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Departamento de Ingeniería

U T F S M

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

“REDES ELÉCTRICAS I”

Prof. Javier Ríos V.

[email protected]

Sistemas Trifásicos

Valparaíso - Chile

Primer Semestre 2015

LATEX2ε

JRV15

REDES ELÉCTRICAS I

Sistemas trifásicosDepartamento de Ingeniería

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Índice general

1. Introducción. 41.1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Motivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Metodología inicial de estudio. 112.1. Conexión de elementos en extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Secuencia. 203.1. Secuencia positiva (ABCA...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Secuencia negativa (ACBA...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Notaciones y definiciones para las variables. 224.1. Tensión de fase y de línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Relaciones entre VF y VL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3. Corriente de fase y de línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. Relaciones entre IF e IL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Sistemas balanceados. 265.1. Forma de resolución de un sistema balanceado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2. Descripción matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3. Circuito monofásico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Sistemas desbalanceados. 296.1. Ejemplo de circuito desbalanceado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7. Potencia trifásica. 347.1. Potencia trifásica (S3φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3. Factor de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.4. Impedancias trifásicas-monofásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8. Representación de sistemas por diagrama unifilar. 448.1. Alcances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2. Representación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9. Potencias de cortocircuito. 499.1. Potencia de cortocircuito trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2. Potencia de cortocircuito monofásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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10.Medición Potencia activa trifásica. 5310.1.Vatímetro - Wattmetro (W ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2.Corolario - Vármetro (V Ar). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.3.Sistema de los 3(W ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.4.Sistema de los 2(W ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.5.Uso de transformadores de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.6.Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.Transformador trifásico. 6111.1.Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.2.Conociendo al transformador trifásico desde el monofásico. . . . . . . . . . . . . 6211.3.Conexiones de transformadores y origen de k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.4.Reloj de conexiones y ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.5.Modelos del transformador real (TR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.6.Datos de placa del TR3φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.Sistemas en por unidad (pu). 7512.1.Definiciones y métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

13.Fallas simples en un sistema de potencia. 7613.1.Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.2.Transformación de un sistema trifásico balanceado para estudio de fallas. . . . . . 7613.3.Tipos de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14.Mallas de secuencia- componentes simétricas. 8214.1.Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8214.2.Representación gráfica y matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8414.3.Equivalente Thévenin trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8614.4.Mallas de secuencia de transformador trifásico Dy11. . . . . . . . . . . . . . . . . 8714.5.Conexión de las mallas de secuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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1. Introducción.

1.1. Generalidades.

1.1.1. Sistema de “n” fuentes balanceadas.

En términos generales se puede pensar en sistemas eléctricos de “n”∈ N+ fases o hilos conductorque conectan “n” sistemas equivalentes (Thévenin o Norton), que serán las fuentes de energíadel sistema, con “n” sistemas de consumo o simplemente con otros “n” sistemas equivalentes.

En principio estos “n” sistemas funcionan de forma independiente o local, es decir, que lasvariables circuitales de una fase no se ven afectada por las de otra fase. Ejemplo: El fasor decorriente I1 de la fase 1 , no es influenciada por la corriente de la fase m, Im. Por supuesto, estaafirmación se basa en la no presencia de acoplamiento inductivo o capacitivo entre las fases.

Ahora bien, se busca que estos “n” sistemas se interconecten de forma apropiada para formarun solo sistema que pueda subdividirse en “n” subcircuitos, pero bajo ciertas restricciones talesque mantengan la independencia inicial de sus variables.

La principal restricción para hacer la interconexión, que luego se relajará en sistemasdesbalanceados, es que estos “n” sistemas deben ser:

1. Simétricos en alimentación: Igualdad en los módulos de las fuentes de tensión y corrientedel sistema.

2. Simétricos en topología: Igualdad de conexiones, valores de elementos, cantidad denodos o barras.

La primera condición que se centra sólo en simetría de los módulos de las fuentes, se basaen que cada sistema es independiente y por tanto tiene su referencia angular propia, de estemodo al mantener el módulo de las fuentes de tensión y/o corriente, el módulo de las variablesfasoriales a calcular en cada sistema mantendrán su distribución, es decir su diagrama fasorialde solución, siempre y cuando la topología del circuito (LVK, LCK y LE) sean las mismas encada sistema.

Para hacer la interconexión de cada sistema, se requiere adicionalmente que el exterior no se decuenta que ha habido un cambio, es decir, que eléctricamente no haya potencial o una corrientedesde el punto neutro. Para ello, se debe forzar que los ángulos de todas las fuentes de uncircuito se desfasen relativamente en el ángulo:

α =360o

n

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Tomando como referencia los ángulos de uno de los n circuitos, en este caso el primero de ellos,donde se sabe que cada uno tiene k fuentes con ángulo θ1k, para describir los ángulos de las kfuentes pero ahora del i-ésimo circuito, llamado θik se tendrá a cumplir que:

θik = θ1k −360o

n× (i− 1), i = 1 −→ n (1)

También se puede hacer una descripción de la forma:

θik = θ1k +360o

n× (i− 1), i = 1 −→ n (2)

Típicamente a la primera expresión se le llama secuencia positiva y a la segunda secuencianegativa.

De esta forma, al sumar los fasores de las tensiones (LVK) o corrientes (LCK) de cada una delas fases (todas), ya sea de las fuentes o simplemente de las variables del circuito en un mismopunto, se tendrá un forma poligonal simétrica cuya resultante será nula.

Bajo estas condiciones tendremos a un único sistema compuesto por n subsistemas osubcircuitos que funcionan simétricamente. Gracias a esta condición y en base a losmismos supuestos que le dieron origen, basta analizar las variables de “1” de los “n”circuitos, ahora llamados fases para poder determinar el comportamiento de las variablesde los n−1 circuitos o fases restantes, solamente dando el defase relativo (i−1)×360o/n.

Lo anterior se conoce como: “análisis del circuito monofásico equivalente”.

Constructivamente siempre será factible tener un sistema de n fuentes de igual módulo condesfase (i − 1) × 360o/n, desde generadores eléctricos cuyos bobinados en estatores cilíndricospuedan subdividir su perímetro en n partes, como en fuentes electrónicas de n terminalescorrectamente sincronizadas en el tiempo. Sin embargo el óptimo y común se ha encontrado ensistemas de n = 3 fases y en algunos casos particulares en sistemas de n = 6 y n = 12.

Por otro lado, la complejidad práctica está en la carencia circuitos pasivos o simplemente decargas simétricas n-fásicas, porque en su gran mayoría las cargas son monofásicas con una grandiversidad de valores, pero que desde el punto de vista práctico se tienden a agrupar y conectaren cada fase para que externamente se aprecie lo más simétrico posible.Hay otros casos donde teniendo una carga n-fásica simétrica, ésta pierde su simetría a causade razones externas y extremas como que por accidente una de las fases se abra o se conecte atierra o a otra fase, que típicamente se conoce como falla eléctrica. Por tanto los fasores de lasvariables de tensión y/o corriente no serán simétricos en cada fase y darán lugar a lo que seconoce como circuitos desbalanceados.El estudio de los sistemas desbalanceados implica básicamente que todas las variables fasorialesserán asimétricas y para resolver habrá que plantear tantos LVK como LCK sean necesariosincluso abarcando circuitos vecinos.

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1.1.2. Sistemas trifásicos.

Son los sistemas más conocidos y utilizados para el transporte de energía eléctrica de formaalterna. Según los conceptos previos, tenemos que básicamente los sistemas trifásicos son trescircuitos (fases) con tensiones y corrientes, de igual amplitud o valor efectivo, pero desfasados120o en el tiempo.

La base parte de la idealización de trabajar con sistemas 100 % balanceados, lo cual tiene lassiguientes cualidades:

j En el tiempo, cuando una tensión/corriente está en su máximo, las otras dos están a mediaamplitud.

h Se puede siempre estudiar con funciones en el tiempo (sin(ωt) ó cos(ωt)), pero sesiguen usando las bondades de la transformada fasorial suponiendo que el sistemaestá estacionario.

h Como se parte del supuesto sistema balanceado, es más menos sencillo demostrarque basta analizar una fase para observar el mismo comportamiento en las otras dosfases, pero con el desfase correspondiente.

j La gran mayoría de las veces siempre se tendrá que las fuentes son balanceadas,principalmente por diseño y construcción de sistemas que se quieren alimentar de estaforma.

j Lamentablemente, no todas las cargas/consumos son trifásicos, como las casas yresidencias de empalme monofásico. Lo bueno es que es posible que éstas se agrupenpara que visto desde la lejanía de la fuente Thévenin equivalente, sean una carga trifásica.Este es el conocido problema de distribución de energía.

j Sistemas desbalanceados es cuando ya la diferencia de cargas o consumos es notablementediferente en cada fase, por mala agrupación o porque experimentalmente se ha conectadoen cada fase una impedancia muy distinta, ya sea en módulo y/o ángulo. Otra causade sistemas desbalanceados son los casos de fallas asimétricas, típicamente las fallas:monofásica a neutro o tierra, la falla bifásica, la falla bifásica a tierra, la falla de unay dos fases abiertas. Considere que las fallas trifásicas (cortocircuito) es una condiciónmala para el sistema por ser una “falla”, pero es buena del punto de vista que mantieneel balance del sistema. Lo mismo ocurre con la falla trifásica de fase abierta, que es lageneralización trifásica de un circuito en vacío.

h Solamente se aplican las leyes fundamentales de Kirchhoff.

h Se debe observar con atención a la presencia o no del cable neutro que une puntos“estrella” (jamás las estrellas virtuales) y con ello la acción y presencia de una de dosvariables de corrección: Corriente de neutro y tensión de entre neutros (La tensiónde neutro si puede considerarse también a neutros virtuales).

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j Existen otros sistemas de 6 y 12 fases, que usualmente se usan para rectificadores(convertidores CA/CC) en usos especiales. Aplican los mismos criterios de análisis.

j No confundir sistemas de más de tres fases, también llamados “polifásicos”, con sistemastrifásicos que tengan más de un circuito (trifásico) en paralelo y que además puedan usaren cada fase y circuito más de un conductor (fasiculado).

Sistema balanceado: en cada fase hay simetría en el módulo de las variables de tensióny corriente, pero un desfase relativo de 120o.

Sistema desbalanceado: Por simplicidad y copia de lo que ocurre en la realidad, seránsistemas de fuentes simétricas y cargas asimétricas, por lo cual las variables fasoriales adeterminar en cada fase serán distintas en módulo y ángulo.

Figura 1: Ondas trifásicas en t.

Figura 2: Fasores trifásicos en ω (fasor).

Figura 3: Esquema generación trifásica.

Figura 4: Sistema trifásico (Generación - transmisión -consumo).

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Figura 5: Sistema trifásico (Centrado en generación).

Figura 6: Torre de AT transmisión (3 fases, 4 conductorespor fase; 2 cables de guardia).

Figura 7: Torre de AT transmisión (3 fases, 4 conductorespor fase; 2 cables de guardia).

Figura 8: Torre de AT transmisión.

Figura 9: Torre de AT transmisión.

Figura 10: Poste MT/BT distribución.

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Figura 11: Esquema de desbalance por consumosmonofásicos.

Figura 12: Subestación eléctrica.

Figura 13: Transformador de poder/potencia(3conductores AT, 4conductores BT).

Figura 14: Transformador de poder/potencia.

1.2. Motivación.

Considere 3 sistemas monofásicos independientes, donde cada uno transmite su energíapor una línea hasta su consumo. Para este ejemplo considere la figura 15, donde seaprecian tres fuentes independientes de tensión alterna que llevan su energía por unalínea de transmisión/distribución sintetizada en el parámetro XL para llegar a los consumosrepresentados por R1, R2 y R3, ya que típicamente son los consumos de potencia activa.

Cuestionamientos:

j ¿Se pueden unir estos tres sistemas?Resp: Sí, independiente del valor de la fuente, frecuencia y desfase.En sistemas trifásicos, será requisito que las fuentes sean idénticas, salvo el desfase relativode ±120o.

j ¿Qué ocurre si las fases de cada fuente son o no son 360o × k/3 (k = 0, 1, 2)?

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Resp: Si los desfases relativos son ±120o, será un sistema trifásico, por tanto se aprovechade analizarlo como tal.Si no, siempre se podrá reducir el sistema o aplicar teoremas y principios de resolucióngeneral.Obs: Dependerá mucho la conexión que tengan las cargas, cable neutro, etc.La suma de las tensiones de cada fuente no será cero y si hay cable de neutro circularácorriente por allí.

j ¿Cómo afecta el cambio de fase a los consumidores monofásicos?Resp: Los consumidores típicamente 1φ “en su mundo” no son capaces de observar quepasa con las variables de las otras dos fases, por lo que sólo les importará tener una tensióndentro de las normativas de calidad de servicio y una corriente que permita satisfacer sudemanda.Los consumidores 3φ, requieren simetría o balance de las tensiones y corrientes. Ejemplotransformadores 3φ, rectificadores.

j ¿Qué se hace con el conductor común (Neutro)?Resp: Permite unir los circuitos 1φ con la consigna que habrá una corriente circulante encaso de desbalance. Siempre se necesitará el Neutro como referencia de potencial nulo.Muchas veces el neutro se une a tierra en puntos específicos, según el caso a estudiar a latierra se la caracteriza con un valor de impedancia.

j ¿Deben ser las cargas Ri iguales?Resp: No es un requisito (sistema trifásico desbalanceado), pero es ideal que lo sean y esose busca en la práctica (sistema trifásico balanceado).

La figura 15 muestra tres sistemas monofásicos agrupados de manera conveniente paraintroducir a un sistema trifásico. En cada sistema monofásico hay un LVK y un LCK que rigea cada sistema.

Figura 15: Tres sistemas monofásicos.

En la figura 16 se aprecia que los tres conductores comunes se agrupan en uno solo llamadoneutro, este cambio no altera los LVK y LCK de cada subsistema monofásico inicial. Note quesi las 3 fuentes de tensión tienen el mismo desfase, por el cable neutro pasará el triple de lacorriente de cada sistema monofásico.

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Figura 16: Sistema trifásico con conductor de retorno.

Finalmente, si las fuentes de cada sistema monofásico cumplen las restricciones para que enconjunto sean consideradas como trifásicas (Igual valor efectivo, frecuencia y desfase relativode ±120o) y las tres resistencias (impedancias) son de igual valor, se aprecia que en el nodocomún donde se conecta el cable neutro, el LCK respectivo arroja que la corriente de neutro escero, por lo que se puede “sacar”, sin que el sistema se de cuenta (figura 17).

Figura 17: Sistema trifásicos sin conductor de retorno.

Según lo comentado anteriormente, para el caso balanceado o simétrico, los circuitos delas figuras 16 y 17 son equivalentes, desde el punto de vista de las ecuaciones del sistemaque lo rige. No obstante, si fuese un caso desbalanceado, ambos circuitos serán posiblesde implementar, pero los obtenidos resultados serán distintos:

j Con neutro: 3 LVK’s independientes por el neutro. El LCK del nodo común sólo sirvepara calcular la corriente de neutro.

j Sin neutro: 2 LVK’s más 1 LCK donde siempre la corriente será cero (restricciónfísica).

2. Metodología inicial de estudio.

Los sistemas trifásicos se dibujan principalmente con tres líneas por donde circulan las trescorrientes de cada fase y algunas otras con un cuarto conductor neutro.

Según la simetría de las fuentes y cargas se tendrán:

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Sistemas Balanceados: Se estudian como monofásicos equivalentes.

Sistemas Desbalanceados: Requiere aplicar LVK y LCK.

Los sistemas trifásicos no siempre utilizan 3 conductores (1 por cada fase); a veces utilizan uncuarto (ó más) conductor de potencial cero llamado neutro.

j La presencia del neutro influye principalmente cuando el sistema trifásico esdesbalanceado. Desde el punto de vista de Kirchhoff tenemos:

h Con neutro: La sumatoria de las corrientes de cada fase será la corriente de neutro,por otra parte, el potencial de referencia la fuente será el mismo que el de la carga.

h Sin neutro: La sumatoria de las corrientes de cada fase deberá ser cero aunque esténdesbalanceadas las cargas, lo cual implica que habrá una caída de tensión entre elpotencial de referencia de la fuente y el de las cargas, es decir de forma simple, habrátensión entre el neutro de la carga y tierra. A este fenómeno se le llama corrimientodel neutro (Si puede, mídalo en su casa!...a priori 10-50V).

j Para alimentar una carga monofásica con un sistema trifásico, se necesita una fase y elneutro. Ojalá que la cantidad de cargas monofásicas por fase sean lo más parecidas posible.

Características constructivas.

j Siempre la generación (fuentes) será balanceada. Teóricamente pueden aparecerproblemas donde haya un desbalance en las fuentes. En esencia, los generadores estánbalanceados, dado que la más mínima asimetría se traduce en pérdidas de eficiencia,calentamientos innecesarios, etc.

j Las cargas pueden o no, ser balanceadas ya que depende del consumidor o de la forma enque se irán agrupando.

h Existen cargas que por diseño o construcción son trifásicas y normalmente sonbalanceadas (99,9 % de los casos). Ejem.: Reactor 3φ es un caso donde se puedenapreciar desbalances bajos, a causa que la pierna magnética central es levementemás corta que las laterales, esto también ocurren en los transformadores cuando seles analiza en vacío.

h La gran mayoría de las cargas son monofásicas, que por agrupación se juntan paraformar cargas trifásicas, aunque no quedan perfectamente balanceadas, provocandodesbalances pequeños, tensiones entre neutro y tierra moderadas, etc.

j Si las cargas no son balanceadas, aunque las fuentes sean balanceadas, las demás variablesserán desbalanceadas en cada una fase. Por tanto, no se podrá hacer análisis porequivalente monofásico.

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Figura 18: Reactor trifásico, magnéticamente la pierna central es más corta.

Otro punto de vista.Sistemas trifásicos están compuestos por tres sistemas monofásicos, no necesariamente iguales(o balanceados), conectados eléctricamente.

En los casos balanceados habrá una simetría en las variables por fase, teniendo en cada fase:

j Variables de igual módulo (tensiones, corrientes, potencias).

j Variables con ángulos relativos ±]120o .

j Por tanto, toda la información de una fase permite inferir lo que ocurre en las otras dos.

j Esto da origen al estudio del sistema trifásico por medio del circuito equivalente por fase,el cual por ser de origen balanceado no necesita que haya tenido el conductor neutro,porque con o sin él los potenciales en los extremos son iguales.

Lo anterior se aprecia en la figura 19, siendo un fiel representador de cualquiera de los circuitosde las figuras 15, 16 y 17, ssi R1 = R2 = R3.

++ jXL R1

Figura 19: Sistema trifásico, representado por su equivalente monofásico.

2.1. Conexión de elementos en extremos.

Suponga los siguientes circuitos, que cumplen la restricción de simetría de fuentes y cargas(elementos pasivos), con sus extremos desconectados... ¿Cómo se pueden unir para que seatrifásico?

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++++

++

jXL

jXL

jXL

R

R

R

++++

++

jXL

jXL

jXL

R

R

R

RRR

Figura 20: Sistemas trifásicos conexión en terminaciones.

La configuración trifásica de elementos da normalmente dos tipos de conexión:

j Estrella ó Y ó (no confundir con admitancia Y (inverso de Z)). Conexión de treselementos o hilos conductor a un punto común. Conexión única.

++++

++

jXL

jXL

jXL

R

R

R

++++

++

jXL

jXL

jXL

R

R

R

RRR

Figura 21: Sistemas trifásicos terminación estrella.

j Delta ó D ó ∆. Conexión de a pares, necesariamente de elementos. Si bien el delta estambién simétrico, hay dos formas de hacerlo según el orden de unión de elementos. Elloimplica directamente sobre las corrientes internas.

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++++

++

jXL

jXL

jXL

jXL

jXL

jXL

R++++

++

RR

Figura 22: Sistemas trifásicos terminación delta.

No es requisito el usar sólo un tipo de terminación en todo un circuito trifásico, ello dependedel diseño y otras consideraciones según sea el caso. Lo que es importante destacar, es quemuchas veces los sistemas delta se deben transforman en estrella para aprovechar que si ademáshay balance, rápidamente por inspección simple tener el circuito equivalente monofásico.

Otros elementos que unen puntos de terminaciones, se consideran como elementos de línea,que a veces pueden llamarse estrella abierta. De los casos anteriores podemos decir que elelemento jXL está como elemento de línea y de hecho, representa en este caso a la reactanciade una línea de transmisión ideal.

++++

++

jXL

jXL

jXL

R++++

++ jXL

jXL

R

R

R

jXL

jXL

jXL

jXL

Figura 23: Elemento de línea o elemento serie.

2.1.1. Características de la estrella:

j Forma de conexión de tres elementos en un punto de terminación tal que existe un puntode conexión común, que da la posibilidad de usar el cuarto conductor llamado neutro.

j Las corrientes que circulan por la línea (corrientes de línea) son iguales a las corrientesinternas de cada elemento (corrientes de fase). Es conveniente reservar el concepto de

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corriente de fase o corriente interna sólo cuando se habla de circuitos delta.

j Las tensiones entre dos fases (tensiones de línea) son√

3 veces más grandes que lastensiones de esos mismos puntos respecto a tierra o a neutro (tensiones de fase).

j Neutro y tierra para las tensiones de fase son sinónimos, la diferencia es que el neutro nosiempre está en los circuitos, en cambio la tierra si.

Figura 24: Circuito estrella.

Resumen:Corriente de fase: corriente interna que circula por un elemento (Ejem.: Ia). Use estadefinición sólo con circuitos delta para evitar confusión.Corriente de línea: corriente que circula por una línea que es sí un elemento en estrella(Ejem.: Ia).Tensión de fase: medida entre una línea respecto a tierra/neutro (Ejem.: Va = Van =Vat).Tensión de línea: medida entre dos líneas distintas (Ejem.: Vab = Va −Vb).

‖Vab‖ =√

3‖Va‖

Como son relaciones fasoriales, además de la relación que se establece con los módulos,hay también una relación angular.

2.1.2. Características del delta o triángulo:

j Forma de conexión de tres elementos por pares.

j No es posible en esta configuración obtener un neutro o punto común, pero se puedeusar la tierra como referencia de tensión cero. Implica que aunque no se desee siempreestá presente la tensión de fase.

j Todos los elementos están a potencial de línea o entre líneas.

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j Las tensiones de línea caen directamente sobre los elementos del delta, sin embargo alobservar los elementos desde las tensiones de fase, se puede llevar fácilmente ese sistemaa uno equivalente en estrella, siempre que sea balanceado y se mantenga invariante lapotencia.

j Las corrientes de línea (de la línea) son√

3 veces más grandes que las de fase (internas ode los elementos).

Figura 25: Circuito delta.

Tal como se mencionó anteriormente, la gran mayoría de las veces se requiere hacertransformaciones de un sistema delta a estrella y viceversa, ya sea en elementos activos, pasivosy sus combinaciones (Ejem.: Fuente de tensión real Thévenin, fuente de corriente real Norton).Lo usual es hacer la transformación de delta a estrella, ya que con la estrella se procede aestudiar el sistema por su equivalente monofásico si es que existe balance.

2.1.3. Transf. ∆ elementos pasivos (vacío).

En el caso de los elementos pasivos, para encontrar una transformación desde el sistema deltaal estrella, se considera la invariancia en las variables de terminales: V e I (fasores); es decir,invariancia en la potencia compleja S.

Usando las técnicas de ensayos, se procede a hacer ensayo en vacío en ambos circuitos de lasfiguras 24 y 25:

Figura 26: Ensayo vacío terminal “c”.

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Bajo esta condición se tiene:Ia + Ib = 0 ∧ Ic = 0

Aplicando las leyes de Kirchhoff ambos circuitos, porque se busca su relación de equivalencia,se llega a:

Vab = Ia · [Ra +Rb] ∧ Vab = Ia · [(Rbc +Rca)//Rab]

Vbc = Ib · [Rb +Rc] ∧ Vbc = Ib · [(Rca +Rab)//Rbc]

Vca = Ic · [Rc +Ra] ∧ Vca = Ic · [(Rab +Rbc)//Rca]

Por tanto:Ra =

RcaRabRab +Rbc +Rca

=RcaRab∑

Rjk

Rb =RabRbc

Rab +Rbc +Rca=RabRbc∑

Rjk

Rc =RbcRca

Rab +Rbc +Rca=RbcRca∑

Rjk

Si todas las Ri = R y Rjk = R∆ R = R∆/3.Lo mismo ocurre en el caso general donde se usen impedancias.

Nemotécnicamente se tiene:

Za = Zab · Zca/∑

Zij

Figura 27: Transformación ∆ a , con impedancias (Z).

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2.1.4. Transf. ∆ elementos pasivos (coci).

Siguiendo con la consideración de la invariancia en las variables de terminales V e I (potenciaS), se realiza el ensayo de cortocircuito en ambos circuitos de las figuras 24 y 25:

Figura 28: Ensayo cortocircuito terminales “a− b”.

Bajo esta condición se tiene:Ia + Ib = −Ic

Aplicando las leyes de Kirchhoff ambos circuitos, porque se busca su relación de equivalencia,pero trabajando ahora con conductancias o admitancias se llega a:

(Ra//Rb) +Rc = Rbc//Rca ⇔ (Ga +Gb)//Gc = Gbc +Gca

(Rb//Rc) +Ra = Rca//Rab ⇔ (Gb +Gc)//Ga = Gca +Gab

(Rc//Ra) +Rb = Rab//Rbc ⇔ (Gc +Ga)//Gb = Gab +Gbc

Finalmente:Gab =

GaGbGa +Gb +Gc

=GaGb∑Gi

Gbc =GbGc

Ga +Gb +Gc=GbGc∑Gi

Gca =GcGa

Ga +Gb +Gc=GcGa∑Gi

Si todas las Gi = G y Gjk = G∆ G∆ = G/3.

Luego, R∆ = 3R.

La nemotecnia para aplicar las relaciones se aprecia en la siguiente figura:

Yca = Ya · Yc/∑

Yi

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Figura 29: Transformación a ∆, con admitancias (Y ).

De lo anterior, implícitamente se tiene que para los casos balanceados:

Zi =Zij3⇐⇒ Z =

Z∆

3(3)

2.1.5. Transformación de fuentes ideales

Al igual que los elementos pasivos, los elementos activos (fuentes) se pueden conectar en oen ∆. En los casos de fuentes balanceadas se puede muy fácilmente hacer las transformacionesentre sistemas usando directamente las relaciones obtenidas desde LVK y LCK, segúncorresponda, las cuales dan origen a las relaciones entre entre variables de línea y de fase, quese expondrán con mayor detalle más adelante.

La relación de transformación de variables de elementos activos será siempre por unfactor

√3 y no 3 como en los casos de elementos pasivos, pero acá se incluirá un desfase

típicamente ±30o, este ángulo dependerá mucho de las referencias usadas y de nu nuevoconcepto llamado secuencia.

3. Secuencia.

Es la ocurrencia temporal del los fasores de tensión y/o de corriente desde una referencia fija queno rota, cuando los fasores giran en sentido antirreloj a frecuencia ω y se tiene un rotulado previoen los terminales a estudiar.

La secuencia de un circuito es única, es impuesta por las fuentes y con ello las variables debenadaptarse a esta condición.Si un sistema tiene muchas fuentes trifásicas, todas deben ser de la misma secuencia, de locontrario es casi como tener un cortocircuito en dos de las tres líneas y pérdida de simetría.

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Como es relativo el sentido de giro de los fasores, normalmente la secuencia que presenta unsistema se le llama secuencia positiva o directa, así que en rigor no debieran existir sistemas desecuencia negativa o inversa.

La secuencia trae implícito un ordenamiento en la forma de rotular los terminales, de forma“secuencial” y “cíclica”. Normalmente y en la práctica, un sistema de secuencia negativa esuno que originalmente era de secuencia positiva, pero se cambió el rotulado en dos de sus tresterminales.

Al ver análisis más avanzados de sistemas desbalanceados, sobrentendiendo que éste tienede origen una secuencia directa o positiva con variables (fasores) desbalanceados, desde lasmatemáticas se demuestra que pueden ser representado por tres sistemas balanceados: uno desecuencia positiva que predomina en módulo, uno de secuencia negativa y uno sin secuencia osecuencia cero de módulos idealmente menores que el predominante u original de secuenciapositiva. En sistemas reales donde es imposible que las cargas sean 100 % balanceadas,una medida de control de calidad es observar por medio de mediciones estratégicas, lascomponentes de secuencia negativa y cero, respecto de la secuencia positiva, verificando queno sobrepasen un cierto valor, como por ejemplo 5 %.

Sea un sistema trifásico donde en cada línea sus variables tensión y corrientes se reconocen porla etiqueta A, B y C, respectivamente. Entonces, la secuencia se pueden definir como:

3.1. Secuencia positiva (ABCA...)

Fasor A: ángulo 0o (Suponga referencia).Fasor B: ángulo −120o.Fasor C: ángulo +120o.

Esquemáticamente se tiene:

Figura 30: Secuencia positiva observada desde referencia estática.

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Esta definición no implica, ni requiere que el sistema esté balanceado!!!

Los generadores generan siempre en sec(+) balanceado y así se pueden interconectar alsistema o conectar con otros generadores. Considere que al juntar dos redes de distintasecuencia se producirá un cortocircuito en alguna de las fases al ver diferencia depotencial que solamente queda limitada por la baja impedancia del nodo de conexión.

La secuencia tiene por objeto dar un orden, así un sistema sec(−) se puede llevar a sec(+)renombrando 2 de sus 3 terminales. Note que la secuencia de los fasores temporales, serelaciona con la secuencia de los fasores espaciales cuando se estudian máquinas rotativasy por tanto con el sentido del campo giratorio y por ende con el sentido de giro de lamáquina... por lo que no debiese ser sorpresa que si se cambian dos de las tres fases de unmotor, éste cambia su sentido mecánico de giro!!!

3.2. Secuencia negativa (ACBA...)

Fasor A: ángulo 0o (Suponga referencia).Fasor B: ángulo +120o.Fasor C: ángulo −120o.

Esquemáticamente se tiene:

Figura 31: Secuencia negativa observada desde referencia estática.

Lo anterior no implica, ni requiere que el sistema esté balanceado!!!)

4. Notaciones y definiciones para las variables.

Dada las conexiones estrella y triángulo en las variables de tensión y corriente aparecerándiferencias en su nomenclatura y significado.

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4.1. Tensión de fase y de línea.

Tensión de Fase (VF): Es la tensión medida desde un terminal respecto de un potencial cerocomo lo son: el Neutro y Tierra.

Notación: Se puede denominar una tensión de fase con uno (Va) o dos (Van) índices. En elcaso de usar un índice, éste indica desde donde se está tomando la diferencia de potencialpositiva respecto de masa, tierra o neutro. En el caso de dos usar dos índices, la diferenciade potencial se considera positiva entre el primero respecto al segundo índice. Por tratarsede tensiones de fase el segundo índice es siempre neutro N o tierra T . Esta notación suele serempleada principalmente con tensiones de línea.

Ejemplo:VA = VAN = VAT

Tensión de Línea (VL = VLL):Tensión medida entre dos de las tres líneas de un sistema trifásico.

Notación: Siempre se utiliza la notación de dos (2) índices, donde la diferencia de potencial setoma como positiva entre el primer índice respecto del segundo.Ejemplo, aplicando LVK:

VCA = VCN −VAN

Para las tensiones, Vαβ indica que la referencia positiva (mayor potencial) está en α y lanegativa (menor potencial) en β. Por tanto:

Vαβ = Vα −Vβ

4.2. Relaciones entre VF y VL.

Considere la red y las referencias presentada en la figura 32, donde los elementos son tales quelas tensiones y corrientes son invariantes y en este caso todo está balanceado:

Figura 32: Relación tensiones de “fase” con de “línea”.

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En la siguiente relación entre las tensiones de fase y de línea si se considera sec(+), haciendoun LVK, se llega a:

VL =√

3VF]± 30o

Usando la notación de índices y una rotación en secuencia positiva, se tiene:

Vab = Va

√3]30o

Vbc = Vb

√3]30o

Vca = Vc

√3]30o

es decir:Vij = Vi ·

√3]30o i = a, b, c ∧ ij = ab, bc, ca

Ahora, otras combinaciones darán otro grupo de relaciones, donde sigue apareciendo el√

3 paralas magnitudes y el ángulo deberá ser estudiado caso a caso.

Notas:

1. En un sistema con o sin cable neutro, se podrán referenciar las tensiones al nodocomún para tener tensiones de fase.

2. En un sistema ∆ es sabido que no hay punto común o neutro, pero siempre existirántensiones de fase al tomar el potencial de tierra como referencia haciendo un neutroficticio.

3. La relación angular entre las tensiones de fase y de línea vistas anteriormente, sonválidas sólo cuando se usa secuencia positiva y hay una relación entre los índices delas tensiones (Por ejemplo se relaciona Vab con Va y no con Vc).

4. Esta relación permite transformar directamente un sistema de fuentes ∆ yviceversa. A continuación se verá que ocurre para el caso de la corriente.

4.3. Corriente de fase y de línea.

Corriente de Fase (IF ): Es la corriente que circula por un elemento al interior de un delta. Engeneral es la corriente que pasa por un elemento.Notación: Dos (2) índices, que indica el sentido de circulación, es decir, el primer índiceindica desde donde viene y el segundo hacia donde va la corriente, por lo cual siempre serárelativamente sencillo darle referencia apropiada.

Ejemplo:IF = Iba

Iba parte en “b” y llega a “a”.

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Trate siempre en circuitos delta, definir las corrientes en un sentido que éstas parezcanrotar dentro del delta. De igual modo en los casos de circuitos estrella, es conveniente quedefinir las tres corrientes entrando o las tres saliendo.

Corriente de Línea (IL)Corriente que circula por una línea. El índice no le puede dar dirección, esta es la principalrazón por la que no hay una única relación entre variables de fase y de línea.

Notación: Un (1) índice según la fase de circulación.Ejemplo:

IL = Ia

Es posible usar notación de dos índices para las corrientes de línea, cuando están porcompleto transformados todos los ∆ a no siendo parte del problema las corrientes defase y quede clara la notación empleada.

4.4. Relaciones entre IF e IL

Dado que si no se sabe la dirección de una corriente de línea, sólo podremos decir:

Ia = Iab√

3⇐⇒ ‖Ia‖ = ‖Iab‖√

3

Ib = Ibc√

3⇐⇒ ‖Ib‖ = ‖Ibc‖√

3

Ic = Ica√

3⇐⇒ ‖Ic‖ = ‖Ica‖√

3

4.4.1. Corriente de línea entrando...

Sean las referencias de la figura 33, con lo cual aplicando LCK se establecen las siguientesrelaciones:

Ii = Iij ·√

3]− 30o i = a, b, c ∧ ij = ab, bc, ca

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Figura 33: Corrientes en delta, fase v/s línea.

4.4.2. Corriente de línea saliendo...

Sean las referencias de la figura 34, con lo cual aplicando LCK se establecen las siguientesrelaciones:

Ii = Iki ·√

3]30o i = a, b, c ∧ ki = ca, ab, bc

Figura 34: Corrientes en delta, fase v/s línea.

5. Sistemas balanceados.

5.1. Forma de resolución de un sistema balanceado.

j En cualquier caso, no necesariamente balanceado, se puede resolver el problema pormedio de LVK, LCK y LE considerando al circuito trifásico como un circuito común del quese podrá obtener un número acotado de ecuaciones LI, según su topología y la cantidadde variables que aparezcan.

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j Por las simetrías del circuito balanceado, se transforma cualquier sistema trifásico a unsistema “monofásico equivalente”, lo cual reduce a un tercio la cantidad de ecuaciones eincógnitas.

j En el sistema monofásico equivalente, se calculan todas las variables de interés en unafase escogida arbitrariamente. Esta fase se denomina “fase de referencia” y es a la cual sele da normalmente la referencia de ángulo 0o.

j Para obtener el resultado en las otras dos fases, manteniendo los módulos, se desfasanlos resultados encontrados en la “fase de referencia” en ±120o respetando la secuencia delsistema.

5.2. Descripción matemática.

Considere un sistema trifásico balanceado cualquiera, donde en el tiempo y en algún nodo setendrá en el tiempo (t) la siguiente descripción para la tensión:

va(t) =√

2Vrms · sin(ωt+ ϕ) [V ]

vb(t) =√

2Vrms · sin(ωt+ ϕ± 120o) [V ]

vc(t) =√

2Vrms · sin(ωt+ ϕ∓ 120o) [V ]

Por lo cual en el plano de la frecuencia ω (fasor), se tendrá por fase que:

Va = Vrms]ϕ [V ]

Vb = Vrms]ϕ± 120o [V ]

Vc = Vrms]ϕ∓ 120o [V ]

donde se puede hacer que ϕ = 0o como referencia.

Si lo anterior fueron fuentes de tensión impuestas, las corrientes se tendrán que adaptar en elcircuito según la ley del elemento, llegando a:

Ia = Irms]ϕ+ θo [A]

Ib = Irms]ϕ± 120o + θo [A]

Ic = Irms]ϕ∓ 120o + θo [A]

donde θo es el ángulo Z, que relaciona V con I por ley de Ohm.

Por tanto, se aprecia que por simetría sólo es necesario analizar el problema en una de las fasespor lo cual es que recibe el nombre de sistema monofásico equivalente.

Nota: el ± y el ∓ nos dan la libertad de hacer las definiciones anteriores independientesde la secuencia que se utilice.

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5.3. Circuito monofásico equivalente.

A partir de un sistema 3φ balanceado, sintetice la fenomenología a uno 1φ que sea equivalente,para luego volver al sistema original corriendo (desfasando) los resultados en 120o segúncorresponda, para ello se recomiendan los siguientes pasos:

1. Reconozca el sistema por completo. Específicamente la topología de sistema y sus nodos,si es necesario nómbrelos con algún orden cíclico de fácil memorización.

2. Trabaje siempre en secuencia positiva (recomendación no limitante), para ello bastarenombrar dos de los tres terminales de fase de alguna fuente que esté en secuencianegativa.

3. Es una restricción que no puede haber más de una secuencia en un circuito, salvo que hayaun error en la etiqueta de los conductores.

4. Transforme los elementos pasivos de ∆ Y según Z = Z∆/3.

5. Los elementos pasivos en Y o en Yn considérelos como si “n” (neutro) no estuviera.

6. Transforme las fuentes de tensión y corriente que estén en ∆ a Y sólo con relacionesfasoriales.

a) Si el sistema de fuentes ∆ estaba en sec(+), asegurar que el Y también lo esté.

b) La transformación de fuentes es independiente de la secuencia, pero es requisito quese mantenga antes y después de la transformación.

7. Si hay transformadores 3φ ver el grupo de conexión respectivo y deducir la razón detransformación en módulo y ángulo, expresando por su equivalente monofásico con larazón compleja de transformación.

8. En transformadores reales, considerar la reactancia de dispersión o de cortocircuito (amenos que se indique lo contrario). Normalmente no se ocupa la rama de magnetizaciónporque se supone que el transformador no está en vacío.

9. Tomar una fase como referencia y representar el circuito monofásico respectivo. Ayuda:No debiera quedar ninguna variable con doble índice.

10. Asegurarse que los puntos de potencial común, neutro o tierra se unan.

Ejemplo:

Considere un sistema trifásico balanceado como el de la figura 35 donde hay fuentes y cargasen delta y en estrella.

Lo que se busca es determinar el circuito equivalente por fase, el que se presenta en la figura36. Allí se mantuvieron los elementos de una de las fases que estaban en estrella, mientras que

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los que estaban en delta se transformaron a estrella y se repitió el procedimiento. La resolucióndel circuito pasa ahora por definir los valores de las fuentes y elementos pasivos, lo cual se dejapara el lector recordando las técnicas sistemas alternos monofásicos, donde la única salvedadadicional será considerar que la solución en las otras fases es la misma pero desfasada.

Figura 35: Circuito 3φ balanceado.

Figura 36: Circuito 1φ equivalente.

Note que los puntos de potencial común deben ser unidos, haya o no neutro en el circuitooriginal, de lo contrario se estará resolviendo otro problema.

6. Sistemas desbalanceados.

Tal como se mencionó anteriormente, los sistemas desbalanceados se caracterizaránprincipalmente por estar alimentados por fuentes balanceadas, donde los desbalancesserán producidos por los consumos o las cargas lineales1 distintas en cada fase.

1Cuya relación V/I=Z constante compleja, sino se agregan a nuestro análisis las armónicas de Fourier.

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Para resolver un sistema desbalanceado, considere los siguientes pasos y recomendaciones:

1. Siempre habrá que realizar LVK, LCK y LE en todo el circuito.

2. Se necesitará incluir dentro del sistema de ecuaciones la presencia matemática del neutro,lo cual implica, dentro de las ecuaciones tipo LI, un LVK de una fase al neutro y modificarel LCK en la sumatoria de corrientes en uno de los nodos.

3. Si no hay cable neutro las fuentes de tensión, aún en estrella, lo único simétrico queimpondrán son las tensiones de línea, por lo cual al determinar las tensiones de fase sedebe considerar el corrimiento que produce la caída de tensión entre neutros.

4. Es muy útil apoyar el resultado con el diagrama fasorial respectivo, donde en los casos sincable neutro mostrar la caída de tensión que ahí se llega a producir.

5. En casos de desbalances pequeños, como lo pueden ser los casos de fallas, resolveralternativamente por las técnicas de “Mallas de secuencia” o “componentes simétricas”.

6.1. Ejemplo de circuito desbalanceado.

Sea el circuito trifásico desbalanceado de la figura 37, donde las reactancias y resistencia valenla unidad (R = XL = XC = 1Ω) y las fuentes son de secuencia positiva de valor efectivo 10V .

++++

++

-jXC

jXL

R

Vb

Vc

Va

n m

Figura 37: Sistema 3φ desbalanceado.

En este problema se evaluarán todas las variables de interés donde además se observarán lasdiferencias entre unir o no los nodos m y n, expresando la corriente circulante o la diferencia depotencial según corresponda.

6.1.1. Sistema sin neutro (m separado de n).

Haciendo dos LVK y el LCK que nos dan ecuaciones LI, tenemos:

Va −Vb = Ia(−jXC)− Ib(R)

Vb −Vc = Ib(R)− Ic(jXL)

−Ic = Ia + Ib

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Resolviendo mejor un sistema de ecuaciones 2 × 2 que el sistema anterior (3 × 3) al considerarsólo las ecuaciones de tensión, eliminando la variable Ic que se despeja del LCK, se llega a: −j −1

j 1 + j

· Ia

Ib

=

10(1− a2)

10(a2 − a)

Obteniéndose así las corrientes de las tres fases y con las LE respectivas las caídas de tensiónen los elementos pasivos, donde se usó la variable compleja a = 1]120o para simplificar ladescripción de las tensiones fasoriales.

Ia = 8, 97]45o [A] Vxc = 8, 97]− 45o [V ]

Ib = 17, 32]− 120o [A] Vr = 17, 32]− 120o [V ]

Ic = 8, 97]75o [A] Vxl = 8, 97]165o [V ]

Finalmente calculando la caída de tensión entre los puntos m y n, o sea Vmn:

Vmn = Va − Ia(−jXC) = 7, 32]60o

Como se vislumbra precariamente en el sistema de ecuaciones, en las cargas lo único que lasfuentes imponen son las tensiones de línea, habiendo una acomodación de sus tensiones de fase.En un sistema trifásico balanceado, las tensiones de línea forman un triángulo equilátero, conlas tensiones de fase ubicadas desde los vértices del triángulo hacia su centro; en este caso comosolamente se mantienen las tensiones de línea, las de fase se ubican a una distancia Vmn delcentro del triángulo, lo cual se llama corrimiento del neutro o tensión de neutro, tal como seaprecia en la figura 38.

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a

b

c

Vab=17,3 30o

Va=10 0o

n

m

Vmn

Figura 38: Diagrama fasorial sistema trifásico desbalanceado.

Fórmula: Si se desea calcular de manera rápida la caída de tensión en el neutro, tensiónVmn, se puede usar la siguiente relación:

Vmn = VaYa + a2Yb + aYcYa + Yb + Yc

(4)

donde a = 1]120o , Ya,b,c son las admitancias equivalentes desde m a n de cada línea a,b y c, respectivas y en ese orden, del sistema trifásico. Esta fórmula se puede demostrarfácilmente al buscar el equivalente Thévenin y Norton entre los puntos m y n.

Particularmente se aprecia aplicando la ecuación (4) que la tensión de neutro para este ejemploes:

Vmn = 10j + a2 − jaj + 1− j

= 10 · 0, 732]60o [V ]

6.1.2. Sistema con neutro (m unido de n).

Considerando ahora que se unen los puntos m y n con un amperímetro (AN), tenemos que elproblema es relativamente mucho más fácil de resolver que el sin neutro, ya que basta hacer los

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LVK2 en cada una de las fases pasando por el conductor neutro, es decir:

Va = Ia(−jXC) Ia = 10−j = 10]90o [A]

Vb = Ib(R) Ib = 10a2

1 = 10]− 120o [A]

Vc = Ic(jXL) Ic = 10aj = 10]30o [A]

Note que el neutro produce que se impongan en cada elemento de una fase el valor de la tensiónde fase, por lo cual el diagrama fasorial de tensiones es simplemente un triángulo equiláteroformado por las tensiones de línea, donde las tensiones de fase ubicadas desde los vértices deltriángulo coinciden en su centro y por ende no hay corrimiento del neutro.

Finalmente, calculando la corriente del neutro:

(AN) = IN = Ia + Ib + Ic = 7, 32]60o [A]

2Con neutro hay tres ecuaciones de malla LI.

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7. Potencia trifásica.

Considere un sistema trifásico, no necesariamente balanceado, descrito desde terminales sólopor sus tensiones de fase: Va, Vb, Vc; sus tensiones de línea: Vab, Vbc, Vca y sus corrientes delínea: Ia, Ib e Ic, tal como se aprecian en la figura 39.

Figura 39: Sistema 3φ.

7.1. Potencia trifásica (S3φ)

Es la potencia que consume un circuito trifásico, la cual siempre puede entenderse como lapotencia individual consumida por cada fase respecto del potencial de neutro o tierra sinimportar si el sistema está balanceado o desbalanceado.

Por tanto se tiene:S3φ = Sa1φ + Sb1φ + Sc1φ (5)

es decir,S3φ = Va · I∗a + Vb · I∗b + Vc · I∗c (6)

Si el sistema es balanceado, lo que ocurra en cada fase será idéntico porque los desfases entrefases se anulan con la potencia al hacer el producto de la tensión con la corriente conjugada, esdecir, Sa1φ = Sb1φ = Sc1φ, con lo cual se tiene:

S3φ = 3VaI∗a = 3‖Va‖‖I∗a‖] θVa − θIa (7)

Donde se mantiene la importancia del conjugado de la corriente para representar el desfaserelativo entre tensión y corriente de una fase, dado por la impedancia que las relaciona pormedio de su ley elemental.

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Figura 40: Ángulo de potencia independiente de la fase si el sistema está balanceado

Si bien es cierto que la definición de la ecuación (7) es suficiente para nuestro fin, lo común enun sistema trifásico es especificarlo siempre en términos de la tensión línea, por esta razón sellega a la siguiente definición válida sólo para el módulo de la potencia:

‖S3φ‖ = 3‖Va‖ · ‖I∗a‖ =√

3 · ‖Vab‖ · ‖I∗a‖

Nunca use la definición fasorial con tensión de línea para la potencia trifásica, porqueerrará en el ángulo:

S3φ 6=√

3 ·Vab · I∗a =√

3 · ‖Vab‖ · ‖I∗a‖] θVab− θIa

Potencia aparente (3φ), balanceado o no.

S3φ = P3φ + jQ3φ = Sa1φ + Sb1φ + Sc1φ [V A]

Potencia aparente (3φ), cto. balanceado.

S3φ = 3 · P1φ + 3j ·Q1φ [V A]

Potencia activa (3φ), balanceado o no.

P3φ = P a1φ + P b1φ + P c1φ [W ]

Potencia reactiva (3φ), balanceado o no.

Q3φ = Qa1φ +Qb1φ +Qc1φ [V Ar]

Donde Q > 0 corresponde a potencias reactivas inductivas y Q < 0 para las capacitivas, tal cualocurría en el mundo monofásico.

7.2. Aspectos generales

Al igual que en los sistemas monofásicos la relación entre P y Q, junto con los elementosque modelan los fenómenos involucrados se mantienen igual para en el caso trifásico. Cuandoel sistema trifásico esté balanceado, el triángulo de potencias se escalará por 3, respecto delmonofásico (figura 42):

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j Las resistencias R son los elementos que por esencia disipan energía. Por ello las R es unelemento que modela un consumo real de potencia.

j Las reactancias X son los elementos ideales (asumidos sin pérdidas en su modelamiento)que acumulan la energía, la retienen para luego devolverlo. Por ello es que las reactanciasno consumen potencia real (activa), pero necesitan corriente y tensión lo cual tiene unefecto de ineficiencia bien entendida.

j Las resistencias consumen potencia activa o real P .

j Las reactancias consumen potencia reactiva o imaginaria Q.

Figura 41: Esquema potencia útil e inútil

Por tanto, en un sistema balanceado las potencias trifásicas son tres veces más grandes que lasmonofásicas, donde el ángulo φ se mantiene:

Im

Re

QL

P

Im

Re

QL3

P3

S3

S1

x3

Figura 42: Relación entre la potencia monofásica y trifásica por triángulos equivalentes

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Note que el ángulo φ es el mismo, porque es el ángulo de Z equivalente e idéntico en cadafase. Recuerde además, que en la transformación de impedancias balanceadas de estrellaa triángulo y triángulo a estrella, no hay cambio de ángulos en sus valores.

7.3. Factor de potencia.

La simetría entre los sistemas trifásicos balanceados con el monofásico, permite extrapolar ladefinición del factor de potencia.

El factor de potencia FP ó cos(φ) es la razón entre la potencia activa P con la potencia aparenteS. Es un valor adimensional que nos indica la eficiencia del sistema, bajo el supuestoque por diseño los SEP y las instalaciones desean transmitir potencia activa, que es la queverderamente se puede consumir, que a su vez usan sistemas que son predominantementereactivos en el transporte de energía, justamente para que no se pierda potencia activa.

Entonces:FP =

P3φ

‖S3φ‖= cos(φ) (8)

donde en un caso balanceado se tiene que:

FP =P3φ

‖S3φ‖=

P1φ

‖S1φ‖= cos(φ) = cos(θVi − θIi)

De esta forma es posible usar los conceptos de compensación del factor de potencia a potenciaactiva constante y resonancia cuando el factor de potencia se hace unitario.

Figura 43: Esquema de compensación del FP de un circuito monofásico equivalente de un sistema trifásico.

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Nota:La compensación del FP, tiene sentido real cuando el sistema trifásico es balanceado,salvo desbalances muy pequeños dado por asimetrías constructivas del sistema. Ejemplo:líneas de transmisión que no requieren transposición de fases por su corta longitud.

Un sistema trifásico desbalanceado (de forma muy gruesa como por ejemplo: en unafase una R, en la otra un C y en última un L) no tiene sentido práctico el ajustar suFP como sistema, porque en cada fase las relaciones entre tensión y corriente serándistintas y posiblemente muy complejas. Normalmente no se usa este concepto en circuitosdesbalanceados.

Al compensar, la única dificultad adicional que trae los sistemas trifásicos, será determinar siel compensador capacitivo o inductivo está conectado en estrella o en triángulo y por endedeterminar el valor de los parámetros no sólo en Ω, sino que también en F o en H, segúncorresponda.

7.3.1. Resonancia.

En un sistema trifásico equilibrado, la resonancia se entenderá por la compensación perfecta depotencia reactiva por elementos que sean acumuladores de energía complementarios, tal comolo son las inductancias con los capacitores y viceversa.

Es decir se puede entender la resonancia como:

FP = 1 =P3φ

‖S3φ‖

es decir:QL3φ = QC3φ

Un sistema trifásico no se construye para que tenga desbalances grandes, salvo casos teóricos ofallas, por lo cual este concepto no aplica directamente a sistemas desbalanceados, salvo que seindique lo contrario.

7.3.2. Ejemplo de compensación de factor de potencia.

Sea el sistema trifásico balanceado de la figura 44, el cual por inspección simple se aprecia quees del tipo R−L. En este problema se desea compensar su factor de potencia a 0, 90ind usandobanco capacitivo estrella y delta en paralelo, analizando diferencias y finalmente, analizar elcaso de la compensación serie, la cual para la mayoría de los casos es inviable3.

3Compensación serie, se suele aplicar en líneas de transmisión para aumentar la potencia máxima transferida, locual puede llegar a causar el problema denominado “resonancia subsincrónica” poniendo en riesgo la estabilidad delsistema.

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++++

++

R

Va2

a

aVa

Va

n m

jXL

jXL

jXL

R

R

Figura 44: Sistema trifásico balanceado a compensar su FP.

Respuesta:Para este ejemplo considere que sólo se conoce Va = 100]0o [V ] e Ia = 100] − 45o [A]. Noes necesario suponer nada sobre la secuencia del sistema, dado que en las otras líneas lastensiones están expresadas por el operador complejo a = 1]120o , por lo que si trabajamos ensecuencia positiva, tendrá que ser obvio que la tensión a2Va = Vb y aVa = Vc.

Calculando la potencia por fase Sa y la trifásica S3φ:

Sa = Va · I∗a = 10]45o [kV A]

S3φ = 3Sa = 30]45o = 21, 2 + j21, 2 [kV A]

donde el factor de potencia inicial es:

FPi = cos(45) = 0, 71ind

No es necesario, pero se determinará el valor de R y XL:

Z =‖Vab‖2

S∗3φ=

0, 1732

0, 030]− 45o= 1]45o = 0, 707 + j0, 707 [Ω]

Igualmente bastaba con hacer Va/Ia para llegar más rápido al mismo resultado, pero la primerafórmula empleada será más recurrente en sistemas trifásicos. Note que sin describir la conexiónque tenga la carga, Z representa al equivalente estrella o monofásico.

Es también interesante para comparar resultados, el determinar los valores de Rp y XLp delmodelo paralelo, porque a saber Z escrita en forma rectangular, trae implícito un equivalenteserie entre la resistencia y la reactancia.

Rp =‖Vab‖2

P3φ=

0, 1732

0, 0212= 1, 41 [Ω]

XLp =‖Vab‖2

−Q3φ=

0, 1732

−j0, 0212= j1, 41 [Ω]

Se puede corroborar que haciendo el paralelo entre la resistencia Rp y reactancia XLp se obtieneZ.

Z =j1, 41 · 1, 411, 41(1 + j)

= 1]45o [Ω]

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Nota:Es simple ver, cómo sería la conexión paralela entre Rp y XLp en el circuito equivalentemonofásico. En un sistema trifásico para lograrlo habrá que conectar un sistemaestrella de resistencias Rp a un nodo común por fase (no se refiere al neutro) con unsistema estrella XLp; luego, no será restricción que estén estos parámetros en estrellanecesariamente, pudiendo estar en delta si satisfacen la relación Z = Z∆/3 que hace quepotencia sea la misma independiente de la conexión... y por tanto, usar las combinacionesque se deseen (− , ∆−∆, −∆ y ∆− ).

Lo anterior se ilustra en las figuras 45 y 46.

++++

++

Rp

Va2

a

aVa

Va

n

m2

jXLp

jXLp

jXLp

Rp

Rp

m1

Figura 45: Sistema trifásico con impedancias modeladasen paralelo estrella.

++++

++

R 3px

Va2

a

aVa

Va

n

jXLp

jXLp

jXLp

R 3px

R 3px

m

Figura 46: Sistema trifásico con impedancias modeladasen paralelo estrella y delta.

Como se desea tener un factor de potencia final de FPf = 0, 90ind!]26o con P3φ constante,se tiene que en esta condición la potencia trifásica y reactiva trifásica finales serán:

S3φf =P3φ

FPf=

21, 20, 90

= 23, 6]26o = 21, 2 + j10, 3 [kV A]

Q3φf =P3φ

FPfsin(φ) = P3φ · tg(26o) = 10, 3[kV Ar]

Luego la potencia reactiva a compensar es:

Qcomp = Q3φf −Q3φi = 10, 3− 21, 2 = −10, 9 [kV Ar]

Donde el signo menos indica que es capacitivo el compensador.

En la figura 47 se presenta lo usual, donde el compensador capacitivo se ubica en paralelo ala carga que se desea compensar, no sólo por lo sencillo de implementar y conectar; tambiénporque las redes son de tensión constante con corriente adaptable al grado de demanda oconsumo.

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++++

++

R

Va2

a

aVa

Va

n m

jXL

jXL

jXL

R

R

m3

-jXC

-jXC

-jXC

Figura 47: Compensador conectado en paralelo.

De esta forma, calculando el valor de la reactancia :

XC =‖Vab‖2

Qcomp=

0, 1732

0, 0109= 2, 75 [Ω] C =

1XC100π

= 1, 16 [mF ]

Sería muy sencillo ahora saber cuál es el valor del compensador si conviene en su aplicación queesté en ∆, haciendo:

XC∆ = 3XC = 8, 26 [Ω] C∆ =1

XC∆100π= 386 [µF ]

donde se aprecia por la relación inversa entre la reactancia capacitiva y la capacidad que:

C∆ =C

3

mientras que en la inductancia y la resistencia, la relación entre su valor estrella y delta cumplenlo de costumbre:

L =L∆

3

R =R∆

3En caso que se hubiese señalado que el compensador debe estar en serie, figura 44, habráque considerar que su inclusión no sólo cambiará la impedancia equivalente, también lo haránla distribución de tensiones y corrientes. Por este motivo es que la mejor forma de analizarla compensación serie es por medio de las impedancias constantes y no por las potencias delsistema, entonces:

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++++

++

R

Va2

a

aVa

Va

n m

jXL

jXL

jXL

R

R

-jXComp

Figura 48: Compensador conectado en serie.

Zi =‖Vab‖2

S∗3φi=

0, 1732

0, 030]− 45o= 1]45o = 0, 707 + j0, 707 [Ω] = R+ jXLi

XLf = tg(26o) ·R = 0, 345 [Ω] Zf = 0, 707 + j0, 345 = 0, 787]26o [Ω]

Por tanto teniendo la reactancia inductiva final que se necesita para cumplir que el FPf =0, 90ind, se puede calcular la reactancia capacitiva serie que permite llegar a este valor, como:

Zcomp = jXLf − jXLi = j0, 345− j0, 707 = −j0, 362 [Ω]

cuyo signo negativo ratifica que el compensador necesario es capacitivo y por lo tanto el valorde la capacidad es:

Cserie =1

100πXcomp= 8, 79 [mF ]

Note que este caso cumple con el factor de potencia deseado 0, 9ind, pero la potencia aparentey activa aumentan porque al compensar la impedancia equivalente es menor y por lo tantoa tensión constante, mayor será la corriente que el sistema absorbe, por lo que se preferiríamantener la compensación paralela.

S3φf =‖Vab‖2

Z∗f=

1732

0, 787]− 26o= 38, 03]26o = 34, 18 + j16, 67 [kV A]

7.4. Impedancias trifásicas-monofásicas

En un sistema trifásico balanceado, a partir de los datos como tensión y potencia, es posibledeterminar rápidamente los valores de las impedancias del sistema monofásico equivalente,según4:

Z1φ =‖Va‖2

S∗1φ·√

32

3=‖Vab‖2

S∗3φ= Z (9)

La definición (9) se puede usar independientemente si la red está en triángulo o en estrella, conlo cual se puede trabajar directamente con su equivalente monofásico.

4Considere que las fases del sistema son a, b y c con lo que se definen las tensiones y corrientes.

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Recuerde:Esta definición puede ser utilizada con P3φ! R, y con Q3φ! X, pero hay que tenerclaridad que los parámetros obtenidos son a tensión constante o en equivalente paralelo.

Por otro lado, Z = Rs + jXs escrita en su forma rectangular, muestra implícitamentela descomposición serie entre resistencia y reactancia, que no son las mismas que las quese obtienen con P3φ y Q3φ a tensión Vab.

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8. Representación de sistemas por diagrama unifilar.

8.1. Alcances.

Desde el punto de vista práctico de construcción y de operación normal, los sistemas trifásicostrabajan de forma balanceada, por lo que siempre se mantiene la idea de su representación porcircuito monofásico equivalente. Esto ha llevado a que su representación simplificada sea pormedio de diagramas unifilares, que como su nombre lo indica en una línea quedan contenidaslas tres fases del circuito. Esto permite destacar características relevantes del sistema como:cantidad de circuitos, ubicación de nodos importantes, transformadores trifásicos y consumos.

Considerando además que los sistemas están diseñados para mantener en todos sus nodos unperfil de tensión casi constante, es decir, con variaciones de valor efectivo en torno al 5 %, es quese suele llamar a estos nodos como barras. Lo anterior es porque al recordar la ecuación potenciaángulo, la transmisión de potencia activa P3φ es principalmente por la diferencia de ángulosentre las tensiones de barras. El concepto de barras es por el uso recurrente de transformadoresen sistemas de potencia para la adaptación de los niveles de tensión según las necesidades, conlo cual se suelen distinguir en estos sistemas zonas definidas por el nivel de las tensiones debarra.

8.2. Representación.

A continuación se presentan a los elementos del sistema trifásico en su nueva representación.Note que para todos los casos las tensiones se especifican por variables de línea y la potenciapor su valor trifásico.

8.2.1. Generador.

Figura 49: Generador trifásico.

El generador trifásico es principalmente un arreglo de fuentes de tensión conectadas típicamenteen estrella con o sin neutro (lo cual se especifica), aunque siempre se indica el valor de su tensiónnominal de línea. Su denominado es Gi (Generador).Con los datos anteriores, queda a libertad del usuario es representar al generador en conexiónestrella o triángulo, salvo que se especifique directamente.El generador puede ser ideal o real.Ideal se llama cuando no tiene una impedancia serie de pérdidas (es decir, ZTh 0) caso quesuele darse en la práctica cuando el equivalente Thévenin de este generador es de un sistemamuy grande, en este caso al generador y su barra se le llama barra infinita. Real se llama cuando

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la fuente debe ser representada en serie a sus impedancias de pérdidas ZTh; esta impedanciano se da explícitamente en Ohm, sino que se expresa en función de la potencia de cortocircuitotrifásico a tensión nominal, que se estudiará en la sección siguiente.

El generador de barra infinita tiene por definición potencia de cortocircuito trifásico devalor infinito.La potencia de cortocircuito trifásico no es más que una forma elegante de hacer un ensayode cortocircuito o equivalente Norton.

8.2.2. Transformador.

Figura 50: Transformador trifásico (Existe otra representación a partir de círculos).

El transformador trifásico es un elemento que permite transferir casi sin pérdidas la potenciaactiva de un sistema desde un nivel de tensión a otro, típicamente denominado por TIi ó TRisegún sea ideal o real. Ideal es cuando sólo se le reconoce por su razón de transformación detensiones y corrientes, mientras que al real se le añade en serie las pérdidas de la resistencia delcobre y de la reactancia de dispersión equivalentes. En el transformador real no se consideranpara la mayoría de los estudios la rama paralelo del fierro, porque sus pérdidas son muy bajas;salvo que el transformador esté o se estudie en vacío.

Los datos típicos para especificar un transformador son: las tensiones nominales de línea,potencia aparente trifásica, grupo de conexión y pérdidas serie expresadas en por unidad (p.u.).

8.2.3. Línea.

Figura 51: Línea trifásica.

La línea trifásica son los elementos que unen dos barras o nodos expresadas por una impedanciaque típicamente es predominantemente reactiva inductiva. Normalmente se le llama como Lijdonde los subíndices i y j indican las barras donde están conectadas.

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Muchas veces el dato de la impedancia se entrega en por unidad de longitud, junto con esto seañade la capacidad térmica, es decir, la corriente máxima que puede pasar a través de ésta, peroexpresada en términos de potencia trifásica que considera en ambos extremos tensión nominal,siendo sencillo despejar el valor de la corriente.

8.2.4. Carga.

Figura 52: Carga trifásica.

La carga trifásica son los elementos que se conectan en estrella o en triángulo, tomandoenergía desde una barra a la tensión que ahí haya o se regule. Este elemento es el que en surepresentación monofásica equivalente queda con un extremo a tierra o al nodo común.Las cargas se especifican usualmente por la potencia trifásica en módulo y ángulo, o sino pormedio de su factor de potencia. Adicionalmente se añade la información sobre la forma en quese encuentra conectada.

Los tipos de carga que modelan procesos de consumos reales son:

j Impedancia constante: Se modela por una Z. Si bien se indica en función de la potenciaque consume, se tiene que para calcular su valor óhmico hay que considerar que trabaja atensión nominal.

j Potencia constante: Se asume una restricción que para el nivel de tensión que se fije siemprela corriente se adaptará.

j Corriente constante: Independiente de la tensión de la barra de conexión, la corriente queconsume será la misma.

8.2.5. Interruptor.

Figura 53: Interruptor trifásico.

Un interruptor trifásico es un elemento que permite desconectar simultáneamente las tres líneaso fases de un circuito. Es un elemento que por ahora será ideal, es decir, no tendrá pérdidas y suapertura-cierre será balanceada e instantánea.

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8.3. Ejemplo.

Considere un circuito trifásico expresado en términos unifilares. La idea será poder llevarlo a suexpresión trifásica, valga la redundancia: trifilar; para luego obtener su equivalente monofásicodada la consigna que éste está balanceado, salvo que se indique lo contrario.

G2

III IV

G1

I II

TR1

TR2

Figura 54: Ejemplo circuito trifásico unifilar.

Los datos que se disponen son:

1. G1: Generador, barra infinita 15kV .

2. G2: Generador, barra 15kV potencia de cortocircuito Scc = 100MVA inductiva pura.

3. TR1: Transformador real 110kV/15kV , potencia nominal 10MVA, reactancia decortocircuito 10 %, conexión Dy1.

4. TR2: Transformador real 110kV/15kV , potencia nominal 10MVA, impedancia decortocircuito 10 % razón X/R = 10, conexión Dy11.

5. LII−III : Línea de doble circuito de tensión 110kV , impedancia Z = j0, 05[Ω/km],l = 100km, capacidad térmica 15MVA.

6. CargaIII : Consumo de 20MVA a 110kV , FP = 0, 71ind modelo de impedancia constante.

Respuesta:Haciendo la representación trifásica del circuito, tal como se aprecia en la figura siguiente, seidentifican las barras y los elementos que lo componen:

I II

++++

++

TI1

1:k

k1

1|| ||>1

TI2

k

k2

2

:1

1|| ||>

III

ZL

ZL Zt2Zt1 IV ZG2 ++

++

++

Zcarga

G1 G2

Figura 55: Ejemplo circuito trifásico.

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Se aprecia que el generador de la barra I (G1) está compuesto solamente por las fuentes quedirectamente se conectaron en estrella, mientras que el generador de la barra IV (G2) serepresenta con las fuentes en serie con las impedancias de pérdidas ZG2. Por otro lado, lostransformadores reales trifásicos ubicados entre las barras I − II y III − IV se dejaron en suforma ideal en serie a sus pérdidas Zt1 y Zt2 cuya conexión interna queda almacenada en lasconstantes k1 y k2, destacando que los transformadores se ubicaron coherentemente respecto asus niveles de tensión con los otros elementos del sistema.

Entre las barras II − III se muestra la interconexión por medio de dos líneas trifásicas enparalelo definidas por el parámetro ZL, mientras que sólo en la barra II se muestra la cargamodelada como de impedancia constante Zcarga la cual como no se especifica nada en elenunciado, se conecta en estrella equivalente.

Antes de proseguir con la determinación de los parámetros, se muestra el circuito equivalentemonofásico que representa al sistema:

I II

++

TI1

1:k

k1

1|| ||>1

TI2

k

k2

2

:1

1|| ||>

III

ZL

ZL Zt2Zt1 IV ZG2 ++

Zcarga

G1 G2

Figura 56: Ejemplo circuito monofásico equivalente.

Según los datos, los valores de los parámetros se han de determinar como:

j ZG2 = j 152

100 = j2, 25 [Ω].

j Zt1BT = j 152

10 ·10100 = j2, 25 [Ω].

j k1 = 11015 ]1× 30o = 7, 33]30o .

j Zt1AT = 1102

10 ·10100]tg

−110o = 121]84o [Ω].

j k2 = 11015 ]11× 30o = 7, 33]− 30o .

j ZL = j0, 05× 100 = j5 [Ω].

j Zcarga = 1102

20 ]cos−10, 71o = 605]45o [Ω]

Finalmente, sujeto a la condición de operación se calculan los valores de las corrientes ytensiones en las distintas barras. Ejemplo: considere que el generador 1 se reguló a 16]0o [kV ],mientras que el generador 2 está funcionando a 15]20o [kV ], quedando al lector la resolucióndel problema5.

5Note que las tensiones que se especificaron son de línea y las representadas en el circuito son de fase.

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9. Potencias de cortocircuito.

Muchas veces en los sistemas de potencia, transmisión y distribución, por el gran tamaño delsistema se requiere tener de manera rápida un equivalente Thévenin o Norton en cierto lugar delcircuito para hacer algún análisis como por ejemplo: “Comportamiento/estabilidad del sistemaante un nuevo grupo de consumidores”.

Obtener estos circuitos equivalentes puede ser bastante complejo por el tamaño del sistema,pero como en el sistema se cuenta con la ventaja de:

1. Tener barras (nodos) con tensión aproximadamente constante en cuanto a su valorefectivo.

2. Disponer de herramientas de simulación de circuitos, donde se tiene toda la redpreviamente ingresada.

Se aplican los mismos principios de Thévenin y/o Norton, pero expresados en lo que se conocecomo potencia de cortocircuito.

9.1. Potencia de cortocircuito trifásico.

Sea un sistema trifásico6, donde se requiere conocer el equivalente en una barra específica.Para ello, se simula la ocurrencia de un cortocircuito trifásico a tensión nominal, donde el datoobtenido puede ser típicamente la potencia de cortocircuito Scc3φ o la corriente de cortocircuitoIcc, también conocida esta última como la corriente Norton IN .

Ambos datos Scc3φ e Icc, si bien entregan la misma información no son igualmente significativos.Icc no será un valor representativo desde el punto de vista de órdenes de magnitud, porque senecesitará siempre saber a que lado del transformador de potencia se hizo la simulación delcortocircuito y cuáles son los niveles de tensión que hay en el sistema. Por esta razón es que seprefiere el uso de Scc3φ, ya que es un valor invariante e independiente de los transformadores, ysólo se necesita saber la tensión equivalente en la barra o nodo donde se requiere el modelo.

Implícitamente se está señalando que el sistema está balanceado, donde la falla trifásicasimulada, mantiene el balance del circuito.

9.1.1. Modelado.

Conocidos Scc3φ y VLL (tensión línea línea) en la barra de interés, el equivalente Thévenin será:

ZTh =‖VLL‖2

S∗cc3φ= Z (10)

6Se puede aplicar esta definición a los sistemas monofásicos, pero con su potencia respectiva.

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Donde se aprecia que ZTh provee directamente del equivalente estrella y circuito monofásicopara analizar. Por otro lado la tensión VTh considerando el circuito monofásico equivalente será:

VTh =‖VLL‖√

3(11)

donde el ángulo de VTh se podrá asumir como cero, salvo que se especifique lo contrario o nose encuentren contradicciones con otras referencias.

Nota:La ecuación (10), implícitamente indica que Scc3φ debe ser entregado en módulo y enángulo. Muchas veces sólo se sabrá el módulo, por lo que el ángulo deberá ser estimado

por las características del sistema, que para este curso implicará saber la razónX

Rla cual

se suele considerar como infinita, es decir, sin pérdidas resistivas a menos que se diga locontrario. Otras formas serían conocer los factores de potencia involucrados.

9.1.2. Ejemplo.

Sea el sistema de potencia expresado unilinealmente en la figura 57:

Figura 57: Ejemplo.

Datos:

j VG1 = 13.800 [V ].

j SccI = 500 [MVA] con XR ∞.

j SccII = 450 [MVA] con XR ∞.

j SccIII = 200 [MVA] con XR 3.

j TR, Y Nyn0, de tensiones nominales 220/13, 8 [kV ].

Respuesta:La pregunta implícita es saber todos los parámetros del circuito, para ello se saben las potenciasde cortocircuito trifásicas en cada una de las barras, donde en cada simulación la tensión de lafuente se mantuvo constante (valor efectivo...es alterna!!!).

En efecto, sea ZGI la impedancia ubicada entre el generador y la barra I, esto debe ser así porquede lo contrario, al hacer el cortocircuito si no hubiera impedancia la corriente y la potenciatendería a infinito y sería por tanto una barra infinita.

ZGI = j13, 82

500= j0, 380[Ω]

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donde en sistemas trifásicos se sobrentiende que la tensión informada es línea-línea y al usar lastensiones en kV y las potencias en MVA ó MW ó MVAr, dimensionalmente kV 2/MV A darácomo resultado directamente Ω. Note también que como X

R ∞, directamente se indica queZGI es una reactancia pura.

Sea ZeqII la impedancia equivalente desde el generador hasta la barra II y sea ZI−II laimpedancia que hay entre la barra I y la II, entonces:

ZeqII = j13, 82

450= j0, 423[Ω]

Por lo cual se tiene que:ZI−II = j(0, 423− 0, 380) = j0, 043[Ω]

donde se puede inferir que ZI−II es la impedancia de cortocircuito por fase expresada en ellado de baja tensión del transformador real trifásico.

Finalmente, sea ZeqIII la impedancia equivalente desde el generador hasta la barra III y seaZII−III la impedancia que hay entre la barra II y la III, entonces:

ZeqIII =13, 82

200]]tg−13o = 0, 952]72o [Ω]

con lo cual:ZII−III = 0, 952]72o − j0, 423 = 0, 569]57o [Ω]

Si se aprecia que entre la barra II y III hay dos líneas y lo normal es asumir que son iguales,se puede obtener la impedancia de cada una de ellas al ponderar ZII−III por 0, 5.

Nota:Todas las impedancias calculadas están referidas al lado del generador, es decir, al de bajatensión del transformador real. Si se desea, con los datos del TR se pueden llevar todaslas impedancias al lado de alta tensión multiplicando por la razón de tensión al cuadrado.

Note que no es necesario saber mucho sobre el transformador TR para tener los valoresde las impedancias, incluso si el dato de VG1 se hubiese indicado que era directamente220kV , los resultados se habrían obtenido directamente en el lado de alta tensión.

9.2. Potencia de cortocircuito monofásico.

De los sistemas trifásicos balanceados se sabe que poco y nada influye la presencia del conductorneutro. Si se desea conocer la impedancia de este conductor o el dato de la impedancia delsistema de puesta a tierra, es que se procede a realizar este tipo de ensayo.

Las potencias de cortocircuito monofásicas Scc1φ se entiende que es un caso simulado enuna barra, donde el sistema trifásico balanceado se somete a una condición de desbalance

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que implica que en el circuito habrá una corriente circulante por el neutro y/o tierra queestará limitada por las impedancias de las líneas, generadores y transformadores (obtenidaspreviamente con los datos de potencia de cortocircuito trifásicas) y por la impedancia delneutro o tierra que se desea determinar.

En este caso es de mucha importancia el poder distinguir y diferenciar subsistemas conconexiones delta y estrella sin neutro, porque en estos subsistemas no habrá la circulación de lacorriente de falla.

Por tanto, la impedancia de neutro ZN (o tierra) se calculará como:

Z1 =‖VLL‖2

3S∗cc1φ(12)

ZN = Z1 − ZTh (13)

donde el factor 3 permite directamente transformar la tensión de línea a tensión de fase alcuadrado. ZTh es la impedancia equivalente del sistema trifásico (generador, transformadory línea) desde la fuente a la barra donde se hizo el cortocircuito.

9.2.1. Ejemplo.

Considere el problema de ejemplo del punto 9.1.2 donde se tiende como dato adicional que lapotencia de cortocircuito monofásica en la barra III son 50]72o [MVA].

Respuesta:Implícitamente el generador debe estar en estrella, conectado su neutro por medio de un cableque lo una al punto de falla o a tierra. Cuando se produce la falla monofásica, independiente decuál sea la fase donde se simula el cortocircuito, habrá una corriente que viaja desde la fuente(tensión de fase), limitada por la impedancia ZeqIII y la impedancia del cable ficticio o real queune el neutro del generador con el punto donde en la barra III donde se hace el cortocircuito.

Por tanto, la impedancia de falla será Zf1φ:

Zf1φ =13, 82

3 · 50]72o = 1, 270]72o [Ω]

Luego la impedancia de tierra o del neutro desde el punto de falla al neutro del generador será:

ZN = Zf1φ − ZeqIII = (1, 270− 0, 952)]72o = 0, 317]72o [Ω]

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10. Medición Potencia activa trifásica.

La medición de potencia activa requiere en primera instancia recordar el principio básicofuncionamiento del vatímetro/wattmetro, elemento de cuatro terminales donde por un par determinales toma medida de la tensión y por el otro par la corriente considerando su desfaserelativo.

10.1. Vatímetro - Wattmetro (W ).

El vatímetro mide en estricto rigor la parte real del producto de los fasores de tensión y corrienteconjugada, el cual tiene mucha semejanza con el producto punto o producto interior de dosvectores.

(W ) = <V · I∗ ≡ P = S · cos(φ) (14)

Nota:En los sistemas 1φ la lectura de (W ), es fácilmente interpretada como la potencia activadel sistema o de un subcircuito, dependiendo de donde se ubique el instrumento.

En los sistemas 3φ habrán múltiples formas de conectar uno o más (W ), pero en solamentealgunas combinaciones se podrán interpretar como potencia activa trifásica.

Como regla general, en un sistema trifásico la lectura de un (W ) debe ser acompañadapor un diagrama fasorial para mejorar la interpretación de los fasores de tensión ycorriente medidos.

Ejemplo: Si (W ) = 0, esto indica solamente que los fasores de tensión y corriente estánespacialmente a ±90o en el plano ω y no necesariamente que no hay resistencias en elcircuito o que no hay consumo de potencia activa.

Recuerde además que el uso de los amperímetros (A) y voltímetros (V ) son independientes si elsistema es o no trifásico, siguiendo las mismas reglas de conexión, midiendo el valor efectivo dela variable y no su ángulo.

10.2. Corolario - Vármetro (V Ar).

Como corolario y contraparte al vatímetro se tiene el vármetro, el cual mide potencia reactivasin especificar signo (capacitiva o inductiva), aunque en sistemas trifásicos sólo se puede decirque mide la parte imaginaria del producto de los fasores de tensión y corriente conjugada.

(V Ar) = =V · I∗ = Q = S · sin(φ) (15)

Pues bien, matemáticamente todas las formas que se muestran a continuación para medirla potencia activa trifásica, serán homologables a potencia reactiva trifásica si se siguenlos esquemas de conexión y aplican restricciones.

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10.3. Sistema de los 3(W ).

El sistema de tres vatímetros permite medir potencia activa trifásica ya sea para un sistemabalanceado como desbalanceado. Dado que se necesitarán tres vatímetros habrá que sumar lalectura parcial de cada uno de ellos para obtener el valor de P3φ, lo cual además requiere quela polaridad (puntos) de los vatímetros sea la misma, sino considerar el signo relativo.

a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3

W1

W2

W3

Figura 58: Sistema de los 3 vatímetros

De la figura se aprecia que los segundos terminales de tensión de cada vatímetro se unen comosi formaran una conexión estrella, esta conexión se le llama neutro artificial y su interconexióncon el neutro de la fuente (si es que están en estrella) o con el neutro de las cargas (si es queestán en estrella) cambiará las tensiones que los instrumentos miden, principalmente cuando elsistema presenta desbalances. De este modo se tiene:

(W1) + (W2) + (W3) ≡ P3φ = P a1φ + P b1φ + P c1φ (16)

donde:

(W1) = <Va · I∗a = VaIa · cos(φa) ≡ P a1φ (17)

(W2) = <Vb · I∗b = VbIb · cos(φb) ≡ P b1φ (18)

(W3) = <Vc · I∗c = VcIc · cos(φc) ≡ P c1φ (19)

En los casos balanceados, se puede demostrar con facilidad que P3φ = 3(W1), pudiendo usarsolamente 1 (W ) para este fin, aunque será necesario disponer del neutro para la entrada detensión. ¿Cómo lo haría si hubiera una carga en delta balanceado?

En los casos desbalanceados la medición con los 3(W ) tendrá sus diferencias si el sistematiene o no cable neutro y si éste se une con el neutro artificial de los vatímetros.

10.4. Sistema de los 2(W ).

El sistema de dos vatímetros o Aaron permite medir potencia activa trifásica ya sea para unsistema trifásico balanceado o desbalanceado, tiene la ventaja de ahorrar en un instrumento y

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prescindir del neutro artificial y lo especial que puede ser su conexión con el neutro de la cargao fuente.

a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3

W1

W2

Figura 59: Sistema de los 2 vatímetros o Aaron

De este modo se tiene:

(W1) + (W2) ≡ P3φ = <Vab · I∗a+ <Vcb · I∗c (20)

Luego, desarrollando la expresión (20), tenemos:

P3φ = (W1) + (W2) = <Va · I∗a+ <Vc · I∗c − <Vb · (I∗a + I∗c)

P3φ = (W1) + (W2) = <Va · I∗a+ <Vc · I∗c − <

Vb · (I∗a + I∗c + I∗b︸︷︷︸=0

−I∗b)

P3φ = (W1) + (W2) = <Va · I∗a+ <Vc · I∗c+ <Vb · I∗b

En los casos desbalanceados se requerirá que no haya neutro para poder interpretar la lecturade los dos vatímetros como P3φ. Además se requiere que la polaridad de los vatímetros sea lamisma.

Nota: La condición:Ia + Ib + Ic = 0

en un sistema trifásico balanceado se cumple siempre, simplemente por la simetría de lascorrientes que sumadas fasorialmente forman un polígono cerrado (triángulo equilátero).Ahora bien, en un sistema desbalanceado, se requerirá que no haya neutro para garantizarla restricción anterior.

Aún en los sistemas balanceados y si bien la lectura (W1) + (W2) = P3φ, NOnecesariamente las lecturas de (W1) y (W2) serán iguales, incluso alguna de las lecturaspodrá ser negativa. Desde el punto de vista práctico con vatímetros de rango positivo,cuando se obtiene una lectura negativa, se debe cambiar una de las polaridades delvatímetro en cuestión (tensión o corriente) y restar su lectura a la del otro instrumentopara obtener la potencia trifásica.

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10.5. Uso de transformadores de medida.

Para la gran mayoría de los casos teóricos basta con ubicar dentro de un circuito apropiadamentelos voltímetros (V ), amperímetros (A) y vatímetros (W ) para obtener o dar la informaciónsobre la variable tensión, corriente o potencia activa, respectiva en términos sólo de sus valoresefectivos y con ello poder determinar el modelo de un circuito, como lo es el valor en módulo yángulo de una impedancia, por ejemplo el de un transformador ensayado en vacío.

Pues bien, no siempre será posible conectar tales elementos de medición a un circuito,principalmente porque la gama de rangos en los instrumentos está limitada a las corrientes ytensiones que puede manejar de forma segura. Esta dificultad se soluciona con la incorporaciónde transformadores de medida en el circuito principal, reduciendo las tensiones y corrientes demedida antes de hacerlas llegar al instrumental.

Transformador de medida:Para efectos del ramo, será entendido como un transformador casi ideal que posee una razónde transformación conocida, capaz de soportar las corrientes y tensiones del circuito de interésy en cuyos secundarios se conectan los instrumentos de precisión, que por otra parte pecan deser delicados, costosos y de rango acotado.

Lema:Siempre será más barato y sencillo cambiar o ajustar el transformador de medida que elinstrumento de precisión.

Los transformadores de medida tienen sus salidas (secundario) normalizadas a un únicovalor que coincide con el del instrumento a plena escala. Por otra parte para el ajuste, lostransformadores de medida tienen múltiples taps o derivaciones en el lado primario locual permite modificar porcentualmente la razón de transformación.

Ejemplo de un transformador de corriente: Primario (alta corriente) 500−300−100−50−10− 5[A]; secundario o salida 5[A].

Los tipos de transformadores de medida son:

j Transformador de potencial (TP ): Transformador casi ideal que cumple con la relación:

V1

V2=N1

N2= nTP

Este transformador debe conectarse en paralelo a la tensión a medir, cuya función esreducir la tensión del circuito para la medición. Si bien es un transformador y puedetransformar también corriente, para efectos de la medición ésta tendrá un error mayor,tanto en módulo como de ángulo.Por otra parte, el TP tiene la aislación necesaria para trabajar de forma segura, aunquepor ningún motivo debe quedar el secundario en cortocircuito cuando está conectado.

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j Transformador de corriente (TC): Transformador casi ideal que cumple con la relación:

I1

I2=N2

N1=

1nTC

Este transformador debe conectarse en serie a la corriente a medir, cuya función es reducirla corriente del circuito para la medición. Muchas veces será casi imposible abrir uncircuito principal para colocar el transformador de medida en serie (trate de detener lacorriente de una línea predominantemente inductiva por la que circulan 3.000A!!!), porlo que se tiene la opción de usar TC del tipo tenaza, el cual sin interrumpir el circuitoprincipal, se coloca en entorno al conductor y por enlace flujo de campo magnético mideuna corriente proporcional.Si bien es un transformador y puede medir tensión, la mide con un mayor error. Por ningúnmotivo debe quedar el secundario de un TC en vacío, sobre todo cuando se coloca y sacael instrumento, salvo el de tenaza.

El uso del TP será para ayudar/reducir a la medida de tensión de voltímetros (V ) y la entradade tensión de vatímetros (W ), mientras que los TC servirán para ayudar/reducir a la mediciónde corriente de los amperímetros y bobina de corriente de los vatímetros.

a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3

W2

W1

TC

TC

TP

TP

Figura 60: Sistema de los 2 vatímetros o Aaron con TP y TC.

Entonces la lectura de los vatímetros será:

(W1) + (W2) = <

Vab

nTP· I∗anTC

+ <

Vcb

nTP· I∗cnTC

=

P3φ

nTP · nTC

Recuerde que por ser transformadores, éstos tienen puntos de polaridad que deberrespetarse sobre todo en vatímetros.

Muchas veces por la separación física entre el sistema de potencia y el instrumentaltípicamente ubicado en salas de medición, es que el segundo terminal del secundariode los transformadores de medida de los instrumentos se conectan a tierra.

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a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3

W2

W1

TC

TC

TP

TP

Figura 61: Sistema de los 2 vatímetros o Aaron con TP y TC.

10.6. Ejemplos.

Sean los circuitos de la figura 62, cuyos valores de las variables de tensión y corriente por fasefueron determinados oportunamente en la sección 6.1 (“Ejemplo de circuito desbalanceado”).Se desea calcular las lecturas de los vatímetros cuando hay y no hay neutro.

++++

++

-jXC

jXL

R

Vb

Vc

Va

n mW2

W3

W1

++++

++

-jXC

jXL

R

Vb

Vc

Va

n m

W5

W4

Figura 62: Cálculo de la potencia medida por vatímetros.

10.6.1. Sin neutro (m y n separados)

Considerando que los tres vatímetros generan un neutro virtual que se conecta a tierra uniéndoloal punto n, se aprecia que la tensión que cae en cada instrumento es la de fase de la fuenterespectiva, así tendremos que:

(W1) = <VaI∗a = <89, 7]− 45o

(W2) = <VbI∗b = <173, 2]0o

(W3) = <VcI∗c = <89, 7]45o

(W1) + (W2) + (W3) = 300[W ]

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Por otra parte los dos vatímetros dan:

(W4) = <VabI∗a = <89, 7√

3]− 15o

(W5) = <VcbI∗c = <89, 7√

3]15o

(W4) + (W5) = 300[W ]

Considere que en la medición con los tres vatímetros su neutro artificial une al punto m, con ellolos potenciales que miden son los de las cargas respectivamente, con esto se tiene:

(W1′) = <VxcI∗a = <8, 972]− 90o

(W2′) = <VrI∗b = <17, 322]0o

(W3′) = <VxlI∗c = <8, 972]90o

(W1′) + (W2′) + (W3′) = 17, 322 = 300[W ]

Lo cual demuestra que la configuración de vatímetros permite la medición de la potenciatrifásica, independiente del potencial usado dado que son los ángulos relativos de las tensionesy sus corrientes los encargados de “ajustarse” para tener la misma potencia leída.

Note:Sólo por concepto, el único elemento que consume potencia activa es la resistenciaR = 1Ω, por lo cual la potencia trifásica tiene que ser la que consume ese elemento,es decir:

P3φ = ‖Ib‖2 ·R = 300[W ]

10.6.2. Con neutro (m y n unidos)

Considerando que el neutro virtual se une al neutro, que a su vez hace que el mismo potencialde fase de las fuentes sea el de las cargas, se tiene que:

(W1) = <VaI∗a = <100]− 90o

(W2) = <VbI∗b = <100]0o

(W3) = <VcI∗c = <100]90o

(W1) + (W2) + (W3) = 100[W ]

Por otra parte los dos vatímetros dan:

(W4) = <VabI∗a = <100√

3]− 60o

(W5) = <VcbI∗c = <100√

3]60o

(W4) + (W5) = 100√

3[W ]

Note que en la configuración de los dos vatímetros no se está cumpliendo que la suma de lascorrientes de las tres fases debe ser cero, pues bien está la corriente del neutro de 7, 3[A].

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Conceptualmente, la potencia activa trifásica es la que disipa la resistencia:

P3φ = ‖Ib‖2 ·R = 100[W ]

10.6.3. Comentario.

Note que para un mismo circuito, el cambio entre tener o no neutro cambia la distribución delas tensiones y las corrientes en las cargas, y por tanto las potencias disipadas. Además se pudover la influencia del neutro en los métodos de medición por vatímetros con neutro artificial.

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11. Transformador trifásico.

El transformador trifásico es un transformador ya sea ideal o real7, cuya relación detransformación es compleja y se denomina k8. Esta es la diferencia principal que tendráel transformador trifásico respecto a uno monofásico, sobretodo porque en apariencia seránidénticos al trabajar con el equivalente monofásico.

11.1. Definiciones.

Sea un sistema trifásico balanceado o desbalanceado con un transformador trifásico ideal, dondelas tensiones y corrientes del lado del alta tensión relativas al transformador se definen conmayúsculas según el nombre de las tres fases, ejemplo: fases A, B y C; tensiones VA, VB,VC ; corrientes IA, IB, IC . Mientras, las tensiones y corrientes del lado de baja tensión sondenominadas con minúsculas según: tensiones Va, Vb, Vc y corrientes Ia, Ib, Ic.

a

b

c

Vab

VC

VB

Va

Ia

TI3

k:1

|| ||>k 1

Ib

Ic

IB

IC

IA

Vc

VA

Vb

VAB

A

B

C

Figura 63: Transformador trifásico.

Entonces, se tendrán las siguientes relaciones de transformación:

k =VA

Va=

VB

Vb=

VC

Vc=

VAB

Vab(21)

1k∗

=IAIa

=IBIb

=ICIc

(22)

donde las relaciones anteriores, tienen implícita la condición que la potencia transferida de unlado a otro del transformador no cambia (transformador ideal), es decir por fase:

S1φ = VA · I∗A = (Vak) · (Ia/k∗)∗ = Va · I∗a7Ideal + arreglo de impedancias serie de pérdidas de cobre y flujo de dispersión; y cuando se requiere, + arreglo

paralelo de impedancias de magnetización y fierro8Recuerde que antes era simplemente n.

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Nota:Hay una importante semejanza de las relaciones anteriores con la teoría de transformadormonofásico que usa la razón de vueltas n = N1

N2, en vez de la razón de transformación k,

que en algunos casos coinciden.

Considere para un sistema trifásico balanceado con transformador trifásico, el uso del circuitoequivalente por fase de la fase A y a. Para reflejar una impedancia desde el lado de baja tensión(ZBT ) al de alta tensión (ZAT ) y viceversa tendremos:

ZBT =Va

Ia=

VA/k

IAk∗=

1‖k‖2

VA

IA=ZAT

‖k‖2 ‖k‖2 =

ZAT

ZBT(23)

Dado que se utilizó la tensión de fase y la corriente de línea, se dejó explícito que en la ecuación(23) se estaba considerando la impedancia equivalente , lo cual no exime de aplicación paralas impedancias en ∆.

11.2. Conociendo al transformador trifásico desde el monofásico.

Considere que un transformador trifásico ideal es un arreglo de tres transformadoresmonofásicos ideales idénticos con razón de vueltas n.

T.I.

n:1

Va

Ia

VA

IA

VA

IA

T.I.

n:1

Vb

IbIB

VB T.I.

n:1

Vc

Ic

VC

IC

Figura 64: Transformador trifásico como arreglo de tres monofásicos.

Tal como se aprecia en la figura 64, en el lado de alta tensión se disponen 6 terminales y otros 6en el lado de baja tensión, por lo cual básicamente se pueden hacer las siguientes combinacionesde conexiones sin unir eléctricamente el lado AT , con el BT :

1. AT en Estrella ⇐⇒ BT en Estrella (Y y).

2. AT en Estrella ⇐⇒ BT en Delta ∆ (Y d).

3. AT en Delta ∆⇐⇒ BT en Delta ∆ (Dd).

4. AT en Delta ∆⇐⇒ BT en Estrella (Dy).

donde la conexión usada o elegida para cada lado del transformador se denominará por lasletras “y” e “Y ” para las conexiones estrella ó “d” y “D” para las conexiones delta. Siempre semantiene que para el lado de alta tensión se usarán letras mayúsculas y para el lado de bajatensión minúsculas.

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Algunas veces cuando se requiere, se agrega la información a las conexiones estrellacuando tienen conductor neutro, colocando luego de la “y” o “Y ” una “n” o “N”.Ejemplos: Y Nd, Dyn, Y Nyn.

En la figura 65 se aprecia la construcción de un transformador trifásico propiamente tal,mientras que en la figura 66 se muestran tres transformadores monofásicos de la central Rapelque en su conjunto operan como uno trifásico.

Figura 65: Construcción de un transformador trifásico.

Figura 66: Transformador trifásico como arreglo de tresmonofásicos.

11.3. Conexiones de transformadores y origen de k.

Aún cuando en un transformador trifásico hayan seis bobinas en un mismo núcleo, el flujo seráindependiente para cada fase o par de bobinas que estén alojadas o montadas en una mismapierna magnética.9 Note que por alimentar al transformador con un sistema trifásico balanceadode tensiones que por definición están desfasados ]120o , ocasionarán que los fasores de flujotambién10, y como el flujo se comporta como corriente al recorrer el circuito magnético queprovee el núcleo; al hacer la sumatoria de flujos en los yugos, culata o nodo magnético (LCKmagnético), esta suma será nula implicando que por cada pierna no habrá acoplamiento, salvocapacitivo que no se estudia en este curso.

Por este motivo se analizarán tres casos “tipo” de configuraciones monofásicas que dan origen alconcepto del transformador trifásico y que a su vez son lo suficientemente generales para evaluary extrapolar cualquier otra. Previamente, se modificará el esquema presentado en la figura 64por el de la figura 67 donde se aprecia el origen del acoplamiento inductivo, resaltando queeste acoplamiento es independiente para cada fase, con lo cual se usarán símbolos diferentes quedenotan la inductancia mutua de cada fase (F, y •).

9Pierna magnética: según figura, elemento metálico magnético dispuesto verticalmente donde se alojan dosbobinas, también llamadas columnas.

10Parecido a la ley del elemento de la inductancia.

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Nota: En el esquema de la figura 67, se deja explícito que la razón de vueltas del grupode bobinas para cada fase, que conformará el transformador trifásico es n = N1/N2. Noobstante, según la conexión que se realice aparecerá la relación de transformación detensiones y corrientes k.

Ia

V V

n:1

IAIA

IB

IC

Ib

Ic

Figura 67: Transformador trifásico como arreglo de tres monofásicos.

11.3.1. Transformador ideal estrella-delta.

Sea el grupo de tres transformadores monofásicos o uno trifásico por construcción, el cual seconecta su lado de alta tensión (bobinado de mayor número de vueltas N1) en estrella y su ladode baja tensión (bobinado de menor número de vueltas N2) en delta, tal como se muestra en lafigura 68.

Ia

VA Vac

IAIA

IB

IC

Ib

Ic

n:1

A

B

C

a

b

c

Figura 68: Transformador trifásico Y d.

Como punto de partida, se invoca el principio de transformación de tensiones y corrientes deltrasformador ideal monofásico, es decir, de los bobinados acoplados cuya indicación se da pormedio de los símbolos F, y •. Es de suma importancia destacar que el acoplamiento cada depar de bobinas de alta y baja tensión no tiene relación con la etiqueta del terminal, es decir,perfectamente se puede dar que la bobina de alta ubicada en la fase A esté acoplada con la debaja tensión que se ubicó en la fase b y de ahí la importancia de tener símbolos de acoplamientodistintos.

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La construcción de un transformador trifásico en cuanto a la disposición de sus bobinas yacoplamientos es sumamente estándar y normado, por lo que en la práctica cambiando elrotulado de las fases se pueden lograr diferencias angulares en k.

De esta forma lo único que se puede asegurar es que la tensión VA está en fase y relacionada pormedio de la razón de vueltas con Vac por las referencias dadas, y con el resto de las tensionessegún:

VA

Vac=

VB

Vba=

VC

Vcb= n =

N1

N2

Recordando que en un TI cuando una corriente entra por un punto de acoplamiento, mientrasque la otra corriente sale, su relación de transformación estará dada por n. Usando la notaciónde doble índice para las corrientes del lado delta tendremos que:

IAIca

=IBIab

=ICIbc

=1n

La relación que interesa en un TI3φ será siempre desde los terminales del mismo rótulo, dejandoimplícito lo que sucede con las variables internas como las del delta. Por esto es que al relacionarlas tensiones de línea de alta y baja tensión de igual índice tendremos en este caso que:

n =VA

Vac=

VAC/(√

3]− 30o )Vac

Con lo cual se define la razón de transformación k para este caso como:

k = n(√

3]− 30o ) =N1

N2(√

3]− 30o ) =VAC

Vac=

VBA

Vba=

VCB

Vcb

Este valor de k también se puede obtener al relacionar las tensiones de fase alta y baja tensióndel mismo índice:

n =VA

Vac=

VA

Va(√

3]− 30o )

Por lo tanto:k = n(

√3]− 30o ) =

N1

N2(√

3]− 30o ) =VA

Va=

VB

Vb=

VC

Vc

Acerca de n en un transformador 3φ:

En un transformador 3φ, la mayoría de las veces no se requiere saber n, no estando nisiquiera informado en la placa. Por tanto, se trabaja directamente con k, cuyo módulo seobtiene desde las tensiones de línea entre de alta y baja tensión. Lo anterior se puede veren las figuras 69 y 70.

Buscando la relación entre las corrientes línea de los lados de alta y baja tensión de igual índice:

1n

=IAIca

=IA

Ia/(√

3]30o )

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dado que con las tensiones ya se definió k, la única opción que queda para ser coherente con lascorrientes es aplicar su conjugado:

1k∗

=1

n(√

3]30o )=N2

N1

1(√

3]30o )=

IAIa

=IBIb

=ICIc

=ICAIca

=IABIab

=IBCIbc

Figura 69: Placa de transformador trifásico(En el lado de AT, se aprecian %s de la tensión nominal, los cuales son producto de pequeñas derivacionesque tiene este bobinado para hacer ajustes o regulaciones en la tensión según necesidad).

11.3.2. Transformador ideal estrella-estrella.

Sea el grupo de tres transformadores monofásicos o uno trifásico por construcción, el cual seconecta su lado de alta tensión (bobinado de mayor número de vueltas N1) y su lado de bajatensión (bobinado de menor número de vueltas N2) en estrella, tal como se muestra en la figura71.

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Figura 70: Placa de transformador trifásico.

Ia

VA Va

n:1

IAIA

IB

IC

Ib

Ic

A

B

C

a

b

c

Figura 71: Transformador trifásico Y y.

Fácilmente se aprecia que las tensiones de fase están relacionadas por la razón de vueltas n ypor simetría también lo están las tensiones de línea, con lo que k coincide con n, siendo sólo uncaso particular:

k = n =N1

N2=

VA

Va=

VB

Vb=

VC

Vc=

VAB

Vab=

VBC

Vbc=

VCA

Vca

del mismo modo es fácil demostrar la relación de las corrientes, notando que al ser k = n unnúmero real, no tiene mayor importancia el conjugarlo, aunque se realiza tal operación paramantener su generalidad con otros casos:

1k∗

=1n

=N2

N1=

IAIa

=IBIb

=ICIc

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Suponga que los terminales del lado de baja tensión se renombran según: Antes a− b− c,después b′ − c′ − a′. Por lo cual al relacionar la tensión VA con Va′ se tiene:

n =VA

Vb′

VA

Va′= n]− 120o = k

Por tanto, al considerar un nuevo rotulado en las fases aparece en k una nueva relaciónangular que coincide con el desfase de las tensiones entre A y a′, lo cual es independientede si existe o no acoplamiento magnético en esas fases. La misma conclusión se puedeobtener con las corrientes.

11.3.3. Transformador ideal delta-delta.

Sea el grupo de tres transformadores monofásicos o uno trifásico por construcción, el cual seconecta su lado de alta tensión (bobinado de mayor número de vueltas N1) y su lado de bajatensión (bobinado de menor número de vueltas N2) en delta, tal como se muestra en la figura72.

Ia

VAB Vac

n:1

IAIA

IB

IC

Ib

Ic

A

B

C

a

b

c

Figura 72: Transformador trifásico Dd.

En principio las conexiones estrella-estrella y delta-delta no tienen mucha complejidad dadoque el módulo de k coincide con n y sus ángulos posibles serán 0o, 120o y 240o según cómo sedefinan los terminales. En este caso particular, las conexiones delta-delta tienen un grado delibertad adicional que no lo tienen las conexiones estrella-estrella, que es el sentido en que sehace la conexión delta.

Se aprecia que por la conexión en el lado de alta tensión, la primera bobina (de arriba haciaabajo) se encuentra a potencial VAB, mientras que la bobina del lado de baja tensión acopladaestá a potencial Vac, entonces:

n =VAB

Vac

VAB

Vba= n]120o

VAB

Vab= n]− 60o = k

Lo anterior se aprecia en el siguiente diagrama fasorial, donde se aprecian con los mismoscolores y fases los fasores con acoplamiento inductivo relacionado con n y por otra parte larelación angular entre los fasores de igual índice, por ejemplo: VAB y Vab; los cuales definen k.

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Vcb

Vac

Vab

VCA

VAB

VBC

Vba

Figura 73: Diagrama fasorial de transformador trifásico Dd, según los terminales asignados, donde la diferencia demódulos entre VAB y Vac es n.

11.4. Reloj de conexiones y ángulos.

A partir de los casos anteriormente ilustrados, se pudo concluir la importancia de la razón detransformación k, la cual se obtiene rápidamente desde los datos de placa al hacer el cuocienteentre las tensiones de línea de alta sobre baja tensión. Ahora bien, k tiene un ángulo querepresenta el desfase entre las tensiones y corrientes vistos desde terminales del mismo índice.

Nomenclatura del reloj:Sea un reloj numerado equiespaciadamente desde el 0 al 11, el cual será usado para definir elángulo de k. Para ello tome siempre un fasor de tensión del lado AT colocándolo en la posición0, por ejemplo VA; luego dibujando en fase (con paralelismo) los fasores de tensión acopladosrespetando su rotulado, se ubica en el reloj el fasor de tensión del lado de BT con el mismoíndice que el de AT , en este caso Va y por lo tanto el número correspondiente en el relojindicará el número de conexión.

Esta definición se puede analizar en el sentido opuesto, sea un transformador cuyaconexión le corresponde un número dado, entonces el ángulo de k será tal númeromultiplicado por 30o, es decir, queda directamente definido el desfase entre VA y Va

ó VAB y Vab.Cada vez que se especifique un TI3φ según su grupo de conexión, deberá acompañarsepor el número de la conexión, ejemplos:Yy0, Dy1, YNd5, etc.

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En los casos que se analizaron anteriormente podemos decir que:

Transformador ideal estrella-delta: ]k = −30o = 330o entonces el transformador es Y d11.A continuación se presenta el reloj fasorial donde se dejaron de igual color los fasores detensión que están en fase, producto de estar asociados a bobinas acopladas.

0

111

10 2

39

8

7

6

5

4

VA

BC

VA

a

c

b

Vac

Va

Va A

Figura 74: Reloj fasorial de transformador 3φ Y d11.

Transformador ideal estrella-estrella: ]k = 0o entonces el transformador es Y y0.A continuación se presenta el reloj fasorial donde se dejaron de igual color los fasores detensión que están en fase, producto de estar asociados a bobinas acopladas.

0

111

10 2

39

8

7

6

5

4

VA

B

C

VA

a

c

b

Va

Va

A

Figura 75: Reloj fasorial de transformador 3φ Y y0.

Transformador ideal estrella-estrella: ]k = −120o = 240o entonces el transformador es Y y8.A continuación se presenta el reloj fasorial donde se dejaron de igual color los fasores detensión que están en fase, producto de estar asociados a bobinas acopladas.

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U T F S M

0

111

10 2

39

8

7

6

5

4

VA

B

C

VA

b`

a`

c`

Va

Va

A

Figura 76: Reloj fasorial de transformador 3φ Y y8.

Transformador ideal delta-delta: ]k = −60o = 300o entonces el transformador es Dd10.A continuación se presenta el reloj fasorial donde se dejaron de igual color los fasores detensión que están en fase, producto de estar asociados a bobinas acopladas.

0

111

10 2

39

8

7

6

5

4

VA

BC

VA

a

c

b

VABV

a

Va

A

Vac

Figura 77: Reloj fasorial de transformador 3φ Dd10.

Dados los grupos de conexión ya sean estrella-estrella, delta-delta, estrella-delta y delta-estrella, junto con que siempre habrán tres pares de bobinas acopladas, tendremos quefísica y eléctricamente no se podrán obtener todos los números de reloj para k.

Por ejemplo, no existen: Y y1, Dy0.

11.5. Modelos del transformador real (TR).

Un transformador ya sea trifásico como monofásico, deja de ser ideal cuando se le coloca enserie o en cascada un arreglo de elementos que para este curso son resistencias e inductancias

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que representan las pérdidas del cobre (Rcu) del bobinado primario y secundario, las pérdidasmagnéticas por enlace de flujo imperfecto del par de bobinas acopladas (Lσ o Xσ), pérdidas delfierro por calentamiento ya sea por histéresis y corrientes parásitas (Rfe) y pérdidas del núcleo(Lm ó Xm); destacando que en la práctica éstos elementos son internos, teniéndose sólo accesoa los terminales del transformador.

Para efectos de estudio se analizarán los modelos del transformador trifásico, considerando sucircuito equivalente por fase, típicamente el asociado al terminal A y a.

11.5.1. Modelo ideal (TI):

modelo sin pérdidas que sirve de punto inicial para análisis, cuyas variables a utilizar son VA,Va, IA e Ia relacionadas por:

k =VA

Va=(

IaIA

)∗

TI

k

k

:1

1|| ||>

Va

Ia

VA

IA

VA

IA

Figura 78: Modelo ideal del transformador, circuito equivalente por fase.

11.5.2. Modelo completo.

Modelo que representa todos los fenómenos de pérdidas del transformador, para ello de disponede un TI en cascada a las pérdidas.

Note que en los terminales del TI (al interior del TR) es donde se transforman las tensionesy corrientes según k. Los terminales de trabajo con sus variables VA, Va, IA e Ia están enla parte más externa del transformador, por lo que no se cumple exactamente la relación detransformación:

k ≈ VA

Va≈(

IaIA

)∗Por ejemplo, entre VA y Va antes de aplicar la transformación por k están las caídas de tensiónen el cobre y en las pérdidas de dispersión; lo mismo para las corrientes producto de la corrienteque absorbe la rama de magnetización.

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TI

k

k

:1

1|| ||>

Va

Ia

VA

IA

VA

IARcu1 L1 L2

Rfe

Rcu2

Lm

TR

Figura 79: Modelo completo del transformador real, circuito equivalente por fase.

11.5.3. Modelo de operación.

Modelo que sólo considera las caídas de tensión en el cobre y pérdidas de dispersión agrupadascomo una impedancia Ze que indistintamente se deja en el lado de alta o baja tensión. Estemodelo es válido tanto para el TR en operación nominal, como para estudios de cortocircuitos.En algunos casos, según la potencia del transformador se desprecian las pérdidas resistivasdejando sólo la caída en la inductancia de dispersión equivalente, lo cual se suele informar conla razón X

R o su FP.

Para efectos de este curso se usará este modelo al considerar un transformador real.

TI

k

k

:1

1|| ||>

VA

IA

VA

IAZe

Va

Ia

TR

Figura 80: Modelo de operación del transformador real, circuito equivalente por fase.

11.6. Datos de placa del TR3φ.

Los datos de placa del transformador real trifásico son:

j Tensión de línea de alta y baja tensión (módulos en valor efectivo, por lo que no sonfasores), que permiten calcular módulo de k.

j Corrientes nominales de los devanados, también permiten calcular módulo de k, por loque pueden ser un dato redundante que normalmente se omite.

j Potencia aparente trifásica en módulo, que con las tensiones nominales, permiten calcularlas corrientes nominales si estas no son informadas.

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j Conexión de los bobinados y su número, que permite determinar el ángulo de k.

j Impedancia de cortocircuito (ze) [pu] en por unidad, el cual se escribe en minúsculas cono sin paréntesis redondo.

Si no se está trabajando con el TR en un circuito que está en por unidad, es necesario conocerel valor de Ze en Ω ya sea reflejado en el lado de alta o baja tensión, para ello se dispone de lasiguiente regla de transformación óhmica:

Sea un TR de tensiones nominales VATnom y VBTnom11, de potencia nominal S3φnom, entonceslas corrientes nominales están definidas por:

IATnom =S3φnom√3VATnom

[Ω] (24)

IBTnom =S3φnom√3VBTnom

[Ω] (25)

Además se definen las impedancias base del TR, como:

ZATnom =V 2ATnom

S3φnom(26)

ZBTnom =V 2BTnom

S3φnom(27)

Por lo cual, si se conoce por la placa el valor de (ze) en por unidad (es decir, tanto por uno) oen porcentaje (es decir, tanto por cien), su valor de módulo en Ω, expresado en el lado de alta obaja tensión será:

ZeAT = (ze) · ZATnom = (ze) ·V 2AT

S3φ[Ω] (28)

ZeBT = (ze) · ZBTnom = (ze) ·V 2BT

S3φ[Ω] (29)

Si se necesita saber cuál es la corriente de cortocircuito cuando al transformador se alimentaa tensión nominal, sin ningún otro elemento presente más que el TR para limitar la corrientecuando por el extremo opuesto se hace un cortocircuito, tendremos:

IccAT =1

(ze)· IATnom [A] (30)

IccBT =1

(ze)· IBTnom [A] (31)

Esta fórmula viene de decir que si hay tensión nominal aplicada al TR por un terminal, mientrasen el terminal opuesto se aplica un cortocircuito, la corriente sería, por ejemplo en el lado AT:

IccAT =VAT /

√3

ZeAT=

VAT /√

3

(ze) ·V 2ATS3φ

[A]

llegando a la expresión anterior.11Por ser un elemento trifásico, estas tensiones son de línea y no de fase.

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12. Sistemas en por unidad (pu).

Los sistemas por unidad o tanto por uno, es una forma trabajar problemas con uno o mástransformadores trifásicos donde todas las variables, tanto tensiones como corrientes quedan enuna misma escala o base, lo cual es sumamente útil cuando se desea comparar las magnitudesde estas variables.

La única dificultad es que los transformadores no desaparecerán por completo, quedandopendientes sólo los desfase que produce k, lo cual se puede subsanar simplemente escogiendouna zona de cálculo y cuando se termina de procesar el problema, se sigue llevando las variablesa sus zonas originales aplicando el desfase respectivo. Se mantiene que los desfases para lastensiones están dados por k y para las corrientes por k∗.

12.1. Definiciones y métodos.

Zonas de trabajo: se define como una zona, al sector circuital donde hay un mismo nivel detensión delimitado en sus fronteras por transformadores.

Potencia aparente trifásica base Sb: Es una potencia que define el usuario para su trabajo,la cual se escoge convenientemente, sin importar cuál es la potencia nominal de lostransformadores, aunque se recomienda que se escoja igual o mayor que la mayor potenciapresente en el circuito.

Tensiones base Eb: Según las zonas de trabajo, se definen en cada zona una tensión base segúnla razón de transformación nominal del lado del transformador que pertenece a la zonaen cuestión. Son valores de línea.

Corriente base Ib: Corriente de línea que se calcula para cada zona como:

Ib =Sb√3Eb

[A]

Impedancia base Zb: Impedancia que se calcula para cada zona como:

E2b

Sb[Ω]

definición que trae implícita una representación en estrella o monofásico equivalente.

Luego, una vez que el circuito está con sus referencias, se dividen todas las tensiones por Eb,las corrientes por Ib y las impedancias por Zb según la zona respectiva.

Cuando se resuelve el problema, el circuito será representado por su monofásico equivalente, locual tiene que considerar que las tensiones de las fuentes son tensiones de fase y no de línea,que en pu coinciden en valor pero no así en ángulo (±]30o ).

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Finalmente se escoge una zona para hacer todos los cálculos, para que una vez finalizado sehagan los desfases de k necesarios. Si se requiere se transforman las variables y parámetros a[V ], [A], [V A] y [Ω].

En los grandes circuitos de los sistemas de potencia, normalmente ya están todos losvalores en por unidad, por lo que al calcular o simular un problema, el resultado que estáen pu, no requiere ser llevado a la unidad que le corresponde, salvo que se requiera comopor ejemplo en la implementación o el diseño de un equipo.

13. Fallas simples en un sistema de potencia.

13.1. Introducción.

Sea un sistema de potencia trifásico y balanceado que trabaja normalmente transfiriendopotencia desde los generadores a las cargas o entre generadores. Muchas veces por diversassituaciones en algún punto del sistema puede ocurrir una o más fallas, ya sea de formasimultánea o distribuidas en el tiempo, alterando el correcto funcionamiento del sistema.

Se entenderá por falla a una condición anómala que altera el sistema trifásico balanceado,produciendo un desbalance localizado que puede en muchos casos ser muy severo, poniendoen riesgo la estabilidad del sistema. Las fallas simplemente se pueden modelar como uncortocircuito o conductor de impedancia conocida y muchas veces nula, que une puntos dedistinto potencial imponiendo en el sistema LVK ’s y LCK’s adicionales (restricciones), por loque se llaman fallas de cortocircuito y pueden deberse a interrupciones ya sea porque se rompencadenas de aisladores, por la caída de una rama de un árbol, etc. También las fallas se puedenmodelar como impedancias infinitas que abren parte del circuito impidiendo el flujo normal delas corrientes, por lo que se llaman fallas de fases abiertas, las cuales son más recurrentes de loque se piensa; por ejemplo imagine un interruptor trifásico capaz de cerrar o abrir un circuitopor el circula alta corriente, y si por alguna razón el cierre o apertura no es simultáneo, se llegaa producir esta anomalía.

En este curso, nos centraremos en introducir solamente algunas fallas de cortocircuito.

13.2. Transformación de un sistema trifásico balanceado para estudio de fallas.

Independiente de la falla y de su ubicación, para efectos de análisis y con un poco de magia,siempre se podrá reducir el sistema trifásico a un equivalente Thévenin visto desde los terminaleso puntos donde en un futuro ocurrirá o se analizará la falla, llamándolo sistema en condición deprefalla.

La mayoría de las veces para los desbalances pequeños de un sistema trifásico, como loson el caso particular de las fallas, se suele usar como técnica muy recurrente el separar oaislar la parte balanceada de la desbalanceada.

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a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3Desbalanceado

Figura 81: Sistema trifásico desbalanceado

a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3Balanceado

jXLeq

jXLeq

jXLeq

F

Sistema 3

ñ

desbalanceado

(desbalance peque o)

Figura 82: Sistema trifásico desbalanceado separando la parte balanceada con la desbalanceada

Considere el diagrama unifilar de un sistema trifásico de dos grupos de generadores trifásicosunidos por una línea con dos barras o nodos (figura 83), donde se quiere estudiar la ocurrenciade una falla de cortocircuito al 40 % de la longitud de la línea visto de izquierda a derecha. Noteque las fallas pueden ocurrir a cualquier longitud de la línea con mayor o menor probabilidad,donde podemos asumir que la impedancia serie de la línea se divide en dos de forma lineal y encuantía proporcional, es decir, 40-60 % de su impedancia serie total en Ω.

Vo 0oV1

o

F

40%60%

Figura 83: Sistema trifásico balanceado donde se produce una falla al 40 % de la longitud de la línea.

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Al dejar explícitos los puntos donde se analizará la falla (puntos α, β y γ) teniendo el circuitorepresentado con sus tres fases, para hacerlo más didáctico, se aplica el teorema de Thévenin ose llega a él usando transformación de fuentes.

Note que para obtener el equivalente Thévenin el circuito trifásico sigue estandobalanceado hasta que se aplique la falla. Esto permitirá al lector usar directamenteel circuito monofásico equivalente para ahorar tiempo y espacio en este desarrollo.No obstante, se requerirá para analizar la falla o condición de desbalance, tener lastres fases para el estudio como sistema desbalanceado. Una técnica alternativa pararesolver el problema se denomina mallas de secuencia de componentes simétricas, las cualestambién requieren previamente tener un sistema balanceado equivalente con terminalesdisponibles y explícitos para el estudio del desbalance o falla.

Por tanto en la figuras siguientes, se muestra el proceso para llegar la circuito equivalente, vistodesde los terminales α, β y γ, presto para el estudio.

++++

++

0,4jXL

++

++

++

F

0,6jXL

0,4jXL 0,6jXL

0,4jXL 0,6jXL

V1 o

Vo 0o

Figura 84: Sistema trifásico balanceado donde se produce una falla al 40 % de la longitud de la línea.

++++

++

0,4jXL

F

0,6jXL

0,4jXL

0,6jXL

0,4jXL

0,6jXL

V1 o

Vo 0o

++++

++

Figura 85: Sistema trifásico balanceado con terminales para estudio de falla

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++++

++

jXLeq

jXLeq

jXLeq

VTH

F

Figura 86: Sistema trifásico balanceado equivalente Th.

donde para este caso y configuración previa, se tiene que:

VTh =(

V1

0, 4jXL+

V0

0, 6jXL

)· (j0, 4XL//j0, 6XL)

XLeq = (j0, 4XL//j0, 6XL)

13.3. Tipos de falla.

Teniendo el circuito Thévenin trifásico desde los puntos donde analizará la falla, al aplicarlaaparecerán según su tipo un grupo de restricciones en la forma de LVK’s, LCK’s y LE’s, con lascuales se analiza el problema como un caso sencillo de sistema trifásico desbalanceado. Por estemotivo es que se abordará los tipos de falla de cortocircuito que se pueden encontrar:

F1φ− T : Falla monofásica a tierra o a neutro, la cual es como si se tuviera una carga monofásicaen el sistema. Esta falla se produce cuando una fase se coloca a potencial de tierra, pordonde circulará una corriente de falla (If ), la cual requiere que exista un punto deretorno a la fuente de la fase que la impulsa o excita, por este motivo, cuando se tengansistemas simples con fuentes en estrella sin neutro conectado o fuentes en delta, NOhabrá circuitalmente un camino de retorno para esta corriente, lo cual inhibe el riesgode esta falla. Es por este motivo que en grandes redes se usan mucho los sistemas deltapara filtrar esta componente de asimetría, que en la jerga se conoce como de secuencia cero.

Los tipos de falla que pueden haber dentro de esta categoría son según las fases dondepueden ocurrir:

1. Fase α contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia de fallaZf .

2. Fase β contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia de fallaZf .

3. Fase γ contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia de fallaZf .

Considere que la falla es en la fase α con impedancia de falla Zf , las condiciones impuestasal circuito visto desde los terminales α, β y γ, son:

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j Iβ = Iγ = 0.

j Vα = Zf · Iα. Si Zf = 0, esta restricción se transforma a Vα = 0.

j Iα = If , que es la corriente que típicamente es de mayor interés.

++++

++

jXLeq

jXLeq

jXLeq

VTH

Figura 87: Sistema trifásico balanceado con falla monofásica a tierra.

F2φ− T : Falla bifásica a tierra o a neutro, donde no sólo se unieron dos fases, sino que ademáséstas se conectaron al potencial de neutro o tierra, por donde circulará una corriente defalla (If ), la cual requiere que exista un punto de retorno a las fuentes de las fases que laimpulsan o excitan, por este motivo, cuando se tengan sistemas simples con fuentes enestrella sin neutro conectado o fuentes en delta, NO habrá circuitalmente un camino deretorno para esta corriente.

Los tipos de falla que pueden haber dentro de esta categoría son según las combinacionesde fases donde pueden ocurrir:

1. Fase α − β contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia defalla Zf .

2. Fase β−γ contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia de fallaZf .

3. Fase γ − α contra tierra T o contra neutro N , con o sin valor en la impedancia defalla Zf .

Considere que la falla es en las fases β − γ con impedancia de falla Zf , las condicionesimpuestas al circuito visto desde los terminales α, β y γ, son:

j Iα = 0.

j Vβ = Vγ = Zf · If . Si Zf = 0, esta restricción se transforma a Vβ = Vγ = 0.

j Iβ + Iγ = If , que es la corriente de mayor interés.

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++++

++

jXLeq

jXLeq

jXLeq

VTH

F

Figura 88: Sistema trifásico balanceado con falla bifásica a tierra.

F2φ: Falla bifásica, donde sólo se unen dos fases, sin que haya punto a tierra, donde la corrientede falla será entendida como la que circula entre las fases de ocurrencia. Al no haberneutro o tierra involucrada en la falla, implica que no tiene restricciones de circulación encuanto a la conexión de los transformadores y fuentes, dado que los las mismas líneas delsistema por donde se produce esta circulación.

Los tipos de falla que pueden haber dentro de esta categoría son según las combinacionesde fases donde pueden ocurrir:

1. Fase α− β, con o sin valor en la impedancia de falla Zf .

2. Fase β − γ, con o sin valor en la impedancia de falla Zf .

3. Fase γ − α, con o sin valor en la impedancia de falla Zf .

Considere que la falla es en las fases β − γ con impedancia de falla Zf , las condicionesimpuestas al circuito visto desde los terminales α, β y γ, son:

j Iα = 0.

j Vβ −Vγ = Zf · Iβ. Si Zf = 0, esta restricción se transforma a Vβ = Vγ .

j Iβ + Iγ = 0.

++++

++

jXLeq

jXLeq

jXLeq

VTH

F

Figura 89: Sistema trifásico balanceado con falla bifásica.

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F3φ o F3φ− T : falla trifásica o falla trifásica a tierra la cual además de tener una probabilidadmuy baja, mantiene al sistema original balanceado, por lo cual no importa si este está ono aterrizado, dado que de todas formas no circulará corriente por tierra o neutro.

La única combinación que existe es su ocurrencia en los terminales α, β y γ. Lasrestricciones que pone esta falla son:

j Iα + Iβ + Iγ = If = 0 lo cual no será así si es que el sistema original tiene desdeantes un desbalance, lo cual implicaría el diferenciar si esta falla es o no contra tierrao neutro.

j Vα = Vβ = Vγ = Zf · If = 0.

++++

++

jXLeq

jXLeq

jXLeq

VTH

F

Figura 90: Sistema trifásico balanceado con falla trifásica, situación que mantiene el balance.

14. Mallas de secuencia- componentes simétricas.

14.1. Introducción.

Es una técnica alternativa para resolver problemas de sistemas trifásicos desbalanceados,cuando el desbalance es pequeño y puede ser aislado, separándolo del sistema trifásico quemantiene su balance, tal como se ilustró cuando se analizan fallas.

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a

b

c

Vab

Vbc

Vc

Vb

Va

Ia

Ib

Ic

Sistema

3Balanceado

jXLeq

jXLeq

jXLeq

F

Sistema 3

ñ

desbalanceado


Figura 91: Sistema trifásico desbalanceado separando la parte balanceada con la desbalanceada

Su principio radica en que cualquier sistema de variables fasoriales (tensiones o corrientes)trifásicas desbalanceadas ya sea por asimetría en sus módulos y/o ángulos podrán serrepresentados por la superposición de tres sistemas trifásicos balanceados o simétricos:Uno de secuencia directa (1), uno de secuencia inversa (2) y uno de secuenciacero (0). Como estos tres sistemas son por definición simétricos o balanceados, toda lainformación queda definida perfectamente por su equivalente monofásico respectivo.

Finalmente, el desbalance implicará una conexión entre las redes o mallas de secuencia.

jXLeq

jXLeq

jXLeq

F

Sistema 3

ñ

desbalanceado


ms0

ms1

ms2

Figura 92: Sistema trifásico desbalanceado separando la parte balanceada representada por sus mallas de secuencia, dela desbalanceada que define la interconexión de las mallas.

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La secuencia directa, es un sistema trifásico de igual secuencia que el original, por lo que se puedellamar de secuencia positiva si el sistema original está en secuencia positiva. Para estas variablesse usa el índice 1.

La secuencia inversa, es un sistema trifásico de secuencia opuesta al sistema original, por lo quesuele llamarse también como de secuencia negativa, si y sólo si el sistema original estaba ensecuencia positiva. Para esta estas variables se usa el índice 2.

La secuencia cero, es un sistema trifásico donde no hay desfases en los fasores de cada línea,es decir, si bien es por forma y topología un sistema trifásico, éste se comporta como si fueramonofásico. Dado lo anterior, como están todas las variables en fase, por ejemplo la suma delas corrientes en un neutro no suman cero y por lo tanto, estas variables representan la corrienteque circula por el neutro o tierra, propias de las fallas monofásicas a tierra o bifásicas a tierra.Se suele usar para estas variables el índice 0.

La única relación entre las mallas de secuencia es la asimetría o desbalance, lo cual imponeuna restricción que desde el punto de vista de la secuencia será una forma de interconectarlos circuitos de secuencia equivalentes.

14.2. Representación gráfica y matemática.

Para concretar las definiciones anteriores, consideremos que existe una terna de corrientesdesbalanceadas de secuencia positiva descritas por los fasores Ia, Ib e Ic, que circulan por algunaparte de un circuito trifásico bien definido, pero que no se necesita mostrar en esta parte, salvodecir que cada fase se rotuló como a, b y c.

Entonces esta terna de corrientes puede ser representada por la suma fasorial de tres ternas decorrientes: tres de corrientes de secuencia positiva Ia1, Ib1 e Ic1, tres de corrientes de secuencianegativa Ia2, Ib2 e Ic2 y tres de secuencia cero Ia0, Ib0 e Ic0, como se aprecia en la figurasiguiente:

Ic1

Ia1

Ib1

Ic2

Ia2

Ib2I

c

Ia

Ib

Ic0

Ia0

Ib0

Variables de sistema desbalanceado en

secuencia positiva

secuencia

positiva

secuencia

negativa

secuencia

cero

Figura 93: Sistema trifásico desbalanceado representado por sus componentes simétricas o de secuencia.

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Lo cual establece el siguiente sistema de ecuaciones:

Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2

Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2

Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2

Como las componentes simétricas son balanceadas, la información del sistema de ecuacionesanteriores es redundante, lo cual recordando la variable compleja a = 1]120o , permitereescribir lo anterior como:

Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2

Ib = Ia0 + aIa1 + a2Ia2

Ic = Ia0 + a2Ia1 + aIa2

y matricialmente como: Ia

Ib

Ic

=

1 1 1

1 a2 a

1 a a2

·

Ia0

Ia1

Ia2

(32)

Luego, la relación inversa será:Ia0

Ia1

Ia2

=13

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

·

Ia

Ib

Ic

(33)

donde se definen las matrices simétricas A y A−1 como:

A =

1 1 1

1 a2 a

1 a a2

(34)

A−1 =13

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

(35)

Como se mencionó en su oportunidad, por definición las fuentes en un sistema trifásicobalanceado o no, serán balanceadas balanceadas. Por lo tanto, se demostrará que si lasfuentes están en secuencia positiva, al hacer la transformación a las mallas de secuencia,sólo aparecerán las fuentes en la malla de secuencia positiva.

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14.3. Equivalente Thévenin trifásico.

Sea el equivalente Thévenin de un sistema trifásico de tensión de fase Vg en secuencia positivae impedancia Z, donde además el neutro se conecta con una impedancia ZN .

Llevando las fuentes al plano de la secuencia, tenemos las siguientes ecuaciones:Vg0

Vg1

Vg2

=13

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

·

Vg

a2Vg

aVg

=

0

Vg

0

Lo cual demuestra que el valor de la fuente de la malla de secuencia positiva Vg1 es el de lafuente Vg, mientras que en el resto de las mallas no habrán fuentes.Analizando ahora las impedancia equivalentes tenemos las siguientes leyes de Kirchhoff :

Vr −Va = ZIa − ZnIn

Vs −Vb = ZIb − ZnIn

Vt −Vc = ZIc − ZnIn

Ia + Ib + Ic + In = 0

Matricialmente tenemos:Vr

Vs

Vt

−

Va

Vb

Vc

=

Z + Zn Z Z

Z Z + Zn Z

Z Z Z + Zn

·

Ia

Ib

Ic

Lo cual simplificadamente se transcribe como:

[Vrst]− [Vabc] = [Z][Iabc]

que por la definición (32) se transforma a:

[A][Vr012]− [A][Va012] = [Z][A][Ia012]

Multiplicando por la izquierda por A−1:

[Vr012]− [Va012] = [A−1][Z][A][Ia012] = [ZCS ][Ia012]

Entonces, se define la impedancia de secuencia [ZCS ] = [A−1][Z][A], que para este caso es:

[ZCS ] =

Z + 3Zn 0 0

0 Z 0

0 0 Z

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Donde se aprecia que por ser una matriz diagonal, las mallas de secuencia no están acopladas, locual cumple el primer supuesto, donde su conexión estará definida por el desbalance. Además, seaprecia que en la matriz [ZCS ] su elemento (1, 1) corresponde al circuito de secuencia cero (ms0:malla de secuencia cero), el cual es el único que representa la impedancia del neutro, mientrasque en los circuitos de secuencia positiva (ms1) y negativa (ms2) sólo están las impedancias porfase del sistema.

ms0:Note que si no hay impedancia de neutro, es decir, Zn −→∞, la malla de secuencia cero seabre por lo que si se llega a conectar ésta en serie, según el tipo de desbalance, ocasionaráque no circule corriente, lo cual es coherente con lo que se señaló en la falla monofásicaa tierra, en que de no haber neutro conectado en las fuentes o éstas a tierra, si se da estafalla, la corriente no tendrá retorno.

ms1 y ms2:Es normal que estas dos mallas o circuitos sean idénticos (elementos (2, 2) y (3, 3)de [ZCS ]), porque si se cambia la secuencia de las fuentes, el sistema trifásico deberáresponder igual, salvo por los nuevos desfases en los fasores propios de la nueva secuenciaimpuesta.

Por otro lado, si el sistema es balanceado y de secuencia positiva, se demuestra porinspección simple que la ms1 coincide con el circuito equivalente por fase. Ahora si elsistema es balanceado de secuencia negativa, la ms2 será el circuito equivalente por fase.

Note que estos resultados permiten evaluar el comportamiento de un sistema de impedanciasen . Haciendo [Vrst] = [0] = [Vr012] ó [Vabc] = [0] = [Va012], se vuelve apreciar en [ZCS ] quela presencia del cable o impedancia del neutro afecta directamente a la ms0.

En el caso de una red de impedancias en ∆ simplemente aplicamos la transformación a dondeno podrá existir neutro y por tanto se llega a las mismas mallas de secuencia provistas por [ZCS ],salvo que en ms0 habrá un circuito abierto. Lo anterior supone que la transformación delta aestrella es con elementos iguales por fase.

14.4. Mallas de secuencia de transformador trifásico Dy11.

Considere un transformador trifásico ideal12 de grupo de conexión Dy11, entonces se buscarásu representación desde la perspectiva de las mallas de secuencia. Para ello se tienen el siguienteconjunto de ecuaciones:

VAB = nVa

12Se considera como transformador ideal porque el modelo de transformador real consiste simplemente en ubicaren cascada tres impedancias, una por fase; cuyo modelo en secuencia que ya fue analizado anteriormente.

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VBC = nVb

VCA = nVc

luego con notación matricial sintética se tiene:1 −1 0

0 1 −1

−1 0 1

· [VABC ] = n[Vabc]

Lo cual aplicando la transformación de secuencia se llega a:

[A−1]

1 −1 0

0 1 −1

−1 0 1

[A]·[VA012] = n[Va012]⇔

0 0 0

0 (1− a2) 0

0 0 (1− a)

·[VA012] = n[Va012]

Esta ecuación matricial indica que por ser un transformador con un lado en delta, la tensiónVa0 = 0 para todos los casos, mientras que VA0 queda indeterminado por estas ecuaciones, ala espera que sea definido según lo que se conecte al transformador en su lado de alta tensión.Además esto tiene una segunda lectura: “Todos los fenómenos que ocurran en el lado de altatensión relativos a la incorporación de la secuencia cero, no pasan al lado de baja tensión, es porello que el devanado en delta se encarga de filtrar estas componentes”.

Por otro lado en cuanto a las tensiones de secuencia positiva y negativa tenemos que aparece larazón k y k∗ respectivamente. Previamente note que (1−a2) =

√3]30o y (1−a2) =

√3]−30o ,

entonces:VA1 =

n√3]30o

Va1 = ‖k‖]− 30o Va1

VA2 =n√

3]− 30oVa2 = ‖k‖]30o Va2

Conclusión:Un TI o TR de conexión 11, implica que los defases de las tensiones de alta respecto a bajatensión están a la orden de 11 · 30o, es decir −30o, lo cual se demuestra que es válido sólosi se alimenta con tensiones de secuencia positiva. Al excitar el mismo transformador consecuencia negativa, inmediatamente habrá que considerar que el desfase será el ánguloanterior, pero conjugado.

Considerando la relación de las corrientes en el transformador, tendremos que:

IAB = n−1Ia

IBC = n−1Ib

ICA = n−1Ic

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Escrito en notación matricial sintética, se tiene:

[IABC ] = n−1

1 0 −1

−1 1 0

0 −1 1

· [Iabc]Lo cual aplicando la transformación de secuencia se llega a:

[IA012] = n−1[A−1]

1 0 −1

−1 1 0

0 −1 1

[A]·[Ia012]⇔ [IA012] = n−1

0 0 0

0 (1− a2) 0

0 0 (1− a)

·[Ia012]

de este modo se llegan a conclusiones equivalentes, donde IA0 = 0, mientras que Ia0 quedaindeterminado por el circuito de estudio hasta que se conecte el transformador a un circuito yse fijen externamente las variables.

Lo anterior tiene un símil que ayuda a la comprensión: sea un conductor ideal deresistencia e impedancia cero, podemos decir a ciencia cierta que el potencial delconductor será siempre cero bajo cualquier condición de funcionamiento, pero la corrienteque circulará queda indeterminada hasta que se conecte el conductor a un circuito y lacorriente se fije por los LVK y LCK del circuito externo.

Las relaciones de las corrientes de alta y baja tensión son por lo tanto según la secuencia:

IA1 =√

3]− 30o

nIa1 =

1‖k‖]− 30o Ia1

IA2 =√

3]30o

nIa2 =

1‖k‖]30o

Ia2

de este modo y según la teoría del TI3φ, si

k =n

(1− a2)

se definen las constantes razón de transformación para secuencia positiva k1 y secuencianegativa k2 según:

k1 = k =VA1

Va1=

VB1

Vb1=

VC1

Vc1(36)

con lo cual se tendrá:1k∗1

=IA1

Ia1=

IB1

Ib1=

IC1

Ic1y

k2 = k∗ =VA2

Va2=

VB2

Vb2=

VC2

Vc2(37)

con lo cual se tendrá:1k∗2

=IA2

Ia2=

IB2

Ib2=

IC2

Ic2Note que para la secuencia cero la relación entre variables es sencillamente la razón de vueltasn.

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14.5. Conexión de las mallas de secuencia.

Como se ha mencionado anteriormente, las mallas se secuencia se conectarán eléctricamentepara representar el desbalance que se había aislado de la parte balanceada y hasta el momentonada se había dicho al respecto. Para ello se analizarán los desbalances antes estudiado de fallasde cortocircuitos.

Sean las mallas de secuencia de la parte del sistema trifásico balanceado, desde los terminalesα, β y γ donde ocurrirá el desbalance, usando α como referencia, se aplicarán los siguientescasos:

14.5.1. Falla monofásica a tierra.

Considere que se produce un cortocircuito monofásico de la fase α a tierra con impedancia Zf .Se sabe que las restricciones que impone esta falla son:

j Iβ = Iγ = 0.

j Vα = Zf · Iα.

j Iα = If .

Considerando que las corrientes en la fase que no tiene la falla son cero, y la corriente de fallaIf = Iα existe y no es nula tendremos que:

Iα0

Iα1

Iα2

=13

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

·

Iα

0

0

Implica directamente que:

Iα0 = Iα1 = Iα2 = Iα/3 (38)

es decir, que las corrientes de las mallas de secuencia deben ser iguales. Usando la relación quenos queda entre tensión y corriente, tenemos que:

Vα = Zf · Iα ⇔ Vα0 + Vα1 + Vα2 = 3Zf · Iα0 (39)

donde el 3 que aparece es por la relación entre Iα0 e Iα el cual convenientemente se asocia aZf .

Por lo tanto, según las ecuaciones (38) y (39), se tiene que para una falla monofásica lasmallas de secuencia se conectan en serie viéndose una impedancia de falla de 3Zf , talcomo se comportan las impedancias de neutro.

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ms1

I V

ms2

I V

ms0

I V

3Zf

Figura 94: Representación en mallas de secuencia de una falla monofásica a tierra

14.5.2. Falla bifásica a tierra.

Considere que se produce un cortocircuito bifásico entre las fases β y γ a tierra con impedanciaZf . Se sabe que las restricciones que impone esta falla son:

j Iα = 0.

j Vβ = Vγ = Zf · If .

j Iβ + Iγ = If .

Usando la restricción que Vβ = Vγ , tenemos:

Vα0 + a2Vα1 + aVα2 = Vα0 + aVα1 + a2Vα2

(a2 − a)Vα1 = (a2 − a)Vα2

que significa:Vα1 = Vα2 (40)

como la corriente If = Iβ + Iγ tenemos que 3Iα0 = If , con lo cual se obtiene:

3ZfIα0

a+ a2=

Vα0

a+ a2+ Vα1 (41)

donde vuelve a aparecer la impedancia 3Zf por considerar una circulación de corriente porneutro o tierra. Usando que Iβ + Iγ = 3Iα0, se llega a:

Iα0

a+ a2= Iα1 + Iα2 (42)

Por lo tanto, según el sistema de ecuaciones (40), (41) y (42), se tiene que larepresentación en mallas de secuencia de la falla bifásica a tierra implica conectar enparalelo ms1 con ms2 y éstas a su vez en serie a la ms0 por medio de un transformadorideal desfasador de razón 1

a+a2 y en serie a la impedancia de falla Zf .

Note que si se hace Zf ∞ se llega al caso de falla bifásica sin conexión a tierra, queserá el caso que viene a continuación, donde se desconecta la ms0 por estar en serie a unaimpedancia infinita y donde se tiene solamente la interacción de las mallas ms1 y ms2 enparalelo que definen el sistema y su falla.

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ms1

I V

ms2

I V

ms0

I V

3Zf

TIV

(a a+ ):12(a a+ )2

Figura 95: Representación en mallas de secuencia de una falla bifásica a tierra

14.5.3. Falla bifásica.

Considere que se produce un cortocircuito bifásico entre las fases β y γ con impedancia Zf entrelas fases, no a tierra!!!. Se sabe que las restricciones que impone esta falla son:

j Iα = 0.

j Vβ −Vγ = Zf · Iβ.

j Iβ + Iγ = 0.

Usando la restricción de las corrientes, tenemos que:

3Iα0 = Iα + Iβ + Iγ = 0 (43)

3Iα1 = (a− a2)Iβ

3Iα2 = (a2 − a)Iβ

Por tanto:Iα1 + Iα2 = 0 (44)

Ahora, de la relación de tensiones y ley del elemento se tiene:

a2Vα1 + aVα2 − aVα1 − a2Vα2 = Zf (a2 − a)Iα1

es decir,Vα1 −Vα2 = ZfIα1 (45)

Por lo tanto, según el sistema de ecuaciones (43), (44) y (45), se tiene que larepresentación en mallas de secuencia de la falla bifásica implica conectar en serie opuestaa ms1 con ms2 donde en serie se ubica la impedancia de falla Zf , la cual como no estáconectada a tierra ni a neutro no aparece el factor 3.

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ms1

I V

ms2

I V

ms0

I V

Zf

Figura 96: Representación en mallas de secuencia de una falla bifásica

14.5.4. Falla trifásica.

Considere que se produce un cortocircuito trifásico entre las fases α, β y γ con impedancia Zf .Se sabe que las restricciones que impone esta falla son:

j Iα + Iβ + Iγ = If = 0 lo cual no será así si es que el sistema original tiene desde antes undesbalance, lo cual implicaría el diferenciar si esta falla es o no contra tierra o neutro.

j Vα = Vβ = Vγ = Zf · If = 0.

Con las ecuaciones disponibles se demuestra con facilidad que no hay conexión entre las mallasy la ms1 se cortocircuita quedando un circuito equivalente por fase, lo que ocurre con las otrasmallas de secuencia no es de interés dado que no tienen fuentes activas.

ms1

I V

ms2

I V

ms0

I V

Figura 97: Representación en mallas de secuencia de una falla trifásica

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