Calculo Matricial

Se tiene la siguiente figura en la que se muestra el prtico a analizar:

Datos de columnas (elementos 1 y 3) y viga C (elemento 2):

Datos de dimensiones y fuerzas externas:

Con estos datos la matriz de rigidez para este caso sera:

Se sabe que para cada elemento:

Se procede a hallar la matriz de rigidez para cada elemento:

Columna 1:

Viga 2:

Columna 3:

Ahora con estas tres ecuaciones de rigidez de cada elemento, se procede a calcular la matriz global del sistema:

Se analiza el prtico y se llega a la conclusin de que el elemento 1 interacta con el nodo 1 y el nodo 2, a su vez el elemento 2 interacta con el nodo 2 y el nodo 3, y, por ltimo, el elemento 3 interacta con el nodo 3 y el nodo 4.

Con dicha informacin se procede a calcular la matriz global del prtico:

A continuacin se incluye las condiciones de borde para poder simplificar nuestra matriz:

Obtenindose as la Matriz A simplificada:

Luego, hallando la inversa de dicha matriz se podr calcular los desplazamientos:

Resolviendo:

Luego, con las ecuaciones restantes de la matriz Rigidez principal del sistema, se calculan las Fuerzas restantes y se obtiene:

Finalmente, se prosigue a comprobar que tanto las sumatorias de las fuerzas co-lineales al eje X y al eje Y, as como de momentos, se encuentren en equilibrio.

Gracias a una sumatoria rpida de fuerzas de la tabla anterior se logra confirmar que efectivamente nos sale 0, lo que comprueba el equilibrio del sistema.

ENERGIA INTERNA Y FUERZAS INTERNAS:

De la teora de Resistencia de materiales se sabe que energa interna acumulada de la estructura es:

W: Energa Interna

E: Modulo de Elasticidad

A: rea de la Barra

N: Fuerza Interna del elemento

L: Longitud del elemento

Se procede a realizar el clculo para cada elemento.

Hallando de esta manera la energa interna del sistema.

ElementonguloCos(a)Sen(a)

19001

2010

3-900-1

u1w11u2w22

440816.32650-1542857.143-440816.32650-1542857.143u1

045000000000-4500000000w1

-1542857.143072000001542857.143036000001

-440816.326501542857.143440816.326501542857.143u2

0-4.5E+08004500000000w2

-1542857.143036000001542857.143072000002

u2w22u3w33

21000000-21000000u2

0403.210080000-403.21008000w2

0100800033600000000-100800016800000002

-2100000021000000u3

0-403.2-10080000403.2-1008000w3

0100800016800000000-100800033600000003

u3w33u4w44

440.816326501542857.143-440.816326501542857.143u3

045000000-4500000w3

1542857.14307200000000-1542857.143036000000003

-440.81632650-1542857.143440.81632650-1542857.143u4

0-450000004500000w4

1542857.14303600000000-1542857.143072000000004

u1w11u2w22u3w33u4w44

440816.32650-1542857.143-440816.32650-1542857.143000000

045000000000-4500000000000000

-1542857.143072000001542857.14303600000000000

-440816.326501542857.143650816.326501542857.143-21000000000

0-45000000000450000403.210080000-403.21008000000

-1542857.143036000001542857.143100800033672000000-10080001680000000000

000-21000000210440.816301542857.143-440.816326501542857.143

0000-403.2-10080000450403.2-10080000-4500000

0000100800016800000001542857.143-100800010560000000-1542857.14303600000000

000000-440.81632650-1542857.143440.81632650-1542857.143

0000000-450000004500000

0000001542857.14303600000000-1542857.14307200000000

u1Fix

w1F1y

1M1

u2F2x

w2F2y

*

2

=

M2

u3F3x

w3F3y

3M3

u4F4x

w4F4y

4M4

u10

w10

10

u40

w40

40

Condiciones de Borde

123456Desplz.F

1210440.820.001542857.14-210000.000.000.00u220000

20.00450403.201008000.000.00-403.201008000.00w2-60000

31542857.141008000.0010560000000.000.00-1008000.001680000000.0020

4-210000.000.000.00210440.820.001542857.14u30

50.00-403.20-1008000.000.00450403.20-1008000.00w3-60000

60.001008000.001680000000.001542857.14-1008000.0010560000000.0030

*=

FDesplazamientos

2.27021E-062.53167E-12-9.51109E-102.26678E-06-2.53167E-09-1.80114E-1020000u2

2.53167E-122.22222E-09-6.08531E-133.37512E-123.68353E-13-1.15767E-13-60000w2

-9.51109E-10-6.08531E-133.23183E-10-5.73202E-106.08531E-10-5.12735E-1102

2.26678E-063.37512E-12-5.73202E-107.02081E-06-3.37512E-09-9.34899E-100u3

-2.53167E-093.68353E-136.08531E-10-3.37512E-092.22185E-061.15767E-10-60000w3

-1.80114E-10-1.15767E-13-5.12735E-11-9.34899E-101.15767E-101.03002E-1003

Matriz Inversa de A

*=

ValorUnidad

u20.0456mm

w2-0.0001mm

2-0.0001rad

u30.0455mm

w3-0.1334mm

30.0000rad

ValorUnidad

F1X-10004.111N

F1y49689.073N

M144244515.6Nmm

F2x20000N

F2y-60000N

M20N

F3x0N

F3y-60000N

M30N

F4x-9995.888N

F4y70310.92N

M444200849.1Nmm

BarraAELL/(2*E*A)NN^2Energa Interna

Unidadm2Pamm/NNN^2N-m

10.0152.1E+1171.11111E-0950686.15101372.31.141816096

20.0052.1E+1152.38095E-0920000400000.952380952

30.0152.1E+1171.11111E-0971017.915142035.831.245310568

TOTAL3.339507616N-m

3339.507616N-mm

ValorUnidad

E210000Mpa

A115000mm2

I160000000mm4

A25000mm2

I220000000mm4

L17000mm

L25000mm

ValorUnidad

F120000N

F260000N

F360000N

H7000mm

L5000mm