SOLIDOS DE REVOLUCION

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CALCULO INTEGRAL VOLUMEN DE SOLIDOS

CALCULO INTEGRAL

INTRODUCCION

Desde los tiempos antiguos el hombre ha sentido interés en conocer todo lo que está a su alrededor, sus aplicaciones, los beneficios que le puede brindar para mejoramiento de su bienestar.

Es por este motivo que creó sistemas con los cuales pudo medir distancias, contabilizar objetos y muchas cosas más, pero aun así hoy por hoy sigue buscando modos y formas para trabajar e inventarse cada vez mejor.

Las matemáticas a pesar de lo que muchos pueden llegar a pensar son la herramienta más poderosa para predecir sucesos, y modelar situaciones. Para cocinar un ponqué es necesario tener medidas para los ingredientes, tiempos para la mezcla y para la cocción.

Cuantas veces nos hemos preguntado cuanta arena hay en una playa, cuanto pasto en un estadio de futbol cuánta agua en una piscina, pues bien todo eso es posible conocerse gracias al estudio del área y el volumen, tema con el cual encontraremos los diferentes métodos de medición para hallárselo a un objeto:

Arquímedes

Sodios a revolución.

Método de integración.

Especialista Wilson Velásquez B.Universidad del Magdalena Santa Marta 2010

WILSON VELASQUES BASTIDAS

CALCULO INTEGRAL

OBJETIVOS

Identificar los métodos para el cálculo de Volumen a sólidos. Encontrar los errores entre los diferentes métodos. Apropiarse de la herramienta poderosa que ofrece el cálculo integral.



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MARCO TEORICO

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.

Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los

demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad

de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de

exclusión de Pauli.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es

el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza

comúnmente en la vida práctica = m / densidad.

La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente

relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es

suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el

espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una

equivalencia que se basa en la relación entre el litro(unidad de capacidad) y

el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un

recipiente cualquiera con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo

sólido cuya medida sea de 1 decímetro por lado (1 dm3), se derramará toda el agua.

Esto equivaldrá a la cantidad de agua desplazada por el cuerpo al ser introducido

dentro del recipiente, y el agua derramada será de 1 litro. Por tanto, puede afirmarse

que:

1 dm3 = 1 litro

1 dm3 = 1.000 cm3



http://es.wikipedia.org/wiki/Litro

http://es.wikipedia.org/wiki/Metro_c%C3%BAbico

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_exclusi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_exclusi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico

http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

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Unidades de volumen

Se clasifican tres categorías:

Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando

unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido

porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos

tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es

hueco sino que es sólido.

Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir

el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.

Unidades de volumen de áridos:

también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Éstas

unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas

(legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos.

Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un

método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era

más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas

unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la

cosecha en tiempo breve.



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Arquímedes:

Principio de Arquímedes

Al sumergirse parcial o totalmente en un fluido, un objeto es sometido a una fuerza hacia arriba, o empuje. El empuje es igual al peso del fluido desplazado. Esta ley se denomina principio de Arquímedes, por el científico griego que la descubrió en el siglo III antes de nuestra era. Aquí se ilustra el principio en el caso de un bloque.De aluminio y uno de madera. (1) El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada. (2) Si un bloque de madera está completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente desplazando así menos agua hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque.



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POSTE DE ELECTRICIDAD CAFETERÍA UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

Descripción:

Cono Truncado.

Normas de fabricación:

CARACTERISTICAS En centímetros (cm) En metros (m)Diámetro Mayor. 35 0.35Diámetro Menor. 15 0.15

Altura. 700 7



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Como es conocido que el método para desarrollar el cálculo de un sólido cuyo eje haga parte de del área a calcular decimos que podemos calcular por el método de Discos.

Solución

Tenemos:

De acuerdo a la ecuación de la recta:

m= r−Rh−0

→ m= r−Rh

y− y0=m(x−x0)

Remplazando el punto P (0, R) encontramos que:

y−R=m(x−0)

y−R= r−Rh

(x−0)

y= r−Rh

( x )+R

Por método de integración Disco tenemos:

V x=π∫a

b

( y )2dx

Donde,

V x= Volumen que tiene el sólido al girar en el eje x.

V x=π∫0

h

( r−Rh

x+R)2

dx

Desarrollando el producto notable

V x=π∫0

h

[( r−Rh )

2

x2

+2R ( r−Rh ) x+R2]dx



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Integrando tenemos:

V x=π [( r−Rh )

2 x3

3+2 R( r−R

h ) x2

2+R2 x ]

0

h

Evaluando los límites de integración se tiene:

V x=π [( r−Rh )

2 h3

3+R( r−R

h )h2+R2h ]V x=π [ h3 (r−R)2+Rh (r−R )+R2h]V x=πh [ 13 (r−R)

2

+R (r−R )+R2]V x=πh [ (r−R )2+3R (r−R )+3 R2

3 ]V x=

13πh [ ( r2−2 rR+R2)+3Rr−3 R2+3 R2 ]

V x=13πh [r 2+rR+R2 ]

Remplazando los valores respectivos de r , R ,hen metros tenemos:

V x=13π (7)[(0.15)2+(0.15 )(0.35)+(0.35)2 ]

V x=13π (7) [2.25+0.0525+0.1225 ]

V x=13π (7) [2.425 ]

V x=17.7762m3

El volumen del poste de electricidad es de

V x=17.7762m3



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CALCULANDO VASO DE VIDRIO

LONGITUD DE ARCO, AREA SUPERFICIAL Y VOLUMEN DE UN VASO DE COCA-COLA

Se miden las alturas y perímetros señalados de los diferentes puntos de curvatura del sólido, con el fin de calcular radio de estos, obteniendo los siguientes resultados para un perfil del vaso:

Perimetro=2πrr=Perimetro2π

r 5=3,576 cmr 4=27,96cm2π

=4.45cm

r 3=22.468cm2π

=3,576cmr 2=16.292cm2 π

=2.593cmr 1=3,266cm

Teniendo en cuenta que r3 y r5 son iguales, se modela el perfil, usando figuras conocidas, (circunferencias y líneas).



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Cada uno de los datos que se tienen a continuación fueron medidos utilizando un compas de alta precisión, y la ayuda virtual del programa de diseño en 3d Google Sketchup Pro. (Software adjuntado al trabajo).

Figura 3:-circunferencia-centro en el punto (10.3, 3.25) cm-radio 7,75cm

-ecuación: x=√r2−¿¿x3=√ (7.75 )2−( y−3.25)2+10.3

Figura 4:-línea recta-puntos de referencia. P1 (2.579, 3.925) cm P2 (2.723, 5.848) cm-intercepto con el eje y: -26.381

-pendiente 5.848−3.9252.723−2.579

=1.2930.144

=m

-ecuación: y=mx+b

y4=1.9230.144

x−30,529

Calculando hallamos los interceptos entre las figuras:

Intercepto entre 1 y 2: 1

√ (6.45 )2−( x+2 )2+12.35=√(7.984 )2−( x−10.7 )2+5.5



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Intercepto entre 2 y 4: 21.9230.144

x−30,529=√(7.984 )2−(x−10.7 )2+5.5

Intercepto entre 4 y 3: 3

1.9230.144

x−30,529=√(7.75 )2−(x−10.3)2+3.25

Con derive (derive 6.1) y modelado (Google Sketchup pro) los resultados son:

Intercepto 1 = (3.618, 9.187)Intercepto 2 = (2.579, 3.925)Intercepto 3 = (2.723, 5.848)

Y se obtiene:

Grafica Derive.

Calculo de la longitud de arco y el área superficial del vaso

El sólido generado es el siguiente:



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Donde el arco a modelar está definido como la suma de las longitudes individuales de las ecuaciones 1, 2, 3, 4, en sus respectivos intervalos de integración, dicho de otra

manera:Stotal=¿ S1+ S2+ S3+ S4¿

En donde:

CUERDA 1: x1=√ (6.45 )2−( y−12.35)2−2

d S1=√1+[ x1' ]2dxd S1=√1+[√ 2· 247−20 · y

4 ·√−50· x2+1235· y−5546 ]2

dy

Por tanto la longitud de la cuerda 1 se define como:

S1= ∫9,096

15.591

√1+[√2· 247 – 20· y

4 ·√−50· y2+1235 · y –5546 ]2

dy

S1=129 ·ATAN (√3109841913

−4 · √193837413 )

10

S1=6.806451526 cm

CUERDA 2: x2=√ (7.984 )2−( y−5.5)2+10.7

d S2=√1+[ x2' ]2dxd S2=√1+[125 · 11−2· y

√−62500 · y2+687500 · y+2093391 ]2

dy


S2= ∫5.848

9.096

√1+[125 · 11−2 · y

√−62500 · y2+687500 · y+2093391 ]2

dy

S2=998·ATAN (899· √31758153168246

−29· √39764471056082 )

125

S2=3.382127899cm



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CUERDA 3: x3=√ (7.75 )2−( y−3.25)2+10.3

d S3=√1+[ x3' ]2dxd S3=√1+[√2· 13−4 · y

4 ·√−2· y2+13 · y+99 ]2

dy


S3= ∫0

3.925

√1+[√2 · 13−4 · y4 ·√−2· y2+13 · y+99 ]

2

dyS3=31 ·

ATAN (3 · √953718719+2600· √22

26157 )4

S3=4.029548974cm

RECTA 4: y4=1.9230.144

x−30,529

Se calcula usando el teorema de Pitágoras:

S4=√1.9232+0.1442S4=1.928384038cm

Por tanto la longitud de la cuerda que define el vaso es:

Stotal=¿1.928384038 cm+4.029548974 cm+3.382127899 cm+6.806451526cm ¿Stotal=¿16.14651243 cm−−−−Smedido =¿15,99 cm¿ ¿

error :16.14651243−15,9916.14651243

x 100%=0.9693265388%

Luego de haber calculado la longitud de la cuerda de una sección del vaso, procedemos a calcular el área superficial de esta:

La cual está definida como: A stotal=A s1+A s2+A s3+A s4Donde:

AREA SUPERFICIAL 1:

dA s1=2π f ( y )1d s1

dA s1=2π [ √(6.45 )2−( y−12.35 )2−2 ]√1+[√2 · 247−20 y4 ·√−50 y2+1235 y – 5546 ]

2

dy

A s1=2 π ∫9.096

15.59

[√ (6.45 )2−( y−12.35 )2−2 ]√1+[√2· 247−20 y4 ·√−50 y2+1235 y – 5546 ]

2

dy

A s1=2 π [129· ATAN (13016 · √193837484435−3241· √31098419

84435 )10

−129 · 200 · –12994000 ]

A s1=177.6875185c m2



CALCULO INTEGRAL

AREA SUPERFICIAL 2:

dA s2=2π f ( y )2d s2

dA s2=2π [√(7.984 )2−( y−5.5 )2+10.7 ]√1+[125· 11−2 y

√−62500 y2+687500 y+2093391 ]2

dy

A s2=2 π ∫5.848

9.096

[√ (7.984 )2−( y−5.5 )2+10.7 ]√1+[125 · 11−2 y

√−62500 y2+687500 y+2093391 ]2

dy

A s2=2 π [53393 · ATAN (899· √31758153168246−29· √3976447

1056082 )625

+ 40518815625 ]

A s2=390.3165011 cm2

AREA SUPERFICIAL 3:

dA s3=2π f ( y )3d s3

dA s3=2π [√(7.75 )2−( y−3.25)2+10.3 ]√1+[√2 13−4 y4 √−2 y2+13 y+99 ]

2

dy

A s3=2 π ∫0

3.925

[√ (7.75 )2−( y−3.25)2+10.3 ]√1+[√2 13−4 y4√−2 y2+13 y+99 ]

2

dy

A s3=2 π [3193 · ATAN (3· √953718719+2600 · √22

26157 )40

+ 4867160 ]A s3=451.9061930cm

2

AREA SUPERFICIAL 3:

dA s3=2π f ( y )4d s4dA s3=2π [ 1.9230.144x−30,529]√1+[ 64148 ]

2

dx

A s3=2 π ∫2.579

2.723

[ 1.9230.144x−30,529 ]√1+[64148 ]

2

dyA s3=2 π [233899 · √41318516000000 ]

A s3=59.04192709c m2

Entonces el área superficial del vaso es:



CALCULO INTEGRAL

A stotal=59.04192709c m2+451.906193c m2+390.3165011c m2+177.6875185cm2

A stotal=1078.952139c m2

Calculando el valor del volumen del vidrio que tiene el vaso, se multiplica esta área superficial por un espesor promedio de vidrio, de: 0,1 cm aprox., y se obtiene el siguiente análisis matemático:

El volumen de vidrio del vaso, es:

(0,1cm ) (1078.952139cm2 )=107.8952139c m3Para un volumen medido en

laboratorio 110,4391c m3 , basado enelprincipio de Arquímedes se tiene un error de:

110,4391cm3−107.8952139 c m3

110,4391 cm3 x100%error=2.303428858%

SALERO (CONO TRUNCADO)

Cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.



CALCULO INTEGRAL

Elementos del cono truncado

La sección determinada por la corte es la base menor.La altura es el segmento que une las dos bases los radios son los radios de sus bases.La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

g2=h2+ (R−r )2 g=√h2+(R−r )2

Área lateral de un cono truncado:Al=π (R+r )∗g

Área de un cono truncado:AT=π [ g(R+r )+R2+r2]

Volumen de un cono truncado:

V=13πh(R2+r2+Rr )



CALCULO INTEGRAL

Ejemplos

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

g2 ¿102+(6−2)2

g=√102+(6−2)2

AL=π (6+2 )9.165=230.34 cm2

AT ¿230.34+π 62+π 22 ¿356.005cm2

V=13π 10 (62+22+√6222 )=544.54 cm2

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.



CALCULO INTEGRAL

AL=π (12+10)215=1036.73cm2

AT=π 122+π 102¿1803.27cm2

152 ¿h2+(12−10)2

h=√152+122=14.866 cmV=1

3π 14.866 (122+102+√122102 )=5666.65cm3



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