Curso de Física I Clase 6

1.- Un motor eléctrico se apaga y su velocidad angular disminuye uniformemente de 900 rpm a 400 rpm en 6 s. a) Calcule la aceleración angular en rad/s2 y el número de revoluciones que el motor giro en el intervalo de 6 s. b) ¿Cuántos segundos más tardara el motor en parar si la aceleración angular se mantiene constante en el valor calculado en (a)?

Aceleración angular, α

𝜔1 = 900 rpm = 15 rev/s

𝜔2 = 400 rpm = 6.667 rev/s

𝛼 =𝜔2 − 𝜔1

𝑡=

6.667 − 15

6= − 1.389

𝑟𝑒𝑣

𝑠𝑒𝑔2

Ꝋ = 𝜔1𝑡 ±1𝛼𝑡2

2= (15)(6) +

1

2(−1.389)(62) = 65

𝑟𝑒𝑣

𝑠𝑒𝑔

𝜔2 = 𝜔1 ± 𝛼𝑡

𝑡 =6.667 − 0

−(−1.389)= 4.8 𝑠𝑒𝑔

o sea que en total desde que el motor comenzó a frenar tardó 6 + 4.8 = 10.8 segundos en

detenerse.

2.- Un carrusel inicialmente está en reposo. En t = 0 se le imprime una aceleración

angular constante = 0,06 rad/s2, que aumenta su velocidad angular durante 8.0 s.

Determine la magnitud de las siguientes cantidades cuando t = 8.0 s. a) la velocidad angular del carrusel; b) la velocidad lineal de un niño ubicado a 2.5 m desde el centro. c) la aceleración tangencial (lineal) de ese niño. d) su aceleración centrípeta. e) la aceleración lineal total del niño.

a).- 𝑡 = 0 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) 𝜔1 = 0𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔. 𝛼 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

𝛼 = 0.06𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔2 ∆𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑔

𝛼 =∆𝜔

∆𝑡=

𝜔2 − 𝜔1

𝑡2 − 𝑡1= 𝜔2 = 𝛼𝑡2 = 0.06 𝑥 10 = 0.6

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

b).- 𝑣 = 𝑟 𝜔 = (2.5)(0.6) = 1.5𝑚

𝑠𝑒𝑔

c).- 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑟𝛼 = 2.5 𝑥 0.06 = 0.15𝑚

𝑠𝑒𝑔2

d).- 𝑎𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 =𝑣2

𝑟=

1.52

2.5= 0.9

𝑚

𝑠𝑒𝑔

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3.- La figura muestra el volante de un motor de automóvil sometido a prueba. La posición

angular del volante está dada por: = (2,0 rad/s3

) t3

El diámetro del volante es de 0,36 m. a) Calcule el ángulo , en radianes y en grados, en t1 = 2 s

y t2 = 5 s. b) Calcule la distancia que una partícula en el borde se mueve durante ese intervalo.

c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rpm, entre t1 = 2 s y t

2 = 5 s. d) Calcule la

velocidad angular instantánea a los t = t2 = 5 s.

a).- 1 = 2 rad ∗ 𝑡3 = (2)(23) = 16 𝑟𝑎𝑑 , 1 = 16 ∗180

3.1416= 916.17𝑂

2 = 2 rad ∗ 𝑡3 = (2)(53) = 250 𝑟𝑎𝑑 , 2 = 250 ∗180

3.1416= 14323.91𝑂

b).- ∝𝑚= 𝛥𝜔

∆𝑡=

250−16

5−2= 78

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔, ∝𝑚= 78

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔 𝑥

1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

2𝜋𝑥

1 𝑠𝑒𝑔

60 𝑚𝑖𝑛= 0.21 𝑟𝑝𝑚

c).- ω = 2 𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔3 ∗ 3𝑡2 = 2 𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔3(3)(25) = 150

rad

seg

4.- Un disco de radio R = 3.0 m gira a una velocidad angular = (1.6 + 1.2 t) rad/s, donde t está en segundos. En el instante t = 2.0 s., determine a) la

aceleración angular y b) la rapidez y las componentes de la aceleración a de un punto en el borde del disco.

𝛼 =𝜔

𝑡=

1.6 + 1.2(2)

2= 2.00

𝑚

𝑠𝑒𝑔2

𝜔 = 𝛼𝑡 = 2.00 ∗ 2 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝛼 𝑅 = 2 ∗ 3 = 9 𝑚/𝑠𝑒𝑔2

𝑎𝑟 = 𝜔2𝑅 = 4 ∗ 3 = 12𝑚

𝑠𝑒𝑔2

𝑣 = 𝑅𝜔 = 3 𝑥 2 =𝑚

𝑠𝑒𝑔

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5.- Calcule el momento de inercia alrededor de los siguientes ejes para una varilla de 0,3 cm de diámetro y 1,50 m de longitud, con masa de

0,042 kg. a) Un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro. b) Un eje perpendicular a la varilla que pasa por un extremo. c) Un eje

longitudinal que pasa por el centro de la varilla.

𝐼 =𝑀𝐿2

12=

0.042(1.5)2

12= 7.87 𝑥 10−3

𝐼 =𝑀𝐿2

3=

0.042(1.5)2

3= 3.15 𝑥10−2

=𝑀𝑅2

2=

0.042(0.015)2

2= 4.76 𝑥10−6

6.- Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0,2 kg cada una, están dispuestas en un cuadrado de 0,4 m de lado, conectadas por varillas ligeras carentes de masa. Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje, a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano; b) que biseca al cuadrado (que pasa por la línea AB en la figura); c) que pasa por los centros de las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O.

𝐼 = 𝑚𝑅2

𝑅 = √0.22 + 0.22 = 0.63 𝑚 a).- 𝐼 = 0.8 ∗ 0.632 = 0.32 𝑘𝑔 𝑚2 b).- 0.32 kg m2 c.- 0.32 kg m2

R

0.2m

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7.-Una rueda de carretera tiene un radio de 0,3 m y la masa de su borde es de 1,4 kg.

Cada rayo, que está sobre un diámetro y tiene 0,3 m de longitud, tiene una masa de 0,28

kg. ¿Qué momento de inercia tiene la rueda alrededor de un eje que pasa por su centro y

es perpendicular a su plano?

𝐼 =𝑀(𝑅2 − 𝑅1)2

2=

3.64(0.3)2

2= 0.1638

8.- Una hélice de avión tiene un diámetro de 2,08 m (de punta a punta) y masa de 117

kg, y gira a 2 400 rpm alrededor de un eje que pasa por su centro, a) ¿Qué energía

cinética rotacional tiene? Trate la hélice como varilla delgada. b) Si no girara, ¿qué

distancia tendría que caer libremente la hélice para adquirir esa energía?

𝐾 =1

2 𝐼𝜔2 =

1

2 (𝑀)(𝐿)2

12=

(𝑀)(𝐿)2

24=

(117)(2.08)2((2400)(𝜋/30))2

24

𝐾 = 1.33 𝑥 106 𝐽

9.- Los volantes son simplemente grandes discos en rotación, que se han sugerido como

medios para almacenar energía en sistemas generadores con base en la energía solar.

Estime la energía cinética que puede almacenarse en un volante de 80,000 kg (80 ton)

con diámetro de 10 m (un edificio de tres niveles). Suponga que el volante puede girar

sin romperse (destrozarse debido a los esfuerzos internos) a 100 rpm.

𝐸𝑟𝑜𝑡 = 𝑀𝑅𝜔2

𝐸𝑟𝑜𝑡 = 80000(5)(100)2𝑚

ℎ= 4𝑥 108 𝐾. 𝑚

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10.- Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de paredes delgadas) con

masa M y radio R alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por un

borde

𝐼 =𝑀𝑅2

2

11.- Una lámina de acero rectangular delgada tiene lados que miden a y b y una masa

M. Use el teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia de la lámina

alrededor de un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por una esquina.

12.- Calcular el momento de inercia de un cilindro macizo homogéneo de radio R, altura H y masa M respecto del eje z de la figura.

𝐼 = 1

2 𝑀𝑅2 + 𝑀𝑅2 =

3

2 𝑀𝑅2

𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ = 3

2 𝑀𝑅2 ℎ =

3 ∗ 𝑅2

2 𝑚𝑔