Si n muy grande y p muy pequeño, es conveniente utilizar la distribución de

Poisson, ya que se consigue una buena aproximación.

Distribución de Poisson

Esta distribución se emplea para describir sucesos discretos que ocurren con poca

frecuencia en el tiempo o en el espacio; por ello a veces recibe el nombre de distribución

de sucesos raros.

Distribución de Poisson

Variable aleatoria X: esta representa la cantidad de veces que ocurre un suceso de interés en un intervalo dado.

Ya que X es una cuenta, puede tomar teóricamente cualquier valor entero entre 0 e infinito.

Sea λ(lambda, letra griega) una constante que indica el número promedio de veces que acontece un suceso en un intervalo.

Distribución de Poisson

Si la probabilidad de que X tome el valor de x es

Distribución de Poisson

!)(

x

xexXP

se dice que X tiene una distribución de Poisson con parámetroλ.

e representa una constante con valor aproximado de 2.71828, este es la base de los logaritmos naturales

Sucesos fundamentales:

1. La probabilidad de que acontezca un suceso en un intervalo es proporcional a la amplitud del intervalo.

2. En principio, teóricamente es posible que suceda un número infinito de eventos en un intervalo dado. No hay límite al número de ensayos.

3. Los sucesos ocurren independientemente tanto en el mismo intervalo como entre intervalos consecutivos.

Distribución de Poisson

Usos:

describir la cantidad de ambulancias que se requieren en una ciudad en una noche particular,

describir la cantidad de partículas emitidas por una cantidad específica de material radiactivo o

describir el número de colonias de bacterias que crecen en una caja de Petri.

Distribución de Poisson

En una variable aleatoria binomial, la media es igual a np y su varianza es np(1-p).

La propiedad de que la media sea igual a la varianza es una característica que identifica a la distribución de Poisson.

Distribución de Poisson

Ejemplo:

Determinar la cantidad de personas de una población de 10000 que se involucra en un accidente vehicular cada año.

El número de personas implicadas sería la siguiente la cual también es la varianza:

Distribución de Poisson

4.2

)00024.0)(10000(

np

La probabilidad de que nadie en esta población tenga un accidente en un año en particular es

Distribución de Poisson

091.0!0

)4.2()0(

04.2

e

XP

La probabilidad de que exactamente una persona tenga como uno es de

218.0!1

)4.2()1(

14.2

e

XP

De manera análoga,

Distribución de Poisson

261.0!2

)4.2()2(

24.2

e

XP

Debido a que los resultados de X son mutuamente excluyentes y exhaustivos

)7(1)7( XPXP

012.0

)024.0060.0125.0209.0261.0218.0091.0(1

Distribución de PoissonTambién se puede conocer la probabilidad de Poisson con la siguiente tabla.

Cantidad de sucesos

λ

Para valores específicos de x y λ, la entrada en la tabla representa

Distribución de Poisson

!)(

x

xexXP

En una población de 10000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres

de estas se involucren en un accidente vehicular en una año determinado?

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson1. fijar x = 3

4. aproximar la probabilidad a 0.214

2. redondear 2.4 a 2.5

3. buscar la columna correspondiente λ = 2.5

Distribución de PoissonGrafica de la distribución de probabilidad X, la cantidad de individuos de la población involucrados en un accidente vehicular cada año

El eje Y suma 1

Distribución de PoissonLa distribución de Poisson se encuentra pronunciadamente sesgada por valores pequeños de λ

Conforme λ aumenta, la distribución se torna mas simétrica.