SISTEMAS DE m ECUACIONES CON n INCOGNITAS.Uno de los mtodos que ms se usan para resolver este tipo de sistemas es el llamado mtodo de reduccin por renglones o mtodo deGauss-Jordn.Consiste en la eliminacin sucesiva de incgnitas de acuerdo con el esquema siguiente:Para resolver el sistema

se escribe lamatriz ampliadadel sistema:

La raya vertical separa los coeficientes del sistema, a la izquierda, y los trminos independientes a la derecha.Sobre esta matriz se realizan lasoperaciones elementales por renglonescon el objetivo de llegar a una matriz en laforma escalonada reducida por renglones (ferr).En resumen, se permite:1. Intercambiar renglones. Que equivale a intercambiar ecuaciones.2. Multiplicar un rengln por una constante. Equivalente a multiplicar una ecuacin por una constante.3. Agregar a un rengln otro rengln multiplicado por una constante. Equivalente a sumar a una ecuacin un mltiplo de otra.Cada vez que se aplica a la matriz aumentada una operacin elemental sobre renglones, se obtiene una matriz ampliada de unsistema equivalenteal inicial.Para explicar el mtodo consideremos los siguientes tres ejemplos.Ejemplo 1.

Su matriz ampliada es

Al segundo rengln le restamos el triple del primero_31-2|4

369|27

0-5-11|-23

y al tercer rengln le restamos cuatro veces el primero:_456|24

4812|36

0-3-6|-12

Estos resultados se sustituyen en la matriz ampliada

El segundo rengln lo dividimos entre - 5 para obtener

Al primer rengln le restamos el doble del segundo, y al tercer rengln le sumamos el triple del segundo, verifique el lector las operaciones:

Si multiplicamos el tercer rengln portendremos

Finalmente sumando al primer renglndel tercero, y restando al segundodel tercero, se tiene:

que est en laferr,de donde leemos la solucin

Esta es la nica solucin del sistema y por ello decimos que es un sistemaconsistente determinado.Ejemplo 2.

La matriz ampliada de este sistema es

Sumndole al segundo rengln el doble del primero, y restndole al tercer rengln el cudruplo del primero, se tiene la matriz

Ahora sumamos al primer rengln el segundo, y al tercer rengln le restamos el doble del segundo, para obtener

Ahora dividimos el tercer rengln entre - 4 para tener

Finalmente al primer rengln le restamos el doble del tercero, y al segundo le restamos el tercero.

que est en laferr, esta ltima es la matriz ampliada del sistema

Entonces la solucin del sistema es

El valor dex4es arbitrario y decimos que es una variable libre. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones, una para cada valor dex4; por esto el sistema decimos que esconsistente indeterminado.Ejemplo 3.

La matriz ampliada de este sistema es

Al segundo rengln le restamos el doble del primero, y al tercero le restamos cinco veces el primero

dividimos el segundo rengln entre -3

restando al primer rengln el segundo, y sumando al tercer rengln seis veces el segundo, se tiene

En el tercer rengln leemos 0 = - 3 y concluimos que el sistema no tiene solucin. Un sistema que no tiene solucin decimos que esinconsistente.

En forma general este mtodo propone la eliminacin progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener slo una ecuacin con una incgnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitucin regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:Lo que buscamos son 3 nmeros, que satisfagan a las tres ecuaciones. El mtodo de solucin ser simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuacin entre 2, obteniendo:

Se simplificar el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuacin y sumando esta a la segunda. Entonces:

sumadolas resulta

La nueva ecuacin se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuacin se divide entre -3.Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitucin hacia atrs, y automticamente se van obteniendo los valores de las otras incgnitas. Se obtendr:

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuacin por un nmero diferente de cero se obtiene una ecuacin nueva y vlida.Por otra parte, si se suma un mltiplo de una ecuacin a otra ecuacin del mismo sistema, el resultado es otra ecuacin vlida. Por ltimo, si se intercambian dos ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que representa un sistema de ecuaciones, recibe el nombre deoperaciones elementales de rengln.Operaciones elementales de renglna) Multiplicar o dividir un rengln por un nmero distinto de cero.b) Sumar el mltiplo de otro rengln a otro rengln.c) intercambiar dos renglonesHasta aqu hemos supuesto una situacin idealmente simple en la que ningn pivote (o coeficiente diagonal),, se convierte en cero. Si cualqluier pivote se vuelve cero en el proceso de resolucin, la eliminacin hacia adelante no proceder.El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el coeficiente del pivote,, tenga la magnitud (en valor absoluto) mayor que cualquier otro coeficiente que est debajo de l en la misma columna y que por tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la eliminacin hacia adelante.