seleccion importANTE INTRODUCCION Diseño Concreto Reforzado 4 Ed. [Jack C. McCormac]

Diseño de

CONCRETO REFORZADO

4a EdiciónJackC.McCormac

Ctemson Universrty

Alfaomcga

Contenido

Prefacio ................... ....... .....—............................................. - .........— • xm

Capítulo 1 Introducción .................... ....... ........................ .....................—............... *1.1 Concreto y Concreto reforzado................................................ ......—................ I1.2 Ventajas del concreto reforzado como malcría! estructural .............. 11.3 Desventajas del concreto reforzado como matcnal estructural .........................3

1.4 Antecedentes históricos........ -.......-.................................................— ..........415 Comparación del concreto reforzado con el acero estructural para

edificios y puentes............................................................................................ 61.6 Compatibilidad del concreio y el acero ............................................................ 7

1.7 Códigos de diseño.......... -.... —...................................................... -................ 71.8 Unidades S I y áreas sombreadas ....................................................................... 81.9 Tipos de cemento Portland .............................................................................. 8

1.10 Aditivos.................. -............ - ...................................................... — ...........1.11 Propiedades del concreto reforzado......................... ......................— ........... 111.12 Agregados.......................... .......................................................... -.....-....... 191.13 Acero de refuerzo............... ......................................................... — ............ 191.14 Grados del acero de refuerzo..... .................................................... -.............. 211.15 Tamaños de barras y resistencias de materiales en unidades S I ........—........... 231.16 Ambientes corrosivos............. ...................................................... ................ 23

1.17 Identificación de las marcas en Las barTas de refuerzo.................... — ..........241.18 Introducción a las cargas ...... ....... ................................................. ... .......... 24

1.19 Catgas muertas................................ ............................................... ................ 241.20 Cargas viva» ................. ............................................... ................ 26

1.21 Cargas ambientales................................................. ......................... ............ 28>-22 Selección de las cargas de diseño.... ......................... ................... .................301.23 Exactitud de los cálculos...............................................................................32

1.24 Impacto de las computadoras en el diseño del concreto reforzado..................

Cáptelo 2 Análitu de vigas sometidas a flexión......................................................2 1 Introducción.............. .............. ...................... ...... 33

v» CONTENIDO

2.2 Momento de agrietamiento...................................................................... 362.3 Esfuerzos elásticos; Concreto agrietado.................................................... 392.4 Momentos últimos o nominales de flexión.............................................. 452.5 Ejemplo de problema usando unidades S I ................................................ 482.6 C O N C A D . . ......................................................................... 49Problemas ............................................................................. 51

Capítulo 3 Diseño de vigas rectangulares y losas en una dirección ......................... 693.1 Métodos de diseño...... ................................................... ............. 693.2 Venujpi|$ei diseño por resistencia......................................... 7(13.3 Seguridad estructural.............................................................. 723.4 Factores de carga .................................................................... 723.5 Factores de reducción de capacidad....................................... 733.6 Vigas subceforaadas y sobrereforzadas......................................... 743.7 Obtención de expresiones para vigas........................................ 743.8 Porcentaje máximo permisible d acero........................................ . 773.9 Porcentaje mínimo de acero......................................................... 803.10 Ejemplo de resistencia a la flexión............................................................ Si3.11 Diseño de vigas rectangulares....................................................... 8 53.12 Ejemplos de diseño de vigas.............................................................. 883.13 Algunas consideraciones en el diseño de vigas........................................ 923.14 Determinación del área de acero cuando las dimensiones de la

viga están predeterminadas.................................................................... 943.15 Barras en racimo.................................................................................... 973.16 Losas en uña dirección.............................................................................973.17 Vigas en voladizo y vigas continuas........................................................ 1023.18 Ejemplo con unidades S I........................................................................ 1033.19 Ejemplo con computadora..................................................................... 104Problemas...................................................................................................... 105

Capitulo 4 Análisis y diseño de vigas T y vigas doblemente reforzadas................... 1154.1 Vigas T ................................................................................................. 1154.2 Análisis de vigas T ............................................................................... 1 1 S4.3 Otro método para analizar vigas T .......................................................... 1224A DneJk* de vigas T ............................................................................ 1244.5 Dbcfto de vigas T por momentos negativos.......................................... 1324.6 Vigas L — ........................................................................................... H 44.7 Atero de compresión................................................................... I uj4 J Dneflo de vigas doblemente reforzadas................................................... 14243 maapfos con ttftidadet SI .................................. 1454 10 Ejemplo? con computadora ................. ....... ........................... .......... 148

CONTENIDO vil

5.2 Importancia de las deflexiones..............................................................5.3 Control de las deflexiones..................................................................... I fá5.4 Cálculo de deflexiones............. ............................................................ 1 ¿x5.5 Momentos de inercia efectivos............................................................... 1705.6 Deflexiones a largo plazo...................................................................... \ 725.7 Deflexiones en vigas simples................................................................. 1745.8 Deflexiones en vigas continuas.............................................................. 17$5.9 Tipos de grietas.................................................................................... 1825.10 Control de las grietas de flexión.............................................................. 1S35.11 Ejemplo con unidades S I ...................................................................... 187Problemas....... —.......................................................................................... 18S

Capitulo 6 Adherencia, longitudes de des?rrollo y empalmes................................. 1976.1 Corte y doblado de las barras de refuer/.o............................................... 1976.2 Esfuerzos de adherencia........................................................................ 2006.3 Longitudes de desarrollo para el refuerzo de tensión................................. 2046.4 Longitudes de anclaje para barras en racimo............................................ 2156.5 Canchos.............................................................................................. 2156.6 Longitudes de desarrollo para malla de alambre soldado en tensión .. 2206.7 Longitudes de anclaje para barras a compresión...................................... ?216.8 Secciones críticas para la longitud de anclaje.......................................... 2236.9 Efecto del momento y el cortante combinados en las longitudes

i í^ anclije . —.......................................................................................... 2246.10 Efecto de la forma del diagrama de momento en las longitudes

de anclaje...... ...................................................................................... 2246.11 Corte o doblado de las barras (continuación)............................................ 2256.12 Empalmes de barras en miembros a flexión..............................................2296.13 Empalmes a tensión............................................................................... 2316.14 Empalmes a compresión......................................................................... 2326.15 Ejemplo con unidades S I........................................................................ 2336.16 Ejemplo con computadora...................................................................... 234Problemas........ ..............-.............................................................................. 235

Capítulo 7 Cortante y tensión diagonal................................................................. 2457.1 Introducción......... ................................................................................ 24S7JZ Esfuerzos cortantes en vigas de concreto.................................................. 24S7.3 Resistencia al cortante del concreto....................................................... 2477.4 Concreto de peso ligero......................................................................... 2487.5 Agrietamiento por cortante en vigas de concreto reforzado 24U7.6 Refuerzo del alma................................................................................. 25077 Comportamiento de las vi>;as con refuerzo del nlmn ....... 2527.8 Disefto por cortante....................................................................... 2 547.9 Requisitos del código A C I........................................................... 25<<7.10 Ejemplo* de problemas de diteAu por untóme I7.11 Separación económica de lo» etlnhot ....................

CONTENIDO

7 1 1 Rw slC TO i^ ttrtan lc de miembros sometidos a fueras axiales................ 2767.14 Requisitos para el d iseñ o por cortante en vigas de gran peralte.................... -7.15 Comentarios introductorios sobre torsión..................................................7.16 Ejemplo S I ............................ -......................................................... ^8j7.17 Ejemplo con computadora-.-.........-............................................................. ^Problemas...... ................ «.r *................................................................

Capitulo 8 Introducción a columnas...........................................................................- • •8.1 Generalidades.......—................................................................................... ~9|8.2 Tipos de columnas...................................................................................... 29*.8.3 Capacidad por carga axial de columnas.................................................... 2958.4 Fallas de columnas con estribos y con espirales...............................8.5 Requisitos del código para columnas coladas en obra8.6 Requisitos de seguridad para columnas....................................................... .'008.7 Fórmulas de diseño...................................................................................... ?028.8 Comentarios sobre el diseño económico de columnas8.9 Diseño de columnas cargadas axialmente.................................................8.10 Ejemplo con unidades S I .........................................................................8.11 Diseño de columnas de concreto reforjado usando el método alternativo

de diseño .................................................................................................... '098.12 Ejemplo con computadora..............................................................................509Problemas ..........-.... ........................................................................................... '10

Capítulo 9 Diseño de columnas cortas sometidas a carga axial y flexión.....................31 39 .1 Carga axial y flexión.................................................................................. ..3139.2 E l centroide plástico................................................................................... .3109.3 Desarrollo de los diagramas de interacción................................................. .3179.4 Uso de los diagramas de interacción.............................................................3229.5 Modificaciones del código a los diagramas de interacción de columnas........3259.6 Análisis de columnas cargadas excéntricamente usando los diagramas

de interacción..,...... .................................................................................... 3289.7 Diseño de columnas cargadas excéntricamente usando los diagramas

de interacción............................................. 33298 Fuerza cortante en columnas.......................................................................33$9.9 Flexión biaxial..... .................................................................................... 3369.10 Ejemplo con computadora......................................................................... 3439.1! Problemas................................................................................................. 345

C a p * * 10 Columnas esbeltas .... ........................................................................ 35510.1 Introducción........................................................................................... w102 Marco» con y sin detpla/imirnto laicral ...................... tss10 J B to o id e e ih c l ic /j - _ f ....... ......................................... .................... ........... .............. .’ .'t*

Determinación de lo» facture» K con nomograma» ty jDeterminación de facióte» K mediante ecuaciones 3M

CONTENIDO Ix

10 6 Análisis de primer orden usando propiedades especiales de los m.embros .... 363 10 7 Columnas esbeltas en marcos sin desplazamiento lateral o r.ostrados.......... 36410.8 Amplificación de momentos de columnas en marcos s.n desplazamiento

t ........................................... 367lateral.................. — —•—.......—..........; ......10.9 Amplificación de los momentos en las columnas de marcos con ^

desplazamiento lateral............................................................................... '10.10 Análisis de marcos con desplazamiento lateral...........................................-Problemas........................... ...... ......................................................

Capítulo 11 Zapatas.......-.................. - .................................................................^1 1 . 1 In* «ducción....... ...........................................................................11.2 Tipi s de zapatas.............................................................................. -....... 38811.3 Pies iones reales del suelo...................................... -.........................11.4 Presiones permisibles del suelo..........................................................11.5 Diseño de zapatas para muros..........................................................11.6 Diseño de zapatas cuadradas aisladas.................................................11.7 Zapatas que soportan columnas circulares o en forma de polígono

regular ...........................................................................................11.8 Transmisión de la carga de las columnas a las zapatas............11.9 Zapatas rectangulares aisladas...............................tzZSZ**......11.10 Zapatas combinadas................................................................................ 41511.11 Diseño de zapatas con asentamientos iguales.................................... 42111.12 Zapatas sometidas a momentos laterales............................................ 42311.13 Transmisión de fuerzas horizontales.......................................................... 42611.14 Zapatas de concreto simple....................................................................... 42711.15 Ejemplocon unidades S I- .......................................................................... 43011.16 Ejemplos con computadora....................................................................... 432Problemas ..................... ................ ................................................................... 436

Capítulo 12 Muros de retención........................................................................... .. 44312.1 Introducción............... ....................................................................... ..... 44312.2 Tipos de muros de retención...................................................................... 44312.3 Drenaje.............— ....................................................................................44612.4 Fallas de muros de retención...................................................................... 44$12.5 Presiones laterales sobre muros de retención............................................... 44$12 A Presiones del suelo sobre zapatas....................................................... 45512.7 Dtsefto de muros de retención de semigravcdad.......................................... 45612.8 Efectos de la sobrecarga.......... ........................... 459¡2.9 Estima,ón de los tamaños de los muros de retención en voladizo 460o ? £.roccdumcn,° <** diseftt) P "» muros de retención en voladizo................... 466

12 .11 Grietas y juntas en los muros.......... 470

prob,crnas ..........................482

Capítulo 13 Estructuras continuas de concreto reforzado..... 4891 1 1 Introducción .................................... . „*****................................................................ 4,V>

x CONTENIDO

13.2 Consideraciones generales sobre los métodos de análisis............................48913.3 Líneas de influencia cualitativas............................................................... 49013.4 Diseño al límite........................................................................................ 49313.5 Diserto al límite según el código A C I.........................................................502

13.6 Diseño preliminar de miembros............................................................... 50513.7 Análisis aproximado de marcas continuos por cargas verticales..................50613.8 Análisis aproximado de marcos continuos por cargas laterales................... 51613.9 Análisis por computadora de marcos de edificios.......................................52113.10 Arriosirnmiento lateral en edificios............................................................52213.11 Requisitos de la longitud de anclaje en miembros continuos....................... 522

Problemas........................................................................................................... 529

Capítulo 14 Torsión................................................................................................. 53514.1 Introducción.............................................................................................. 53514.2 Refuerzo por torsión.................................................................................. 53714.3 Momentos torsionaies que se han de considerar en el diseño.......................53814.4 Esfuerzos de torsión.................................................................................. 54114.5 Cuando se requiere refuerzo torsional según el A C I....................................54214.6 Resistencia por momento torsionante.........................................................54314.7 Diseño del refuerzo por torsión.................................................................. 54114.8 Requisitos adicionales del A C I...................................................................54614.9 Problemas ejemplo usando unidades comunes en Estados Unidos...............54714.10 Ecuaciones S I y ejemplo de problema........................................................ 55114.11 Ejemplo con computadora..........................................................................556Problemas............................................................................................................ 557

Capítulo 15 Losas en dos direcciones; método directo de diseño............................... 56315.1 Introducción...............................................................................................56315.2 Análisis de losas en dos direcciones...........................................................56515.3 Diseño de losas en dos direcciones según el código A C I............................. 56715.4 Franjas de columna y franja central............................................................56715.5 Resistencia al corlante de losas.................................................................. 56815.6 Limitaciones al espesor y requisitos de rigidez........................................... 57215.7 Limitaciones del método directo de diseño.................................................57815.8 Distribución de momentos en losas.............................................................57915-9 Diseño de una placa interior plana............................................................. 58515.10 Colocación de las cargas vivas...................................................................59015.11 Análisis de losas en dos direcciones con vigas............................................ 59115.12 Transmisión de momentos y cortantes entre losas y columnas 59815.13 Aberturas en los sistemas de losas............................................................. 605

Capítulo 16 Loías en dos direcciones; método del marco equivalente........................60716.1 Distribución de momentos para miembros no prismáticos...........................60716.2 Introducción al método del marco equivalente............................................60816.3 Propiedades de las vigas losas................................................................... 61

CONTENIDO xl

16.4 Propiedades de columnas.......................................................................61116.5 Ejemplos de problemas..........................................................................61516.6 Análisis con computadora...................................................................... 621

Problemas —............................................................................-.....................621

Capítulo 17 Muros.............................................................................................. 62317.1 Introducción..-....................................................................................... 62317.2 Muros no portantes................................................................................. 62317.3 Muros de concreto de carga. Método empírico de diseño .......................... 62417.4 Muros de concreto de carga. Diseño racional............................................ 62$17.5 Muros de cortante................................................................................... 62817.6 Requisitos del ACI para muros de cortante................................................62917.7 Aspectos económicos de la construcción con muros.................................. 635Problemas........................................................................................................ 635

Capítulo 18 Concreto presforzado......................— ............................................... 63718.1 Introducción............................................................................ ............ - 63718.2 Ventajas y desventajas del concreto presforzado....................................... 63918.3 Preicnsado y postensado...........................................................................64018.4 Materiales usados para el concreto presforzado........................................ 64118 5 Cálculo de esfuerzos............................................................................ 6-1318.6 Formas de las secciones presforzadas.................................................... . 64818.7 Pérdidas de preesfuerzo......................... .................................................65018.8 Resistencia última de secciones presforzadas.............................................65418.9 Deflexiones............................................................................................. 65918.10 Fuerza cortante en secciones presforzadas................................................ 66418.11 Diseño del refuerzo por cortante............................................................... 66618.12 Temas adicionales.................................................................................... 670Problemas —....... ..............................................................................................672

Capítulo 19 Cimbras..............................................................................................67919.1 Introducción.....-.................................-...................................................67919.2 Responsabilidad del diseño de las cimbras................................................ 68019.3 Materiales usados en las cimbras.............................................................. 68119.4 Abastecimiento de cimbras...................................................................... 68219.5 Economía en las cimbras.......................................................................... 68219.6 Mantenimiento de la cimbra..................................................................... 68319.7 Definiciones............................................................................................ 6S519.8 Fuerzas aplicadas a las cimbras para concreto............................................68719.9 Análisis de cimbras paro losas de pisos y techos........................................ 6^019.10 Diseño de cimbras para losas de pisos y techos..........................................70219.11 Dnefto del apuntalamiento.......................................................................704

19.12 Esfuerzos de aplastamiento o apoyo....... ................................................ 70819.13 DiseAo de cimbras para muros................................................................. 713Problemas .........„ ............................................................................................. 718

bR CONTENIDO

Apcndicc A T M k y gráficas • • • «• • • • «• • • • a .............................................. 719Apéndice B Tablas en unidades S I .......................................................................... 755Apéndice C Método alternativo de diseño.............................................................. 763Apéndice D Vigas sobrerre forzadas........................................................................771

Glosario .................................................................................................................. 775

lodicc .................................................................................................................. 779

Capítulo 8

Introducción a columnas

8.1 G E N E R A L ID A D E S

En este capítulo se presenta un análisis introductorio sobre columnas de concreto reforzado con especial énfasis en las columnas cortas, robustas, sometidas a momentos flexionantes pequeños. Se suele decir que tales columnas están '‘cargadas axialm cnie". En el capítulo 9 se estudiarán las columnas cortas con momentos flexionantes grandes, mientras que las columnas largas o esbeltas se tratarán en el capítulo 10 .

Las columnas de concreto pueden clasificarse en las tres siguientes categoríasPedestales cortos a com presión. S i la altura de un miembro a compresión es menor que

3 veces su dimensión lateral más pequeña, puede considerarse como un pedestal. E l AC I (2.1 y JO.17) establece que un pedestal puede diseñarse con concreto simple o sin refuerzo, con un esfuerzo permisible de compresión igual a 0.85 <p f 'c . donde <p = 0.70. Si el esfuerzo de compresión resulta mayor que ese valor, se deberá aumentar el área de la sección transversal del pedestal, o bien diseñarse como una columna de concreto reforzado tal y como se describe en la sección 8.9 de este capítulo.

Columnas cortas de concreto reforzado. Si una columna de concreto reforzado falla debido a la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga que puede soportar está regida por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los malcríales de que está hecha. Una columna corta es un miembro robusto con poca flexibilidad.

Columnas larcas o esbeltas de concreto reforzado. Conforme crecen las relaciones de esbeltez, las deformaciones por flexión también crecerán, así como los resultantes momento» secundarios. S i esos momentos son de tal magnitud que reducen aprcciablcmcntc la capacidad a carga axial de la columna, ésta se denomina larga o esbelta.

Cuando una columna se encuentra sometida a momentos prima/ios (aquellos causados p«r las caigas aplicadas, rotaciones de los nudos, etcétera.), el eje del miembro se deHexiona lateralmente, dando por resultado momentos adicionales iguales a la carga de la columna multiplicada por la deflexión lateral. Estos momentos se llaman momentos secundónos o ntomentot P á y se ilustran en la figura 8. 1.

Una columna que tiene grandes momentos secundarios se llama columna esbelta y es necesario determinar su sección transversal en función de los momentos primarios y sccun

292 INTRODUCCIÓN A COLUMNAS

Momento secundario a PA.

'IFigura 8.1 Momento secundario o momento PA.

dorios. E l AC I permite diseñar las columnas como columnas cortas si el efecto secundario o efecto PA no reduce sus resistencjasLxn_mi>ulg.5%. Las relaciones de esbeltez efectivas se describen y evalúan en el capítulo 10 y se usan para clasificar las columnas como cortas o como esbeltas. Cuando las relaciones son mayores que ciertos valores (dependiendo de que las columnas estén o no riostradas lateralmente), las columnas se clasifican como esbeltas.

En 1970 el comité del A C I estimó que aproximadamente 40% de todas las columnas no riostradas y cerca del 90% de las riostradas contra desplazamientos laterales tienen sus resistencias reducidas en 5% o menos debido al efecto PA y deben por tanto clasificarse como columnas cortas1. Sin embargo, esos porcentajes se reducen año con año debido al creciente uso de columnas más esbeltas diseñadas con el método de resistencia, usando materiales más resistentes y con un mejor entendimiento del comportamiento por pandeo de las columnas.

8.2 T IP O S D E C O LU M N A S

Una columna de concreto simple no puede soportar mucha carga, pero su capacidad aumenta si se le agregan barras longitudinales. Pueden lograrse considerables incrementos en la resistencia de la columna proporcionando restricción lateral a las barras longitudinales. Bajo cargas de compresión, las columnas no sólo tienden a acortarse longitudinalmente, sino también adiJsiaryUatrm lrpcnlc ócbido al efecto de Poisson. La capacidad de tales miembro* puede aumentar considerablemente si se les proporciona restricción lateral, en forma d* espírale* o estribos cerrados ligeramente separados en torno al refuerzo longitudinal.

1 Anirnc*» Conueir InuHutc. 1972. N u ttt m ACI JIK-71 HulUtlnn Cmtr wiili DeiÍRH Applu-amm i. (Siok.c «-«•i r*s 10-2.

I

82 TIPOS DE COLUMNAS 293

E l esfuerzo en las columnas de concreto puede ser con estribos o zunchadas (con espirales). dependiendo del método usado para apuntalar lateralmente o mantener en posición las barras longitudinales. Si la columna tiene una serie de estribos cerrados, como se muestra en la figura 8.2(a). se denomina columna con estribos. Los estribos son muy efectivos para incrementar la resistencia de la columna. E llos impiden que las barras longitudinales se desplacen durante la construcción v resisten su tendencia a pandearse al estar sometidas acargas de compresión; el pandeo de las barras causa que el recubrimiento exterior de concreto se quiebre o desconche. Las columnas con estribos son comúnmente cuadradas o rectangulares. pero pueden construirse también con secciones octagonales, redondas, en L y muchas otras más.

Las columnas cuadradas o rectangulares son las más comúnmente usadas debido a la simplicidad de su cimbra. Sin embargo, cuando se usan en espacios abiertos, las columnas

Recubrimiento

Núcleo

\ Espiral

(•>Columna zunchada o con espiral

<b)

Concreto

Tubo de «cero cttructund

<0F ijur» H-2 Tipo* de cnlumnav

Columna compuetla «*>

» « - N in o o o C C IÓ N * COLUMNAS

Cimbras de columnas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.)

circulares son muy atractivas. La cimbra para las columnas circulares suele hacerse con tubos de cartón o de plástico que se desprenden y desechan una vez que el concreto ha fraguado.

S i una espiral continua hecha con barras o alambrón grueso se enrrolla alrededor de la?, barras longitudinales, como se muestra en la figura 8.2(b). la columna se denomina columna zunchada o con espiral. Las espirales son más efectivas que los estribos para incrementar la resistencia de una columna. Las espirales de paso estrecho cumplen muy bien su función de mantener en posición las barras longitudinales y de aislar el concreto interior, con lo que se aumenta considerablemente la resistencia a la compresión axial. Conforme el concreto dentro de la espiral tiende a expanderse lateralmente bajo la carga de compresión, en la espiral empieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro; la columna no fallará hasta que la espiral fluya o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior. Las columnas zunchadas suelen ser redondas pero también pueden fabricarse con secciones rectangulares. octagonales y de otras forínas. En estas columnas, la disposición de las barras longitudinales sigue siendo circular. Las espirales, si bien aumentan la resistencia de las columnas, debido al aumento en la elasticidad incrementan aprcciablcmente los costos; por ello se usan sólo en columnas fuertemente cargadas y en zonas sísmicas, debido a la gran resistencia que tienen frente a cargas dinámicas. Las espirales incrementan en forma muy efectiva la ductilidad y la tenacidad de las columnas pero resultan varias veces máscaras que lascolumnas con estribos

La* columnas compuestas, ilustradas en las figuras 8.2(c) y 8.2(d). son columnas de concreto reforzada* longitudinalmente por medio de perfiles de occro, que pueden o no estar rodeados por barras de acero estructural o que pueden consistir en perfiles tubulares de uí.cro estructural rellenos con concreto

8 4 FALLAS DE COLUMNAS CON ESTR.BO S Y CON ESP IRALES 295

8.3 CAPACIDAD PO R C A R G A A X IA L D E CO LUM N A S

En la práctica no existen las columnas cargadas en forma axial, perfecta pero un examen de tales miembros es un excelente punió de partida para explicar la teoría del diseño de columnas reales con cargas excéntricas. Varias ideas fundamentales pueden explicarse con base en las columnas cargadas axialmcnte, y las resistencias obtenidas señalan límites teóricos superiores que pueden ser verificados por medio de pruebas

Desde hace ya vanas décadas se sabe que los esfuerzos en el concreto y en las barras de refuerzo de una columna que soporta una carga a largo pla/.o no pueden calcularse con exactitud. Podría pensarse que tales esfuerzos se pueden determinar multiplicando las deformaciones unitarias por los módulos de elasticidad apropiados Sin embargo, esto no es factible porque el módulo de elasticidad del concreto varía con la carga, debido al flujo plástico y a la contracción. Puede verse entonces que las partes de la carga lomada por el concreto y por el acero varían con la magnitud y duración de las cargas. Por ejemplo, entre mayor es el porcentaje de carga muerta y mayor es el tiempo que está aplicada, mayor es el flujo plástico en el concreto y mayor es r| porcentaje de carga tomada por el refuerzo.

Aunque los esfuerzos en columnas no pueden predecirse en el intervalo elistico con ningún grado de precisión, varias décadas de pruebas han mostrado que la resistencia última de las columnas sí puede estimarse bastante bien. Además, se ha hecho evidente que las proporciones de las cargas vivas y muertas, la duración de la carga y otros aspectos, tienen poca influencia en la resistencia última. Ni siquiera importa si es el concreto o el acero el que primero alcanza su resistencia última. S i uno de los dos materiales se acerca a su resistencia última, sus grandes deformaciones ocasionan que los esfuerzos en el otro se incrementen más rápidamente.

Por estas razones sólo consideraremos aquí la resistencia última de las columnas En la falta, la resistencia última teórica o resistencia nominal de una columna corta cargada axialmcnte puede determinarse con bastante precisión mediante la siguiente expresión, en la que Ag es el área total del concreto y Ait es el área total del acero de refuerzo longitudinal, incluyendo las barras y los perfiles estructurales:

/>„-0.85

*A F A L L A S D E C O LU M N A S C O N E S T R IB O S Y C O N E S P IR A L E S

Si una columna corta con estribos se carga hasta que falle, parte del recubrimiento de concreto se desprenderá y a menos que los estribos estén poco separados entre sí. las barras longitudinales se pandearán inmediatamente al desaparecer su soporte (el recubrimiento de concreto; Tales fallas pueden ocurrir en forma repentina y por ¡o visto han ocurrido con frecuencia en estructuras sometidas a cargas sísmicas.

Cuando las columnas zunchadas se cargan hasta fallar, la situación es muy diferente El recubrimiento de concreto se desconchará peroel núcleo permanecen! en pie y si el zunchado r\ dr pato pequeño, el núcleo será capaz de resistir una aprcciablc cantidad adicional de c*tu*. »n4t allá de la carga que origina el dcKConchamicnto. E l zunchado con paso reducido junto con b- burra t longitudinales formo» una jaula que confina en forma muy efectiva al


Columnas redondas zunchadas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.)

concreto. En consecuencia, el desconchamicnto del recubrimiento de una columna zunchada da aviso de que ocurrirá una falla si la carga se sigue incrementando.

La práctica estadounidense no toma en cuenta ningún exceso de capacidad que pueda darse después del desconchamicnto. ya que considera que una vez que éste ocurre, la columna perderá su utilidad, por lo menos desde el punto de vista de los ocupantes del edificio. Por esta razón, el zunchado se diseña con un poco más de resistencia que el recubrimiento que te supone que va a desconcharse. E l desconchamicnto da a"iso de una falla inminente y posteriormente la columna tomará un poco más de carga antes de fallar. Diseñar el zunchado con un poco más de resistencia que el recubrimiento no incrementa mucho la resistencia útil de la columna, pero conduce a una falla dúctil o gradual.

La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión, donde /j, es ej áL'v' de' núfilca cuyo diámetro se considera igual a la distancia entre los bordes exteriores de Ib espiral :

8.4 FALLAS OE COLUMNAS CON ESTRIBO S Y E S P IR A L E S 297 I

X = paso

Figura 83

Resistencia de! recubrimiento = 0.85 f 'c (Ax - Ac)

Puede demostrarse, al considerar la tensión de aro que se produce en las espirafcs debido a la presión lateral del núcleo, por pruebas se coooce que el acero del zunchado es por lo menos dos veces tan efectivo para incrementar la capacidad última de la columna eximo el acero longitudinal2*3. Por lo tanto, la resistencia de la espiral puede calcularse e » forma aproximada con la siguiente expresión, en donde es el porcentaje de acero espiral:

Resistencia de la espiral = 2psAc /,■

Igualando esas expresiones y despejando el porcentaje requerido de acero espiral, obtenemos

0.85 f M '- K )

0,425

2 P ^ Jy

0.425te-)?; /J Partí. A y Paulay. T . 1775, Rtinfnrctd Ctmcntt SrrutturrJ «Nueva York: Jota Wtley & Son»), pa*s ] 19-1211 Cenudere. A . 1902. “Cornpreutvt: R e to rn e oí Concrete S*cel mi<] Hoopat Concreto. Pan I" E n a t ^ t n n s k tt t t tá . diciembre 70. pí*». 5XI -5B1; "P«t II", diciembre 27. (4 | i 605-606

298 INTRODUCCION A COLUMNAS

p' = 045 (5 f ” * ) f» (Ecuación ACI 10-6)

Una ve/, que se ha determinado el porcentaje requerido de acero espiral, la espiral puc de seleccionarse con la expresión que sigue, en donde ps está dada en términos del volumen de acero en una vuelta:

volumen de espiral en una vuelta Ps --------- ----- —

volumen del núcleo de concreto para ur» paso s

- 'e*P|,al ^núcleo

_ a,n(D< ~ db) _ 4a,(P , - d*)( k D 2c/ 4 ) s “ s D l

En esta expresión. Dc es el diámetro del núcleo, de fuera a fuera de la espiral.^ es el área transversal de la barra espiral y dh es el diámetro de la barra espiral. Vea la figura 8.3 El groyeelista puede suponer un diámetro para lu espiral y despejar el paso requerido '<> los resultados no parecen razón Pib1--. pind* tratar con otro diámetro. E l paso usado debe estas

ée la E«*>oa*jr Pntm\ C o tp rx ** * )

8 5 REQUISITO S DEL CÓDIGO PARA COLUMNAS COLADAS EN OBRA 299

entre los Ifmitcs indicados en la próxima sección de csie capítulo. De hecho, la labia A 15 (véase el apéndice), que se basa en esta expresión, permite al proyectista seleccionar directamente las espirales.

8.5 R EQ U IS IT O S D E L C Ó D IG O PA R A CO LUM N AS C O LA D A S EN O BR A

El código AC I especifica relativamente pocas limitaciones en las dimensiones, el refuerzo la restricción lateral y otros aspectos de las columnas de concreto Algunas de las limitaciones más imponantes se dan en los párrafos siguientes: ^ V J l . • -r

1. E l porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser menor que el 1% del área tftin<- versal total de una columna (Código ACI. 10.9.1). Se cree que si la cantidad de acero es menor que el 1% habrá una gran probabilidad de que ocurra una falla i,o dúctil repentina como en el caso de una columna de concreto simple. El valor mínimo del I** de acero disminuye también el flujo plástico y la contracción y proporciona a la columna alguna resistencia a la flexión. En realidad, el código (10.8.4) permite el uso de menos del \% de acero si la columna se ha hecho con un tamaño mayor que el necesario para soportar las cargas, por razones arquitectónicas o de otra índole. En otras palabras. un3 columr.a puede diseñarse con el 1% de acero longitudinal para soportar la carga factorizada y luego puede añadirse más concreto sin incrementar el refuerzo ni la capacidad calculada de carga Sin embargo, bajo ninguna circunstancia puede el área de acero ser menor que 0 005 veces el área del concreto reafmcnle Sinnlhisfradgr '

i . ir'l porcentaje máxim ade acero no debe ser mayor que cl_89^del área transversal total de la columna (A C I, 10.9.1). Este valor máximo se estipula para prevenir el hacinamiento de las barras. En la práctica es algo difícil ajustar más de 5% o 6% de acero en las formas y lograr que penetre el concreto alrededor de las barras Cuando el porcentaje de acero es alto, se incrementa la posibilidad de que se formen cavidades alveolares en el concreto. S i esto llega a pasar, habrá una reducción sustancial en la capacidad de carga de la columna. Usualmente, el porcentaje de refuerzo no debe exceder 4% cuando las barras van a empalmarse por jraslapc. Debe recordarse que si el porcentaje de acero es muy alto, las

pueden disponerse en racimos.3. E J número mínimo de barras longitudinales permisibles en miembros a compresión

(AC I. 10.9.2) es como sigue: 4 para barras con estribos rectangulares o circulares. 3 para barras dentro de estribos triangu les y b'pára barras encerradas poT^pirales. En el caso de que hubiera menos de 8 barras en un arreglo circular, la orientación de las batTas puede alterar la resistencia de momentos en columnas con cargas excéntricas. Este caso debe con- wderar*e para el diseño, de acuerdo con el comentario AC I (R 10.9.2).

4. E l código no proporciona directamente un área transversal mínima de columna pero para proporcionar el recubrimiento necesario fuera de estribos o espirales y para proporcionar la separación entre barras longitudinales de un lado a otro de la columna, es obvio que too necesarios anchos mínimos o diámetros de 8 a 10 pulgada^ Para usar el menor espacio del rentable posible, conviene empíear'las columnas más pequeñas permitidas. De hecho, en ocasiones las columnas delgadas se colocan o "esconden" en los muros.

5. Cuando te usan columnas con estribos, estos no deberán ser menores al #3. siempre que las barras longitudinales sean del H10 o menores El tamaño mínimo es el >4 para bariy

longitudinales p ^ o n ^ U tf Ji^ ^ Jp a n jJ^ a s en racimos. El alambre corrugado o la malln de olambre soldado, con un área equivalente, también pueden usarse (ACI 7.10.5.1)


\ |

. 5~v ‘ v • 'res que del #10 para barrastti longitudinales mayores.

I-a separación centro a centro de los estribos no deberá ser mayor quejó veces el diámetro de las barras longitudinales, que 48 veces el diámetro de los estribos, ni que la menor dimensión lateral de la columna. Los estribos deben arreglarse de manera que cada esquina y barra longitudinal alternada tengan soporte lateral proporcionado por la esquina de ur, estribo con un ángulo incluido no_ mayQtjJc 135°. Ninguna barra debe localizarse a una distancia mayor de 6" libres* a cada lado de una barra soportada lateralmente de esta mane ra. Estos requisitos se 'daií'cn la sección 7.10.5 del código ACI La figura S.4 muestra los arreglos de estribos en varias secciones transversales de columnas

*>*■*• UC'AJ t- •>!*-» t -y,.— . 1,4 2— MS» rUtV^f'V'* -* '>— LtiCIr .-í Cr>

_ , , r V 'f it

Loc - ^ i ' f t *J 1^7*_ ^ C/)V\.- 1.5 3- 1» S ó*°<

6" máx : t v A'v. .«•

-■>í\ <1

r i

6" mi*

Viy.nr* gA Arreglo* típico* de estribo*.

\ 0 ° v a iU U * U v ü 4 r/ 7 V ^ A C (2 , * , * * ) * * C*V>0?kK\ U i á g j . - t u * - ;

8.6 REQ U ISITO S OE SEGURIDAD PARA COLUMNAS 301

Algunos de los arreglos con estribos interiores, tal como el último mostrado en la figu* /a. son algo caros. S i las barras longitudinales se colocan en un circuló, pueden ponerse estribos redondos alrededor de ellas y las barras no tienen que ligarse o restringirse individualmente por cualquier otro medio (7 .10.5.3». E l A C I también establece (7 .10.3> que los requisitos para los estribos laterales pueden pasarse por alto si las pruebas y el análisis estructural muestran que las columnas son lo suficientemente resistentes sin ellos y q*Je tal construcción es factible.

Existe poca evidencia acerca del comportamiento de las barras empalmadas y de las barras en racimos. Por esta razón, la sección R7.10.5 de los comentarios establece que es aconsejable proporcionar estribos en cada extremo de las barras traslapadas y da recomendaciones relativas a la colocación de los estribos en los lugares de empalmes a tope y de barras dobladas.

Los estribos no deben rnlnrn«e. a más de medio espaciamiento arriba de la parte supc-

vigasa una columna aesac 4 direcciones, el ultimo esinoo en ia columna pucoe estar oeoajó del refuerzo inferior de cualquiera de las vigas conectadas.

6 . E l código (7.10.4) establece que la separación libre entre las vueltas de las espirales no debe ser menor que 1" o mayor que 3".* Si se requieren empalmes en las espíralos, estos deberán estar provistos por soldaduras o por traslapes de las barras espirales con longitudes no menores de 48 diámetros ni de 12".t Se usan barras espadadoras especiales para mame ner las espirales en su lugar y con el paso deseado hasta que el concreto fragua. Estos espaciadores consisten en barras verticales con pequeños ganchos. Las espirales son sopor tadas por los espaciadores, no por las barras longitudinales. l.a sección R7 .10.4 cte los C o mentarios A C I proporcionan los números mínimos de espaciadores requeridos para columnas de diferentes tamaños.

8.6 R E Q U IS IT O S D E S EG U R ID A D P A R A C O LU M N A S

Los valores de <p especificados en la sección 93 2 del código para usarse en columnas son bastante menores que los estipulados para la flexión y el cortante (0.90 y 0.85. respectivamente). Se especifica un valor de 0.70 para las columnas con estribos y de 0.75 para Ijts columnas zunchadas debido a la mayor tenacidad de éstas.

La falla de una columna es generalmente un asunto más delicado que la falla de s a viga, porque una columna soporta mayor parte de una estructura que una viga. En otras palabras, u una columna de un edificio falla, una mayor pane del edificio se caerá que si f»n» una viga. Esto es particularmente cierto en las columnas de los pisos inferiores de un ed ificio de varios niveles. Por esto es conveniente considerar valores <p pequeños en las columnas.

Hay otras razones para usar valores <p pequeños en las columnas. Por ejemplo, es más

302 INTRODUCCION A COLUMNAS f ftv. , , ^

. J « 1 h i 1 ^ Un“ columnn 4UC C" una viga. 1:1 lector puede imaginar la dificul-ud de hacer pasar el c u ú u w ,r/.~ i « estrechas paredes .te la cimbra y a lo largo de. reuicrro longitudinal y transversal de una colunmna. tn c < * ,_ r- - -s probable que la calidad resultante dcl concreto en las columnas no sea tan truena como la dcl concreto en vigas >•OSUN.

La resistencia a la falla de una viga depende normalmente del esfuerzo de fluencia dcl acero de tensión, que es una propiedad controlada con mucha precisión en los molinos de laminación. Por otra parte, la resistencia a la fallado una columna está íntimamente relacionada con la resistencia última dcl concreto, valor que es muy variable. Los factores de lon- giiud también alcctan drásticamente la resistencia de las columnas, por lo que se hace necesario el uso de factores <P pequeños.

Es imposible que una columna quede cargada exactamente en forma axial. Aún si las cargas pudiesen en un momento dado centrarse perfectamente, no permanecerían en esa posición. Además, las columnas pueden estar inicialmente desalineadas o tener otros defectos en su construcción, con el resultado de que se generen flexiones laterales. F.l viento > otras cargas laterales ocasionan que las columnas se flexionen y las columnas en los edificios con marcos rígidos están sometidas a momentos aún cuando la estructura soporte sólo cargas de gravedad.

8.7 F Ó R M U L A S D E D ISEÑ O

En las páginas siguientes la letra e se usa para representar la excentricdad de la carga El lector podría no entender este término. puesto que el ya ha analizado una estructura y h~ calculado una carga axial Pu y un momento M u pero no una excentricidad e específica para una columna. E l término e representa la distancia a la que la carga axial P u tendría que estar situada desde el centro de la columna para producir M u. Así,

P u e = M uo

Mj l e ~ Pu

No obstante los hechos mencionados en el párrafo anterior, hay muchos casos en que no hay momentos calculados en las columnas de una estructura. Durante muchos años el código especificó que tales columnas debían ser diseñadas para ciertos momentos mínimos, aún cuando no existieran momentos no calculados. Esto se hizo requiriendo que los proyectistas supusieran ciertas excentricidades mínimas para las cargas en sus columnas E m>s valores mínimos fueron de I pulg o 0.05 h,_ rigiendo el valor mayor, paucoluninas zunchada*, y de I pulg o jQ JO h para columnas con estribos (el término h se refiere al

'ífiíñ euo 'cx ierio r de columnas redondas o al ancho total de columnas cuadradas ,, u-, tangu laret) Se usó para el diserto un momento igual a la carga axial multiplicada por la cxccntri

mínimaEfl Cl Código actual no se especifican las cxcenti iculades mínimas peto el mismo fin SC

i requiriendo que las capacidndei Icóficw por carga axial «C multipliquen por un

8.8 COMENTARIOS SOBRE EL DISEÑO ECONOMICO DE COLUMNAS 303

Roya! Towcrs. Baltimore. Maryland. (Cortesía de la Sirapson Timber Company)

factor a . que es igual a 0.85 en las columnas.zunchadas y a 0.80 en las columnas con csiri 6osvAsí, como se muestra en !a sección 10.3.5 del código. 1¿ capacidad de carga axial de las columnas no debe ser mayor que los valores siguientes

Para columnas zunchadas (0 = 0.75)

¿P*(máx) = 0.85^(0.85/^04, - A „) + fyAu] (Ecuación AC I 10-1)

Para columnas con estribos ($ = 0.70)

*/>(máx) = 0.80#[0.85f¿(Ag - Aa) + f,A a) (Ecuación AC I 10-2)

Debe quedar claro que las expresiones anteriores pueden usarse sólo cuando el momento es bastante pequeño o cuando no hay un momento calculado.

Las ecuaciones presentadas aquí son aplicables sólo en situaciones en que el momento es suficientemente pequeño, de manera que e sea menor que O.IOh en las columnas con estribos o menor que 0.05h en las columnas zunchadas. Las columnas cortas pueden diseñarte completamente con esas expresiones siempre que los valores e queden bajo los límites descritos. Si los valores e son mayores que los valores límite y/o las columnas se clasifican como largas, será necesario usar los procedimientos que se describirán en los siguientes dos capítulos.

8.8 C O M EN TARIO S S O B R E E L D ISEÑ O ECO NÓM ICO DE CO LUM N A S

1. j-. barra» de refuerzo son bastante caras, por lo que el porcentaje de refuerzo longitudinal uiuido en la-, columnat de concreto reforzado resulla un factor principal en el costo total de


éstas. lisio significa que bajo condiciones normales, debe usarse un porcentaje pequeño de acero (tal ve/, entre 1.5% y 3 % ). Eslo puede lograrse usando columnas de mayor tamaño y/ o concretos de resistencia superior. Además, si el porcentaje de las barras se mantiene aproximadamente en estos rangos, se tendrá suficiente espacio para colocarlas denla) de la columna.

Los concretos de resistencia superior pueden usarse más económicamente en las columnas que en las viga*. Bajo cargas ordinarias, sólo 30** a 40% de la sección transversal do una viga está en compresión, mientras que el restante 60% a 70% está en tensión y supuestamente agrietado. Esto significa que si se usa un concreto de alta resistencia para una viga. 60% a 70% del concreto se desperdicia. Sin embargo, para una columna usual, la situación es muy diferente porque un porcentaje mucho mayor de su sección transversal está en compresión. Por ello, es muy económico usar concretos de alia resistencia en columnas. Aunque algunos proyectistas han usado concretos con resistencias últimas de hasta 19 (XX) lb/pulg- (como en Union Squarc Two. en Seattle), en el diseño de columnas el uso de concretos de5 000 a 6 000 Ih/pulg- es lo normal cuando se especifican resistencias superiores en las columnas.

Las barras de refuerzo de grado 60 son generalmente las más económicas para columnas en la mayoría de las estructuras. Sin embargo, las barras de grado 75 pueden resultar más económicas en estructuras altas, particularmente cuando se usan en combinación on concretos de resistencias superiores.

En general, las columnas con estribos son más económicas que las columnas zunchadas, particularmente si van a usarse secciones transversales cuadradas o rectangulares Por u puesto, las columnas zunchadas, los concretos de alta resistencia y los altos porcentajes de acero ahorran espacio de piso.

Debe usarse el nenor número posible de diferentes tamaños de columnas en un edificio. A este respecto, es muy poco económico variar el tamaño de una columna de piso a piso para satisfacer las diferentes cargas que debe soportar. Esto significa que el proyectista puede seleccionar un tamaño de columna para el piso superior de un edificio de múltiples niveles (usando el menor porcentaje de acero posible) y continuar usando ese mismo tamaño hacia abajo en tantos pisos como sea posible, incrementando el porceniaje de acero piso a piso según sea requerido. Además, es conveniente usar el mismo tamaño de columna tanto como sea posible en cada nivel. Esta consistencia en los tamaños conducirá a ahorros considerables en los costos de mano de obra.

La práctica usual en las columnas de los edificios de concreto reforzado de niveles múltiples es usar barras verticales de un piso de altura unidas entre sí en jaulas prearmadas. Este es el procedimiento preferido cuando se usan barras #11 * o menores, donde todas las barras pueden empalmarse en una sección justo arriba de la línea de piso. Pitra las columnas donde *e requieren empalmes escalonados (como cuando se tienen barras de mayor diámetro), el número de empalmes puede reducirse usando jaulas de refuerzo prearmadas de dos pisos de altura.

A menos que las dimensiones mínimas de las columnas o los diámetros de las barras longitudinales controlen la separación entre los estribos, la selección de los tamaños mayo-

■ t f f f t— írn m ¡

8 9 D ISEÑO DE COLUMNAS CARGADAS A X IA lM rV T E 305

res que sean prácticos para usarse en estribos incrementara su separación y reducirá su número. Esto puede ahorrar algo de dinero. También puede ahorrarse evitando estribos interiores como las mostrados en las dos últimas filas de la figura K.4. Sin estribos interiores, el concreto puede colarse más fácilmente y se pueden usar revenimientos más bajo* (con menos costos de concreto).

En edificios de poca altura, las losas de piso suelen ser algo delgadas, por io que l is deflexiones pueden resultar problemáticas. En consecuencia, delwn usarse ciar -' cortos \ por ende separaciones pequeñas entre las columnas. Conforme los edificios son :r.3S altos, las losas de piso son más gruesas, lo que ayuda a proporcionar estabilidad lateral Para tale' edificios, las deflexiones en las losas no presentarán ningún problema y las columnas pueden colocarse con separaciones mayores entre ellas.

Aunque las columnas en los edificios alto-? pueden colocarse a intervalos bastante grandes. no dejan de ocupar valioso espacio de piso. Por esta razón, muchos proyectistas tratan de colocar tantas columnas como sea posible en la periferia dcl edificio, con la lOca de que no ocupen el valioso espacio interior. Además, la omisión de columnas interiores rc^pprcio na más flexibilidad a los usuarios en la colocación de muros divisorios y tamrvén hace posible la utiliz i5ñ de grandes espacios abiertos.

8.9 D ISEÑ O D E C O LU M N A S C A R G A D A S A X IA LM EN T E

Como una breve introducción al diseño de columnas, se presenta en esta sección e ; diseño de tres columnas cortas cargadas axialmente. Los efectos de momento y longi no se toman en cuenta para nada. Los ejemplos 8 .1 y 8.3 presentan el diseño de columnas cuadradas con estribos cargadas axialmente; el ejemplo S-2 ilustra el diseño de una coi._*nna redonda zunchada, cargada en forma similar. La tabla A . 16 del apéndice da varias propiedades de las columnas circulares que son particularmente útiles para el diseño de tales columnas

□ E JE M P L O 8.1

Diseñe una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta D de I bO klb v una carga viva axial L de 180 klb. Suponga inicialmente 2% de acero longitudinal f = 4000 Ib/pulg2 y/y = 60 000 Ib/pulg2.

SO LU C IÓ N

Pu - (1.4XI30) + (1.7)< I80 ) = 488 klb

Seicccióa de las dimensiones de la columna

Pu = ^0.80(0.85/ '¿A , - A „) + f yA m] (Ecuación AC- 10-2)

488 - <0.70X0.80)K0.85X4)M, - 0.024,) 4 (ÓOXO.OIU,)]


Selección de las barras longitudinales.

Sustituyendo en la ecuación de la columna con Ay conocida y despejando Ast, obtenemos

488 = (0.70X0.80)1(0.85X4X196 - A „) * 60A„]

A» = 3.62 pulg2 Use 6 #7 (3.61 pulg2)

Diseño de los estribos (suponiendo barras #3)

Separación: (a ) 48 x í = 18"ib ) 16 x % = 14" <—

L'->do T/Ii T I / mín.= i t v- Use es-»'ribos #3 a 14"

En la figura 8.5 se muestra un croquis de la sección transversal de la columna.

Revisión de los requisitos del Código

En ia lista dada a continuación vienen las limitaciones del código ACI para columnas. En futuros ejemplos no se mostrarán todas esas revisiones esenciales que. sin embargo, deben

Separación libre entre barras longitudinales =| - g = 1.625 pulg > 1 pulg y db de 7- pulg. Q K

(10.8.4. 10.9.1) Porcentaje de acero 0.01 < p = = 0.0184 < 0.08

(10.9.2) Número de barras = 6 > mín No. de 4 OK

#3 euhbot # J4 pulg 2 y

6 bvni r7Tqr |i»7 I*

-L|l*-r —*j U<

*-14'-„ 2J

Vtjux» ns

8.9 DISEÑO DE COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE 307

(7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para barras #7 q K

(7.10.5.2) Separación entre estribos . q k

(7.10.5.3) Arreglo de estribos q K■

□ E JE M P L O 8.2

Diseñe una columna redonda zunchada para soportar una carga muerta axial O de 180 klb y una carga viva axial L de 300 klb. Suponga inicialmcnte 2% do acero longitudinal. / =4 000 lb/pulg2 y f y * 60 000 Ib/pulg2.

SO LU C IÓ N

Pu = (1 4)< 180) + ( 1.7X300) = 762 k!b

Selección de las dimensiones de la columna y del tamaño de las barras

P„ = *0.85(0.85/;(A* - A „) + f yA „] (Ecuación AC I 10-2)

762 = (0.75X0.85)[(0.85X4X<4, - 0.02¿,) + (60X0.02/*,)!

Ag - 263.7 pulg2 Use columna de 18" dediámetro (255 pulg2)

762 = (0.75X0.85)1(0.85X4X255 - Am) + 604J

A j, = 5.80 pulg2 Use 6 #9 (6.00 pulg2)

Revise los requerimientos dcl código, como en el ejemplo 8.1. En la figura 8.6 se muestra un croquis de la sección transversal de la columna.

308 INTRODUCCION A COI UMNAS

Diseño dcl zunchado

Mínimo p, = (0 .45)^* - l j y = <^-**5)(y^ ~ * )(f¡o ) * <}-UI32

Suponga un espiral de #3 ^ ~ c H4 a . i f ) , - ,i h )75f(4 )(0.11 m 15 - 0.375)

(0 ( I5 )2

í = 2.17“

(Revisada con la tabla A. 15 dcl apéndice)

P.

00132 =

Dsgari

- —. •'’/ v 'T J/ * - ’ & •

8.10 E JE M P L O CON U N ID A D ES S I

□ E JE M P L O 8.3

Diseñe una columna corta cuadrada con estribos con carga axial para P „ = 2800 lcN si £ = 28 M Pa y /v = 350 MPa. Suponga inicialmentcp = 0.02.

* ' '«* j tp f? •*SO LU C IÓ N

Selección de las dimensiones de la columna

= *0-80(0.85 f'tA g - A J+ fy A * ]

r* | 2 800 x103 « (0.70K0.80)[(0.85K28)(A<t - 0.02A*) + (350X0.02Ax) j '

i- A * « 164 886 mm2

Usc400mmx400miriC<x =s Í60000mm*)mKKmmi x \ ? ......... ■ •Selección de las barras longitudinales

2 800 x !0> • (0.70X0.80)((0.85)<28X160 000 - A „) + 35^1*1 "

A*» * 3 654 mm1 i i— ’

U*e 6 #29 (3879 mm2)

S :2 E JEM PLO CON COMPUTADO*14 309

8.11 D ISEÑ O D E CO LUM N AS D E C O N C R ET O R EFO R ZA D O U SA N D O E L M ÉTO D O ALTERNATIVO D E D ISEÑ O

Si las columnas van a diseñarse empleando ya sea el método alternativo o el mee *¿o de esfuerzos de trabajo, deberá usarse el procedimiento de resistencia. La capacidad de ñevión y de carga axial combinadas de una columna dada se debe lomar igual al 40% de L» capacidad calculada con el procedimiento de resistencia (Apéndice A6.l del AC I). L j e>ócltc7 debe considerarse con el mismo método usado en el diseño por resistencia, con d orm ino P* reemplazado por 2.5 veces la carga axial de diseño. Además. U> ecuaciones I0-10 s 10-19 (que serán descritas en el capítulo 10) se han revisado ligeramente tal y como m.- <r peci- fica en el apéndice ACI sección A6.2.

8.12 E JE M P L O CON COM PUTADORA

Usando CO NCAD determine el valor de la carga axial Pu que la .vlumna se le c co r.^ en el ejemplo 8.1 puede soportar. Suponga </'= 2 5 pulg

So de los istriboa (Suponiendo berras #10)

■ 4.7- 459.2 «m .. .<•« - V . . * •>& •

>.5^ 456mm

) Mínima dimensión de la columna = 400 xnm

\ los requisitos del codigo, como en el ejemplo 8.1. En la figura 8.7 se ranestra lis de la sección transversal de la columna.

Use estribos #10 & 400 m n

6 borres #29™ --- 1 ---------(---------

S í 1 j*

. * 3 ,Q . 0 '

260 rora-

-'400

LiVi tU .iVvA’'


SO L U C IÓ N

S i d usuario introduce los dalos rcqucndos en la pantalla y luego selecciona "Show Column Inreruction D iagram . el valor de Pu será el valor superior en la curva mostrada, como se Ice en la columna izquierda. En este caso, la lectura es de aproximadamente 488 klb. E l uso detallado de esta curva se describe en el capítulo 9 . ■

PROBLEMASEn los problemas 8.1 al 8.4, calcule la capacidad de carga axial concéntrica de las columnas cortas indicadas./v = 60 000 Ib/pulg2 y = 4 000 Ib/pulg2.8.1 Columna cuadrada de 24" reforzada con 8 barras del #11. (Resp.. I 492.9 klb)Problema 8.2

• 9 i4 barra 111"

•9 ' i• • \

•— 12 r

ProUema 83 (Resp.: 610.3 klb)

• • • I• t barr» • 12'

• • • 1----------18"----------

Fj i le* problema* 8.5 al 8.10. ditefte la» columnas para carga axial solamente Incluya el - - 9 de U * cttfibm o el zunchado y un cr«»quis de la lección transversal seleccionada. a%.

I* colocación de la* barras de refuerzo. Todas las columnas se suponen cortas y no a la intemperie

PR O BLEM A S CON UNIDADES S I 311

8.5 Columna cuadrada con estribos; /’/> = 350 klh. /*/ = 400 klb. f, = 4 000 Ib/pulg- y/» = 60 000 Ib/ pulg*. S u p o n g a = 2efr. (Una respuesta: columna de 22” x 22" con 8 #9).

8.6 Repita el problema 8.5 conpK = 4%.8.7 Columna redonda zunchada; Pn = 180 klb. P ¡. = 300 klb. ff - 3 500 lb/pulg: y fy - 60 000 Ib/

pulg*. Supongapg = 3*fc (Una respuesta: columna de 18“ de diámetro con X #<)>.8.8 Columna redonda zunchada; Pn = 250 klb. /'/ = 350 klb. f( - 5 (XX) Ih/pulg-. f v - 60 tXX) Ib/

pulg- ypg = 3 *.8.9 Columna cuadrada lo más pequeña posible con estribos: r n = 300 klb. /’/ = 375 klb. /K. = 4 000

Ih/pulg2 y/* = 60 000 Ih/pulg2. (Una respuesta columna de 16" x 16" con 8 014),8.10 Diseñe una columna rectangular con estribos con el lado largo igual a dos veces la longitud del

lado corto. PD - 500 klb. PL = 400 klh. fc = 4 000 Ib/pulg*. /v = 60 000 Ih/pulg- y pK = 2 *

P R O B L E M A S C O N U N ID A D ES S I•* r¿ '•iíífe't rJttjrfC ■ ■ ’

'.En W p rob lcm as &.11 a 8.13 diseñe columnas para carga axial solamente bajo las .‘condiciones descritas. Incluya el diseño de estribos o espirales y un croquis ds la ; sección transversal elegida, incluyendo la colocación de las barras. Se debe supo “ ner que todas las columnas son cortas y que no están expuestas a ia intemperie. /

' . i Columna cuadrada con estribos. P D = 600 kN, P l= 800 kN. ¿ = 24 MPa > fy = 420 . MPa. Svponga pt = 0.02. (Una respuesta: 400 mm x 400 mm con 6 #19).

.12 Columna cuadrada lo más pequeña posible con estribos; PD = 700 kN. PL - 300 kN. f c = 28 MPa y fy «300 MPa.

«.1^ Columna redonda zunchada; PD = 500 kN. PL = 650 kN. fc = 35 MPa. fy = 420 MPa -. y pg = (103. (Una *espucsta: diámetro de 300 mm. 6 #22.)

.....

Para los problemas 8.14 al 8.16 use el programa C O N C A D . Suponga d ' = 2.5 pulg para cada columna.8.14 Repita el problema 8.2.

8.15 Repita el problema 8.5. (Una respuesta: columna de 22 pulg x 22 pulg con banas 8 #9)8.1é Repita el problema 8.9.

Capítulo 9

Diseño de columnas cortas sometidas a carga axial

y flexión

9.1 CARGfA A X IA L Y FLEX IÓ NTodas las columnas se ven sometidas a cierta flexión y fuerza axial y es necesario diseñarlas para que resistan ambas solicitaciones, l-as llamadas fórmulas de "carga axial ”, presenta*’ % en el capítulo 8, toman en cuenta algún momento porque incluyen el efecto de pequeñas excentricidades con los factores 0.80 y 0.85. Esos valores son aproximadamente equivalen tes a suponer excentricidades de 0.10/» para columnas con estribos y de 0.05h para columnas zunchadas.

Las columnas se flexionarán bajo la acción de los momentos y estos tienden a producir compresión en un lado de las columnas y tensión en el otro. Según sean las magnitudes relativas de los momentos y las cargas axiales, existen varias maneras en que las secciones puedan fallar. La figura 9.1 muestra una columna que soporta una carga P „. En las diversa*, partes de la figura, la carga se coloca cada vez con mayor excentricidad (produciendo asi •momentos cada vez mayores) hasta que finalmente en la parte (0 la columna se ve sometida a un momento flexionante de tal magnitud que el efecto de la carga axial se vuelve tkspre dable. Cada uno de los seis casos mostrados se analiza brevemente en los párrafos que sigueji, donde las letras (a) a la (0 corresponden a las mismas letras en la figura. Se supone que la falla de la columna ocurre cuando la deformación unitaria a compresión en cualquier punto alcanza el valor 0.003, o cuando el esfuerzo de tensión en el acero llegue a/>.

(») Carga axial grande con momento despreciable. Para esta situación, la falla ocurre por aplastamiento del concreto habiendo alcanzado todas las barras en la columna su esfuerzo de fluencia en compresión.

(b ) Carga axial grande y momento pequeño, ta l que toda la sección transversal está n i compresión. Cuando una columna está sometida a un momento flexionante peque fto (ewo es. cuando la excentricidad es pequeña), la columna entera estara en con. presión, pero la compresión será más grande en un lado que en el otro E l esfuerzo

compresión máximo en la columna será de 0.85 /, y la falla ocurrirá por aplas tamiento del concreto, con todas las barras trabajando a compresión

a S r i í ^ ^ r l Ca5° (h l ,>0r 10 iiU f rn'/,,rza a desarrollarse ,en " Uu,° d t Sí la excentricidad incrementa un poco respecto

314 D ISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

<n) Una carga axial grande que provwa falla del concreto por aplastamiento con unías las barras alcanzando su fluencia en compresión

(b) Carga axial grande y un momento pequeñopero loda la sección transversal a compresión La falla ocurre por aplastamiento del concreto y todas las barras trabajan a compresión

fuI « f » I <c) Caiga axial grande con momentos mayores que en

y (b). L is barras en el lado opuesto a la carga están" i a tensión sin llegar al esfuerzo de fluencia I j falla

i ocunc por aplastamiento dcl concreto

r .

h írJ (d) Condición de carga balanceada tas barras a tensión alcanzan su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado a compresión que falla a 0 85 /c por aplastamiento.

r .(e) Un momento grande coo carga axial relativamente

menor; la falla se inicia por fluencia de las ban-as a tensión

-T>M .

(fi Momento At fleiión mande1.a fulla ocarre tonto en un» vign

9 .Í Columna u>rr«etidj .»u u fl» con ciiccnlriadftdrt < .ida v iv mayoría

9 1 CARGA AXIAL Y FLEXIÓN 315

Autopista Pennsylvania Southern, Philadclphia. Pennsylvania. (Concsía de la Economy Forms Corporation.)

al caso anlcrior, empezará a desarrollarse tensión en un lado de la columna y el acero en ese lado estará en tensión, pero con un valor menor al correspondiente al esfuerzo de fluencia. En el lado opuesto el acero estará en compresión. La falla ocurre por aplastamiento del concreto en el lado de compresión,

id ) Condición de carga balanceada. A l crecer la excentricidad se llega a una condición en que las barras de refuerzo en el lado de tensión alcanzan sus esfuerzos de fluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado opuesto alcanza so compresión máxima de 0.85 f 'c . Esta situación se llama condición de carga balanceada.

<t) Momento grande con carga axial pequeña. S i la excentricidad crece aún más, la falla se inicia por la fluencia de las barras en el lado de tensión Je la columna, antes que el aplastamiento dcl concreto.

(f) Momento grande con carga axial no aprecia ble Para esta condición, la falla ocurre como en una viga

316 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

9J2 E L CEN TRO ID E PLÁ ST IC O

La excentricidad de la carga de una columna es la distancia de la carga al centroide plástico de la columna. E l centroide plástico representa la posición de la fuerza resultante producida por el acero y el concreto. Es el punto en la sección transversal de la columna a través del cual la carga resultante en la columna debe pasar para producir una deformación unitaria uniforme en el momento de la falla. Para localizar el centroide plástico se supone que todo el concreto está trabajando a un esfuerzo de compresión de 0.85 f c y todo el acero a fy en compresión. En secciones simétricas, el centroide plástico coincide con el centroide de la sección transversal de la columna, mientras que en secciones no simétricas, el centroide plástico puede localizarse tomando momentos.

El ejemplo 9.1 ilustra los cálculos implicados en la localización del centroide plástico de una sección transversal no simétrica. La carga última P „ se determina calculando las fuerzas totales de compresión en el concreto y el acero y sumándolas. Luego se supone que P „ actúa hacia abajo en el centroide plástico a una distancia x desde un lado de la columna y se toman momentos en ese lado de las fuerzas de compresión hacia arriba que actúan en sus centroides y de la P „ que actúa hacia abajo.

□ E JE M P L O 9.1

Determine el centroide plástico de la columna T mostrada en la figura 9.2; f[ - 4 000 IK' pulg2 y fy = 60 000 lb/pulg2.

SO LUCIÓ N

E l centroide plástico cae sobre el ejex, como se muestra en la figura 9.2, debido a la sime fría. La columna se divide en dos rectángulos, el izquierdo de 16” x 6" y el derecho de 8" x 8". Se supone que C\ es la compresión total en el rectángulo izquierdo de concreto, que C; es la compresión total en el rectángulo derecho y que es la compresión total en las barras de refuerzo.

C , = (16X6X0.85X4) = 326.4 klb C i = (8X8X0.85X4) = 217.6 klb

Al calcular *e considera el cortcreio en que las barras están localizadas; esto es.

- 0 ,% SC = (4.00X60 - 0.85 x 4) = 226.4 klb

Compresión total */> „« 326.4 + 217.6 + 226 4 = 770 4 klb

Momento» rr'tptcto al borde izquierdo de In columna:

-<326.4X3) - (217.6X10) - (226.4X7) ♦ (770.4X*) » 0

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 317

y

9.3 D E S A R R O L L O D E LO S D IA G R A M A S D E IN T ER A C C IÓ N

Si una carga axial de compresión se aplica a un miembro corto de concreto, éste quedará sometido a una deformación unitaria uniforme o acortamiento, como se muestra en la figura 9.3(a). S i se aplica un momento sin ninguna carga axial al mismo miembro, éste tendrá una flexión respecto al eje neutro dcl miembro, tal que la deformación unitaria será proporcional a la distancia al eje neutro. Esta variación lineal de la deformación unitaria se muestra en la figura 9.3{b). S i se aplican al mismo tiempo un momento y una carga axial, el diagrama resultante de deformación unitaria será una combinación de dos diagramas lineales que también será lineal, como se ilustra en la figura 9.3(c). Como resultado de este carácter lineal, podemos suponer ciertos valores numéricos para la deformación unitaria en una parte de una columna y determinar las deformaciones unitarias en otras partes por medio de la interpolación lineal. ^

A l cambiar la carga axial aplicada a una columna, el momento que la columna puede resistir también cambiará. En esta sección el autor.mucstra cómo puede desarrollarse un3 curva de interacción para los valores nominales de la carga axial y dcl momento en una columna dada.

Suponiendo que el concreto en el borde de compresión de la columna falla a una defor mación unitaria de 0.003, se puede suponer una deformación unitaria en el borde alejado de b columna y calcular por estática los valores de P n y M ñ. Luego, manteniendo la deforma ción unitaria de compresión de 0.003 en el borde extremo, podemos suponer una serie de diferentes deformaciones unitarias en el otro borde y calcular /*„ y Af„ pan» cada «alor difc reme' f inalmente se obtendrá un número de valores suficiente pare trazar una curva de

' Irn . m i.M tfo n eé OwKttit Ottlun. U rd (Nueva York McGrnw Hi»>. 1|6 T|7

° ' S£ Ñ O D £ CO,-UM NAS SOM ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Í 2Ü T 6 k lb ** " 5 , 2 6 2 k " > S " ' » * »

De esta manera se pueden determinar una serie de valores de P n y M „ con-cspondientcs a una deformación unitaria de - 0.003 en el borde de compresión y a deformaciones unitarias variables en el borde alejado de la columna. Los valores resultantes están marcados sobre una curva, como se muestra en la figura 9.8.

Veamos algunas observaciones sobre los puntos extremos en esta curva. Un rxtremo de la curva corresponde al caso en que Pn alcanza su valor máximo y M „ es nulo. En este caso, P „ se determ ina como en el capítulo 8 para la columna cargada axialmente del ejemplo 9.2

Pn = O.S5fAAg - A t) + A J y

= (0.85X4.0X14 x 24 - 6.00) + (6.00X60)

= 1482 klb

En el otro extremo de la curva, M n se determina en el caso en que Pn es igual a cero. E tte es el procedimiento usado para un miembro doblemente reforzado, que se vio en el capítulo 4. Para la columna del ejemplo 9.2, M „ es igual a 297 pic-klb. ’

Una columna normalmente falla por tensión o por compresión. Entre los dos extremos te encuentra la llamada condición de carga balanceada, donde se tiene una falla por tensión y compresión simultánea En el capítulo 3. el término "sección balanceada" se usó para una sección cuya deformación unitaria a compresión del concreto alcanza el valor 0.003, al mismo tiempo que el acero de tensión alcan/a su deformación unitaria de fl\jf^cia/y/£t. E.« ana viga, cita situación ocurre teóricamente cuando el porcentaje de acerqfc» igual a p i„

P tté columnas, la definición de carga balanceada es la misma que para vigas, esto es. una columna que tiene una deformación unitaria de 0 003 en su lado de compresión, al Atomo tiempo que tu acero de tensión en el otro ludo tiene una deformución unitaria á c jy /

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCION 321

Figura 9.7

E t. Aunque no es difícil prevenir una condición balanceada en vigas limitando el porcentaje máximo de acero a 0.75p/„ no es así en columnas. En columnas no es posible prevenir fallas repentinas a compresión o fallas balanceadas. En toda columna existe una situación de carga balanceada en la que una carga última Pt,„ colocada con excentricidad et, producirá un mo mentó Mhn donde las deformaciones unitarias se alcanzarán simultáneamente

En la condición balanceada tenemos una deformación unitaria de -0.003 en c i borde a compresión de la columna y una deformación unitaria de /> /29 x 10* = 60/L’V* x 10' 0.00207 erTc! acero de tensión.-Esta información se muestra en la figura 9.7 Se empica el mismo procedimiento que en el ejemplo 9.2 para obtener P „ = 504.4 klb y = 559 7 pic- klb.

La curva para P „ y M „ de una columna dada puede extenderse al rango en que P r es una carga de tensión. Se puede proceder exactamente de la misma manera que en el c*>* en que P „ es de compresión. Se puede suponer un conjunto de deformaciones unitarias, escribir las ecuaciones usuales de la estática y despejar Pn \ M „. Se consideraron varias parejas <le deformaciones unitarias para la columna en la figura 9.4 y luego se determinaron los % alores de Pn y M „. Los resultados se trazaron en la parte inferior de la figura 9.8 y se un jeron con la línea discontinua que en la figura se denomina cargas de tensión.

Figura 9M Curva de interacción para la columna de la figura 9 4 Note que te traía de valores nomínale»

318 DISCÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Condición de carga

Deformaciones

(a) Caiga axial (b) Momento

Figura 9.3 Deformaciones unitarias en la columna

(c) Carga axial y momento

interacción como la mostrada en la figura 9.8. E l ejemplo 9.2 ilustra el cálculo de P„ y M„ en una columna para un conjunto de deformaciones unitarias supuestas.

□ E JE M P L O 9.2

Se supone que la columna en la figura 9.4 tiene una deformación unitaria en su borde a compresión igual a - 0.00300 y una deformación unitaria en su borde a tensión de + 0.00200 Determine los valores de Pn y Mn que generan esta distribución de la deformación; f y = 60 klb/pulg2 y f'c = 4 klb/pulg2.

SO LUC IÓ N

Ocurmtnc Im valores de c y de las deformaciones unitarias en el acero r, y r, por propor * COB r*f«re*»cia al diagrama de deformaciones unitarias mostrado en la figura 9.5:

c m " 14 40 Pu,8

" ( t t S ^ 0-00300 " 000248 > 0.00207 por lo que el acero fluye

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 319

0.00200) = 0.0014b

En los siguientes cálculos. C( es la compresión lotal en el concreto. C, es la compresión total en el acero a compresión y T, es la tensión total en el acero a tensión. Cada uno de estos valores se calcula a continuación. E l lector debe observar que C , se reduce 0.85/, A, para tomar en cuenta los agujeros en el concreto.

o = (0.85X14.40)= 12.24 pulg

Cc = (0.85X 12.24X 14)(4.0) = - 582.62 klb

C , = (60)(3.0) - (0.85X3.0)(4.0) = - 169.8 klb

7, = (0.00148)(29 000X3.0) = + 128.76 klb

Por estática. Pn y M „ se determinan con ayuda de la figura 9.6. donde se muestran los valores de Cc, C% y 7*.

IV = 0;-Pn + 169.8 + 582.62 - 128.76 = 0

Pn = 623.7 klb

IM = 0, respecto a) acero de tensión:

(623.7)(9.50) + Mn - (582.62)( 15.38) - (169.8X19.00) = 0

M „ = 6 261.3 pulg-klb = 521.8 pie-klb ■

+0.00200

ttftBra 9.5

J M DISEÑO OE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Figura 9.11 Interacción de curvas para una columna rectangular con diferentes combinaciones de esfuerzo

(b) La segunda modificación se refiere también a los factores 0. E l código especifica valores de 0.70 y de 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente. Si una columna tiene un momento muy grande y una carga axial muy pequeña, de modo que se ubica en la nsrte inferior de la cuna entre ios puntos tí y C (véase la figura 9.10), el uso de esos pequeños valores de 0 es poco razonable. Por ejemplo, para un miembro en flexión pura (punto C en la misma curva) la 0 requerida es de 0.90. pero si el mismo miembro tiene una muy pequeña carga axial añadida, Q se reduce inmediatamente a 0.70 o a 0.7S. Por esto, el código (9.3.2.2) establece que para miembros con fy menor o igual que 60 000 Ih/pulg2, con refuerzo simétrico y con (h- tf ■ ds)!h no menor que 0.7 (véase la figura 9.13). el valor de ^ puede incrementarse linealmente de 0.70 o 0.75 a 0.90, conforme #P„ disminuye de 0.10 f 't At a cero. Para otros miembros 0 puede incrementarse linealmente de 0.70 o 0.75 a 0.90, conforme +P* disminuye de 0.10 /f Ag o 0Pt (el que sea menor) a cero. El efecto de

9£ MODIFICACIONES DEL CÓDIGO A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 327

• •

d ,\ h - d - d ,\ d '

*----- h ■ -■»Figura 9.13

esta modificación es producir un rompimiento en la parte inferior de una curva de interacción de diseño, como se ve en la figura 9.14. Si se tiene una carga axial de tensión, 0 será siempre igual a 0.9.

(c) Como se vio en el capítulo 8. las cargas permisibles máximas de las columnas se especificaron sin importar cuán pequeños fuesen sus valores e. Fn consecuencia, la pane superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una línea horizontal que representa el valor apropiado de

Pu = QPn máx para columnas con estribos = O.SOflO.SS/^/t* - Asl) + / y A J(E c . ACI 10-2)

P»-+ Pn máx para columnas zunchadas = 0.S5<p[0.85f'c(A g - Au) + f yA „] (Ec. ACI 10-1)

Debe recordarse que estas fórmulas se desarrollaron para dar resultados aproximadamente equivalentes a los de las cargas aplicadas con excentricidades de O.lOh en las columnas con estribos y de O.OSh en las columnas zunchadas.

Cada una de las tres modificaciones descritas aquí están indicadas en la curva de diseño en la figura 9.14; la letra en paréntesis corresponde a la letra usada para describir las modificaciones en los párrafos anteriores.

F»K w r*9 .l4 Form a de la cu rva de interneción para dl*eAo de colum na*.

328 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXION

9.6 A N Á L IS IS D E C O LU M N A S C A RG A D A S EXC ÉN T R IC A M EN T E USAN DO LO S D IA G RA M A S D E IN TERA CC IÓ N

Si los diagramas de interacción se prepararan como se describió en las secciones anteriores, sería necesario lener un diagrama para cada sección transversal diferente de una columna, para cada conjunto de grados dcl concreto y dcl acero y para cada colocación diferente de las barras de refuerzo. E l resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin embargo. el número puede reducirse considerablemente si los diagramas se trazan con ordenadas de +P*/Ak (en vez de P „) y con abscisas de +P„e/AKh (en vez de M „). Entonces, cada diagrama de interacción puede usarse para secciones transversales con dimensiones ampliamente variables. E l ACI ha preparado curvas de interacción de este tipo para las diferentes secciones transversales y para la colocación de barras mostradas en la figura 9.15 y para diferentes grados de acero y concreto*.

Dos de los diagramas dcl AC I se reproducen en las figuras 9.16 y 9.17; y en el apéndice A (gráficas 2-21) se presentan otros para las situaciones dadas en las partes (a), (b) y (d) de la figura 9.15.

E l ejemplo 9.3 muestra el uso de las curvas de interacción para determinar el valor de P r en la columna dcl problema 9.2. Para analizar una columna dada, puede calcularse el valor de e/h. así como el de p. Como se muestra en las figuras 9.16 y 9.17 es necesario calcular el valor de y(gama), el cual es igual a la distancia dcl centro de las barras en un lado de la columna al centro de las barras en el otro lado de la columna, dividida entre h, que t ' la altura de la sección de la columna (ambos valores se loman en la dirección de la flexión)

(a) Columna con estribos (b) Columna coo estribos. (c) Columna con estribos coo barras eo las con barras en dos con barras en dos

caras frontales caras laterales

redonda W |»ri >.13

(e) Columna zunchada cuadrada

1990, Vol 2, <oluinn«. PobtkatKwi S l’ l/a(90) dcl ACI. tvim .i. 222

Usualmenie. el valor de /obtenido cae entre un par de curvas se tiene que efectuar una interpolación numérica entre ambas.

Las curvas del A C I contienen una pequeña tabla que da los valores de p., v A* ¡h Esos valores, que se usan con otras tablas del A C I para verificar lo* factores de lonemad en columnas. no se usan en este libro.

□ E JE M P L O 9.3

U iM do curvas de interacción del apéndice A . determine el salor de /> en U -olumna

0“ , * ' * 9 , 8 1 *• ' " » ■ »•" - - 0 0 0 1™

SO LU C IÓ N

(a) t , m | V :

9.6 ANALISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAM ENTE 329

*Fn----, klb/pulg*^ -

0 ü./u 0.40 ’J 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 i-SO

Figura 9.16 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de dos caras frontales

*Pn e1 7 X Í- v k,bíNlr

Figura 9.17 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de las cuatro

>f A

) ' Y -

= 0.75

H24)P “ (14X24)

r = £2 = 0.792

0.0179

Por lo tanto, tenemos que interpolar entre los valores obtenidos en las gráficas 16 y 17 dcl »pénd:zcA

o . ,------ ,------ ,------ ,------ , *• .y 0.75 0.792 0.901

T ,h 0.550 0.558 0 580

| 330 «SEN O DE COLUMNAS CORTAS SOMET.OAS A CARGA AXIAL V H EX O N

9.6 ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE 331

,1 »9 (.TOO p u l r )

3 *9 <3 0 0 pulg*') • • •

■14"

Figura 9.18

2 V

-----------------x 19' 24'

*PH e ■Se puede leer A en el lado izquierdo de estas gráficas, en vez de £ en la pane de

abajo. Aunque este no es un asunto de importancia, el autor lee los valores de abajo porque siente que puede leer los números con un poco más de precisión.

$ f - u »

(b ) = r :

^ 1142 5582 = 357

i ■ a = 0 3 3 3

p = n S jS i)= 00179

y = g = 0.792

y 0.75 0.792 0.90

c7 7 Í 0.490 0.500 0.525

H1 ejemplo 9.4 mucura la aplicación de la* curvas de interacción de columnas a una columna zunchada redonda.


o E JE M P L O 9.4Usando lus curvas de interacción para columnas dcl apéndice, determine el valor de f’„ para la columna corta zunchada mostrada en la figura 9.19; f = 4 (XX) lh/pulg: y/y = 60000 Ib/ pulg2.

SO LU C IÓ N

Es pertinente otro comentario respecto al uso de esas curvas, aunque no influye en la solución de los ejemplos anteriores. En las fallas a tensión abajo de los puntos balanceados en las curvas, una reducción de la carga axial reduce la capacidad por momento. En conse cuencia, el proyectista teóricamente debe revisar dos situaciones de carga para las columnas en este rango. Tendrá que revisar los valores máximos de P „ y M n de la columna y también la carga axial mínima que puede presentarse al mismo tiempo que el M n máximo.

9.7 D ISEÑ O D E C O LU M N A S C A R G A D A S EX C ÉN T R IC A M EN T E USAN D O LO S D IA G RA M A S D E IN TERA C C IÓ N

Los ejemplos 9.5 y 9.6 ilustran la aplicación de los diagramas de interacción en columnas, al diseño de columnas cortas sometidas a carga axial y a flexión respecto a un eje. E l tamaño de la columna se estima como se describe en los siguientes dos párrafos, los valores de rlh y +P*elA,Jt se calculan y el valor de p se determina en el diagrama apropiado.

¡¡ = ¿ = 0 .3 °

p = ^ = 0.0153

7 = £1 = 0.75

^ = 0.39 de la gráfica 20 dcl apéndice A

= 5 4 4 3 M b .(075X0)

(41

---- h m V f --- -

9.7 DISEÑO DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉN TR ICA M EKTE 333

Aunque existen varios métodos para seleccionar tamaños de columnas, el método de tanteos es tan bueno como cualquier otro. Con este procedimiento, el proyectista estim a lo que considera ser un tamaño razonable y luego determina el porcentaje de acero requerido para esc (amaño de columna con ayuda del diagrama de interacción. Si se piensa que la p determinada es muy grande o muy pequeña, se puede seleccionar otro tamaño de colum na y volver a determinar la nueva p requerida, etc.

Un procedimiento un poco diferente se usa en el ejemplo 9.6, donde el esfuerzo medio de compresión bajo carga última en la sección transversal de la columna se supone igual a cierto valor, digamos entre 0.5f c y 0.6y^.. Este valor se divide entre P n para determ inar el área requerida para la columna. Luego se seleccionan dimensiones para la sección transversal y se determina el valor de p en las curvas de interacción. Nuevamente, si el porcentaje obtenido no parece ser razonable, el tamaño de la columna puede revisarse para obtener un nuevo porcentaje de acero.

□ E JE M P L O 9.5

La columna con estribos de 12" x 20" en la figura 9_20 va a •• arse para soportar las >¿2 uien tes cargas: P D = 100 klb. P L = 110 klb. MD = 60 pie-klb y S1L = 80 pie-klb. Con ; [ = 4 000 lh/pulg2 y fy = 60 000 lb/pulg2, seleccione las barras de refuerzo en dos caras tremíales usando las curvas de interacción.

SO LU C IÓ N

Pu = (1.4X100) + (1.7X110) = 327 klb

Pn = 467.1 klb

M u = (1.4X60) + (1.7X80) = 220 pie-klb

Phe»»» 9 20

3 M D .SEÑ O D£ COLUM NAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

= = 314.3 pie-klb

h ~ ¿0 = 0.404

_ (0-70X467.1) /8.07\ „\ h - 550 y w ) * 0550

r = ^ = 0.75

p = 0.020 de la figura 9,16, o gráfica 16 dcl apéndice A

A , = (0.020X20 x 12) = 4.80 pulg2

Use 8 #7 = 4.81 pulg2

Revise los requisitos dcl código, como en el ejemplo 8. 1 . ■

□ E JE M P L O 9.6

Di.señe una columna corla cuadrada con estribos para las siguientes condiciones: P u = 600 klb. M „- 140pie-klb. = 4 000 Ib/pulg2 y fy = 60 000 lh/pulg2. Coloque las barras uniformemente alrededor de las caras de la columna.

S O L U C IÓ N

Suponga un esfuerzo de compresión medio = 0.6 f e = 2 400 lb/pulg2

600Ag requerida = — = 250 Pu,2‘

Ensaye una columna de 16“ x 16" (A* = 256 pulg2) con las barras colocadas como se mueMra en la figura 9.21

Seleccione p de los diagram as de interacción para columnas

r = = 0.6875

í - 2lf'-0175

9 8 FUERZA CORTANTE EN COLUMNAS 335

- ir*

16'-

Figura 9.21

2 i*

_L

I I ' l¿"

*r— 2 Í

<>Pn

^ = 7 = 0 7 = 857 14 k,b

(07X857.14)

Use 8 #9 = 8.00 pulg-

^ ^ ^ • . ^ ( 0 , 7 5 ) , 0.410

Por interpolación entre las gráficas 11 y 12 del apéndice A.

p = 0.0312

A, = (0.0312)(256) = 7.99 pulg2

9-8 F U ER Z A C O R T A N T E E N C O LU M N A S

I-a sección 113.1.2 del código da el siguiente valor para la resistencia por cortante de miembros sometidos a compresión axial:

Vc “ 2(‘ + 200lU (Ecuación A C I 1 1 -4)

336 DíSEÑO OE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

En cmc expresión. Nu es igunl a la carga axial factorizada sobre el miembro que actúa simultáneamente con Vu. E l valor N JA X debe expresarse en Ib/pulg2. S i la fuerza córtame real V, es mayor que 0V«-/2. será necesario sclcccionai la separación entre estribos usando los procedimientos descritos en el capítulo 7. Los resultados darán una separación más es- Ircchu que la requerida al usar las reglas usuales para columnas. Aunque las fuerzas cortantes en las columnas son usuulmcntc pequeñas en las columnas interiores, pueden ser bastante grandes en las columnas exteriores, particularmente aquellas flexionadas con curvatura doble.

9.9 F L E X IÓ N B IA X IA L

Muchas columnas están sometidas a flexión biaxial, esto es. a flexión respecto a dos ejes Las columnas en las esquinas de los edificios, donde las vigas y las trabes concurren con las columnas desde dos direcciones, son los casos más comunes, pero existen otros, tales como aquéllos donde las columnas se cuelan monolíticamente, como si fueran panes de marcos o donde las columnas soportan vigas de fachada muy pesadas Los estriben de puentes casi siempre están sometidos a flexión biaxial.

Las columnas circulares tienen simetría polar y por ende la misma capacidad última en todas las direcciones. Por lo tanto, el proceso de diseño es el mismo, indepcndientemenie <Jc las direcciones de los momentos. S i existe flexión respecto a los ejes x y > el momento biaxial puede calcularse combinando los dos momentos o sus excentricidades, como sigue

9 9 FLEXIÓN BIAXIAL 337

o bien.

<* = V (< \)2 ♦ (<*y)2

Para formas distintas a la circular, es necesario considerar los efectos de la interacción tridimensional. Siempre que sea posible, conviene diseñar las columnas sometida* a flexión biaxial con sección circular. S i es necesario usar columnas cuadradas o rectangulares. el refuerzo debe colocarse en forma uniforme a lo largo del perímetro.

Lógicamente, usted podría pensar que serie posible determinar P n para u ru columna cargada biaxialmcntc mediante ecuaciones de estática, tal como se hizo en el ejem plo 9.2 Tal procedimiento conduce a la respuesta correcta, pero las operaciones matemáticas son tan complejas debido a la forma del lado comprimido de la columna, que el método no resulta práctico. No obstante, haremos algunos comentarios respecto a este tipo <4e solución refiriéndonos a la figura 9.22.

Se escoge una posición supuesta para el eje neutro y se dibujan los triángulos apropia dos de deformaciones unitarias, como se muestra en la figura. Se escriben las ecuaciones usuales con Q = 0.85 f'c veces el área rayada A c y con las fuerzas en cada barra iguales al área de sus secciones transversales, multiplicadas por sus esfuerzos respectivos L * soIuck

r *

» • D ISEÑ O DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

curvas tridimensionales de interacción como la de la figura 9.23. Un esta figura, la curva marcada M HU, representa la curva de interacción para el caso en que la flexión ocurra sólo respecto al eje a y la marcada Mnyo es la curva de interacción para el caso en que la flexión ocurra sólo respecto al eje y.

En esta figura, para una P „ constante, el plano sombreado représenla el contorno de M „ para la flexión respecto a cualquier eje.

Actualmente, el análisis de las columnas sometidas a flexión biaxial se hace principalmente con computadoras. Uno de los métodos aproximados que es útil en el análisis y que puede llevarse a cabo con calculadoras de bolsillo, es aquel que implica el uso de !a ecuación de interacción recíproca Jesa!Tn||?da por el Profesor Boris Brer.ler de la Universidad de Califo rn ia en Berkeley.4 Esta ecuación, que se mucsüa en la sección R10.3.6 dcl Comenta rio A C I. es como sigue:

P m = capacidad nominal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad dada a lo largo de ambos ejes

Pnx = capacidad nominal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad ex

r „ y = capacidad nomina] ác la sección pe i carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad ey

Po = capacidad nominal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con excentricidad cero. Se toma usualmente igual a 0.85 f cA x + fy A s

La ecuación de Bres le r funciona bastante bien en tanto que P „¡ es por lo menos tan pande como 0. JO P „. S i P n es menor que 0.10 P a. es válido despreciar la fuerza axial por com plejo y diseñar la sección como un miembro sometido sólo a flexión biaxial. Este procedim iento es algo conservador. Para esta parte inferior de la curva de interacción, debe recordarse que una carga axial pequeña incrementa la capacidad por momento de la sección. La ecuación de Bresler no se aplica a cargas axiales de tensión III profesor Bresler encontró que las cargas últimas que se predicen mediante su ecuación para las condiciones descritas i»o varían respecto a los resultados de las pruebas en más de 10%.

en la que

* SKtVit. B 1V60. Dctign C rilem toi Keinforced Concrcic Cbluinm Uodcr Axial Load und Biaxial Bcndlng' hmmmt ACI. 97. pé* 4CI

9.9 FLEXIÓN BIAXIAL 339

E l ejemplo 9.7 ¡lustra el uso del teorema recíproco para el análisis de una columna sometida a flexión biaxial, b l procedimiento para calcular P ,IX y Pny Cs el mismo que el usado en los ejemplos anteriores de este capítulo.

□ E JE M P L O 9.7Determine la capacidad de diseño P „, de la columna corta con estribos de la figura 9.24. sometida a flexión biaxial; f '< - A 000 lb/pulg: ./y = 60 000 Ib/pulg2. eA = 16 pulg y <•* = 8 pulg

SO LU C IÓ N

Para flexión respecto al eje x:

Por interpolación en los diagramas de interacción con barras en los cuatro lados

y 0.80

íh 0.64

iAP

Para flexión respecto al eje y :

■y = |^ = 0.667

Í = 0533

P - ( i l 'x ^ S) = 00213

Por interpolación.

DrUrnimocíón de I» capacidad por carga axial de la sección:

P, • (0.85X4.0X13 x 25) ♦ (8.00X60) = 1755 klb

340 O SE ÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

«#9

1 ■io'—■

i r

f_L

■* 70" 25"

PtCura 9 J A

Uso de la expresión de Bresler para determinar P n¡:

¿ = 4318 ■*" 489a " T7SS

Multiplicando todo por 1755

= 4.01 + 3.59 - 1

P * = 265.9 klb ■

Si los momentos en la dirección débil (el eje >■ aquí) son pequeños en comparación con la flexión ea la dirección fuerte (eje x). es bastante común despreciar el momento menor. Esta manen de proceder es probablemente razonable en tanto que ey sea menor que aproximadamente 20% de ex, ya que la ecuación de Bresler mostrará poca reducción para P ni. En el ejemplo recién resuelto, una cy igual a 50% de et ocasionó que la capacidad por carga axial ae redujese en 40%.

F.1 ejemplo 9.8 ilustra el diseAo de una columna sometida a flexión biaxial l,a ecuación de Bresler. que es de poca utilidad en el proporcionamiento de tales miembros, se emplea pan reviur capacidades de las secciones escogidas por medio Je algún otro procedí ■MtatO. U » diseftos teóricos exactos de columnas sometidas a flexión biaxial son muy com Meados y po» ello rara vez >e usan en los talleres de disefto Se proporcionan ya sea con

ítv' -'-'lo» aproximados o con programas de computadorapasada» se han ideado varios métodos aproximados para el diserto

olumna* con momentos biaxiales. Por ejemplo, existen numerosos diagramas de diserto

9.9 FLEXION BIAXIAL 341

con ln ayuda de los cuales pueden lograrse diseñes satisfactorios. Los problemas se reducen a cálculos muy sencillos en los que se toman coeficientes de los diagramas y se usan para amplificar los momentos respecto a un solo eje. Los di se fio» se hacen entonces con los diagramas usuales de diseño uniaxial5'7.

Algunos proyectistas también usan reglas empíricas para los diseños preliminares. Un método que es muy sencillo pero no muy bueno, consta de lo* siguientes pasos: (1 ) selección del refuerzo requerido en la dirección x considerando Pn y Mnj, (2) selección dcl refuerzo requerido en la dirección y considerando P n y M ny y (3) determinación dcl arca total de acero requerida sumando las áreas obtenidas en los pasos ( I > y (2). Este método conduce en algunos casos a grandes errores de diseño inseguro porque la resistencia del concreto se toma en cuenta dos veces, una para la dirección x y otra para la dirección y*

Otro procedimiento aproximado que funciona bastante bien en los cálculos hechos en los talleres de diseño se usa en el ejemplo 9.8. S i este método simple se aplica a columnas cuadradas, se supone que los valores de Mnx y vf«»\ actúan respecto a ambos ejes x y y (esto es. M x = A/y = Mnx + M ny). E l acero se selecciona respecto a uno de los ejes > se distribuye alrededor de la columna, y la ecuación de Bresler se usa para revisar la capacidad última de carga de la columna cargada excéntricamente.

Si se emplea una sección rectangular donde el eje y es la dirección débil, parecería lógico calcular M y = M M + Mny y usar esc momento para seleccionar el acero requerido respecto al eje y y distribuir el área de acero así calculada en toda la sección transversal de !.t columna. S i bien este procedimiento conduce a diseños seguros, las columnas resultamos pueden ser muy poco económicas ya que serán demasiado resistentes en tomo al eje fuerte Una aproximación bastante satisfactoria es suponer M y = M ^ - M nyy multiplicarlo por b/h y con este momento diseñar la columna en tomo al eje débil9.

E l ejemplo 9.8 ilustra el diseño de una columna cuadrada corta sometida a flexión biaxial Se usa el método aproximado descrito en los dos últimos párrafos y la ecuación de Bresler se emplea para revisar los resultados. S i ésta hubiese sido una columna larga, hubiese sido necesario amplificar los momentos de diseño para obtener efectos de esbeltez, independientemente del método de diseño usado.

□ E JE M P L O 9.8

Seleccione el refuerzo necesario para la columna corta cuadrada con estribos de la figura 9-25 si P d - 100 klb. = 140 klb, M qx = 50 pie-ldb. M lx = 70 pie-klb. M DY = 40 pie-klb M i. = 60 pie-klb. / ; =4 000 Ib/pulg2 y f y = 60 000 Ib/pulg2.

* Prnnc. A L . Nieve*. J M y Gouwcm. A.. 1966. "Capacic? o í Reinforced Recian**!* C o t a » W n e c t to B u nal Bcodi»g~. Jirurnal ACI, 63 ( I I ) . pág». 911-923.

W eb<j . Tj C . 1966. -Ultímale Slrcngth Deiign Charts for Coturnos wiih Bcuia] Bcndin*" A C I Mt i l ) , pigt 1205-1230. * a c i. o.i

’ Kow. D.G y Paulay. T . 1973. ~Bu»al Flexura and Axial Load Inlcrart».^ m Shorl Rcin fcried Concrete Ortumnt". BulU/in o/ Ne* Ztolatid Soclfiy/tir Eunhquakr Eîneetinn. 6 C>. p4j>j 110 121* V*tV K y PM Uy. T . 1975. K'énJ.mtd C m in U S iru ,,* ,,, York kam W ilcy A SooiK I 5S-IS9

v Ftaial, M . cditw, 1985. Cúnente Engtneeri*K i Nueva Y«>rk Noiiinod). 2a «á pá*. 37.39

342 D ISEÑ O DE CO LUM N AS CORTAS SO M ETID AS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

S O L U C IÓ N

Cálculo de los valores de diseño

/>„ * (1 .4 X 1 0 0 ) + (1 .7 X 1 4 0 ) = 378 klh

jp c . = Ñ x S j j “ 0195 > 0 10 (Véase ecuación AC I 9.3.2.2J

P o r lo lam o . <*■ = 0.70.

P" = 0% = 540 k,b

= (1.4X50) + (1.7X70) = 189 pie-klb

s = 270 pie-klb

M *y = (L4X40 ) + ('.7X60) = 158 pje-klb

M *y = = 225.7 pie-klb

C om o resu ltado de la fle x ió n biaxial, el momento de diseño respecto al eje x o al eje se supone que es ig ua l a Mnx + M ny = 270 + 225.7 = 495.7 pie-klb.

Determinación del acero requerido

= 02H g

9.10 EJEM PLO CON COMPUTADORA 343

Por interpolación de los diagramas de interacción, con barras en los cuatro lados.

p = 0.0123

A . = (0.0123X22X22) = 5.95 pulg2

Use 8 #8 (6.28 pulg-) ■

Si se revisa la columna con la ecuación de Bresler se obtiene. P „, = 706 klb > 540 klb. que es satisfactorio. A l emplear la ecuación de Bresler recuerde calcular los valores y ey correctos para su uso con los diagramas de interacción. Por ejemplo.

Cuando una viga está sometida a flexión biaxial, la siguiente ecuación aproximada de interacción puede usarse para fines de diseño:

En esta ecuación M x y M y son los momentos de diseño. M es la capacidad por momento de diseño de la sección si la flexión ocurre sólo respecto al eje x y M uy es la capacidad por momento de diseño si la flexión ocurre sólo respecto al eje y. Esta misma ecuación puede usarse satisfactoriamente para miembros cargados axialmentc si la carga axial de diseño es aproximadamente 15 % o menor que la capacidad por carga axial de la sección. Un análisis detallado de este tema puede encontrarse en el Handbook o f Concrete Engineering l0.

Existen numerosos otros métodos para el diseño de columnas cargadas biaxialmentc U n m étodo que es particularmente útil para los profesionales de diseño es el método del contorno de la carga d e la PC A , recomendado en el A C I Design Handbook11.

9.10 E JE M P L O CO N C O M PU TA D O RA

G E JE M P L O 9.9

Dibuje el diagrama de interacción para la columna del ejemplo 9.2.

^ F iw r l, M . frltior. IV#3, tUnHbofk n¡ Comrtle F.nginrtrinf; (Nueva Yotk Van Noitrandj. 2a ed pág

HanjIhnM, I9f0, Vol J . Columm. PuMicaimiu 5 M 7 » (VOj AC'I. t V i rol»

344 D ISEÑ O DE CO LUM NAS CORTAS SO M ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

SO LU C IÓ N

Diagrama de Interacción para una columna corta rectangular

fy . 60 klb/pulg2 fe’ = 4 klb/pulg2

b « 14 pulg h e 24 pulg

d * 21.5 pulg d1 = 2.5 pulg

As1 = 3 pulg2 As2 = 3 pulg2

Com presión axial de diseño, Pu (klb)

PROBLEM AS 345

P R O B L E M A S

En los problema 9.1 y 9.2 localice los centroides plásticos. fr - 4 000 lb/pulg2 y/> = 60 000 lb/pulg2-Problema 9.1 [Rcsfi 10.17 pulg dcvdc el borde izquierdo).

93 Usando las ecuaciones de estática determine los valores de P„ y Mn para la columna suponiendo que tiene una deformación unitaria de - 0.00300 en el borde derecho y una deformaoáo unitaria de ♦ 0.00200 en el borde izquierdo; ¿.= 4 000 !b/pulg2,/v = 60 000 lb/pulg2. {Resp.: Pa = 485.S klb. M „ m 335.9 pie-klb).

M d P»o*>lcma 9.3 conuderando que la dcfonnacédn umuna en el borde izquierdo e% de ♦


9.5 Repitn el problema 9..3 considerando que la deformación unitaria en el borde izquierdo es de0.1100. Utrrp.: Pm«- 902.9 klh. M „ b 164 5 pie-klb).

9.6 Repita el problema 9.3 considerando que la deformación unitaria en el borde izquierdo es de -0 001.

9.7 Repita el problema 9.3 considerando que el acero de tensión en el lado izquierdo fluye, esto es. se tiene una situación de carga balanceada (Resp.: Pn = 3*0.6 klb. M„ = 368.2 pie-klb).

En los problemas 9.8 al 9.13 use los diagramas de interacción dcl apéndice para determinar valores de P „ para las columnas cortas mostradas si f ( = 4 000 lb/pulg2 y f y - 60 000 Ib/ pulg2.Problema 9.8

4'

3 « 3‘ = 9*— 14*—

4 «10—|------h * 13" 18"4 «10• • •

Probkma 9.9 Repita el problema 9.8 con €x = 8 pulg. (Resp.: 5953 klb). Problema 9.10

* , - 6 '

PRO BLEM A S 347

Problema 9.11 (Re.t/>.: 206.2 klb)y

. 1 .2 «II.. t _ 1•x 18'Xm i2 «II

* i * _ L- 2f

"•— 12"—

Problema 9.12

Problema 9.13 (Rtsp.: 397 klb)

348 DISEÑO OE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

En las problemas 9.14 al 9.16 use las curvas de interacción del apéndice para seleccionar el refuerzo de las columnas corlas mostradas; f r = 4 000 lb/pulg2 y fy = 60 000 lb/pulg2. Problem a 9.14

3’

• i ••

• t •

T t * 1 1 8 *" í u l o

- M

U4 *

Problema 9.15 ( Una posible respuesta: 6 #10)

2 Y ±\ - 600 klb

Problema 9.16

PR O BLEM A S 349

T 'rr,:r,v7 ?• 9?™Tin? t va,ores '*■«" ,m ««»— «i»:/r = 6 0 00 0 Ih/pu lg2 y /, = 4 000 lb/pu lg2.

Pro b lem a 9.17 221 k lb )

er -6«

r ::• r

Problema 9.18

12 #9 • •

• • • •

• 8 #10#

350 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXION

Problema 9.19 (Rrsp.: 268 klb)

-----------20 '

Problema 9.20

9.21 Repita el problema 9.20 con ex = 12" y ey = 6". (Resp.: 302.6 klb)En los problemas 9.22 y 9.23 seleccione el refuerzo para las columnas cortas mostradas; f y = 60 000 lb/pulg2 y f c = 4 000 lb/pulg2. Revise los resultados con la ecuación de Bresler. Problema 9.22

Barros en las cuatro taras P„ m 140 klb e, = 8’ ••rm4“

PROBLEMAS CON UNIDADES SI 351

Problem a 9.23 (Unapotitos rrsput-sta: 8 #7>

2~

• •

■ ir—

16--

■**

17’ 22*

Barras en las cuatro caras PH = 300 klb <•.,= 10* •*■, * 3* •

Para los problemas 9.24 al 9.26 utilice el disquctc.9JA Si la columna dcl problema 9.8 soporta una carga Pu = 225 klb. ¿qué un grande puede ser Mu,9.25 Si la columna del problema 9.14 soporta una carga Pu = 400 klb. ¿qué lan grande puede ser Wu

si se usan t> #9? (Resp.: 167 pie-klb).9.26 Si la columna del problema 9.14 soporta una carga axial Pu = 375 klb. ¿.cuántas barras «10 son

necesarias para resistir un momento de diseño Max = 180 pie-klb?9-27 Prepare un diagrama de flujo para la elaboración de una curva de inleracción para cargas axiales

de compresión y flexión en una columna corta rectangular con estribos.

IL E M A S CO N U N ID A D ES S i

«5o para .columnas no se dan para las resistencias S I-■>« «Lió» a.> (21 MPa. 24 MPa, 28 MPa. etc.) o para la resistencia de Ooeocia dcl

■ ■ - • v, ■unidades S I <27.6 MPa y 413.7 MPa). tal como se puede i JoíErtndos Unidor pero « necesario usar on factor de .

1 va lo» dr / „ para un:, o.t'jinn.i .'mb. don,ir entramos .1 los + r jA f o + P¿fA j¿i, debemos dividir los resollados entre

1 moltíp! icario» por 145 033. Si catamos usando unidades SI y qui temos usar los* na*t4Muubik* d Vdlor requerido ácp para una oólamna, éntranos n kw diagrama*

o $ P jA t dividido entre 0.006 895 o bien multiplicado por 145 033.ímas 9J2H al 930 use lo j diagramas de interacción de columnas en determinar los valore* Vn cu las columnas a n ta s ntosiradas si J f

” i m 1 ¿Sáfe

3S7 D ISEÑO OF COLUMNAS COMIAS SOMI ÍIDAS A CARGA AXIAl Y FLEXIÓN

70 mm

O-XOi

9.29 (Resp.: 1 850 MPa)

j i _ 6#32

I'IUMH f VAS CON UN ZA D ES S I 353

f e *» 27.6 MPa tx - 150 aun ty~ 200 mra

E n los problemas 9.31 al 9 J3 seleccione el rcfi ./.oparalascolum nascnrcrs'rK: iradas; f c = 27.6 M Pa y f7 = 413.7 M Pa. No olvide aplicar ei factor de cw rvr. - k-m dado antes del problema 9.28 al usar las curvas de interacción.

Problema 9.31 (Una posible respuesta: 4 #29)

r* 1 200 kN300 mm900

>* ffc ¡Jt.

Problema 9.30

6-

« K CO LUM NAS CORTAS SOM ETIDAS A CA„OA AXIAL V F l E XIO*

Problema 9.32

Problema 9 J3 (Una posible respuesta: 8 #32)

Capítulo 10

Columnas esbeltas

10.1 IN T R O D U C C IÓ N

Cuando una columna se flcxiona o deflexiona lateralmente en una cantidad A. mu carga axial genera un momento adicional igual a PA . Este momento, se sobrepone a cualquier momento que exista ya en la columna. S i este momento P A es de tal magnitud que reduce Lonstdera- blemente la capacidad por carga axial de la columna, esta se denomina colum na esbelta

La sección 10.10.1 del Código establece que el diseño deseable de un miembro a com presión debe basarse en un análisis teórico de la csiruciura que tome en cuenta los electos de las cargas axiales, los momentos, las deflexiones, la duración de las cargas, las dimensiones variables de los miembros, las condiciones en los extremos, etcétera S i no se usa tal procc dimicnto teórico, el Código proporciona un método aproximado para determinar los efectos de esbeltez. Este método, que se basa en los factores antes mencionados para realizar un análisis «exacto», supone un amplificador de momento ¿que debe multiplicarse por el mayor momcnto^cn eêxtremo de la columna y ese_yalor.dg.be usarse en el_diseño. S i ocurre flexión en ambos ejes. 6 debe calcularse por separado para cada dirección y los valores obtenidos deben multiplicarse por los valores de los momentos respectivos^

10.2 M A R C O S C O N Y S IN D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A L

Para este análisis es necesario distinguir entre los marcos sin desplazamiento lateral y los marcos con desplazamiento lateral. En el código A C I estos marcos son identificados de esa forma, es dccir nútreos con impedimento para desplazarse y marcos sin impedimento.

Las columnas de marcos sin desplazamiento lateral deben diseñarse de acuerdo con la sección 10.12 del código, mientras que las columnas de marcos con desplazamiento lateral deben diseñarse de acuerdo con la sección 10 .13. En consecuencia, primen;» es necesario decidir *i tenernos un marco con o sin desplazamiento lateral.

Debemos entender que rara i rz encontraremos un m arro que este completamente '¡o ,irado contra desplazamientos laterales o uno que esté totalmente despon isto de riostras contra el deipluztim irntn la tera l Por lo tanto, tenemos que dei id ir cómo mane ja r el asunto

l-.l asunto posiblemente pueda resolverse examinando la rigidez lateral de los elementos de apuntalamiento en ch piso en consideración. Se puede observar que una columna en

356 COLUMNAS ESBELTAS

particular se encuentro en un piso donde hay tama rigidez lateral, causada por los miembros de apuntalamiento, los muros de cortante, las armadura’)- demás, que cualquier deflexión lateral que ocurra será demasiado pequeña para afectar on forma apreciablc la resistencia de la columna. A l examinar una estructura particular es necesario darse cuenta de que puede haber algunos pisos sin desplazamiento lateral y otros pisos con desplazamiento lateral.

Sj_nn pedemos decidir mediante una inspección si se trata de un marco_sin dcspla/a- miento lateral o de un marco con desplazamiento lateral, el código proporciona dos maneras de hacerla Primero, en la sección 10.11.4.1 del AC I. se dice que el piso de un marca se cfmsfrWa sin desplazamiento lateral si el incrcmenjo en los momentos de c,xlicmt¿_c_Q_Uis columnas debido a los electos de segundo orden equivale a 5 % o menos de los momentos de extremo de primer orden.

E l secundo método que el código da para determinar si un marco dado se debe considerar ricfctrado o no rioslrado. está en la sección 10.11.4.2. S i el valor dcl así llamado índice de estabilidad que se ve a continuación es de < 0.05. el comentario dcl A C I establece que c! marco puede clasificarse como un marco sin desplazamiento lateral.

L/> A^ = ~V~(~ (E c u a c ió n A C I 10-71)

donde t J >u= carga vertical total factorizada de todas las columnas en el piso considerado A,,= deflexión lateral de primer orden determinada clásticamente, debido a Vu cu le

parte superior del piso respecto de la parte inferior de esc mismo piso Vu = fuerza cortante horizontal total factorizada del piso considerado l c =. altura de un miembro a compresión en un marco, medida de centro a centro .ir

los nudos dcl marco 0 £> o 02 -5 Y\ i

^ A pesar de estas sugerencias dcl A C I. el ingeniero encargado dcl diseño tendrá quetomar decisiones sobre lo que es un apuntalamiento adecuado y el que no lo es, basándose « la Presencia de muros estructurales y de otros elementos de apuntalamiento. lin un edifi- d o de concreto reforzado de tamaño promedio, las excentricidades de carga y los valores de

/í^y/ê»beliez ion pequeños y se considera que los marcos están riostrados. S in embargo, en los0O r-0*0S dudosos es preferible op tar p o r la seguridad y considerar que los m arcos no están

riostrados

f s ^ u r i P o10.3 EFECTOS DE ESBELTEZ

L * etbcUczót las columnas se basa en su geometría y en su riostramicnto lateral Conforme- esfüerMn flexión también crecen, por lo que puede presentarse el

esbeltez P ib» ” ** *** COncrc,° ^forzado generalmente tienen pequeñas relaciones deretttitiw-.»'!!' f ** r>UCíIrn u*u* ,m««»e diseñar como columnas cortas sin reducciones de r- •ivieiKia por efectos de esbeltez.

relaciones ik*ethr|f " ** analizan diversos aspectos implicados en el cálculo de laslongitud r f fn i_ a '*IOt * c*Myei*. longitudes no soportadas «le columnas, factores de

v», radios de g iro y los requisitos dcl Código A C I.

10 3 EFEC TO S OE E SB ELT EZ 357

Biblioteca de la Clemson University, Carolina del Sur. (Cortesía de Clemson University Communications Center.)

Longitudes no soportadas

La longitud ¿u usada para calcular la relación de esbeltez de una columna es su longitud no soportada lateralmente. Esta longitud se considera igual a la distancia libre entre las losas las vigas o los otros miembros que proporcionan soporte lateral a la columna. S i la columna tiene capiteles o cartelas, la distancia libre se mide desde el fondo de las capiteles o de las canelas.

Factores de longitud efectiva

Para calcular la relación de esbeltez de una columna, es necesario estimar su longitud efectiva. Esta es la distancia entre los puntos de momento nulo en la columna. En este análisis inicial se supone que no es posible ni el desplazamiento lateral ni la traslación de los nudos. Desplazamiento lateral o traslación de nudo significa que un extremo o ambos extremos de

j w a columna pueden moverse lateralmente el uno respecto del otKx_S i existiese una columna con extremos perfectamente articulados, su longitud efectiva

sería su longitud no soportada, como se muestra en la figura 10.1 (a). E l fa c to r k de Iongitud efectiva es el número por el que debe multiplicarse la longitud no soportada de la columna £ara obtener su longitud efectiva. Pa ra una columna con extremos perfectam ente articu-

1 ;—Las columnas con diferentes condiciones de extremo tienen longitudes efectivas ente

ramente diferentes. Por ejemplo, en una columna con extremos perfectamente empotrados, sus puntos de inflexión (o puntos con momento nulo) se presentan en los cuartos de su altura y su longitud efectiva es L j l , como se muestra en la figura 10.1(b). Por tanto. * = 0.5.

Obviamente, entre menor sea la longitud efectiva de una columna, menor será el peligro de pandeo y mayor su capacidad de carga. En la figura 10.1(c) se muestra una colum na con un extremo empotrado y el otro articulado E l factor k para esta columna es teóricamente igual a 0.70.

E l concepto de longitud efectiva es meramente un método matemático para reemplazar una columna, sea cual sea su condición en los extremos y sujección lateral, por otra columna

3St» CCH UMNAS ESBELTAS

Punios •!<■ mili' c

FiRura 10.1 Longitudes efectivas do columnas en marcos riourado» (desplazamiento lateral

equivalente, articulada \ mostrada. Podría haccrsc un complejo análisis de pandeo en un marco para determinar el esfuerzo crítico en una columna dada. El factor k se determina al delimitar una columna con extremos articulados con una longitud equivalente que proporcione el mismo esfuerzo crítico. El procedimiento del factor k es un método para lograr soluciones sencillas en problemas complicados de pandeo en marcos.

Las columnas de concreto reforzado sirven como partes de marcos y estos a veces están riostrados y a veces no. Un marco riostrado es uno en el que el desplazamiento lateral o la traslación de nudos está impedido por medio de las riostras, los muros de cortante o el soporte lateral de las estructuras adyacentes. Un marco no riostrado carece de cualquiera de esos upos de riosiramiento y debe depender de la rigidez de sus propios miembros para resistir el pandeo lateral. En un marco riostrado los valores k nunca pueden ser mayores que 1.0. pero en marcos no riostrados los valores k siempre son mayores que 1.0 debido al desplazamiento lateral

En la figura 10.2(a) se da un ejemplo de una columna no riostrada. L a base de esta columna se supone empotrada mientras que su extremo superior se supone completamente libre para girar y trasladarse. I-a curva elástica de tal columna tomará la forma de la curva elástica de una columna con extremos articulados y de longitud doble. Su longitud efectiva verá entonces igual a 2¿v. como se muestra en la figura. En la figura I0.2(b) se muestra el cato de otra columna no riostrada.

E l código (\Q .\2 .\) establece que c) factor de longitud efectiva debe tomarse igual a L O en lo% miembros ti compresión de múreos riostrados, a menos que un análisis teórico justifique puede usar-ve urTvííór menor, S i el miembro no está en un marco riostrado. el código etiablece que el valor de k deberá « r mayor que 1.0 y que se determinará considerando los cíecu>\ del agrietamiento y del refuerzo en la rigidez de la columna. E l cómitc A C I A S C E 441 vugiere a u c ^ lo práctico suponei valotet pata i menino que^f 2 en tales columnas > pn» e llo parece lógico efectuar diieAo» preliminares con A igual y o mayor que ese valor

impedido)

10 4 DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES KCON NOMOGRAMAS 359

Extremo superior libre Extremo superior librepara girar y desplazarse. para girar y dejpla/arse.«trem o inferior empotrado extremo inferior libre para girar

<a) tb)Figura 10.2 (5)lumnas para marcos no riostrados.

10.4 D E T E R M IN A C IÓ N D E L O S F A C T O R E S K C O N N O M O G R A M A S

El procedimiento principal para estimar las longitudes efectivas es mediante el u<o de los nomogramas mostrados en la figura 10.3*-2. E l nomograma de la pane (a) de la figura e> aplicable a marcos riostrados y el de la parte (bl es aplicable a marcos no riostrados

Para usar los nomogramas para una columna, se calculan los factores vy en cada extremo de la columna. E l factor en un extremo de la columna es igual a la suma de las rigideces ( I (E/l£)] de las columnas que concurren en esc nudo, incluyendo la columna en consideración. dividida entre la suma de todas las rigideces de las vigas que concurren en el nudo. S i un extremo de la columna está articulado, y e s teóricamente jgual a «> y si está empotrado U = 0. Como es prácticamente imposible iograr un empotramiento perfecto, y se toma usualmente igual a LO en vez de 0 en los empotramientos supuestos. Cuando el extremo de la columna está soportado por una zapata pero no está rígidamente conectado a ella, es teóricamente igual a pero usualmente se toma igual a 10 en los diseños prácticos.

Uno de los dos valores y se denomina \|»¿ y el otro vj/g. Después de calcular esos valores. se obtiene el factor Jt de longitud efectiva trazando una línea recta por y »ya E l punto de intersección de esta recta con el eje medio del nomograma nos da el valor de k.

Puede verse que los factores V usados para entrar a los nomogramas y por tanto los factores de longitud efectiva, dependen de las rigideces relativas de los miembros a compresión y a flexión. Si tenemos una columna muy ligera y flexible y trabes muy rígidas, la rotación y el movimiento lateral de los extremos de la columna se aminoraran considerablemente Los extremos de la columna tendrán una condición cercana a la de empotramiento

1 Siructural '¿'i.' ility Research Counol, Cunte lo Slubihtf Pe.tifi» CritfiM fnr fitrial Simantes. c<l T ’• Calimbos, « lito t «Nueva Yort Wifcy. I9S8)1 iuliir., O. C . y Lawrrnce. I. S . 1959. «Note» on J uiul I. Nixiwijroms íor Dete/mliution uf EíTcsme Lenj{ih» - *» poWinu Vmm nomograma! tumban se llamo» Nomogramas Jackson and Moreland. por la empresa con

)60 COLUMNAS ESBELTAS

M *8

sao ±10.0 -z5. 0 “

3.0- 2-0 —

1.0a9a80.7-0.60.5

0.4

0.3 —

a2 —

a i —

- r 1.0

a ?

0.8

0.7

0.6

i 50.0 — 10.0

5.0

3.0

2.0

1.00.90.80.70.6as0.4

— 0.3

— 0.2

— 0.1

§ — * — 0.5 0

¿a) Marcos honrados

Figura 103 Factores de longitud efectiva, y = razón de K £//£.) de los miembros a compresión 3 K E11Q de k » miembros a flexión en un plano en un extremo de un miembro a compresión k = factor de longitud efectiva.

por lo que los valores y y los valores k resultantes serán pequeños. En el caso opuesto, es decir, eo columnas muy rígidas con trabes flexibles, obviamente los extremos de las columnas caá girarán libremente, acercándose a la condición de una articulación En consecuencia. tendremos grandes valores de y y

Para calcular los valores y es necesario usar valores realistas para los momentos de inercia. Las trabes suelen estar bastante agrietadas en sus lados de tensión en tanto que las columnas probablemente tienen sólo unas cuantas grietas. S i los valores / para las trabes se subestiman un poco, los factores k serán un poco mayores, quedando así del lado de la seguridad.

Viñas reglas ton usadas para eslimar aproximadamente lasxmdeccs de vigas > volum ¿S^ U n a práctica común del pasado para [elacicm «decsbcltei del orden de hasta 60 o 70;

uv^ rnon*nios de inercia totales para las columnas y 50* de~os momentos de inercia tóales para la» vig,» --------------- ------ — -------------- ------—

10.5 DETERMINACIÓN DE FACTORES K MEDÍANTE ECUACIO N ES 361

+A

100.050.030.020.0

10.0 —

8.07.06.05.0

4.0

3.0 —

2.0 —

1.0 —

0 —

20.010.0

5.0

4.0

3.0

1.5

1.0

100.050.030.0

20.0

10.09.08.07.06.0

— 5.0

— 4.0

— 3.0

— 2.0

— 1.0

— 0

(b) Marcos no riostrados Figura 103 continuación.

En el Comentario dcl A C I (R .10.11.1), se establece que para determinar valores y que han de usarse en la evaluación de los factores k, la rigidez de las vigas se puede ca lcu lar con base en 0.357* para tomar en cuenta el agrietamiento y el refuerzo, mientra» que 0.70/*

'-puede usarse para miembros a compresión. Esta recomendación se sigue en los ejem plos de i capítulo.

10.5 D ETERM IN AC IÓ N D E FA C T O R ES K M ED IA N TE EC U A C IO N ES

En vez de usar nomogramas para determinar los valores k, el Comentario dcl A C J (R 1 0.12.1) proporciona un método alternativo que implica usar ecuaciones relativamente simples. Esta* ecuaciones, que fueron tomadas del British Standard Code of Practice\ sea particularmente útilei con programas de computadora.

1 (Urtlt of Prar.ilt* fot tht Situciurul Utf />/ Concrtte < CPII0; pan I). Hni.Ui Standard* Iiwm u*K» Londicv 1972, 154 pifjtun


Columnas de concreto reforzado. (Cortesía de R SM Advertising representando a Molded Fiber Glass Products Company.)

Para miembros a compresión riostrados. un límite superior para el factor de longitud efectiva puede tomarse como el menor valor determinado de las dos ecuaciones que siguen, en dor.de Ya y YB son los valores antes descritos para los nomogramas de Jackson y Moreland y i/min es el menor de los dos:

* = 0.7 + QjOSCft + Yb ) £ 1.0

k - 0.85 + 0.05 \Kmin £ 1.0

E l valor de k para los miembros a compresión no riostrados que están restringidos en ambo* extremos puede determinarse con el valor apropiado dado por las siguientes dos ecuaciones, en donde y m es el promedio de Ya y YB-

Si Y~ < 2

km* L ^ Vrrvms. 2 2

k * 0.9VI ♦ Ym

10 6 ANALISIS DE P R W E R ORDEN USANDO PROPIEDADES ESPEC IA LES 363

E l valor dcl factor de longitud efectiva para los miembros a compresión no riostrados que eslán articulados en un extremo, puede determinarse con la siguiente expresión, en donde \ffCS el valor en el extremo restringido

A = 2.0 «• 0.3 y

E l código AC I en su sección 10 12.1 establece que k debe tomarse igual a 1 0 para los miembros a compresión en marcos apuntalados contra desplazamientos laterales, a menos que un análisis teórico muestre que puede usarse un valor más pequeño En el último párra fo de !a sección RIO . 12 de los Com entarios dcl ACI. se dice que el uso de los nomogramaso de las ecuaciones recién presentad*:*, es satisfactorio pura justificai i a ló n í de k menores que I 0 en m arcos riostrados.

10.6 A N Á L IS IS D E P R IM E R O R D E N U S A N D O P R O P IE D A D E S E S P E C IA L E S D E L O S M IE M B R O S

Dcspuifs de esta sección, el resto del capítulo está dedicado a un procedimiento de diseño aproximado en el que el efecto de la esbeltez se toma en cuenta, calculando los amplificadores de momento que son multiplicados por los momentos de las columnas. Un amplificador para una columna es una función de su carca axial factorizada P u y de so carga de pandeo crítica P c.

Antes de poder calcular los amplificadores para una estructura dada, es necesario efectuar un análisis de primer orden de estructura. Las propiedades de ia sección del miembro usadas para tal análisis deben tomar en cuenta la influencia de las cargas axiales, la presencia de lugares agrietados en los miembros y el efecto de la duración de las cargas. En vez de efectuar tal análisis, la sección I0.1 l . l de’, código A C I permite el uso de las siguientes propiedades para los miembros de la estructura. Estas propiedades pueden usarse para marcos con o sin desplazamiento lateral

(a ) M ódulo de elasticidad. determinado con la siguiente expresión dada en la sección 8.5.1 dcl código.E c = wj 533 - {fc para valores de wy entre 90 y 155 Ib/pie o 57 000 ^ f en el concreto de peso normal.

ib) Momentos de inercia, donde /* = el momento de inercia de la sección total de concreto respecto dcl eje centroidal despreciando el refuerzo

Vigr.s 0.35/*Columnas 0.70 /*Muro*, no «grietados 0.70/*agrietados 0.35/*Placa?, plana» y losas planas 0.25/*

fc ) Área


10.7 C O LU M N A S E S B E L T A S E N M A R C O S S IN D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A LO R IO ST R A D O S

Existe una gran diferencia en el comportamiento de las columnas de marcos sin desplazamiento lateral o riostrados y en el de aquellas de marcos con desplazamiento lateral o no riostrados. En efecto, cada columna en un marco riostrado actúa por si m isma. En otras palabras, su resistencia individual puede determinarse y compararse con sus cargas y momentos factorizados calculados. En un marco no riostrado o con desplazamiento lateraCuna columna probablemente no se pandea en forma individual, sino simultáneamente con todas las otras columnas en el mismo nivel. En consecuencia es necesario en un marco asi, ctrns. rfrrar la resistencia por pandeo de todas las columnas en el nivel considerado como unaum d2T“------------------------------------ — ----------------------------

Para un miembro a compresión en un marco sin desplazamiento lateral, la relación de esbeltez efectiva ~ se usa para determinar si el miembro es corto o esbeíto. En este cálculo. 4, es la longitud no soportada del miembro. E l factor k de longitud efectiva puede tomarse igual a 1.0. a menos que el análisis proporcione un valor menor. E l radio de giro re s igual a 0.25 veces el diámetro de una columna redonda y 0.289 veces la dimensión de una colum na rectangular en la dirección en que la estabilidad está siendo considerada. L a sección 10.11.2 del código A C I permite usar el valor aproximado de 0.30 en vez de 0.289 y esto !•■ haremos aquí. Para otras secciones, el valor de r tendrá que calcularse partiendo de las propiedades de las secciones totales.

Para los marcos sin desplazamiento lateral, los efectos de esbeltez pueden ignorarse si se satisface la siguiente expresión

— £ 34 - (Ecuación ACI 10-8)

En esta expresión, M\ es el menor momento de extremo factorizado en un miembro a compresión. Se usa el signo más si el miembro está fiexionado en forma de curvatura simple (en forma de C ) y se usa el signo menos si el miembro está fiexionado en forma de curvatura doble (en forma de S). A#2 es el mayor momento de extremo factorizado en un miembro a compresión y siempre tiene el signo más. — no debe ser menor que -0.5.

S i H J r de una columna es mayor que'la relación aplicable, se tendrá una columna esbeha. En una columna así, el efecto de esbeltez debe ser considerado. Esto se hace usando métodos aproximados o por medio de un análisis teórico de segundo orden que tome en cuenta el efecto de las deflexiones. S i t í j r > 100, deberá efectuarse el análisis teórico de «fim d o orden (Código 10.11S ) ., *********** «««undo orden es aquel que toma en cuenta el efecto de las deflexiones y

ice uto de ua módulo reducido tangente Las ecuaciones necesarias para diseñar una co :«e intervalo ton extremadamente complicadas y en la práctica se recurre a gráfi-

Pfog***>»a« de computadora. Afortunadamente, la mayoría de las columnas reforzado tienen relaciones de esbeltez menores que 100.

10.7 COLUMNAS ESBELTAS EN M ARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL 365

Cómo ©vitar las columnas esbeltas

E l diseño de las columna’; esbeltas es considerablemente más complicado que el diseño de las columnas cortas. Por esto, es apropiado considerar el uso de ciertas dimensiones míni mas. de manera que las columnas no resulten esbeltas. De esta manera, tales columnas pueden evitarse casi por completo en los edificios de tamaño medio.

S i se supone k = 1.0. la esbeltez puede usualmente despreciarse en columnas de marcos riostrados cuandol^/i se mantiene igual a 10 o menos en la planta baja y a 14 o menos en los pisos arriba de la planta baja. Para determinar esos valores, se supone que hay poca resistencia al momento en la conexión de la zapata a la columna y que las columnas de la planta baj3 están flexionadas en forma de curvatura simple. S i la conexión zapata-columna se diseña con una resistencia aprcciablc al momento, el valor máximo indicado dcí-Jh de 10 debe aumentarse aproximadamente a 14 o al mismo valor usado en los pisos superiores.

S i se tiene un marco no riostrado y se supone k = 1.2. probablemente será necesario tomar ¿,,/h igual a 6 o un valor menor. Así. para una altura libre de piso de 10 pies, es necesario usar una h mínima de aproximadamente 10 pies/6 = 1.67’ = 20" en la dirección ¡le la flex il para evitar columnas esbeltas4.

E l ejemplo 10.1 ilustra la obtención dcl factor k y la determinación de la relación de esbeltez para una columna en un marco no riostrado. A l calcular los valores l/L, el autor usó0.70 veces los momentos de inercia totales para las columnas. 0.35 veces los momentos de inercia total para las trabes, y las longitudes completas entre los centros de los soportes en todos los miembros.

□ E J E M P L O 10.1

(a ) Con ayuda de los nomogramas en la figura I0.3. calcule el factor de longitud efectiva para la columna A B del marco no riostrado mostrado en la figura 10.4. Considere sólo flexión en el plano del marco.

(b ) Calcule la relación de esbeltez de la columna A B . ¿Se trata de una columna corta o esbelta?

S O L U C IÓ N

(a ) Fac to r de longitud real para la colum na A B

'V ' . •

4 N rviiU . G II.. cdiior. I9M , SimpUftrd Dr.u/in R rtn fonnl Cunarte HuitdinRi ,tf MinUrutr Si;e mxif Heighi (SkoV.r. III Ponluxl Ccmeirt AvvKtoiion), p ig t 5-10 a la 5-12

366 C O LU M N A S ESB E LT A S

I V la figura 10.4.

MU k

( = 1.74

F ig u ra 10.4

(b ) ¿S e tra ta de una columna esbelta?

9+12lu = 10 pies

128.25 pies

m z 28.71 > máximo —JL para una columna con.ir 0 .3x20 r

f\GX io„w*en un marco no riostrado = 22

Se trata «le una columna obclt.

v fe í

10 6 AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN MAPCOS 367

r

PFigura 10.5 Amplificación Je momento* en una columiu con impedimento pata desplazamiento lateral.

10.8 A M PL IF IC A C IÓ N D E M O M EN TO S DE C O LU M N A S EN M A R C O S SIN D E SP L A Z A M IE N T O LA T ER A L

Cuando una columna está sometida a momentos a lo largo de su longitud no apuntalada. >.c desplaza lateralmente en el plano de flexión. Como resultado habrá un momento incrementadoo momento secundario igual a la carga axial multiplicada por el desplazamiento lateral o excentricidad. En la figura IOS. la carga P ocasiona que el momento de la columna se incremente una cantidad PA. Este momento ocasionará que A se incremente un poco más. con el consiguiente aumento en el momento PA. el cual a su vez ocasiona olro incremento en A. etc., hasta que se alcanza el equilibrio.

Podríamos tomar los momentos en la columna, calcular la deflexión lateral, incrementar el momento en PA. recalcular la deflexión lateral y el momento incrementado, sucesivamente Si bien unos 2 ciclos son suficientes, este procedimiento sería muy tedioso y poco práctico

Puede demostrarse5 que el momento incrementado puede estimarse muy bien multiplicando el momento primario por l/( I - P/Pt ). donde P es la carga axial y P( es la carga de pandeo de Euler igual a n 2£JI(k lu )2.

En el ejemplo 10.2 se usa esta expresión para estimar el momento amplificado en una columna cargada lateralmente. Puede verse que en este problema el momento prima.no de 75 pie-klb ic incrementa 7.4 pie-klb. S i calculamos la deflexión debida a la carga lateral, obtenerme 0.445* Para este valor, PA = < 150)<0.445) = 66.75 pie-klb = 5.6 pies-klb Este momento ocasiona una deflexión mayor que a su ve/ incrementa el momento, sucesivamente.

% V f O ic | m l ‘K > | , «//./««/i» Suihiln\. 1» ed (M cüiu» Mili. Nuevo Ynr» pjjj»m

S U C O LU M N A S ESB ELT A S

□ E JE M P L O 10.2

(a ) Calcule el momento primario en la columna mostrada en la figura 10 6 debido a la carga lateral de 20 klb.

(b ) Determine el momento total, incluyendo el momento secundario debulo a la deflexión lateral, empleando el factor de amplificación aproximado E - 3 16 x lO'klh/pulg2. Suponga k = 1.0 y ¿*= 15 pie.

V/tSU- 3 9

SO LU C IÓ N

(a ) Momento primurio debido a la carga lateral.

* . - g ^ - 7 3 p i . . H h

(b ) Momento total incluyendo el momento secundario:

n 'E lPc = carga de pandeo de Euler = r ~ i (E cu ac ió n A C I 10-11:

(«•2X3160X1728)

r7 S

L

ISO klb

I4 / /

(1.0X12x15)J= 1663.4 klb

20 klb

í/ é

i s

i ?

i l i

» » k» 1*4

4?

I

10 8 AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN M ARCOS 369

Momento amplificado = 75

= 75 = 82.4 pie-klb

Como hemos visto, es posible calcular aproximadamente el momento incrementado debido a deflexión lateral usando la expresión (1 - P/Pc). En el código AC I 10.12-3) el momento de diseño factorizado para columnas esbeltas sin desplazamiento, se incrementa usando la siguiente expresión, en la cual M,- es el momento incrementado o amplificado y M i = el momento factorizado final mayor en un miembro ? compresión

M e = ón<- A i 2 (Ecuac ión A C I 10-9)

S i nuestros cálculos dan momentos muy pequeños en ambos extremos de la columna r ! código proporciona un valor mínimo absoluto de M-> para usarse en el diseño. En efecto, requiere el cálculo de un momento con y 'se en una excentricidad mínima de 0.6 - 0.03 donde h es el espesor total del miembro peipendicular al eje de flexión.

M 2jmn = /V 0 .6 + 0.03/») (Ecuación A C I 10-15)

5nj = amplificador del momento que se usa para estimar el efecto de la cu o aru ra del miembro o de la deflexión lateral en una columna con un marco sin desplazamiento lateral. Implica un término Cm que se define luego en esta sección.

ü — £ 1.0 (Ecuación A C 110-10)1 -á75T>

L a determinación del amplificador del momento dns consiste en las siguientes cálculos:

I . Ec « 57 000

2• /* - momento de inercia total de la sección transversal de la columna rcspecso al eje centroidal bajo consideración.

3. E , - 29 x I06 lb/pulg2.4. a momento de inercia del refuerzo respecto al eje centroidal de la secciós = 2 de

e*da área de barra multiplicada por el cuadrado óe su distancia al eje centroidal.5. VA termino/?</ se define diferente para marcos con o sin impedimento para desplaza

miento lateral. En el caso de k » marcos sin desplazamiento./^ se define como la rei*.-*ón de U carga axial máxima, muestra factori/ada a la carga axial total facion/ada Siempre ne que tiene signo positivo.

supo-


«W., , n '0n CS nCCCSan° CakU,3r H' , il> A " « r rc w m c * dada, para E l cn elA l M m i,,a ¡ rt" ,0' ,undo c" ‘ •*"'» el flujo plástico, las *r,ctas y demás. S. el lama-m ^ K ¿a columna y do las huras ya j^ < ,e s c o g ,d o „ estimado. E j pt,c<k c a lc u l^ ^ T ^ Ta

que os pamcul ármente satisfacíala para columnas con allos porventa-JCS “ --H ^

«n /- / . 4 E . UI + A/ (Ecuación AC I 10-12)

La expresión alternativa dada .i continuación para E l. es probablemente la mejor expresión que se puede usar cuando los porcentajes de acero son baios Observe umbién que esta expresión es la que se usa cuando el refuerzo no se lu seleccionado previamente.

E l = (Ecuación AC I 10-13)

7. Se calcula la carga de pandeo de Euler:

P< = * ^ 2 (Ecuactón AC I 10-11)

8. Para algunas situaciones de momentos en columnas, la expresión para la amplificación conduce a momentos demasiado grandes. Una de esas situaciones ocurre cuando el momento en un extremo del miembro es cero. I*n esta situación, la deflexión lateral es cn realidad aproximadamente la mitad de la deflexión obtenida con el factor de amplificación S i se tienen momentos aproximadamente iguales cn los extremos que generan una curvatura doble, la deflexión y los momentos a media altura son ahí cercanos a cero. Como resultado de éstas y de otras situaciones, el código proporciona factores de modificación para usarse cn la expresión del momento, lo cual dará una amplificación más real de éste.

En los marcos riostrados sin cargas transversales^™ puede variar entre 0.4 v l .0 y debe determinarse con la expresión al final de este párrafo. Para todos los demás casos de'Bc tomarse íguaUa I.Ó. (Recuerde la convención de los signos: A/| es positivo para curvatura simple y negativo para curvatura doble; M 2 es siempre positivo.)

C „ = 0.6 + 0.4— > 0.4 (Ecuación AC I 10-14)

Si M 2 min' calculado con la ecuación I0-I5 del AC I. resulta mayor que .*Y2. el valor anterior de C„, se tomará igual a 1.0 o se basara cn la relación de los momentos extremos calculador ^ (Sección 10.12.3.2 dcl AC I).

E l siguiente ejemplo 10.3 ilustra el diseño de una columna cn un marco sin desplazamiento lateral.

□ E JE M P L O 10.3Iî columna ton c-.trib<rt en la figura I0.7 se lia diseñado cn forma aproximada con las dimensiones de 12 x 15 pulg Sfl mará cn un marvo Mostrado contra desplazamientos laterales I-a columna w fie ¿ion a en forma de curvatura simple alrededor de su eje y y tiene una/w

10 8 AMPLIFICACION DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN MARCOS 371

do 16 pies. Con A = 0.83./, = 60 000 lh/pulg; y /. = 4 000 lb/pulg3. dciemnnc el re fuer/,o requerido. Considere sólo la flexión en el plano del marco Note que la carga muerta axial no factor izada Pn c$ de 30 klb.

S O L U C IÓ N

I. ¿Se trata de una columna esbelta?

Máx para columnas cortas = 34-12

.'.Por consiguiente, se trata de una columna esbelta y como es < l'X). el método de amplificación de momentos debe usarse.

2. E c = 57 000 = 57 000 ^4000 = 3 605 000 lb/pulg^ = 3.605 * 10* klh/Pulg:

r

Rca, ^ , ^ (083X12x16) = 35.41 >22.56

3./# = ( — K12K15)3 = 3 375 pulg4

carga muerta axial factorizada _ (1.4)(30) ~ carga axial total factorizada 110

r a * 110 klb

y

X x 12"

r m iV

Sección I I

10.7

5. Como el refuerzo no se ha seleccionado, debemos usar la segunda expresión para E l

E/ m T T f l J ■ (0 4 |< & 3/ ~ “ 3 52 * «^klb-pulg2 (E cu a c ió n A C I 10-13)

¿ p m J¿£ L , ( * ‘ X3.52 x l(g) _ |368 klb (Ecuación A C M 0-11 )r r (k t j* (0.83 x 12 x 16)

7. cm * 0.6 ♦ 0 .4 ^ = 0.6 0 . 4 ^ ) = 0.981 (Ecuación ACI 10-14)

C 0 981*• Su * ----= ---------- “ FIÓ--- = 110 (Ecuación AC« 10-10)

1 - 57m 1 ■ ( 0 . W K 1568)

9. W 2.«É» * PJ0-6 + 0.03h ) = 110(0.6 ♦ 0.03 x 15) = 115.5 pulg-klb = 9.6 pie klb(Ecuación ACI 10-15)

10. Mc = SuM2 « (1.10X86) = 94.6 pie-klb (Ecuación ACI 10-9)

11. e real = — = 10.32 pulg.

12. Selección del refuerzo usando las gráficas 15 y 16 en el apéndice A . obtenemos.

í m 1 2 Í2 = 0.688


r

Por interpolación, de las gráficas 15 y 16 del apéndice A

pg = 0.0158A , = (0.0158)(12 x 15) = 2.84 pulg2

Use 4 barras #8 ■

En este ejemplo el autor supuso que el marco estaba riostrado y sin embargo hemos dicho que los marcos suelen estar en esa zona de indeterminación entre el total riostramicnto y ningún Honramiento. Suponer que un marco está totalmente riostrado puede ser muy poco conservador.

10.9 A M PLIF IC A C IÓ N D E L O S M O M EN TO S EN L A S C O LU M N A S D E M A R C O S CON D ESP LA Z A M IEN T O LA T ER A L

LMpnicfaa« han mostrado que aunque las deflexiones laterales en marcos no Mostrados son ^ ° C '* * * caíga* de pandeo um mucho menores que lo que serían si los marco* estuvie

o*. En consecuencia, la* resistencia* por pandeo de lus columnas de un m apo

10.9 AMPLIFICACIÓN OE LOS MOMENTOS EN LAS COLUMNAS 373

sin riostrnr pueden incrementarse (tal vez. por un factor de 2 o 3) proporcionando un apuntalamiento adecuado.

S i un marco no está riostrado contra desplazamientos laterales, primero es necesario calcular su relación de esbeltez. S i — es menor que 22. la esbeltez, puede despreciarse (10.13.2 dcl AC I). Para nuestro análisis supondremos que se obtienen valores > 22.

Cuando se tienen marcos con desplazamientos laterales, es necesario decidir para cada combinación de carga'cuál causa un desplazamiento lateral aprcciable (probablemente la carga lateral) y cuál no. Los momentos de extremo faclorizados que causan desplazamientos laterales se designan M \t y M is y deben amplificarse debido al efecto PA. Los otros momentos de extremo, que no causan un desplazamiento lateral aprcciable. se designan M |M, y M 2m- Estos se determinan mediante un análisis de primer orden y no tienen que ser ampli fícados.

E l código (10.13.4) establece que el momento amplificado S,M , puede determinarse mediante cualquiera de los siguientes tres métodos.

1. Este puede obtenerse usando un análisis clástico de segundo o'dcn basado en los valores dcl momento de inercia reducido que se dieron previamente cn la sección10.6 de este capítulo, tomados de la sección 10.1 I . I dcl AC I. Los factores k deben determinarse con esos valores reducidos y deben ser > I 0.

2. Los momentos por desplazamientos laterales amplificados pueden calcularse con ¡a ecuación dada al final de este párrafo, cn donde Q es el índice de estabilidad previa mente presentado cn la sección 10.2 de este capítulo. Si el valor calculado de 5* c> > 1.5. será necesario calcular S,M , por medio de alguno de los otros dos métodos descritos aquf (10.13.4.2 del AC I).

M5,M S = \ - Q ¿ (Ecuación A C i 10-18)

3. Con el tercer método, que es el usado en este capítulo, los momentos por desplazamiento lateral amplificados pueden calcularse con la siguiente expresión:

M ,6,M, = ¿p — t M, (Ecuación AC I 10-19)

1 ~<£75B>En esta ecuación &>„ es la suma de todas las cargas verticales cn el piso cn considera

ción y &>t es la suma de todas las cargas de pandeo de Euler (Pc = ) p « todas las columnas en el piso con valores k determinados como se describe cn la sección 10.13 .1 de! A C I. Esta fórmula refleja el hecho de que las deflexiones laterales de todas las colum nas cn un piso son iguales, por lo cual las columnas obran recíprocamente.

Con cualquiera de lo* métodos precedentes que sea usado paia determinar ios valores los momentos de diseño deben calcularse con las expresiones que siguen

M\ *= A/U l -f b,M\, (Ecuac ión A C I 10-16)

M i *s M Jn, + StM ¿ , (Ecuac ión A C I 10-17)

37« COLUMNAS ESBELTAS

A veces. el pumo lie momento máximo en una column i esbelta con una fuerte carga ux.al estaia entre sus extremos, litio puede suce«ler inclusive s. la columna esta lo suficien- teniente apuntalada contra deflexiones laterales en los extremos por las otras columnas de esc nivel l’ara un miembro a compresión que tiene

(Ecuación AC I 10-20)

el momento máximo ocurrirá en un punto entre los extremos del miembro y excederá el momento máximo de extremo en más de 5% . En tal caso, el momento máximo debe determinarse amplificando los momentos de extremo por medio de las ecuaciones 10-16 y 10-17 del A C I prcv lamente presentadas. En estas ecuaciones debe determinarse para la combinación de carga bajo consideración. E l factor de longitud eficaz k será igual a 1.0 a menos que un análisis muestre que se puede usar un valor menor.

En este caso, el momento de diseño debe determinarse con la siguiente expresión

M f = SnSMzn, ♦

E l lector debe entender que es posible que los marcos con desplazamientos laterales resulten inestables bajo cargas de gravedad solamente. Cualquiera de los tres métodos anteriores descritos en esta sección que sea usado el usado para determinar los momentos ampli ficados. debe efectuarse una revisión de la inestabilidad debida a la carga de la gravedad tal como se indica en la sección 10.13.6 del AC I. Estas revisiones son:

1. S i 6SM , se determina con un análisis de segundo orden, la relación de la deflexión lateral de segundo orden a la deflexión lateral de primer orden (para 1.4 I ) + 1.7 /. más la carga lateral aplicada a la estructura) no deberá ser mayor que 2.5.

2. S i 5,M , se calcula con la ecuación 10-18 del AC I. el valor Q del índice de estabilidad, calculado con 1.4 D + 1.7 L no debe exceder 0.60. Este valor es equivalente a 5t = 2.5.

3. S i 8%M t se determina con la ecuación 10-19 del A C I. la 6f obtenida usando Z P U y L P ( que corresponde a las cargas muerta y viva factorizadas. debe ser positiva y no debe exceder 2.5. (S i Ss es > 2.5. será necesario hacer el marco más rígido.)

E l ejemplo 10.4 ilustra el diseño de una columna esbelta sometida a desplazamiento lateral.

0 E JE M P L O 10.4

Seleccione la* barras de refuerzo usando el método de amplificación del momento para la columna no riostrada de 18 pulg. x 18 pulg. mostrada en la figura I O H si A» I7.5 pie. k -1 3./, - 60 klb/pulg2 y ft - 4 klh/pulg? Un análisis de primer orden ha dado las siguientes cargas axiales y momentos:

600 klb para cargas que no ocasionan desplazamiento lateral /'* *» I25 klb debido a viento

10 9 AMPLIFICACION OE LOS MOMENTOS EN LAS COLUMNA? 375

Figura 10.8

M\ns = -s0 pie-klbM2ns = 130 pie-klbM u = 120 pie-klb debido a viento£ P „= 16 000 klb para todas las columnas del piso1P , = 4S 000 klb para todas las columnas dcl piso

S O L U C IÓ N

¿Se trata de una columna esbelta? (10.13.2 del A C I)

k (u (1.3X12X17.5)(0.3X18) = 50.55 > 22 Sí

¿Excede e l momento flexionante entre tos extremos de la columna a l máximo mor:-uro de extremo en más de 5 % ? (E c . 10-20 del A C I)

v (4 ) ( i8 r

e 51.44 -i£

Nótese que las cargas axiales y los momentos han sido factorizados Apliqúese <ilt> - i el factor dr reducción de 0 .75 para las combinaciones de carga que im plican e ' viento.

P . * 0.75(600 4 125) = 544 klb

A#2*j - 0.75(130) «= 97.5 pie-klb

M j, m (0.75X120) = ‘X) pie-klb


Cálcu lo dcl factor de am plificación 5,

r _ ____ LQ_11 " ( T 7 5 IP€

(Ecuación ACI 10-19)

. .¿jPOO1 " (0.75X48 000)

a 1.80 < 2.5

no hay peligro de que el marco se vuelva inestable bajo cargas de gravedad solamente 110.13.6(c) dcl A C IJ

Cálculo del momento am plificado

= M i», + (Ecuación ACI 10-17)

= 97.5 + (1.80X90) = 259.5 pie-klb

¿ E s M c > valor mínimo perm itido en la sección 10.12.3.2 del A C I?

Af^mín = P J.0.6 + 0.03h) (Ecuación AC110-15)

= (544X0.6 + 0.03 x 18) = 620.2 pulg-klb

= 51.7 pie-klb <259.5 pie-klb

y = = 0.722 con referencia a la figura 10.8

A , " A , 1.68

H’D = I klb/pic. WL = 2 klb/pic

10.10 ANÁLISIS DE M ARCOS CON DESPLAZAM IENTO LATERAL 377

(12X259.5) , _ , e = -— 5-44--- = 5.72. pulg

i - -03,8Selección de los porcentajes de refuerzo de las gráficas 15 y 16 en el apéndice A

p por interpolación entre gráficas = 0.026

A s = (0.026X18 x 18) = 8.42 pulg2U se 8 #10 ■

10.10 A N Á U S IS D E M A R C O S C O N D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A L

Se supone que el marco en la figura 10.9 no está apuntalado en el plano del marco. Sopor¡3 una carga wu de gravedad y una carga lateral P u de corta duración. Por tanto, es ncccsiirio considerar tanto los momentos de las cargas que no causan un desplazamiento latera! aprc ciable, como las cargas que s í lo hacen. A s í pues, será necesario calcular los dos valores 3n, y Ss si la columna resulta ser esbelta.

Los valores M s son claramente causados en este caso por la carga lateral S in embaí i\o. el lector debe darse cuenta de que si las cargas de gravedad y/o el marco son asimétricos, ocurrirán momentos M s adicionales o momentos debidos a desplazamiento la te ra l

S i tenemos un marco no riostrado sometido a cargas laterales de viento o sism o de corta duración, las columnas no tendrán un flujo plástico apreciable (que incrementarían las deflexiones laterales y por ende los momentos PA ). E l efecto del flujo plástico se toma en cuenta en el diseño reduciendo la rigidez E l usada para calcular P c y 8S, dividiendo E l entre1 + Tanto el término de concreto como el término de acero en la ecuación 10-12 del A C I se dividen por este valor.

Para ilustrar el cálculo de los momentos amplificados necesarios para el diseño de una columna esbelta en un marco no riostrado, el autor ha escogido el mismo m arco de la figura 10.89, con la esperanza de que el estudiante no se pierda en un cúmulo de números como los que se generarían en un marco más complicado.

L a viga y columnas del marco se han determinado tentativamente como se muestra en la figura. En el ejemplo 10.5, el marco es analizado para cada una de las siguientes cond icio nes de carga:

U = 1.4D + I.7L

U = 0.75(1.40 + 1.7L+ 1.7H0

U - 0.9D ♦ 0.75 (I.7W)

En el ejemplo se calculan los factores de amplificación y para cada una de las condiciones de carga, y se usan para calcular los momentos amplificados. Nó<c*c que en la solución se usan diferentes valores k en la determinación de 8n, y 8X. La k para e l cálculo de

•< determina con el nomograma de la figura 10.3(a) para marcos riostrados mientras que la k para el cálculo de 6, se determina con el nomograma de la parte (b) para marcos no riostrados


n E J E M P L O 10.5

Dctcninnai los momentos y fuer/as axiales necesarias para el diseño tic la columna CD *Jcl maiv'o sin nostrar cn la figura 10.*) Considere la flexión sólo cn el plano dcl mareo Los tamaños supuestos mostrado* en la figura se usaron pura los análisis dados cn el problema. /, = * 0 000 Ib/pulg-' > f\ * 4 000 lh/pulg2-

S O L U C IÓ N

1. Determine e l factor Je longitud efectiva puro el an o ,1, desplazamiento k usando 0.35 /,. para la trabe y 0.70 lg para las columnas.

IK para las columnas = (0.70) (¿)(I2 )< 12)* =1210 pulg4

lK para la irabe = (0.35) I2 H IX )’ = 2 041 pulg4

Va = O S E - IM“W i30

Vg = « para extremo articulado En la práctica, usar 10

k =.1.95 de la figura 10.3 (b)

S i esta k es > 2.00. el proyectista ensayará una columna más grande

2. ¿S e trata de una columna esbelta?

/ .« 12- — = 11-25 pie

Máx — para que sea corta = 22 en marcos no riostrados

«73.12 >22

/. Se trata pues de una columna esbelto

3. C on s id ere e l caso de carga U * IM ) + 1.71.. s ea la figura 10.10

u. c Son los momentos en las columnas ¿que los mínimos del AC I

<m.n ■ 0 ¿ ♦ 0.03 x 12 « 0.96 pulg

M 7mtl, (72X096; = 69.12 pulg-Ub = 5.7í»pie-klb< IX9 3pie-klb ()K

10 10 ANALISIS DE MARCOS CON DESPLAZAMIENTO

H . (M H lW t l7 n :» « 4 S Ub/ptc

72 klh F ig u ra 10.10

72 klh

b. Calcule el facto r de am plificación

E c = 57 0 0 0 \ 4000 = 3 605 000 lb/pulg- = 3605 klb/pulg-

A - ( M X l ' ^ ' í - W ) = 0 292

£ / . . ( 0 ± X. 2 ' 0 > . , . 3 5 x , o « k lb W

Considerando prudentemente k = 1.0 para calcular Pc, obtenemos

_ (* .?)< 1.35 x 10») _ ' (1.0 x 12 x 11.25)*“ 731 kU>

Cm = 0.6 + (0 4 ) ( ; T 3 ) = 0.6

8«, = ----- ^ ----= 0.69 < 1.01 " (Ó .7 § 7 3 1 )

c. Calcule r l factor de am plificación <5,:

Ur.:md<* * = 1.95 para determinar /\, obtenemos

f>r , - < r f ü i 92.3 k»b(1.95 x 12 x II.25P

LATERAL 379

Use 1.0

0 75 (t 4 X I * 1.7 X 2) = 3.6 klb/pic

380 COLUM NAS ESBELT A S

54 0 klbt I

54.0 klb 4.1 klb -> I klb

(a) Cargando 0 75(14/) ♦ I 7¿)

Figura 10.11

(b ) Cargando 0.75(1 7 W)

Ss = . (2X72)1 “ (0.75)(2 x 192.3)

= 2.00

d. C alcu le e l momento am plificado:

M c = (1.0X189.3) + (2.00X0) = ,189.3j>ie-klb

4. Considere e l caso de carga U = 0.75(1.4D + J.7 L + 1.7W ); vea la fig u ra 10.11.

a. ¿Son los momentos en ¡as colum nas 2 que los mínimos del A C I?

*mfn = 0.6 + 0.03 x 12 = 0.96 pulg.

M i mín = (54X0.96) = 51.84 pulg-klb = 4.32 pie klb

b. Calcule

JW, E l. P , son los mismos de antes

C „ » 0.6 + = 0.6

K , = 7----* 0.67I -

O K

Use I 0

10 10 ANALISIS DE M ARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL 381

(0.9X1)-09 klK/pic

I ? 5 klbI I

13.5 klb(a ) Carga: 0.9í)

4.1 Ub(b) Caíga : 0.75<l 7H0

Figura 10.12

c. C alcu le 8t:

$d = 0. ya que no hay carga muerta en este caso

E l = ^ H y 0 5 X » 2 10 ) = 1 ?4 x 1Q6

= (n * ) ( l :74 x _10*) c (1.95 x 12 x 11.25)2

8. _L. (2 )(54 ) + 4.1 - 4.1 • " T O 'x í x ¿47.*

1.41

d. Calcu le e l momento am plificado:

M r = (1.0X142) + (1.41X612)^/228.3 pie-klb

5. Considere el caso de carga 0.9D + á j5 l ) ( 1.7 W)\ vea la figura 10.12.

a ¿Son toa momentos en tas columnas 2 que los mínimos del A C I?

?mtn - 0.6 ♦ (0.03X 12; = 0.96 pulg

M i mía »(13.5X0.96) » 12.96 pulg-klb * 1.08 pie-klb O K

3 M COLUMNAS ESBELTAS

*»• ( W . M/r

= 1.0 va que solo actúa />

r# _ (0 4K3605HI2I0) T T 1 = «-724 x 10' klb/pulg*

r m U : )(«.724 x 10^ (1.00 x 12 x n . 25)* * 4724 k,b

C ,- - 0 .6 + 0 . 4 | ^ | = o.6

c . C a lcu le 6,

0 1 = 0 ya que no hay carga muerta

£/ = 8.724 x 103 klb/pulg*

P , = 247.8 klb

S‘ = T (2X13.5) + 4 . 1 - 4 . 1 = 108 1---- O T x 2 x 247.ó

d. C alcu le e l momento:

K * (1 0 X 3 5 J ) + (1.08X01.2) * 101.6 pie-klb

6. Resum en de las carcas axiales y momentos necesarios para el diseño:

Caso ¿ c carga 1: Pu - 72 klb. Af, = 189.3 pie-klb

Caso de carga II: Pu — 54.0 + 4.1= 58.1 klb, AY, - 228.3 pie-klb

C ato de carga I I I : P * = 13.5 + 4 .1 » 17.6 klb. A/, = 101.6 pie-klb ■

Ñ o la : S i el lector defcca calcular ahora el refuerzo necesario para la* cargas y momentos ftntem*e«. encontrará que el porcentaje de acero es demasiado alto. Como resultado. \c i/r/ ,1 • que u v una columna miyor*

PROBLEMAS 383

P R O B L E M A S

10.1 Usando kW nomogramas Je b figura 10.3. determ ine los factores de longitud [%ira las columnas CI> y DE Suponga que las vigas .son tic 12" x IX* y que las colum nas son de 12" * 12" Para las columnas use 0.70 de los momentos de inercia totales y para las vigas Ü. *5 de los momentos de inercia totales Suponga > Vc= 10. {Rrsp 0.92 y 0.82)

10.2 Repita el problema 10.1 considerando que las columnas están empotrada> en la ha>e

10.3 Usando los nomogramas de la figura 10.3. determine los factores de longitud para las columnas AB y BC del marco rostrado. Suponga que todas las vigas son de 12" x 18" y que todas las columnas son de 12“ x 12". Par3 las columnas use 0.70 de los momentos de inercia totales y para las vigas 0.35 de los momentos de inercia totales. Suponga que los extremos alejados de las vigas están articulados y use v * = 10. (Resp. 0.92 y 0.83)


10.4 K rp ila el p«»Mcinn 10..' consideiando que el m ateo no c%l;\ riostrado

10.5 I j i columnn con estribos mostrada vn « usarse cn un marco riostrado. I,a flexión es altedednr «le su eje y con los momento» faetónrados indicados. I„ es de 15 pie Con * = 10./, = 60 (KM» lh/ pulg* y ft. ■ 4 000 Ih/pulg2. seleccione el rehierro requerido. Suponga /’/> = 40 klb (lin a respuesta p«*stblc: 6 barras «X )

\ - 120 klb

10.6 Repita el problema 10.5 con la E l basada cn d tamaño de las barras encontradas en ese problema

10.7 Repila el problema 10.5 considerando que la columna se flexiona en forma de curvatura doble y que su longitud es de 18 pies. Use la segunda expresión para E l (lina respuesta posible -J barras #8)

En los problemas 10.8 al 10.12 seleccione las barras de refuerzo para las columnas con estribos riostradas, si la distancia del borde de la columna al c.g. de las barras es de 2.5 pulg.; fy « 60 Ib/pulg2 y /c = 4 Ib/pulg2 en todos los problemas. Coloque las barras cn sólo dos caras.

frofeNo

Tamaflo de

columna b * 4

u(pie)

k r .ik ) Nofaetonndo

Po ( k)(pie klb)

Faetón- tado A i, a

(pie klb)

Faetón- jado Mj a

Curvatura

104 14* |4 12 10 400 100 75 . 15 Surplc

M I 16» 10 14 10 500 120 90 110 líoNe

N lM 16 * IB 15 0 85 250 40 100 120 Single

10.11 12» 16 16 080 540 IW 90 110 Single

10.11 14 n I I 18 ovo MM) 150 100 IV ) Dobla

(Uno rtsputsht 4 barra» *8)

((/*t»i ttsputua 8 barras #11)

I

En los problemas 10.13 al 10.17. seleccione las barras de refuerzo (colocadas er. dos caras) para las columnas con estribos sin riostras si la distancia del borde tic la columna al centroide de las barras es de 2.5 pulg./y = 60 klb/pulg-. y = 4 klb/pulg2

PROOLE MAS CON UNIDADr S SI 385

ProbNo.

TaniaAo de

columiu h x d

lu < |»tc >

kra canta* sin con- sidcnr

desplaza- mienio lateral

F . »k> de Sido a viento

M i,,(pieklb»

lpiC-klb)

SI„ deI>I<1<1 oviento(pie-klp)

i/ v k iparaUnías

las columnas

del piso

yj\ ik iparatodas las (O-luniua.%

delptvo

10.13 12 x 14 12 1.4 350 80 M» 75 Wl 10 000 V) 000

10.14 14 x 1 4 15 I J 420 110 70 SO 10(1 1»iifir» U <*«'

10.15 14 x 16 12 1.5 450 125 00 120 110 14 000 v , :<< 1

10.16 10 x 16 16 1.65 500 140 110 140 120 16 5oo 58 000 1

10.17 18 x IS tx 1.70 600 150 120 150 140 ix OX) 45 0(i(t ¡

P R O B L E M A S C O N U N ID A D E S S I

Piara los problemas 10.18 al 10.20 seleccione las barras de refuerzo (colocadas en . dos caras) para las columnas riostradas con estribos. Suponga que la distancia del

: de la columna al centro de las barras es de 75 mni en cada caso. Para p f * W ¡ usar las gráficas del apéndice u s e ^ = 413.7 M P a y f ¿ = 27.6 MPa. N o olvide

• el factor de conversión.

m í

Tamaño «Je columna

b x ¿ r .(iw n ) |

U(m )

k r .(kN )

No. M factoii.'jdo

Po(kH)

Faciori-zado

: m »(kN-m) :

Factorizado

? v X » . • (VN'a1)

Curvatura

450 k 450 "Á 'i 1.0 1800 400 80 * - 100 Simple

300 x 400 0.9?. 2200 500 -*ío 125 Doble

MKÍOxJOO 6 . 08* 2400 sso ; 120 ¿ 140 Simple v I

I lo* problemas 10.21 al 10.22 seleccione las barras de refuerzo (colocada* cu cara») para las columnas sin riosfrar con estribos dadas, si la distancia ddfcor

: al centroide de las barras « de 75 n . m = 4 13.7 M Pa y / ' = 27.6 MPa. a-----. c | factor do coovenión

386 CC* UMNAS « SB* LIAS

Prob.No.

TkmaAo4c

columnab * d

Ué(m )

k />.(kN ) par* cargas sin

considerar desplazamiento lateral

P .(k N ) debido a viento

(kNm ) (kNm )A#.

debido•

viento(kNm )

TPm(kN ) para todas

las columnas

del piso

(kN ) para todas

las columnas

del piso

10.21 300 x 400 5 1.2 1 600 1200 40 50 60 40 000 110 000

lt-22 300 x 500 4 1.3 2 000 1 800 50 60 70 44 000 125 000

10-23 350 x 600 6 1.35 2250 2 500 65 90 110 50 000 156 000 [Umai 6 barras *29)

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seleccion importANTE INTRODUCCION Diseño Concreto Reforzado 4 Ed. [Jack C. McCormac]