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8/20/2019 sistema de ecuaciones lineales.pdf

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C A P I T U L O 1

S IS TE M A S DE ECUACIONES LINEALESMETODO DE GAUSS

U n a e c u a c i ó n e s l in ea l r e s p e c t o d e las i n có g n it a s x , , x 2 . . . . , x n , si se p u e d e e x p re s ar d e la f o r m a :

(1 »

s i e n d o a , . a ? .a ( ( c o e f ic i e n te s d e las i n c ó g n i t a s ) y k ( t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e o c o n $ t a n t e ) e l e m e n -

t o s c o n o c i d o s d e u n c u e r p o K . E n l o s u c e s iv o c o n s i d e r a r e m o s q u e K = R . c u e r p o d e lo s n ú m e r o s re ale s.

( c , . c 2 c o ) G R n e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( 1 ) si s e v e r i f i c a q u e

a , c , + a 2 c 2 + ••• + a „ c ft . b

R e s o l v e r u n a e c u a c i ó n e s o b t e n e r t o d a s s u s so l u ci o n e s.

L a e c u a c i ó n 2 x , - 5 * 2 + 4 x 3 - 1 1

e s l i n e a l , s i e n d o 13. 1 . - 3 ) u n a s o l u c i ó n , y a q u e 2 - 3 - 5 1 + 4 | - 3 ) = - 1 1

S I S T E M A D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . S e l la m a a s í a u n c o n j u n t o d e e c u a c io n e s lineales q u e

d e b e n s e r v e r if i c a d a s s i m u l t á n e a m e n t e .

E l s i s t e ma

x j + a , 2 x 2 +

a 2i V a ? ? x 2 +

l o n

+ a->~2n n

^ 1 X 1 + a m 2 X 2

(2 )

s i m b ó l i c a m e n t e : t - k,

, . k 2

E _ = k .

es u n s is t e m a d e m e c u a c i o n e s l in e al e s c o n n i n c ó g n i t a s .

( c , . c 2 c n ) € R n e s u n a s o l u ci ó n d e l s is te m a ( 2 ) s i l as m e c u a c io n e s d e ( 2 ) s o n v e ri fi ca

d as al s u st it ui r las i nc ó gn it as x , . x 2 , . . . , x n , r e sp e ct iv a m en te , p o r c , . c 2 c n .

Una solución del sistema 3 * , - 4 x 2 a 18


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8 S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S L IN E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

Resolver un sistema es obte ner todas sus soluciones.

U n s i s t e ma de e c u a c i o n e s p u e d e o n o t e n e r s o lu c i o ne s . U n s i s te ma q u e n o a d mi t e n i n gu n a s o

lu c i ó n s e l la ma s i st e ma in c o m p a t i b le . S i t i e n e a lgu n a s o lu c i ó n se l la ma si s te ma c o m p a t i b le . S i la s o lu c i ó n

e s ú n i c a se l l am a c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , y s i t ie n e va r ia s s o lu c io n e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o . E n r e

s u m e n :

j c o m p a t i b l e d e t e rm i n a d o ( u n a s ol a s o l u c i ó n ) S is te m a c o m p a tib le (t ie n e s o lu c ió n ) {

I c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o (v a n a s s o lu c i o n e s )

S is te m a in c o m p a tib le ( n o tie n e s o lu c ió n )

El sistema # x -*•y a 5 I

V ■ 3 I

tiene la solució n únic a x - 2 . y - 3 . es. por tanto, co mpatible det ermina do.

El sistema 3 x + y + 3 / - 5 I

« * y + 2 / ■ 4 I

es compatible indeterminado, ya que a cada valor distinto de k en- x « 1 - k. y » 3 - k. i •» k. corresponde una

soluci ón distinta del sistema.

El sistema x y - 3 I

x * y - 5 I

es incompatible, no tiene solución (restando ambas ecuaciones nos da: 0 - - 2 . absurdo).

Dos sistemas son equivalentes cu an do am bos t ienen las mism as soluciones.

S i u n a e c u a c ió n es c o m b i n a c ió n line al d e o tras , es d e c i r , si re sult a d e su m a rlas m i e m b r o a m i e m

b r o . p r e v i a me n t e mu l t i p l i c a d a s p o r n ú m e r o s cu a le s q u ie r a , s e d i c e q u e e s c o n s e c u e n c i a d e e l las .

En el interna 4x + 2y * 4

3 x - y . 2

6 « + 8 v - 8

la tercera ecuación ei coniecuencia de lai dot primer av ya que es igual a la prime ra ecuación multi plicada por 3. m is la

segunda multiplicada por - 2 .

S i en u n si ste ma d e m ecuaciones h a y u na e c u a c ió n q u e es c o m b i n a c ió n line al d e o tras , puede

s u p r i mir s e y n o s q u e d a r á u n s is t e ma d e < m - 1 ) e c u a c i o n es q u e es e q u i v a le n t e al a n t e r i o r .

El sistema del últ imo eiemplo. co mo la tercera ecuación * i combi nación lineal de las dos primeras, ei equivalente

al sistema:

4 x + 2 y = 4 j

3x - y = 2 I

E l i m i n a r u n a i n c ó gn i t a e n t r e v a r ia s e c ua c i o n e s es o b t e n e r u n a e c u a c i ó n , c o n s e c u e n c i a d e las a n t e

r io r es , y q u e n o c o n t i e n e d i c h a i n c ó g n i ta .

Si en el Sistema 2 x - 3 y x - 4

5x + 4 y 4- 3* = 6

4x — 6y - 9 í = 7

sum ónos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 3. mi s la segunda multiplicada po r 2. obte ndremos la ecua-

a b n 1 4 x — 7 y ■ 31

que es consecuencia de las ecuaciones del sistema y en la que se ha eliminad o la /.


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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 9

T E O R E M A F U N D A M E N T A L D E E Q U I V A L E N C I A : S i en u n s istema d e ecuaciones sesustitu

y e u n a e cu a c ió n p o r el re s u lt ad o d e s u m arla m i e m b r o a m i e m b r o (p r e v ia m e n t e m u l t ip l ic a d a p o r u n n ú

m e r o d i s t i n t o d e c e r o ) c o n o t r a u o t r a s e c u a c io n e s m u l t ip l i ca d a s p o r n ú m e r o s c u a le s q u ie r a , r es ul ta u n

sistema equivalente a l dad o.

Si o , * 0 , son eq uiv alen tes lo s d o s sistemas s ig ui entes:

E i = k i

E 2 = k 2

Em = kr

(3 )

“ l E 1 + a 2 E 2 + • • ■ + ° m E m = « 1 k | + « 2 k2 +

E 2 = k 2

E _ = k.

( 4 )

e n lo s q u e la p r i me r a e c u a c i ó n d e (3 ) se h a s u s t i t u i d o p o r la e c u a c ió n

° 1 E 1 + a 2 E 2 + •'

siendo a , . c t ~ a n ú m e r o s r ea le s.1 < m

k , + a ‘> k0 +ni m 1 1 2 2 + a n krm r

Si en el sistema 3x + 2 v + 4 / a 5

2 x + 3 y - 2 7 = 4

- x + 4 V - 8 z = 1

se sustituye la primera ecuación por el resultado de multiplicarla por 4 y sumarle la segunda multi plicada por - 5. y la

tercera mul ti pl ic ada po r 2 se obti ene el sistema

- y — 2 z = 2

2 x + 3 y - 2 7 = 4

- X + 4 y - 8 7 a 1

que es equivalente al dado.

R E S O L U C I O N D E S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S . E n el teo

r e ma a n t e r i o r se fu n d a e l m é t o d o d e G au s s , o d e r e d u c c i ó n , p a r a r e s o lv e r u n s i s t ema d e e c ua c i o n e s li

neales.

Se a el si st ema ( 2 ) : S i a , , * 0 , se deja la pr im era ecua ción invar iable , la segunda ecuación se sus

t i t u y e p o r la e c u a c ió n q u e re sul ta d e m u lt ip l ic a r la p o r a , , y s u m a rle la p r i m e r a e cu a c ió n m u lt ip l ic a da

p o r — a 2 1 . la t e r ce r a e c u a c i ó n se s u s t i t u y e p o r la e c u a c i ó n q u e r e s u lt a d e mu l t i p l i c a r la p o r a n y s u

ma r le la p r i me r a mu l t i p l i c a d a p o r — a 3 1 , y así s u ce s i v ame n t e h as ta s u s t i t u i r la ú l t i m a e c u a c i ó n p o r la

q u e re s ul t a d e m u l t i p l i ca r l a p o r a , , y s u m a r le l a p r i m e r a m u l t i p l i c a d a p o r - a m , . O b t e n d r e m o s asi' el

sistema

3 1 1 X 1 a i 2 X2 a i 3 X 3

b 22 X 2 + b 2 3 X 3 +

b32x2 + b33 x3 +

+ ainXn = k,

+ a2 n X n = h 2

+ a 3 n X n = h 3

+ b m n X n = h m

(5 )

b m 2 X 2 + b m 3 X 3 +

q u e e s e q u i v a le n t e a ( 2 ) y d el q u e se h a e l i mi n a d o la i n c ó gn i t a x , e n la s e c u a c io n e s 2 a , 3 a m \

En e l s istema (5 ) , si b22 * 0 , se dejan invar iables las do s pr imera s ecuaciones y se e l im ina, co m o

a n t e r i o r me n t e , la in c ó gn i t a x? e n c a d a u n a d e las r es t an te s e c ua c io n e s . S e o b t e n d r á u n s i s t e ma e q u i

valente al ( 2 ) d e la f o rm a :


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10 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

*11 X 1 + a l2 X2 + a i 3 X 3 • i » ’ 1- " k 1

b 2 2 X2 + b 2 3 X 3 + " + b 2 « Xo = h '.

C 3 3 X 3 + C 3 o X„ = J;

m 3 3 C mn Xn = 1,

( 6 )

A s í se c o n t i n u a h a s t a o b t e n e r u n s i st e m a e n e l q u e c a d a e c u a c i ó n ti e ne u n a i n c ó g n i t a m e n o s q u e

la e c u a c i ó n a n t e r i o r , y q u e s er á e q u i v a le n t e a l s i s te ma p r i m i t i v o .

Es te m é t o d o p e r m i t e p a s a r d e t o d o s i s te ma d e e c u a c io n e s l in e a le s a o t r o s i st e ma e q u i v a le n t e c u y a

s o l u c i ó n s e o b ti e n e m á s f á c i lm e n t e . S e c o m i e n z a r e s o l v i e n d o l a ú l t i m a e c u a c i ó n , el v a l o r ( o v a l or e s ) o b

t e n i d o se s u s t it u y e en la p e n ú l t im a , se resuelve ésta y se c o n t in u a d e es ta f o r m a hasta ll ega r a la p r i m e

ra ecuación.

Eje mp lo : Resolver el sistema

2 x — y + 3

3 x + 2 y - z = 4

5 x — 4 y + 2 z = 3

Representando, respectivamente, las ecuaciones por 11). (2) y (3 ). y por a( 1) - b( 2) la ecuación que resulta

de multipl icar la ecuación (1) por a y sumarle la ecuación


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Es incompatib le e l s istema x + y » 3

2 x + 2 v “ 5

p u e s ( 1 ) x + y - 3 I ( 1 ) x + y « 3

( 2 ) 2 x + 2 v = 5 | ( 2 * ) = 1 2 ) - 2 1 1 » 0 - - 1

S i re s u lt a a l g u n a e c u a c i ó n d e la f o r m a 0 x , + 0 - x 2 + • • • + x n = 0 . l a e c u a c i ó n d e ( 2 ) q u e o c u p a

el l u g a r d e é st a es c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e o t r a s , y se ^ r e s c i n d i r á d e e l l a , y a q u e e l s i s te m a q u e q u e d a es

e q u i v a l e n te a l p r i m i t i v o .

S i al a p l i c a r el m é t o d o d e G a u s s n o r e s u l t a n i n g u n a e c u a c i ó n a b s u r d a , el s i s t e m a es c o m p a t i b l e ( t i e

n e s o l u c i ó n ) . D e s pu é s d e e l i m i n a r l as e c u a ci o ne s q u e s o n c o m b i n a c i ó n l in ea l d e o t r a s n o s q u e d a r á u n

s is te m a d e h e c u a c i o n e s ( s i e n d o h < n ) c o n n i n c ó g n i ta s q u e es e q u i v a l e n t e al d a d o .

h = n = > e l s is te m a es c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o ( ti en e u n a s o l a s o l u c i ó n )

h < n = > e l s is te m a e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o ( ti en e i n fi n it a s s o lu c io n e s )

Sea el s is t e m a f i n a l :

c11 X 1 + C l 2 X 2 + ” ‘ + C l r , X r, + C 1 h . 1 Xh . 1 + ‘ ” + C m X n

w - l. • • • X W J . X w2 2c - x 2 + - + c 2(, x n + c 2h. | x h. | + - + c 2f| x n

P l

P2

+ C h h . i x h . 1 + *** + Ch n Xn

e n e l q u e c , |# C j j , . . . , s o n d i st in t o s d e c er o.

P h

( 7 )

P a r a r e s o l v e r e l s i s t em a ( 7 ) . si h = n . se h a l l a el v a l o r d e x 0 d e la ú l t i m a e c u a c i ó n , e l v a l o r o b t e

n i d o s se i n t r o d u c e e n l a p e n ú l t i m a e c u a c i ó n y s e h a ll a el v a l o r d e x n _ , . y as í se c o n t i n u a e n o r d e n a s

c e n d e n t e h as ta o b t e n e r e l v a l o r d e x , .

Se a e l sistema - x + 2 y + 3 z - 3

2 x + 3 y — 2 * ■ 5

3 x + 8 y — z - 13

x — 2 y + 6 z ■ 6

(1 ) - x *■ 2 y + 3 z = 3

(2 ) 2 x + 3 y - 2 z - 5

(3 ) 3 x + 8 y - l = 13

(4 ) x - 2 y + 6 / = 6

(1 )


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12 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

Oo la última ecuación se obtiene * ■ 1. llevando « t e valor a la segunda: 7 y + 4 •1 ■ 11

los valores de z e y hal lados a la primera ecuación: - x + 2 - 1 + 3 -1 • 3 = > x » 2 .

y ■ 1. Ll ev an do

S i h < n , se d a n v a lo re s a rb it r a r io s a las n - h in c ó g n it a s x h t ) , x h t ? x n y se o b t ie n e n las

i n có g n it a s x , , x 2 x h e n f u n c i ó n d e e st os v al or es .

Sea el sistema 3 x + 2 y - 2 * - 8

- x + 3 y + * t - 5

2 x + 5 y + 2 z - 13

11» 3 x + 2 y - 2 z - 8 11) 3 x + 2 y - 2 z a 8

(2 ) — X + 3 y + 4* - 5 —


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S i n < n , se d a n v a lo r e s a r b i t r a r i o s a la s n — h in c ó g n it a s x h# 1, x ^ ,

c ó gn it as x , , x 2 , . . . , x h e n f u n c i ó n d e es to s v al or es . x n y

o b t i e n e n l a s ¡ n -

Sc a el sistema - x + 3 y + 4 z

2 x + 3 y - 5 z

3 x + 9 y - 6 z

x + y — z

(1 ) — x + 3 y + 4 z = 0 (1 ) - x + 3 y + 4 z = 0

(2 ) 2 x + 3 V - 5 z = 0 ( 2 ) = ( 2) + 2 (1 ) + 9 y + 3 z = 0

(3) 3x + 9 v - 6 z = 0 (3 ’ ) = (3 ) + 3( 1) 18 y + 6 z = 0

(4) X + V - z = 0 (4 ' ) = (4 ) + (1 ) 4 y + 3 z = 0

O I

( 2 ’ )

( 3 " ) ^ ( 3 ’J - 2 ( 2 ’ )

( 4 " ) = 9 ( 4 ' ) - 4 1 2 ’ )

— x + 3 y + 4 z = 0

9 y 4 - 3 z = 0

0 + 0 a 0

15z =» 0

el sistema dadoes equivalente al sistema

que sólo tiene la solución trivial.

Sea el sistema

— x + 3 y + 4 z

9 y + 3 z

15 z

3 x - 2 y + 4 z = 0

— x + 5 y — z = 0

x + 8 y + 2 z = 0

( 1) 3 x — 2 y + 4 z =r 0

( 2) — x + 5 y — z = 0

(3 ) x + 8 y + 2 z = 0

( 1)

12’) = 3 ( 2 ) + ( 1)

( 3 ) = ( 3 ) + (2)

3 x — 2 y + 4 z a 0

13 y + z — 0

13 y + z = 0

(1)

(2')

(3” ) (3*) - (2' J

3 x - 2 y + 4 z = 0

I 3 y + z a 0

0 + 0 = 0

el sistema da do es equivalent e al sistema

3 x — 2 y + 4 z

I 3 y + z

que tiene infinitas soluciones.

Las soluciones se obtienen haciend o z = k . y escribiendo:

3 x — 2 y ^ - 4 k

I 3 y = - k

3 x = 2 y - 4 k « - ^ k - 4 k 54 ,

— — k ; x13

18 1de donde resulta

la

solución general: x = — — k ; y — — k ; z = k 13 13

A cada valor valor distinto de k corresponde una solución distinta.


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PROBLEMAS

1 . 1 R e s o lv e r, a p l i c a n d o e l m é t o d o d e G a u s s , e l s is te ma :

x - 2 y - 3 z = 3

2 x — y — 4 z = 7

3 x — 3 y — 5 z = 8

(U n iv . d e E x t re m a d u r a )

( 1 ) / i - 2 - 3 11 )

1 2) 2 - 1 - 4 (2 *) = ( 2 ) — 2 * ( 1 )

13) \ 3 - 3 - 5 VI 13 ') = 1 3 ) — 3 ( 1 )

( 1 ) / I — 2 - 3

3 \ 12') 0 3 2 1 = > el si

1 3 " ) = ( 3 ' ) - ( 2 * ) \ 0 0 2 - 2 /

- 2 y - 3 z = 3

3 y + 2 z = 1 = > •i i >

o o

- 2 z = 1 + 2 = 3 ; y

2 z = - 2 z = — 1

X I I

N J y = 1 ; z = - 1

e l s is t e ma d a d o e s e q u i v a le n t e a l s is t e ma :

= 3 + 2 y + 3 z = 3 + 2 - 3 = 2

1.2 R e s o l v e r e l s i g u i e n t e si s t em a :

5 x + 3 y + 2 z = - 2

x + y = 2

2 x - y + z = 3

( U n i v . d e M a d r id )


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16 S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

Con el f in de faci l i tar los cálculos escr ib i remos el s istema de la forma:

z + 2 x — y = 3

x + y = 2

2 z + 5 x + 3 y = - 2

(1 ) / 12 - 1

3\

(1 ) ( y 2 - 13 \

(2 )°

i

12 ] -

(2 ) 0 1 1

2 r ~(3 ) V 2 5 3 - 2 1 ( 3 ' ) = ( 3 ) — 2 •( 1 ) \ 0 1

5- a l

(1 ) ( 1 2 - 1 3 >

(2 )■

D 1 1 2 = > e l s istema da do es equiv alente a l s istema

( 3 " ) = ( 3 ' ) - (2 ) \ i0 0 4 - 1 0 ,

2 x — y =

x + y =

4 y =

3

2

10

z = 3 - 2 x + y =

Y = -10

4

x = 2 - y - -

9 5 17

|X = 2 ; V 2 2

“

Reso lver lo s sistemas x - 5 y = - 1

Y 2 * ' 1 0 y 2 l j u s ti fi c a n d o p o r q u é t ie -

3 x + y = 5 |3 x + y = 5

la mi s ma s o lu c i ó n . S i n h a c er n i n gú n c á lc u lo , e xp l i c a r c u á l s e r fa la s o lu c i ó n d e l s i gui e n t e s i st e ma:

x - 5 y = - 1

— 2 x + l O y 2

3 x + y - 5

( U n i v . d e V a l e n c i a . 1 9 9 1 )

( I ) x - 5 y = - 1

12) 3 x + y = 5

( 1) x — 5 y a — 1

( 2 ‘ ) = ( 2 ) — 3 ( 1 ) 1 6 y a 81

V “ 2

X ' l

( 3 ) - 2 x + 1 0 y = 2 1 ( 3 ) - 2 x + 1 0 y - 2

( 4 ) 3 x + y = 5 I ( 4 ' ) a 2 ( 4 ) -e 3 ( 3 ) 3 2 y - 16

3

X = 2

V = 2

Los dos sistemas son equivalentes, la ecu ació n (3 ) del seg undo sistema es igual a la ecuac ión (1 )

d el s is t e ma mu lt i p l i c a d a p o r - 2 . y la s e gu nd a e c u a c i ó n d e a m b o s s i s t ema s es la mi s ma .

x - 5 y = - 1

El sistema - 2 x + 1 0 y = 2

3 x + y = 5

ti ene la s e gu nd a e c u a c ió n q ue es igua l a la p r i m e r a m u lt ip l ic a d a


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p o r - 2 . o s ea q u e la s e g u nd a e c u a c i ó n es c o n s e c u e n c i a d e la p r i m e r a . E l s is t e m a q u e r es u lt a al t ac h a r

l a s e g u n d a e c u a c i ó n e s e q u i v a l e n t e al d a d o . A l s e r e l t e r c e r s is t e m a e q u i v a l e n t e a l p r i m e r o , la s s o l u c io n e s

p e d id a s s o n x = - . y = — .

1 . 4 * R e s o l v e r l o s s is te m as

x - 2 y + z = 0 x - 2 y + z = - 1 x - 2 y + 2 = - 5

2 x + y - z . 1 2 x + y - z 6 2 x +• y — 2 = — 1

3 x + 2 y + z o 10 3 x + 2 y + 2 = 7 3 x + 2 y + 2 = 5

C o m o l o s co e f i c ie n t e s d e l as i n c ó g n it a s s o n i g u al es e n l os t re s s is te m as , p o d e m o s d i s p o n e r l o s c á l c u

lo s a s i :

(1)

12)

(3 )

- 2 1 0 - 1" 5 \

( 1 ) n 2 1 0 - 1

21 - 1 1 6

- 1 H( 2 ' ) a ( 2 ) — 2 1 1)

05 - 3 1 8

\ 3 2 1 1 0 7 5 / ( 3 ' ) = ( 3 ) — 3 ( 1 ) \ o 8 - 2 1 0 1 0

11) / 1 - 2 1 0 - 1 - 5 \

( 2 ' ) 0 5 - 3 1 8 9 j = >

( 3 " ) - 5 ( 3 ' ) - 8 ( 2 ' ) \ 0 0 1 4 42 - 1 4 2 8 /

lo s s i st e ma s d a d o s s o n e q u i v a le n t e s a lo s s i gui e n t es :

x — 2 y 2 a 0 x = 1 X — 2 y + z = - 1

i i 1 > m

= > y = 2 ; 5 y — 3 z = 8 = >

1 4 z = 4 2 z u 3 1 4 z = - 1 4 z

x — 2 y +• z - - 5 X : = - 1

5 x — 3 z 3 9 = > y - 3

1 4 z = 2 8 2 = 2

x - 2

z - - 1

1 . 5 U n a r ef in e rí a c o m p r a p e t ró l e o a d o s p aí se s A y B . C o m p r a n d o 5 0 0 ba rr il es a l p a ís A y

1 5 . 5 0 0 a l p aí s B r es u lt a u n p re c io m e d i o d e 1 9 , 8 7 5 d ól ar es . C o m p r a n d o 1 . 0 0 0 b a rr il es a l p aí s A y

1 . 0 0 0 8 l B e l p r e c i o m e d i o es d e 1 8 d ó l a re s p o r b a r r i l . ¿ C u é n t o c u e s t a e l b a r r i l d e c r u d o d e c a d a p aí s?

( U n i v . d e S a n t ia g o )

S e an x ; y lo s p r e c io s de l b arr i l d e los países A y B re s p e c t iv a m e n t e :

5 0 0 x + 1 5 5 0 0 y = í 5 0 0 + 15 5 0 0 ) . 1 9 ,8 7 5 I (1 )

1 0 0 0 X+

1 0 0 0y =

( 1 0 0 0 + 1 0 0 0 ) - 1 8I

( 2 )

R e s o l v ie n d o e l s is t em a f o r m a d o p o r l as e c u a c io n e s I I ) y ( 2 ) :


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18 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L IN E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

( 1 ) : 5 0 0 x + 15 5 0 0 y = 3 1 8 0 0 0

( 2 ) : 1 0 0 0 x + 1 0 0 0 y = 3 6 0 0 0

(1'í = -

(2') =

1

5 0 0

1

1000(2 )

( 1 ) x + 31 y = 6 3 6

x + y = 3 6

( 1 ' ) x + 31 y = 6 3 6

( 2 " ) = ( 1 ' ) - ( 2 ' ) 3 0 y = 6 00

E n el p a ís A c u es t a el b a r r i l 1 6 d ó l a r e s y e n B 2 0 d ó la r es .

x = 6 3 6 — 3 y = 16

H a l l a r u n n ú m e r o d e 3 c if r as s a b i en d o q u e s u m a n 9 ; q u e si d e l n ú m e r o d a d o s e r es ta el q u e

i n v e r t i r e l o r d e n d e s us c i fr a s , la d i fe r e n c i a es 1 9 8 ; y q u e a d e má s , la c i f r a d e las d e c e n a s e s m o

las otras dos.

( U n i v . d e S a la m a n c a )

Sea c b a el n ú m e r o p e d i d o :

a + b + c = 9 (1 )

¿“5 1Í - a 5 c = 1 9 8 = > (a + 1 0 b + 1 0 0 c ) — (c + 1 0 b + 1 0 0 a ) = 1 98 ; — 9 9 a + 9 9 c = 19 8 ;

- a + c = 2 12 )

a + c -b = a — 2 b + c = 0 13)

R e s o l v i e n d o e l s i st e m a f o r m a d o p o r l as e c u ac i on e s ( 1 ) ; ( 2 ) y ( 3 ) :

( 1 ) a + b + c = 9

(2 ) - a + c = 2

( 3 ) a - 2 b + c = 0

(1)

— < 2 ' ) = < 2 ) + < l )

( 3* ) = ( 3 ) + ( 2 )

+ b + c = 9

b + 2 c a 11

- 2 b + 2 c = 2

( 1 )

(2')

( 3 ” ) = ( 3 ' ) + 2 1 2' )

b + c = 9

b + 2 c = 11

6 c = 2 4

a -- 9 - b - c = 2

b = 11 — 2 c = 3

c = 4

E l n ú m e r o p e d i d o es e l 4 3 2 .

1.7 U n e s t u d ia n t e o b s e r v ó d u r a n t e l o s d d í as d e s u s v a c a c io n e s q u e :a ) L l o v i ó s ie te v ec e s, p o r l a m a ñ a n a o p o r la t ar d e.

b ) L l o v i ó u n a s o la v e z c a d a m a ñ a n a o t a rd e ll u vi o sa .

c ) S i l l o v i ó p o r l a t a r d e n o l l o v i ó p o r la m a ñ a n a d e a qu e l dí a.

d ) H u b o c i n c o t a r d es c la ra s y s ei s ma ñ a n a s c la ra s,

el n ú m e r o d e d í as d e v a c a ci o n e s .

( Uni v . de M a dr i d)


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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 1S>

S e a n m el n ú m e r o d e m a ñ a n a s l lu v io s a s , y t el n ú m e r o d e la r d e s l lu v io s a s

m a ñ a n a s l l u vi o s a s + m a ñ a n a s c l a ra s “ d í as d e v o c a c io n e s :

m + 6 - d ( 1 )

l a r d e l l u v io s a s + t a r d e c l a ro s = d i as d e v a c a c io n e s :

t + 5 = d 12 )

m a ñ a n a s l l u vi o s a s + t a r d e l l u vi o s a s 3 7

m + i = 7 ( 3 )

L a s e c u a ci o n es ( 1 ) . ( 2 ) y ( 3 ) f o r m a n e l s is t em a :

1 1) m - d - - 6

12) — d + t - — 5

( 3 ) m *■ t o 7

( 1 ) m - d . - 6

( 2 ) - d ♦ t - - 5

( 3 ' ) - ( 3 ) — ( 1 ) d *• t * 1 3

11 ) m — d - — 6

( 2 ) — d 4 - 1 - - 5

1 3 " ) - ( 3 * ) + ( 2 ) 2 t - 8

- 6 * d - 3

H u b o 9 d í a s d e v a ca c io n es

1.8 T r e s a m i g o s a c u e r d a n ju g a r tr e s pa r ti da s d e d a d o s d e f o r m a q u e . c u a n d o u n o p i e r d a u n a p a r t ida . e n t r e g a r á a c a d a u n o d e los o t r o s d o s u n a c a n t id a d igual a la q u e c a d a u n o d e e l lo s p o s e a en

m o m e n t o . C a d a u n o p e r d i ó u n a p a r t id a y al f i na l c a d a u n o t en ía 2 4 p es et as . ¿ C u á n t o d i n e r o

a l c o m e n z a r e l

( U n i v . d e C a s t i ll a - L a M a n c h a )

P u e s t o q u e l a c a n t i d a d t o t a l d e d i n e r o q u e t i e n e n e n t r e l os t r e s j u g a d o r e s e s i c*i al a l p r i n c i p i o q u e

al f i n a l , e n t r e lo s t r e s j u ga d o r e s r e ú n e n 2 4 * 3 = 7 2 p es et as .

S e a n x las p esetas q u e tenía el j u g a d o r A a n te s d e e m p e z a r el j u e g o , y la s q u e tenia e l j u g a d o r B

y z las q u e te n ía el j u g a d o r C .

S i A p ie r d e la p r i m e r a p a r t id a . B p i e r d e la s e g u n d a y C la tercera .

D i n e r o d e A D i n e r o d e B D i n e r o d e C

A l f in a l de la l í p a rt id a x - y - z 2 y 2 z

A l f i n a l d e l a 2 - p a r t i d a 2 ( x — y — x ) 2 y — ( x — v — — 2 z s 4 z

3 y — x — z

A l f in a l d e la 3 ? p ar t id o 4 ( x — y — z ) 2 ( 3 y — x — z) 4 z — 2 ( x - y - z ) - ( 3 y - x - z ) =

7 z — x — y

d e d o n d e r e s ul t a e l s is t e m a :


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20 S I ST E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

x + y + z = 72

4 ( x - y - z ) = 2 4

2 ( — x + 3y - z> = 24

- x - y + 7 z = 2 4

x + y + z = 72

x - y - z = 6

- x + 3 y - z = 12

- x - y + 7 z = 2 4

( 1 )

(2)

n i

1 1 ) + ( 2 ) : 2 x = 7 8 ; x = 39

( 1 ) + ( 3 ) : 4 y = 8 4 ; y = 21

i o;

(4)(1 > + (4 ) : 8 z = 96 z = 12

9 El t í o Ev a r i s t o t i e n e 1 0 l i t ro s d e m e zc la d e a gu a y v i n o . A l p r o b a rla o b s e r v a q u e e s d e mas í a-l i ge ra ; p o r lo q u e d e c i d e a ñ a d i r u n a c i e r ta c a n t i d a d d e v i n o ; y e n t o n c e s la c a n t i d a d d e a gu a es el 3 0 %

total . C o m o sig ue s iendo l ig e ra ; añade d e n u e v o la m is ma ca n tid a d d e v i n o q u e ante s; y e nto n ces le

de agua es e l 2 0 % del total . ¿ Cu ánt os l i t ros de v in o se añaden en cada ocasión y cuánto s hay

( U n i v . d e ! P aí s V as c o )

A gu a V i n o To tal

X V 1 0

X y + z 10 + z

X y + 2 z 1 0 + 2z

C o m p o s i c i ó n d e la m e zc la e n l i t ro s :

C o m p o s i ci ó n p r i m i t i v a :

al añadir z l i t ros de v ino :

al añad ir de nu ev o z I . d e v i n o :

Si en la se gun da c o m p o s ic ió n la can t ida d de ac^ja

es el 30 % d el t o t a l :

= > 10 x — 3 z = 301 0 + z 100

Si en la te rc er a c o m p o s ic ió n la cantidad de agua es el 2 0 % de l t o ta l :

x - 2 0 - » ■ 1 0 x - 4 z = 2 0

11)

12)10 + 2 z 1 0 0

Resolv iendo el s istema form ad o po r las ecuaciones (1 ) y (2 ) :

( 1) l O x - 3 z = 30

( 2 ’ ) - ( 1 ) — ( 2 ) z = 10

(1)

(2 )

l O x - 3 z = 30

l O x - 4 z = 20

x = 6

z = 1 0

se añaden 10 l i t ros de v in o en cada ocasión y h ay 6 l i t ros de agua en cada una de las composic iones.

z 1 . 1 0 La edad de un padre es do ble q ue la suma de las edades de sus dos hi jos, mientras que hace unosaños (exactam ente la d i ferencia de las edades actuales de los hi jos) la edad del padre era tr ip le que lam a de las edades en aquel t iem po de sus hi jos. Cua nd o pasen tantos años c om o la su ma de las edades

actuales de los hijos, la sumo de edades de las tres personas seré 150 años.

¿ Q u é e d a d t e n ia el p a d r e e n el m o m e n t o d e l n a c i m i e n t o d e c a d a u n o d e s us h i jo s ?

( Uni v . de C a s t i l la -L a Ma ncha . 1991)

Se a x la edad actual de l p a d r e , y la de l h i jo m a y o r y z la de l m en o r :


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S I S T E M A S O E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O O E G A U S S 21

- la e d a d d e l p a d r e e s d o b l e q u e l a s u m a d e l as e d a d e s d e l o s d o s h i jo s :

x = 2 ( y + z ) ( 1 )

— ha ce u n o s a ñ o s ( e x a c t a m e n t e la d i fe r e n c ia de la s e d a d e s a c t u a le s d e los h i j o s ) la e d a d d el p a d re era

t r i p l e q u e la s a m a d e la s e d a d e s e n a q u e l t i e m p o d e su s h i jo s :

x — ( y — z ) = 3 { | y — ( y — z ) ) + l z — ( y — z ) | ) 12}

— c u a n d o p a s e n t a n t o s a ñ o s c o m o la s u m a d e las e d a d e s a ctua les d e los h i jo s , la s u m a d e e d a d e s d e las

tr es p e rs o n a s se rá 1 5 0 a ñ o s :

l x + ( y + z ) l + l y + ( y + z ) ) + [ z + ( y + z ) | = 1 50 ( 3 )

L a s e c u a c i o n e s ( 1 ) , ( 2 ) y ( 3 ) f o r m a n , d e s p u és d e r e d u c i r l a s , e l s i g u ie n t e s is te m a:

( 1 ) x — 2 y — 2 z = 0

( 2 ) x + 2 y - 8 z = 0

( 3 ) x + 4 y + 4 z = 1 50

( 1 ) x — 2 y — 2 z = 0 |

— - 1 2 ' ) = ( 2) — ( 1 ) 4 y — 6 z = 0

( 3 ' ) = ( 3 ) - ( 2 ) 2 y + 1 2 z = 1 5 0

( 1)( 2 ' )

( 3 " ) = 2 ( 3 ' ) - ( 2 ' )

x — 2 y — 2 z = 0

4 y — 6 z = 0

3 0 z = 30 0

x = 5 0

y = 1 5

z = 10

L a e d ad d el p ad r e c u a n d o n a c ió el p r i m e r h i j o e ra 5 0 — 1 5 = 3 5 y c u a n d o n a ci ó e l s e g u n d o h i jo

era 5 0 - 1 0 = 40 .

1 . 1 1 T r e s gráficas re pre se nt an las f un ci on e s y = a x + 2 , y = 6 x — b , y x — 1 , re sp ec tiv a

m e n t e . D e t e r m i n a , s i e s p o s i b l e , l o s v a l o re s d e a y b p a r a q u e :

1) l as tr e s g r áf ic a s c o n c u r r a n e n u n p u n t o ;

2 ) las tres gráficas sean parale las ;

3 ) las t r e s gr ó f ic a s se c o r t e n d o s a d o s .( U n í v . d e C a n t a b r ia !

1 ) . L a s grá f i ca s de la s fu n c i o n e s d a d a s , p o r s e r l i ne a les e n x e y . r e p r e s e n t a n t r e s r ec ta s .

L a s t r e s r e c t a s c o n c u r r i r á n e n u n p u n t o s i e l si s t ema

- a x + y = 2

- 6 x + y = - b

. x + y * - 1

es c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o .

A p l i c a n d o e l m é t o d o d e G a u s s al si s te m a e s c ri t o d e la f o r m a :

( 1 ) y + x = - 1

( 2 ) y - 6 x = - b

( 3 ) y - a x = 2

(1)

( 2 ' ) = ( 2 ) — ( 1)

( 3 ' ) = ( 3 ) — ( 1)

y + x = — 1

— 7 x = 1 — b

- ( 1 + a ) x = 3


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2 2 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

( 1 )

( 2 ' )

( 3 " ) = — 7 { 3 ' ) + { 1 + a ) (2 ' )

y + x = - 1

— 7 x =1 — b

0 = a— b — a b —2 0

e l s is te m a se rá c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o s i a — b — a b — 2 0 = 0 .

2 ) L a s t r e s gr á f i c a s se r á n p a r a le la s si lo s c o e f i c i e n t e s a n g u la r e s d e la s t re s r ec t a s s o n i gu a le s :

a = 6 = - 1

se l l eg a a u n a c o n t r a d i c c i ó n , l o q u e n o s d i c e q u e p a r a n i n g ú n v a l o r d e a y b l as t r e s r e c t as s e r á n p a r a

lelas.

3 ) S i a & { — 1. 6 } , l as t re s r e ct a s s e c o r t a r á n d o s a d o s .

Si a e { - 1. 6 , la p r i m e r a re c ta se rá p a r a le la a a lg u n a de la s o tra s d o s . S i a - 6 y b = - 2 ,

las d o s p r i me r a s r e c t a s s o n c o i n c i d e n t e s .

1 . 1 2 C l a s if i c ar e l s i g u ie n t e s i st e m a y . si f ue se p o s i b l e , r e s o lv e r lo :

x - y + 3 z = 3

x + 2 y - z = 2 •

2 x + y + 2 z = 5

( U n i v . d e L a L a g u n a — T e n e r if e )

( 1 ) n- 1 3 3 ' ( 1 ) / 1 - 1 3 3\

(2 ) -2 - 1 2

—

0 •—I ( NI I 3 - 4 - 1 ] -

(3 ) 1 2 5 . 1 1 3') = ( 3 ) - 2 ( 1 ) \ 0 3 - 4 - i /

I Dn

- 1 33 \

I 2 ‘ ) C1 3 - 4 - 1 ] = > el s is te m a d a d o es e q u iv a l e n te al s is te ma

1 3 ") = ( 3 -) - - ( 2 ‘ ) \ 0 0 0 0 /

x - y + 3 z = 3

3 y - 4 z = - 1

(a)

( b )

q u e e s tá f o r m a d o p o r d o s e c u a c i o n e s , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , c o n t re s i n c ó g n i t a s . E l s i s t e m a es

c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o ( i n fi n i ta s s o l u c io n e s ) .

D e ( b ) : 3 y = — 1 + 4 z

l le v a n d o este v a lo r a l a ) : x = 3 + y — 3 z = 3 — ^ + 3 z = — — — 3 3 3 3

h a c i en d o z = 3 k :

k = | - 5 k ; y = - i + 4 k ; * = 3 k


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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 2 3

1 . 1 3 C a l c u la r el v 8 lo r d e m p a ra q u e e l s ig u ie n te s is te ma se a c o m p a t i b l e :

x + 2 y ■ 3

x — 3 y = 1

2 x + y a m

( 1 ) ,1 2 3 \

( 1 ) 1 2

( 2> 1 - 3 ( 2 ' ) * ( 2 ) — ( 1 ) 0 - 5

( 3 ) \ 2 1 m / ( 3 ' » a | 3 ) - 2 { 1 | 0 - 3

(1 ) 1 2 3 x + 2 y = 3

(2*) 0 - 5 - 2 = > - 5 y = - 2

( 3 " ) = 5 ( 3 * 1 - 3 ( 2 ' ) 0 0 5 m — 2 4 0 = 5 m — 2 4

L a ú l t i m a i gu a ld a d s er á u n a i n c o n gr u e n c i a si 5 m — 2 4 es d i s t i n t o d e 0 , lu ego el s is t e ma s e r á c o m

patib le si

5 m — 2 4 = 0 m2 4

5

1.14 Ha l la r la r e la c i ó n q u e d e b e n c u m p l i r a . b y c p a r a q u e e l s is te ma

3 x + 2 y = a — 2 x + 5 y b

4 x + 9 y


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2 4 S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

(1 ) P 1 1 ° \ (1 ) 1 1 1 0

(2 )°

1 12 K


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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 2 5

( 1 ) X + 2 y + Z = 012) x + ( a + 2 ) y + 2 z = 0

( 3 ) x + ( 2 - a ) y + ( a - 2 ) z = 0

( 1 )

(2’) = (2) — (1)

( 3 ’ ) = ( 3 ) — ( 1 )

x + 2 y + z = 0

a y + z = 0

- a y + ( a - 3 ) z = 0

( 1 )

( 2 ' )

( 3 " ) = ( 3 ' ) + ( 2 ' )

x + 2 y + z = 0

a y + z = 0

(a — 2 ) z = 0

Si a * 2 , las tres ecuaciones son l inealmente independientes, sólo existe la solución tr iv ia l .

Si a = 2 . el sistema d a d o es eq u iva le n te al sis te ma:

x + 2 y + z = 0

2 y + z = 0

co m o el sistema t iene dos ecuaciones l inealmente independientes con tres incógnitas, t iene infin i tas so

luciones.

D e la ú lt i m a e cu ac ió n: z = - 2 y

l le v a n d o e st e v a lo r a la p r i me r a e c u a c i ó n : x = - 2 y + 2 y = 0

haciendo y = k , tenemos la solución general :

x = 0 ; y = k ; z = - 2 k

. 1 8 S e c o n s id e r a el s is te ma

x - y + z = 1

2 x — y + z = m

3 x ¿ 2 y - m z = 4

a) Di scu tir el sistema según los valores m.

b ) R e s o lv e r el s i s te ma p a r a m = 1.

( U n i v .

(1) i - 1 1 1 (1 ) 1 - 1 1 1

(2) 2 - 1 1 m — ( 2 ' ) = (2) - 2 ( 1 ) 0 ; - 1 m - 2

(3) 3 2 - m 4 (3 ’ > = ( 3 ) - 3 ( 1 ) o 5 - m - 3 1 ,

1 1 )

(2')

( 3 " ) = ( 3' ) - 5 ( 2 ' )

1 - 1 1 1

0 1 - 1 m - 2

lO 0 — m + 2 11— 5 m

Si - m * - 2 * 0 , m * 2 , el si ste ma es C O M P A T I B L E D E T E R M I N A D O (u n a so la s o lu c ió n )

Si m a 2 , la ú lt i m a igualdad al aplicar Gaus s se rá : 0 = 1 , a b s u rd o , el si ste ma es I N C O M P A T I

B L E (n o t ie n e s o lu c i ó n ) .


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2 6 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

b ) P a r a m = 1 . e l s i s t e ma r e s u l t a n t e a l a p l i c a r G a u s s es:

x — y + z = 1

y - z - - 1

z = 6

x = 1 + y - z = 1 + 5 - 6 = 0

y = — 1 + 2 3 — 1 + 6 = 5

z = 6

. 1 9 D i s c u t i r y re s o lv e r s e g ún l o s v a l o re s d e a e l s i st e m a:

a x + y + z = 1

x + a y + z = a

x + y + a z = a2i

( U n i v . d e S a n t ia g o , 1 9 9 1 )

( 1) a 1 1 1 \ ( 1) a 1 ’ 1

( 2) 1 a 1 a — ( 2 ' ) = 3 ( 2 ) - ( 1 ) 0 a2 — 1 a— 1

( 3 ) 1 1 a a2/ ( 3 ’ ) = ( 3 ) - ( 2 ) 0 1 - a a - 1

( 1 ) a 1 1’ \

( 2 ' ) 0 a 2— 1 a - 1 a ’ - l —

( 3 " ) - (1 + a ) ( 3 ' ) + < 2 ' ) 0 0 a2 + a — 2 a 3 + a 2 — a— 1 /

a 1 1

0 (a + 1 X a — 1 } a — 1

0 0 ( a + 2 H a — 1 )

1

(a + 1 H a - 1)

(a — 1 ) ( a + 1 ) 2

Si a g { 1 , - 2 ; , el s is te m a es C O M P A T I B L E D E T E R M I N A D O ( t i ene u n a s o l u c i ó n )

El s istema es equ ivale nte a l s istema:

a x + y + 2 = 1

l a + l ) < a - 1 ) y + (a— 1 ) z = ( a + 1 ) ( a - 1 )

( a + 2 ) ( a - 1 ) z = (a — 1 ) (a + 1 >2

z = (a — 1 ) ( a + 1 )2 _ ( a + 1 ) 2( a + 2 ) ( a — 1 a + 2 '

( a + 1 ) *

1 -

x =

V =

1

a + 2

a + z ^ a + i <

( a + 1 H a — 1) a + 2 a *- 2

l a + 1)*

a + 2 + 2 - 1 - a 2 - 2 a - 1

a a l a + 2 )

S i a = 1 , p o r G a u s s h u b ié s e m o s l le g a d o al c u a d r o :

a ( — a — 1)

a ( a + 2 )

- a - 1

a + 2

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

el s iste m a es C O M P A T I B L E I N D E T E R M I N A D O ( t ie ne in fin it a s

s o l u c i o n e s )


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El s is t e ma d a d o e s e q u i v a le n t e a l fo r m a d o p o r la e c u a c i ó n

x + y + z = 1 x = 1 - v - z

h a c i e n d o y = k , z = h . t e n e mo s la s o lu c i ó n gen er al

x = 1 — k - h ; y = k i = h

Si a = - 2 , p o r G aus s h u b ié r a m o s llegado al c u a d r o

- 2 1 1 1\0 3 - 3

30 0 0 - 3 /

l a ú l t i m a l í n ea eq u i va l e a d e c i r q u e 0 = - 3 . a b s u r d o , l u eg o

el s is te ma es I N C O M P A T I B L E ( n o tie ne s o lu c ió n )

1.20 De t e r m i n a r , si e x i s t e n , lo s v a lo r e s d e l p a r á m e t r o a p a r a q u e el si s te ma X + 3 y + 2 z = 3

4 x + y + a z = 4

- 6 x + 4 y - 6 z = - 2

( U n i v . d e C a n t a b r i a )

El s istema será co m pa tib le ind ete rm ina do si al apl ica r G auss nos resulta a l me nos un a f i la de ce

r o s, y a q u e al t e n e r el s i st e ma tr e s i n c ó gn i t a s e l n ú m e r o m á x i m o d e e c u a c i o n e s l i n e a lm e n t e i n d e p e n d i e n

te s t iene q u e ser dos :

¡1) / 1 3 2 3 ¡ 1) 1 3 2

( 2 ) 4 1 a 4 — - ( 2 ' ) = ( 2 ) - 4 ( 1 ) 0 - 1 1 a - 8

(3) 1 - 6 4 - 6 - 2 ( 3 ' ) = (3 ) + 6 ( 1 ) 0 2 2 6

(1 )


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C A P I T U L O 2

MATRICES

M A T R I C E S .

Se l la m a m a t r i z re al d e d i m e n s i ó n m x n o d e o r d e n m x n , al c o n j u n t o d e m - n n ú m e r o s re a le s o r d e

n a d o s e n m f il a s y n c o l u m n a s .

‘21

12 ' * ' ln

«22 a2n

m 1 m 2 " * ir

L o s m - n n ú m e r o s r ea le s a )( se l la m a n t é r m i n o s o e l e m e n t o s d e la m a t r i z . L o s n ú m e r o s n a t u r a

l es i y j d e s i g n a n , r e s p e c t i v a m e n t e , l a f i la y l a c o l u m n a a l as q u e p e r t e n e c e el e l e m e n t o a . ..

La s m a tr i c es se s ue le n r e pre se nt a r p o r letras m a yú sc ula s. A , B o A m>(n, 8 r . c u a n d o

sea c o n v en ie n t e i nd i ca r s u d i m e n s i ó n , o b i e n p o r ( a , , ) . ( b ( j) , . . . o ( ai ( ) m i t n . ( b ( )|

P*Q

p « q

2x3 3*2

- 2 1

- 3 2

- 8 5

S e d ic e q u e u n a linea (f i la o c o l u m n a ) es c o m b i n a c i ó n l in e a l f e o t r a s l ín ea s p a r al e la s e el la I , J 2 . . . .

c u a n d o r es u lt a d e s u m a r é st as , m u l t i p l i c a d a s r e s p e c t i v a m e n t e p o r n ú m e r o s X , . X2 . . . c u a le s q ui e ra .

En la ma triz anterior, A 3s2 , la tercera lila es com bin ació n lineal de las dos primeras, ya que es igual a la primera

más la segunda multiplic ada po r 2.

D o s m a t r i c e s s o n e q u i d i m e n s i o n a l e s s i t ie n en e l m i s m o n ú m e r o d e f ila s y e l m i s m o n ú m e r o d e c o

l u m n a s .

E l c o n j u n t o d e m a t ri ce s e q u id i m e n s io n a l e s, d e m f il as y n c o l u m n a s se s i m b o l i z a p o r

D o s m a t ri c es A = ( a if) y B = ( b i () s o n i g u ale s si s o n e q u i d i m e n s i o n a l e s e i g u a le s t o d o s l o s e l e

m e n t o s c o r re s p o n d i e n t es .

V ¡ € { 1 , 2 m } y V j € { 1 . 2 n }A = B o3 b . i

Las matrices r a b c n 2 3

A = B =

d e f. I.4 5 6 .

serán iguales si v solo si a = 1. b = 2 c = 3, d = 4 , e = 5 y f = 6 -


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3 0 M A T R I C E S

M a t r i z n u l a es l a q u e t ie n e t o d o s s us e l e m e n t o s ig ua l es a 0 . S e s i m b o l i z a p o r O mii n o p o r O c u a n -

d o n o h a y a d u d a d e s u d im e n s i ó n.

So n mat rices nulas:

° 2 « 3 “

0 0 0' ‘ 0’0 0 0‘

: ° 3 « i ” 0 ° 3 . 3 = 0 0 0

0 0 0 0 .0 o 0 .

M a t r i z f i l a es l a q u e t i e ne u n a s o la f i la : A , , n . V m a t r i z c o l u m n a e s l a q u e t i e n e u n a s o la c o l u m n a

't i

D ? 1

A . n = [ 311 ai2 ’ ••a1n] 8m l

M a t r i z o p u e st a d e l a m a t r i z A =


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M A T R I C E S 31

M a t r i z t r i a n g u l a r es la m a t r i z c u a d r a d a q u e t i e ne n u l o s t o d o s l o s e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r e n c i m a o

p o r d e b a j o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l .

E s t r i a n g u l a r s u p e r i o r s i s o n n u l o s l o s e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r d e b a j o d e la d i a g o n a l p r i n c i p a l , y

t r ia n g u la r i n f e r i o r si s o n n u lo s los e le m e n t o s s i t u a d o s p o r e n c im a d e la d ia g o n a l p r i n c i p a l .

es triangula! inferior.‘ 3 4 5 1 r 2 0 O ’

La matriz 0 6 1 os triangular superior, v 3 - 1 0

0 0 4 L4 0 3.

M a t r i z s im é t r i c a e s la m a t r i z c u a d r a d a q u e t i e n e i g ua l e s s us e l e m e n t o s c o n j u g a d o s , es d e c i r , a -

= a , p a r a t o d o i y t o d o j .

a b e

b d e

c e f

M a t r i z a n t i s i m ó t r i c a e s l a m a t r i z c u a d r a d a q u e v e r i f ic a la p r o p i e d a d : a (| = — a p a r a t o d o v a l o r

d e i y t o d o v a l o r d e j . L o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l s o n n u l o s .

u a

- a 0

- b — c

S U M A D E M A T R I C E S .

L a s u m a o a d i c i ó n d e d o s m a t ri ce s A y B d e l m i s m o o r d e n , m x n , es o t r a m a t r i z C . d e o r d e nm x n , c u y o s e l e m e n t o s se o b t i e ne n s u m a n d o l os e l e m e n t o s d e A y B q u e o c u p a n lu ga re s h o m ó l o

gos.

A + B =

a n a t2 •- a . B b „ b l 2 . . " b l "' a , , + b n a ,2 + b , 2 - a i n + b , „

a 2l a22 • • a2n b 2, b 2 2 . . b 2n a 21 + b 2t a22 + b 22* • a2 n + b 2n+

a , . . a b , b . . . . . b a ,* -b . a n + b >1. . . a _ + bm t m 2 m n_ m 1 m? m n m t m i m 2 rn 2 m r» m n

D o s m a t r i c e s s e p o d r á n s u m a r si y s o l o s i s o n e q u i d i m e n s i o n a l e s .

2 3 - 1 '4 2 3 2 + 4 3 + 2 - 1 + 3 ' 6 5 2

- 2 4 2 1 2 - 4 = - 2 + 1 4 + 2 2 - 4 = - 1 6 - 2

_ 5 6 - 3 2 - 4 3_ . 5 + 2 6 - 4 - 3 + 3, 7 2 0 .

P r o p i e d a d e s d e l a s u m a d e m a t r ic e s :

1° L a s u m a d e m a t r i c e s e s l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a .

V I A . B I S (

2 ° P ro p ie da d a so cia tiv a: A + ( B + C ) = ( A + B I + C V ( A , B . C ) G ( * ) :

A + B = c e ' BO

3 ? E x i s t e e l e l e m e n t o n e u t r o . E s te e s l a m a t r i z n u l a d e o r d e n m ■ n . q u e s i m b o l i z a r e m o s p o r O .

4 ? E x i s t e e l e l e m e n t o s i m é t r ic o o m a t r i z o p u e s ta .

V A e # 3 - A < 5 * / A + ( — A ) = Om«r> m i n ' * '


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3 2 M A T R I C E S

P r o p i ed a d c o n m u t a t iv a : A + B = B + A V ( A . B ) E { *

P o r c u m p l i r las c i n c o p r o p i e d a d e s a nt e ri o re s , e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s . * m K n, t i e n e e s t r u c t u r a d e

g r u p o a b e l ia n o r e s p e c t o d e la s u m a .

P R O D U C T O D E M A T R I C E S .

D a d a s las m a t r i ce s A = ( a .. ) d e d i m e n s i ó n m » n y la m a t r i z B = ( b t |) d e d i m e n s i ó n n • p . se

l la m a p r o d u c t o d e A p o r B a l a m a t r i z C = ( c t( ) d e d i m e n s i ó n m x p , e n d o n d e el e l e m e n t o g e né ri •

c o O j es i gu al a la s u m a d e lo s p r o d u c t o s s i g ui e n te s : p r i m e r e l e m e n t o d e la f i l a i d e A p o r el p r i m e

r o d e l a c o l u m n a j d e B , el s e g u n d o e l e m e n t o d e la f il a i d e A p o r e l s e g u n d o d e la c o l u m n a j d e B .............

el n - é s i m o d e l a f il a i d e A p o r el n é s i m o d e l a c o l u m n a j d e 8 .

ka n

C„ = a .1 b 1 ( + a , 2b 2 , +

+ a. n b n , = Z a , k b k,

k a 1

a 11 a 12 * ’ ’ a i n ' b „ b >2 • - b - p

a 2, a „ . a 2n• b 2 1

b22 * b 2 p

a m . 8 m 2 ’ ' 8 m n b nl b « 2 • * b n p

k = o k = n

Z . a , k b ki j L a I k b k 2 •••• ^ . a , k b k * = ' k = l

' = n k - n

¿ . 3 2 k b k, / . a ? k b k2 ^ a 2k b K,k = 1

k = n

k = 1

k a 1

¿ - 3 m k b k1 L am k b k?k = l

k = 1

ka n

k = 1

r í + 2 b i r i 2 3 i a b c

d e f a|_3a+ 4 b J . 4 5 e l

-9 h '

S ó l o se rá p o s i b le el p r o d u c t o d e A p o r B si el n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A es igu al a l n ú m e r o d e

f i l a s d e B .

a + 2 d + 3g b + 2 e + 3 h c + 2 f + 3 ¡

4 a + 5 d + 6 g 4 b + 5 c * ' 6 h 4 c + 5 f + 6 i

P r o p ie d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a t ric e s :

— P r o p i e d a d a s o c i a t i v a :

A m « n ^B n «p * ^ D «Q ^ = *A m « n ‘ ® r ) « p ^‘ ^ o « q

— P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l p r o d u c t o r e s p e c t o d e la s u m a :

A í. x n - < B ni i p + C n > p ) = A m , n B n x p + A m - n - C

í A m « n + C n . p = A m « „ - C n « p + B ■c« " n « p


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M A T R I C E S 3 3

E n g e n e ra l , n o s e v e r if i c a la p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a .

0A B

1*2 1 0

i.4 - 2 1

1 3

- 2 7

4 0

1 3

- 2 7

4 0 .

1°1

- 2 -

0 13

.12 - 2

14 - 5

2 4 - 1 6

8 4

A - B * B A

H a y c as os e n q u e e x i st e A m > n - B n f p y n o e xi s te B n, p A m > n . s i p -A m .

E n l os c a so s e s pe c ia l es e n q u e A •B = B A , se d i c e q u e las m a t r i c e s A y B s o n p e rm u ta b le s .

S o la m e n t e si A y B s o n p e r m u t a b l e s se p o d r á d e c i r q u e ( A + B l 2 = A 2 + 2 A B + B 2 , p u e s en

general ( A + B ) 2 = ( A + B ) ( A + B ) = A 2 + A B + B A + B 2 .

— T o d a m a t r i z escalar d e o r d e n n c o n m u t a c o n t o d a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n.

E n p a r t ic u l a r, la m a t r i z u n i d a d I c o n m u t a c o n c u a l q i e r m a t r i z c u a d r ad a d e o r d e n n , v e r i f ic á n

d o s e :

| . A = A - ! = An n n n n

E l e l e m e n t o n e u t r o , r e s p e c t o d e p r o d u c t o , d e l as m a t r i c e s c u a d r a d a s d e o r d e n n es l a m a t r i z u n i

d a d l _ .

P R O D U C T O D E U N A M A T R I Z P O R U N N U M E R O .

El p r o d u c t o de la m a t r iz A = l ai () . de o r d e n m . n , p o r el n ú m e r o real X es la m a t r iz X A =

= ( X •a ) . d r o r d e n m x n , c u y o s e l e m e n t o s se o b t i e n e n m u l t i p l ic a n d o t o d o s l o s e l e m e n t o s d e A p o r X .

X a , , X . a „ . . • X a i n

X - a X- a . .A = 2

1 2n

X ami

X a , . .m 2

5‘ 2 - 1

01 = i ’0- 5 o'

. 3 4 6 J L15 20 3 0.

E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n n ú m e r o c u m p l e las s ig u ie n te s p r o p ie d a d e s :

1?

2 ?

3 ?

4 ?

X ( A + B ) = X A + X B

( X + p ) A = X A + p A

X ( P A ) = ( X * j ) A

1 - A = A

P o r c u m p l i r e st as c u a t r o p r o p i e d a d e s y las c i n c o a n t e r io r e s d e la s u m a , e l c o n j u n t o d e m a

tr ice s d e o r d e n m x n , t ie n e e s t r u c t u r a d e e s p a c io v e c t o r ia l s o b r e el c u e r p o d e lo s n ú m e r o s re ale s.


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3 4 M A T R I C E S

M A T R I Z T R A N S P U E S T A .

M a t r i z t r an s pu e st a d e la m a t r i z A _ _ e s la m a t r i z B „ . _ q u e r e s ul t a d e c a m b i a r o r d e n a d a m e n t em m fi i m

s u s f il as p o r s u s c o l u m n a s .

L a m a t r iz t ra ns pu es ta d e A se s im b o l iz a p o r A ' o p o r A ‘ .

f a b [■• c e lc d = >

L* fL b d f J

P r o p ie d a d e s d e l a m a t r i z t ra n s p u e s ta :

- ( A ’ )* = A

- I A + B ) f = A * + B 1

- < k A ) ! = k A 1

- ( A B ) ‘ = B ’ -A*

- S i A es s i m é tr ic a ; A * = A

- S i A es a nt i s im é t r i c a: ( - A ) ' = A . o b i e n - A = A '

M A T R I Z I N V E R S A .

S ea A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n . S e d i c e q u e A t i e n e in v e rs a si e x is t e u n a m a t r i z B . c u a

d r ad a d e o r d e n n , tal q u e A - B « l p . S e d i ce q u e B es la m a t r iz i nv er sa d e A

L a m a t r i z in v e rs a d e A . c u a n d o ex i s t e, s e s i m b o l i z a p o r A . v e r if i c á nd o s e

A - A " 1 « A 1 • A = I

L a m a t r i z i n ve r sa d e A . c u a n d o ex i s t e, es ú n ic a .

U n a m a t r i z c u a d r a d a t ie n e i nv e rs a si y s o l o si es p o s i b l e p a sa r, p o r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l es

s o b r e la s f i la s , d e l c u a d r o

I A I I )

al c u a d r o { I I A “ M

U n a transformación dem enta! to bre las filas de un a mat riz es cualquie ra de las operaciones siguientes:- Multiplicar, o dividir , los elementos de una ti la por un número

- Cam biar ent re si dos filas

- Sumar a los elementos de una fila, multiplicados o no por un númer o, los correspondientes elementos de otra

fila multiplica dos por o tro número.

r i n m n i 1 0' (i) ft i 1 Oí Sea A - : — L2 3 J 12) |2 3 o K ( 2 ’) = ( 2 1 - 2 ( 1 ) [ O 1 -2 l )

I D - (1) — í2‘» [1 0 3 -1

=> A"1-

r 3

(2‘) l o 1 -2 1 1-2

r 1 0 0‘ (1) 1 0 0 1 0 0 Sea A m \ 3 1 5 12) 1 3 1 5 0 1 0

L-« 0 2 (3) i -4 0 2 0 0 1


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29/468

3 6 M A T R I C E S

A X + B = C = > A X = C — B = > A _ , ( A X ) = A ’ ( C - B ) = > ( A A ) X = A ~ ’ I C — B) = >

I X = X = a ' i c - B )

N O T A : E n el c ap írulo siguiente, después de co noc er la teoría de determinantes, se amp liará la teoría de la ma triz

inversa.


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PROBLEMAS

3

1

- 2

2

( U n i v . d e M a d r id , 1 9 9 1 )

A B = [ i 3 2 - i ]

3

1

- 2

2

= [ l - 3 + 3 - 1 + 2 ( - 2 ) + ( - 1 ) 2 ] = [ 3 + 3 - 4 - 2 ] = [ 0 ]

B A =

’ 3 ' 3 1 3 3 3 2 3 1 - 1 ) 3 9 6 - 3 '

1

Í 1 3 2 - 1 1 =

M 1 - 3 1- 2 1 1 - 1 ) 1 3 2 - 1- 2 L J - 2 - 1 - 2 3 - 2 2 - 2 1 - 1 ) - 2 - 6 - 4 2

2 2 - 1 2 3 2 2 2 1 - 1 ) 2 6 4 - 2

O b t e n e r lo s v a lo r e s d e x , y . z , q u e v e ri f i qu e n la s ig u ie nt e e c u a c ió n m a t r i c i a l :

+

( U n i v . d e V a l e n c i a )

1 1 1

x 2 + 2 1

- 1 - 0 1

( 1 ) x + y + z = 1

( 2 ) 2 x + 2 y + z = 0

(3 ) - x + z 3 0

y Xv7

= 0 = > 2 x*•

,0 —x

(1 )

— ( 2 ' ) = ( 3 ) + ( 1 )

(3*) 3 ( 2 ) — 2 ( 1 )

y + z ' 1

+ 2 y + z = 0

z 0.

x + y + z = 1

x + y + z r

2 x + 2 y + z = 0

- x + z 0

x = 1 - y - z = 1 + 3 - 2 = 2

y = 1 - 2 z = - 3 y + 2 z = 1

- z 3 - 2 z = 2


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3 8 M A T R I C E S

R e s o lv e r el s is te ma 2 X + Y = A

4 X - 3 Y = B

q u e X e Y s o n m at ri c es d e d i m e n s i ó n 3 ■ 4 , y

A =[ * - 1 8 7 | b I 13 - 4 — 2 l l

[ - 3 6 12 J ' [ - 1 1 12 1 4 J

(1 ) 2 X *- Y = A

(2 ) 4 X — 3 Y = B

I I ) 2 X + Y = A

( 2 ') = ( 2 ) - 2 ( 1 ) — 5 Y = B — 2 A

Y = ± ( 2 A - B )

2 X = A - Y = A - I ( 2 A - B ) = ^ ( 3 A 4 B X = ^ ( 3 A + B, I

X - - Í - ' 3 2410 - 9 18

2 1 1 r 1 3 - 4 —2 i i \ , r i o 2 0 o j r i

3 6 1 L - n 12 1 4 1 I- 20 30 L" 2

y - 1 i r - 2 16 i 4 i - [ , 3 ~ 4 _ 2 i i ' - i r - 1 55 l [ - 6 12 2 4 J L— 11 12 1 4 j 5 [ 5

2

2 3

2 0 3 5

0 10

- 3 4

1 0

D a d a la m a t r iz A =

5 - 4 2

2 - 1 1

4 4 - 1

q u e A - ’ 2 A — I , s i en d o I la ma t r i z i d e n t i d a d . U s a n d o la fó r m u la a n t e r i o r, c a lc u lar A 4 .

( U n i v . d e M a d r i d )

5 - 4 2 5 - 4 2

A ? = 2 - 1 1 2 - 1 1

- 4 4 - 1 - 4 4 - 1

5 5 + ( - 4 ) 2 + 2 (— 4 ) 5 ( - 4 ) + ( — 4 ) ( — 1 ) + 2- 4

2 5 + ( - 1 ) 2 + 1 ( - 4 ) 2 (— 4 ) + ( — 1) (— 1 ) + 1 4

- 4 - 5 + 4 - 2 + ( — 1 ) ( — 4 ) — 4 ( — 4 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 4

5 - 2 +


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M A T R I C E S 3 9

está c o m p r o b a d o q u e A 2 = 2 A - I.

A 4 = A 2 - A 2 = ( 2 A — I) ( 2 A — I 4 A — 2 A — 2 A + I = 4 (2 A — I) — 4 A + I = 4 A — 31

17 - 1 6 8

8 - 7 4

- 1 6 16 - 7

Da d a la ma t r i z A =

tal es qu e A X = O .

encontrar una de las matrices X cuadradas de orden 2 y

( U n i v . d e M ad r i d . 1 9 91 )

Sea X =

A X = O

X yla matriz pedida.

Y i

3 - 3 x y 0 0

=> = = >2 - 2 V Z . 0 0 .

3 x - 3 y = 0

3 y - 3 z = 0

2 x - 2 y = 0

2y - 2/ = 0

3 x - 3 y = 0

3 y — 3 z = 0

3x - 3 y 3 y — 3z 0 0

2 x — 2 y 2 y — 2 o 0.

co m o las ecuaciones tercera y cuarta son, respectivamente, igua

les a la prime ra y segunda multiplica das por 2/3; el sistema que

resulta de tachar dichas ecuaciones es equivalen te al anterior:

x = y

z = y

■2 2 - 1 1 0 0

Dadas las matrices A = - 1 - 1 1 . 1 = 0 1 0

- 1 - 2 2 0 0 1

1 ) C a lc ul a r la m a t ri z ( A - I ) 2,

uso di

se p i d e :

( U n i v . d e M a d r i d . 1 9 9 1 )

1 2 - r 1 2 - 1 " 1 - 2 + 1 2 - 4 + 2 - 1 + 2 - 1 '

> 1 I I

- 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 + 2 - 1 - 2 + 4 - 2 1 - 2 + 1- 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 + 2 - 1 - 2 + 4 - 2 1 - 2 + 1


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4 0 M A T R I C E S

C o m o la m a t r i z A 2 c o n m u t a c o n I ( en l a m u l t i p l i c a c i ó n ) :

A 4 - | 2 = ( A ? + I H A 2 — I ) = ( A 2 + 1 ) 0 = 0 A 4 = l 2 = I

2

7 S i P y Q s o n d o s m a t r ic e s c u a d r a d a s d e o r d e n n , ¿ e s c i e r t a , e n ge n e r a l , la i gu a lda d

( U n i v . d e L e ó n )

El p ro du cto de matr ices cuadradas ver if ica la pro pieda d distr ibu tiva respecto de la suma, luego:

( P + Q ) 2 = (P + Q ) ( P + Q ) = P2 + P Q + Q P + Q 2

si P Q n o es i gual a Q P : P 2 + 2 P Q + Q 2 * (p + Q } 2 .

La igualdad del enun ciad o sólo se ver i f icará si P y Q , además de ser cuadradas, con mu tan respecto

d e l p r o d u c t o .

, 3

P ro b ar q u e A " = 2 n ” ’ A . s ie nd o A =

- I! ’J

( U n i v . d e Las P alm as d e G r an C an ar i a )

H a r e m o s la d e m o s t ra c i ó n p o r e l m é t o d o d e i n d u c c i ó n :

n = 1 : A ’ = 2 , _ 1 ■ A = A

- *■ = ['. ’J C K ; i - [ ! 3 - - *

la f ó r m u la se v er if ic a p ar a n = 1 y n = 2 , s u p o n ie n d o q u e A " = 2 " A :

A h *1 = A h - A = ( 2 h~ ’ A ) A = 2 h _ 1 A 2 = 2 h_ 1 - 2 A = 2 h A = 2 , h *n ' 1 A

la e s c ie rt a t a m b i é n p a ra n = h + 1 . E s tá d e m o s t r a d o q u e A " = 2 " ’ A .

l a f ó r m u -

1 0 0o oZ . 9 S ea la m a triz A = 1 1 0

.1 0 1

C a lc u la r A 1 00 .

' 1 0 0 "1 0 0 o o

1 1 0 1 1 0 2 2 1 0

. 1 o 1 . -1 o 1. 2 0 1 .


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35/468

4 2 M A T R I C E S

í 1 1 M1 1 H a l la r la m a t r i z B ' . s i e n do B = 1 1 1

’ ¡ U n i v ele M á la ga )

' 1 1 1 1 1 l l 3 3 3

1 1 1 1 1 1 = 3 3 3 = 3 B

1 1 1 _1 1 1_ _3 3 3

= ( 3 B ) •B = 3 B2 _

3 ( 3 B) = 3 2 B ; b4

B 3 - B = ( 3 2 B ) - B = •

c o n s i d e r a n d o e s t os r e s u lt a d o s , p o d e m o s ha c er la h i p ót e s is d e q u e B ' = 3 " ’ - B

de d o n d e : B " ’ 1 = B °. B = ( 3 " _1 B ) B = 3 o - 1 B 2 = 3 ° - ’ ( 3 B ) = 3° B

E s t á d e m o s t r a d o , p o r e l m é t o d o d e i n d u c c i ó n , q u e l a f ó r m u l a ( 1 ) e s c i e rt a , l u eg o

3 n ~ ' 3 „ - . 3 « - r

B " = 3 n * 1 B =3 o - i

3 0 - 1

¿ o - , 3 n - ,3 " - \

4 5 - 1 4 5 - 1 1 6 - 1 5 + 3 2 0 - 2 0 + 4 - 4 + 5 + 0 4 4 1

A 2 = - 3 - 4 1 - 3 — 4 1 = - 1 2 + 1 2 - 3 - 1 5 + 1 6 - 4 3 - 4 + 0 = - 3 - 3 - 1

- 3 — 4 0 - 3 - 4 0 — 12 + 1 2 + 0 - 1 5 + 1 6 + 0 3 - 4 + 0 0 1 - 1

4 5 - í ' 4 4 1' 1 6 - 1 5 + 0 1 6 - 1 5 - 1 4 - 5 + 1

A 3 = A - A 2 = - 3 - 4 1 - 3 - 3 - 1 = - 1 2 + 1 2 + 0 - 1 2 + 1 2 + 1 - 3 + 4 - 1

- 3 - 4 0 . 0 1 - 1 . - 1 2 + 1 2 + 0 - 1 2 + 1 2 + 0 - 3 + 4 + 0

‘ 1 0 0

0 1 0 = | ; 4 2 8 — 1 4 2 x 3 + 2 44 28 _ a 1 4 2 x 3 + 2 _ A I « X 3 a 2 _

0 o ,

‘ 4 4 r

= ( A 3 )’ 4 2 - A 2 = I ’ 4 2 - A 2 = 1•A 2 = A 2 = - 3 - 3 - 1

0 1 - 1


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M A T R I C E S 43

2 .13 C o m p r o b a r qu e la m a t r iz A = ^ v e ri fi ca la r el a ci ón A 2 + I = 0 d o n d e :

• - [ ; a ’ - c : iO b t e n e r u n a m a t r i z B . d i s ti n ta d e ± A . q u e t a m b i é n v e r i fi q u e la r e la c ió n B 2 + I = 0 .

( U n i v . d e M a d r i d , 1 9 9 1 )

A 2 + I =

Se a B =

[ 0í ° ’ i + r

. o í r _ i° ] + \ '

0

1

- —

o 1 - 1 o j [ i 3 l j | 0 -

[ a b |

i j [ o

I a b

1.

:1 = 0

^ I « . I l e d+

ca

a -

a 7 + b c a b + b d ] 1 0 a2 + b e + 1 b (a +• d) 0 o l

+ = = = >

a c + c d b c + d 2 ) 0 1 c ( a + d ) b e + d 2 + 1J 0 o j

a2 + b c + 1 = O

b ( a + d ) = 0

c la + d ) = O

d 2 + b c + 1 = O

( 1 )

( 2 )

(3)

A )

D e < 2 ) : b ( a + d ) = O

l le v a n d o e s te v a lo r a ( 1 ) : a 2 + 1 = O ; a 2 = - 1 ,

i m p o s ib l e l u e g o b * O( 5 )

C o n el m i s m o r a z o n a m i e n t o , d e ( 3 ) y ( 4 ) se o b t i e n e q u e c * 0 .

- a 2 - 1D e ( 1) : b e = - a * - 1 c = a c a d a p a r d e v a lo r e s d e a y b o b t e n d r e m o s

^ al or d e c . p o r e j e m p l o , p ar a a = 1 y b = 1 : c = — 2 , y de ( 5 ) d = — 1. r e s u lt a n d o la m a t r iz

1 1B =

- 2 - 1

2 .14 U n f a b r ic a n te p r o d u c e tr es t i p o s d e c l av o s: d e a l u m i n i o ( A ) , d e co b r e ( Q ) y d e ac e ro ( H ) .T o d o s e ll o s s e f a b ri c a n e n l o n g it u d e s d e 1 ; 1 , 5 ; 2 y 2 , 5 c e n t í m e t r o s c o n l os p r e c io s r e s pe c t iv o s si-

C l o v o s A : 0 , 2 0 0 . 3 0 0 , 40 0 , 5 0 p t s .

C la v o s Q : 0 ,3 0 0 ,4 5 0 , 6 0 0 ,7 5 pts.

C l av o s H : 0 . 4 0 0 , 6 0 0 , 8 0 1 pts.

S a b i e n d o q u e e n u n m i n u t o se p r o d u c e n :

D e 1 c m d e l o n g i t u d : 1 0 0 A 5 0 Q 7 0 0 H

D e 1 . 5 c m d e lo n g i t u d : 2 0 0 A 2 0 Q 6 0 0 H


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38/468

M A T R I C E S 4 5

d n = b , , a n + b | 2 a2 , + b J 3 a31 = 0 . 2 0 - 1 0 0 + 0 , 3 0 -5 0 + 0 , 4 0 -7 0 0 = 3 1 5 = >

el i mp o r t e d e lo s c la v o s d e 1 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o e s 3 1 5 p ta s .

d j 2 = b 2, a , 2 + b 22 a 2? + b 23 a 32 = 0 , 3 0 - 2 0 0 + 0 , 4 5 - 2 0 + 0 , 6 0 - 6 0 0 = 4 2 9 = >

e l i m p o r t e d e l o s c l av o s d e 1 , 5 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 4 2 9 p es et as .

d 33 = b 3 i a i 3 ^ b 3 2 a 2 3 + b 33 a 33 = 0 , 4 0 -5 0 0 + 0 , 6 0 - 3 0 + 0 . 8 0 - 4 0 0 = 5 3 8 = >

el i mp o r t e d e lo s c la v o s d e 2 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 5 3 8 p es et as .

d 4 4 = b 4 , a , 4 + b 4 2 a 24 + b 4 3 a 34 = 0 , 5 0 •3 0 0 + 0 . 7 5 1 0 + 1 - 8 0 0 = 9 5 7 , 7 = >

el i m p o r t e d e l o s c l a v o s d e 2 , 5 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 9 5 7 , 7 p es et as .

2 . 1 5 P r o ba r q u e la m a t r i z A t ie n e i nv er sa y c al cu la rl a

[ 1 m 0° l

A = 0 1 ™ 00 0 1 m| 0 0 0 ’ J

( U n i v . d e C á d i z )

E m p l e a re m o s e l m é t o d o d e G au ss :

(1 ) 1 m 0 0 1 0 0 0 \

(2 ) 0 1 m 0 0 1 0 0

(3 ) 0 0 1 m 0 0 • 0

(4 ) 0 0 0 1 0 0 0 1/

(11 1 m 0 0 1 0 0 0

(2 ) 0 1 m 0 0 1 0 0

( 3‘ ) = |3 ¡— m ( 4 ) 0 0 1 0 0 3 1 - m

(4) 0 0 0 1 0 0 0 1

(1) 1 m 0 0 1 3 0 0

(2 '» = (2 ) — m ( 3 ' ) 0 l 0 3 0 1 - m m 2

(3 ' l 0 0 1 0 0 0 1 — m

(4) 0 0 0 1 0 0 0 1

(1*) = ( 1 ) — m ( 2 ') 1 0 0 0 1 - m m 2 - m 3

12') 0 1 0 0 0 1 — m m 2

( 3 ' ) 0 3 1 0 0 0 1 - m

(4 ) 0 0 0 1 0 3 0 1


39/468

4 6 M A T R I C E S

1 — m m 2 - m 3

1 _ 0 1 — m m 2

0 0 1 - m

0 0 0 1

2.16 C a l c u l a r la i n v e rs a d e l a m a t r i z :

A =

-2

4

2

1

4 2 1

2 1 - 21 - 2 4

- 2 4 2

( U n i v . d e S a la m a n c a )

E m p l e a r e m o s e l m é t o d o d e G a u s s:

11) - 2 4

(2 ) 4 2

(3 ) 2 1

(4 ) 1 - 2

(1 )- 2 4

( 2 ') = ( 2 ) + 2 ( 1 ) 0 10

( 3 ' ) = ( 3 ) + ( D 0 5

( 4 ' ) = ( 4 ) + 1 ( 1 ) \ 0 0

I Df - 2

4

( 2 ' ) 0 10

1 3 " ) = ( 3 ' ) - 1 ( 2 ' ) 0 0

( 4 ' ) \ 0 0

(1)

- 2 4

( 2 ’ ) 0 10

( 3 " ) 0 0

( 4 " )= (4*)+

2 ( 3 " ) 0 0

«

1

8

1

f - 2

4

(2')

010

( 3 " ’ ) = ( 3 " ) - | ( 4 " ) 0 0

(4” )

\ 0

0

2 1

1 - 2

-2 4

2

5

O

5

2

5

5

25

2

5

5

2

O

1

O

5

5

2

1

0

5

5

2

1

O

5

25

2

O

O

O

25

2

0

1

O

O

0

1

3

O

0

1

0 45 0

1 O

’

o

o

0

1

2

1

1

2

1

2

O

0

1

o

0

3

1

O

o

o

o

o\

o

o

•

o o \

2 1

0 0

3

1

1

0

~ 2

1

- 1

2 1

2

24 2

4

25

25

25

2 1

0

_1

1 1

* 5

10

5

1

7

- 1

2

- A

25

3

2

5

1 y


40/468

M A T R I C E S 4 7

1 1 " ) = < n - | ( 2 ' ) if - 2 0 0 04

2 5

8

2 5

4

2 5

( 2 " ) = ( 2 ' ) + 2 ( 3 " ' ) 0 10 0 08

5

2

5

2

5

14

5

1 3 ' " ) 0 05

20

1

5

3

10

1

5

2

" 5( 4 " )

\0 0

2 5

2

1

2- 1 2

i /

( ! " ' ) = - 1 d " ) / i 0 0 0 2 4 2 — \ 2 2 5 2 5 2 5

2 5 \

( 2 " ' ) = 177 ( 2 ” ) 0 1 0 04 2 1 2

10 2 5 25 2 5 2 5

( 3 " " ) = - | ( 3 ' " ) 0 0 I 02

2 51

2 52

2 5

4

2 5

( 4 " ’ ) = ~ ( 4 " ) o 0 0 11 2 4

! /2 5 \ 2 5 ‘ 2 5 2 5 5 /

- 2 4 2 1 1

1 4 2 1 - 2A ’ =

2 5 2 1 - 2 4

1 - 2 4 2

. 1 7 ncontrar una matriz X que verifique la ecuación:

A X + B = C

1

0 0 '1

0 0 3

0 0

A =

1

2 0

B =

0

1

0

c =

2 5 2

1

2 4

0

0

1_

0

1

3

(Univ. de Castilla — La Mancha. 1991)

V e a m o s si A t i e ne i n ve r s a :

( 1 ) 0 0 1 0 0 ( 1 ) n 0 0 1 0 0(2 )

12 0 0 1 0

1

C N1

( 1 )0

2 0 - 1 1 0

( 3 ) 12 4 0 0 1 c o I I y T( 2 ) l o 0 4 0 - 1 1,

( 1 ) ' 1 0 0 1 3°\

1 0 0

(2 " ) = 5 ( 2 - 1 0 1 01

2

1

2

I

4 •

=> A * 1 = 12

1

20

( 3 " ) = i ( 3 - ) ^ 0 0 1 0 -1

‘ 40

1

4

1

4


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4 8 M A T R I C E S

A X + B = C A X = C — B = > A - 1 ( A X ) = A ~ ' ( C — B ) = > ( A*" A ) X = I X = X = A " ( C - B )i

- i - i

X =

1 0 0 ^ 2 0 0 2 0 O ’

4 i 0

2 4 2 0 2 12 2

o - i 14 4

. 0 0 2, 1 - 1 0

( U n i v . d e M a d r id )

Sean B =_1 3"

4 2 y C =

" 2 r

_ 5 3

V e a m o s si C : tien e inversa:

( 1 ) [ 2

(2 ) l5

1

3

1 0\

0 1 ] —

n *) = ( i ) — (2 ' ) 2 0 6

( 2 ’ ) 0 1 - 5

l a m a t r i z C t ie n e inv ers a , s ie n d o C 1

B =: A C => B C * 1 =

A = B C - ’ =P

1L * 2 .‘ 3 -

- 5

( 1 )

( 2 ‘ ) = 2 ( 2 1 - 5 ( 1 »

( 1" ) = j d )

( 2 ‘ )

■

- U

1

- 5

O 1

B C ' 1 = ( A C ) C - 1 = A ( C C ~ ’ ) = A l = A

:)

3

- 5

15 - 1 + 6 - 1 2 5 ’

10 - 4 + 4 2 0

- 1

2


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C A P I T U L O 3

D ETERM IN AN TES Y M ATRIZ IN VERSA

3 E T E R M I N A N T E S .

Sea A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n . S e l la m a d e t e r m i n a n t e d e la m a t r i z A al p o l i n o m i o c u -

& t é r m i n o s s o n t o d o s l os p o s ib l e s p r o d u c t o s d e n f a c t o re s t o m a d o s e n t r e l os n e l e m e n t o s d e A .

m o d o q u e e n c a da t é r m i n o h a y a u n s o l o f ac to r d e c a da f il a y u n s o l o f ac to r d e ca d a c o l u m n a , y

* » c : a n d o a c a d a t é r m i n o d e l s ig n o + o d e l - s e g ú n q u e las p e r m u t a c i o n e s d e lo s í n d i c e s d e las f i la s y

a » c o l u m n a s s e an d e l a m i s m a o d i s t in t a c la se .

S e ' e c u e r d a q u e e n t r e las n» p e r m u t a c i o n e s q u e se p u e d e n f o r m a r c o n l o s n p r i m e r o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , se

n p e r m u t a c i ó n p r i n c ip a l a l a p e r m u t a c i ó n 1 2 3 n .

E n o t r a p e r m u t a c i ó n c u a l q ui e r a , se d i c e q u e d o s e le m e n t o s f o r m a n inversión c u a n d o e st án e n o r d e n c o n t r a r i o q u e

m * p e r m u t a c i ó n p r i n c ip a l. S e d i ce q u e u n a p e r m u t a c i ó n e s p a r o im pa r s e g ú n s ea p a r o i m p a r e l n ú m e r o d e s us i n-

P ar a h al l a r e l n ú m e r o d e i n ve r si o ne s d e u n a p e r m u t a c i ó n b a s t a c o n c o m p a r a r c a d a e l e m e n t o c o n t o d o s l os q u e

s * u * n E n l a p e r m u t a c i ó n 3 2 1 4 . el 3 f o r m a i n v er s i ón c o n e l 2 y c o n e l 1 . e l 2 f o r m a i n v e r s ió n c o n e l 1. y el 1 n o f o r -

- . e r s i o n c o n el 4 . H a y . p u e s , t r es i nv e r si o n es , p o r t a n t o l a p e r m u t a c i ó n e s i m p a r .

P ar a h a l l a r e l s i g n o d e c a d a t é r m i n o d e l d e t e r m i n a n t e , se o r d e n a n l o s e l e m e n t o s q u e e n él i n t e r v i e n e n e s c r i b i e n d o

n p r i m e r l u g a r e l q u e p e r t e n e c e a l a p r i m e r a f il a, e n s e g u n d o l u g a r e l d e l a s e g u n d a f i la , y a s i s u c e s i v a m e n t e h as t a es cr i-

r K d e l a ú l t i m a f i la . D e e st e m o d o , l a p e r m u t a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a l as fi la s s er á l a p r i n c i p a l , q u e es p ar . y s ó l o

x r t q u e e s t u d i a r la p e r m u t a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a l as c o l u m n a s .

E l n ú m e r o d e t é r m i n o s d e u n d e te r m i n a n te d e o r d e n n es n !

E l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z c u a d ra d a A d e o r d e n n se s i m b o l i z a p o r |A| . o p o r d e t ( A ) , o

s c r i b i e n d o l o s e l e m e n t o s d e A e n t r e d o s r ec t as v e rt ic a le s :

a i i 3 , 2 - •• a tn

A l = d e t ( A ) = a 21 a22 * •• a 2n

a n1 an2 ••• 3nn

D e t e r m i n a n t e s d e s e g u n d o o r d e n .

A p l i c a n d o la d e f i n i c i ó n :

at1

a>2

a2.

a22

i, 1 a22 312 a2i

U n d e t e r m i n a n t e d e s e g u n d o o r d e n e s ig ua l al p r o d u c t o d e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i nc i p a l

e l p r o d u c t o d e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l s e c u nd a r ia .

- 4

i

= 3 - 1 - ( - 4 | . 2 - 3 4 - 8 - 11


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50 D E T E R M I N A N T E S V M A T R I Z IN V E R SA

De t e r m i n a n t e d e t e r c e r o r de n .

A p l i c a n d o la d e f i n i c i ó n :

a i 1 a , 2 a i 3

a2, a?2 323

a 31 fl32 a33

" 3 11 a 2 2 a 3 3 + a ! 3 a 21 a 3 2 * a « 2 f l2 3 a3 1 ~ a t 3 fl22 fl31 ~ 3 11 a 2 3 3 3 2 - a i 2 3 2t 3 33

L o s t é r mi n o s c o n s i gno + s o n e l fo r m a d o p o r lo s e le me n t o s d e la d i a go n al p r i n c i p a l y c a da p a r ale

la a e lla c o n e l e le me n t o d e l v ér t ic e o p u e s t o . L o s t é r m i n o s c o n s i gn o - s o n el fo r ma d o p o r lo s e le me n

t o s d e lad iag o na l secu ndaria y ca da parale laa el la c o n el e le m e n to d el vértice o p u e s to . (Regla de Sarros).

2 3 4

- 1 5 6

- 7 8 92 - 5 9

+ 4 1 - D 8 + 3 - 6 - I — 7 ) —4 5

- ( - 7 ) - 2 6 8 - 3 - ( - 1 1 9 =

- 9 0 - 3 2 - 12 6 + 140 - 9 6 + 27 = 3

Propiedades de los determinantes:

1. U n dete rmina nte que t iene todos los e lementos de una l inea (f i la o col um na) iguales a 0 . es

igual a 0 .

3 - 1 4

0 0 0

2 - 8 6)

2. U n d eterm inante que t iene dos l ineas parale las iguales es nulo .

2 '

2

1

0

1

6 8 6

= 0 . por tener la prim era co lu mn a y la tercera iguales.

3 - U n d e t e r mi n a n t e e n el q u e los e le me n t o s d e u n a l i n e a s o n mú lt i p lo s d e lo s e le me n t o s d e un a

paralela a ella es nulo .

4 - 1 3

8 2 - 6

5 7 4

= 0 . po rqu e la segunda f i la es igual a la pr imera mult i p l ica da por - 2 .

4 . U n d e t e r mi n a n t e e n e l q u e lo s e le me n t o s d e u na l i n ea s o n c o m b i n a c i ó n l i ne al d e lo s d e o t r a s

lineas paralelas a ella es nulo.

a d a + 2 d

b l 0 + 2 e

c f c + 2 f

a 0 . porq ue l a tercera col umn a es igual a la pr imera má s dos veces la segunda.

5. El va lo r de u n deter mina nte n o var ia si se cambian las f i las por las colum nas sin a lterar el orde n

r e la t iv o d e los ele me n t o s d e c a d a u n a . Es lo mi s mo q u e d e c i r q u e e l d e t e r mi n a n t e d e u na ma t r i z c u a

drada es igual a l dete rmina nte de su m atr iz transpuesta: A11= !A ; .


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D E T E R M I N A N T E S Y M A T R I Z IN V E R S A 5 1

a b e a d g

d e f = b e h

g h i c f i

6 . U n d e t e r m i n a n t e n o v a rí a a l s u m a r a l o s e l e m e n t o s d e u n a l ín e a l o s c o r r e s p o n d i e n t e s d e o

p a ra l el a a el la m u l t i p l i c a d o s p o r u n n ú m e r o X , lo s d e o t r a m u l t i p l i c a d o s p o r p , e tc .

a b c á + 3 b - 2 c b c

d f a d + 3 e - 2 t 0 t

9 i 1 9 + 3 h - 2 i h i

7 . S i se c a m b i a n e n t r e s i d o s f i la s ( o d o s c o l u m n a s ) , e l d e t e r m i n a n t e c a m b i a d e s ig n o.

a b e I b a c

d e f a — 1 e d f

g h i h g

8 . S i se m u l t i p l ic a n t o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n a f i la ( o d e u n a c o l u m n a ) p o r u n m i s m o n ú m e r o X .

el v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e q u e d a m u l t i p li c a d o p o r X .

a bc |

a 5 b c

A l = d c f = > d 5e <

9ii 1

| 95h i

9 . S i e n u n d e t e r m i n a n t e t o d o s l os e l e m e n to s d e u n a l ín e a s o n m ú l t i p l o s d e u n n ú m e r o X ,

p u e d e sa ca r e s te n ú m e r o c o m o f a c to r .

6 a - 4 b c a b C

6 b - 4 e 1 ¡ oI I d o f

6 g - 4 h i 9 h i

1 0 . Si se m u l t i p l i c a n t o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n d e t e r m i n a n t e ! A | d e o r d e n n p o r u n m i s m

n ú m e r o X . el va l o r d e l n u e v o d e t e r m i n a n t e es X " - I A | . E q u i v a l e a d e c i r q u e I X - A I = X n • I A I .

a b C 5 a 5 b 5 c

I A 1 - d e f = > 5 d 5 e 51

9 ‘ i 1 5 g 5 h S i

1 1 . S i l os e l e m e n t o s d e u n a l ín e a c o n s t a n d e h s u m a n d o s , se p u e d e d e s c o m p o n e r e l d e t e r m

n a n t e e n s u m a d e h d e t e r m i n a n t e s q u e t i e n e n i g u a le s a é l l as r e s ta n t es l í n e a s , y e n l u g a r d e a q u é l l a

la f o r m a d a p o r l os p r i m e r o s s u m a n d o s , p o r l os s e g u n do s y p o r l os h - é s i m o s r e s pe c t iv a m e n t e .

x , + V , + a d X 1 •< d V i d a d

* 2 * V 2 + *2 b e = X2b e + V 2 i) e + * 2 b e

X 3 + V 3 + *3 c f X3 c 1 v 3C f ' 3

c f

P o r s er I d é n t i c a s l as s e g u nd a s c o l u m n a s y l a s t e r c e r a s :


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52 D E T E R M I N A N T E S Y M A T R I Z I N V E R S A

2 - 3 1 3 - 3 1 2 + 3 - 3 1

i 0 7 + 4 0 7 = 1 + 4 0 7

3 - 2 4 6 - 2 4 3 + 6 - 2 4

1 2 . E l d e t e r m i n a n t e d e u n a ma t r i z t r i a n gu la r es i gua l a l p r o d u c t o d e lo s e le me n t o s d e la d i a go

nal pr incipa! .

a 0 0 0

b e 0 0

c f h 0

d g i i

a a - e - h •j

Es ta p r o p i e d a d , j u n t o c o n la 6 . , n o s fa c il i ta el c á lc u lo de l v a lo r d e u n d e t e r m i n a n t e , tr a n s for

m á n d o lo e n o t r o i gua l a é l q u e t e nga n u lo s lo s e le me n t o s s i tu a d o s p o r e n c i m a (o p o r d e b a j o ) d e la

diagonal pr incipal .

(1) (2) 13) ( 4 ) 11) 12 ) = ( 2 ) — 2 ( 1 ) ( 3) 14') a ( 4 ) + 3 | 1)

I 2 0 - 3 1 0 0 o 1

2 i 3 3 2 - 3 3 9

3 4 - 3 - 8 3 - 2 - 3 1 1

- 1 2 4 2 - 1 4 4 - 1 i

11)(2*) ( 3 ) = 13) + ( 2 ' ) ( 4 -

1a 14’1+ 3 ( 2 ' ) 11) 12') 13')


46/468

D E T E R M I N A N T E S Y M A T R I Z IN V E R S A 5 3

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) = ( 2 ) + 2 ( 1 ) 13' ) =. (3 ) - 3 ( 1 ) I D ( 2 ) ( 3 ” ) = :

1 - 2 3 1 0 0 1 0 o

4 - 6 - 5 4 2 - 1 7 = 4 2 0

11 - 1 8 - 1 11 4 - 3 4 11 4 . o

( 3 " ) = 2 | ( 3 > - 3 ( 1 ) | + 17 | (2 ) + 2 ( 1 ) 1 = 2 ( 3 ) + 2 8 ( 1 ) + 1 7 ( 2 ) = 0 ¡ 3) - - 1 4 ( 1 ) - ^ ( 2 )

17a t er co ra c o l u m n a es i g ua l a l a p r i m e r a m u l t i p l i c a d a p o r - 1 4 m á s l a s e g u nd a m u l t i p l i c a d a p o r - — •

Si o p e r a m o s so br e la s fi la s o b t e n d r e m o s q u e l a t erce ra f i la es i gu al a l a p r i m e r a m u l t i p l i c a d a p o r 2 m á s l a segu nda

m u l t i p l i c a d a p o r 3.

M e n o r c o m p l e m e n t a r i o d e u n e l e m e n t o . S i e n u n d e t e r m in a n t e I A I d e o r d e n n se s u p r im e n la

f il a d e lu g a r i y la c o l u m n a d e l u g ar j . s e o b t i e n e u n d e t e r m i n a n t e de o r d e n n - 1 q u e se l la m a m e n o r

c o m p l e m e n t a r i o d e l e l e m e n t o a . . S e s im b o l i z a p o r q ( ..

A

a n a 1 2 a 13

a 12 a i 3 | a 21 322

a2 2 a2 3 * 2 . = = “ 1 3 “ |

J 33 a 31 a 32

A d j u n t o d e l e l e m e n t o a . es ig ua l al m e n o r c o m p l e m e n t a r i o d e l e l e m e n t o a, | a f e c t a d o d e l s ig n o

+ o - s eg ún q u e i + j sea par o i m p a r . S e s i m b o l i z a p o r A ( , s i e n d o A i ( = ( — 1 ) * * ' • j -

a l 1 a l 2 a t 3. . 2 * ’

a 12 a13 1 * 3

a 21 a22

A l =J 21 a2 2 a2 3

; A 2 , = ( - 1 ) o 2 1 = - •• A , 3 - « “ ^ Q , 3 a

a 31 33 2 a 3 3 a 32 a 33 a 31a 32

D e s a r r o l lo d e u n d e t e r m i n a n t e p o r l o s e l e m e n t o s d e u n a l í n e a . U n d e t e r m i n a n t e e s i gua l a la s u ma

d e lo s p r o d u c t o s d e lo s e le m e n t o s d e u n a l í ne a c u a lq u i e r a p o r s u s a d j u n t o s c o r re s p o n d ie n t e s .

a i l 3 1 2 a ! 3 a i 4

a 21 a 2 2 a 2 3 a 2 4

a 3 l 3 3 2 a 3 3 a 3 4

a 4 . a 4 2 a 4 3 a 4 4

a , , A 11+ a l 2 A l 2 + a ) 3 A l 3 + a 1 4 A l4

a i a A ! 3 + a 2 3 A 2 3 + a 3 3 A 3 3 + 3 4 3 A 0

E s t a p r o p i e d a d f a ci li ta e l c á l c u l o d e u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n a l p o d e r l o e x pr e sa r c o m o

s um a d e d e t er m i na n te s d e o r d e n n - 1 , é s t o s a s u v e z s e e xp r e s a r á n e n f u n c i ó n d e o t r o s d e o r d e n

n — 2 , e t c . A s í s e l le ga a e x p r es a r el d e t e r m i n a n t e p r i m i t i v o e n f u n c i ó n d e d e t e r m i n a n t e s d e s e g u n d

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