Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Teorema de Pappus

Si la superficie generatriz pertenece en su totalidad a uno de los semiplanos determinados por el eje de rotación, el volumen del sólido generado es igual al producto del perímetro de la circunferencia descrita por el centroide de la superficie y el área de ésta. Este resultado se conoce con el nombre de Segundo Teorema de Pappus.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante.

La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Área de una superficie de revolución

Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = sen(t) y y(t) = cos(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD ZACATENCO

ALUMNO: MARTINEZ SILVA DAVID

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA: SOLIDOS Y SUPERFICIES DE REVOLUCION

GRUPO: 1CV6

PROFESOR: ALFARO YLLESCAS JUAN