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Prediccion de la cinetica de secado de partculas de aserrn en
secadores
de lecho fluidizado mediante diferencias finitas
Anibal Aguilera B.
Universidad Austral de Chile
30 de octubre de 2014
Introduccion
El proceso de secado de partculas de aserrn es de vital
importancia al interior de la industria de paneles aglo-
merados. La fabricacion de tableros aglomerados depende
esencialmente de la aglutinacion de las partculas, por lo
cual es indispensable controlar de forma efectiva la humedad de
estas.
Es recomendable que el contenido de humedad de las partculas sea
uniforme. Un excesivo contenido de hume-
dad implica un aumento en el tiempo de prensado causando
problemas de laminacion, mientras que un sobresecado
causara problemas con la resina.
El tiempo que deben permanecer las partculas al interior de un
secador para obtener la humedad deseada, se
obtiene mediante curvas de secado. La obtencion de estas curvas
se realiza de forma experimental, implicando un
elevado gasto de recursos monetarios y humanos.
La obtencion de un modelo matematico que describa el fenomeno de
secado de partculas de aserrn y el modelado
mediante diferencias finitas, permitiran un ahorro sustancial de
recursos al momento de predecir la cinetica de
secado.
Objetivos
Objetivo Principal
Predecir las curvas de secado de partculas de aserrn en lecho
fluidizado mediante diferencias finitas
Objetivos Especficos
Establecer el proceso fsico que permite el secado de partculas
de aserrn por medio de lecho fluidizado.
Establecer un modelo matematico que permita predecir las curvas
de secado de partculas de aserrn.
Disenar un algoritmo en MatLab mediante diferencias finitas que
simule diferentes condiciones de secado de
partculas de aserrn.
Interpretar la influencia de las variables de interes en el
secado de partculas mediante lecho fluidizado.
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Marco Teorico
Fluidizacion
La fluidizacion se define como un proceso en el que, en un lecho
con partculas solidas se hace pasar un fluido
hasta lograr una mezcla homogenea entre las partculas y el
fluido. Este proceso es frecuentemente utilizado en
operaciones comerciales, las cuales pueden ser divididas en dos
categoras:
Qumicas: reaccion de gases en catalizadores solidos o reacciones
de solidos con gases.
Fsicas: transporte, calentamiento, absorcion, secado, mezclas de
polvos finos, etc.
De acuerdo a Kunii, 1991 al interior de un reactor de lecho
fluidizado, se presentan las siguientes fases:
Lecho fijo: Se tiene un flujo bajo, el fluido se filtra a traves
de los espacios huecos entre las partculas (figura
1a).
Lecho expandido: Al aumentar el flujo, se aumenta la friccion
entre el fluido y las partculas, lo que produce
un aumento en la porosidad del lecho. Las partculas presentan
leves movimientos, orientandose en la direccion
que oponga una menor resistencia al paso del fluido.
Minima fluidizacion: En esta fase se logra un equilibrio entre
el peso de las partculas y la fuerza de arrastre
generada por el fluido, permitiendo la suspension de las
partculas (figura 1b).
Lecho burbujeante: Cuando se utiliza un flujo sobre el nivel de
minima fluidizacion, se observan largas
inestabilidades con burbujeos y canales de fluido. Al aumentar
el flujo, la agitacion se vuelve mas violenta y
el movimiento de los solidos mas vigoroso (figura 1c).
(a) (b) (c)
Figura 1: Fases en el proceso de fluidizacion, a) Lecho fijo, b)
Minima fluidizacion, c) Lecho burbujeante. Fuente (Kunii,1991)
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Secado de partculas
El termino secado de partculas se refiere a la remocion de
pequenas cantidades de agua u otro liquido desde un
material solido, con el objetivo de reducir el contenido
residual de liquido hasta un valor aceptable (McCabe, 1993).
En el proceso de secado mediante lecho fluidizado se clasifica
como un secado de tipo termico. Este proceso se
realiza mediante la inyeccion de gas a alta temperatura y
velocidad en un reactor, permitiendo el fluidizado de las
partculas solidas. En la figura 2 se muestra un diagrama de
flujo esquematico de un sistema de secado mediante
lecho fluidizado.
Figura 2: Diagrama de flujo esquematico de un sistema de secado
mediante lecho fluidizado, Fuente (Mujumdar y Devahastin,2003).
El metodo de secado mediante lecho fluidizado provoca un intenso
mezclado en las partculas solidas y el gas, lo
que permite tener un sistema isotermico con buena transferencia
de masa .
Variables que influyen en el proceso de secado
Dentro de las caractersticas del material particulado, se
identifican algunas de gran importancia, tales como
humedad, diametro y densidad de las partculas, ademas de la
densidad del lecho, porosidad y altura.
Estas variables influyen en la velocidad mnima de fluidizacion,
temperatura del flujo de gas y en la tasa de
secado.
Curvas de secado
A medida que el tiempo transcurre, el contenido de humedad de
las partculas disminuye como se muestra en el
grafico A de la figura 3. Despues de un corto periodo en la cual
se calientan las partculas hasta la temperatura de
vaporizacion, el grafico se transforma en lineal, para luego
curvarse de forma horizontal para finalmente estabilizarse.
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La tasa de secado se muestra en el grafico B de la figura 3,
esta curva es principalmente horizontal lo que refleja
una tasa de secado constante, finalmente la curva desciende y
eventualmente, cuando el material se encuentre en
un equilibrio de humedad, la tasa de secado es cero.
Figura 3: Curvas tpicas del contenido total de humedad y la tasa
de secado vs. el tiempo de secado, Fuente (McCabe, 1993).
Caracterizacion de la partcula
La caracterizacion de la partcula es importante en todos los
aspectos de la produccion, manufactura, manejo,
procesado y aplicaciones. La caracterizacion es la primera tarea
a llevar a cabo cuando se trabaja con solidos. La
caracterizacion requerida no incluye solamente parametros
intrnsecos (peso, tamano, forma, densidad y morfo-
loga), ademas incluye el comportamiento dinamico en relacion al
flujo de fluido (coeficiente de arrastre y velocidad
terminal) (Yang, 2003).
Definicion del tamano de partcula
El tamano de las partculas es una de las dimensiones lineales
definidas para caracterizar una partcula indivi-
dual. Idealmente una partcula esferica se encuentra unicamente
caracterizada por su diametro. Las partculas de
formas regulares pueden ser caracterizadas utilizando dos o tres
de sus dimensiones.
Las partculas irregular representan un caso especial de
caracterizacion, debido a que pueden ser definidas de
una forma unica.
Existen diversos metodos para la transformacion de una partcula
de forma irregular en una esferica (Yang, 2003).
El mas utilizado corresponde a utilizar una partcula equivalente
que presente el mismo volumen de la partcula a
caracterizar.
La expresion matematica que relaciona el diametro equivalente
con el volumen de la partcula se muestra en la
ecuacion 1.
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dv =
(6Vppi
)1/3(1)
Donde
dv = Diametro de la partcula equivalente.
Vp = Volumen de la partcula a caracterizar.
Forma de la partcula
Las partculas de aserrn no presentan una forma definida, por lo
cual cada una requiere de diferentes condiciones
para su secado. Por lo cual se debe asumir una geometra regular
para el secado de la partcula.
Existe diversos factores que permiten describir las formas no
esfericas de las partculas, entre los cuales se
encuentran:
Volumen de la partcula
Area de superficie de la partcula.
Area proyectada de la partcula.
Permetro proyectado de la partcula.
Los parametros de forma mas utilizados correspondes a la
esfericidad () y circularidad (), los cuales se definencomo:
=Area de superficie de esfera equivalente
Area de superficie de la partcula(2)
= Circunferencia del circulo de igual seccionPermetro actual de
la seccion
(3)
Caractersticas de la partcula
Para este trabajo se utiliza la caracterizacion de partculas
realizada por Moreno y Rios, 2002, la cual establece
los siguientes parametros:
Tamano de partcula: 0, 89; 1, 59; 2, 18; 3, 58 [mm].
Contenido inicial de humedad wi 0, 95 2, 0 [kg/kg].
Contenido final de humedad wf 0, 12 [kg/kg].
Densidad partcula de pino (b.s) b 429 [kg/m2].
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Velocidad minima de fluidizacion
La velocidad mnima de fluidizacion corresponde a la velocidad
donde el lecho se transforma desde fijo a fluidi-
zado. Este fenomeno ocurre cuando se iguala la fuerza de
arrastre por el movimiento del gas ascendente con el peso
de la partcula.
Existen diversas formulas que permiten obtener la velocidad
minima de fluidizacion, las cuales involucran parame-
tros del reactor, partculas y gas. Cuando se desconoce la
esfericidad () y porosidad () de la partcula, Wen y Yu
sugieren la siguiente expresion:
Remf =gUmfdp
g=[k21 + k2Ar
]0.5 k1 (4)Donde
Remf = Numero de Reynolds para mnima fluidizacion.
Umf = Velocidad de minima fluidizacion.
g = Viscosidad del fluido.
Ar = Numero de Arqumedes.
Los valores k1 y k2, son valores dependientes de la esfericidad
y porosidad de las partculas y se definen como:
k1 =150(1 )
3.5(5)
k2 =3
1.75(6)
Donde
= Porosidad de la partcula.
= Esfericidad de la partcula.
El numero de Arqumedes se define por medio de la siguiente
relacion
Ar =D3pg(s g)g
2g(7)
Donde
Ar = Numero de Arqumedes.
Dp = Diametro de la partcula.
g = Densidad del fluido.
p = Densidad del cuerpo.
g = Aceleracion de gravedad.
g = Viscosidad del fluido.
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Diversos investigadores han propuesto valores para las
constantes k1 y k2, para ser utilizados cuando no se cuente
con informacion de porosidad y esfericidad (Tabla 1).
Autores k1 k2
Wen and Yu (1966) 33,7 0,0408
Richardson (1971) 25,7 0,0365
Saxena and Vogel (1977) 25,3 0,0571
Babu et al. (1978) 25,3 0,0651
Grace (1982) 27,2 0,0408
Chitester et al. (1984) 28,7 0,0494
Tabla 1: Valor de las constantes k1 y k2 para determinar
velocidad de minima fluidizacion, fuente (Kunii, 1991)
Transferencia de calor
La transferencia de calor al interior de un reactor de lecho
fluidizado se identifican dos casos:
Transferencia de calor entre partculas y gas (conveccion).
Transferencia de calor entre el lecho, gas y superficies
interiores del reactor.
En este trabajo solamente se considera la transferencia de calor
por conveccion entre las partculas y el gas. La
transferencia de calor en la partcula se puede expresar mediante
la ley de Fourier
CpT
t= (kT ) + q (8)
Al trabajar sobre una partcula esferica se utiliza la Ley de
Fourier bajo coordenadas esfericas:
1
r2
r
(kr2
T
r
)+
1
r2sin2
(kT
)+
1
r2 sin
(k sin
T
)= cp
T
t(9)
El calculo de la transferencia de calor se basa en las
siguientes suposiciones
Temperatura constante en T = 0
Temperatura constante en T = 0
Material isotropico kr = k = k = k.
Coeficiente de transferencia de calor k no presenta variacion
con la temperatura.
Por lo cual, la ecuacion de transferencia de calor puede ser
expresada bajo un sistema unidimensional de acuerdo
a la siguiente ecuacion
1
r2
r
(r2T
r
)=
1
T
t(10)
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La condicion de borde para la ecuacion diferencial, corresponde
a la temperatura generada por la transferencia
de calor por conveccion desde el aire circundante. Esta
condicion se puede expresar mediante
kTr|r = h [T Tr0,0] (11)
Coeficiente convectivo
El coeficiente convectivo de transferencia de calor permite
cuantificar la tasa de transferencia de calor convectiva
desde el aire hacia la superficie de la partcula.
Existen tres formas para determinar este coeficiente
Definicion del coeficiente de transferencia de calor por
conveccion.
Experimentalmente utilizando la ley de Newton.
Utilizando parametros adimensionales.
En este trabajo se considera la opcion de utilizar parametros
adimensionales, ya que permiten adaptar la for-
mulacion matematica a distintas condiciones de
funcionamiento.
De acuerdo a Kreith y Manglik, 2012, el coeficiente convectivo
para una esfera que se encuentra rodeada de un
fluido en conveccion forzada se determina mediante
Nu =hcd
k=
(DU
)0.6= 0.37R0.6eD 25 < Re < 10000 (12)
hc = cpU(
2.2
ReD+
0.48
R0.5eD
)1 < Re < 25 (13)
Donde
Nu = Numero de Nusselt.
hc = Coeficiente convectivo.
D = Diametro de la partcula.
k = Conductividad termica del fluido.
U = Velocidad del fluido.
= Viscosidad del fluido.
ReD = Numero de Reynolds.
Para este caso en particular, Moreno propone una correlacion
obtenida de forma experimental en un secador de
laboratorio de lecho fluidizado para biomasa forestal. La
correlacion esta dada por
Nu = 0.03R1.28ep 100 < Re < 250 (14)
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Transferencia de masa
La transferencia de masa ocurre cuando se tienen dos cuerpos con
distintas concentraciones. En el caso del
secado de partculas, la transferencia de masa ocurre entre la
partcula de aserrn al aire que la rodea.
Al interior de la partcula la transferencia de masa por difusion
se rige por la ley de Fick.
jA = DABma (15)
De forma similar a lo realizado con la ley de Fourier en la
transferencia de calor, para la transferencia de masa
se utiliza la ley de Fick en coordenadas esfericas
1
r2
r2
( DAB r
mar
)+
1
r2sin2
( DAB
ma
)+
1
r2 sin
( DAB sin
ma
)=At
Para la transferencia de masa se identifican los siguientes
supuestos
Concentracion constante en xa = 0
Concentracion constante en xa = 0
Material isotropico DABr = DAB = DAB = DAB .
Por lo cual la ecuacion de transferencia de masa se reduce a un
sistema unidimensional, representado por la
siguiente expresion
1
r2
r
( DAB r
mAr
)=At
(16)
La condicion de borde para la ecuacion diferencial corresponde a
la concentracion en la superficie de la partcula,
la cual se encuentra sometida a transferencia de masa
convectiva.
DABxar|r = kgp [xa,s xa,] (17)
De forma analoga a la transferencia de calor, en la
transferencia de masa por conveccion se utiliza un coeficiente
kgp que permite cuantificar la tasa de transferencia de
masa.
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Coeficiente convectivo
El coeficiente convectivo de transferencia de masa se sigue un
procedimiento similar al realizado con el coeficiente
convectivo de transferencia de calor mediante la utilizacion de
parametros adimensionales.
Para determinar el coeficiente se requieren dos relaciones
Numero de Sherwood
Sh =kgpdpDv
= 2.0 + 0.6 S1/3c R1/2e (18)
Donde
Sh = Numero de Sherwood.
kgp = Coeficiente convectivo de transferencia de masa.
Dv = Difusividad de masa entre aire y vapor de agua.
dp = Diametro de la partcula.
Numero de Schmidt
Sc =
Dv(19)
Donde
Sc = Numero de Schmidt.
= Viscocidad del fluido.
= Densidad del fluido.
Dv = Difusividad de masa entre aire y vapor de agua.
De forma analoga a la transferencia de calor, Moreno propone una
correlacion obtenida de forma experimental.
La correlacion esta dada por
Shgp = 1.35 105R1.41ep 100 < Rep < 250 (20)
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Diferencias finitas
El metodo de diferencias finitas permite la resolucion de las
ecuaciones en derivadas parciales de transferencia
de calor y masa mediante metodos numericos.
Para la resolucion del problema se utiliza el metodo implcito de
las diferencias finitas, el cual presenta la ventaja
sobre el explcito de no requerir un criterio de estabilidad.
El primer paso para la aplicacion de este metodo consiste en
discretizar el dominio del problema mediante la
generacion de un mallado. En la figura 4 se muestra el mallado
para una superficie circular bidimensional la cual
es transformada en una malla cartesiana bidimensional. Como en
este problema se considera transferencia de calor
y masa de forma unidireccional, se trabaja con los nodos
senalados en la malla cartesiana.
N1N2N3N4
ConveccionT, h
N1N2N3N4Conveccion
T, h
x
y
r
Figura 4: Discretizacion del dominio en diferencias finitas
En el mallado se observan tres tipos de nodos, donde sus
ecuaciones para un problema unidimensional se definen
como
Nodo Interior N2, N3
(1 + 4Fo)Tp+1m Fo(T p+1m+1 + T p+1m1) = T pm (21)
Nodo exterior con conveccion N1
(1 + 2Fo(2 +Bi))Tp+1m Fo(2T p+1m1) = T pm + 2BiFoT (22)
Nodos simetra N4
T pm = Tpm1 (23)
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En las ecuaciones de diferencias finitas se introducen los
numeros de Biot (Bi) y Fourier (Fo), los cuales se
definen como:
Transferencia de calor
Numero de Biot
Bi =ht
k(24)
Donde
h = Coeficiente convectivo.
t = Incremento de tiempo.
k = Conductividad termica.
Numero de Fourier
FO =t
(x)2(25)
Donde
= Difusividad termica.
t = Incremento de tiempo.
x = Incremento entre nodos.
Transferencia de masa
Numero de Biot
Bi =hmt
DAB(26)
Donde
hm = Coeficiente convectivo de masa.
t = Incremento de tiempo.
DAB = Coeficiente de difusividad.
Numero de Fourier
FO =DABt
(x)2(27)
Donde
DAB = Coeficiente de difusividad.
t = Incremento de tiempo.
x = Incremento entre nodos.
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Referencias
Chen, J., Grace, J., y Golriz, M. (2005). Heat transfer in
fluidized beds design methods.
Coln, G. (2010). Influencia del contenido de humedad y la
densidad de la materia prima en la fabricacion de
tableros aglomerados de partculas de mader (U.M.S.N.H, Ed.).
Mexico.
Kreith, F., y Manglik, R. (2012). Principio de transferencia de
calor (Septima ed.). Cengage Learning.
Kunii, D. (1991). Fluidization engineering (Segunda ed.).
Butterworth-Heinemann.
McCabe, W. (1993). Unit operations of chemical engineering
(Quinta ed.). Mc Graw Hill.
Moreno, R., y Rios, R. (2002). Study on sawdust drying
techniques in fluidised bed. Biosystems Engineering , 9.
Mujumdar, A., y Devahastin, S. (2003). Applications for
fluidized bed drying. Handbook of Fluidization and
Fluid-Particle Systems, 463-478.
Roy, G., y Sarma, K. (1970). Fluidized bed heat transfer.
Regional Engineering College, Rourkela8 .
Urrutia, R. (2006). Diseno de un secador piloto de lecho
fluidizado para biomasa forestal (Universidad Austral de
Chile, Ed.).
Yang, W. (2003). Particle characterization and dynamics. Hanbook
of Fluidization and Fluid-Particle Systems.
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Referencias
