Departamento de Matemáticas. IES Pedro Floriani

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. 2º Bachillerato 1

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1ª PARTE)

(A) SISTEMAS DE ECUACIONES. PRINCIPIOS BÁSICOS

(B) SISTEMAS ESCALONADOS

(C) MÉTODO DE GAUSS

(A) SISTEMAS DE ECUACIONES. PRINCIPIOS BÁSICOS

� SISTEMAS DE ECUACIONES: Son grupos de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas que resolverlas significa encontrar los valores para cada incógnita que hacen que se verifiquen todas las igualdades simultáneamente.

� Nosotros nos ocuparemos de los SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL) que son, los sistemas de la forma:

c = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = x a + . . . + x a + x a

c = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

xj son las INCÓGNITAS, (j=1,2,...,n). aij son los COEFICIENTES, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n). ci son los TÉRMINOS INDEPENDIENTES, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n. Los escalares aij y ci son números reales. El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación. Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ... Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama HOMOGÉNEO.

Ej:

0 = t + z 3 -y +x

0 = t 2 + z +y

0 = t - z +y 2 - x 3

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas. Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1. El término independiente de la misma es el 0.

Ejercicio : Comprobar las soluciones en cada sistema.

(a)

=−=−

354

132

yx

yxSolución: x=2, y=1 (b)

=+−=−+=+−

032

025

043

zyx

zyx

zyx

Solución: x=0, y=0, z=0

� CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: Los sistemas de ecuaciones según el número de soluciones que tengan, se clasifican:

o SISTEMAS COMPATIBLES: Son los que tienen solución.

� DETERMINADOS: (S.C.D) Si poseen una única solución.

� INDETERMINADOS (S.C.I) Si poseen más de una solución (� en este caso tienen infinitas)

o SISTEMAS INCOMPATIBLES (S.I.) Son los que no tienen solución.

Departamento de Matemáticas. IES Pedro Floriani

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. 2º Bachillerato 2

Ejercicio : Resuelve los siguientes SEL y clasifícalos y haz su interpretación geométrica

(a)

=+=−3

624

yx

yx (b)

=+−−=−

642

22

yx

yx (c)

=+−−=−12

224

yx

yx

(B) SISTEMAS ESCALONADOS

DEFINICIÓN

� SISTEMA ESCALONADO: Es un sistema que no tiene términos debajo de la diagonal principal.

Son sistemas muy fáciles de resolver.

Ejercicio: Resolver los siguientes SEL escalonados:

(a)

==+

105

1432

y

yx (b)

==−=+−

123

65

723

z

zy

zyx

(c)

==+=+=−+

62

113

8

52

t

tz

zy

tyx

� Sistema con más incógnitas que ecuaciones : Se pasa la incógnita “sobrante” al segundo miembro y calculamos las soluciones.

Ej:

=+=+=−+

113

8

52

tz

zy

tyx

� Puesto que todas las soluciones quedan en función de una de las variables “t”; esto significa que tendremos una solución distinta para cada valor de “t”. Existen infinitas soluciones, es por tanto de un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. (S.C.I.)

� Las soluciones se presentan en función de un parámetro λ (lambda), que puede ser sustituido por cualquier número real y así obtener las infinitas soluciones del sistema.

Soluciones:

=−=+−=

−=

λλλ

λ

t

z

y

x

311

32

59

siendo λ cualquier nº real (con R∈λ )

(C) MÉTODO DE GAUSS

Ejercicio : Resuelve los siguientes SEL por el MÉTODO DE REDUCCIÓN

(a)

−=+=−

33

1652

yx

yx (b)

=−=−

1533

72

yx

yx

(c)

=−=+

453

932

yx

yx (d)

=+=+

1264

932

yx

yx

� Éste método, también llamado de Gauss, consiste en transformar un SEL en otro escalonado resolviendo así fácilmente el sistema.

� Para conseguir el sistema escalonado realizamos transformaciones elementales en las ecuaciones [multiplicando por escalares y sumando ecuaciones], transformándolas en otras equivalentes como hacemos con el método de reducción.

Departamento de Matemáticas. IES Pedro Floriani

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

(a)

=−−=+−−=−+

0324

7563

1452

zyx

zyx

zyx

Sol: (−21, -9, −22) � S.C.D

(b)

−=−+−=−+=++

1234

0

6223

zyx

zyx

zyx

Sol: (2, -1, 1) � S.C.D

(c)

=+−=+−=−+

464

353

132

zyx

zyx

zyx

Sol: No hay sol � S.I.

(d)

=−−=+−=−+

0574

0332

042

zyx

zyx

zyx

1. Resolver por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones:

=+−=++=++

=++=+−=++

=−+=+−=++−

2965

11532

2

3)

2423

52

11

2)

1

7

3

)1

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

Sol: (4 ,2 ,5) Sol: (4 ,5 ,2) Sol: (1 ,-2 ,3)

12=y+3x

15=3z+2y

3=z+y-x

6)

6=z+x

8=z+y

12=y+x

5)

5=z+y

4

6

)4

=+=++

zx

zyx

Sol: (1 ,2 ,3) Sol: (5 ,7 ,1) Sol: (3 ,3 ,3)

=++=++=++

0=z+y+x

0=2z-3y+x

0=3z-2y+x

9)

0=3z-3y+4x

0=z-2y-3x

0=2z+y-2x

8)

0987

0654

032

)7

zyx

zyx

zyx

Sol: (λ, -2λ, λ) Sol: (0 ,0 ,0) Sol: (0 ,0 ,0)

=++=++

11543

4432

6=3z+2y+x

12)

9=4z+3y+2x

-1=6z-4y+x

1=z-3y-5x

11)

-4=z+3y-2x

-10=2z-y+3x

-16=3z-2y+x

)10

zyx

zyx

Sol: (1 ,5 ,9) Sol: (1 ,1 ,1) Sol: Sistema Incompatible

2. Resolver por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

− + =− − + =

− + =

Sol.: Sistema Incompatible

b) x y z

x y z

x z

− + =− + − =

+ = −

3 2

3 2 1

7 7

Sol.: (7

1λ−− ,

7

21

λ+− , λ )

c)

3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

− + =− − + =

− + =

Sol.: Sistema Incompatible

d)

2 3

2 3

4 5 9

x y z

x y z

x y z

− + =− − =− − =

Sol.: (1-λ, -λ-1, λ)

e)

2 3 0

2 0

7 0

x y z

x y z

x z

+ − =+ + =

− − =

Sol: (-7λ, 5λ, λ)

-4=z+3y-2x

-10=2z-y+3x

-16=3z-2y+x

)

f

Sol: (1 ,5 ,9) � S.C.D

Los sistemas como éste que tienen todos los términos independientes 0 se llaman HOMOGÉNEOS. La característica común a todos ellos es que tienen la solución trivial, aquella en que todas las incógnitas son 0. [ No pueden ser INCOMPATIBLES] Ver si el sistema tiene más soluciones en cuyo caso será un sistema indeterminado, tendrá infinitas soluciones.

PROBLEMAS

1.- Un joyero tiene monedas de tres clases: A, B y C. Las monedas del tipo A tienen un gramo de oro, dos de plata y siete de cobre; las del tipo B tienen tres gramos de oro, dos de plata y cinco de cobre; finalmente, las del tipo C tienen cuatro gramos de oro, tres de plata y tres de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener una moneda de 22 gramos de oro, 22 de plata y 56 de cobre?

Sol: (5, 3, 2) 2.- Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años. Si la media de sus edades es de 18,5 años.¿ Cuántos alumnos hay de cada edad si de 18 años hay 6 más que entre 19 y 20 años?

Sol: 19 de 18 años, 10 de 19 años y 3 de 20 años 3.- Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorros y banderines para ayudarse a pagar un viaje. Cada camiseta se vende a 800 ptas, cada gorra a 120 ptas. y cada banderín a 200 ptas. Los costes de cada prenda son de 300 ptas. por camiseta, 20 ptas. por gorra y 80 ptas. por banderín. El beneficio neto obtenido es de 67400 ptas. y el gasto total es de 34600 ptas. Sabiendo que se han vendido un total de 270 unidades , calcúlese cuántas se han vendido de cada clase.

Sol: 100 camisetas, 150 gorros y 20 banderines. 4.- Una empresa cinematográfica dispone de tres salas A , B , y C. Los precios de entrada a cada una de estas salas son 100 , 200 y 300 ptas., respectivamente. Un día, la recaudación conjunta de las tres salas fue de 42.500 ptas. y el número total de espectadores que acudieron fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubiesen asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se obtendría una recaudación total de 40.000 ptas. Calcula el número de espectadores que acudió a cada sala.

Sol: 50 espectadores a la sala A, 75 a la sala B y 75 a la sala C 5.- Un fabricante de espárragos de Navarra fabrica tres clases de latas: lata de calidad extra de 1kg a 500 ptas, lata de calidad suprema de 500 gr. a 300 ptas. y lata de calidad primera de 250 gr a 100 ptas. Tiene un pedido de un cliente de 300 kg por valor de 150.000 ptas, si se utilizan para envasarlo 700 latas, calcular cuántos envases de cada tipo se necesitan.

Sol: 100 latas extra, 200 latas calidad suprema y 400 latas calidad primera 6.- Una tienda posee tres tipos de conservas A,B y C. El precio medio de las tres conservas es de 150 pts. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 8400 pts.Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 6900 pts. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.

Sol: A: 120 pts, B: 150 pts y C: 180 pts. 7.- La suma de las edades de tres personas es, en el momento actual, 73 años. Dentro de diez años la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la persona más joven. Hace doce años la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Hallar las edades de las tres personas.

Sol: 40, 18 y 15 años 8.- Una cierta semana los artículos A, B y C se rebajan el 5%, 6% y 8% el lunes. El 2%, 8% y 6% el martes. El 4%, 2% y el 5% el viernes. Sabiendo que un cliente adquiriendo dichos artículos se ahorra: 181 ptas. el lunes, 162 ptas. el martes y 100 ptas. el viernes, ¿queda determinado el precio de los artículos A, B, C?

Solución: No quedan determinados los precios.

9.- Una persona ha colocado tres capitales A, B, C durante un año de las siguientes maneras: La 1ª vez: A al 2%, B al 4% y C al 6%, dándole una renta de 12.400 ptas. La 2ª vez: A al 8%, B al 6% y C al 4%, dándole una renta de 17.600 ptas. ¿Es posible que dichos capitales sumen 400.000 ptas.? Solución: No es posible.