Sistema de ecuaciones

Determinantes

Determinante de un arreglo de 2 por 2

a bc d

= ad− bc

Determinante de una arreglo de 3 por 3

a b cd e fg h i

= a · e fh i

− b · d fg i

+ c · d eg h

o tambien

a b cd e fg h i

= aei+bfg+dhc−(ceg+hfa+dbi)

Calcule los siguientes determinantes.

−1 25 −3

,4 −53 −7

,3 −8−2 6

11 −2−2 0

,12 −30 −1

,x x2

−4 −3

Calcules los siguientes determinantes

2 3 51 3 4−2 −1 5

,−1 4 −3−3 −2 04 −4 2

0 1 0−4 12 −31 121 4

,1 −2 03 4 −3−2 −4 2

Metodo de Cramer para 2 ecuaciones

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

a1x+ b1y = d1

a2x+ b2y = d2

Donde a1, a2, b1, b2, d1, d2 son numeros reales.Definimos:Determinante del sistema

4S =a1 b1a2 b2

Determinante de la variable “x”

4x =d1 b1d2 b2

Determinante de la variable “y”

4y =a1 d1a2 d2

La solucion del sistema resulta de

x =4x4S

, y =4y4S

Casos

(i) Compatible determinado (tiene solu-cion unica). Si

a1a26= b1b2

es decir 4S 6= 0

(ii) Compatible indeterminado (tiene in-finitas soluciones). Si

a1a2

=b1b2

=d1d2

es decir, 4S = 4x = 4y = 0

(iii) Incompatible o inconsistente (no tienesolucion). Si

a1a2

=b1b26= d1d2

es decir, 4S = 0, 4x 6= 0 o 4y 6= 0

Ejemplo explicativo:Para que valores de a y b reales el sistema:

ax+ 3y = 4

2x− 6y = b

(1) Tiene solucion unica.

(2) Tiene infinitas soluciones.

(3) No tiene solucion.

Ejercicios: Resolver los siguientes sis-temas

1.

x+ 3y = 7

5x− 2y = −16

1

2.

2x− 5y = −12

7x− 2y = −11

3.

x+ 2y = 5

4x+ y = 13

4.

x+ 4y = 3

6x− 5y = −11

5. Entre Rosa y Beatriz tienen 124 discoscompactos. Si Rosa le diera a Beatriz 3discos, entonces Rosa tendrıa el triplede discos que Beatriz. ¿Cuantos discostiene cada una?

6. El perımetro de un rectangulo es de30cm, y sabemos que la base es 1cmmas larga que la altura. Plantea un sis-tema de ecuacioines y resuelvelo parahallar las dimensiones del rectangulo.

7. El triple de un numero mas la mitadde otro suman 10; y si sumamos 14unidades al primero de ellos, obtene-mos el doble del segundo. Plantea unsistema de ecuaciones y resuelvelo parahallar dichos numeros.

8. La base mayor de un trapecio mide eltriple que su base menor. La alturadel trapecio es de 4cm y su area es de24cm2. Calcula la longitud de sus dosbases.

9. el perımetro de un triangulo isosceleses de 19cm. La longitud de cada unode sus lados iguales excede en 2cm aldoble de la longitud del lado desigual.¿Cuanto miden los lados del triangulo?

10. El perımetro de un rectangulo es de22cm, y sabemos que su base es 5cmmas larga que su altura. Plantea un sis-tema de ecuacioines y resuelvelo parahallar las dimensiones del rectangulo.

11. Resuelva el sistema:

2

3x− y+

5

y + 2x= 2

4

3x− y+

3

y + 2x= 17

Metodo de Cramer para 3 ecuaciones

Resolver el siguiente sistema de ecuaiones

a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3

Donde los coeficientes son reales:Definimos:Determinante del sistema

4S =a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

Determinante de la variable “x”

4x =d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3

Determinante de la variable “y”

4y =a1 d1 c1a2 d2 c2a3 d3 c3

Determinana de la variable “z”

4z =a1 b1 d1a2 b2 d2a3 b3 d3

La solucion del sistema resulta de:

x =4x4S

, y =4y4S

, z =4z4S

En general

Variable =4Variable

4Sistema

Casos

(i) Tiene solucion unica, si 4S 6= 0.

(ii) Tiene infinitas soluciones, si 4S = 0 ycada 4Variable = 0.

2

(iii) No tiene solucion, si 4S = 0 y algun4Variable 6= 0.

Ejercicios:

1. Resolver

7x1 + 3x2 + 2x3 = 1

3x1 + x2 + 2x3 = 2

10x1 + 12x2 + 8x3 = 4

2. Resolver

2x− 4y + z = 1

x− 2y + 4z = 3

3x− y + 5z = 2

3. Resolver

−x1 + 2x2 + 3x3 = 0

x1 − 4x2 − 13x3 = 0

−3x1 + 5x2 + 4x3 = 0

4. Resovler

x+ 2y + 3z = 3

2x+ y − z = 3

3x+ 3y + 2z = 10

5. Resolver

5x1 − 3x2 = 7

−2x1 + 9x2 = 4

2x1 + 4x2 = −2

6. Resolver

4x1 + 5x3 = 6

x2 − 6x3 = −2

3x1 + 4x3 = 3

7. Resolver

x+ 2y + 3z = 4

2x+ 4y + 6z = 3

3x+ y − z = 1

8. Resolver

2x− 3y + z − 2 = 0

x+ 5y − 4z + 5 = 0

4x+ y − 3z + 4 = 0

9. Para que valor de λ el sistema sigui-ente:

λx+ y = 0

λy + z = 1

λz + x = λ

admite infinitas soluciones

(a) 1 (b) 0 (c) 2

(d) − 1 (e) − 2

10. Resuelva el siguiente sistema de ecua-ciones:

−x1 + 2x2 + x3 = −2

3x1 + 6x2 + 3x3 = 6

3x1 − x3 = 4

El resultado de (x1 + x2 + x3) es:

(a) 3 (b) 4 (c) 7

(d) 10 (e) 15

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