Semana 9

17/05/2016

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Facultad de Ingeniería – Ingeniería Civil

Estadística y Probabilidad

Estad. Rolando R. Romero Paredes


Logro de la sesión

• Utiliza un diagrama de árbol para organizar y evaluar

probabilidades.

• Conoce las técnicas de conteo.

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Técnicas de conteo

Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de conteo, las cuales son:

1. Principio fundamental de conteo

2. Diagramas de árbol.

3. Análisis combinatorio. 1. Permutaciones

2. Combinaciones


Diagrama de árbol

• El diagrama de árbol es una técnica gráficaempleada para enumerar todas las posibilidadeslógicas de una secuencia de eventos, donde cadaevento puede ocurrir en un número finito deveces.

• Ejemplo: Construir el diagrama que consiste enlanzar 2 monedas y observar lo que aparece en sulado superior.

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Ejercicio

•Construir el diagrama de árbol paraencontrar el total de posibles formas deevaluar el estado de 3 productos comodefectuoso o no defectuoso.


Análisis combinatorio.

• Los diagramas de árbol nos sirven para mostrar gráficamente elnúmero de resultados posibles de un fenómeno, pero estaordenación tiene un inconveniente, pues a medida queaumenta el número de objetos dicha ordenación se complica,por lo que hay que recurrir a otro proceso más sencillo paradeterminar el número total de resultados.

• Para ello existen otras técnicas tales como:• Principio fundamental de conteo.

• Permutaciones.

• Combinaciones.

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Análisis combinatorio - Principio fundamental de conteo.

• Si un evento puede realizarse de n1 formas diferentes, ysi, continuando el procedimiento, un segundo eventopuede realizarse de n2 formas diferentes, y si, despuésde efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3formas diferentes, y así sucesivamente, entonces elnúmero de formas en que los eventos pueden realizarseen orden indicado es el producto de (n1) (n2) (n3)…


Ejemplos

• Ejemplo 1. Encontrar el total de posibles formas de

lanzar una moneda 10 veces.

• Ejemplo 2. En un parque hay una banca con 5 lugares, si

al parque asisten 5 hombres y 4 mujeres que son

amigos. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en

la banca?

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• Una permutación es una forma en la que pueden representarselos eventos, en la que el orden en que aparecen es muyimportante; por ejemplo con los números 1, 2 y 3 se puedenhacer los siguientes arreglos; 123, 132, 231, 213, 312 y 321,cada uno de ellos es una permutación de los dígitos 1, 2 y 3tomando los tres a la vez. Si sólo utilizamos dos de los tresdígitos tendríamos los siguientes arreglos; 12, 21, 13, 31, 23 y32 y cada uno de ellos representa cantidades distintas entre sí.

Análisis combinatorio - Permutaciones.


• Las permutaciones representan un arreglo ordenado de “r” objetos tomados de “n”, en donde r ≤ n.

• La fórmula para hallar el número de permutaciones es la siguiente:

• Donde:• n= número total de objetos.• r= es el número de objetos que se desea considerar de los “n”

disponibles.


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• Ejemplo1. Hallar el número de permutaciones que se puedenformar con los números 2, 4, 6 y 8.

a. Si sólo se utilizan 2 de estos números.

b. Si sólo se utilizan 3 de estos números.

• Ejemplo 2. La mesa directiva de una escuela está integrada porun presidente, un secretario y un tesorero; para ocupar estospuestos existen 8 candidatos y cada uno de ellos puede ocuparuno de estos cargos. Determinar el número de formas distintascomo puede quedar integrada la mesa directiva.



Logro específico de aprendizaje:

Aplicar los fundamentos de la teoría de la probabilidad en la solución de problemas

que impliquen toma de decisiones.

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Probabilidades


Introducción

• En ingeniería, economía, finanzas, administración, medicina y otras

disciplinas encontramos problemas que requieren razonamiento

cuantitativo de fenómenos aleatorios.

• La base de este razonamiento es la teoría de las probabilidades.

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Objetivo

• Reconocer que la incertidumbre es una característica fundamental de

cualquier entorno en el que se toman las decisiones humanas.

• Aplicar la teoría de probabilidades para analizar y expresar las

incertidumbres de un evento y el entorno.

• Eliminar la sensación de “misterio” y “temor” en el uso de las

probabilidades.


ProbabilidadesEl Lenguaje de Incertidumbres

• ¿Por qué Probabilidades?

- Características del Entorno en el cual se toman decisiones:

incertidumbre

- Probabilidades es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre

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Enfrentar, entender y comunicarse claramente acerca de laincertidumbre es importante y requerido para:

• Análisis de riesgo, administración del riesgo y reducción del riesgo

• Evaluación de proyectos de inversión

• Control de calidad

• Mejoramiento Genético

• Análisis de sobrevivencia

• Teoría de colas, de juegos

• Sistemas de seguros

• Otros


Experimentos o fenómenos aleatorios

Son experimentos o fenómenos que dan lugar a varios resultados, sin que se pueda predecir con certeza cuál de éstos va a ser observado en larealización del mismo.

Ejemplos:

• Lanzamiento de una moneda o de un dado

• Precio petróleo

• Ventas mensuales de refrigeradoras

• Costos de Producción

• Número de accidentes de tránsito que se producen en una avenida principal

• Número de personas que acudirán a un supermercado

• La inflación del próximo mes

• El tiempo que tarda un avión en realizar un determinado vuelo

• El rating del noticiero de Cuarto Poder

• Las cotizaciones de las acciones más representativas de la Bolsa de Valores de Lima

-¿Qué otros ejemplos de fenómenos aleatorios a menudo enfrenta?

• . . .

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Espacio Muestral:

Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

1. Lanzar un dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Extraer al azar un naipe:

={1T, 2T, 3T, ..., 13D}

(52 posibles resultados)


Espacio Muestral:

3. Plantar dos semillas y observar si cada una germina o no.

= {GG, NG, GN, NN}

4. Evaluar artículos en una línea de producción hasta encontrar el primer defectuoso:

= {D, ND, NND, NNND, ...}

5. Observar tiempo de vida útil de un celular (en horas):

=[0, )

6. El tiempo, con relación al calor, que hará durante tres días consecutivos :

={CCC, CCN, CNC, NCC, CNN, NCN, NNC, NNN}

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Eventos

Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral .

Ejemplo:

• Experimento: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos:

={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Eventos:

A= Suma de puntos múltiplos de 5

B= Suma de puntos mayores que 12

A= {5, 10, 15}

B= {13, 14, 15, 16, 17, 18}


Tipos de Eventos

Experimento aleatorio: extraer al azar una carta de una baraja

Evento elemental:• Se llama así, a cada uno de los elementos del espacio muestral

• Ejemplo: sale un 3 de diamantes en la extracción de un naipe

Evento imposible: Ø

Ejemplo: Salga un 15 de diamantes en la extracción de un naipe

Evento seguro:

Ejemplo: Salga una de las 52 cartas del naipe

Evento contrario o complemento de un Evento: A’

Son todos los elementos de que no pertenecen a AEjemplo A: sale Diamante

A’ : todas las cartas que no son diamante

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A BDos eventos son mutuamente excluyentes si la

ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de

otro.A B =

Los eventos colectivamente exhaustivos son

aquellos que poseen la propiedad de que al

menos uno ellos debe ocurrir.A1

A1 A2 A3 = Ω

A2A3

Los eventos mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos son aquellos que:Ai Aj = i j, y

A1 A2 ... An = Ω

AB

C

A B = A C = B C =

y A B C = Ω

Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos


Ejemplo 1

Experimento:

Anotar el número de televisores vendidos durante la últimasemana en una tienda de electrodomésticos

Eventos:

A= La ultima semana se vendió menos de 5 televisores

B= La última semana se vendió 25 televisores

C= La última semana se vendió 8 o mas televisores

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Ejemplo 1: continuación

1.Describa los eventos AUB, AUC y AC2.¿ Los eventos A y B son mutuamente excluyentes?3.Encuentre los eventos complementarios de A y C

= {0, 1, 2, 3, 4,…, N}, N=stock disponibleLos eventos A y B están formados por los eventos elementales: A = {0, 1, 2, 3, 4}B = {25} C= {8, 9, 10, …, N}


A partir de estos conjuntos, tenemos:

1.AUB = {0, 1, 2, 3, 4, 25}

AB = Ø

2.Al ser AB = Ø, los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

3.El complemento de A es A´ = {5, 6, 7,…, N}

El complemento de C es C´ = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

AUC= ??

Ejemplo 1: continuación

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Estad. Rolando R. Romero Paredes28

Fundamentos de probabilidades

•En la vida real la posibilidad de que un evento suceda puede estar entre lo virtualmente

cierto y lo virtualmente imposible.

•La teoría de probabilidades ofrece un marco para asignar números reales a la posibilidad de

ocurrencia de diferentes eventos, de tal manera que sus posibilidades puedan ser

comparadas y evaluadas.

•Conceptualmente existen tres maneras de determinar la posibilidad de ocurrencia de un

evento:

•Probabilidad clásica a priori

• Probabilidad clásica empírica o frecuentista

•Probabilidad subjetiva

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Probabilidad clásica a priori

Depende de las características físicas del objeto en estudio y se basa en el conocimiento previo del

proceso.

Se basa en que todos los eventos elementales de un espacio muestral finito son:

• Igualmente probables

• Mutuamente excluyentes

• Colectivamente exhaustivos

En este caso, la probabilidad del evento A es el cociente entre el número de resultados favorables a la ocurrencia del evento A y el número de resultados posibles.

P(A)= #(A)

#()


Probabilidad clásica a priori

Ejemplos:

1. Se lanza un dado y se observa el número que sale. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un

número par?

• ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

• A= Sale número par

• P(A)=3/6= 1/2

2. Se sabe que en determinada urbanización viven 120 familias, de los cuales 90 son propietarios y

el resto inquilinos. Si se escoge una familia al azar ¿cual es la probabilidad de que sea inquilino?

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Probabilidad clásica empírica

La asignación de probabilidades a los eventos de interés se basan en la información

observada y no en el conocimiento previo del proceso.

• La probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación del número de veces que

eventos similares ocurrieron en el pasado (frecuencia relativa).

• De manera similar que el enfoque clásico, la probabilidad de ocurrencia de un evento A en este caso viene

dada por:

P(A)= # de veces que ocurre A

• # de observaciones


Axiomas de probabilidad

1. P(Ω) = 1

2. P(A) 0

3. Si para E1, E2, ....

se cumple que Ei Ej = , para toda i j, entonces:

P(E1 E2 ....)= P(E1) + P(E2) + ...

Sea Ω el espacio de eventos de un experimento, y A un evento cualquiera de Ω.

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Teoremas derivados de los axiomas

1. 0 P(A) 1, para cualquier A Ω

2. Si A= Ω → P(A)=1

3. Si A= → P(A) = 0

4. Si Ω =A+A´ → P(A´)=1-P(A)

5. Si A y B pertenecen a Ω, se cumple que:

P( A B ) = P(A) + P(B) - P( A B )

6. Si A y B son ev´s mutuamente excluyentes i.e. A B= →

P( A B ) = P(A) + P(B)

7. Ley de Morgan

1. P(A B)´=1 - P(A B) = P(A´B´)

2. P(A B )´= 1 - P(AB) = P(A´ B´)

Sea Ω el espacio de eventos de un experimento, y A un evento cualquiera de Ω.


Resolver 1

•Dados los sucesivos mutuamente exclusivos A yB con P(A)=0.28 y P(B)=0.54.•Calcular• P( A´ );• P( B´ );• P(A B);• P(A U B) ;• P(A B´);• P(A´ B´).

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• Entre los 80 directivos de una compañía hay 48casados, 35 son graduados de escuelas superioresy 22 de los 48 casados también son graduados. Sise elige uno de estos directivos para que asista auna convención ¿ cuál es la probabilidad de que lapersona elegida no sea casado ni graduado ?

Resolver 2


• Mensualmente una oficina de bolsa estudia dos grupos de industrias y clasifica las compañías individualescomo de poco riesgo o de riesgo moderado a elevado. En un informe reciente publicó sus averiguacionessobre 13 cías de la industria aeroespacial y 27 fabricantes de alimentos con los resultados globales resumidoscomo sigue:

• Si una persona elige al azar una de estas compañías para invertir en sus acciones, U y R denotan los sucesosde que la compañía que elija es de poco riesgo o de riesgo moderado a elevado, en tanto que A y F denotanlos sucesos de que elija una compañía Aeroespacial o un fabricante de Alimentos, determinar las siguientesprobabilidades:

a. P ( U )

b. P ( R )

c. P ( A U R)

d. P ( A R)

Resolver 3

Poco riesgoRiesgo moderado

a elevado

Aeroespacial 4 9

Alimentos 16 11

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Probabilidad ClásicaEjemplos:

1. Un pizzería puede medir la probabilidad de que el tiempo deentrega de una pizza sea mayor que 30 minutos observando, enrelación al total de entregas hechas en el último mes, laproporción de veces en que el tiempo de entrega fue mayor que30 minutos.

2. “El 65% cree que el Congreso no defiende intereses ciudadanos”(El Comercio, p. A8 28/04/13, Muestra: 1000 personas mayoresde 18 años – IPSOS Apoyo, Opinión y Mercado)


Si A y B son dos eventos en , y P(A) 0, entonces la probabilidad condicional de B dado A será:

P(B/A) = P(A B) / P(A)

Como se aprecia en el diagrama P(B/A) es la proporción del área compartida por los dos eventos –P(AB)– con respecto al área del evento condicionador –P(A) –En cierto sentido, todas las probabilidades son condicionales a como definamos el evento universal .

P(A/ ) = P(A ) / P( ) = P(A) / 1 = P(A)

Si sabemos que A ha ocurrido, entonces A se convierte en el evento seguro, y podemos re-normalizar la probabilidad de cada uno de los otros eventos.

Probabilidad condicional

P(A B)

P(A)

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Muchas decisiones en nuestra vida diaria son gobernadas por el sentido común y la experiencia, quenos prestan un gran servicio; me refiero al tipo de decisiones que tienen que ver con la incertidumbre,es decir, situaciones en las que no tenemos toda la información disponible para tomar decisiones.

Por ejemplo, cuando conducimos al trabajo no contamos con el dato de cual es el porcentaje deaccidentes a determinada hora del día, y a pesar de no tener ese dato elegimos la velocidad a la queconduciremos, la distancia que guardaremos con respecto al carro de adelante y otras mil decisionesque están basadas solo en nuestra experiencia de los pocos accidentes que hemos visto y en algunoscasos sufrido personalmente o escuchado o leído en las noticias

A pesar de esta información incompleta lo hacemos muy bien, el cerebro parece muy bueno paraevaluar de manera aproximada las probabilidad condicionales. Es decir, a cada instante tomamosdecisiones en función de la nueva información que nos llega:

P(A|B) Probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió el evento B.

Probabilidad condicional


Escenario:

• De todas las empresas familiares el 70% no llega a

superar la segunda generación. El 30% pasa a la

segunda generación

• Y del 30% sobreviviente solo la mitad llega a la tercera

generación (Suplemento Empleos p. 2, El Comercio,

08/07/07)

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NegroColor

Tipo Rojo Total

As 2 2 4

No-As 24 24 48

Total 26 26 52

Espacio muestral reducido

P(As/naipe rojo)= P(As y naipe rojo) = 2/52 = 2/26P(naipe rojo) 26/52

Ejemplo 2:Experimento aleatorio: Extraer al azar una carta de la baraja

Se quiere encontrar la probabilidad de que la carta sea un As dado que el naipe extraído esrojo.


De la definición de probabilidad condicional se deriva el concepto de independencia

Si dos eventos A y B son independientes, en el sentido intuitivo, la ocurrencia de A no debería afectar la ocurrencia de B, es decir:

P(B/A) = P(B) o P(A B)/ P(A) = P(B)

Despejando:

P(A B) = P(A)* P(B)

Luego se define que dos eventos son independientes si la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ambos ocurran separadamente.

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Consecuencias:

• Si los eventos A y B son independientes, entonces:

• A y Bc son independientes,

• Ac y B son independientes,

• Ac y Bc son independientes.

ACB AB ABC

ACBC

A B


Ejemplo

• Un televidente ve de manera independiente los programas A y B. La probabilidad de que vea el

programa A es 0.2 y de que vea el programa B es 0.3, hallar la probabilidad de que:

• vea los dos programas

• no vea ninguno de los dos programas

• vea alguno de los dos programas

• vea sólo el programa A

• vea sólo el programa B

• vea sólo uno de los dos programas

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Ejemplo• Sean los eventos A y B

• vea los dos programas

• no vea ninguno de los dos programas

}{

}{

BprogramaelveaB

AprogramaelveaA

06.03.02.0)()()() BPAPBAPa

56.07.08.0)()()() CCCC BPAPBAPb

, P(A)=0.2

, P(A)=0.3


Ejemplo• vea alguno de los dos programasc) P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB)

=0.2+ 0.3 - 0.06= 0.44 ; también

• vea sólo el programa A

44.056.01

)(1))((1)()

CCC BAPBAPBAPc

14.07.02.0

)()()()()

CC BPAPBAPBAPd

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Ejemplo

• vea sólo el programa B

• vea sólo uno de los dos programas

24.08.03.0

)()()()()

CC APBPABPABPe

38.024.014.0

)()()]()[()

BAPBAPBABAPf


Regla de la multiplicación

Sean A y B dos eventos, entonces:

P(A B) = P(B/A)P(A)

En el caso particular en que A y B son eventos independientes,

se tiene que:

P(A B) = P(A)P(B)

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Ejemplo:

• De las casas de 25 o más años en Chiclayo, el 60.3% son de clase media y de

ellos se sabe que 30.8% se ha remodelado. Calcular la probabilidad de que una

casa seleccionada al azar, sea de clase media y se haya remodelado.

• Solución: Sean los eventos M= casas de clase media y R= casa remodelada

• P (M R)= P(R/M)x P(M) = 0.308x 0.603=?????


Partición del espacio muestral

Los eventos A1, A2, …, Ak constituyen una partición del espaciomuestral , si son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir:

• Ai Aj = Ø, para todo ij

• A1 A2 … Ak = ( ó i P(Ai) = 1 )

A1 A2Ak

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Regla de la probabilidad total

1 2

1

Si k eventos: , ,..., constituyen una partición

del espacio muestral ,entonces, para cualquier

evento B en ,

( ) ( ) ( / )

k

k

i i

i

A A A

P B P A P B A

B

A1 A2 Ak ...


Ejemplo 1

Un ensamblador de computadoras usa monitores que provienen detres proveedores P1, P2 y P3. De 2000 monitores recibidos 1000provienen de P1 y 600 de P2. De experiencias pasadas, elensamblador sabe que los porcentajes de monitores defectuososque provienen de P1, P2 y P3 son respectivamente 3%, 4%, y 5%.

Si se elige una computadora al azar,

• ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un monitor defectuoso?

• Si contiene un monitor defectuoso, ¿cuál es la probabilidad deque este haya sido proveído por P3?.

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Ejemplo

B=monitor defectuoso, P(B)=??

P1

P2

P3

0.5

0.3

0.2

0.03

0.04

0.05

0.97

0.96

0.95

P(Ai)P(B/Ai)

0.5x0.03=0.015

0.3x0.04=0.012

0.2x0.05=0.01

P(B)=∑P(Ai)P(B/Ai)=0.037

D

D’

D

D’D

D’


Teorema de Bayes

Información

Nueva

Probabilidades

a priori

Teorema

de Bayes

Probabilidades

a posteriori

El teorema de Bayes establece la relación más importante en la teoría deprobabilidades y es la base para la revisión de la asignación de probabilidades, ala luz de información adicional.

Este teorema se deriva fácilmente del concepto de probabilidad condicional.

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Teorema de Bayes

1 2

1

Si k eventos: , ,..., constituyen una partición

del espacio muestral ,entonces, para cualquier

evento B en , tal que ( ) 0

( ) ( / )( / )

( ) ( / )

k

i ii k

i i

i

A A A

P B

P A P B AP A B

P A P B A

B

A1 A2 Ak ...


Teorema de Bayes

• El Teorema de Bayes es un método que utiliza la probabilidad

revisada con base en información adicional.

• Se calcula utilizando la siguiente fórmula:

)/()()/()(

)/()()|(

2211

111

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

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Ejemplo 1: Supongamos que una extraña enfermedad infecciosa afecta a uno de cada 1000 habitantes de una población

Y supongamos que existe una prueba fiable pero no infalible para diagnosticar si una persona ha contraído la enfermedad


Sean los eventos:• A: El paciente padece de la enfermedad

• B: El resultado del diagnóstico del paciente es positivo

• P(A)=0.001, P(B/A)=0.99

• P(B/A’)= 0.02 (Probabilidad de un falso positivo)

• P(A/B)= ???

• Calculando la probabilidad de que el paciente padezca de la enfermedad dado que el resultado salió positivo:

• P(A/B)=P(A y B)/P(B)

• P(B)=P(A)P(B/A)+ P(A’)P(B/A’)=0.02097

• P(A/B) = P(A)P(B/A) = 0.00099 =0.0472

P(A)P(B/A)+ P(A’)P(B/A’) 0.02097

A

A’

0.001

0.999

B

B’

0.99

0.01

0.02

0.98

B

B’

P(Ai)P(B/Ai)

0.001x0.99=0.00099

0.001x0.01=0.00001

0.999x0.02=0.01998

0.999x0.98=0.97902

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A A’

B 0.00099 0.01998 0.02097 P(B)

B’ 0.00001 0.97902 0.97903 P(B’)

0.001 0.999 1

P(A) P(A’)

ENFERMEDAD NO ENFERMEDAD Total

RESULTADO POSITIVO 1 20 21

RESULTADO NEGATIVO 0 979 979

Total 1 999 1000

La tabla muestra lo que pasa en un grupo de 1000 pacientes. En media solo 21 pacientes darán positivo y solo 1padecerá de la enfermedad, los 20 falsos positivos se encontrarán en el gran grupo de no afectados.


Ejemplo 2

El parte meteorológico para Puno ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50% (Evento A1).b) Que nieve: probabilidad del 30% (Evento A2).c) Que haya niebla: probabilidad del 20% (Evento A3).

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Si ocurrió un accidente (Evento B):1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya llovido?2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya nevado?3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya habido neblina?

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A1

A2

A3

0.5

0.3

0.2

0.20

0.10

0.05

0.80

0.90

0.95

P(Ai)P(B/Ai)

0.5x0.20=0.1

0.3x0.10=0.03

0.2x0.05=0.01Calculando la probabilidad de que el accidente haya sucedido en un día de lluvia:

P(A1/B)=???

P(B)=∑P(Ai)P(B/Ai)=0.14P(A1/B)=P(A1)P(B/A1) = 0.1 =0.714

∑P(Ai)P(B/Ai) 0.14

0.3

B

B’

B

B’

B

B’


Ejercicio 1

• Una embotelladora de refresco de cola

recibió varias denuncias acerca del bajo

contenido de sus botellas. Una denuncia

fue recibida hoy, pero el gerente de

producción no puede identificar cuál de las

dos plantas en Aguascalientes (A o B) llenó

estas botellas. ¿Cuál es la probabilidad de

que las botellas defectuosas provengan de

la planta A?

• La siguiente tabla resume laexperiencia de producción de dichaembotelladora:

Planta % del total

de

producción

% de

botellas

defectuosas

A 55 3

B 45 4

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Ejercicio 2

• Una fábrica de ladrillos produce 5000 unidades por hora. La máquina A produce 3000 de estos ladrillos, de los que el 2% son defectuosos. La máquina B produce los 2000 restantes, de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar:• La probabilidad de que un ladrillo elegido al azar sea

defectuoso.

• Si el ladrillo seleccionado es defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿y de la máquina B?


Ejercicio 3

• En un proyecto de construcción de una autopista, hayvarios inversionistas. El 20% realiza sus inversiones víainternet, un 80% consulta InfoInversWeb. De losinversionistas que no realizan sus depósitos vía internet,solo el 20% consulta InfoInversWeb. Se pide:• Obtener la probabilidad de que un inversionista, elegido al azar,

consulte InfoInversWeb.

• Si se elige al azar un inversor y resulta que consultaInfoInversWeb, ¿Cuál es la probabilidad de que realiceoperaciones vía internet?

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Ejercicio 4

Del récord pasado se conoce que cierta máquina que producetornillos trabaja correctamente 90% del tiempo. Si la máquina notrabaja correctamente, el 5% de los tornillos producidos, sondefectuosos. En caso contrario, solo el 1% es defectuoso. Si seescoge aleatoriamente un tornillo producido ¿cuál es laprobabilidad de que este sea:

a. Defectuoso

b. Si es defectuoso provenga de la máquina que no trabajacorrectamente.

c. Provenga de la máquina que trabaja correctamente si se conoce quees un tornillo bueno?


Resumen

• Introducción

• Definiciones básicas.

• Algebra de eventos.

• Fundamentos de probabilidades.

• Probabilidad condicional e independencia.

• Regla general de la multiplicación.

• Teorema de Bayes.

• Problemas aplicativos.

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Semana 9