Universidad de San Carlos de Guatemala Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media Programa Académico Preparatorio Curso: Matemática

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

NO. 9

PAP-MATEMÁTICA Lic. en Enseñanza de Matemática Fredy Sandoval

SISTEMA DE ECUACIONES

Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas

a 1 + b1 = c1 a2 + b2 = c2

Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Métodos de Solución:

1. Igualación 2. Sustitución 3. Reducción (suma y resta)

1. POR IGUALACIÓN

7h + 4t = 13 (l) 5h – 2t = 19 (2) Despejemos cualquiera de las incógnitas; por ejemplo h, en ambas ecuaciones. Despejando h en l 7h + 4t = 13 (l) h = 13 – 4t 7

Despejando h en (2) 5h = 19+2t h = 19+2t 5 Ahora se iguala entre si los dos valores de h que hemos obtenido. 13-4t = 19+2t 7 5 Nos queda una ecuación con una sola incógnita. 5(13-4t) = 7 (19 + 2t) 65 -20t = 133 + 14t -20t – 14t = 133 -65 -34t = 68 t = -2

Sustituyendo este valor t en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en l ( general mente se substituye en la más sencilla ) se tiene: 7h + 4 (-2 ) = 13 7h – 8 = 13 7h = 21 h = 3

2. POR SUSTITUCIÓN.

2m + 5a = -24 (l) 8m - 3a = 19 ( 2)

Despejemos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo m en una de las ecuaciones despejando en la ecuación l 2m = -24 - 5 a m = -24 -5 a 2 Este valor de “m” se sustituye en la ecuación 2

Este valor de “m” se sustituye en la ecuación 2

8 ( -24 -5 a ) -3 a = 19 2

Tenemos una ecuación con una incógnita, hemos eliminado m. resolviendo esta ecuación simplificando 8 y 2 4 (-24 -5 a) -3 a = 19 -96 -20 a -3 a = 19 -23 a = 115 a = -5

Sustituyendo a = -5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en 1 .

2m + 5(-5) = -24 2m - 25 = -24 2m = -24 +25 2m = 1 m = ½

METODO DE REDUCCION

En este método (también llamado de eliminación) se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.

Igualaremos los coeficientes de w en ambas ecuaciones. El mínimo común múltiplo de los coeficientes de “w” 6 y 3 es 6. Multipliquemos la ecuación 2 por 2 porque 2*3 = 6 y tendremos.

5t + 6w = 20 (4t -3w = -23) x 2 8t – 6w = -46

Resolver el sistema 5t + 6w = 20 (1) 4t – 3w = -23 (2)

Como los coeficientes de w que igualamos tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la w

5t +6w = 20 8t -6w = -46 13t = -26

t = -26 13 t = -2 Sustituyendo t = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas por ejemplo en 1, se tiene 5 (-2) + 6W = 20 -10 + 6 w = 20 6w = 20 + 10 w = 30 6

w = 5 w = 5

Resolver el sistema

10t + 9w = 8 8t -15w = -1

igualaremos los coeficientes determinando el mínimo como un múltiplo de 10 y 8 que es 40; se multiplica la primera ecuación por 4 porque 4x 10 = 40 y la segunda por -5 `porque -5x8 = -40y tendremos

(10t +9w = 8) 4 (8t – 15w = -1) -5

Entonces se suman las ecuaciones ya efectuado el producto. 40t + 36w = 32 -40t +75w = 5 + 111w = 37 w = 37 111 w = 1/3 = 0.33 Sustituyendo w = 1/3 en la ecuación 2, tenemos. 8t – 15 (1/3) = -1 8t – 5 = -1 8t = -1 +5 8t = 4 t = 4 8 t = ½ = 0.5

MÉTODO POR DETERMINANTES

Si los coeficientes de las variables t y d del sistema

se arreglan así se obtiene una matriz.

El determinante de una matriz se denota así:

y se define como sigue:

Resolver por determinantes el sistema

MÉTODO GRÁFICO

Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.

•GRACIAS