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SOFTWARE PARA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DÍNAMICO DE OSCILADORES DE UN GRADO DE LIBERTAD BAJO LA ACCIÓN DE SÍSMOS,
COMPARÁNDOLOS EXPERIMENTALMENTE EN LA MESA VIBRATORIA
SEBASTIAN ANDRES BENJUMEA ARIZA
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ D.C.
2012
2
SOFTWARE PARA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DÍNAMICO DE OSCILADORES DE UN GRADO DE LIBERTAD BAJO LA ACCIÓN DE SÍSMOS,
COMPARÁNDOLOS EXPERIMENTALMENTE EN LA MESA VIBRATORIA
SEBASTIAN ANDRES BENJUMEA ARIZA
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE
INGENIERO CIVIL
Director
ING. JOSE ANTONIO MAGALLON GUDIÑO
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ D.C.
2012
3
APROBACIÓN
El trabajo de grado titulado “SOFTWARE PARA SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DINAMICO DE OSCILADORES DE UN GRADO DE LIBERTAD BAJO LA ACCION DE SISMOS, COMPARANDOLOS EXPERIMENTALMENTE EN LA MESA VIBRATORIA” desarrollado por el estudiante: Sebastián Andrés Benjumea Ariza, en cumplimiento de uno de los requisitos para optar al título de Ingeniero Civil, fue aprobado para su posterior evaluación por:
__________________________
ING. JOSE ANTONIO MAGALLON GUDIÑO
DIRECTOR DEL TRABAJO DE GRADO
4
A Rafael, Ruby, Abraham y Ana Maria,
5
AGRADECIMIENTOS
Expreso mis agradecimientos a:
El ingeniero Antonio Magallón, Director del proyecto, ya que sin su apoyo y
ayuda, este trabajo no hubiese podido realizarse.
El ingeniero Daniel Ruiz, por su colaboración y ayuda en los ensayos
realizados para este trabajo de grado.
El ingeniero Giordano Avellaneda que me brindo su apoyo en cuanto a los
conceptos de programación en MatLab.
El ingeniero Rafael Valenzuela, por su ayuda en la medición y adquisición
de datos obtenidos en la mesa vibratoria.
6
Tabla de Contenido Tabla de Contenido ..............................................................................................................................6
1. INTRODUCCION ............................................................................................................................8
1.1 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN ........................................................................................8
1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................................... 10
1.2.1 Objetivo general ........................................................................................................ 10
1.2.2 Objetivos específicos................................................................................................. 10
2. MARCO TEÓRICO ...................................................................................................................... 11
2.1 CARGAS EN ESTRUCTURAS................................................................................................ 11
2.2 CARGAS PERIÓDICAS ......................................................................................................... 13
2.3 CARGAS NO PERIÓDICAS ................................................................................................... 13
2.4 GRADO DE LIBERTAD......................................................................................................... 14
2.5 RIGIDEZ.............................................................................................................................. 15
2.6 TRABAJO Y ENERGÍA ......................................................................................................... 16
2.7 SISTEMAS DINÁMICOS DE UN GRADO DE LIBERTAD ........................................................ 17
2.8 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA .............................................................................. 17
2.9 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA .................................................................................... 19
2.10 VIBRACIÓN SIN AMORTIGUAMIENTO Y CON FUERZA EXTERNA ARMONICA .................. 23
2.11 VIBRACION CON AMORTIGUAMIENTO Y FUERZA EXTERNA ............................................ 24
2.12 METODO DE NEWMARK ................................................................................................... 25
3. DESARROLLO SOFTWARE .......................................................................................................... 27
3.1 Algoritmo de Respuesta lineal .......................................................................................... 28
3.2 Algoritmo de Respuesta No lineal ..................................................................................... 29
3.3 Programación de la interfaz grafica de usuario (GUI) ....................................................... 31
3.4 Creación del Ejecutable ..................................................................................................... 34
3.5 Calibración Software ......................................................................................................... 35
3.6 Ejemplo paso a paso Aplicación del Software .................................................................. 35
4. DISEÑO EXPERIMENTAL ............................................................................................................ 41
4.1 Diseño elementos oscilador .............................................................................................. 41
4.1.1 Base ........................................................................................................................... 41
7
4.1.2 Platinas ...................................................................................................................... 42
4.1.3 Recipiente ................................................................................................................. 45
4.2 Equipos de Medición ......................................................................................................... 46
4.2.1 Acelerómetro ............................................................................................................ 46
4.2.2 LVDT .......................................................................................................................... 46
4.2.3 Tarjetas de adquisición de datos .............................................................................. 47
4.3 Instrumentalización .......................................................................................................... 47
5. EJECUCIÓN DE ENSAYOS ........................................................................................................... 49
6. ANALISIS DE RESULTADOS ........................................................................................................ 54
6.1 Amortiguamiento .............................................................................................................. 54
6.2 Comparación de frecuencia experimental vs Software .................................................... 62
6.3 Comparaciones de aceleraciones y deformaciones .......................................................... 63
7. CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 71
8. LIMITACIONES ........................................................................................................................... 73
9. RECOMENDACIONES ................................................................................................................. 73
10. REFERENCIAS ......................................................................................................................... 74
8
1. INTRODUCCION
Este trabajo de grado tiene como objeto el estudio de una manera más sencilla de
la dinámica estructural por medio de la creación de un software de osciladores
simples lineales y no lineales (acero). Con este proyecto de investigación se busca
ampliar la gama de software que permite el estudio de la dinámica siendo este
muy sencillo en su uso y práctico para obtener resultados cercanos a la realidad y
que permitan hacer análisis desde la academia aplicados al ámbito experimental y
con estos conceptos iniciales poder traducirlo en el ejercicio práctico de la carrera.
1.1 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN
La dinámica es una ciencia que abarca el estudio de los cuerpos y partículas en
movimiento, se encuentra presente en muchas áreas del conocimiento, y su
estudio ha permitido avances científicos y tecnológicos en campos como la
mecánica cuántica, la aerodinámica espacial, ingeniería sísmica y otros.
Particularmente en la ingeniería civil tiene una alta aplicabilidad en muchos de sus
campos tales como la dinámica de fluidos y la dinámica de cuerpos rígidos entre
otros. Durante los últimos años el aporte de la dinámica estructural en la obtención
de la respuesta de las estructuras civiles ante cargas de terremoto ha sido
significativo permitiendo que muchos investigadores desarrollen diferentes
metodologías para estudiar dicho comportamiento.
La dinámica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles (García,
1998), esta área ha tenido un amplio desarrollo a partir del siglo XX, donde se
empezaron a hacer estudios más avanzados del comportamiento de las
estructuras con la finalidad de obtener su comportamiento ante excitaciones
dinámicas externas (sismo, viento, olas, etc.). A partir de la aparición del
computador digital a partir del año 1940, se ha desarrollado ampliamente y sus
9
avances más significativos provienen de las últimas décadas (García, 1998),
gracias a esto hoy en día es posible tener modelaciones con parámetros reales
para la evaluación de estructuras con determinado estímulo y se han desarrollado
métodos para el análisis e interpretación de los mismos, uno de ellos es el método
del PUSHOVER (ATC-40, 1996).
Dentro de la evaluación del comportamiento dinámico de estructuras en la
actualidad existen diferentes programas que emulan este comportamiento dando
una serie de resultados para el análisis. IDARC 2D (Reinhorn et al., 2009), es un
programa que permite modelar estructuras en 2 dimensiones y es capaz de hacer
un análisis completo lineal y no lineal del comportamiento dinámico de la
estructuras. SAP2000 (Computers and Structures, Inc., 1976) nos permite el
estudio de diferentes tipos de estructuras de uno o más grados de libertad con la
posibilidad de modelar en 2 y 3 dimensiones, obteniendo resultados muy
completos del comportamiento dinámico. SAP2000 permite realizar un análisis en
el tiempo (Time History) no lineal. NONLIN (Charney, 1998) es un programa que
evalúa el comportamiento dinámico de estructuras de un grado de libertad en el
rango elástico e inelástico, A través del análisis de las señales sísmicas para
obtener los resultados, además permite variar los parámetros de masa, rigidez y
amortiguamiento del sistema. En la UNAM (Ordaz, 2009) desarrollo un programa
que realiza el análisis del comportamiento dinámico de osciladores de un grado de
libertad sometidos a la acción de sismos.
Todos los programas anteriormente mencionados, simulan muy bien y arrojan
resultados del comportamiento de la estructura. Pero en ninguno de ellos es
posible realizar una comparación simultanea del comportamiento de varias
estructuras con diferentes características. A partir de esto se ve la necesidad del
desarrollo de un programa que sea capaz de modelar al mismo tiempo diferentes
estructuras y poder comparar los resultados simultáneamente. Para este caso se
propone realizar un Software que analice y muestre el comportamiento dinámico
de 4 osciladores de un grado de libertad bajo la misma señal sísmica con
10
diferentes propiedades en cada oscilador (Rigidez, Masa, Amortiguamiento, Limite
de fluencia) y mostrar al mismo tiempo sus resultados para poderlos comparar. La
razón de que sean 4 osciladores es debido a una mejor visualización en la
interface del programa. Adicionalmente permite comparar los resultados
experimentalmente, esto convierte al software útil en el estudio de la dinámica
estructural.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo general
- Desarrollar un software que simule el comportamiento dinámico al mismo
tiempo de cuatro osciladores de un grado de libertad, bajo la acción de
señales sísmicas, y compararlo con los obtenidos experimentalmente en la
mesa vibratoria.
1.2.2 Objetivos específicos
- Determinar el desplazamiento, velocidad y aceleración de cada oscilador
(Comportamiento lineal y no lineal en el acero) bajo una misma señal
sísmica.
- Comparar los resultados teóricos (Software) con los medidos en el
laboratorio
11
2. MARCO TEÓRICO
2.1 CARGAS EN ESTRUCTURAS
Las estructuras durante su vida útil se verán sometidas a diferentes tipos de
cargas, ellas pueden ser cargas estáticas y/o cargas dinámicas. Las cargas
estáticas son aquellas que no varían de magnitud o dirección con el tiempo,
permanecen en una posición de manera permanente mientras no se vean
alteradas por una fuerza dinámica externa a ellas. Las cargas dinámicas son
aquellas que varían en el tiempo tal como las originadas por efectos naturales
(viento, huracán, sismos, etc.)
Para ilustrar mejor la diferencia entre cargas estáticas y dinámicas consideremos
el ejemplo de una viga bajo una carga estática p, como se muestra en la Figura
1(a), sus fuerzas internas como momentos y cortantes y la deflexión dependen
sólo de esta carga, y pueden obtenerse aplicando ecuaciones de equilibrio. Ahora,
si la carga aplicada es dinámica (ver figura 1(b)), estará en función del tiempo p (t),
el desplazamiento resultante dependerá no sólo de esta carga p (t), sino también
de las fuerzas inerciales que se oponen a la aceleración de la viga generada por la
carga.
Por lo tanto, las cargas dinámicas, cambian su magnitud, dirección y/o posición
con el tiempo. De manera similar, una estructura cambiará su comportamiento con
Figura 1. Viga con carga estática (a) y dinámica (b)
12
el tiempo dependiendo de las cargas a las que esté sometida, si se le aplica una
carga dinámica, ésta responderá dependiendo de las características de la carga
aplicada. Por ejemplo, si se aplica carga de viento a la estructura, su respuesta
será de manera diferente que si se aplica una carga generada por un sismo.
Este tema, ha originado en varios países el interés de estudiar el comportamiento
dinámico que puede tener una estructura sometida a cargas por sismo
(dinámicas). Para estudiar su comportamiento dinámico se requiere comprender
las bases que sustentan este comportamiento, como respuesta a esta necesidad,
surgió la idea de esta investigación.
Básicamente existen dos enfoques diferentes para evaluar la respuesta estructural
a cargas dinámicas: determinista y no determinista. La elección del método en
cualquier caso depende de cómo la carga es definida. Si la variación de la carga
en el tiempo es completamente conocida, aunque sea oscilatoria o irregular en su
característica, entonces se refiere a una carga dinámica prescrita, y el análisis de
la respuesta del sistema estructural se define como un análisis determinista. Por
otra parte, si la variación de la carga en el tiempo no se conoce completamente,
pero puede ser definida con un análisis estadístico, la carga se denomina carga
dinámica aleatoria, y su correspondiente análisis de respuesta es definido como
un análisis no determinista. (Clough, Ray, 2003).
Las cargas dinámicas prescritas o deterministas se dividen en dos categorías
básicas, periódicas y no periódicas. Una carga periódica muestra el mismo tiempo
de variación de forma sucesiva a lo largo de un número de ciclos. La carga
periódica más simple tiene una variación sinusoidal como se muestra en la figura
2(a), denominada armónica simple. Sin embargo, por medio de un análisis en el
dominio de la frecuencia Fourier, Wavelets u otro método, cualquier carga
periódica podemos representarla como una suma de una serie de cargas
armónicas simples, como se muestra en la figura 2(b).
13
2.2 CARGAS PERIÓDICAS
Fig. 2. Cargas Periódicas (Clough, Ray, 2003)
2.3 CARGAS NO PERIÓDICAS
Las cargas no periódicas pueden ser de corta duración, como el caso de una
explosión, figura 2(c), para este tipo de cargas se pueden emplear análisis
simplificados. Para cargas no periódicas de larga duración como es el caso de la
originada por un sismo, figura 2(d), su análisis requiere de un análisis dinámico
completo.
Figura 2. Cargas Periódicas (Clough, Ray, 2003)
Figura 3. Carga Dinámica (Clough, Ray, 2003).
14
Si deseamos realizar un análisis del sistema dinámico como el que se muestra en
la figura 3, resulta complicado, debido a que la magnitud de las fuerzas inerciales
cambian con el tiempo, lo mismo los desplazamientos se ven influenciados por las
fuerzas inerciales. Este proceso de causa y efecto puede ser resuelto si el
problema se formula con ecuaciones diferenciales.
2.4 GRADO DE LIBERTAD
El número de componentes de desplazamiento que deben ser consideradas para
representar los efectos de todas las fuerzas inerciales significantes de una
estructura, puede calificarse como el número de grados de libertad dinámicos de
la estructura. En la figura 4 podemos observar dos estructuras de un grado de
libertad, en la dirección del eje x aparece el grado de libertad de la masa en
movimiento, es decir que en el eje x se puede desplazar la estructura, en este
modelo se desprecia la rotación originada por la traslación de la masa, este
modelo es conocido como edificio de corte. En el caso de un marco tridimensional,
tendrá 6 grados de libertad en cada nudo (3 desplazamientos y 3 giros).
El número de componentes de desplazamiento que deben ser consideradas para
representar los efectos de todas las fuerzas inerciales significativas de una
estructura puede calificarse como el número de grados de libertad dinámicos de la
estructura (Clough, Ray, 2003).
Figura 4. Estructuras con un grado de libertad.
15
2.5 RIGIDEZ
La rigidez es la fuerza generalizada necesaria para producir un desplazamiento
generalizado unitario fijando el resto de los grados de libertad (Gómez, Chávez,
2007). La fuerza generalizada comprende las fuerzas y los momentos, y los
desplazamientos generalizados comprenden desplazamientos y giros. Las fuerzas
se asocian con los desplazamientos y los momentos con los giros. La rigidez es la
relación entre las fuerzas y los desplazamientos, normalmente se denomina con la
letra k.
k =𝑃
Ec. 1
Para el caso que nos ocupa, de un sistema formado por un oscilador con un grado
de libertad, lo podemos expresar como una viga en voladizo con una carga en el
extremo del volado, (figura 5), donde L es la luz, E el módulo de elasticidad, I el
momento de inercia de la sección transversal de la viga y k la rigidez de la viga.
La deformación Δ de la viga se expresa como: =𝑃𝐿3
3𝐸𝐼 Ec. 2
Haciendo: k =𝐹
y sustituyendo valores tenemos: k =
𝑃
𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
Ec. 3
Por lo tanto, la rigidez del oscilador y la viga está dada por: k =3𝐸𝐼
𝐿3 Ec. 4
Figura 5. Oscilador con un grado de libertad y la viga en voladizo que la representamos como el oscilador. (García, 1998).
16
2.6 TRABAJO Y ENERGÍA
En el punto 1 del oscilador el desplazamiento mostrado en la figura 6 es cero y la
velocidad máxima, por lo tanto la energía cinética (Ec) es máxima. En el punto 2 el
desplazamiento es máximo y la velocidad cero, por lo tanto la energía potencial
(Ep) es máxima.
Ec=1
2 𝑚𝑣² =
1
2 𝑚()² Ec. 5
Ep=1
2 𝑘𝑥² Ec. 6
Ec + Ep = constante Ec. 7
1
2 𝑚()2 +
1
2 𝑘𝑥² = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐸𝑇 Ec. 8
Debido a que la energía total.(𝐸𝑇) Se conserva, en campos conservativos,
entonces su derivada con respecto al tiempo es nula:
𝑑𝐸𝑐
𝑑𝑡+
𝑑𝐸𝑝
𝑑𝑡= 0 Ec. 9
Entonces:
𝑚 + 𝑘𝑥 = 0 Ec. 10
Figura 6. Oscilador Simple
17
La solución de esta ecuación homogénea de segundo orden es: ω ² = 𝑘
𝑚, donde:
ω es la frecuencia natural del sistema.
2.7 SISTEMAS DINÁMICOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Existen varios sistemas de un grado de libertad con diferentes características,
ellos son:
1. Vibración libre no amortiguada
2. Vibración libre amortiguada
3. Vibraciones forzadas armónicas
4. Excitación en la base
2.8 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Consideremos un sistema elástico de un grado de libertad formado por una masa
m y por un resorte que conecta a la masa con un apoyo fijo. La masa m se desliza
sin fricción sobre la superficie horizontal y su posición está descrita por la
coordenada x, (ver figura 7).
Suponiendo que la fuerza aplicada para deformar el resorte, sea en tensión o en
compresión, es proporcional a la deformación, y la constante de rigidez k,
podemos determinar la fuerza (Fr) que ejerce el resorte a través de la formula:
Fr = kx Ec. 11
La fuerza inercial (Fi) que actúa en la masa m debido a la aceleración a, está dada
por:
Fi= -m Ec. 12
18
Esta fuerza inercial actúa en dirección opuesta a la dirección de la aceleración, y
aplicando el principio de D´Alembert tenemos:
Fr – Fi = kx + m = 0 Ec. 13
Dividiendo la ecuación por m y llamando ω² a la constante k/m, obtenemos:
+ ω ² x=0 Ec. 14
La solución de esta ecuación diferencial es:
x(t)=A sen(ω t)+Bcos(ω t) Ec. 15
Los valores de A y B dependen de las condiciones iniciales que indujeron el
movimiento.
Derivando la ecuación anterior tenemos:
(t)=A ω cos (ω t)-B ω sen (ω t) Ec. 16
Evaluando esta ecuación cuando t=0, tenemos:
Vo=A ω cos (ω. 0) = A ω Ec. 17
Entonces: A=v0
w Ec. 18
Figura 7. Sistema elástico de un grado de libertad
19
La solución a la ecuación diferencial se convierte en:
x (t) =𝑣0
𝑤 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡) + 𝑥0 cos(𝜔𝑡) Ec. 19
Esta ecuación nos proporciona el desplazamiento de la masa m en función del
tiempo t, y representa la respuesta a una vibración libre llamada vibración
armónica.
Las frecuencias y el periodo puede obtenerse como:
Frecuencia natural del sistema en radianes por segundo (rad/s): ω =√𝑘
𝑚 Ec. 20
Frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz): f=𝑤
2𝜋 Ec. 21
Periodo natural del sistema en segundos (s): T=2𝜋
𝑤 =
1
𝑓 Ec. 22
2.9 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Cuando en una estructura, o un oscilador, se presentan movimientos de
oscilación, estos tienden a ir disminuyendo con el tiempo hasta llegar a un punto
de reposo. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta en ellos, disipando la
energía originada por las oscilaciones.
Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos
dentro de los cuales se puede contar con la fricción de la masa sobre la superficie
de apoyo, el efecto del aire que rodea a la masa, el cual tiende a impedir que
ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros. (García,
Luis, 1998).
La manera de representar matemáticamente el efecto de la fricción es a través de
un amortiguador, donde la fuerza de amortiguamiento es directamente
proporcional a la velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador, esto
se puede expresar de la manera siguiente:
Fa=c Ec. 23
20
Donde:
Fa – fuerza producida por el amortiguador, N. c – constante del amortiguador, N.s/m
- velocidad relative entre los extremos del amortiguador, m/s
La figura 8 presenta un sistema elástico amortiguado de un grado de libertad.
Formado por una masa m, por un resorte y un amortiguador que conecta a la
masa con un apoyo fijo. La masa m se desliza sin fricción sobre la superficie
horizontal y su posición está descrita por la coordenada en x. El resorte tiene una
constante de rigidez k y el amortiguador una constante c.
El diagrama de cuerpo libre se presenta a la derecha del oscilador, en el aparecen
tres fuerzas, la fuerza del resorte Fr, la fuerza inercial Fi producida por la
aceleración de la masa y la fuerza que origina el amortiguador Fa.
Si utilizamos el principio de D’Alembert podemos construir la ecuación:
Fr+Fi+Fa=0 Ec. 24
Remplazando los valores de cada fuerza tenemos:
kx+c-(-m)=0 Ec. 25
Simplificando tenemos:
m+c+kx=0 Ec. 26
Solución de la ecuación diferencial es:
x=A𝑒𝑅1𝑡+ B𝑒𝑅2𝑡 Ec. 27
Figura 8. Sistema elástico amortiguado de un grado de libertad (Gómez, 2007)
21
Donde los valores de R1 y R2 son:
R1, 2=𝑐
2𝑚 ± √(
𝑐
2𝑚)2 −
𝑘
𝑚 Ec. 28
Cuando el radicando es igual a cero, se dice que existe un amortiguamiento
crítico, esto es:
(𝑐𝑐
2𝑚)2 −
𝑘
𝑚=0 Ec. 29
Despejando 𝑐𝑐 tenemos:
𝑐𝑐 = 2√𝑘𝑚 Ec. 30
Coeficiente de amortiguamiento crítico
También se puede escribir como 𝑐𝑐 = 2𝑚𝜔
Existen tres tipos de amortiguamiento:
Sobreamortiguado C > 𝑐𝑐
Amortiguamiento critico C = 𝑐𝑐
Subamortiguado C < 𝑐𝑐
El sobreamortiguado ocurre por ejemplo en amortiguadores de puertas, donde no
hay amortiguamiento. El subamortiguado ocurre en estructuras civiles.
La relación de Amortiguamiento se define como:
β= 𝐶
𝑐𝑐 Ec. 31
Para las estructuras: β oscila entre 2% y 20%, en los reglamentos de
construcción se indica: β =5%. Si se aplica: β < 1 para la solución general de la
ecuación diferencial homogénea queda:
22
x= 𝑒−𝛽𝜔𝑡 [x0 cos (𝜔´t) + 𝑣0+𝑥0 𝛽𝜔
𝜔´ sen (𝜔´t)] Ec. 32
Donde:
𝜔´= 𝜔√1 − 𝛽2 Ec. 33
T´= 2𝜋
𝜔´ =
2𝜋
𝜔√1−𝛽2 Ec. 34
Para valores pequeños de β, alrededor de 5%, 𝜔 ≈ 𝜔´
Si el sistema tuviera amortiguamiento crítico, su gráfica de respuesta
desplazamiento- tiempo. 10. (Gómez,
2007)
Figura 9 La gráfica de la ecuación para amortiguamiento menor al crítico. (Gómez, 2007)
Figure 10. Respuesta de un sistema con amortiguamiento crítico
23
El Decremento Logarítmico δ se define como:
δ =ln(𝑥𝑛
𝑥𝑛+1) =
2𝜋𝛽
√1−𝛽2 ≈ 2𝜋𝛽 Ec. 35
O bien:
δ = ln 𝑒𝛽𝜔𝑇 ´ = 𝛽𝜔𝑇´ Ec. 36
2.10 VIBRACIÓN SIN AMORTIGUAMIENTO Y CON FUERZA
EXTERNA ARMONICA
Consideremos ahora el caso de un sistema sin amortiguamiento y que se somete
a una fuerza externa armónica, como se muestra en la figura 11.
La ecuación diferencial homogénea para este sistema se representa como:
𝑚 + 𝑘𝑥 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛 (Ω𝑡) Ec. 37
La solución particular del sistema viene dada por:
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) +𝐹0𝑘
1−𝑟2 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) Ec. 38
Donde:
𝑟 =Ω
𝜔 Ec. 39
Figure 11. Sistema sin amortiguamiento y con fuerza externa armónica. (Gómez, 2007).
24
Fo – Fuerza inducida por la excitación inicial, N. r – Resonancia del sistema A, B – Constantes de resolución de la ecuación Ω - Frecuencia de la carga Armónica
- velocidad relativa entre los extremos del amortiguador, m/s
Si aplicamos las condiciones de frontera t=0, tanto para el desplazamiento como
para la velocidad tenemos:
𝑥 =𝐹0𝑘
1−𝑟2 [𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡)] Ec. 40
El primer término se denomina respuesta permanente, y el segundo término
respuesta transitoria.
2.11 VIBRACION CON AMORTIGUAMIENTO Y FUERZA
EXTERNA
Para este caso tenemos un sistema con amortiguamiento y además, se somete a
una fuerza externa armónica, entonces se verá como el de la figura 12.
La ecuación diferencial homogénea para este sistema se representa como:
𝑚 + 𝑐 + 𝑘𝑥 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛 (Ω𝑡) Ec. 41
Su solución es:
Figura 12. Sistema con amortiguamiento y fuerza externa (Gómez, 2007)
25
𝑥 = 𝑒−𝛽𝜔𝑇 ´ + 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔´𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔´𝑡) + 𝑥𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 (Ω𝑡−𝜃)
√(1−𝑟2)2+(2𝑟𝛽)2 Ec. 42
2.12 METODO DE NEWMARK
El método de Newmark es un proceso de integración numérica paso a paso. Este
método será utilizado en el software a desarrollar. Al ser un proceso iterativo se va
corrigiendo para obtener las respuestas del sistema (aceleración, velocidad,
desplazamiento).
Figure 13. Representación Grafica del método de Newmark. (Clough, Ray, 2003).
La figura muestra la relación entre aceleraciones, velocidades y desplazamientos
de donde parten las ecuaciones de las integrarles de la dinámica y que el método
de Newmark reduce a un método numérico que se describe en el desarrollo del
software con el algoritmo creado.
El procedimiento es el siguiente:
Ec. 43
26
Donde:
𝑛+1 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑛 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝛾 = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝛥𝑡 = 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
La velocidad en el instante n +1 es igual a la velocidad en el instante anterior más
el cambio en el tiempo por la aceleración promedio.
La aceleración se define como:
Siendo γ un parámetro entre 0 y 1 que depende de las condiciones evaluadas,
generalmente un valor adecuado para γ es de 0.5.
Remplazando se tiene el valor para la velocidad en ese instante de tiempo
Simplificando y teniendo en cuenta que la aceleración también cambia respecto al
tiempo se simplifica la ecuación de la siguiente manera.
U una variable nueva llamada aceleración beta es obtenida y se define como:
Ec. 44
Ec. 45
Ec. 46
27
Obteniendo finamente la respuesta
Haciendo este método iterativo las aceleraciones se van corrigiendo y se obtienen
valores de respuesta con un error muy bajo describiendo de una manera muy
adecuada la respuesta obtenida.
3. DESARROLLO SOFTWARE
Inicialmente, teniendo en cuenta los objetivos planteados en el trabajo de grado,
se inicio planteando el algoritmo que llevaría a cabo las funciones que darían lugar
a los datos de salida. Para ello se generaron dos funciones principales, una que
pudiera analizar el comportamiento dinámico lineal de los osciladores simples y el
segundo algoritmo que comprendería el comportamiento no lineal dinámico de los
mismos. Teniendo un estudio previo de la teoría de la dinámica estructural para la
respuesta ante excitaciones de estructuras para este caso en particular
osciladores de un grado de libertad se trabajo sobre el método beta de Newmark
(Newmark, 1959) el cual mediante un método iterativo teniendo una señal de
excitaciones externas sobre un elemento estructural permite evaluar en cada
instante de tiempo la respuesta de este elemento debido a esta excitación externa.
Ec. 47
Ec. 48
Ec. 49
28
3.1 Algoritmo de Respuesta lineal
Teniendo como datos de entrada para el algoritmo la rigidez (K), la constante de
amortiguamiento (C), la masa (M), la señal de excitación (A) y el intervalo de
tiempo (STEP) que se debe tener en cuenta para evaluar la respuesta dinámica en
cada instante de tiempo y basándose en la teoría del método de Newmark se creó
el algoritmo con el cual se obtendrían las respuestas dinámicas del oscilador. Se
obtuvo la siguiente función:
function [U2,U1,U,TU,T,W,TTOTAL] = NEWMARK(K,M,C,A,STEP,G) %Método de Newmark para la obtención de la respuesta dinámica (lineal) %K=rigidez del oscilador %M=masa del oscilador %C=amortiguamiento del oscilador %A=registro de aceleración %STEP=paso del registro (se recomienda que sea menor a 1/10t) %BETA usado BETA=1/6; %Pasar de Peso a Masa M=M/G; %Pasos totales [PT,~]=size(A); %Tiempo total del evento TTOTAL=PT*STEP; %Inicializar arreglos U2=zeros(PT,1); U1=zeros(PT,1); U=zeros(PT,1); TU=zeros(PT,1); %Calcular Frecuencia angular W=(K/M)^.5; %Calcular Periodo T=2*pi/W; %Amortiguamiento CC=2*C*M*W;
for i=1:PT if i==1 U2(i,1)=-A(1,1); U1(i,1)=0; U(i,1)=0; TU(i,1)=0; else Error=1; rev=0; U2(i,1)=U2((i-1),1); while Error>0.00000001 || rev>8000 U22=U2(i,1);
29
U1(i,1)=U1((i-1),1)+(U2(i,1)+U2((i-1),1))*STEP/2; a=(1-2*BETA)*U2((i-1),1)+2*BETA*U2(i,1); U(i,1)=U((i-1),1)+ U1((i-1),1)*STEP+0.5*a*(STEP^2); U2(i,1)=(-M*A((i-1),1)-CC*U1(i,1)-K*U(i,1))/M; Error=abs(U2(i,1)-U22); rev=rev+1; end end TU(i,1)=(i-1)*STEP; end end
Al darle los datos de entrada a esta función entrega los datos de salida. Estos
datos de salida son la respuesta dinámica del elemento evaluado (Oscilador
simple), generando un arreglo de Deformaciones (U), Velocidades (U1),
Aceleraciones (U2), frecuencia angular (ω), Tiempo Total de la señal de
excitación (TTOTAL), y el vector de tiempo en cada instante (TU).
3.2 Algoritmo de Respuesta No lineal
Este algoritmo parte del mismo principio de la teoría del método de Newmark, pero
además de las condiciones iniciales que tiene para su parte lineal incluye variables
que evalúan el cambio del comportamiento elástico del elemento al inelástico, la
principal característica de este algoritmo es que limita al elemento a deformarse
hasta donde tiene su límite de fluencia y en ese punto genera una deformación
permanente en el elemento, para tener en cuenta este comportamiento se uso el
modelo elasto-plastico que para el caso de este trabajo de grado daría una buena
aproximación del comportamiento real de la estructura ya que se planeo desde un
principio realizarla sobre acero siendo este un material al cual se le puede conocer
fácilmente sus propiedades físicas y mecánicas, y se puede comportar de esta
manera. Para el algoritmo además de las variables de entrada que se tuvieron
para el algoritmo lineal se agregó el parámetro de la fuerza de fluencia (FF), para
la cual el elemento cambia sus propiedades de elástico a inelástico obteniendo la
siguiente función.
30
function [FK,U2,U1,U,TU,T,W,TTOTAL] = NONNEWMARK(K,M,C,FF,A,STEP,G) %Método de Newmark para la obtención de la respuesta dinámica (Nolineal) %K=rigidez del oscilador %M=masa del oscilador %C=amortiguamiento del oscilador %FF=fuerza para generar fluencia %A=registro de aceleración %STEP=paso del registro (se recomienda que sea menor a 1/10t) %BETA usado BETA=1/6; %Pasar de Peso a Masa M=M/G; %Pasos totales [PT,~]=size(A); %Tiempo total del evento TTOTAL=PT*STEP; %Inicializar arreglos FK=zeros(PT,1); U2=zeros(PT,1); U1=zeros(PT,1); U=zeros(PT,1); TU=zeros(PT,1); %Calcular Frecuencia angular W=(K/M)^.5; %Calcular Periodo T=2*pi/W; %Amortiguamiento CC=2*C*M*W; %Constantes nuevo sistema de referencia AA=0; BB=0; cont=0;
for i=1:PT if i==1 U2(i,1)=-A(1,1); U1(i,1)=0; U(i,1)=0; TU(i,1)=0; else Error=1; rev=0; U2(i,1)=U2((i-1),1); while Error>0.001 || rev>1000 U22=U2(i,1); U1(i,1)=U1((i-1),1)+(U2(i,1)+U2((i-1),1))*STEP/2;
%Nuevo sistema de referencia if U1(i,1)*U1(i-1,1)<0 && cont==1 BB=FK(i-1,1); AA=U(i-1,1); end
a=(1-2*BETA)*U2((i-1),1)+2*BETA*U2(i,1);
31
U(i,1)=U((i-1),1)+ U1((i-1),1)*STEP+0.5*a*(STEP^2);
%Fuerza del resorte if abs(K*(U(i,1)-AA)+BB)>FF FK(i,1)=FF*(K*(U(i,1)-AA)+BB)/abs(K*(U(i,1)-AA)+BB); cont=1; else FK(i,1)=K*(U(i,1)-AA)+BB; end
U2(i,1)=(-M*A((i-1),1)-CC*U1(i,1)-FK(i,1))/M; Error=abs(U2(i,1)-U22)/abs(U22); rev=rev+1; end end TU(i,1)=(i-1)*STEP; end end
Con esta función se obtienen de nuevo Deformaciones (U), Velocidades (U1),
Aceleraciones (U2), frecuencia angular (ω), Tiempo Total de la señal de excitación
(TTOTAL), y el vector de tiempo en cada instante (TU) y por último el parámetro
de la fuerza del resorte en cada instante de tiempo (FK), que al tenerlo en cuenta
es el que hace la diferencia con la parte lineal y muestra el comportamiento del
elemento si paso de su punto de fluencia.
3.3 Programación de la interfaz grafica de usuario (GUI)
Al tener las 2 funciones de partida, se procedió al desarrollo de la interfaz grafica
del programa con la cual el usuario del software puede obtener los resultados que
evalúan las funciones, inicialmente la interfaz contempla 2 tipos de análisis uno de
respuesta teórico que evalúa señales hasta un máximo de 4 osciladores y una
segunda parte que es para el análisis experimental que tiene en cuenta un
resultado teórico que será comparado vs el de ensayos prácticos que en este
trabajo de grado se harán mediante la mesa vibratoria.
32
Figura 14. Inialización Software.
El siguiente formulario permite al usuario escoger para el cálculo teórico escoger
cuantos osciladores va a utilizar para su análisis y qué tipo de análisis le va a
realizar a estos si va a ser el lineal no lineal. Y seguido el botón para dar las
propiedades a los mismos.
Figura 15. Opciones análisis.
33
Ahora en el formulario de las propiedades de osciladores dependiendo si el
usuario eligió la opción de lineal o no lineal se abrirá la ventana en la cual se
introducirán los datos de entrada de alguna de las funciones básicas del algoritmo
y que este calculara para obtener las respuestas.
Figura 16. Opciones Oscilador.
La siguiente ventana ya ha evaluado estas propiedades en las funciones y da las
graficas de respuesta para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones.
Muestra la respuesta anima de los osciladores frente al estimulo y una serie de
opciones para la comparación de cada uno de los osciladores sobre la misma
grafica. Los ciclos de histéresis para cada uno de ellos si se eligió la opción no
lineal, las propiedades de cada uno de los osciladores (Periodo, Frecuencia
angular y frecuencia), y la opción de exportar los datos para que se puedan
manipular directamente en formato .xls (Excel).
34
Figura 17. Respuesta Algoritmo.
3.4 Creación del Ejecutable
MatLAb permite realizar ejecutables después de haber programado todos los
algoritmos para la realización del programa en las siguientes capturas se enseña
cómo fue creado el ejecutable para poder utilizar el software sin necesidad de
tener instalado MAtLab en el ordenador.
Figura 18. Creación Ejecutable.
35
En la siguiente figura se observa como MatLab está generando el ejecutable
mediante un plugin que tiene permite hacer un setup de la programación e
instalarlo en cualquier ordenar.
Figura 19. Construyendo Ejecutable.
3.5 Calibración Software
Para calibrar el software se comparo con el programa Nonlin, con los mismos
datos de entrada en cuanto a masa, rigidez, amortiguamiento y fuerza de fluencia.
Como resultado de obtuvieron exactamente las mismas respuestas revisando
aceleraciones, desplazamientos, velocidades y los ciclos de histéresis. Dando los
valores idénticos se corroboro que el algoritmo utilizado fue bien aplicado y podría
ser utilizado para hacer las corroboraciones experimentales.
3.6 Ejemplo paso a paso Aplicación del Software
Al dar doble click sobre el ejecutable se abre una ventana con la opción para el
cálculo de los osciladores, antes de entrar al cálculo de los mismos es necesario
cargar la señal sísmica por medio del botón seleccionar sismo.
36
Figura 20. Inicio Programa.
En la siguiente pantalla aparece el botón de importar mediante este botón se
abrirá una ventana que nos permitirá buscar la señal sísmica que se va a evaluar
esta debe estar en formato .xls para cargarse, siendo una columna desde la celda
A2 en adelante la primera fila puede servir para anotar datos correspondientes al
sismo, como su intervalo de tiempo y el nombre del sismo, cualquier señal
aleatoria también pude ser cargada mediante este proceso, el único requisito es
que los valores de aceleración deben estar en unidades de m/s2 , en la casilla
nombrada STEP se debe colocar el valor correspondiente al intervalo de tiempo
de separación de los datos de aceleración cargados previamente, con estos 2
parámetros la señal sísmica es procesada en el software.
Figura 21. Datos de entrada sismo para analizar.
37
Posteriormente el software nos pide el numero de osciladores a evaluar, máximo
cuatro es importante así se vaya elegir solo uno escoger la opción. Nos da la
opción de solicitar un análisis lineal a los osciladores o por el contrario no lineal se
elige el botón y se procede a dar las características a cada uno de los osciladores
dando en la opción de propiedades osciladores.
Figura 22. Numero de osciladores a analizar y tipo de análisis.
Las características deben introducirse en kN y metros, el amortiguamiento en
decimales 5% = 0.05.
38
Figura 23. Datos de entrada Osciladores.
Le damos ok y se abre la ventana de graficas y cálculos no aparecen varias
opciones calcular, desplazamiento, velocidad y aceleración. Oprimiendo alguno de
esos botones se calcula el algoritmo y automáticamente dibuja la grafica solicitada
oprimiendo el siguiente botón se visualiza la variable correspondiente nos muestra
hasta cuatro graficas diferente por cada oscilador introducido.
Figura 24. Ejecución después del cálculo
39
El botón de propiedades de osciladores nos da datos de frecuencia natural,
periodo y frecuencia angular. El botón de ciclos de histéresis nos muestra cuatro
graficas correspondiente a cada oscilador y se puede observar más fácilmente
cuál de ellos fluyo.
Figura 25. Ciclos de histéresis.
El botón comparar graficas nos muestra todas las graficas calculas superpuestas
para mostrar de una mejor manera los comportamientos de cada oscilador y ver
sus diferencias más fácilmente.
40
Figura 26. Comparaciones Respuesta.
Con el botón exportar se lleva a un archivo de Excel llamado export1. Todos los
datos correspondientes a lo calculado, incluyendo la fuerza del resorte para los
ciclos de histéresis. Por último con el botón de animar se puede visualizar los
efectos del sismo sobre cada oscilador.
Figura 27 Animaciones de los osciladores.
Esta es la manera de funcionamiento del software y los alcances que llega a tener.
41
4. DISEÑO EXPERIMENTAL
Este paso fue el de mayor evaluación en este trabajo de grado, ya que dependía
específicamente de la construcción de la mesa vibratoria en el laboratorio de
ingeniería Civil. Para poder desarrollar el experimento era necesario la creación de
elementos que funcionaran como osciladores simples asegurando que solo
tuvieran un modo de vibrar ya que sobre estos el software iba a trabajar. Adicional
a esto con un tamaño adecuado para que tuvieran una buena maniobrabilidad a la
hora del montaje, fáciles de armar y desarmar. Que tuvieran la cualidad de que
pudiera modificarse la masa que iba a ser sometida a las excitaciones por parte de
la mesa vibratoria y que de la misma manera tuviera la rigidez suficiente para que
no fuera sometida a esfuerzos de fluencia y conllevara a deformaciones
permanentes pero que adicional se pudiera ver cómo podrían tener estados pre-
resonancia, en resonancia y post- resonancia. Para este fin se ideo un modelo de
oscilador que iría dividido en 3 partes principales:
4.1 Diseño elementos oscilador
4.1.1 Base
La base, que debía cumplir la función de asegurar un empotramiento en el
oscilador para que su comportamiento fuera de un grado de libertad. Debía
acoplarse perfectamente a la mesa vibratoria para quedar completamente sujeta y
no incurriera en movimientos que pudieran afectar el ensayo a la hora de las
mediciones y ser fácil de instalar y el acople a las otras partes oscilador ser
igualmente sencillas para montar y desmontar. Se hicieron cuadradas inicialmente
de 25 cm x 25 cm con perforaciones a cada 20 cm igualmente cuadradas.
Tuvieron una modificación posteriormente debido al cambio de los orificios en la
mesa vibratoria que eran de 14.25 cm x 14.25 cm y para que la mesa y la base
fueran compatibles fue necesario ajustar los orificios de la base a estas medidas.
42
Figura 28. Base en isométrico
Figura 29. Vista en planta base de osciladores
4.1.2 Platinas
El siguiente elemento diseñado para el fin de hacer los ensayos en la mesa
vibratoria fue la platina que se acoplaría a la base. Se diseñaron 4 platinas de
diferente altura y sección transversal, estas serian las que definirían la rigidez a la
cual el oscilador iba a estar sometido, por lo tanto de ellas dependería
directamente el periodo de la estructura y su frecuencia. Para su diseño hubo que
cuidar varios parámetros:
43
- Desplazamientos no mayores a 5 cm (En el tope del oscilador)
- Frecuencia máxima permitida no mayor a 15 Hz
- Mantenerse siempre en el rango elástico (No deformaciones permanentes)
Para cumplir con estos requerimientos se diseñaron las platinas de la siguiente
manera.
Figure 30. Diseño de las platinas
El diseño de estos elementos dieron como resultado las siguientes características
teniendo en cuenta que se uso Acero A-36 para su diseño y calculados con una
masa máxima de 7.5 kg:
44
Tabla1. Propiedades Oscilador 1 Tabla 2. Propiedades Oscilador 2.
Oscilador 1 Oscilador 2
Propiedades Propiedades
b(cm) 2.54 b(cm) 2.54
h(cm) 0.793 h(cm) 0.793
S(cm3) 0.266 S(cm3) 0.266
I(cm4) 0.105 I(cm4) 0.105
L(cm) 35 L(cm) 45
Fy (kg/cm2) 3515 Fy (kg/cm2) 3515
F.Fluencia (kg) 26.8 F.Fluencia (kg) 20.8
Rigidez(kgf/cm) 15.5 Rigidez(kgf/cm) 7.105
Oscilador 3
Oscilador 4 Propiedades
Propiedades
b(cm) 5.08
b(cm) 5.08
h(cm) 0.793
h(cm) 0.793
S(cm3) 0.533
S(cm3) 0.533
I(cm4) 0.211
I(cm4) 0.211
L(cm) 35
L(cm) 45
Fy (kg/cm2) 3515
Fy (kg/cm2) 3515
F(kg) 53.6
F(kg) 41.7
Rigidez(kgf/cm) 30.2
Rigidez(kgf/cm) 14.2
Tabla 3. Propiedades Oscilador 3. Tabla 4. Propiedades Oscilador 4.
Frecuencia(Hz) Desp. Max(cm)
Oscilador 1 7.14 1.77
Oscilador 2 4.85 2.93
Oscilador 3 9.95 1.77
Oscilador 4 6.82 2.93
Tabla 5. Frecuencias y desplazamientos máximos.
45
Con estas características se cumplen los requerimientos que se tenían en cuenta
para el diseño. La razón de escoger estos parámetros fue el de la frecuencia tener
un rango de seguridad en el funcionamiento de la mesa vibratoria. El
desplazamiento máximo primero para que no haya fluencia en el elemento y
segundo estar en el rango de los equipos de medición de los desplazamientos que
se van a medir.
4.1.3 Recipiente
Por último se diseño el recipiente que contendría la masa, una caja cuadrada de
10 x 10 cm en acero de 1/8”.
Figura 31. Diseño Caja y vista con platina.
46
4.2 Equipos de Medición
4.2.1 Acelerómetro
Para medir las aceleraciones sobre el modelo se dispuso de 2 acelerómetros uno
ubicado sobre la mesa vibratoria y tomaría aceleraciones respecto a la mesa
(aceleración del terreno), y el segundo ubicado sobre el tope del modelo tomando
la respuesta de aceleraciones del mismo.
Figura 32. Acelerómetro Utilizado para el ensayo.
4.2.2 LVDT
El LVDT se encargaría dentro del marco experimental de medir desplazamientos,
de la misma manera que los acelerómetros, se dispuso de 2 de ellos uno en la
base de la mesa vibratoria y el segundo en el tope del modelo.
Figura 33. Acelerómetro Utilizado para el ensayo (lvdt.co.uk, 2004).
47
4.2.3 Tarjetas de adquisición de datos
Para este ensayo se requirieron 2 tarjetas de adquisición de datos las 2 de marca
National instruments, ella guarda los datos y mediante un software diseñado por el
Ing. Rafael Valenzuela se tomarían los mismos para su posterior análisis.
Figura 34. Modelo de tarjeta de Adquisición de datos (Noguera y Avellaneda, 2011).
La tarjeta de adquisición de datos conectada a los acelerómetros media a un
rango de 2000 datos por segundo, y la de los LVDT a 1000 datos por segundo.
4.3 Instrumentalización
Se dispuso en una primera instancia utilizar un elemento súper rígido en el cual se
el cual puesto sobre la misma mesa vibratoria permitiera colocar los instrumentos
de medición y no tuviera inconvenientes por deformaciones que no
correspondieran a lo que se quería ensayar. Se había acordado en primera
instancia para este fin utilizar un perfil W perforado y dispuesta de manera vertical
sobre la mesa vibratoria anclado a la misma por medio de unos ángulos y
colocada al lado del oscilador con los LVDT pasando por las perforaciones para
poder realiza esas mediciones.
48
Figura 35. Disposición inicial para la instrumentalización.
Posteriormente se encontró una manera más sencilla de realizar esta
instrumentalización y fue que aprovechando un sistema de celosía ubicada a un
costado de la mesa vibratoria se podía utilizar y sería mucho más sencillo hacer
estas mediciones con los LVDT’s, con unas bases imantadas pegadas a la misma
celosía y ubicando el LVDT de una manera favorable era posible realizar la
medición, simplemente se ubicaba el oscilador en el borde de la mesa, se fijaba y
solo era necesario colocar el LVDT en la posición de medición a la altura
correspondiente con la base imantada que lo sostenía para poder medir los
desplazamientos del modelo sin mayor complicación. Con los acelerómetros
también colocados en su posición ya todo estaba para poder realizar la fase de los
ensayos en la mesa vibratoria.
49
5. EJECUCIÓN DE ENSAYOS
Teniendo el marco experimental definido y ya teniendo fabricados todos los
elementos a ensayar, se pudo seguir con esta fase de ensayos donde se entraría
a comparar la parte experimental con los resultados teóricos que se podían
obtener del software. El ensayo se planteo principalmente para obtener
aceleraciones y desplazamientos del modelo que son los que se comparan con el
resultado del software teórico, además de medir mediante la mesa vibratoria el
amortiguamiento real que tienen los . Como primer paso para el desarrollo de los
ensayos se tomaron pesos de todos los elemento que van a influir como masa en
la respuesta dinámica del modelo, como eran el recipiente y la masa de ensayo
que era de 7.5 kg, con cálculos previos para alcanzar la resonancia. Se tomaron
entonces 2 datos de masa la del recipiente y la de masa adicional fue aportada por
balines de plomo:
Figura 36. Peso de balines de plomo.
50
Figura 37. Peso del recipiente.
Figura 38. Peso del Recipiente + Balines de plomo.
51
Estos 2 pesos sumaban un total de 7.19 kg para alcanzar los 0.31kg adicionales
para obtener los 7.5 kg calculados para tener en cuenta en el ensayo se tuvo en
cuenta la mitad del masa de la platina que aporta el restante para obtener ese
total.
Teniendo ya estos datos, se armó el modelo sobre la mesa vibratoria, para los
ensayos se evaluarían 2 tipos de osciladores de los diseñados, se medirían las
aceleraciones y deformaciones de cada uno de ellos y su amortiguamiento. Se
eligieron para el ensayo las platinas más delgadas de 1”, de 30 cm y 40cm ya que
pueden tener desplazamientos más grandes y que para los instrumentos de
medición sería más fácil de ver datos representativos. Se monto entonces la
modelo de la siguiente manera.
Figura 39. Montaje del primer oscilador sobre mesa vibratoria.
52
Figura 40. Montaje al lado de la celosía de instrumentación.
Ya con el modelo montado sobre la mesa vibratoria se empezó a instrumentar
para posteriormente realizar la prueba.
Figura 41. Instrumentación del montaje.
53
Figura 42. Montaje totalmente instrumentado y listo para ensayar
Teniendo ya todo listo e instrumentado se procedió a realizar las pruebas
respectivas, utilizando el software de señales, programado en LabView Signal
Express desarrollado por el ingeniero Rafael Valenzuela, primero con el oscilador
de 40 cm y luego con el de 30cm. El ensayo consto de 10 lecturas en total por
cada oscilador, desde 1 Hz hasta los 10 Hz y siempre a un desplazamiento de
1mm. Para cada uno se observaba siempre en que frecuencia caía su resonancia
y se anotaba para tenerlo en cuenta posteriormente para el análisis de resultados.
Después de estos datos tomados para cada uno. Se hizo el ensayo para el
amortiguamiento el cual conlleva un único golpe cada 10 s donde el oscilador tiene
tiempo de moverse y estabilizarse hasta casi quedar estático, acá la mesa
generaba desplazamientos de 1.5 y 3mm. Con esto se completo la fase de
ensayos y ya se podía comparar lo real con lo teórico evaluando las
características de los osciladores y la señal de aceleraciones en la mesa vibratoria
el software.
54
Figura 43. Ensayo en curso
6. ANALISIS DE RESULTADOS
6.1 Amortiguamiento
Este ensayo se llevo a cabo imponiendo una señal cuadrada sobre la mesa
vibratoria que permitiera medir el amortiguamiento obteniendo los siguientes
resultados:
Platina de 40 cm
Figura 44. Señal cuadrada introducida a la mesa.
-4
-2
0
2
4
0 10 20 30 40
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Señal Mesa Vibratoria
55
Figura 45. Señal de respuesta por el modelo.
De esta última grafica se eligieron 3 sectores en donde se evidencia que hubo el
amortiguamiento y para cada uno de ellos se calculo el amortiguamiento crítico
producto de sus propiedades:
Figura 46. Amortiguamiento primer sector.
-7
-2
3
8
0 10 20 30 40D
esp
laza
mie
nto
(mm
)
Tiempo(S)
Señal Respuesta Modelo
-4,5
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
16 17 18 19 20 21
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Título del eje
Amortiguamiento primer sector
56
Amortiguamiento
x0(mm) 4,02
Xn(mm) 0,0744
Ciclos(n) 22
δ 0,1813446
β 3% Tabla 6.Calculos Amortiguamiento primer sector, platina 40 cm.
Para este primer sector se obtuvo un amortiguamiento crítico del 3%
Figura 47. Amortiguamiento segundo sector.
.
Amortiguamiento
x0(mm) 3,7867
Xn(mm) 0,042
Ciclos(n) 22
δ 0,2046173
β 3,3% Tabla 7.Calculos Amortiguamiento segundo sector, platina 40cm.
Para el segundo sector se obtuvo un amortiguamiento critico del 3.3%.
-5
-3
-1
1
3
21,3 22,3 23,3 24,3 25,3
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Amortiguamiento sector 2
57
Amortiguamiento
x0(mm) 4,2
Xn(mm) 0,069
Ciclos(n) 22
δ 0,1867606
β 3,0%
Tabla 8.Calculos Amortiguamiento tercer sector, platina 40cm.
Para este último sector el amortiguamiento fue del 3% teniendo en cuenta los 3 y
promediando sus valores el amortiguamiento del elemento probado es de 3.1%.
-6
-4
-2
0
2
4
26,01 27,01 28,01 29,01 30,01 31,01
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Amortiguamiento sector 3
Figura 48. Amortiguamiento tercer sector.
58
Platina de 30 cm
Figura 49. Señal inducida a la mesa vibratoria.
Figura 50. Señal respuesta modelo.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25 30 35
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Señal Mesa Vibratoria
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 5 10 15 20 25 30 35
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(S)
Señal respuesta Modelo
59
Para la siguiente platina se realizo lo mismo eligiendo 3 sectores y con ellos obteniendo el
amortiguamiento para obtener el amortiguamiento del modelo:
Figura 51. Amortiguamiento primer sector.
Amortiguamiento
x0(mm) 3,336
Xn(mm) 0,047
Ciclos(n) 29
δ 0,14697863
β 2,3% Tabla 9. Cálculos Amortiguamiento primer sector, platina 30cm.
Se obtuvo un amortiguamiento crítico del 2,3%
-3,5
-1,5
0,5
2,5
4,5
38,15 39,15 40,15 41,15 42,15 43,15
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Amortiguamiento sector 3
60
Figura 52. Amortiguamiento segundo sector.
Amortiguamiento
x0(mm) 1,706
Xn(mm) 0,042
Ciclos(n) 24
δ 0,15434321
β 2,5%
Tabla 10.Calculos Amortiguamiento segundo sector, platina 30cm.
Se obtuvo un amortiguamiento crítico del 2,5%.
-1,8
-1,3
-0,8
-0,3
0,2
0,7
1,2
1,7
8 9 10 11 12 13 14
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Amortiguamiento sector 2
61
Figura 53. Amortiguamiento tercer sector.
Amortiguamiento
x0(mm) 3,42
Xn(mm) 0,042
Ciclos(n) 29
δ 0,1517147
β 2,4% Tabla 7.Calculos Amortiguamiento tercer sector, platina 30cm.
Se obtuvo un amortiguamiento crítico del 2,4%.
De esta manera se hallaron los amortiguamientos respectivos para cada oscilador para el
largo se tuvo un amortiguamiento de 3.1% y para el corto de 2.4%, siendo un resultado
lógico ya que el largo según la teoría debe ser capaz de disipar mayor energía, por lo
tanto su amortiguamiento es mayor.
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
58,1 58,6 59,1 59,6 60,1 60,6 61,1 61,6 62,1 62,6 63,1
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Amortiguamiento sector 3
62
6.2 Comparación de frecuencia experimental vs Software
Para realizar estas comparaciones se evaluó en software según la masa, y los
datos mecánicos de los elementos (geometría, módulo de elasticidad acero A36),
los datos de frecuencia natural y periodo y se comparó con lo medido en el
laboratorio y estos fueron los datos obtenidos:
Oscilador 30 cm
Datos del software en kN y m
Masa=7.5kg
Datos de Entrada Software
Figura 54. Datos de cálculos software en (kN/m).
Datos Software obtenidos
Figura 55. Resultados software (kN/m)
63
Oscilador 40 cm
Datos del software en kN y m
Masa=7.5kg
Datos de Entrada Software
Figura 56. Datos de cálculos software en (kN/m)
Datos Software obtenidos
Figura 57. Resultados software (kN/m)
En el ensayo para este oscilador se tuvo una frecuencia de resonancia real de
4.8Hz lo que da un error entre el real y el teórico de 0.4%.
6.3 Comparaciones de aceleraciones y deformaciones
Para esta parte se tomaron como datos de entrada de los osciladores a comparar
en el software los mismo del inciso pasado y adicional se cargo la respuesta de
aceleración de la mesa vibratoria como dato de entrada para el cálculo como se
querían evaluar 3 fases básicamente pre - resonancia, resonancia y post-
64
resonancia se tomo como respuesta de aceleraciones principal la obtenida cuando
se observo la resonancia en el oscilador y las otras 2 una con frecuencia más
pequeña y otra con frecuencia más grande, con la idea de comparar esos 3
momentos en el modelo. Los datos tomados en el laboratorio deben tener un
tratamiento de filtro de datos ya que la medición de 2000 datos por segundo da
una cantidad que el software no puede manejar para eso se reduce la cantidad de
datos de 2000 a 50 datos por segundo para que puedan ser manejables. Las
comparaciones se hicieron de manera más sencilla usando la opción del software
de exportar datos.
Primero se hizo el análisis para el oscilado de 30 cm y estos fueron los resultados
obtenidos para los 3 momentos que se mencionaron al comienzo:
Oscilador 30 cm
Pre – Resonancia (1Hz)
Desplazamientos
Figura 58. Desplazamientos 1Hz.
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 5 10 15 20
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Comparación Desplazamientos
Experimental
Teorica
65
Aceleraciones
Figura 59. Aceleraciones 1Hz.
Los resultados obtenidos para esta frecuencia resume que en el experimento se
obtuvieron amplitudes mayores que en la respuesta entregada por el software.
Tanto para los desplazamientos como para las aceleraciones.
Resonancia (7Hz)
Desplazamientos
Figura 60. Desplazamientos 7Hz.
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 5 10 15
Ace
lera
cio
n(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparación Aceleraciones
Teorico
Experimental
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15
De
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Comparaciones Desplazamientos
Experimental
Teorico
66
Aceleraciones
Figura 61. Aceleraciones 7Hz
En este caso de resonancia se observa que el software obtuvo respuestas más
altas que en el experimento cabe aclarar que para esta medición los
acelerómetros debido al estado de la resonancia no pudieron obtener
completamente la respuesta ya que esta se salía de su rango de operación.
Post - Resonancia (9Hz)
Desplazamientos
Figura 62. Desplazamientos 9Hz.
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 5 10 15
Ace
lera
ció
n(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparación Aceleraciones
Experimental
Teorico
-4
-2
0
2
4
0 5 10 15
de
spla
zam
ien
to(m
m)
Tiempo(s)
Comparaciones Desplazamientos
Experimental
Teorico
67
Aceleraciones
Figura 63. Aceleraciones 9Hz.
Oscilador 40 cm
Pre – Resonancia (1Hz)
Desplazamientos
Figura 64. Deformaciones 1Hz.
-10
-5
0
5
10
-4 1 6 11 16
Ace
lera
cio
ne
s(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparaciones Aceleraciones
Experimental
Teorico
-1
-0,5
0
0,5
1
0 5 10 15 20 25
De
spla
zam
ien
tos(
mm
)
Tiempo(s)
Comparacion Desplazamientos
Experimental
Teorico
68
Aceleraciones
Figura 65. Aceleraciones 1Hz.
Para este último resultado de igual manera el software obtuvo valores más altos
que el experimento, se notan también desplazamientos y aceleraciones elevadas
no comparables como en el caso de la resonancia donde se obtuvieron los
mayores valores.
Resonancia (4.8Hz)
Desplazamientos
Figura 66. Desplazamientos 4.8Hz.
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 5 10 15 20 25
Ace
lera
cio
ne
s(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparacion Aceleraciones
Experimental
Teorico
-10
-5
0
5
10
0 5 10 15
De
spla
zam
ien
tos(
mm
)
Tiempo(s)
Comparacion Desplazamientos
Experimental
Teorico
69
Aceleraciones
Figura 67. Aceleraciones 4.8Hz.
Post - Resonancia (7Hz)
Desplazamientos
Figura 68. Desplazamientos 7Hz.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 5 10 15 20 25
Ace
lera
cio
ne
s(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparacion Aceleraciones
Experimental
Teorico
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 1 3 5 7 9 11
De
spla
zam
ien
to(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparacion Desplazamiento
Experimental
Teorico
70
Aceleraciones
Figura 69. Desplazamientos 7Hz.
Los valores tanto de deformaciones como de aceleraciones en las frecuencias
correspondientes a las de resonancia evidencian valores muchos mayores a las
demás frecuencias antes y después de la resonancia.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25
ace
lera
cio
ne
s(m
/s2
)
Tiempo(s)
Comparacion Aceleraciones
Experimental
Teorico
71
Oscilador 40 cm (Desde los desplazamientos)
Para este caso se evaluaron las respuestas desde los desplazamientos
Figura 70. Desplazamientos 7Hz.
Para este caso particular las respuestas son muy similares evidenciando que el
análisis hecho desde los desplazamientos da resultados más cercanos.
7. CONCLUSIONES
- El software es una excelente herramienta para evaluar la respuesta
dinámica de un oscilador de un grado de libertad bajo una excitación
externa dándonos como datos de salida respuestas de aceleración,
velocidad y desplazamiento, su periodo y frecuencia natural y si se evalúa
su parte no lineal los ciclos de histéresis que tiene debido a la degradación
del material y las deformaciones permanentes especialmente en el acero
debido a su comportamiento homogéneo y por el método implementa en el
software.
- En condiciones de parámetros de entrada (Masa, Rigidez) de mayores
magnitudes la respuesta del software será mucho más acercada a la
realidad, esto se debe a que el algoritmo con el cual fue programado con
-6
-1
4
7 12 17 22 27
De
spla
zam
ien
tos(
mm
)
Tiempo(s)
Comparaciones Desplazamientos en Resonancia
Experimental
Teorico
72
mayores valores puede calcularse mucho más fácilmente y obtener valores
de error mucho más bajos.
- Es fundamental a la hora de realizar ensayos que dependan de valores
como masa, rigidez y amortiguamiento tener muy bien definidos estos
parámetros ya que la teoría que esta detrás de ellos para el estudio de la
dinámica estructural es muy susceptible al cambio de alguna de estas
variables, un pequeño cambio en alguna de ellas puede generar una
respuesta totalmente más grande o más pequeña dependiendo de ese
cambio que hayan tenido y afectar los resultados obtenidos
- Esta nueva herramienta siendo muy fácil de usar y didáctica puede ayudar
a el entendimiento de la teoría de osciladores y básica de la dinámica
estructural en el ámbito académico.
- Al observar diferencias entre lo experimental y lo teórico, define que es
posible que dentro de la teoría no se tengan en cuenta otro tipo de variables
además de las analizadas específicamente en este trabajo de grado que
conlleven a que exactamente coincidan los resultados, en las mediciones
de aceleraciones donde se toman frecuencias factores como el ruido u otro
tipo de ondas puede llegar a afectar las pruebas o las respuestas
obtenidas, para evitar este tipo de afectaciones es adecuado estudiar
también el entorno donde se realizan la pruebas y aplicar filtros en el caso
de las aceleraciones para que las mediciones tomadas solo tengan en
cuenta datos que realmente están influyendo o están en las frecuencias en
las cuales generan la real respuesta dinámica en un elemento.
- Para dar aproximaciones del funcionamiento de un sistema de un grado de
libertad el software desarrollado puede ser un muy buen punto de partida.
- Se pudieron comparar los resultados obtenidos con el software con los del
experimento, se observo que hay diferencias en los resultados entre el
software y los ensayos como en las amplitudes de los rangos de respuesta
que se obtuvieron en cada uno, estas diferencias son dadas en cuanto a la
forma de medición, y las variables externas que no se tiene en cuenta a la
hora de realizar el ensayo que puede llegar a influir en el resultado. Pero los
resultados conservan los periodos de la señal introducida en el software.
- Al realizar la simulación de los ensayos teniendo en cuenta en el software la
los desplazamientos derivados como variable de entrada de sismo, los
resultados obtenidos de la respuesta dinámica son muy similares dando un
resultado mucho más acercado a la realidad
73
8. LIMITACIONES
- El software puede leer hasta un máximo de 10000 datos, más de este
número puede llegar a saturarlo y fallar.
- Para esta versión del programa se permiten unidades en kN y m.
- Para obtener respuesta dinámica solo lo hace mediante la captura de
señales de aceleración.
9. RECOMENDACIONES
- El software fue diseñado para funcionar con funciones de aceleración, al
tener en cuenta esto para obtener respuestas adecuadas en el mismo es
necesario tener funciones de aceleración sin ningún tipo de interferencias ni
ruido para obtener resultados más confiables.
- Para no generar conflictos internos en el software es recomendable trabajar
el punto como separador de decimales.
- Dentro del plan de estudios de la Carrera seria muy bueno si se dieran unas
bases más fuertes en programación y programación orientada objeto, esto
puede ayudar a tener mayores herramientas en cuanto a los estudiantes y
futuros ingenieros para la resolución de problemas y generar mayores
logros investigativos y/o herramientas practicas para el desarrollo de la
profesión como Ingenieros Civiles.
74
10. REFERENCIAS
- Charney, F. (1998), NONLIN: Nonlinear Dynamic Time History Analysis of Single Degree of Freedom Systems (Software).
- Chopra, A. (2006), Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 3.th Ed, New Jersey, Upper Saddle River: Pearson/Prentice Hall.
- Clough, R. y Penzien, J. (2003), Dynamics of Structures, 5th.ed, International Student Edition, McGraw-Hill International Book Company.
- Computers and Structures, Inc. (1976), SAP2000 (software), Berkeley, California.
- García Reyes, L. (1998), Dinámica Estructural Aplicada Al Diseño Sísmico, Bogotá, Editorial Universidad de los Andes.
- Gatti, G. ,Kovacic, I. , Brennan, M.(2009). On the response of a harmonically excited two degree-of-freedom system consisting of a linear and a nonlinear quasi-zero stiffness oscillator
- Gómez Chávez, S. (2007), Análisis Sísmico Moderno, México, Trillas. - Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas.
Barcelona: Ed. Reverté. - Newmark, N. M. (1959). A method of computation for structural dynamics.
Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 85 (EM3) 67-94. - Noguera, R. y Avellaneda, G. (2011). Desarrollo de un algoritmo
computacional para la estimación de la tensión de cables en puentes
atirantados con base en al medición experimental en laboratorio y campo
de sus modos y frecuencias naturales de vibración (Trabajo de Grado).
Bogotá, Pontificia Universidad Javeriana, Carrera de Ingeniería Civil.
- Ordaz Schroeder, M. (2009), Programa de osciladores simples, UNAM ,México
- Reinhorn A. M., Roh H., Silvaselvan M., Kunnath S. K., Valles R. E., Madan A., Li C., Lobo R., Park Y. J. (2009), IDARC 2D Version 7.0: A Program for the Inelastic Damage Analysis of Structures(software), MCEER Technical Report- MCEER-09-0006, University at Buffalo – the State University of New York.
- Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and
Engineers (6ª edición). Brooks/Cole.
- Thomson, W. (1993), Theory of Vibration with Applications, 4.thed, New Jersey, Upper Saddle River: Prentice Hall.ATC. (1996), ATC 40: Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, California.
- Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (volumen 2). Barcelona: Ed. Reverté.
