Segundodocu

Ejemplos Bernoulli, Distribución Binomial, Poisson, Distribución de Probabilidad Normal, Distribución Gamma.

18/03/2012Universidad Tecnológica de Torreón

Leal Ramírez 2”A”

Bernoulli 1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

Distribución Binomial.

EJEMPLO 1

En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la

respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone

“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se

desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.

Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir

del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas

Binomial (n,p)

n: Número de pruebas 20

p: Probabilidad de éxito 0,7500

Punto K 14

Probabilidad Pr[X=k] 0,1686

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828

Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172

Media 15,0000

Varianza 3,7500

La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

Poisson

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

Ejemplo2 .- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418

X=3

=3

Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08=10

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0

µ = 80

σ = 14 z x−μσ

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90)

z 90−80

14=10

14=0.71 =

z 75−80

14=−5

14=−0.36 =

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.p(x ≤ 75)

z 75−80

14=−5

14=−0.36=¿

p(x ≤ 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0p (55 ≤ x ≤ 70)

z 70−80

14=−10

14=−0.71 =

z 55−80

14=−25

14=−1.79 =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594

75 80 90 μ


0.3594

75 80 μ


0.2389

0.0367

55 70 80 μ

2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00

σ =$20,0 z x−μσ

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?p(x ≥ 80,000)

z 80,000– 70,000

20,000=10,000

20,000=0.50 =

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)

z 80,000– 70,000

20,000=10,000

20,000=0.50 =

z 65,000– 70,000

20,000=−5,000

20,000=−0.25 =

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.p(x ≥ 65,000)

z 65,000– 70,000

20,000=−5 ,000

20,000=−0.25 =

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987


0.6915

70000 80000 μ


0.6915

0.4013

65000 70000 80000 μ


0.4013

65000 70000 μ

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z x−μσ

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos?p( x ≤ 30)

z 30– 38.3

7.5=−8.3

7.5=−1.11 =

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?p(30 ≤ x ≤ 35)

z 35– 38.3

7.5=−3.3

7.5=−0.44 =

z 30– 38.3

7.5=−8.3

7.5=−1.11 =

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?p(30 ≤ x ≤ 40)

z 40 –38.3

7.5=1.7

7.5=0.23 =

z 30– 38.3

7.5=−8.3

7.5=−1.11 =


0.1335

30 38.3 μ


0.3300

0.1335 30 35 38.3 μ


0.5910

0.1335

30 38.3 μ

p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%

4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

1.65 x –1,200

225

1.65×225=x−1,200 371.25=x−1,200 x=1,200+371.25

x = 1,571.25

5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

µ = 1,200 σ = 225

Probabilidadacumulada.

5% = .0500 z

z

5% ó 0.0500

X = 1,571.25

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

z

1.64 x – 20,082

4,500 1.64×4,500=x−20,082 7,380=x−20,082 x=20,082+7,380

x = 27,462.

z

X = 27,462

95% ó 0.9500

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

DISTRIBUCIÓN GAMMA

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

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