en k=70.6 tenemos dos polos reales en =-2.26. El servo es estable para valores de k entre k=23.32 y k=35.68.

j

-2 -1 +1

-3.46j

3.46j

e=0.45, ke=3.07

A=-0.67

i=-2.26, ki=70.6

1=2.56, k1=35.68

2=1.56, k2=23.32

j

-2 -1 +1

-3.46j

3.46j



4. Análisis de estabilidad

4.1 Criterio de Routh-Hurwitz El criterio de Routh-Hurwitz tiene su origen en los estudios del siglo XVIII sobre la estabilidad de máquinas de vapor implementadas mediante un regulador de Watt y dotadas de acción integral. Datos: Se dispone del modelo matemático del sistema en lazo cerrado, en concreto, de su ecuación característica D(s) (denominador de la función de transferencia del servo). Objetivo: Determinar rápidamente la situación de las raíces de D(s) (polos del sistema) en el plano complejo (semiplano derecho SPD, semiplano izquierdo SPI o eje imaginario), sin calcularlas de manera explícita. Este criterio, cuando se aplica al estudio de la estabilidad, se centra en detectar la existencia de polos en el SPD (inestabilidad) o en el eje imaginario (oscilaciones sostenidas). Condición de estabilidad: Dado el polinomio denominador D(s), la condición necesaria de estabilidad es que no falte ningún coeficiente y que todos tengan igual signo. Así, podemos asegurar que

8235)( 2345 ssssssD corresponde a un sistema inestable

825)( 245 sssssD corresponde a un sistema inestable

ssssssD 2345 235)( corresponde a un sistema inestable Sin embargo la condición anterior no es suficiente para asegurar la estabilidad. Así, no podemos asegurar que los siguientes polinomios sean estables (pueden serlo o pueden no serlo):

8235)( 2345 ssssssD puede ser estable o no

8235)( 2345 ssssssD puede ser estable o no Criterio: El criterio de Routh-Hurwitz se aplica a polinomios donde no falta ningún coeficiente y donde todos los coeficientes tienen igual signo. El criterio establece que D(s) será estable (todas las raíces están en el semiplano izquierdo SPI) si y solo si todos los determinantes de Hurwitz son positivos.

Dado 011

1 ...)( asasasasD nn

nn

los determinantes de Hurwitz se construyen así:

11 naD , 2

312

nn

nn

aa

aaD , … ,

0

1

2

31

0

0

a

a

aa

aa

Dn

nn

nn

n

Tabla: Para facilitar la inspección del signo de todos los Dn sin tener que construir cada uno de ellos y hallar su valor, Routh desarrolló la tabla que se muestra a continuación. Las primeras dos filas contienen los coeficientes del polinomio característico D(s).



0

213

212

5311

642

s

BBs

AAs

aaas

aaaas

n

nnnn

nnnnn

n

Los valores del resto de filas se calculan a partir de las dos filas inmediatamente superiores tal y como se indica a continuación:

1

3211

n

nnnn

a

aaaaA ,

1

5412

n

nnnn

a

aaaaA , …

1

12311 A

aAaAB nn

, …

Si en la primera columna aparece un cero (que no tiene signo), se le considera como positivo, se le sustituye por +, y se siguen normalmente los cálculos. Una fila de ceros implica la existencia de oscilaciones y/o configuraciones simétricas alrededor del origen, y su valor se obtiene a partir de la solución del polinomio determinado por la fila de coeficientes inmediatamente superior. En este caso, para poder terminar de construir la tabla se sustituyen los ceros por los coeficientes de la derivada con respecto a s del polinomio inmediatamente superior. Interpretación: El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla coincide con el número de raíces en el SPD.

Ejemplo 6. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Caso simple

Considerar el polinomio característico 32)( 234 sssssD . La tabla resultante es:

31

05

31

21

311

2

3

4

s

s

s

s

Observando la primera columna vemos 2 cambios de signo (al pasar de 1 a -1 y al pasar de -1 a 5). Por tanto D(s) tiene dos raíces en el semiplano derecho. Si obtenemos las raíces de D(s) vemos que efectivamente hay dos inestables: 706.0074.1 j y 219.1574.0 j .

Ejemplo 7. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Un cero en la primera columna



Considerar el polinomio característico 1422)( 2345 ssssssD . En la tercera fila de la tabla aparece un cero en la primera columna (pero no una fila de ceros). Para poder proseguir con la construcción de la tabla se sustituye dicho cero por el valor >0.

2

3

4

5

5.00

142

121

s

s

s

s

11

05.0

1/1

5.0

142

121

2

3

4

5

s

s

s

s

s

Puesto que hay dos cambios de signo en la primera columna, hay dos raíces en el semiplano derecho. Las raíces de D(s) son 533.009.0 j , 274.1069.0 j y 957.1 .

Ejemplo 8. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Una fila de ceros

Considerar el polinomio 47884)( 2345 ssssssD . La construcción de la tabla nos lleva a una fila de ceros en la posición s1.

0

1

2

3

4

5

00

44

66

484

781

s

s

s

s

s

s

Para ver a qué raíces corresponde podemos resolver el polinomio correspondiente a la fila

inmediatamente superior. Este es 44)( 2 ssA . Sus raíces son js . Para poder seguir con la construcción de la tabla, debemos sustituir la fila de ceros por los

coeficientes resultantes de derivar el polinomio A(s), 08)(

sds

sdA. Estos coeficientes son 8 y 0

respectivamente, así:

4

08

44

66

484

781

0

1

2

3

4

5

s

s

s

s

s

s

Puesto que no hay ningún cambio de signo en la primera columna, no hay ninguna raíz en el semiplano derecho. Hay dos raíces en el eje imaginario. Las tres raíces restantes están en el semiplano izquierdo.



Ejemplo 9. Criterio de Routh-Hurwitz y Lugar Geométrico de las Raíces de Evans.

El criterio de Routh-Hurwtz se puede utilizar en el trazado del LGR de Evans para determinar el punto de cruce del eje imaginario. De paso ilustramos cómo el LGR puede trazarse no sólo para variación de la ganancia de lazo sino también para cualquier otro parámetro del lazo, en nuestro caso un polo.

Variación de la ganancia k: 0)1006)(10(

11

2

sssk

kssssD 10001606)( 23

)1000(16

)1000(2560)1000(16

1601

10

11

2

3

kcs

kbs

ks

s

15601000:estable10000

15600

1

1

kkc

kb

-20 -10 0 10 20 -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

j

k = 3800

k = 1560 k = 573

k =0

k = 3800

k = 1560 k = 573

k =0

k = 3800

k = 1560

k = 573

k =0

Lugar Geométrico de las Raíces (k)

Variación de un polo p:

010001006

100610

)1006)((

10001

23

2

2

sss

ssp

ssps

)1000100()6100()6()( 23 pspspssD



10001006

40036610001006

61001

10

2

11

2

3

pcsp

ppbs

pps

ps

Vamos a analizar el signo de b1: Las raíces del numerador de b1 son -11.6987 y 5.6987. El numerador de b1 es positivo para p>5.6987, es negativo para -11.6987<p<5.6987, y es positivo para p<-11.6987. Por su parte, el denominador de b1 es negativo para p<-6 y es positivo para p>-6. Juntando los signos del numerador y el denominador de b1, vemos que tenemos cuatro regiones: Para p<-11.6987, b1 es negativo Para -11.6987<p<-6, b1 es positivo Para -6<p<5.6987, b1 es negativo Para p>5.6987, b1 es positivo En cuanto al signo de c1, c1 será positivo cuando p>-10; Y el signo del primer coeficiente de la fila s2 será positivo cuando p>-6. En definitiva, combinando todas estas condiciones, todos los signos de la primera columna de la tabla de Routh tendrán el mismo signo (positivo) sólo si p>5.6987. Y por tanto el sistema será estable para p>5.6987 tal y como puede verse en el LGR mostrado a continuación:

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 -15

-10

-5

0

5

10

15

j p = 5.698 p = 3.2 p = 21.3

p = 0

Lugar Geométrico de las Raíces (p)

p

p = 5.698 p = 3.2 p = 21.3

p = 0 p

p = 5.698

p = 3.2

p = 0



4.2 Criterio de Nyquist Datos: Se dispone sólo de la respuesta frecuencial del lazo (y no de un modelo paramétrico) obtenida, probablemente, de forma experimental. Objetivo: Inferir la existencia de raíces de T(s) en el semiplano derecho, a partir de la inspección del número de vueltas con signo (contadas como positivas en el mismo sentido que el contorno de Nyquist) que la curva polar del lazo L(j) da en torno al punto –1. Para que la curva sea cerrada han de considerarse también las frecuencias negativas (generan una curva simétrica, con relación al eje real, de la correspondiente a las frecuencias positivas), la frecuencia cero y la frecuencia infinita. Nota: En general, el criterio de Nyquist se aplica sobre el diagrama polar (plano de Nyquist) de la respuesta frecuencial del lazo aunque también es posible aplicarlo sobre el diagrama de la respuesta frecuencial del lazo en el plano fase-ganancia (plano de Nichols). El método de control robusto conocido como QFT (Quantitative Feedback Theory) hace uso del criterio de estabilidad de Nyquist en el plano de Nichols. Teorema de las vueltas o del argumento: El criterio de Nyquist es una aplicación del teorema del argumento al análisis de la estabilidad de los sistemas. Sean: C un camino cerrado en el plano complejo s, js .

F(s) una función analítica dentro y sobre C excepto, como máximo, en un número finito de polos dentro de C.

Además, F(s) no se anula sobre C.

Entonces al aplicar la transformación conforme F(s) sobre C

Fig. 16. Teorema del argumento

Se cumple que ND=NZ-NP siendo

ND: número de vueltas de D alrededor del origen NZ: número de ceros de F(s) dentro de C NP: número de polos de F(s) dentro de C

C s1

j

j

D

F(s1) F(s)

C



Corolario: El número de vueltas que da el argumento de F(s)=1+L(s) alrededor del origen en un determinado sentido es igual al número de vueltas que da L(s) alrededor de -1 en este mismo sentido:

)1()(

)0()(1

sLsL NN

Igualmente: )

1(

)()0(

)(1

HsQ

sQH

NN

, donde Q(s)=C(s)G(s) es el camino directo y H la ganancia de

retroacción. Nota: Las funciones racionales de s son conformes. Criterio de Nyquist. Caso general:

Enunciado: )1( L

io

ic NPP

El número de polos inestables en lazo cerrado icP es igual al número de polos inestables en lazo

abierto ioP más el número de vueltas con signo que da la respuesta frecuencial del lazo L(j)

alrededor del punto crítico -1.

Número de polos inestables en lazo abierto: Son todos aquellos que se encuentran dentro del contorno de Nyquist D. El contorno de Nyquist, descrito por la variable s, es un contorno cerrado que contiene a todo el semiplano derecho (o lo que nosotros consideremos como inestable), con sentido de circulación definido y analítico (no tiene ningún polo encima de él). Por ello debe evitar -rodeándolas- las singularidades (polos) del lazo L(s), tal y como muestra la siguiente figura. El rodeo alrededor de los polos puede hacerse de manera que queden dentro o fuera de la región definida por el contorno. Si quedan dentro del contorno ello significa que los consideramos inestables.

j s

=0+

=0-

-1.0-0.5

-1.5

=0+

=0-

kAG(s)

Re

Im

Contorno de Nyquist (plano s) Respuesta frecuencial (plano L(s))

Fig. 17. Criterio de estabilidad de Nyquist

Vueltas: La transformación L(s) aplicada al contorno de Nyquist dará lugar a una curva cerrada en el plano L(s). En concreto, la aplicación de L(s) sobre el semieje j da como resultado el diagrama

L(s)



polar de la respuesta frecuencial del lazo. La aplicación de L(s) sobre el semieje –j da como resultado un diagrama polar simétrico con respecto al eje real de la respuesta frecuencial del lazo. La aplicación de L(s) sobre el semicírculo que rodea a los posibles polos en el eje imaginario resultará en una o varias semivueltas cuyo sentido se determina teniendo en cuenta que se conservan los ángulos. Ello es una propiedad de las transformaciones conformes, como son las funciones racionales (como es el caso de las funciones de transferencia). Criterio de Nyquist. Caso restringido: Si el lazo es de fase mínima (por tanto, estable), el criterio se reduce a

Enunciado: 0ioP )1( L

ic NP

Márgenes de estabilidad: Si la planta es estable y de fase mínima ello se traduce, en general, en una situación del tipo de la Fig. 18, es decir, un único corte en el semieje real negativo y de abajo arriba para frecuencias crecientes.

Re[L(j)]

-1

plano L(s) Im[L(j)]

A

MF

1/MG

Fig. 18. Márgenes de ganancia y fase

MG es el margen de ganancia (esto es, cuanto le falta al módulo del lazo para valer 1 a la frecuencia donde la fase es -180). MF es el margen de fase (esto es, cuanto le falta a la fase del lazo para valer -180 si su módulo ya es 1) Casos específicos. Integradores y fase no mínima:

Polos y ceros del lazo Diagrama polar y valoración Comprobación (Evans)

0i

oP

-1 k1

k2

inestable220,2:

estable000,0:)1(

2

)1(1

icL

icL

PNk

PNk

k1

k2




0i

oP

-1

k1

k2

Transformación conforme

inestable220,2:

estable000,0:)1(

2

)1(1

icL

icL

PNk

PNk

k1

k2

(2)

0i

oP

estable000,0: )1( i

cL PNk

0.5

1ioP

-1

k1 k2

estable011,1:

inestable101,0:)1(

2

)1(1

icL

icL

PNk

PNk

0.5

k1 k2

(2)

0i

oP

-1

inestable220,2: )1( i

cL PNk

-1




(3)

0i

oP

-1 k1k2

estable000,22:

inestable102,2:)1(

2

)1(1

icL

icL

PNk

PNk

k1

k2

-0.5 -1 1

0ioP

-1

k2 k1

inestable110,1:

estable000,0:)1(

2

)1(1

icL

icL

PNk

PNk

-0.5 1



4.3 Márgenes de estabilidad Los márgenes de estabilidad miden la distancia entre la respuesta frecuencial del lazo L(j) y el punto crítico -1. El punto crítico -1 corresponde a módulo 1 y fase -180º.

4.3.1 Margen de ganancia (MG) y margen de fase (MF)

Determinación del margen de ganancia MG: Se busca a qué frecuencia 180 el lazo presenta un

desfase de -180º, 180)( 180jL . El margen de ganancia MG se define como el factor por

el que hay que multiplicar el módulo del lazo a dicha frecuencia )( 180jL para que el módulo

pase a valer 1, 1MG)( 180 jL .

Determinación del margen de fase MF: Se busca la frecuencia de crossover co . Esta es la

frecuencia a la cual el módulo del lazo es 1, 1)( cojL . El margen de fase MF se define como

el desfase que le falta al lazo para que su fase a la frecuencia de crossover sea -180°, 180MF)( 180jL

Ejemplo 10. MG y MF en Bode, Nyquist y Nichols

Considerar el lazo )40)(4)(1(

1600)(

ssssL . Para determinar los márgenes de estabilidad

clásicos en MATLAB puede usarse la función margin: >> num=1600;den=conv([1 1],conv([1 4],[1 40])); >> margin(num,den)

-120

-100

-80

-60 -40

-20

0 20

Ma

gnitu

de

(d

B)

10 -2 10 -1 100

101

102

10 3 -270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase

(d

eg)

Bode DiagramGm = 15 dB (at 14.3 rad/sec) , Pm = 37.4 deg (at 5.64 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

MG

MF



La frecuencia de crossover es rad/s64.5co ; a dicha frecuencia la fase es -142.6º, por tanto hay

que desfasar 4.37MF para que la fase del lazo sea -180º. La frecuencia de fase -180º es rad/s3.14180 ; a dicha frecuencia el módulo de L es 0.178 (-15dB) con lo que si aumentamos

la ganancia MG=5.62 (15dB) tendremos que el módulo del lazo será 1 (0dB). En coordenadas polares, la determinación de MG y MF es:

-2 0 2 4 6 8 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ima

gin

ary

Axi

s

MG

1

MF

Real Axis

En coordenadas fase-ganancia, la determinación de MG y MF es:

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20 Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Op

en-

Loop

Ga

in (

dB

)

MF

MG

4.3.2 Margen de módulo (M) y margen de retardo ()

El margen de módulo M se define como la distancia mínima entre la respuesta frecuencial del lazo

y el punto crítico -1. Notar que )(max

1)(1min

jSjLM .



La Fig. 19(a) muestra un ejemplo donde MG y MF son muy buenos (grandes) pero M es muy desfavorable (pequeño).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Im

agin

ary

Axi

s

MG

1

MF

Real Axis

M

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ima

gina

ry A

xis

MF

Real Axis

co

(a) (b)

Fig. 19. Margen de módulo y margen de retardo

El efecto de un retardo puro es que el lazo da diversas vueltas con lo cual es muy probable que el módulo de L sea 1 a diversas frecuencias. Ello define varios MF. En situaciones donde hay diversos MF hay que tomar el mínimo de ellos (el más desfavorable). En cuanto al margen de

retardo, se define como co

MF

e, igualmente, hay que quedarse con el mínimo. Sin embargo

el mínimo no tiene por qué coincidir con el mínimo MF puesto que hay que tener en cuanta también la correspondiente frecuencia de crossover.

4.4 Ejercicios resueltos Ejercicio 4. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Determinar para qué valores de k es estable el siguiente servo:

ksksss

sk

skG

skGsT

)16(123

)1(

)(1

)()(

234

Para ello aplicar el criterio de Routh-Hurwitz.

Solución: En primer lugar, se construye la Tabla:

10

11

212

3

4

)16(3

121

Cs

Bs

AAs

ks

ks



El valor de los coeficientes calculados es:

3

52

3

1636

3

)16(11231

kkkA

kk

A

3

0132

k

kk

k

kkk

A

AkAB

52

83259

52

9)16)(52(3)16( 2

1

211

0030

1

12

A

AB

kAB

AABC

2

1

1211

0

Ahora se busca para qué valores de k la primera columna de la tabla no presenta ningún cambio de signo. No habrá ningún cambio de signo si A1, B1 y C1 son todos positivos: Signo de A1: Este coeficiente será positivo si:

525203

521

kk

kA

Signo de C1: Este coeficiente será positivo si:

01 kC De momento, a partir de A1 y C1, podemos afirmar que si k es negativa o mayor que 52 el servo es inestable. El coeficiente B1 nos permitirá afinar más el margen de estabilidad: Signo de B1: Este coeficiente será positivo si:

052

832592

1

k

kkB

Ello se puede conseguir de dos maneras: si el numerador y denominador son ambos positivos o si el numerador y el denominador son ambos negativos. El denominador será positivo si k<52. Las raíces del numerador son 35.68 y 23.32.

>> num=[-1 59 -832]; >> roots(num) ans = 35.6847 23.3153

El polinomio numerador es positivo para valores de k entre sus dos raíces, tal y como muestra la figura:

>> pol=polyval(num,k);plot(k,pol),xlabel('k'),ylabel('-k^2+59k-832'),grid >> text(18,0,'23.32'),text(38,0,'35.68')



0 10 20 30 40 50 60-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

k

-k2 +

59k-

832

23.32 35.68

Para valores de k por debajo de 23.32, el numerador de B1 es negativo y el denominador de B1 es positivo. Por tanto B1<0. Para valores de k entre 23.32 y 35.68 el numerador de B1 es positivo. Puesto que ambos valores están por debajo de 52, el denominador de B1 también será positivo. Por tanto, B1>0. Para valores de k entre 35.68 y 52 el numerador de B1 es negativo pero su denominador es positivo. Por tanto, B1<0. Para valores de k superiores a 52, B1 vuelve a ser positivo pero entonces A1 es negativo. En definitiva, el margen de valores de k que conlleva estabilidad es: 23.32<k<35.68.

Ejercicio 5. Criterio de estabilidad de Nyquist. Considerar el siguiente sistema. Para kA=1, el diagrama polar de la respuesta frecuencial del lazo L(s)=kAG(s) es el representado en la figura.

G(s) kA +

-1.0 -0.5 -1.5

Se pide estudiar la estabilidad del servo en las siguientes situaciones: 1) G(s) presenta un polo en el origen y un polo inestable. 2) Ídem, pero la ganancia del lazo es kA = 10. 3) Ídem, pero la ganancia del lazo es kA = 0.1. 4) El lazo es estable, pero con tres polos en el origen. Solución: Comentario: A la vista de la respuesta frecuencial del lazo del enunciado vemos que el exceso de polos sobre ceros es de tres 3 zp NN puesto que la fase para es 390270 .



Por otro lado, la fase -270º en 0 nos indica que, o bien tenemos un integrador y un polo inestable ( 18090 ), o bien tenemos tres integradores ( 390 ). Finalmente, tiene que haber al menos un cero a fin de permitir el cruce por el eje real. Solución del ejercicio: A continuación se aplica el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si el sistema en lazo cerrado siguiente (con kA = 1, 10 y 0.1) es estable:

G(s) kA +

Caso 1: G(s) presenta un polo inestable y un integrador, kA = 1. Si definimos el contorno de Nyquist D de la figura (a), el número de polos inestables en lazo abierto

es 1ioP . (Nota: También es posible definir un contorno de Nyquist que contenga al integrador;

en ese caso el número de polos inestables en lazo abierto será 2). La transformación )()( sGksL A sobre el contorno D da lugar al contorno cerrado en el plano L(s) de la figura (b). Para saber por qué lado hay que dibujar el semicírculo rojo hay que fijarse en cuáles son los ángulos

del contorno de Nyquist en 0 y 0 . Estos ángulos deben conservarse al hacer la transformación puesto que L(s) es una transformación conforme (conserva los ángulos). Por

ejemplo, al avanzar por las frecuencias negativas, en el momento en que llegamos a 0 , el

contorno gira 90º a la derecha ( ). Notar que este giro se conserva en la curva transformada de la figura (b). (Si, en el contorno de Nyquist, el semicírculo a la frecuencia 0 hubiera sido tal que el integrador quedara dentro del contorno, notar que el giro hubiera sido de 90º a la izquierda y, por tanto, la curva transformada hubiera cerrado por el otro lado).

j s

=0+

=0-

-1.0-0.5

-1.5

=0+

=0-

kAG(s)

Re

Im

(a) (b)

El número de vueltas que da el lazo alrededor del punto -1 es 1. Pero es una vuelta negativa puesto que su sentido de circulación es el contrario del definido en el contorno de Nyquist D, así pues

.1)1( LN



La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado no tiene ningún polo inestable,

011)1( L

io

ic NPP , con lo que el servo es estable.

Caso 2: G presenta un polo inestable y un integrador, kA = 10. Al multiplicar el lazo por un factor 10, el cruce de -0.5 se convierte en un cruce en -5 y el cruce de -1.5 se convierte en un cruce en -15. Ello hace que el número de vueltas de lazo alrededor de -1 sea

de 1 vuelta positiva, 1)1( LN . La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado

tiene 2 polos inestables, 011)1( L

io

ic NPP , con lo que el servo es inestable.

-1.0-5 -15

=0+

=0-

kAG(s)

Re

Im

Caso 3: G presenta un polo inestable y un integrador, kA = 0.1. Al multiplicar el lazo por un factor 0.1, el cruce de -0.5 se convierte en un cruce en -0.05 y el cruce de -1.5 se convierte en un cruce en -0.15. Ello hace que el número de vueltas de lazo alrededor de -

1 sea de 1 vuelta positiva, 1)1( LN . La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo

cerrado tiene 2 polos inestables, 011)1( L

io

ic NPP , con lo que el servo es inestable.

-1.0

=0+

=0-

kAG(s)

Re

Im

Caso 4: G presenta tres integradores, kA = 1. Si definimos el contorno de Nyquist D de la figura (a), el número de polos inestables en lazo abierto

es 0ioP . (Nota: También es posible definir un contorno de Nyquist que contenga al integrador;

en ese caso el número de polos inestables en lazo abierto será 3).



La transformación )()( sGksL A sobre el contorno D da lugar al contorno cerrado en el plano L(s) de la figura (b). El número de semicírculos a frecuencia 0 debe corresponder con la multiplicidad de los polos en el origen (3 en este caso). (Si, en el contorno de Nyquist, el semicírculo a la frecuencia 0 hubiera sido tal que el integrador quedara dentro del contorno, notar que el giro hubiera sido de 90º a la izquierda y, por tanto, la curva transformada hubiera cerrado por el otro lado).

j s

=0+

=0-

(3)

-1.0-0.5

-1.5

=0+

=0-

kAG(s)

Re

Im

(a) (b)

El número neto de vueltas que da el lazo alrededor del punto -1 es 0, puesto que da una vuelta en un

sentido y otra en el otro, así pues .011)1( LN

La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado no tiene ningún polo inestable,

000)1( L

io

ic NPP , con lo que el servo es estable.

Caso 5: G presenta tres integradores, kA = 10. En este caso el punto crítico -1 queda situado en el primer lóbulo con lo que el número de vueltas es 2 positivas. Por tanto, el servo será inestable:

220)1( L

io

ic NPP

Caso 6: G presenta tres integradores, kA = 0.1. En este caso el punto crítico -1 queda situado fuera de los dos lóbulos con lo que el número de vueltas es 2 positivas. Por tanto, el servo será inestable:

220)1( L

io

ic NPP

Comentario final: Los LGRs correspondientes son los siguientes (notar que sólo hay estabilidad para un margen de valores de kA.



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Ejercicio 6. Nyquist. Aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist a un servo con retroacción unitaria y lazo

)(

1)(

2 psssL

, p>0.

Solución: En primer lugar representamos el contorno de Nyquist. Todo lo que está dentro de él es lo que definimos como inestable. Para que sea analítico no debe contener ningún polo. Por ello, en el origen se traza un arco de radio infinitesimal a fin de evitar el doble integrador. Al quedar los polos a la izquierda del arco, el resultado es que dentro del contorno de Nyquist no hay ningún polo. Por tanto, el número de

polos inestables en lazo abierto es 0ioP . Notar

también que en el dibujo se indica el cambio de ángulo que tiene lugar en las frecuencias 0+ y 0- como consecuencia de haber trazado el arco. Nota: Si hubiéramos trazado el arco a la izquierda del

doble integrador, el resultado hubiera sido 2ioP y el

cambio de ángulo 0+ y 0- a hubiera sido el contrario.

j s

=0+

=0-

(2)

A continuación se traza el diagrama polar de L(s). En azul está representado el diagrama para frecuencias positivas. Notar que el doble integrador hace que a frecuencias muy bajas el módulo sea ∞y la fase -180º. A frecuencia infinita el módulo es cero y la fase -270º (puesto que hay tres polos y ningún cero). Y a frecuencias intermedias la fase siempre está entre -180º y -270º puesto que, a lo largo de todo el eje frecuencial, el polo en p introduce una fase de 0º a -90º.

-1

Las frecuencias negativas dan lugar al diagrama polar simétrico con respecto al eje real y, finalmente, los cambios de ángulo a frecuencia 0 son los que dictan que el contorno se cierra tal y



como muestra la figura. En estas condiciones el número de vueltas que da el diagrama polar

alrededor de -1 es de 2, 2)1( LN .

Con lo cual, el criterio de Nyquist nos dice que al cerrar el lazo el sistema será inestable puesto que

tendrá dos polos dentro del contorno de Nyquist, 220)1( L

io

ic NPP .

Nota: Si en el contorno de Nyquist hubiéramos trazado el arco a la izquierda del doble integrador, el diagrama polar resultante no hubiera dado ninguna vuelta cerrada alrededor de -1 (puesto que los cambios de ángulo a 0+ y 0- hubieran sido los contrarios al caso anterior).

-1

En este caso, la aplicación del criterio de Nyquist nos da: 202)1( L

io

ic NPP , resultado que,

como era de esperar, coincide con el anterior.



5. Análisis del comportamiento

5.1 Precisión (estática)

5.1.1 Constantes de error estáticas (régimen permanente)

Considerar el sistema

L(s)+ R E Y

Fig. 20.

Excitación r(t) = escalón unitario,

Teorema del valor final: )0(1

11

)(1

1lim)(lim)(

00 LssLsssEe

ss

Definiendo la constante de error de posición, kp, como )0(Lk p , el error permanente

estático a entrada escalón puede expresarse como pk

e

1

1)( .

Excitación r(t) = rampa unitaria,

Teorema del valor final: )(lim

11

)(1

1lim)(lim)(

0

200 ssLssLsssEe

sss

Definiendo la constante de error de velocidad, kv, como )(lim0

ssLks

v , el error

permanente estático a entrada rampa puede expresarse como vk

e1

)( .

Excitación r(t) = parábola unitaria,

Teorema del valor final: )(lim

11

)(1

1lim)(lim)(

2

0

300 sLsssLsssEe

s

ss

Definiendo la constante de error de aceleración, ka, como )(lim 2

0sLsk

sa , el error

permanente estático a entrada parábola puede expresarse como ak

e1

)( .

5.1.2 Tipo de sistema

Sistema de tipo 0 (sin integrador en el lazo)

0)0( cteLk p 01

1)(

cte

ke

p

Presenta offset a entradas en escalón

0)(lim0

ssLks

v vk

e1

)( (diverge) No puede seguir entradas en rampa

0)(lim 2

0

sLsk

sa

ake

1)( (diverge) No puede seguir entradas en parábola



Sistema de tipo 1 (un integrador en el lazo)

)0(Lk p 01

1)(

pke Sigue (sin error permanente) entradas en escalón

0)(lim0

ctessLks

v 01

)( ctek

ev

Presenta offset a entradas en rampa

0)(lim 2

0

sLsk

sa

ake

1)( (diverge) No puede seguir entradas en parábola

Sistema de tipo 2 (dos integradores en el lazo)

)0(Lk p 01

1)(

pke Sigue (sin error permanente) entradas en escalón

)(lim0

ssLks

v 01

)( vk

e Sigue (sin error permanente) entradas en rampa

0)(lim 2

0

ctesLsk

sa 0

1)( cte

ke

a

Presenta offset a entradas en parábola

etc...

5.1.3 Determinación de las constantes de error a partir del lazo y del servo

1) Determinación del error vía L(s) (información de lazo abierto)

Excitación Teorema del Valor Final (TVF) Error permanente Constante de error Detección en Bode Escalón )0(1

1)()(

0 LsssElíme

s

pke

1

1)( )0(Lk p

Rampa )(

1)()(

00 ssLlímssElímess

vk

e1

)( )(lim0

ssLks

v

2) Determinación del error vía T(s) (información de lazo cerrado)

Excitación Teorema del Valor Final Error permanente Constante de error

Escalón )(1)()(00

sTs

slímssElímess

)0(1)( Te )0(1

)0(

T

Tk p

Rampa )(1)()(200

sTs

slímssElímess

vk

e1

)( (*) iiv zpk

111

(*) Se supone que el error permanente a escalón es nulo e() = 0, es decir, que el sistema es de tipo 1.

1

kp = k

1

kv = k



Ejemplo 11. Error permanente a rampa en un sistema de segundo orden

Considerar el servo 22

2

2)(

nn

n

ss

ksT

.

¿Cuánto tiene que valer k para que el sistema sea de tipo 1? Los sistemas de tipo 1 (un integrador en el lazo) no presentan offset a entradas tipo escalón unitario. Por tanto, para tener un seguimiento perfecto en régimen permanente a entradas en escalón, k ha de ser 1, o lo que es lo mismo, la ganancia en continua del servo debe ser 1, T(0)=1. Asumiendo el valor de k anterior, obtener una expresión para el error permanente a entradas en rampa. En un sistema de tipo 1, la constante de error de velocidad kv se puede calcular a partir de los polos y ceros del servo,

iiv zpk

111

El servo se puede expresar como ))(())((

)(21

22

pspsjsjssT n

dndn

n

y

no hay ceros, por tanto:

222

111

dn

dndn

dndnv

jj

jjk

nnn

n

vk

2

1

212222

nvrampa k

e21

)(

¿Cuánto vale el error permanente a entradas en rampa para 1

1)(

2

sssT ?

Puesto que 1n y 5.0 , el error es 1)( rampae

¿Cuánto vale el error permanente a entradas en rampa para 1

2)(

2

sssT ?

El sistema no es de tipo 1, por tanto, )(rampae

Ejemplo 12. Coeficientes del numerador y tipo de lazo. Obtener el valor de los coeficientes del

numerador del servo 543

)(23

012

2

sss

bsbsbsT para cada uno de los siguientes lazos:

L1 = k1/s L2 = k2/s2 L3 = k3/s

3



Notar que el error es

)(543

)5()4()3()())(1()()()()(

2301

22

3

sRsss

bsbsbssRsTsRsTsRsE

Si el lazo es de tipo 1 (tiene 1 integrador), el error permanente a entradas en escalón debe ser nulo,

01

543

)5()4()3(lim)(

2301

22

3

0

ssss

bsbsbsse

s 50 b

Si el lazo es de tipo 2 (tiene 2 integradores), el error permanente a entradas en rampa debe ser nulo,

01

543

)5()4()3(lim)(

22301

22

3

0

ssss

bsbsbsse

s 50 b y 41 b

Si el lazo es de tipo 3 (tiene 3 integradores), el error permanente a entradas en parábola debe ser nulo,

01

543

)5()4()3(lim)(

32301

22

3

0

ssss

bsbsbsse

s 50 b , 41 b y 32 b

5.1.4 Principio del modelo interno

Notar que para que no haya offset a entradas en escalón el lazo debe tener un integrador (modelo del escalón), para que no haya offset a entradas en rampa el lazo debe tener un doble integrador (modelo de la rampa), y así sucesivamente. El principio del modelo interno establece que si queremos seguimiento sin offset en régimen permanente a una determinada señal, el lazo debe contener el modelo matemático de dicha señal.

Error permanente a una exponencial eat: at

as

esL

e

)(1

1)( .

Para que 0)(1

1

aL, )(aL , ha de ser

as

sGsL

)()( .

Resumen: añadir corrector que contenga L[g(t)].

5.2 Integrales de error (dinámico) Las integrales de error son una medida más completa que las constantes del error permanente ya que, además del error de seguimiento, tienen en cuenta la evolución temporal del error durante el transitorio (e(t)) y la propagación del error de medida.



0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Am

plitu

d

r

y

tiempo (s)

+ +

_ _ _

0 5 10 15 20 25 30

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo (s)

valo

r ab

solu

to d

el e

rro

r

| e | = | r – y |

Fig. 21.

IAE (Integral of absolute error):

0

)( dtteJ

ITAE (Integral of time absolute error):

0

)( dttetJ (notar que también penaliza el tiempo)

ISE (Integral of squared error):

0

2)( dtteJ

ISEU (Integral of squared error and u):

0

22 )()( dttuteJ (penaliza tanto el error e

como el esfuerzo de control u)

5.2.1 Tabla de integrales cuadráticas

La ventaja de las integrales cuadráticas (ISE) es que se pueden calcular mediante residuos o tablas (previa aplicación del teorema de Parseval en s)

j

jdssEsE

jdtteJ )()(

2

1)(

0

2

Formulación del problema:

1) Determinación de integrales de tipo:

j

jn dssj

J )(2

1

2) donde (s) puede factorizarse como (s) = E(s) E(-s) (llamada factorización espectral)

3) y donde E(s) es de la forma 0

11

01

1

)(

)()(

asasa

bsb

sA

sBsE

nn

nn

nn

Solución del problema:

El resultado de dichas integrales (obtenidas por residuos) para los casos n = 1, 2, 3, 4 es:

Jb

a a102

0 12

Jb a b a

a a a212

0 02

2

0 1 22

)(2

)2(

302130

32203020

2110

22

3 aaaaaa

aabaabbbaabJ



2 2 2 2 2 23 0 3 0 1 2 2 1 3 0 1 4 1 0 2 0 2 4 0 1 4 2 3 4

4 2 20 4 0 3 1 4 1 2 3

( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

2 ( )

b a a a a a b b b a a a b b b a a a b a a a a aJ

a a a a a a a a a

Ejemplo 13. Cálculo de integrales cuadráticas. Para 1

1)(

jjG , obtener

ddjGI

2

2

1 1

1

2

1)(

2

1.

Solución:

1) Por primitivas: 2

1

222

1

2

1

1

1

2

12

arctgd

2) Vía el Teorema de los residuos: ss

ssjs

1

1

1

1)(

1

1

1

122

ds

ssjds

ssj

j

j 1

)(

12

1

1

1

1

1

2

1 21

21

2

1

2

1

2

2)estables""polosresiduos(2

2

1

j

jj

j

3) Vía Tablas: 01

022 1

1)(

1

1

1

1)(

1

1

1

1

asa

b

ssE

sss

sjs

2

1

112

1

2

2

10

20

1

aa

bJ

Ejemplo 14. Control óptimo analítico. Considerar el sistema donde R es un escalón unitario

k+ R E Y)1(

1

ssU

1) Determinar la k que minimiza el ISE. 2) Determinar la k que minimiza el ISEU con =2. 3) Calcular u(0+) en el segundo caso. ¿Qué hay que hacer para reducirlo? 1) En primer lugar se halla la transformada de Laplace del error,

kss

ss

ssksR

sE

2

)1(

)1(

11

1

)(

)(

012

2

0122

1)(

)1()(

asasa

bsb

kss

ssR

kss

sssE



Aplicando tablas se obtiene el ISE

k

k

aaa

ababdtteISE

2

1

2)(

012

2200

21

0

2

El valor mínimo, 2

1min ISE se obtiene para k ,

22 4

1

4

2)1(2

kk

kk

dk

dISE

2) Puesto que u=ke, k

kkISEkdttuteISEU

2

1)21()21()(2)( 22

0

22

.

La derivada es:

2

23

2

23223

4

248

4

2)122(2)146(

2

122

k

kk

k

kkkkkk

k

kkk

dk

d

dk

dISEU

El numerador se anula para 0.5 y 5.05.0 j . Por tanto el valor óptimo es k=0.5 que da un ISEUmin=2.25

3) Aplicando el TVI, 5.01

lim)(lim)(lim)0(2

kkss

ssksskEssUu

sss

Para reducirlo, hay que aumentar la penalización del esfuerzo de control.

5.3 Ejercicios resueltos

Ejercicio 6. Constantes de error.

1) Considerar el servo ))()((

))(()(

321

21

pspsps

zszsksT

. Suponiendo que el sistema es de tipo 1,

demostrar que

2

1

3

1

111

j ji iv zpk.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

16

k

ISE

U

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

k

ISE



2) Considerar una configuración de control con retroacción unitaria con las siguientes funciones de transferencia en el camino directo. Para cada uno de los casos se pide: (1) indicar el tipo de sistema, (2) obtener las constantes de error de a escalón kp, rampa kv y parábola ka, y (3) obtener el error en régimen permanente a una entrada en rampa.

a) )101)(1.01(

1000)(

sssG

, b)

)10010(

100)(

2

ssssG , c)

)5.01)(1.01()(

sss

KsG

d) )10010(

100)(

22

ssssG , e)

)100)(10(

1000)(

ssssG , f)

)1(

)41)(21()(

22

sss

ssKsG

Solución: 1)

La constante kv es la inversa del error permanente a entradas en rampa, v

r ke

1)( . Para calcular

este error, podemos usar el teorema del valor final. Puesto que el sistema es de tipo 1 tenemos que M(0)=1. Por tanto,

0

0)(1lim

1)(

1lim)(lim)(

02200

s

sT

ssT

ssssEe

sssr

Para resolver la indeterminación usaremos L’Hôpital. Hay que obtener la derivada de T(s) con respecto a s:

3212132312

3213

21212

321

21

)()(

)(

))()((

))(()(

pppsppppppsppps

zzszzsk

ds

d

pspsps

zszsk

ds

d

ds

sdT

Y volver a aplicar el límite,

2321

2132312132121 )()()(

ppp

ppppppzzpppzzker

Puesto que el sistema es de tipo 1, se cumple 1321

21 ppp

zzk . Si sustituimos este resultado en la

expresión anterior queda

321

213231

21

212

321

21323121

321

21 )()()()()(

ppp

pppppp

zz

zz

ppp

ppppppzzk

ppp

zzker

12312

11111)(

1

zzpppe

k rv

c.q.d.

2)



El tipo de sistema es el número de integradores del lazo. Así (a) es de tipo 0; (b), (c) y (e) son de tipo 1; y (d) y (f) son de tipo 2. La constante de error de posición se define como )0(Gk p . Así, 1000pk para el caso (a) y

pk en el resto de casos.

La constante de error de velocidad se define como )(lim

0ssGk

sv . Así, 0vk para el caso (a);

1vk para los casos (b) y (e); Kkv para el caso (c); y vk para (d) y (f).

La constante de error de aceleración se define como )(lim 2

0sGsk

sa . Así, 0ak para los casos

(a), (b), (c) y (e); 1ak para el caso (d); y Kka para el caso (f).

El error permanente a entradas en rampa se define como vk

e1

)( . Así, vke /1)( para

el caso (a); 1/1)( vke para los casos (b) y (e); Kke v /1/1)( para el caso (c); y

0/1)( vke para (d) y (f).

Lazo tipo )0(Gk p )(lim

0ssGk

sv )(lim 2

0sGsk

sa

vr k

e1

)(

a) )101)(1.01(

1000)(

sssG

0 1000 0 0

b) )10010(

100)(

2

ssssG 1 1 0 1

c) )5.01)(1.01(

)(sss

KsG

1 K 0 1/K

d) )10010(

100)(

22

ssssG 2 1 0

e) )100)(10(

1000)(

ssssG 1 1 0 1

f) )1(

)41)(21()(

22

sss

ssKsG 2 K 0

Ejercicio 7. Transmisión/tracking

Dado el sistema de control con s

sGp

1)( y Gc = 10, se pide:

+

-

+ +

++

R

W

V

C(s) G(s)

1) Definir el concepto de tipo de sistema y explicar el Principio del Modelo Interno (IMP, Internal

Model Principle).



2) Calcular e() a entrada r(t) en escalón. Dibujar la respuesta. 3) Ídem para r(t) rampa. ¿Qué controlador se requiere para que e()=0? 4) Ídem para r(t) sinusoidal. ¿Qué controlador se requiere para que e()=0? Solución: 1) Tipo de sistema: Número de integradores en el lazo. Si el lazo no tiene integradores, el sistema es de tipo 0. Si el lazo tiene un integrador, el sistema es de tipo 1. Si el lazo tiene dos integradores, el sistema es de tipo 2. Y así sucesivamente. Principio del modelo interno: Si se quiere error de seguimiento asintótico nulo a un tipo concreto de señal de referencia, es necesario que dentro del lazo esté el modelo de la señal. Así, si queremos offset nulo a entradas de tipo escalón, el lazo debe contener el modelo del escalón (1/s). Para offset nulo a entradas en rampa, el lazo debe contener 1/s2. Para offset nulo a señales

senoidales, Asin(0t), el lazo debe contener el factor 220 / osA .

2) Entrada escalón: El lazo es s

sL10

)( , por tanto ess=0. Para verificarlo, calculamos la

transmitancia del servo, 10

10

)(1

)()(

ssL

sLsT . Vemos que, efectivamente, T(0)=1.

>> T=tf(10,[1 10]); >> step(T)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

3) Entrada rampa: Puesto que solo tenemos un integrador, la salida del servo seguirá con error contante a la rampa.

Este error será:

10

110

lim

1

)(lim

11

00

ssssLk

e

ss

vss

Comprobación por matlab:

>> t=linspace(0,2);lsim(M,t,t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plit

ude



Para tener ess=0 a rampas se necesitaría un doble integrador en el lazo. Puesto que la planta ya tiene uno, el otro lo debe poner el controlador. Sin embargo, no basta con que el controlador sea 10/s puesto que ello da lugar a un servo marginalmente estable:

>> s=zpk('s'); >> P=1/s;C=10/s; >> M=feedback(P*C,1) Zero/pole/gain: 10 ----------- (s^2 + 10) >> t=linspace(0,20);lsim(M,t,t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18


Time (sec)

Am

plit

ude

Hay que añadir algún cero a fin de que los polos del servo se encuentren en el semiplano izquierdo del plano complejo. Por ejemplo, una posible elección es: 10(s+1)/s

>> s=zpk('s'); >> P=1/s;C=10*(s+1)/s; >> M=feedback(P*C,1) Zero/pole/gain: 10 (s+1) ------------------- (s+1.127) (s+8.873) >> t=linspace(0,3);lsim(M,t,t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5


Time (sec)

Am

plit

ude

4) Entrada sinusoidal: Si la referencia es )3sin(2)( ttr , la señal de error es

)9)(10(

6

9

3210

1

1)(

)(1

1)(

22

ss

s

ss

sRsL

sE

es decir, ess también es una sinusoide. Por tanto no es posible obtener el error permanente con ayuda del teorema del valor final puesto que éste obtiene un valor constante. Por tanto, el error de seguimiento lo obtendremos por simulación:

>> M=tf(10,[1 10]); >> t=linspace(0,4*2*pi/3); >> y=lsim(M,2*sin(3*t),t); >> plot(t,y'-2*sin(3*t)) >> xlabel('t'),ylabel('e')

0 2 4 6 8 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

e



Para eliminar el offset, hay que incluir el modelo del seno en el controlador. Pero ello no basta puesto que entonces el servo resultante es inestable:

>> s=zpk('s'); >> P=1/s;C=10*2*9/(s^2+9); >> M=feedback(P*C,1) Zero/pole/gain: 180 --------------------------------- (s+5.117) (s^2 - 5.117s + 35.18)

Necesitamos ceros que fuercen a las ramas del LGR a volver al semiplano izquierdo, por ejemplo, un par de ceros en -1:

>> P=1/s;C=10*2*9*(s+1)*(s+1)/(s^2+9); >> M=feedback(P*C,1) Zero/pole/gain: 180 (s+1)^2 ------------------------------ (s+177.9) (s+1.274) (s+0.7939) >> t=linspace(0,4*2*pi/3);lsim(M,2*sin(3*t),t);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Time (sec)

Am

plit

ude

La primera figura muestra como, efectivamente, tras un casi inapreciable transitorio, el error de seguimiento a este tipo de señal es nulo. La segunda figura muestra el error de seguimiento del sistema original:

>> M1=tf(10,[1 10]); >> t=linspace(0,4*2*pi/3);lsim(M1,2*sin(3*t),t);



Ejercicio 7. Comportamiento. Considerar el sistema

donde s

sG2.01

100)(

.

Se pide: 1) ¿De qué tipo es el sistema? 2) Obtener las constantes de error de posición, velocidad y aceleración. 3) Suponiendo que K, Kt son tales que el sistema es estable, obtener los errores en régimen permanente en

función de K y Kt cuando se excita al sistema con las siguientes señales: r(t) = 1, r(t) = t, r(t) = t2/2, todas para t≥0.

4) Comprobar el resultado por simulación, escogiendo unos valores de K, Kt adecuados. Solución: 1) El sistema es de tipo 1 puesto que contiene un integrador en el lazo. 2) El lazo es:

)2000204(

100

)1001(2.0

100

2020

1

)(1

)()(

ttt Kss

K

Kss

K

ssGK

sGKsL

Constante de error de posición: )0(Lk p

Constante de error de velocidad: t

sv K

KssLk

200020

100)(lim

0

Constante de error de aceleración: 0)(lim 2

0

sLsk

sa

3)

Error permanente a entrada en escalón: 01

1)(

pss k

e

Error permanente a entrada en rampa: K

K

ke t

vss 100

2000201)(

Error permanente a entrada en parábola: a

ss ke

1)(

4) Comprobación por simulación. Tomamos K=Kt=1.

El error a escalón es nulo, a parábola infinito y a rampa 2.20100

200020)(

sse

K G(s)

Kt

1/(20s) E R + Y

_ _

+



>> K=1;Kt=1;L=tf(100*K,[4 20+2000*Kt 0]);M=feedback(L,1); >> step(M) >> t=linspace(0,200,500); >> lsim(M,t,t) >> y=lsim(M,t,t); >> t(end)-y(end) ans = 20.1990 >> lsim(M,t.^2/2,t) >>

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

160

180


Time (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10


Time (sec)

Am

plit

ude



6. Análisis de sensibilidad y robustez

6.1 Funciones de sensibilidad Objetivo: Su conocimiento permite hacer estimaciones rápidas sobre el efecto de las variaciones

paramétricas, así como la gama de frecuencias de R(j) y de D(j) que pasarán/se rechazarán (análisis de precisión general). Puede obtenerse fácilmente a partir de L-1 con ayuda del ábaco de Nichols.

C(s) G(s)R

V

D

Y

Fig. 22.

)()()( jSjRjER

)()()( jSjDjEW

|S(j)| es un factor de reducción de los errores. Conviene que sea pequeño en las frecuencias críticas.

6.1.1 Definiciones

1) Sensibilidad absoluta: u

yyu

excitaciónladevariación

respuestaladevariación ;

Aplicación: Estudio de la variación de la respuesta temporal en función de la ganancia de lazo

)(tyk

2) Sensibilidad relativa (o de Bode) de la propiedad M con relación al parámetro :

M

MMMS M

/

/

Aplicación: Propiedades de los sistemas retroactivos, )(1

1)()( sL

S sTsL ,

)(1

)()()( sL

sLS sT

sH

3) Función de sensibilidad complementaria: L

LST

11 . Si H = 1,

R

YT .

4) Sensibilidad semirrelativa de la variable r con relación al parámetro :

rr

S r

/

~

Aplicación: Variación de las raíces (polos) debida a la variación relativa del parámetro .



6.1.2 Aspectos de cálculo

Dependencia de un parámetro diferente de G(s). Aplicando la regla de la cadena:

Si ),()(),( 21 psGsGpsG , 221 Gk

MG

Gk

Gk

MG

Mk SSSSSS

Relación entre sensibilidad del módulo ||MkS y módulo de la sensibilidad M

kS :

MMM ˆ (igualdad vectorial)

M

M

M|

M|

^

Incremento del módulo

Módulo del incremento

k

Mk

Mk SjSS , M

kMk

Mk SSS Re

6.1.3 Aplicación de S(j) al cálculo de errores de regulación (perturbaciones)

)()()(1

1)()(

jSjD

jGjDjE

Comentario: De nuevo resulta que S(j) ha de ser pequeña, al menos en la gama de frecuencias de

interés (espectro de D(j))

6.1.4 Aplicación de S(j) al cálculo de errores en el seguimiento (señales de mando)

Comentario: Para obtener un error (en general) pequeño se requiere una S(j) pequeña.

)()()(1

1)()(

jSjR

jGjRjE

G(s)R E

G(s)

D

E



Limitaciones en su especificación: |S(j)| no puede ser menor que 1 en todas las frecuencias ya

que, según Bode, 0)(log0

djS (ver Figura). Se trata del efecto “cama de agua” (waterbed

effect): Si reducimos |S| en un rango de frecuencias (a BF, en general), |S| aumentará en otro rango (AF) a fin de que el área por encima de los 0dB sea igual al área por debajo de los 0dB haciendo así que la integral se anule.

dB Sr

Fig. 23.

En un sistema con 1 DOF, la especificación de S(j) no puede hacerse independientemente de la de T(j) ya que debe cumplirse T(s) + S(s) = 1.

6.1.5 Sensibilidad. Relación entre S y L-1

Determinación por Nichols

Expresión en términos de L-1: 1

1

11

1

L

L

LS

Similitud con T: L

LM

1 ,

1

1

1

L

LS

Observamos que la relación entre S y L-1 es la misma que la de T y L y, por lo tanto, para obtener S podemos usar el ábaco de Nichols representando previamente L-1 en vez de L. Relación entre Sr, MG y MF

1

r

r

S

SMG

rS

MF2

1sin2 1



6.1.6 Ejercicios resueltos

Ejercicio 8. Dada la respuesta del lazo de un servo con H=1,

30

-30

-20

-10

0

10

20

-10dB

2dB

4dB

6dB8dB

10dB

-1dB

-3dB

0dB

-20dB

-70 -50 -100

-120 -150 -200 -230

-250 -280

-300

= 0.70

= 0.95 = 1.13

= 1.43 = 1.66

= 2.2

= 2.88

= 4.41

0

-300 -250 -200 -150 -100 -50

Ma

gnitu

d d

e G

(j

) [d

B]


se pide: 1) Dibujar sobre el mismo ábaco de Nichols G-1(j). (Notar que esta curva es simétrica con

respecto al origen a la curva de G(j). El módulo de G-1 en dB es igual al módulo de G en dB pero cambiado de signo y la fase de G-1 es igual que la fase de G pero cambiada de signo. Por tanto para su trazado se recomienda obtener el valor simétrico, frecuencia a frecuencia, con respecto al origen de coordenadas).

2) Bosquejar |S(j)| indicando su valor máximo Sr y a qué frecuencia tiene lugar. Estimar la frecuencia en que las perturbaciones se reducen por un factor de 0.1. (Notar que el ábaco aplicado a G da información de M=G/(1+G) y que aplicado a G-1 da información sobre S=1/(1+G)=G-1/(G-1+1)).

Solución: 1) La inversa del lazo es la simétrica con respecto al origen de coordenadas. Se representa punto a punto:



30

-30

-20

-10

0

10

20

-10dB

2dB

4dB

6dB8dB

10dB

-1dB

-3dB

0dB

-20dB

-70 -50 -100

-120-150 -200 -230

-250 -280

-300

= 0.70

= 0.95 = 1.13

= 1.43 = 1.66

= 2.2

= 2.88

= 4.41

0

-300 -250 -200 -150 -100 -50

Ma

gnitu

d d

e G

(j)

[dB

]


2)

0.7 0.95 1.13 1.43 1.66 2.2 2.88 4.41 |S(j)|dB -11 -6 0 9 8 6 4 2.1

0.1 0.2 0.4 1 2 4 10

dB

10

5

0

-5

-10

-15

-20

Sr=9dB

r=1.4rad/s

La frecuencia a la cual la atenuación es 0.1 es la frecuencia a la cual |S|=-20dB, en nuestro caso es =0.7rad/s.

Ejercicio 9. Sensibilidad. Dado el servosistema de la figura:



)164)(1(

12

ssss

s k

R

N D

Nm

Y U + +

+ +

+ +

_

Fig. 24. Se pide:

1) Calcular las funciones de sensibilidad relativa (de Bode) correspondientes al lazo )(sLkS , )( jL

kS

y al servo )(sTkS , )( jT

kS .

2) Calcular y comparar el valor de estas funciones para 10.

3) Calcular, considerando una aproximación lineal, la variación que experimentará 10

)(

jT si k

pasa de 30 a 33 ¿Cuál será el valor de 33,10

)( k

jT

?

Solución: 1) Funciones de sensibilidad relativa: Del lazo con respecto a k:

1)()(

1)()(

)(

)()(

sPsP

skPsLk

sL

sL

kS sL

k

Del servo con respecto a k:

2)(

))(1(

)()())(1)((

)(

))(1(

)(1

)()(

)(

)( skP

sPskPskPsP

sP

skP

skP

skPsM

k

sT

sT

kS sT

k

)(1

1

)(1

1

))(1(

)())(1()(

sLskPskP

skPskPS sT

k

(función de sensibilidad de Bode)

ksksss

ssss

ssss

sksL

sLS sT

k

)16(123

16123

16123

1)(

)(1

1234

234

234)(

Del módulo de la respuesta frecuencial del lazo con respecto a k:

1)()(

1)()(

)(

)()(

jP

jPjPkjL

k

jL

jL

kS jL

k

Del módulo de la respuesta frecuencial del servo con respecto a k: La respuesta frecuencial es:

kjkjjj

jk

jkP

jkPjT

))(16()(12)(3)(

)1(

)(1

)()(

234



16312

)1()(

324

kjk

jkjT

El módulo de la respuesta frecuencial es:

2223224

2

)(16312

1)(

kckb

ka

kk

kjT

donde se han definido a, b, c para simplificar el desarrollo matemático posterior.

Para =10rad/s y k=30 tenemos

0325.028608830

10130)10(

2230

kjT .

Para =10rad/s y k=33 tenemos

0358.028308833

10133)10(

2233

kjT .

Se puede comprobar con ayuda del Matlab: >> T=tf([30 30],[1 3 12 30-16 30]); >> mag=bode(T,10) mag = 0.0325 >> T=tf([33 33],[1 3 12 33-16 33]); >> mag=bode(T,10) mag = 0.0358 La función de sensibilidad es

22

22

22

22222222

22

22

22

22

22

22

)(

22

)(

2

)(22

)(

)(

kckb

ckckbb

kckb

kkckkbkckckkbb

kckb

kckbkkckb

kckb

kckb

kckbkakckba

a

kckb

k

jT

jT

kS jT

k

Sustituyendo los valores a, b, c tenemos:



242424

2468246468

23224

23224

32324224

22

22)(

28216312

2562401525696914424

16312

16312

1631631212

B

A

kk

kBA

kk

kk

kckb

ckckbbS jT

k

23224

242468)(

16312

)282()25624015(

kk

kS jT

k

2) Valores para =10:

1)( sLkS

)316010()8800(

31608800

10)16(120010310

160120010310

)16(123

1612334

34

10

234

234)(

kjk

j

kjkj

jj

ksksss

ssssS

js

sTk

1)( jLkS

22

23224

242468)(

)316010()8800(

2280087425600

16312

)282()25624015(

kk

k

kk

kS jT

k

3) Variación de 10

)(

jT si k pasa de 30 a 33:

Por definición,

k

jT

jT

k

k

kjT

jT

S jTk

)10(

)10(

)10(

)10(

)10(

Ello significa que la variación del módulo a 10rad/s se puede obtener como:



0033.00325.030

30330069.1)10()10(

3030

)10(

kk

jTk jT

k

kSjT

Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente,

0033.00325.00358.0)10()10()10(3033

kk

jTjTjT

Ejercicio 10. Funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria. Dado el sistema

)1( ss

kR YE+

-

++

D

con valor nominal k0 = 1, se pide:

1) Calcular la función de sensibilidad de Bode S(s). Comprobar que )(

)()(

sR

sEsS , es decir, que

es una medida del error (capacidad de seguimiento). Comprobar que )(

)()(

sD

sYsS , es decir,

que es una medida de la atenuación de la perturbación (capacidad de regulación). 2) Calcular la función de sensibilidad complementaria T(s) 1 – S(s). Comprobar que

)(

)()()(

sR

sYsMsT .

3) Comparar |M| y |M|. Calcular |M| vía sensibilidad para k/k = 0.1. Calcular |M| obteniendo |M| para k = 1 y k = 1.1.

4) Dibujar los diagramas de Bode de |S(j)| y |T(j)| y, a partir de ellos, Comprobar para = 0.1 que |S| + |T| 1. Hallar la gama de frecuencias en que el módulo de la variación de la transmisión |M| es diez

veces menor que el modelo nominal |M| en el supuesto de que el valor del parámetro se ha duplicado, es decir, k/k = 1.

Hallar la gama de frecuencias en que la transmisión de r a y tiene una atenuación inferior a -6dB. Ídem en que el rechazo de d a y se reduce a la mitad o menos de su amplitud original. Ídem en que la amplitud del error de transmisión es menor que la mitad de la amplitud de la

señal de mando R(j). Solución: 1) Sensibilidad de Bode

dL

dM

M

L

LL

MMsS

/

/)( donde

22 )1(

1

)1(

)1(,

1 LL

LL

dL

dM

L

LM

. Así,

LL

L

L

LL

dL

dM

M

LsS

1

1

)1(

)1()(

2.

Efectivamente, por algebra de bloques se ve directamente que D

Y

R

E

LsS

1

1)(



2) La función de sensibilidad complementaria T es

MR

Y

L

L

LST

11

111

3) La variación del módulo de M no es lo mismo que el módulo de la variación de M, |M| ≠ |M|. Comprobación para ko = 1 y k = 1.1, k/k = 0.1.

kss

k

ss

kss

k

sM

2

)1(1

)1()( ,

1

1)(

20

sssM ,

1.1

1.1)(

~2

ss

sM

La sensibilidad es:

dk

dM

M

k

kk

MMS M

k

/

/ donde

2222

2

)(

)1(

)(

)(

kss

ss

kss

kkss

dk

dM

)1(

)1(

)1(

)1(

1

)1(222

2

00

ss

ss

ss

ssss

dk

dM

M

kS M

k

A partir de la sensibilidad se obtiene M

1.01

1

)1(

)1(

/

/2200

ssss

ss

k

kMSM

kk

MMS M

kMk

Cuyo módulo resulta ser 22 )1(

)1(1.0

ss

ssM

En el segundo caso, 1

1

1.1

1.1~220

ssss

MMM

4) Diagramas de Bode de |S| y |T|.

En el caso nominal 1

)(2

2

0

ss

sssS ,

1

1)(

20

sssT

>> bodemag(tf([1 1 0],[1 1 1])) >> hold Current plot held >> bodemag(tf([1],[1 1 1]),'--') >> legend('S','T')



10-2

10-1

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de

(dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

S

T

Comprobar para = 0.1 que |S| + |T| 1.

>> magM=bode(tf([1],[1 1 1]),0.1) magM = 1.0050 >> magS=bode(tf([1 1 0],[1 1 1]),0.1) magS = 0.1010 >> magM+magS ans = 1.1060

Hallar la gama de frecuencias en que el módulo de la variación de la transmisión |M| es diez veces menor que el modelo nominal |M| en el supuesto de que el valor del parámetro se ha duplicado, es decir, k/k = 1.

Puesto que k

kMSM

k

kMSM

0000 , hay que encontrar la

frecuencia a la cual )20(1.00 dBS . A la vista del Bode vemos que es, aproximadamente,

0.1rad/s. Por tanto, la gama de frecuencias de desensibilización pedida es la que va de =0 a =0.1rad/s.

Hallar la gama de frecuencias en que la transmisión de r a y tiene una atenuación inferior a -6dB.

Aquí nos fijamos a qué frecuencia T vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =1.5rad/s. A partir de 1.5 la transmisión tendrá una atenuación de ½ e inferior.

Ídem en que el rechazo de d a y se reduce a la mitad o menos de su amplitud original.

Aquí nos fijamos a qué frecuencia S vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =0.4rad/s. De 0 a 0.4rad/s la señal d será atenuada por un factor de ½ o inferior.

Ídem en que la amplitud del error de transmisión es menor que la mitad de la amplitud de la señal de mando R(j).

De nuevo es buscar a qué frecuencia S vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =0.4rad/s. El rango será pues de 0 a 0.4rad/s.



Ejercicio 8. Sensibilidad. Considerar los siguientes dos sistemas:

Se pide: 1) Comprobar que presentan la misma función de transferencia cuando K1=K2=100. 2) Comparar sus sensibilidades relativas con respecto al parámetro K1 para los valores nominales anteriores. Solución: 1)

21

211 0099.01 KK

KKT

, 100

991

100100

1001000099.01

1001001001

21

KKT

2

2

1

12 09.0109.01 K

K

K

KT

, 1001010

91

100

91

1001002

21

KKT

2)

221

221212

21

211

1

1

1

1

0099.01

0099.00099.010099.011

1 KK

KKKKKK

KK

KKK

dK

dT

T

KS T

K

212

21

2

21

211

0099.01

1

0099.01

0099.011

1 KKKK

K

KK

KKKS T

K

01.00099.01

1

10021100

21

21

1

1

KKKK

TK KK

S

2

22

1

11

21

211

1

2

2

1

09.0109.01

09.009.0109.0109.012

1 K

K

K

KK

KK

KKK

dK

dT

T

KS T

K

109.01

12

1 KS T

K

1.009.01

1

1001100

21

21

2

1

KKKK

TK K

S

Conclusión: Una variación del 10% en el parámetro K1 provoca una variación del 10x0.01=0.1% en T1 y una variación del 10x0.1=1% en T2. Por tanto, el segundo sistema es 10 veces más sensible que el primero a variaciones en K1.

0.09

+ K1 K2

0.09

+

0.0099

+ K1 K2



6.2 Incertidumbre y robustez Se dice que un sistema de control es robusto si sus especificaciones de estabilidad y comportamiento se satisfacen a pesar de la incertidumbre en el modelo de la planta que se ha usado en su diseño. Típicamente, el controlador se diseña a partir de un modelo nominal G0 de la planta y no de un hipotético modelo “perfecto” Greal puesto que éste no existe. El modelo nominal G0 es, por regla general, un modelo lineal invariante en el tiempo (LTI, Linear Time Invariant) y de orden reducido. Es por tanto una aproximación muy simplificada de Greal. Por otro lado, aunque fuera posible obtener exactamente Greal, igualmente habría que simplificarlo a fin de poder diseñar a partir de él un controlador realizable. La consecuencia es que siempre existe incertidumbre en el modelo usado para diseñar el controlador.

6.2.1 Cómo modelar la incertidumbre de la planta. Familia de plantas

La incertidumbre en el modelo de la planta puede caracterizarse por medio de un conjunto o familia G de plantas factibles. Este conjunto contiene al modelo nominal G0 y a muchos otros posibles modelos Gi, i=1,2,… de la planta real.

Fig. 25. Familia de plantas

Así, el objetivo del controlador (robusto) no es cumplir las especificaciones de estabilidad y comportamiento para G0 sino cumplirlas para todas y cada una de las plantas de la familia G. En el caso ideal, si esta familia está bien construida, contendrá a Grealcon lo que el controlador robusto funcionará bien en el sistema real. Incertidumbre paramétrica y no estructurada Hay diferentes maneras de formular matemáticamente la familia de plantas G. Cada una de ellas da lugar a un modelo de incertidumbre diferente. A grandes rasgos la incertidumbre puede clasificarse en incertidumbre paramétrica (o estructurada) e incertidumbre dinámica (o no estructurada). En el primer caso la incertidumbre está en los parámetros. Por ejemplo:

(1)

G0

Greal

G1

Gn

G3

G2

G4 G6

G5 G



En el segundo caso la incertidumbre está en la respuesta (temporal, frecuencial) y se caracteriza por medio de cotas o funciones que afectan a la planta nominal. Las dos descripciones básicas son la aditiva (o absoluta)

, (2)

y la multiplicativa (o relativa),

. (3)

Notar que, por desconocimiento y/o necesidad de simplificación, siempre existen dinámicas no modeladas. Así, la incertidumbre dinámica siempre está presente en el modelo, por lo que un modelo de incertidumbre paramétrica como (1) por sí sólo no es una buena opción para caracterizar a la familia G. Existen otros tipos de modelos de incertidumbre, p. ej., aditiva inversa (ver apartado más adelante), multiplicativa inversa (ver el sistema de la Fig. 25), mediante factores coprimos, intervalos de plantas,… y también es posible combinar las diferentes descripciones entre ellas. Regiones de incertidumbre en el plano de Nyquist El dominio frecuencial es idóneo para representar la incertidumbre puesto que ésta varía con la frecuencia y es típicamente mayor a altas frecuencias debido a las limitaciones en la precisión de los instrumentos de medida, a simplificaciones deliberadas de los efectos parásitos, dinámicas no conocidas, etc. La respuesta frecuencial de una planta incierta G ha de incluir la respuesta frecuencial de todas las plantas de la familia G. Ello se traduce en que, para cada frecuencia , la respuesta frecuencial de la planta incierta no estará formada por un único valor sino por un conjunto de valores que definen una región en el plano de Nyquist. Así, el diagrama polar de la respuesta frecuencial de una planta incierta G no es una única curva (como sucede con el caso nominal) sino una banda que incluye todas las respuestas frecuenciales de todas la plantas del conjunto G. Para ilustrarlo, considerar por ejemplo la siguiente familia de plantas con incertidumbre paramétrica:

(4)

La Fig. 26 muestra las regiones de incertidumbre para (4) a las frecuencias

Las regiones de incertidumbre de la Fig. 26 no son muy prácticas por varios motivos. En primer lugar, obtener controladores robustos a partir de este tipo de regiones de incertidumbre es difícil (aunque algún método existe). Además, obtener las regiones ya supone de por sí un esfuerzo considerable. Finalmente, este tipo de descripción no tiene en cuenta el error en la estructura del modelo (dinámicas no contempladas en el modelo paramétrico).



-2 -1 0 1 2 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

= 0.01

= 0.05

= 0.2

= 0.5

= 1 = 2

= 7

Regiones de incertidumbre

Real

Ima

g

Fig. 26. Regiones de incertidumbre paramétrica

Para facilitar el análisis y el diseño del controlador, la mayoría de las técnicas de control convierten las regiones de incertidumbre paramétrica a regiones de incertidumbre no estructurada. La descripción más sencilla es mediante discos de incertidumbre. Esta descripción también recibe el nombre de perturbación compleja (complex perturbation) en contraposición a la incertidumbre paramétrica que, por lo general, es una perturbación real (real perturbation). Discos de incertidumbre Una manera directa de convertir las regiones de incertidumbre paramétrica en regiones de incertidumbre no estructurada es obtener para cada frecuencia unos discos que las engloben. Esta descripción, aunque añade incertidumbre a la planta (aumenta el tamaño de las regiones) es muy simple y por ello muy útil. Basta con especificar el centro y el radio para cada uno de los círculos. El centro de cada disco corresponde a la respuesta frecuencial de la planta nominal, , y el radio es la mayor distancia entre el centro y la frontera de la región de incertidumbre paramétrica. Así, el radio corresponde a la cota máxima de incertidumbre absoluta (llamada también de peor caso) . En el caso de incertidumbre multiplicativa el centro es y el radio es

.

-2 -1 0 1 2 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Discos de incertidumbre

Real

Ima

g

Fig. 27. Regiones de incertidumbre no estructurada

El radio sólo define la circunferencia del disco de incertidumbre. Puesto que la respuesta frecuencial de la planta incierta puede tomar cualquier valor dentro del círculo es necesario introducir una función arbitraria pero estable (o, como mínimo, que no cambie el número de polos inestables al pasar de G0 a G) y que cumpla la condición . Esta condición se



puede expresar de manera más compacta con ayuda de la norma infinita, Así, las familias de plantas con incertidumbre aditiva y multiplicativa quedan expresadas de la siguiente manera:

, (5)

, (6)

Las funciones de ponderación Wa(s) y Wm(s) representan el perfil frecuencial de la incertidumbre. De ellas sólo nos interesa su módulo. Si el valor del módulo de Wm es mayor que 1 para alguna frecuencia, ello indica que para dicha frecuencia la incertidumbre es mayor del 100% y el disco resultante engloba el origen (es el caso de los discos correspondientes a las frecuencias 2rad/s y 7rad/s en la Fig. 27). En esta situación desconocemos totalmente la fase de la planta por lo que es posible que existan ceros de fase no mínima, lo que puede complicar el diseño. En las bandas donde la incertidumbre es tan elevada lo mejor que puede hacer el control es mantener la ganancia del lazo lo más baja posible. Modelo central Finalmente, notar que el radio de los círculos, y por tanto el tamaño de la región de incertidumbre, depende de donde situamos el centro (valor nominal). La opción que da lugar a los círculos más ajustados es la que toma como valor nominal, para cada una de las frecuencias, el centro de masas de la región correspondiente. Es lo que se ha hecho en la Fig. 27. Esta opción no es muy práctica puesto que en general va a ser difícil obtener una función racional que pase por todos los centros y tenga un orden razonable. Una alternativa es comenzar seleccionando un modelo nominal sencillo y a continuación representar los discos de incertidumbre resultantes. Ello no asegura que el modelo nominal pase por el interior de las regiones de incertidumbre paramétrica, lo que puede dar lugar a bandas de incertidumbre tan grandes que hagan imposible tanto el diseño como el análisis. En la Fig. 28 se muestran dos posibles selecciones para el modelo nominal y sus discos de incertidumbre asociados. El primer caso corresponde a la planta “media”

Mientras que el segundo corresponde a la misma planta anterior pero sin retardo,

-2 -1 0 1 2 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Discos de incertidumbre (planta con k = = 0 = 2.5)

Real

Imag

-2 -1 0 1 2 3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Discos de incertidumbre (planta sin retardo puro)

Real

Imag

Fig. 28. Efecto de la selección del modelo nominal central



Claramente, la planta nominal sin retardo es una mala elección puesto que su respuesta frecuencial queda fuera de las regiones de la Fig. 28 (dicho de otro modo, no pertenece a la familia G original definida en (4)) con lo que los círculos de incertidumbre asociados son enormes. Otros tipos de incertidumbre

P0(s)

(s) W2(s)u1 y1 P(s)

+ +

u y

Fig. 29. Incertidumbre multiplicativa

Incertidumbre aditiva: En este tipo de incertidumbre el conjunto P está formado por todas las funciones de transferencia ( )P s que satisfacen

0 2( ) ( ) ( ) ( )P s P s s W s .

Incertidumbre multiplicativa inversa: En este tipo de incertidumbre el conjunto P está formado por todas las funciones de transferencia ( )P s que satisfacen

0

2

( )( )

1 ( ) ( )

P sP s

s W s

.

Incertidumbre aditiva inversa: En este tipo de incertidumbre el conjunto P está formado por todas las funciones de transferencia ( )P s que satisfacen

0

2 0

( )( )

1 ( ) ( ) ( )

P sP s

s W s P s

.

Incertidumbre múltiple (combinación de incertidumbres): En este tipo de incertidumbre el conjunto P está formado, por ejemplo, por todas las funciones de transferencia ( )P s que satisfacen

2 20

1 1

1 ( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( )

s W sP s P s

s W s

.

P0(s)

(s) W2(s)u1 y1 P(s)

+ +

u y

Fig. 30. Incertidumbre aditiva

P0(s)

(s) W2(s)u1y1 P(s)

+ -

u y

Fig. 31. Incertidumbre multiplicativa inversa

P0(s)

(s) W2(s)u1y1 P(s)

- + u y

Fig. 32. Incertidumbre aditiva inversa



P0(s)

(s) W1(s)u1 y1 P(s)

+ -

u

(s) W2(s)u2 y2

+ +

y

Fig. 33. Incertidumbre múltiple

6.2.2 Análisis de robustez

El análisis de la robustez de un sistema de control consiste en verificar si se cumplen sus especificaciones de diseño para toda la familia de plantas G. En el caso de los métodos H∞ la idea consiste en verificar si se cumplen las especificaciones para la incertidumbre de “peor caso”, es decir, para la frontera de la región de incertidumbre. Los llamados teoremas de robustez son una serie de resultados que nos permiten cuantificar el grado de robustez alcanzado tanto en la estabilidad del sistema como en su comportamiento. La expresión particular de cada teorema depende de la descripción de incertidumbre escogida, de la configuración de control y de si el sistema es SISO (Single Input Single Output) o MIMO (Multiple Input Multiple Output). En los textos clásicos sobre el tema se pueden hallar resultados para todas estas situaciones. Configuración de control En este tema nos centraremos en los sistemas SISO y en la configuración de control retroactiva de un grado de libertad (1DOF, One Degree of Freedom) de la Fig. 34, donde K es el controlador robusto y G la planta incierta. Las entradas exógenas r y d corresponden respectivamente a la señal de consigna y al ruido aditivo actuando sobre el sistema.

Fig. 34. Configuración de control (1DOF)

En el caso de incertidumbre multiplicativa, la Fig. 35 muestra la representación en esquema de bloques de la familia de plantas a la que pertenece la planta incierta G.

Fig. 35. Planta con incertidumbre multiplicativa

K G0r

d

_

u

Wm

yG

uG y

K Gr

_

yuGe

d



La matriz de transferencia en lazo cerrado T que relaciona el vector de salida con el vector de entrada del sistema de la Fig. 34 es

(7)

Los elementos de T son funciones de sensibilidad. En particular, T22 es la función de sensibilidad de Bode y T11 es la función de sensibilidad complementaria .

6.2.3 Estabilidad

Puesto que la estabilidad es el objetivo primero y principal de la mayoría de los sistemas de control cabe tratarla por separado. Por ello, se considera primero la estabilidad y después el resto de objetivos de comportamiento. En la mayoría de aplicaciones se requiere que el sistema de control presente estabilidad de tipo BIBO (Bounded Input Bounded Output), es decir, que para cualquier entrada acotada su respuesta también esté acotada. Adicionalmente, se requiere también que el sistema presente estabilidad interna, esto es, que todas las funciones de sensibilidad en (7) sean estables. La estabilidad interna implica que no se han producido cancelaciones de polos y ceros inestables dentro del lazo. Estabilidad nominal El sistema de la Fig. 35 presenta estabilidad nominal si es estable para la planta nominal G0. El criterio de estabilidad de Nyquist para lazos de fase mínima establece que el sistema en lazo cerrado es estable si la respuesta frecuencial del lazo no engloba al punto crítico -1. En el caso nominal, por tanto, para tener estabilidad basta con asegurar que el diagrama polar del lazo nominal

no rodee al punto -1. Estabilidad robusta Se tiene estabilidad robusta cuando el sistema es estable para todas las plantas de la familia G. En el dominio frecuencial, ello se traduce en que la banda que corresponde a la respuesta frecuencial del lazo incierto no debe englobar el punto crítico -1. Así, frecuencia a frecuencia, ninguna de las regiones de incertidumbre asociadas puede contener al punto crítico -1. A partir del diagrama polar de la Fig. 36 se deduce que se tiene que cumplir la siguiente condición

, o, lo que es lo mismo,

,

donde es la función de sensibilidad complementaria para el caso nominal. Esta

última condición se puede expresar de forma compacta mediante la norma infinita:



Fig. 36. Interpretación gráfica de la estabilidad robusta (incertidumbre multiplicativa)

Teorema 1. Estabilidad robusta en presencia de incertidumbre multiplicativa. Se tiene estabilidad robusta en presencia de incertidumbre multiplicativa de perfil Wm si y solo si se cumple la condición

. (8) donde T0 es la función de sensibilidad complementaria nominal. □ Se puede llegar al mismo resultado si se usa el teorema de la pequeña ganancia (small-gain theorem). Este teorema establece que, para que un sistema en lazo cerrado sea estable, el módulo del lazo abierto siempre debe ser inferior a 1 puesto que de esta manera nos aseguramos que nunca englobará al punto crítico -1. En la Fig. 37 el lazo es , por tanto, la estabilidad del conjunto queda asegurada si .

Fig. 37. Teorema de la pequeña ganancia

Teorema 2. Pequeña ganancia. Dada la configuración de la Fig. 37, donde el lazo es estable y se cumple , entonces el sistema en lazo cerrado también será estable si

, donde es cualquier norma que satisface . □ Para obtener la condición de estabilidad robusta a partir del teorema de pequeña ganancia, vamos a obtener cuánto ha de valer la función de transferencia M en la Fig. 37 para que los sistemas de la Fig. 35 y la Fig. 37 sean equivalentes. Para hallar cuánto vale la función de transferencia M en el

M

u

y

‐1

L0(ji)

|Wm(ji)L0(ji)|

Im

Re

|1+L0(ji)|



sistema de la Fig. 35 basta con aplicar la regla de Mason tomando como entrada a y como salida a . El resultado es:

Así, . Puesto que , tenemos que . Si

, también se cumplirá , con lo que se obtiene el mismo resultado para el teorema de estabilidad robusta. La siguiente tabla muestra los resultados para otros tipos de incertidumbre

Tipo de incertidumbre Expresión Condición de Estabilidad Robusta

multiplicativa 2 0( ) 1 ( ) ( ) ( )P s s W s P s 2 0( ) ( ) 1W s T s

aditiva 0 2( ) ( ) ( ) ( )P s P s s W s

2 0( ) ( ) ( ) 1W s C s S s

multiplicativa inversa 0

2

( )( )

1 ( ) ( )

P sP s

s W s

2 0( ) ( ) 1W s S s

aditiva inversa 0

2 0

( )( )

1 ( ) ( ) ( )

P sP s

s W s P s

2 0 0( ) ( ) ( ) 1W s P s S s

Tabla 1. Estabilidad robusta para distintos tipos de incertidumbre

Ejemplo 15. Margen de estabilidad de la familia P: Considerar el sistema con retroacción unitaria de la Figura,

C(s) P(s)

Fig. 38.

Determinar la cota superior sup para la cual el controlador C(s) proporciona estabilidad a todas las

plantas de la familia P definida como

P = 2 0( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( )P s s W s P s s

Podemos escribir

P = 1 12 0( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) 1P s s W s P s s

P = 2 0( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) 1P s s W s P s s

, con 1( ) ( )s s y 2 2( ) ( )W s W s

Aplicando el Teorema de Estabilidad Robusta,

sup 2 0 2 02 0

1sup : ( ) ( ) 1 sup : ( ) ( ) 1

( ) ( )W s T s W s T s

W s T s



6.2.4 Comportamiento

Comportamiento nominal El comportamiento o desempeño de un sistema de control incluye especificaciones de diseño diversas como son el rechazo a las perturbaciones aditivas y el seguimiento a señales de consigna. En todos estos casos, una forma de ver que el comportamiento es el adecuado es comprobar si la magnitud de la señal de error e es pequeña. Considerar de nuevo la configuración 1DOF de la Fig. 34. En el caso nominal la función de transferencia que relaciona la entrada de referencia r con la señal de error e es la función de sensibilidad de Bode . Y la función de transferencia que relaciona la perturbación

aditiva d con la señal de error es . En ambos casos, el comportamiento depende de

la función de sensibilidad S0. Así pues si se quiere acotar la magnitud del error e basta con acotar la

función de sensibilidad nominal o, lo que es lo mismo, .

En un caso más general, la magnitud del error permitida dependerá de la frecuencia de trabajo, por tanto, es razonable acotar la función de sensibilidad en función de la frecuencia y, por tanto, construir una función de ponderación WS tal y como se ha hecho con el perfil de incertidumbre. Así podemos formular el teorema de comportamiento nominal como: Teorema 3. Comportamiento nominal. Se tiene comportamiento nominal si y solo si se cumple la condición

. (9) siendo WS el perfil de las especificaciones y S0 la función de sensibilidad de bode nominal. □ El teorema de comportamiento nominal también tiene una interpretación gráfica (ver la Fig. 39).

Fig. 39. Interpretación gráfica del comportamiento nominal

Se debe cumplir la condición a todas las frecuencias. Dicho de otro modo, para todas y cada una de las frecuencias i, la respuesta frecuencial del lazo nominal L0 ji debe mantenerse fuera del círculo centrado en -1 y de radio|WS ji |. Una elección típica de esta función de ponderación es

|WS ji |

L0 ji

‐1

Im

Re

|1 L0 ji |



(10)

donde M es el máximo valor permitido para la respuesta frecuencial de , es el ancho de banda deseado para el sistema en lazo cerrado y A es la atenuación de las perturbaciones a bajas frecuencias. El valor típico de M es M 2ysu inversa también recibe el nombre de margen de módulo. En cuanto a la atenuación, en general es A 1 y vale A 0 si el lazo presenta acción integral. Comportamiento robusto El sistema tendrá comportamiento robusto si las especificaciones de estabilidad y comportamiento se cumplen para todas las plantas de la familia G. Es decir, para cada frecuencia i la región de incertidumbre (centrada en L0 ji yconradio|Wm ji L0 ji |) no debe intersectar con el círculo de comportamiento (centrado en -1 y de radio |WS ji | .Esta condición se muestra gráficamente en la Fig. 40.

Fig. 40. Interpretación gráfica del comportamiento robusto (incertidumbre multiplicativa)

Matemáticamente, la distancia entre los centros de los círculos debe ser mayor que la suma de los radios,

, o, lo que es lo mismo,

, Expresando esta última condición en términos de norma infinita, el teorema de comportamiento robusto queda así: Teorema 4. Comportamiento robusto en presencia de incertidumbre multiplicativa. Se tiene comportamiento robusto si y solo si se cumple la condición

. (11)

‐1

Im

Re

|WS(ji)|

|1+L0(ji)|

L0(ji)

|Wm(ji)L0(ji)|



donde Wm es el perfil de incertidumbre multiplicativa, WS la función de ponderación de las especificaciones, T0 la función de sensibilidad complementaria nominal y S0 la función de sensibilidad de Bode nominal. □ El valor de la función de coste nos indica el grado de robustez alcanzado. Existe un compromiso entre robustez y comportamiento. Si el valor de la función de coste (11) es muy pequeño, entonces el sistema será muy robusto pero probablemente el comportamiento no será muy satisfactorio (por ejemplo, la respuesta será demasiado lenta). Por ello, las técnicas de control robusto tratan de optimizar este índice de comportamiento buscando que su valor esté por debajo de la unidad (para tener robustez) pero no mucho (para tener buen comportamiento).



7. Extensión del análisis clásico

7.1 Efecto de las no linealidades (saturación) Lazo:

))()((

1

321 pspsps k

u e y r +

Inestabilidad lineal Amplificador k con saturación:

Ganancia equivalente: 1s

Mkeq

Oscilación sostenida: = 1 (del Evans) y eqk

MA 0 (dado M0 = amplitud y keq del Evans)

Función descriptiva: N AC

A( ) 1

1 , donde C1 es el módulo del primer armónico de la

respuesta y A es la amplitud de la excitación senoidal.

N(A)

n t A t( ) sen( ) y t y t T C t( ) ( ) sen( ) 1 1 1

1

7.2 Efecto de la discretización (Ts) Si la k anterior se implementa digitalmente,

A/D D/A k

u

e s

u0

keq 1



Su efecto dinámico puede aproximarse por un retardo 20

sT . La razón es que el sistema no

reacciona instantáneamente sino que lo hace dentro del intervalo de muestreo 0 < Ts y, en promedio, Ts/2.

Lo inmediato es su efecto desestabilizador, por lo que aparte del teorema de muestreo, se tiene

otro límite para no alargar excesivamente Ts.

MFTs

co 2

, co

s

MFT

2

7.3 Efecto del ruido

En los sistemas estocásticos hay que limitar la banda para contrarrestrar el efecto del ruido.

Bases:

1) Densidad de probabilidad: distribución gaussiana p x ex

( )

1

2

1

2

2

x

p(x)

78%

Nota: si el intervalo es 2, el área abarcada es entonces del 95%. 2) Transformada de Laplace bilátera: LB, LII

2.1) Definición: Y s y t e dtst( ) ( )

; y tj

Y s e dsst

j

j

( ) ( )

1

2

(Nota: Obsérvese que el límite inferior de integración aquí es - en vez de cero). 2.2) Cálculo de LB: Para t>0 es Y(s) y para t<0 resulta ser Y(-s); Y s Y s Y s( ) ( ) ( ) 1 1

2.3) Cálculo de LB1 (para el caso de y(t) función par como ocurre con Rx() )

a) Y s Y s Y sY s

Y s( ) ( ) ( ) ;

( ):

( ):

1 1

1

1

correspondiente a los polos SPI

correspondiente a los polos SPD

co0 dB

MF-180



b)

y t y t y ty t L Y s t

y t L Y s t( ) ( ) ( ) ;

( ) ( )

( ): ( ) ,

1 1

11

1

11

1

0

0

3) Autocorrelación: R E x t x t x x p x x dx dxx x( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1 2 1 2 1 2

4) Teorema de Kintchine: S s L Rx B x( ) ( ) ; S F Rx x( ) ( ) 2 ; S S ss

( ) ( )

22

5) Cálculo de la potencia media:

y limT

y t dtj

S s ds S d S df S dfT

T

yj

j

y y y2 2

0

2 2 2

0

1 1

2

1

22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(Nota: La integración se hace con ayuda de tablas) 6) Transmisión del ruido por canales lineales: S s S s H s H sy x( ) ( ) ( ) ( ) .

Filtro de Wiener: Entrada con ruido.

Elección del filtro óptimo que minimiza 22vx ee :

z

x

z

o sH1

)(

Puede hacerse una optimización paramétrica (cuasi equivalente) para determinar la b más

conveniente del servo, sT

sM

1

1)( , para simplificar.

Criterios: Minimizar 22vx eeJ o maximizar

N

S, con restricciones.

H(s)S = x

N = v

y z++

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Tema 2 Análisis de Servosistemas 1314a ocw Tema 2. Análisis de Servosistemas ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 5 Las especificaciones básicas que debe cumplir el servo