-
SEMINARIO DE TITULACIÓN “PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES”
ANALISIS SITEMATICO DE FILTROS DIGITALES
T E S I N A
Que para obtener el grado de:
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA.
Presentan:
Bautista Villalpando Héctor Gerardo Torres Bautista Diana Torres
Bautista Sergio Alfredo
ASESORES:
M. en C. ORLANDO BELTRÁN NAVARRO. M. en C. BRAULIO SANCHEZ
ZAMORA
México, D. F. Noviembre de 2009.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD CULHUACAN INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
-
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA ELÉCTRICA
UNIDAD CULHUACAN
TESINA Que para obtener el título de: INGENIERO EN
COMUNICACIONES Y
ELECTRONICA Por la opción de titulación: SEMINARIO DE
TITULACIÓN
“PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES” Deberán desarrollar: Bautista
Villalpando Héctor Gerardo Torres Bautista Diana Torres Bautista
Sergio Alfredo
INTRODUCCION
Se analizaran los principios de las señales en tiempo discreto,
los sistemas y los algoritmos y aplicaciones del procesado digital
moderno, teniendo como resultado el diseño y desarrollo de un
algoritmo en plataforma mathlab cuyo fin es dar un análisis
sistemático a cada uno de los filtros digitales, pretendiendo dar
un panorama mas sencillo del funcionamiento de los mismos.
CAPITULO I Fundamentos de las señales CAPITULO II Sistemas
discretos CAPITULO III Diseño de filtros Bibliografia Conclusiones
_______________________________ _____________________________ M. en
C. Orlando Beltrán Navarro M. en C. Braulio Sánchez Zamora
Coordinador del seminario Asesor
________________________________ Ing. Ignacio Monroy Ostria
Jefe de carrera de ICE
-
INDICE Pag. 1. Señales, sistemas y procesado de la señal 2 1.1
Elementos básicos de un sistema de procesado digital de señales 3
1.2 Ventajas del procesado digital de señales frente al analógico 5
2. Señales multicanal y multidimensionales 6 2.1 Señales continuas
frente a señales discretas 8 2.2 Señales deterministas frente a
señales aleatorias 9 3. El concepto de frecuencia en señales en
tiempo continuo y en tiempo discreto 9 3.1 Señales sinusoidales en
tiempo continuo 9 3.1 Señales sinusoidales en tiempo discreto 11 4.
Teorema de muestreo 13 5. Cuantificación de señales sinusoidales 14
6. Codificación de muestras cuantificadas 16 7. Señales en tiempo
discreto 16 7.1 Algunas señales elementales en tiempo discreto 18
7.2 Clasificación de las señales en tiempo discreto 19 7.3
Manipulación simples de señales en tiempo discreto 21 8. Sistemas
discretos descritos mediante ecuaciones en diferencias 23 8.1
Sistemas discretos recursivos y no recursivos 23 9. Implementación
de sistemas discretos 24 9.1 Realización de sistemas FIR recursivos
y no recursivos 25 10. La transformada z 25 10.1 La transformada z
inversa 28 10.2 Propiedades de la transformada z 29 11.
Transformadas z racionales 33 11.1 Polos y ceros 33 11.2 La función
de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo
34 11.3 Polos de orden múltiple y estabilidad 36 12. Análisis
frecuencial de señales y sistemas 37 12.1 Análisis frecuencial de
señales en tiempo continuo 38 12.2 Densidad espectral de energía de
señales aperiódicas 39 13. Muestreo en el dominio de la frecuencia:
la transformada de Fourier discreta 41 14. Estructuras para
sistemas FIR 44 14.1 Estructuras en forma directa 45 14.2
Estructuras en forma de cascadas 46 15. Estructuras para sistemas
IIR 47 15.1 Estructuras en forma directa 47 15.2 Estructuras en
forma de cascada 49 16. Diseño de filtros digitales 51 16.1
Causalidad y sus implicaciones 51 16.2 Caracteristicas de filtros
prácticos selectivos en frecuencia 53 17. Diseño de filtros FIR 55
18. Diseño de filtros IIR a partir de filtros analógicos 57 19.
Muestreo y reconstrucción de señales 59 19.1 Muestreo de señal paso
banda 62 Anexo 1 66 Anexo 2 94 Conclusiones 96 Bibliografía 97
-
2
1. Señales, sistemas y procesado de la señal. Una señal se
define como una cantidad física que varia con el tiempo, el espacio
o cualquiera otra variable o variable independiente.
Matemáticamente, describimos una señal, una función de una o mas
variables independientes. Por ejemplo, las funciones
(1.1)
describen dos señales, una que varia linealmente con la variable
independiente t (tiempo) y una segunda que varia cuadráticamente
con t .Como otro ejemplo considere la función
(1.2) Esta función describe una señal con dos variables
independientes x e y que pueden representar las coordenadas
espaciales en un plano. Las señales discretas en las funciones
(1.1) y (1.2) pertenecen a las clases de señales que quedan
perfectamente definidas especificando la dependencia funcional con
la variable independiente. Sin embargo, existen casos en los que
dicha relación funcional es desconocida o demasiado complicada como
para tener utilidad practica. Por ejemplo, una señal de voz no se
puede describir funcionalmente mediante expresiones como la (1.1)
En general, un segmento de voz puede representarse con un alto
grado de exactitud como la suma de varias sinusoides de diferentes
amplitudes y frecuencias, esto es, como
(1.3)
Donde son los conjuntos de amplitudes, frecuencias y fases,
respectivamente, de las sinusoides. De hecho, una manera de
interpretar la información o el mensaje contenido en un segmento
corto de una señal de voz es medir las amplitudes, frecuencias y
fases contenidas en el segmento corto de señal. Otro ejemplo de
señal natural es el electrocardiograma (ECG). Esta señal
proporciona información sobre el estado del corazón del paciente al
doctor, de forma similar, un electroencefalograma proporciona
información sobre la actividad cerebral. Las señales de voz, los
electrocardiogramas y los electroencefalogramas son ejemplos de
señales que llevan información y que varían como funciones de una
única variable independiente, el tiempo. Una imagen constituye un
ejemplo de señal que varia con dos variables independientes. Las
dos variables independientes en este caso son las coordenadas
( )
()
1
22
5
20
s t t
s t t
=
=
( ) 2, 3 2 10s x y x xy y= + +
( ) () ( )1
2N
i i ii
A t sen F t t tp q=
é ù+ë ûå
( ){ } ( ){ } ( ){ }, ,i i iA t F t y tq
-
3
espaciales. Estos son unos pocos ejemplos del incontable número
de señales naturales que se pueden encontrar en la práctica.
Asociados a las señales naturales se encuentran los medios con los
que se generan. Por ejemplo, las señales de voz se generan al
forzar el paso del aire a través de las cuerdas vocales. Las
imágenes se obtienen exponiendo película fotográfica ante un
paisaje u objeto. Por lo tanto, la forma en que se generan las
señales se encuentra asociada con un sistema que responde ante un
estimulo o fuerza. En una señal de voz, el sistema esta constituido
por las cuerdas vocales y el tracto bucal, también llamado cavidad
bucal. El estimulo en combinación con el sistema se llama fuente de
señal. Por lo tanto, tenemos fuentes de voz, de imágenes y de otros
tipos de señales. Un sistema se puede definir también como un
dispositivo físico que realiza una operación sobre una señal. Por
ejemplo, un filtro que se usa para reducir el ruido y las
interferencias que corrompen la señal conteniendo la información
deseada se denomina sistema. En este caso, el filtro realiza
algunas operaciones sobre la señal, cuyo efecto es reducir
(filtrar) el ruido y la interferencia presentes en la señal
deseada. Cuando pasamos una señal a través de un sistema, como en
el caso del filtrado, decimos que hemos procesado la señal. En este
caso, el procesado de la señal implica la separación de la señal
deseada del ruido y la interferencia. En general, el sistema se
caracteriza por el tipo de operación que realiza sobre la señal.
Por ejemplo, si la operación es lineal, el sistema se denomina
lineal, si la operación es no lineal el sistema se dice no lineal,
etc. Tales operaciones se denominan habitualmente como procesado de
señal. Para nuestros fines, es conveniente emplear la definición de
sistema para incluir no solo dispositivos físicos, sino también
realizaciones software de operaciones sobre una señal. En el
procesado digital de señales en un ordenador, las operaciones
realizadas sobre una señal constan de varias operaciones
matemáticas especificadas por un programa software. En esta caso,
el programa representa una implementación del sistema en software.
Así, tenemos un sistema realizado sobre un ordenador digital
mediante operaciones matemáticas, es decir, tenemos un sistema de
procesado digital de señales realizado en software. Por ejemplo, se
puede programar un ordenador digital para hacer filtrado lineal.
Alternativamente, el procesado digital de la señal se puede
efectuar mediante hardware digital (circuitos lógicos) configurado
para ejecutar las operaciones deseadas especificadas. En tal
realización, tenemos un dispositivo físico que realiza las
operaciones especificadas. En un sentido mas amplio, un sistema
digital se puede implementar como una combinaron de hardware
digital y software, cada uno de los cuales desempeña su propio
conjunto de funciones. Elementos básicos de un sistema de procesado
digital de señales La mayor parte de las señales que aparecen en
los ámbitos de la ciencia y la ingeniería son de naturaleza
analógica, es decir, las señales son funciones de una variable
continua, como el tiempo o el espacio y normalmente toman valores
en un rango continuo. Tales señales pueden ser procesadas
directamente por sistemas analógicos adecuados (como filtros o
analizadores de frecuencia) o multiplicadores de frecuencia con el
propósito de cambiar sus características o extraer cualquier
información deseada. En tal caso, decimos que la señal
-
4
ha sido procesada directamente en forma analógica, como lo
muestra la figura 1. Tanto la señal de entrada como la de salida
están en forma analógica.
Fig. 1 Procesado de señal analógica. El proceso digital de
señales proporciona un método alternativo para procesar una señal
analógica, como se muestra en la figura 2. para realizar el
procesado digitalmente, se necesita un interfaz entre la señal
analógica y el procesador digital. Este interfaz se denomina
conversor analógico-digital (A/D). La salida del conversor
analógico-digital es una señal adecuada como entrada al procesador
digital.
Fig. 2 Diagrama de bloques de un sistema digital de procesado de
señales. El procesador digital de señales puede ser un gran
ordenador digital programable o un pequeño microprocesador
programado para realizar las operaciones deseadas sobre una señal
de entrada. También puede ser un procesador digital cableado
configurado para efectuar un conjunto de operaciones sobre la señal
de entrada. Las maquinas programables proporcionan la flexibilidad
de cambiar las operaciones de procesado de señales mediante un
cambio del software. En consecuencia, los procesadores de señales
programables son de uso muy frecuente. Por otro lado, cuando las
operaciones de procesado de señales están bien definidas, se puede
optimizar la implementación cableada de las operaciones, resultando
un procesador mas barato y, habitualmente mas rápido que su
equivalente programable. En aplicaciones donde la salida digital
del procesador digital de señales se a de entregar en forma
analógica, como en comunicaciones digitales, debemos proporcionar
otro interfaz desde el dominio digital al analógico. Tal interfaz
se denomina conversor analógico-digital (D/A). de este modo, la
señal se entrega al usuario en forma analógica, como se ilustra en
el diagrama a bloques de la figura 2. No obstante, existen
otras
Procesador analógico de
señales
Señal analógica de entrada
Señal analógica de salida
Señal analogica de salida
Señal analógica de entrada
Señal digital de entrada
Señal digital de entrada
Conversor A/D
Procesador digital de señales
Conversor D/A
-
5
aplicaciones practicas que requieren análisis de señales en las
que la información deseada se encuentra en formato digital y no se
requiere ningún conversor D/A. por ejemplo, en el procesado digital
de señales radar, la información extraída de la señal radar, como
la posición de la nave y su velocidad, se puede imprimir
directamente sobre papel. En este caso, no hay necesidad de
conversor D/A. Ventajas del procesado digital de señales frente al
analógico Tal y como ya se ha mencionado brevemente, existen muchas
razones por las que el procesado digital de una señal analógica
puede ser preferible al procesado de la señal directamente en el
dominio analógico. Primero, un sistema digital programable permite
flexibilidad a la hora de reconfigurar las operaciones de procesado
digital de señales sin mas que cambiar el programa. La
reconfiguración de un sistema analógico implica habitualmente el
rediseño del hardware, seguido de la comprobación y verificación
para ver que opera correctamente. También desempeña un papel
importante al elegir el formato del procesador de señales la
consideración de la configuración. Las tolerancias en los
componentes de los circuitos analógicos hacen que para el diseñador
del sistema sea extremadamente difícil controlar la precisión de un
sistema de procesado analógico de señales. En cambio, un sistema
digital permite un mejor control de los requisitos de precisión.
Tales requisitos, a su vez, resultan en la especificación de
requisitos en la precisión del conversor A/D y del procesador
digital de señales, en términos de longitud de palabra, aritmética
de coma flotante frente a coma fija y factores similares. Las
señales digitales se almacenan fácilmente en soporte magnético
(cinta o disco) sin deterioro o perdida en la fidelidad de la
señal, aparte de la introducida en la conversión A/D. como
consecuencia, las señales se hacen transportables y pueden
procesarse en tiempo no real en un laboratorio remoto. El método de
procesado digital de señales también posibilita la implementación
de algoritmos de procesado de señal mas sofisticados. Generalmente
es muy difícil realizar operaciones matemáticas precisas sobre
señales en formato analógico, pero esas mismas operaciones pueden
efectuarse de modo rutinario sobre un ordenador digital utilizando
software. En algunos casos, la implementación digital del sistema
de procesado de señales es mas barato que su equivalente analógica.
El menor coste se debe a que el hardware digital es mas barato o,
quizás, es resultado de la flexibilidad ante modificaciones que
permite la implementación digital. Como consecuencia de estas
ventajas, el procesado digital de señales se ha aplicado a sistemas
prácticos que cubren un amplio rango de disciplinas. Citamos, por
ejemplo, la aplicación de técnicas de procesado digital de señales
al procesado de voz y transmisión de señales en canales
telefónicos, en procesado y transmisión de imágenes, en sismología
y geofísica, en prospección petrolifica, en la detección de
explosiones nucleares, en el procesado de señales recibidas del
espacio exterior.
-
6
Sin embargo, como ya se ha indicado, la implementación digital
tiene sus limitaciones. Una limitación practica es la velocidad de
operación de los conversores A/D y de los procesadores digitales de
señales. Veremos que las señales con anchos de banda extremadamente
grandes precisan conversores A/D con una velocidad de muestreo alta
y procesadores digitales de señales rápidos. Así, existen señales
analógicas con grandes anchos de banda para las que la solución
mediante procesado digital de señales se encuentra mas allá del
estado del arte del hardware digital.
2. Señales multicanal y multidimencionales Una señal se describe
mediante una función de una o mas variables independientes, el
valor de la función (es decir, de la variable dependiente) puede
ser una escalar real, una cantidad compleja o quizás un vector. Por
ejemplo, la señal
es una señal real. Sin embargo, la señal
es compleja. En algunas aplicaciones, las señales son generadas
por múltiples fuentes o sensores. Tales señales pueden
representarse en forma vectorial. La figura 3 muestra las tres
componentes de una señal vectorial que representa la aceleración en
la superficie terrestre de un terremoto. Esta aceleración es el
resultado de tres calases elementales de ondas elásticas. Las ondas
primarias (P) y las secundarias (S) se propagan en el interior de
la roca y son longitudinales y transversales, respectivamente. La
tercera clase de ondas elásticas se denomina onda superficial por
que se propaga cerca de la superficie terrestre. Si sk ( t ), k
=1,2,3, denota la señal eléctrica procedente del sensor k como
función del tiempo, el conjunto p=3 señales pueden representarse
por un vector S3( t ), donde
Nos referiremos a tal vector de señales como una señal
multicanal. Por ejemplo, un electrocardiograma se usan
electrocardiogramas de 3 y 12 tomas que dan lugar a señales 3 y 12
canales.
( )1 3s t Asen tp=
() 32 cos3 3j ts t Ae A t jAsen tp p p= = +
( )( )()( )
1
3 2
3
s t
S t s t
s t
é ùê ú
= ê úê úë û
-
7
Figura 3. Tres componentes de la aceleración en tierra medidas a
pocos kilómetros del epicentro de un
terremoto Prestemos ahora atención a las variables
independientes, si la señal es función de una única variable
independiente, la señal se denomina unidimensional. Por lo tanto,
una señal se denomina M-dimensional si es función de M variables
independientes.
Fig. 4 Ejemplo de una señal bidimensional. La imagen que se
muestra en la figura 4 es un ejemplo de señal bidimensional, dado
que la intensidad o brillo I ( x , y ) en cada punto es una función
de dos variables independientes. Por otra parte, la imagen de una
televisión en blanco y negro puede representarse como I( x ,y ,t),
dado que el brillo es una función del tiempo. Por tanto, la imagen
de televisión puede tratarse como una señal tridimensional. En
cambio, la imagen de una televisión en color se puede describir
mediante las tres siguientes funciones de intensidad,
I(x1,y1)
x
y
-
8
correspondientes al brillo de los tres colores principales:
rojo, verde y azul, como función del tiempo. De aquí que la imagen
de una tele visión en color sea una señal tridimensional de tres
canales, que se puede representar mediante el vector
En términos matemáticos estas señales se describen mediante una
función de una única variable independiente. Aunque la variable
independiente no necesita ser el tiempo, es práctica común utilizar
t como la variable independiente. Señales continuas frente a
señales discretas El valor de una señal, en tiempo continuo o
discreto, puede ser continuo o discreto. Si una señal toma todos
los valores posibles en un intervalo tanto finito como infinito, se
dice que es continuo. Por el contrario, si toma valores de un
conjunto finito de valores se dice que es discreta. Normalmente,
estos valores son equidistantes y por tanto pueden expresarse como
un múltiplo de la distancia entre dos valores sucesivos. Una señal
en tiempo discreto, que toma valores en un conjunto discreto se le
denomina señal digital. La figura 5 muestra una señal digital con
cuatro valores posibles. Para que una señal pueda ser procesada
digitalmente ha de ser en tiempo discreto y tomar valores discretos
(es decir, ha de ser una señal digital). Si la señal a procesar es
analógica, se convierte a digital muestreándola en el tiempo y
obteniendo por tanto una señal en tiempo discreto y posteriormente
cuantificación, es básicamente un proceso de aproximación. Puede
lograrse por redondeo o truncamiento. Por ejemplo, si los valores
permitidos en la señal digital son enteros, digamos del 0 al 15, la
señal continua será cuantificada a estos valores. Así, el valor
8.58 se aproximara por 8, si el proceso de cuantificación se basa
en el truncamiento y por 9, si se basa en redondear al entero más
próximo.
Fig. 5 Señal digital con cuatro valores de amplitud.
( ) ( ) ( ), , , , , , , ,r g bI x y t I x y t I x y t
( )( )( )( )
, ,
, , , ,
, ,
r
g
b
I x y t
I x y t I x y t
I x y t
é ùê ú
= ê úê úê úë û
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n
x (n)
-
9
Señales deterministas frente a señales aleatorias El análisis
matemático y procesado de señales requieren que la señal sea
descrita matemáticamente. Esta descripción matemática, normalmente
denominada modelo matemático, conduce a otra importante
clasificación de la señal. Cualquier señal que pueda ser definida
por una forma matemática explicita, un conjunto de datos o una
regla bien definida se denomina determinista. Este término se usa
para resaltar el hecho de que valores de la señal, tanto presentes
como pasados como futuros, se conocen exactamente sin
incertidumbre. En muchas situaciones practicas, sin embargo,
existen señales que no se pueden describir con un alto de precisión
razonable mediante formulas matemáticas explicitas, o cuya
descripción es demasiado complicada para ser de utilidad practica.
La falta de tal relación supone que dichas señales evolucionan con
el tiempo de forma impredecible. Nos referiremos a estas señales
como señales aleatorias. La salida de un generador de ruido, la
señal sísmica de la figura 3, son ejemplos de las señales
aleatorias.
3. El concepto de frecuencia en señales en tiempo continuo y en
tiempo discreto El concepto de frecuencia es familiar para los
estudiantes de ingeniería y ciencias. Este concepto es básico en,
por ejemplo, el diseño de un receptor de radio, un sistema de lata
fidelidad, o un filtro espectral para fotografía en color. De la
física sabemos que la frecuencia esta íntimamente relacionada con
un tipo especifico de movimiento periódico llamado oscilación
armónica, que se describe mediante funciones sinusoidales. El
concepto de frecuencia esta directamente relacionado con el de
tiempo. De hecho, sus dimensiones son las inversas del tiempo, por
tanto. De acuerdo con esto, deberíamos esperar que la naturaleza
del tiempo (continuo o discreto) afectase a la frecuencia. Señales
sinusoidales en tiempo continuo Una simple oscilación armónica se
describe matemáticamente mediante la siguiente señal en tiempo
continuo:
(3.1) que se muestra el la figura 6. El subíndice a usado con x
(t) denota una señal analógica. Esta señal esta completamente
caracterizada por tres parámetros: A es la amplitud de la
sinusoide, W es la frecuencia en radianes por segundo (rad/s) y q
es la fase en radianes. En lugar de W , a menudo se utiliza la
frecuencia F ciclos por segundo o Hertzios (Hz), donde
(3.2) La ecuación (3.1) puede escribirse en términos de F
como
(3.3)
( ) ( )cos ,ax t A t tq= W + -¥ < < ¥
2 FpW =
( ) ( )cos 2 ,ax t A Ft tp q= + -¥ < < ¥
-
10
Utilizaremos ambas formas, (3.1) y (3.3), para representar
señales sinusoidales. La señal analógica sinusoidal (3.3) esta
caracterizada por las siguientes propiedades: A1. Para todo valor
fijo de la frecuencia F, xa(t) es periódica. En efecto, puede
demostrarse fácilmente, usando trigonometría elemental, que
donde Tp = 1/F es el periodo fundamental de la señal sinusoidal.
A2. Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son
diferentes. A3.El aumento en la frecuencia F resulta en un aumento
en la tasa de oscilación de la señal, en el sentido de que se
incluyen más periodos en un intervalo de tiempo dado. Como se
observa, para F = 0, el valor Tp = ∞ es consistente con la relación
fundamental F = 1/Tp . Debido a la continuidad de la variable
temporal t, podemos aumentar la frecuencia F sin límite, con el
consiguiente aumento en la tasa de oscilación. Las propiedades que
hemos descrito para señales sinusoidales son aplicables a la clase
de señales exponenciales complejas
(3.4) Esto es fácil de ver expresando estas señales en términos
de sinusoides mediante la identidad de Euler
(3.5)
Fig. 6 Ejemplo de una señal sinusoidal analógica. Por
definición, la frecuencia es una cantidad física inherentemente
positiva. Esto es obvio si interpretamos la frecuencia como el
número de ciclos por unidad de tiempo de una señal
( ) ( )a p ax t T x t+ =
( ) ( )j tax t Ae qW +=
cosje jsenf f f± = ±
t
1/pT F=
A-
cosA q
-
11
periódica. Sin embargo, en muchos casos, únicamente por
conveniencia matemática, necesitamos introducir frecuencias
negativas, Para entender esto, recordemos que la señal sinusoidal
(3.1) se puede expresar como
(3.6)
Que se deduce de (3.5). Debe advertirse que a una señal
sinusoidal se puede obtener como la suma de dos señales
exponenciales complejas de igual magnitud, en ocasiones llamadas
favores, ilustrada en la figura 7. A medida que transcurre el
tiempo, los favores rotan en direcciones opuestas con frecuencias
angulares ±W radianes por segundo. Dado que una frecuencia positiva
se corresponde con un movimiento angular uniforme contrario a las
agujas de reloj, una frecuencia negativa simplemente se corresponde
con un movimiento angular uniforme en el sentido de las agujas del
reloj. El rango de frecuencias para señales sinusoidales analógicas
es -∞ < F < ∞.
Fig. 7 Representación de una función coseno mediante
exponenciales complejas conjugadas (favores)
Señales sinusoidales en tiempo discreto Una señal sinusoidal en
tiempo discreto puede expresarse como
(3.7) donde n es una variable entera, denominada numero de
muestra, A es la amplitud de la sinusoide, w es la frecuencia en
radianes por muestra, y q es la fase en radianes. Si, en lugar de
w, utilizamos la variable de frecuencia f definida por
(3.8) La relación (3.7) se convierte en
(3.9)
( ) ( ) ( ) ( )cos2 2
j t j ta
A Ax t A t e eq qq W + - W += W + = +
Im
A/2 W
W
W t + q
W t + q
A/2
Re
( ) ( )cos ,x n A n nw q= + -¥ < < ¥
2 fw pº
( )( ) cos 2 ,x n A fn np q= + -¥ < < ¥
-
12
La frecuencia f tiene dimensiones de ciclos por muestra.
Consideremos la sinusoide en tiempo discreto en (3.7),
independientemente de la sinusoide en tiempo continuo dada en
(3.1). En contraste con las sinusoides en tiempo continuo, las
sinusoides en tiempo discreto están caracterizadas por las
propiedades siguientes: B1. Una sinusoide en tiempo discreto es
periódica solo si su frecuencia f es un número racional. Por
definición, una señal en tiempo discreto x (n) es periódica con
periodo N ( N > 0 ) si y solo si
para todo n (3.10) El valor más pequeño de N para el que se
cumple (1.10) se denomina fundamental. La demostración de la
propiedad de periodicidad es simple. Para que una sinusoide con
frecuencia f0 sea periódica, debemos tener
Esta relación es cierta si y sólo si existe un entero k tal
que
O, equivalentemente,
(3.11)
De acuerdo con (3.11), una señal sinusoidal en tiempo discreto
es periódica solo si su frecuencia f0 se puede expresar como el
cociente de dos enteros (esto es, si f0 es racional). Para
determinar el periodo fundamental N de una sinusoide periódica,
debemos expresar su frecuencia como en (3.11) y cancelar factores
comunes hasta que k y N sean números primos relativos. Entonces el
periodo fundamental de la sinusoide es N. Obsérvese que una pequeña
variación en la frecuencia puede originar un gran cambio en el
periodo. B2. Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias
están separadas por un múltiplo entero de 2p, son idénticas. Para
probar esta aseveración, consideremos la sinusoide cos(w0n + q).
Fácilmente se comprueba que
(3.12) Como resultado, todas las secuencias sinusoidales
( ) ( )x n N x n+ =
( ) ( )0 0cos 2 cos 2f N n f np q p q+ + = +é ùë û
02 2f N kp p=
0kfN
=
( ) ( ) ( )0 0 0cos 2 cos 2 cosn n n nw p q w p q w q+ + = + + =
+é ùë û
-
13
k = 0, 1, 2,… (3.13) donde
Son indistinguibles (esto es, idénticas). B3. La mayor tasa de
oscilación en una sinusoide en tiempo discreto se alcanza cuando w
= p (o w = -p ) o, equivalentemente, f = ½ (o f = -1/2).
4. Teorema de muestreo Dada una señal analógica cualquiera, en
particular, debemos tener cierta información general sobre el
contenido frecuencial de la señal. Generalmente, dicha información
se encuentra disponible. De hecho, el propósito del procesado de
señal es normalmente la extracción de dichas características. Sin
embargo, si conocemos la máxima frecuencia de una determinada clase
de señales podemos especificar la velocidad de muestreo necesaria
para convertir las señales analógicas en señales digitales.
Supongamos que cualquier señal analógica se puede representar como
una suma de sinusoides de diferentes amplitudes, frecuencias y
fases, es decir,
(4.1)
donde N indica el número de componentes de frecuencia. Todas las
señales, como las de voz o video, se presentan a dicha
representación en cualquier intervalo de tiempo pequeño.
Normalmente, las amplitudes, fases y frecuencias de una determinada
señal no exceden una frecuencia máxima conocida Fmax. Dado que la
máxima frecuencia puede variar ligeramente, podemos querer asegurar
que Fmax no sobrepase determinado valor y para ello pasaremos la
señal analógica por un filtro que atenúe fuertemente las
componentes de frecuencia por encima de Fmax. Así, estaremos
seguros de que ninguna señal de la clase que nos interesa tendrá
componentes de frecuencia (con amplitud o potencia significativa)
por encima de Fmax. En la práctica, este filtrado se realiza antes
del muestreo. El conocimiento de Fmax nos permite seleccionar la
velocidad de muestreo apropiada. Sabemos que la frecuencia más alta
de la señal analógica que puede reconstruirse sin ambigüedad cuando
la señal se muestrea a una velocidad Fs=1/T es Fs/2. Cualquier
frecuencia por encima por encima de Fs/2 o por debajo de –Fs/2
produce muestras que son idénticas a las correspondientes a
frecuencias dentro del intervalo –Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2. Para evitar las
ambigüedades que resultan del aliasing, se debe seleccionar una
velocidad de muestreo lo suficientemente alta, esto es, debemos
escoger Fs/2 mayor que Fmax. Por tanto, para evitar el problema del
aliasing, se selecciona Fs según
(4.2)
donde Fmax es la frecuencia más alta de la señal analógica.
( ) ( )cos ,k kx n A nw q= +
0 2 ,k kw w p= + 0p w p- £ £
( ) ( )1
cos 2N
a i i ii
x t A Ftp q=
= +å
max2sF F>
-
14
La condición Fs > 2 Fmax garantiza que todas las componentes
sinusoidales de la señal analógica se correspondan con componentes
en frecuencia de tiempo discreto en el intervalo fundamental. Por
lo tanto, todas las componentes en frecuencia de tiempo discreto en
el intervalo fundamental. Por lo tanto, todas las componentes en
frecuencia de la señal analógica están representadas sin ambigüedad
en la forma muestreada de la señal, y si la señal analógica puede
ser reconstruida sin distorsión a partir de las muestras usando un
método de interpolación “apropiado” (conversión digital-analógica).
La formula de interpolación ideal o “apropiada” se especifica
mediante el teorema del muestreo. Teorema del muestreo. Si la
frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax
= B y la señal se muestrea a una velocidad Fs > 2Fmax º 2B,
entonces xa(t) se puede recuperar totalmente a partir de sus
muestras mediante la siguiente función de interpolación
(4.3)
Así, xa(t) se puede expresar como
(4.4)
donde xa (n/Fs) = xa (nT )º x (n) son las muestras de xa(t).
5. Cuantificación de señales sinusoidales La figura 8 ilustra el
muestreo y cuantificación de una señal sinusoidal analógica, ,
usando una malla rectangular. Las líneas horizontales indican los
niveles de cuantificación autorizados. Las líneas verticales, los
instantes de muestreo. Por lo tanto, de la señal analógica original
obtenemos una señal en tiempo discreto x(n) = xa(nT), mediante
muestreo, y una señal en tiempo discreto con amplitud discreta
xq(nT) después de la cuantificación. En la práctica, la señal
escalonada xq(t) se puede obtener utilizando un mantenedor de orden
cero. Este análisis es útil porque las sinusoides se usan como
señales de test en los conversores A/D.
Figura 8. Muestreo y cuantificación de una señal sinusoidal.
( ) 22
sen Btg tBtp
p=
( )a an s s
n nx t X g tF F
¥
=-¥
æ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷
è ø è øå
( ) 0cosax t t= A W( )ax t
-
15
Figura 9 El error de cuantificación eq(t) = xa(t) – xq(t) Si la
tasa de muestreo Fs satisface el teorema del muestreo, el de
cuantificación es el único error en el proceso de conversión A/D.
Por tanto, podemos evaluar el error de cuantificación sin más que
cuantificar la señal analógica xa(t) en lugar de la señal en tiempo
discreto x(n) = xa(nT). La inspección de la figura 8 indica que la
señal xa(t) es casi lineal entre niveles de cuantificación. El
error de cuantificación correspondiente eq(t) = xa(t) – xq(t) se
muestra en la figura 9. En la figura 9 τ denota el tiempo durante
el que xa(t) se mantiene dentro de los niveles de cuantificación.
La potencia media del error cuadrático Pq es
(5.1)
Como ( ) ( )/ 2 , ,qe t t tt t t= D - £ £ se tiene que
(5.2)
Si el cuantificador tiene b bits de precisión y cubre el rango
completo 2ª, el escalón de cuantificación es Δ = 2A / 2b. Asi
pues,
(5.3)
La potencia media de la señal xa(t) es
(5.4)
La calidad de la salida del conversor A/D se mide frecuentemente
con la relación señal / ruido de cuantificación (SQNR,
signal-to-quantization noise ratio), que proporciona la relación
entre la potencia de la señal y del ruido:
(5.5)
Expresada en decibelios (dB), la SQNR es (5.6)
( ) ( )2 20
1 12q q q
P e t dt e t dtt t
tt t-= =ò ò
2 22
0
12 12q
P t dtt
t tD Dæ ö= =ç ÷
è øò
2
2
/ 32q b
AP =
( )2
200
1 cos2
pT
xp
AP A t dtT
= W =ò
23 22
bx
q
PSQNRP
= = ×
( ) 1010log 1.76 6.02SQNR dB SQNR b= = +
-
16
Lo que implica que la SQNR aumenta aproximadamente en 6 dB por
cada bit añadido a la longitud de palabra, es decir cada vez que se
duplica el numero de niveles de cuantificación.
6. Codificación de muestras cuantificadas El proceso de
cuantificación en un conversor A/D asigna un número binario único a
cada nivel de cuantificación diferente. Si disponemos de L niveles,
necesitaremos al menos L niveles binarios distintos. Con una
longitud de palabra de b bits se pueden crear 2b números binarios
diferentes. Por tanto, tenemos 2b ≥ L ó, de forma equivalente, b ≥
log2L De este modo, el número de bits necesarios en el codificador
es el menor entero mayor o igual que log2L. Generalmente, cuanto
mayor es la velocidad de muestreo y más fina la cuantificación, más
caro resulta el dispositivo.
7. Señales en tiempo discreto Una señal en tiempo discreto x (n)
es una función de una variable independiente entera. Gráficamente,
se representa como en la Fig. 10 Es importante destacar que una
señal en tiempo discreto no esta definida para instantes entre dos
muestras sucesivas. Igualmente, es incorrecto pensar que x (n) es
igual a cero si n no es un entero. Simplemente, la señal x (n) no
está definida para valores no enteros de n. En lo sucesivo
supondremos que una señal en tiempo discreto se define para cada
valor entero n para -∞ < n > ∞. Por tradición, nos referimos
a x(n) como la “n-esima muestra” de la señal aun cuando x(n) sea
inherentemente en tiempo discreto (es decir, aunque no haya sido
obtenida por muestreo de una señal analógica). En el caso en que
x(n) haya sido obtenida al muestrear una señal analógica xa(t),
entonces x(n) º xa(nT), donde T es el periodo de muestreo (el
tiempo entre muestras sucesivas).
Fig. 10 Representación gráfica de una señal en tiempo
discreto
-4 -2 -1 0 1 2 3 5
x (n)
-3 4
0.9
- 0.8
0.7
1.5
2 1.7
1.0 0.7
- 0.8
1.2
n
-
17
Además de la representación gráfica de una señal en tiempo
discreto o secuencia como se ilustra en la figura 8, existen otras
representaciones alternativas que a menudo son más convenientes.
Estas son:
1. Representación funcional, como
(7.1)
2. Representación tabular, como 3. Representación como
secuencia
Una señal o secuencia de duración infinita con el origen de
tiempos (n = 0) indicado por el símbolo se representa como
(7.2) Una secuencia x(n), que es cero para n < 0, se puede
representar como
(7.3) El origen de tiempos de una secuencia x(n), que es cero
para n < 0, se interpreta como el primer (comenzando por la
izquierda) punto de la secuencia. Una secuencia de duración finita
se puede representar como
(7.4)
Mientras que una secuencia de duración finita que satisface la
condición x(n) = 0 para n < 0 se puede representar como
(7.5)
para n = 1,3
para n = 2
en otro caso ( )
1,4,0,
x nìï= íïî
… -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 0 0 0 1 4 1 0 0 … ( )
nx n
( ) { }...0,0,1, 4,1,0,0,...x n =
( ) { }0,1,4,1,0,0,...x n =
( ) { }3, 1, 2,5,0, 4, 1x n = - - -
( ) { }0,1, 4,1x n =
-
18
para n ≥ 0
para n < 0 ( ) 1,
0,u n ì= í
î
La señal dada en (7.4) está formada por siete muestras o puntos
(en el tiempo), de manera que se denomina secuencia de siete
puntos. De forma similar, la secuencia dada por (7.5) es una
secuencia de cuatro puntos. Algunas señales elementales en tiempo
discreto
En nuestro estudio de istemas y señales discretas en el
tiempoexisten varias señales básicas que aparecen con frecuencia y
juegan un importante papel. Estas señales se definen mas abajo.
1. El impulso unitario se denomina δ(n) y se define como
(7.6)
En otras palabras, el impulso unitario es una señal que vale
cero siempre excepto para n = 0 donde vale uno. Al contrario que la
señal analógica δ(t), que también se conoce como impulso unitatrio
y vale cero siempre excepto en t = 0, donde tiene área unidad, la
secuencia respuesta impulsional es mucho menos complicada
matemáticamente. La representación gráfica de δ(n) se muestra en la
figura 11.
Figura 11 Representación gráfica de la señal de una muestra.
2. La señal escalón unidad se denota como u(n) y se define
como
(7.7)
Figura 12 Representación gráfica de la señal escalón unidad
para n = 0
para n ≠ 0 ( ) 1,
0,nd ì= í
î
-
19
3. La señal rampa unidad se denota como ur (n) y se define
como
(7.8)
Figura 13 Representación gráfica de la señal ampa unidad
4. La señal exponencial es una secuencia de la forma
(7.9) Si el parámetro a es real, entonces x(n) es una señal
real, cuando el parametro a es complejo puede expresarse como
a ≡ rejθ donde r y θ son ahora los parámetros. De aquí que
podamos expresar x(n) como
(7.10) Clasificación de las señales en tiempo discreto
Los métodos matemáticos empleados en el análisis de sistemas y
señales en tiempo discreto dependen de las caracterisicas de las
señales. En esta sección realizamos una clasificación de las
señales en tiempo discreto que atiende a diferentes
características. Señales de energía y señales de potencia La
energía E de una señal x(n) se define como
(7.11)
Hemos considerado el módulo al cuadrado de x(n);por tanto, esta
definición se aplica tanto a señales reales como a señales
complejas. La energía de una señal puede ser finita o infinita. Si
E es finita (es decir, 0 < E < ∞), entonces se dice que x(n)
es una señal de
para n ≥ 0
para n < 0 ( ) ,
0,rn
u n ì=íî
x(n) = an para todo n
( ) n j nx n r e q=( )cosnr n jsen nq q= +
( )2n
x n¥
=-¥å
-
20
energía. Algunas Veces añadimos un subindice x a E y escribimos
Ex para hacer hincapié en que Ex es la energía de la señal x(n).
Muchas señales que poseen energía infinita tienen potencia media
finita. La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n)
se define como
(7.12)
Si definimos la energía de una señal sobre un intervalo finito
–N ≤ n ≤ N como
(7.13)
Entonces podemos expresar la energía E de la señal como
(7.14)
Y la potencia media de la señal x(n) como
(7.15)
Claramente, si E es finita, P = 0. Por otra parte, si E es
infinita, la potencia media P puede ser tanto finita como infinita.
Si P es finita (y distinta de cero), la señal se denomina señal de
potencia. Señales periodicas y señales aperiodicas Una señal x(n)
es periódica con periodo N(N > 0) si y sólo si
(7.16) El valor más pequeño de N para el que (7.16) se verifica
se denomina periodo (fundamental). Si (7.16) no se verifica para
ningún valor de N la señal se denomina aperiódica o no periódica.
Hemos visto ya que una señal sinusoidal de la forma
(7.17)
Es periódica cuando f0 es un número racional, es decir, si f0 se
puede expresar como
(7.18)
( )21lim2 1
N
N n NP x n
N®¥ =-=
+ å
( )2N
Nn N
E x n=-
º å
lim NNE E®¥º
1lim2 1 NN
P EN®¥
º+
Para todo n ( ) ( )x n N x n+ =
( ) 02x n Asen f np=
0kfN
=
-
21
Donde k y N son enteros. La energía de una señal periódic x(n)
sobre un único periodo es finita si x(n) toma valores finitos en el
periodo. Sin embargo, la energía de una señal periódica en el
intervalo - ∞ ≤ n ≤ ∞ es infinita. Por otra parte, la potencia
media de una señal periódica es finita y es igual a la
potenciamedia sobre un único periodo. Por lo tanto si x(n) es una
señal periódica con periodo fundamental N y toma valores finitos,
su potencia viene dada por
(7.19)
En consecuencia, las señales periódicas son señales de potencia.
Señales simétricas (pares) y antisimétricas (impares) Una señal
real x(n) se denomina simétrica (par) si
(7.20) Por otra parte, una señal x(n) se denomina antisimétrica
(impar) si
(7.21)
Una señal arbitraria puede expresarse como la suma de dos
componentes, una de las cuales es par y la otra impar. La
componente par de la señal se construye sumando x(n) y x(-n) y
dividiendo por 2:
(7.22)
Claramente, xe(n) satisface la condición de simetría (7.20). De
forma similar, formamos la componente impar de la señal x0(n) de
acuerdo con la relación
(7.23)
Manipulaciones simples de señales en tiempo discreto En esta
sección se consideran algunas modificaciones o manipulaciones
simples en las que intervienen la variable independiente y la
amplitud de la señal (variable dependiente). Transformación de la
variable independiente (tiempo) Una señal x(n) puede ser desplazada
en el tiempo reemplazando la variable independiente n por n – k,
donde k es un entero. Si k es un entero positivo, el desplazamiento
temporal resulta en un retraso de la señal en k unidades de tiempo.
Si k es un entero negativo, el desplazamiento temporal resulta en
un adelanto de la señal en ׀k׀ unidades de tiempo.
( )1 2
0
1 N
nP x n
N
-
=
= å
( ) ( )x n x n- =
( ) ( )x n x n- = -
( ) ( ) ( )12e
x n x n x n= + -é ùë û
( ) ( ) ( )012
x n x n x n= - -é ùë û
-
22
Otra modificación útil de la base temporal es reemplazar la
variable independiente n por –n. El resultado de esta operación es
un pliegue o una reflexión de la señal con respecto al origen de
tiempos n = 0. Es importante destacar que las operaciones de
reflexión y retardo ( o adelanto) temporal de una señal no son
conmutativas. Si denotamos la operación por TD y la operación de
reflexión por FD, podemos escribir
(7.24)
Ahora
(7.25)
mientras que
(7.26)
Observese que como los signos de n y k en x(n-k) y x(-n+k) son
diferentes, el resultado es un desplazamiento de las señales x(n) y
x(-n) en k unidades hacia la derecha, correspondiendo con un
retardo tempoal. Una tercera modificación de la variable
independiente implica reemplazar n por µn, siendo µ un entero. Nos
referimos a esta modificación de la base de tiempos como escalado
temporal o submuestreo. Suma, multiplicación y escalado de
secuencias Las modificaciones de la amplitud incluyen suma,
multiplicación y escalado de las señales discretas en el tiempo. El
escalado de amplitud deuna señal por una constante A se obtiene
multiplicando el valor de cada muestra de la señal por A. Así,
obtenemos
La suma de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo
valor en cualquier instante es igual a la suma de los valores en
ese instante de las dos señales de partida, es decir,
El producto se define análogamente en cada instante de tiempo
como
( ){ } ( ) ( )k kTD FD x n TD x n x n k= - = - +é ù é ùë û ë
û
( ){ } ( ) ( )kFD TD x n FD x n k x n k= - = - -é ù é ùë û ë
û
( ) ( )kTD x n x n k= -é ùë û( ) ( )FD x n x n= -é ùë û
k > 0
- ∞ < n < ∞ ( ) ( )y n Ax n=
( ) ( ) ( )1 2y n x n x n= + - ∞ < n < ∞
( ) ( ) ( )1 2y n x n x n= - ∞ < n < ∞
-
23
8. Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones en
diferencias Hasta este punto hemos considerado sistemas lineale
invariantes en el tiempo que quedan caracterizados mediante su
respuesta impusional h(n). Esta respuesta impulsional h(n) nos
permite calcular la salida del sistema y(n) como respuesta a una
entrada determinada x(n) por medio de la convolución
(8.1)
En general, hemos demostrado que un sistema lineal e invariane
en el tiempo queda caracterizado por una relación de entrada-salida
de la forma dada en (8.1). lo que es más, la ecuación (8.1) nos
sugiere la forma de realizar el sistema. En el caso de sistemas
FIR, esta realización consistiría en sumadores, multiplicadores y
un número finito de posiciones de memoria. En consecuenci, un
sistema FIR se puede implementar basándose directamente en la
convolución. Sin embargo, si el sistema es IIR una implementación
práctica basada en la convolución sería imposible ya que requeriría
un número infinito de sumadores, multiplicadores y posiciones de
memoria. Surge entonces la pregunta de si es posible o no realizar
sistemas IIR de otra forma que no sea la directamente sugerida por
la convolución. Afortunadamente la respuesta es sí. Tal y como
demostraremos en esta sección, existe una manera práctica y
eficiente, desde el punto de vista computacional, de realizar una
familia de sistemas IIR. Dentro de la clase general de sistemas
IIR, esta familia de sistemas discetos se describe mediante
ecuaciones en diferencias. Esta familia o subclase de los sitemas
IIR es muy útil en diversas aplicaciones prácticas que incluyen la
implementación de filtros digitales, y el modelado de sistemas y
fenómenos fisicos.
8.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos La convolución
expresa de forma explicita, en términos únicamente de la señal de
entrada, la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
Sin embargo, como se demuestra aquí, éste no es necesariamente el
caso. Exisen muchos sistemas, en los que es o bien necesario o bien
conveniente, expresar la salida del sistema no sólo en términos de
los valores presentes y pasados de la señal de entrada sino también
en función de los valores pasados e la propia señal de salida.
Supongamos que queremos calcular la media acumulativa de una señal
x(n) en el intervalo 0 ≤ k ≤ n, definida como
(8.2)
Como se desprende de (8.2), el cálculo de y(n) requiere el
almacenamiento de todas las muestras de x(k) para 0 ≤ k ≤ n. Dado
que n crece, tambien lo hacen nuestras necesidades de memoria de
forma lineal con el tiempo.
( ) ( ) ( )k
y n h k x n k¥
=-¥
= -å
( ) ( )0
11
n
ky n x k
n ==
+ å n = 0,1,…
-
24
Parece, sin embargo, que una manera más eficiente de calcular
y(n) se basará en utilizar la salida anterior y(n - 1). De hecho,
recordando (8.2) obtenemos
de aquí
(8.3)
Así, la medida acumulativa de y(n) se puede calcular de forma
recursva multiplicando el valor anterior de la salida y(n – 1) por
n/(n + 1), multiplicando la entrada actual x(n) por 1/(n + 1), y
sumando los dos productos. Por tanto{ el cálculo de y(n) según
(8.3) requiere dos multiplicaciones, una suma y una posición de
memoria como se muestra en la figura 13. Este es un ejemplo de un
sistema recursivo. En general, un sistema cuya salida en el
instante n depende de valores antoriores de la misma y(n – 1), y(n
– 2), … se denomina sistema recursivo.
Figura 14 Relación de un sistema recursivo para el cálculo de la
media acumulativa. Lo que queremos dejar claro es que si uno desea
calcula la respuesta del sistema (8.3) (en este caso la media
acumulativa) a una determinada señal de entrada que se aplica en el
instante n = n0 , necesita el valor de y(n0 – 1) y las muestras de
entrada x(n) para n ≥ n0 a la entrada x(n), independientemente de
lo que ocurriera con anterioridad.
9. Implementación de sistemas discretos Nuestro tratamiento de
los sistemas discretos se ha centrado en la caracterización en el
dominio del tiempo y en el análisis de sistemas lineales
invariantes en el tiempo, descritos mediante ecuaciones en
diferencias lineales de coeficientes constantes. En la práctica, el
diseño y la implementación se tratan conjuntamente. A menudo el
diseño del sistema está determinado por el método de implementación
y sus limitaciones como coste, tamaño, harware y potencia. De
momento no hemos desarrollado todavía las herramientas necesarias
para considerar dichos aspectos. Sin embargo, tenemos ya la
base
( ) ( ) ( ) ( )1
01
n
kn y n x k x n
-
=
+ = +å
( ) ( )1ny n x n= - +
( ) ( ) ( )111 1
ny n y n x nn n
= - ++ +
-
25
necesaria para estudiar algunos esquemas de implementación paa
la realización de sistemas descritos mediante ecuaciones en
diferencias lineales de coeficientes constantes.
9.1 Realización de sistemas FIR recursivos y no recursivos Ya
hemos distinguido entre sistemas FIR y sistemas IIR, según la
duración de la respuesta impulsional h(n) del sistema sea finita o
infinita. Tambien hemos distinguido ya entre sistemas recursivos y
no recursivos. Básicamente, un sistema recursivo causal queda
descrito por una relación de entrada-salida de la forma
(9.1)
Y mediante un sistema lineal invariante en el tiempo, por la
ecuación en diferencias
(9.2)
Por otra parte, los sistemas causales no recursivos no dependen
de valores pasados de la salida y, por tanto, quedan descritos por
una relación entrada-salida de la forma
(9.3)
Y mediante un sistema lineal invariante en el tiempo por la
ecuación (9.2) con ak = 0 para k = 1,2,…,N. Ya vimos que los
sistemas FIR siempre pueden realizarse como sistemas no recursivos.
De hecho, con ak = 0, k = 1,2,…,N, en (9.2), tenemos una relación
de entrada-salida de la forma
(9.4)
Éste es un sistema FIR no recursivo, todo sistema FIR puede
realizarse de forma no recursiva. Por otra parte, cualquier sistema
FIR puede realizarse recursivamente. En resumen, podemos considerar
los términos FIR e IIR como caracteristics que distinguen dos tipos
de sistemas, y los términos recursivo y no recursivo como maneras
de describir la realización o implementación de sistemas.
10. La transformada z directa
La transformada z de una señal discreta x(n) se define como la
serie de potencias
(10.1) Donde z es una variable compleja. La relación (10.1) se
denomina a veces transformada z directa porque transforma una señal
en el dominio del tiempo x(n) a partir de X (z), se denomina
transformada z inversa.
( ) ( ) nn
x z X n z¥
-
=-¥
º å
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., , ,...,y n F y n y n N x n x n M= - -
-é ùë û
( ) ( ) ( )1 0
N M
k kk k
y n a y n k b x n k= =
= - - + -å å
( ) ( ) ( ) ( ), 1 ,...,y n F x n x n x n M= - -é ùë û
( ) ( )0
M
kk
y n b x n k=
= -å
-
26
Por conveniencia, la transformada z de una señal x(n) se denota
por
(10.2) mientras que la relación entre x(n) y X (z) se indica
mediante
(10.3) Dado que la transformada z es una serie infinita de
potencias, esta existe solo para aquellos valores de z para los que
la serie converge. La región de convergencia (ROC, region of
convergence) de X (z) es el conjunto de todos los valores de z para
los que X (z) es finita. Por lo tanto, siempre que hablemos de una
transformada z debemos indicar también su ROC. Desde un punto de
vista matemático, la transformada z es simplemente una forma
alternativa de presentar una señal. En muchos casos la suma, finita
o infinita, correspondiente a una transformada z puede expresarse
de forma compacta. En estos casos, la transformada z produce una
representación alternativa y compacta de una señal. Expresemos la
variable compleja z en su forma polar
(10.4)
donde r = ½z½y q = . z Entonces X (z) se puede expresar como
En la ROC DE X (z)½X(z)½
-
27
Si X(z) converge en alguna region del plano complejo, entonces
los dos sumatorios de (10.6) tienen que ser finitos en esta región.
Si el primer sumatorio de (10.6) converge, entonces existen valores
de r lo suficientemente pequeños como para que la secuencia
producto x (-n)r-n , 1 £ n < ¥ , sea absolutamente sumable. Por
lo tanto, la ROC de la primera suma consiste en una circunferencia
de radio r1 tal que r1< ¥ , como se ilustra en la figura 15a.
por otra parte, si la segunda suma de (10.6) converge, entonces
existen valores de r lo suficientemente grandes como para que la
secuencia producto x (n) ¤ r-n , 0 £ n < ¥ , sea absolutamente
sumable. De aquí que la ROC correspondiente a la segunda suma de
(10.6) consista en todos los puntos que están fuera de una
circunferencia de radio r > r2, tal como se ilustra en la figura
15b. Dado que la convergencia de X (z) exige que las dos sumas de
(10.6) sean finitas, tenemos que la ROC de X (z) es, en general, la
región anular del plano z r2 r1, entonces no existe región de
convergencia común para las dos sumas y de aquí, que X (z) no
exista. Una señal discreta x (n) queda unívocamente determinada por
su transformada z, X(z), y la región de convergencia de X(z). Un
caso especial de una señal bilateral es una señal de duración
infinita por la derecha, pero no por la izquierda (esto es, x (n) =
0 para n < n0 < 0). Un segundo caso es el de la señal de
duración infinita por la izquierda pero o por la derecha ( es
decir, x (n) = 0 para n < n1< 0). Un tercer caso es el de una
señal de duración finita, tanto por la derecha como por la
izquierda. Estas señales se suelen denominar respectivamente
señales infinitas por la derecha, por la izquierda y señales de
duración finita por la derecha y por la izquierda. Mencionamos que
la transformada z definida por (10.1) se conoce a veces como la
transformada z bilateral para distinguirla de la transformada z
unilateral, dada por
Si x (n) es causal (es decir, x (n) = 0 para n < 0), las
transformadas z unilateral y bilateral son equivalentes. En
cualquier otro caso, son diferentes.
( ) ( )0
n
nX z x n z
¥+ -
=
=å
Im(z)
Re(z)
Plano z
Región de convergencia de (a)
r1
( )1
n
nx n r
¥
=
-å
-
28
Fig.15 Región de convergencia de X(z) y sus correspondientes
partes causales y anticausales.
10.1 La transformada z inversa
Si tenemos la transformada z de una señal y queremos determinar
la señal. El procedimiento para transformar desde el dominio z al
dominio del tiempo se denomina transformada z inversa. La formula
para obtener x (n) a partir de X(z) se puede obtener usando el
teorema integral de Cauchy, que es un teorema muy importante dentro
de la teoría de variable compleja.
Im(z)
Re(z)
Plano z
(b)
r2
Región de convergencia de ( )
0n
n
x nr
¥
=å
Im(z)
Re(z)
Plano z
(c)
r1
R2
Región de convergencia de ( )X z
2 1r r r<
-
29
Tenemos la transformada z definida por (10.1) como
(10.7)
Supongamos que multiplicamos ambos lados de (10.7) por zn-1 y
los integramos sobre un contorno cerrado en el interior de la ROC y
que contiene al origen. Así tenemos
(10.8)
Donde C denota el contorno cerrado en el interior de la ROC de
X(z), recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj. Dado
que la serie converge en los puntos de este contorno, podemos
intercambiar el orden de las operaciones suma e integral de la
parte derecha de (10.8). Así (10.8) se convierte en
(10.9) Ahora, podemos emplear el teorema integral de Cauchy, que
dice que
(10.10) Donde C es cualquier entorno que encierre al origen.
Aplicando (10.10), la parte derecha de (10.9) se reduce a 2pjx(n) y
de aquí obtenemos
(10.11)
10.2 Propiedades de la transformada z La transformada z es una
herramienta muy potente para el estudio de señales y sistemas
discretos. La potencia de esta transformación es consecuencia de
algunas propiedades muy importantes que tiene. Deberá recordarse
que la ROC resultante cuando combinamos varias transformadas z es,
cuando menos, la intersección entre las transformadas
individuales.
( )( ) kk
X z x k z¥
-
=-¥
= å
( ) ( )1 1n n kk
X z z dz x k z dz¥
- - -
=-¥
= åò òÑ Ñ
( ) ( )1 1n n kK
X z z dz x k z dz¥
- - -
=-¥
= åò òÑ Ñ
k = n k ≠ n
1 1,10,2
n kz dzjp
- - ì= íî
òÑ
11( ) ( )2
nx n X z z dzjp
-= òÑ
-
30
Linealidad Si
y entonces
(10.12) para cualquier constantes a1 y a2. La propiedad
linealidad se puede generalizar a un numero arbitrario de señales.
Así, la propiedad de linealidad nos permite obtener la transformada
z de una señal expresando ésta como la suma de varias señales
elementales cuyas transformadas z son conocidas. Desplazamiento en
el tiempo Si entonces
(10.13) La ROC de z-k X (z) es la misma que la de X (z), excepto
por z = 0, si k > 0, y z = ¥ , si k < 0.esta propiedad se
demuestra directamente a partir de la definición de la transformada
z dada en (10.1). Las propiedades de linealidad y desplazamiento en
el tiempo son las características clave que hacen que la
transformada z sea extraordinariamente útil para el análisis de
sistemas discretos LTI. Escalado en el dominio z Si Entonces
(10.14) Para cualquier constante a, real o compleja.
Demostración .de la definición (10.1)
( ) ( )1 1x n X z«
( ) ( )2 2x n X z«
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2x n a x n a x n X z a X z
a X z= + « = +
( ) ( )x n X z«
( ) ( )kx n k z X z-- «
( ) ( )x n X z« 1 2:ROC r z r< <
( ) ( )1na x n X a z-« 1 2:ROC a r z a r< <
( ){ } ( ) ( )( )1 nn n nn n
Z a x n a x n z x n a z¥ ¥ -- -
=-¥ =-¥
= =å å
( )1X a z-=
-
31
Dado que la ROC de X(z) es r1 < ½z½< r2, la ROC de X(a-1
z) es
o
Para entender mejor el significado y las consecuencias de la
propiedad de escalado expresamos a y z en forma polar como a =
r0ejw0, z = rejw e introducimos la nueva variable compleja w =
a-1z. Por lo tanto, Z{( x) n}= X (z), y Z{anx( n)}= X (w). Podemos
ver fácilmente que Este cambio de variables se traduce en la
contracción (si r0 > 1) o la expansión (si r0 < 1) del plano
z en combinación con una rotación (si w0 ¹ 2kp). Esto explica por
que cambia la ROC cuando ½a½< 1. el caso ½a½= 1, es decir, a =
ejw0 es de especial interés, ya que implica solamente una rotación
del plano z. Inversión temporal Si entonces
(10.15) Demostración. De (6.1), tenemos
Donde hacemos el cambio de variable l =-n. La ROC de X (z-1)
o equivalentemente Observe que la ROC de x(n) es la inversa de
la correspondiente a x(n). Esto significa que si z0 pertenece a la
ROC de x(n), entonces 1¤ z0 pertenece a la ROC de x(-n) . Si se
considera (10.15) cuando reflejamos una señal, el coeficiente de
z-n se convierte en el coeficiente de zn. Por tanto, reflejar una
señal es equivalente a reemplazar z por z-1 en la formula de la
transformada. Una reflexión en el dominio del tiempo se corresponde
con una inversión en el dominio z.
11 2r a z r
-< <
1 2a r z a r< <
( )01
0
1 ja z r er
w ww --æ ö
= =ç ÷è ø
( ) ( )x n X z« 1 2:ROC r z r< <
( ) ( )1x n X z-- «2 1
1 1:ROC zr r< <
( ){ } ( ) ( )( ) ( )11 1nn t
Z x n x n z x l z X z¥ ¥ -- - -
=-¥ =-¥
- = - = =å å
11 2r z r
-< <2 1
1 1zr r<
-
32
Diferenciación en el dominio z Si entonces
(10.16) Demostración. Diferenciando ambos lados de (10.1),
tenemos Observe que ambas transformadas tienen la misma ROC.
Convolución de dos secuencias Si entonces
(10.17) La ROC de X (n) es, cuando menos, la intersección de las
de X1 (z) y X2 (z). Demostración. La convolución de x1 (n) y x2 (n)
se define como La transformada de z de x(n) es
Intercambiando el orden de los sumatorios y aplicando la
propiedad de desplazamiento en el tiempo en (10.13), obtenemos
Correlación de dos secuencias Si
( ) ( )x n x z«
( )( )
dX znx n z
dz« -
( ) ( )( ) ( )
1 1
2 2
x n X z
x n X z
«
«
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1
* ( )x n x n x n X z X z X z= « =
( ) ( ) ( )1 2k
x n x k x n k¥
=-¥
= -å
( ) ( ) ( )1 2( ) n nn n k
X z x n z x k x n k z¥ ¥ ¥
- -
=-¥ =-¥ =-¥
é ù= = -ê ú
ë ûå å å
( ) ( ) ( )1 2 nk n
X z x k x n k z¥ ¥
-
=-¥ =-¥
é ù= -ê ú
ë ûå å
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1kk
x z x k z X z X z¥
-
=-¥
= =å
( ) ( )( ) ( )
1 1
2 2
x n X z
x n X z
«
«
( ) ( )( ) ( )1 1n nn n
dX zx n n z z nx n z
dz
¥ ¥- - - -
=-¥ =-¥
é ù= - = - ë ûå å
-
33
entonces
(10.18) Demostración. Recordemos que Usando las propiedades de
la convolución y la inversión temporal, obtenemos
La ROC de Rx1x2 (z) es, como mínimo, la intersección de las X1
(z) y X2 (z-1). Como en el caso de la convolución, la correlación
cruzada de dos señales se hace mas fácilmente según la
multiplicación polinómica de (10.18) e invirtiendo después el
resultado.
11. Transformadas z racionales Una familia importante de
transformadas z es aquella en la que X(z) es una función racional,
esto es, el cociente de dos polinomios en z-1 (ó z). A continuación
se discutirán algunos aspectos importantes relacionados con las
transformadas z. Polos y ceros Los ceros de la transformada z X (z)
son los valores de z para los cuales X (z) = 0. Los polos de una
transformada z son los valores de z para los cuales X (z) = ∞. Si X
(z) es una función racional, entonces
(11.1)
Si a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0, podemos evitar las potencias negativas de z
sacando como factor común los términos b0z-M y a0z-N, como
sigue:
Dado que N(z) y D(z) son polinomios en z, se pueden expresar en
forma de productos como
(11.2)
( ) ( ) ( )1 2 1 2
*x xr l x l x l= -
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 11 2 1 2x x x xn
r l x n x n l R z X z X z¥
-
=-¥
= - « =å
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( )1 2 11 2 1 2x xR z Z x l Z x l X z X
z-= - =
( ) ( )( )1
0 1 01
0 1
0
Mk
M kM k
NNkN
kk
b zN z b b z b zX zD z a a z a z a z
-- -
=- -
-
=
+ +×××+= = =
+ +×××+
å
å
( ) ( )( )( )( )
11 0 00
10 1 0 0
/ // /
M MMM
N N NN
N z z b b z b bb zX zD z a z z a a z a a
--
- -
+ +×××+= =
+ +×××+
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
1 20
0 1 2
1
1
MM N
N
M
kN M kN
kk
N z z z z z z zbX z zD z a z p z p z p
z zX z Gz
z p
- +
- =
=
- - ××× -= =
- - ××× -
Õ -=
Õ -
-
34
Donde G ≡ b0/a0. Así, X (z) tiene M ceros en z = z1, z2, … , zM
(las raíces del polinomio del numerador), N polos en z = p1, p2, …
, pN (las raíces del polinomio del denominador), y |N – M| ceros
(si N > M) o polos (si N< M) en el origen z = 0. También
pueden encontrarse polos o ceros en z = ∞. Existe en cero en z = ∞,
si X (∞) = 0 y existe un polo en z = ∞, si X (∞) = ∞. Si contamos
los polos y ceros, incluyendo los que están en z = 0 y en el
infinito, encontramos que X (z) tiene exactamente el mismo número
de polos que de ceros. Podemos representar gráficamente X (z)
mediante un diagrama de polos y ceros en el plano complejo, que
muestra la localización de los polos mediante cruces (x) y la de
los ceros mediante círculos (o). La multiplicidad, tanto de polos
como de ceros se indica mediante un número al lado de la
correspondiente cruz o círculo. Evidentemente, por definición, la
ROC de una transformada z no puede contener ningún polo. La
transformada z X (z) es una función compleja de la variable
compleja z = Re(z) + jIm(z). Evidentemente, |X(z)|, el módulo de X
(z), es una función real y positiva de z. Dado que z representa un
punto del plano complejo, |X(z)| es una función bidimensional y
describe una “superficie”. La función de transferencia de un
sistema lineal invariante en el tiempo La salida de un sistema
lineal invariante en el tiempo (en reposo) para una secuencia de
entrada x(n) con la respuesta impulsional del sistema. La propiedad
de la convolución nos permite expresar esta relación en el dominio
z como
(11.3)
Donde Y(z) es la transformada z de la secuencia de salida y(n),
X(z) es la transformada z de la secuencia de entrada x(n), y H(z)
es la transformada z de la respuesta impulsional h(n). Si conocemos
h(n) y x(n), podemos determinar sus transformadas z, H(z) y X(z),
multiplicarlas para obtener Y(z), y así determinar y(n) calculando
la transformada z inversa de Y(z). Alternativamente, si conocemos
x(n) y obtenemos la salida del sistema y(n), podemos determinar la
respuesta impulsional del sistema obteniendo en primer lugar H(z)
según la relación
(11.4)
y calculando después la transformada z inversa de H(z). Como
(11.5)
Esta claro que H(z) representa la caracterización del sistema en
el dominio z, mientras que h(n) es la caracterización
correspondiente en el dominio del tiempo. En otras palabras, H(z) y
h(n) son descripciones equivalentes del sistema, cada una en un
dominio. La transformada H(z) se denomina función de transferencia
del sistema.
( ) ( ) ( )Y z H z X z=
( ) ( )( )Y z
H zX z
=
( ) ( ) nn
H z h n z¥
-
=-¥
= å
-
35
La relación (11.4) es de especial utilidad para obtener H(z)
cuando se describe el sistema mediante una ecuación lineal en
diferencias con coeficientes constantes de la forma
(11.6)
En este caso, la función de transferencia se puede obtener
directamente de (11.6) calculando la transformada z inversa en
ambos lados e (11.6). Por tanto, aplicando la propiedad de
desplazamiento en el tiempo, obtenemos
O, equivalentemente,
(11.7) De esta forma, un sistema lineal invariante en el tiempo
descrito por una ecuación en diferencias con coeficientes
constantes, tiene una función de transferencia racional. Ésta es,
en general, la forma de la función de transferencia de un sistema
descrito por una ecuación en diferencias lineal con coeficientes
constantes. De esta forma general obtenemos dos clases especiales
muy importantes. La primera, si ak = 0, para 1 ≤ k ≤ N, se reduce
a
(11.8)
En este caso, H(z) contiene M ceros, cuyos valores están
determinados por los parámetros del sistema {bk}, y un polo de
orden M en el origen z = 0.Dado que el sistema contiene M polos
triviales en z = 0 y M ceros no triviales, se le denomina sistema
de todo ceros. Evidentemente, un sistema así tiene una respuesta
impulsional de duración finita (FIR, finite impulse response), y se
denomina sistema FIR o sistema FIR o sistema de media móvil
(sistema MA).
( ) ( ) ( )1 0
N M
k kk k
y n a y n k b x n k= =
= - - + -å å
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
1 0
1 0
0
1
1
1
N Mk k
k kk k
N Mk k
k kk k
Mk
kk
Nk
kk
Y z a Y z z b X z z
Y z a z X z b z
b zY zX z a z
- -
= =
- -
= =
-
=
-
=
= - +
æ ö æ ö+ =ç ÷ ç ÷è ø è ø
=+
å å
å å
å
å
( ) 0
11
Mk
kk
Nk
kk
b zH z
a z
-
=
-
=
=+
å
å
( )0
0
1
Mk
kk
MM k
kMk
H z b z
b zz
-
=
-
=
=
=
å
å
-
36
Por otra parte, si bk = 0 para 1 ≤ k ≤ M, la función del sistema
se reduce a
(11.9) En este caso, H(z) contiene N polos, cuyos valores quedan
determinados por los parámetros del sistema {ak} y un cero de orden
N en el origen z = 0. Normalmente, no haremos referencia a estos
ceros triviales. En consecuencia, la función dada en (11.9)
contiene sólo polos no triviales y el sistema correspondiente se
denomina sistema de polos y ceros. Debido a la presencia de los
polos, la respuesta impulsional del sistema es de duración infinita
y se trata, por tanto, de un sistema IIR (infinite impulse
response). La forma general de la función de transferencia dada por
(11.7) contiene tanto polos como ceros y, por ello, el sistema
correspondiente se denomina sistema de polos y ceros, con N polos y
M ceros. Los polos y/o ceros, tanto en z = 0 como en z = ∞, no se
cuentan explícitamente. Debido a la presencia de polos, un sistema
de polos y ceros es un sistema IIR. Polos de orden múltiple y
estabilidad Una condición necesaria y suficiente para que un
sistema lineal e invariante en el tiempo causal sea estable BIBO es
que todos sus polos pertenezcan al interior de la circunferencia
unidad. La señal de entrada está acotada si su transformada z
contiene polos {qk}, k = 1, 2, …, L, satisfaciendo la condición
½qk½≤ 1 para todo k. Es importante destacar que la respuesta del
sistema también está acotada, incluso cuando la señal de entrada
contiene uno o mas polos distintos sobre la circunferencia unidad.
En vista de que una señal de entrada acotada puede tener polos
sobre la circunferencia unidad, podría parecer que un sistema
estable puede también tener polos sobre la circunferencia unidad.
Sin embargo, éste no es el caso, ya que tal sistema produce una
respuesta no acotada cuando se excita con una señal de entrada que
también tiene un polo en la misma posición de la circunferencia
unidad, lo que se ilustra en el siguiente ejemplo. Determine la
respuesta al escalón del sistema causal descrito por la ecuación en
diferencias
La función de transferencia es, en este caso,
a0 ≡ 1
( ) 0
1
0
0
1N
kk
kN
NN k
kk
bH za z
b z
a z
-
=
-
=
=+
=
å
å
( ) 11
1H z
z-=
-
( ) ( 1) ( )y n y n x n= - +
-
37
Vemos que el sistema tiene un polo sobre la circunferencia
unidad en z = 1. La transformada z de la señal de entrada x(n) =
u(n) es
Que también contiene un polo en z = 1. Por tanto, la señal de
salida tiene la transformada
Que contiene un polo doble en z = 1 La transformada Z inversa de
Y(z) es
Secuencia que es una rampa. Así, pues, y(n) no está acotada,
aunque lo esté la entrada. Por tanto, el sistema es inestable. Se
demuestra claramente que la estabilidad BIBO requiere que los polos
del sistema estén estrictamente dentro de la circunferencia unidad.
Si todos los polos del sistema estén estrictamente dentro de la
circunferencia unidad y la secuencia de excitación x(n) contiene
uno o más polos que coinciden con los del sistema, la salida Y(z)
contendrá polos de orden múltiple. Como se ha indicado
anteriormente, tales polos de orden múltiple resultan en una
secuencia de salida que contiene términos de la forma
Donde 0 ≤ b ≤ m – 1 y m es el orden del polo. Si ½pk½ < 1,
estos términos decaen hacia cero a medida que n tiende a infinito
porque el factor exponencial (pk)n domina al término nb. Por tanto,
no existe ninguna señal de entrada acotada que pueda producir una
salida no acotada si todos los polos del sistema están dentro de la
circunferencia unidad. Finalmente, debemos decir que los únicos
sistemas útiles que contiene polos sobre la circunferencia unidad
son los osciladores digitales, a tales sistemas se les denomina
marginalmente estables.
12. Análisis frecuencial de señales y sistemas La transformada
de Fourier es una de las diferentes herramientas útiles en el
análisis y diseño de sistemas LTI. Otra son las series de Fourier.
Estas representaciones de señales implican básicamente la
descomposición de las mismas en términos de componentes
sinusoidales (o exponenciales complejas). Con esta descomposición,
se dice que una señal esta representada en el dominio de la
frecuencia.
( ) 11
1X z
z-=
-
( ) ( ) ( )
( )211
1
Y z H z x z
z-
=
=-
( ) ( ) ( )1y n n u n= +
( ) ( )nbk kA n p u n
-
38
La mayor parte de las señales se pueden descomponer en la suma
de componentes sinusoidales. Para la clase de señales periódicas,
esta descomposición se denomina una serie de Fourier .Para la clase
de señales de energía finita, la descomposición se denomina
transformada de Fourier ambas descomposiciones son extremadamente
importantes en el análisis de sistemas LTI porque la respuesta de
un sistema LTI a una señal de entrada sinusoidal es una sinusoide
de la misma frecuencia pero de diferente amplitud y fase. Además,
la propiedad de linealidad de los sistemas LTI implica que la suma
lineal de sus componentes sinusoidales a la entrada produce una
suma similar de componentes sinusoidales a la salida, que difieren
únicamente en las amplitudes y fases de las sinusoides en la
entrada. Este comportamiento característico de los sistemas LTI
hace que la descomposición sinusoidal de señales sea muy
importante. Aunque son posibles muchas otras descomposiciones, sólo
la clase de señales sinusoidales (o exponenciales complejas) posee
esta interesante propiedad al pasar a través de un sistema LTI.
12.1 Análisis frecuencial de señales en tiempo continuo Sabemos
que se puede usar un prisma para descomponer la luz blanca (luz
solar) en los colores del arco iris. Isaac Newton empleo el termino
espectro para describir las bandas continuas de colores producidas
por este aparato. Para entender este fenómeno, Newton coloco otro
prisma invertido con respecto al primero y demostró que los colores
volvían a mezclarse para producir luz blanca, como en la figura
10b. Insertando una ranura entre los dos prismas y bloqueando la
incidencia de uno o mas colores sobre el segundo prisma, mostró que
la luz vuelta a combinar ya no era blanca. Por tanto, la luz que
pasa a través del primer prisma es simplemente descompuesta en sus
colores componentes sin ningún otro cambio. Sin embargo, sólo si
volvemos a mezclar otra vez todos los colores obtenemos la luz
original. Mas tarde, Joseph Fraunhofer (1787-1826), cuando
realizaba mediciones de la luz emitida por el sol y las estrellas,
descubrió que el espectro de la luz observada contenía líneas de
colores diferentes. Unos años después, a mediados del siglo XVIII,
Gustav Kirchhoff y Robert Bunsen descubrieron que cada elemento
químico, cuando era calentado hasta la incandescencia, radiaba su
propio color de luz. Como consecuencia, cada elemento químico se
puede identificar mediante sus propias líneas espectrales. De la
física sabemos que cada color se corresponde con una frecuencia
específica del espectro visible. De hecho, la descomposición de la
luz en sus colores en una forma de análisis frecuencial. El
análisis frecuencial de una señal conlleva la separación de la
señal en sus componentes (sinusoidales) frecuenciales. En lugar de
luz, nuestras formas de onda son básicamente funciones temporales.
El papel del prisma es desempeñado por las herramientas de análisis
de Fourier que desarrollaremos: las series de Fourier y la
transformada de Fourier. La recombinación de las componentes
sinusoidales para reconstruir la señal original es básicamente un
problema de síntesis de Fourier. El problema del análisis de
señales es básicamente idéntico para el caso de una forma de onda y
el de la luz procedente de compuestos químicos calentados. Como en
el caso de compuestos químicos, formas de
-
39
onda diferentes tienen diferentes espectros. Por ello, el
espectro provee una “identidad” o firma de la señal en el sentido
de que ninguna otra señal tiene el mismo espectro. Como veremos,
este atributo está relacionado con el tratamiento matemático de las
técnicas en el dominio de la frecuencia. Si descomponemos una forma
de onda en sus componentes sinusoidales, de forma similar a como un
prisma separa la luz blanca en sus diferentes colores, la suma de
estas componentes sinusoidales resulta en la forma de onda
original. Por otra parte, si alguna de estas componentes
desaparece, el resultado es una señal diferente. En nuestro
tratamiento del análisis frecuencial, desarrollaremos las
herramientas matemáticas adecuadas para la descomposición de
señales en componentes funcionales sinusoidales. Además,
desarrollaremos las herramientas para la síntesis de una señal dada
a partir de sus componentes frecuenciales. El objetivo básico al
desarrollar herramientas de análisis frecuencial es proporcionar
una representación matemática y pictórica para las componentes
frecuenciales contenidas en una cierta señal. Como en la Física, el
termino espectro se emplea al referirse al contenido en frecuencia
de una señal. El proceso de obtención del espectro de una señal
dada, usando las herramientas matemáticas básicas, se conoce como
análisis frecuencial o espectral. A su vez, el proceso de
determinación del espectro de una señal en la práctica, basado en
mediciones reales de la señal, se denomina estimación espectral.
Esta distinción es muy importante. En un problema practico, la
señal que esta siendo analizada no conduce a una descripción
matemática exacta. La señal suele ser portadora de cierta
información que intentamos extraer. Si esta información que
deseamos extraer se puede obtener directa o indirectamente a partir
del contenido espectral de la señal, hacemos estimación espectral
sobre la señal que porta la información y así obtenemos una estima
del espectro de la señal. De hecho, podemos ver la estimación
espectral como un tipo de análisis espectral realizado sobre
señales obtenidas de fuentes físicas. Los instrumentos o programas
de software empleados para obtener estimas espectrales de tales
señales se conocen como analizadores espectrales.
12.2 Densidad espectral de energía de señales aperiódicas Sea x
( t ) una señal de energía finita con transformada de Fourier X(F).
Su energía es
Que a su vez puede expresarse en términos de X (F) como
sigue:
()ò¥
¥-
= dttxEx2
() ()
() ( )ò ò
ò¥
¥-
-¥
¥-
¥
¥-
úû
ùêë
é=
=
dFeFXdttx
dttxtxE
Ftj
x
p2*
*
-
40
Por tanto concluimos que
(12.1)
Esta es la relación de Parseval para señales aperiódicas de
energía finita y expresa el principio de conservación de la energía
en los dominios del tiempo y la frecuencia. El espectro X(F) de una
señal es, en general, complejo. En consecuencia, suele expresarse
en forma polar como Donde X(F) es el módulo del espectro y q(F) su
fase,
q(F) = ÐX(F)
Por otra parte, la cantidad (12.2)
que es el integrando de (12.1), representa la distribución de
energía de la señal en función de la frecuencia. De aquí que Sxx(F)
se denomine densidad espectral de energía de x(t). La integral de
Sxx(F) sobre todas las frecuencias nos da la energía total de la
señal. De otra forma, la energía de la señal x(t) sobre una banda
de frecuencias F1 £ F £ F1 + DF es En (12.2) vemos que Sxx(F) es
estrictamente real y no negativo. Dado que el espectro de fase de
X(t) no se encuentra en Sxx(F), es imposible reconstruir la señal
dada Sxx(F). Finalmente, como en el caso de las series de Fourier,
puede demostrarse fácilmente que si la señal x(t) es real,
entonces
(12.3)
(12.4)
Combinando (12.2) y (12.3) obtenemos
(12.5) En otras palabras, la densidad espectral de energía de
una señal real tiene simetría par.
( ) ()ò ò¥
¥-
¥
¥-
-úû
ùêë
é= dtetxdFFX Ftj p2*
( )ò¥
¥-
= dFFX 2
() ( )ò ò¥
¥-
¥
¥-
== dFFXdttxEx22
( ) )()( FjeFXFX q=
( )òD+ FF
Fxx dFFS
1
1
( ) ( )2FXFSxx =
( ) ( )( ) ( )FXFX
FXFX-Ð=-Ð
=-
( ) ( )FSFS xxxx =-
-
41
13. Muestreo en el dominio de la frecuencia: la transformada de
Fourier discreta
Antes de introducir la DFT, consideraremos el muestreo de la
transformada de Fourier de una secuencia aperiodica en el tiempo
discreto. Así, estableceremos la relación entre la transformada de
Fourier discreta y la DFT. Muestreo en el dominio de la frecuencia
y reconstrucción de señales en tiempo discreto Recordemos que las
señales aperiodicas de energía finita tienen espectros continuos.
Consideremos dicha señal aperiodica en tiempo discreto x(n), con
transformada de Fourier
(13.1)
supongamos que muestreamos X(w) periódicamente con un espacio en
frecuencia dw radianes entre muestras sucesivas. Dado que X(w) es
periódica de periodo 2p, solo necesitaremos las muestras del
periodo fundamental, por conveniencia, tomaremos N muestras
equidistantes en el intervalo 0 ≤ w < 2p, espaciadas dw = 2p /
N, como se muestra en la figura 15. Si se considera en primer lugar
la elección de N, el numero de muestras en el dominio de la
frecuencia. Si calculamos (13.1) en w = 2pk / N, obtenemos
K = 0,1,…,N -1 (13.2)
El sumatorio (13.2) puede subdividirse en un mundo infinito de
sumatorios, donde cada uno contiene N términos. Por lo tanto,
Si cambiamos el índice del sumatorio interior de n a n- lN e
intercambiamos el orden de los sumatorios, obtenemos el
resultado
(13.3) para k = 0,1,2,…, N-1.
2 12 /( ) ...
Nj kn N
n Nx n e p
--
=
+ +å
1 12 /( )
N Nj kn N
l n lNx n e p
¥ + --
=-¥ =
= +å å
( ) ( )j n
nX x n e
- w¥
=-¥
w = å
2 /2 ( ) j kn Nn
X k x n eN
pp -¥ -=-¥
æ ö=ç ÷è ø
å
1 12 / 2 /
0
2 ... ( ) ( )N
j kn N j kn N
n N nX k x n e x n e
Np pp - -- -
=- =
æ ö= + +ç ÷è ø
å å
12 /
0
2 ( )N
j kn N
n lX k x n lN e
Npp - ¥ -
= =-¥
é ùæ ö= -ç ÷ ê úè ø ë ûå å
-
42
La señal (13.4)
obtenida repitiendo periódicamente x(n) cada N muestras, es
evidentemente periódica de periodo fundamental N. por tanto, puede
desarrollarse en serie de Fourier como
n = 0,1,…, N – 1 (13.5)
con coeficientes de Fourier
k = 0,1,…, N – 1 (13.6)
Comparando (13.3) con (13.6), concluimos que
k = 0,1,…, N – 1 (13.7)
Por lo tanto,
n = 0,1,…, N – 1 (13.8)
la relación dada en (13.8) nos proporciona la reconstrucción de
la señal periódica xp(n) a partir de las muestras del espectro
X(w).sin embargo, no implica que se puedan recuperar X(w) ò x(n) a
partir de las muestras. Para obtener esto necesitamos considerar la
relación entre xp(n) y x(n). Dado que xp(n) es la extensión
periódica de x(n) tal como se da en (13.4),esta claro que x(n)
puede ser recuperada a partir de xp(n), si no existe aliasing en el
dominio del t
