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Universidad del Norte Maestr´ ıa en Matem´ aticas ´ Algebra - Serie 4 Prof. Dr. Ismael Guti´ errez Garc´ ıa 1. Dibuje el ret´ ıculo de subcuerpos de F 30 2 . 2. Demuestre que, si γ es un elemento primitivo de F q y F s es un sub- cuerpo de F q , entonces los elementos de F s son {0, 1,α,...,α s-2 }, donde α = γ q-1 s-1 3. La q-clase ciclot´ omica de s odulo q t - 1 se define como el conjunto C s := {s, sq, . . . , sq r-1 } (mod(q t - 1)), donde r es el entero positivo m´ as peque˜ no con la propiedad sq r s mod (q t - 1). (a) Demuestre que el conjunto de los C s forma una partici´ on del conjunto {0, 1, 2,...,q t - 2} (b) Calcule las 2-clases ciclot´ omicas de 15 (c) Calcule las 2-clases ciclot´ omicas de 63 4. Calcule los polinomios minimales de todos los elementos de F 8 . Observaciones: Fecha limite de entrega: Martes 25 de Agosto (5:30 pm). Si existe retraso en la entrega, el trabajo no es calificado. El n´ umero de integrantes de cada grupo es irrelevante . 1

Serie 4 (1)

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Universidad del NorteMaestrıa en Matematicas

Algebra - Serie 4

Prof. Dr. Ismael Gutierrez Garcıa

1. Dibuje el retıculo de subcuerpos de F302 .

2. Demuestre que, si γ es un elemento primitivo de Fq y Fs es un sub-cuerpo de Fq, entonces los elementos de Fs son {0, 1, α, . . . , αs−2},donde α = γ

q−1s−1

3. La q-clase ciclotomica de s modulo qt − 1 se define como el conjunto

Cs := {s, sq, . . . , sqr−1} (mod(qt − 1)),

donde r es el entero positivo mas pequeno con la propiedad sqr ≡s mod (qt − 1).

(a) Demuestre que el conjunto de los Cs forma una particion delconjunto

{0, 1, 2, . . . , qt − 2}

(b) Calcule las 2-clases ciclotomicas de 15

(c) Calcule las 2-clases ciclotomicas de 63

4. Calcule los polinomios minimales de todos los elementos de F8.

Observaciones:

• Fecha limite de entrega: Martes 25 de Agosto (5:30 pm).

• Si existe retraso en la entrega, el trabajo no es calificado.

• El numero de integrantes de cada grupo es irrelevante .

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