SEMINARIO MAGISTRAL DE MATEMÁTICA BÁSICA

Inecuaciones cuadráticas 1. Una compañía de bienes raíces es propietario del conjunto de departamentos Parklane, el

cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550

mensual. Sim embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres

departamentos desocupados sin posibilidad que se renten. La compañía quiere recibir

ingresos mensuales superior $54 600.

a) Exprese el ingreso que dependa del precio de renta de cada departamento. b) ¿Cuál debe ser el precio de renta mensual de cada departamento?

Solución:

Sea x: número de incrementos de $25 sobre el precio de renta actual. Por inducción, observe el cuadro adjunto.

Precio (p)

tosdepartamendeNùmero

Actual 550$ 96

Mas $1 de incremento )1(25550 )1(396 Mas $2 de incremento )2(25550 )2(396

Nuevo )25550($ x )396( x

a) Ingreso=(Precio de renta ).(Número de departamentos)

)396)(25550( xxI

Precio de renta de cada departamento = 25

550)25550(

pxxp … (1)

Usando (1) y sustituyendo en la ecuación de ingreso:

))25

550(396(

ppI

25

165032400 ppI

25

34050 ppI

El ingreso depende del precio de renta de cada departamento

b) ¿Cuál debe ser el precio de renta mensual de cada departamento? Si compañía quiere recibir ingresos mensuales superior $54600.

Nos piden que 60054I

6005425

34050

ppI

0136500040503136500040503 22 pppp

0)700)(650(045500013502 pppp

Respuesta: Así, la renta por cada departamento debe ser $675.

2. http://www.youtube.com/watch?v=gLhVlNd_4IA

3. Una agencia de e viaje local organiza un vuelo chárter a un centro vacacional bien conocido.

El agente cotizó un precio de $300 si 100 personas o menos contratan el vuelo. Por cada

persona por encima de la 100, el precio para todos bajará $2.50. Suponga que x equivale al

número de personas por encima de los 100. Si cada unidad tiene un costo de $/. 200

entonces:

a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) ¿Cuál sería el nivel de precio de venta de modo que se obtenga ganancia?

Solución:

Sea x el número de incrementos de personas por encima de los 100. Observar el cuadro adjunto.

preciop cantidadq

Actual 300$ 100

Nuevo x5.2300$ x100

El nuevo precio está dado por pxxp5

21205.2300

Nos pide hallar la ganancia que dependa del nuevo precio, es decir U I C

qpqU 200

qpU )200( )100)(200( xpU

)]5

2120(100)[200( ppU

)5

2220)(200( ppU

)2205

2)(200( ppU

a) Por tanto la ganancia que depende del precio está dado por la igualdad

)220

5

2)(200( ppU

b) Nos piden ganancia. Es decir: 0U

0)2205

2)(200( pp

0)220

5

2)(200( pp

550200 pp

550,200CS

El nuevo precio fijado deberá ser mayor $200 y menor de $550, para obtener utilidad. 4. http://www.youtube.com/watch?v=5u_wOYoQRUQ&list=PLGdNPv_jMmaJ8bl4Q_jJ12h14-

0k8SaBO

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

5. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre. Investigaciones médicas

recientes sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de tener un accidente

automovilístico se modela mediante la ecuación :

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante.

a) Suponga que una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 produce un riesgo del

10% de sufrir un accidente. Determine la constante k de la ecuación.

b) Utilice el valor de k e indique cual es el riesgo si la concentración es de 0.17

c) Con el mismo valor de k encuentre la concentración de alcohol correspondiente a un

riesgo del 100%.

d) Si la ley establece que las personas con riesgo de sufrir un accidente del 20% o mayor

no deben manejar. ¿Con cuál concentración de alcohol en la sangre un conductor debe

ser arrestado y multado?

Solución:

a) Para una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 y un riesgo del 10%

Haga x=0.04 y R=10 en la ecuación y resuelva para k:

– +

+ – +

200 550

b) Con k=12.77 y x=0.17 en la ecuación determinamos que el riesgo es:

c) Con k=12.77 y R =100 en la ecuación: determinamos la concentración de alcohol x

en la sangre:

(

)

d) Con k=12.77 y R=20 determinamos el valor de x:

(

)

Un conductor que presente una concentración de alcohol en la sangre a un nivel

de 0.094 debe ser arrestado y multado.

6. http://www.youtube.com/watch?v=2lbDHoi5aDA

7. Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora, de un producto; después de 6

meses de experiencia revisa 420 unidades por hora. Si se considera que puede alcanzar un

tope de 600 unidades y el número de unidades por hora en términos del tiempo de

experiencia en meses Q está dado por kteABQ . Halle Q y con base en esa ecuación

¿Cuántas unidades por horas revisa al completar un año de experiencia?

Solución:

Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora. Es decir, t=0 y Q= 270;

entonces se tiene: (0)270 270kB Ae B A ……………………. (1)

“ …después de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora”. Es decir, t=6 y Q=

420; entonces se tiene: 6420 kB Ae ……………………. (2)

“ Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades …”. Es decir, Q=600 no

importa el tiempo de experiencia que tenga el trabajador pues nunca superara esa

cantidad. Esto quiere decir que el término 0kt

kt

AAe

e

(tiende a ser cero), por lo tanto

se tiene:

600 B ……………………. (3)

Reemplazar (3) en (1) y se tiene:

330A ……………………. (4)

Reemplazar (3) y (4) en (2):

6420 600 330 ke

6330 180ke

6 6

11

ke

6 6

11

ke

Por lo tanto, la ecuación es: ktQ B Ae

6 6600 330t

kQ e

66600 330

11

t

Q

Finalmente el número de unidades revisadas por un trabajador con un año de experiencias

es:

12

66600 330

11Q

26

600 33011

Q

5520502

11Q

8. http://www.youtube.com/watch?v=JW6rrsfK3F4

Sistema de ecuaciones lineales

9. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 gr de oro, 30 gr de plata y 40 gr de cobre.

El segundo de 30 gr de oro, 40 gr de plata y 50 gr de cobre.

El tercero de 40 gr de oro, 50 gr de plata y 90 gr de cobre. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo

lingote de 34 gr de oro, 46 gr de plata y 65 gr de cobre?

Solución:

x Peso del primer lingote

y Peso del segundo lingote

y Peso del tercer lingote

20 30 4090 120 180

30 40 5090 120 180

40 50 9090 120 180

34 8 9 8 1224 8 9 8 1224

46 6 6 5 828 6 6 5 828

16 15 18 2340 16 15 18 234065

x y z x y z

x y z x y z

x y zx y z

8 9 8 1224 8 9 8 1224

0 3 4 360 0 3 4 360

0 3 2 108 0 0 6 252

10. http://www.youtube.com/watch?v=EaUwVjTttjM

11. El dueño de una tienda comercial ha comprado camisas, pantalones y

casacas por importe de 500 € (sin impuestos). El valor de la casaca es 60 €

menos que el de las camisas y de los pantalones conjuntamente. Teniendo en

cuenta que las camisas deben pagar un IVA del 6%, por los pantalones del

12% y por la casaca del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos

sea de 592.4 €, calcular la cantidad invert ida en cada tipo de ropa.

Solución:

x = Importe en € de las camisas.

y = Importe en € de los pantalones.

z = Importe en € de las casacas.

39, 64, 42x y z

2 1 23 4F F F

3 2 3F F F

3 1 32F F F

x=120 € y=160 € z=220 €

12. http://www.youtube.com/watch?v=EaUwVjTttjM

Aplicaciones de las relaciones binarias

13. Un paciente requiere una dieta estricta a través de dos alimentos: A y B. Se sabe que cada

unidad de del alimento A contiene 120 calorías y 2 gramos de proteínas; la unidad del

alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo

1000 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/.

60 y de cada unidad del alimento B es de S/. 80, ¿Cuántas unidades de cada alimento debe

contener la dieta; para que el costo sea el mínimo?

Solución:

Sea “x” el número de unidades de A

Sea “y” el número de unidades de B

Objetivo:

Maximizar el costo yxyxC 8060),(

Restricciones

Según los datos del problema se construye la siguiente tabla de doble entrada

ALIMENTOS DIETA REQUIERE

A B

Calorías 120 100 Mínimo 1000 Calorías

Gramos de proteínas 2 5 Mínimo 30 gramos de proteínas

Luego, las restricciones son:

0;

3052

5056

0;

3052

1000100120

yx

yx

yx

yx

yx

yx

Graficando cada restricción en el primer cuadrante se tiene el siguiente gráfico.

Luego, evaluando los vértices en la ecuación costo se tiene

( ; ) ( ) ( )

( ; ) ( ) ( )

( ; ) ( ) ( )

C

C

C

0 10 60 0 80 10 800

15 0 60 15 80 0 900

5 4 60 5 80 4 620 La dieta debe contener 5 unidades del alimento A y de 4 unidades del alimentos B; para

obtener el costo mínimo de S/. 620.

14. http://www.youtube.com/watch?v=EnL7pkxwBPY&list=PLGdNPv_jMmaJZVpcZvtcPWbFv9z

qkPjQI

15. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje

transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y

para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la

compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas,

calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de

coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.

Solución: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Sean : .

: .

x númerodevagones paratransportar coches

y númerodevagones paratransportar motocicletas

Objetivo maximizar el beneficio ( ; )B x y x y 540 360

Las restricciones vienen dadas por:

x 0 25/3

y 10 0

x 0 15

y 6 0

Los vértices son

X

Y

0 25/3

6

B

A

C

10

15 5

4

;

x y

x

R xy

x y

27

12

20

DESARROLLO DEL PROBLEMA:

A. Región factible: Dibujamos las rectas auxiliares en el primer cuadrante, ya que tienen que ser valores positivos:

1) x y 27

Región parte inferior. 2) x 12 Región parte derecha.

3) x

y equivalente x y 22

Región parte superior. Por tanto la. región factible es lo relleno de rosado en el dibujo (ver figura abajo)

B Vértices de la región factible:

( ; ):A 12 6 [Punto de intersección de las recta 2y=x; x =12]

( ; ):B 18 9 [Punto de intersección de las rectas 2y =x; x+y=27]

( ; ):C 12 15 [Punto de intersección de las rectas x +y =27; x=12]

Evaluación: sustituir los vértices en el beneficio.

( ; ) ( ) ( )

( ; ) ( ) ( )

( ; ) ( ) ( )

B

B

B

12 6 540 12 360 6 8640

18 9 540 18 360 9 12960

12 15 540 12 360 15 11880

Luego se tiene que usar ;x y 18 9 vagones para coches y motocicletas respectivamente

para que la compañía ferroviaria obtenga el máximo beneficio de ( ; )B 18 9 12960 euros.

16. http://www.youtube.com/watch?v=yTrf7NKaZMQ&list=PLGdNPv_jMmaJZVpcZvtcPWbFv9z

qkPjQI

Relaciones lineales y cuadráticas

17. Una empresa que se dedica a la producción de cierto artículo tiene costo fijo mensual de

S/300 y un costo variable por unidad producida de S/10. Además, se sabe que su ingreso

está dado por la siguiente expresión: 2( ) 0.1 100 ,I x x x donde x es el número de

artículos que se produce y vende la empresa mensualmente.

a) Determine el costo total de la empresa en función de trazar la gráfica

b) Determine la utilidad mensual de la empresa en función de x.

c) Halle la utilidad que obtendrá la empresa si se produce y vende 200 artículos.

d) Halle el número de artículos que debe producir y vender la empresa para obtener la

máxima utilidad, y calcule la máxima utilidad.

Solución: a) Costo total C en soles de producir x unidades al

mes es:

C= costos variables + costos fijos

C= 10x+300

b) La utilidad U está dada entonces por la

diferencia entre el ingreso y el costo

U= I-C

2

2

( ) 0.1 100 (10 300)

0.1 90 300

U x x x x

x x

c) 2(200) 0.1(200) 90(200) 30

13700

U

Si se produce y vende 200 artículos, la utilidad será de S/13700.

d) Utilidad total U es una función cuadrática

a=-0.1 b=90 c=-300

La gráfica de U es una parábola que se abre hacia abajo dado que a<0 y su vértice es el

punto máximo.

El vértice está dado por 90

4502 2( 0.1)

bx

a

2(450) 0.1(450) 90(450) 30

19950

U

Vértices es (450,19950)

Respuesta: Se deben producir y vender 450 artículos para obtener la máxima utilidad que es

S/. 19 950

18. http://www.youtube.com/watch?v=FwYTE5Bgq4Q&list=PLGdNPv_jMmaLQ4FMym-

4hsD7dDRwRkf5C

19. La empresa Punto Alto Contratistas Generales S.A.C, cobra a $ 350 por un ropero

empotrado con diseño de actualidad, a este precio la empresa realiza 40 roperos

empotrados al mes. La administradora, Dayanna Sumiko propone aumentar el precio y

estima que por cada incremento de $1 se venderá 2 roperos empotrados menos al mes. Si

cada unidad tiene un costo de $300 entonces:

a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta.

b) ¿Cuál sería el precio adecuado de venta de modo que se obtenga utilidad máxima?

c) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Solución: x: número de incrementos.

Precio de costo unitario: 300

Precio de venta unitario: 350

a)La utilidad que dependa delprecio

La ecuación del costo viene dada por

La ecuación del ingreso viene dada por

Sea p =precio de venta con incremento “x”

Utilidad que dependa del precio (U = Ingreso - Costo)

b) El precio adecuado de venta de modo que se obtenga utilidad máxima

a=-2 , b= 440

El precio adecuado de modo que se obtenga ganancia es $ 110

c) La utilidad máxima es

129200105000)110(440)110(2)110( 2 U

La utilidad máxima es $ 129 200

20. http://www.youtube.com/watch?v=qCWDT8d34ng&list=PLGdNPv_jMmaLKlYF9EiB9GlbdNd

1gy_EQ

( ) 350 40 2I x x x

350p x

350p x

( ) 40 2 350 300 350U p p p p ( ) 40 2 700 300 105000U p p p p

( ) 300C x x

2( ) 2 440 105000U p p p

2

bh

a

440

2( 2)h

110h