Solución Tema 7

7/25/2019 Solucin Tema 7

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TEMA 7. VECTORES.GEOMETRA ANALTICA.

1.- Halla el vector b

tal que1

3

2

c a b

, siendo ( 1, 3)a

y (7, 2)c

.

Solucin:

Sea 1 2( , )b b b

. Entonces,

1 1

1 2

2 2

7 3 1 2 201(7, 2) 3( 1,3) ( , ) ( 20,22)

2 9 1 2 222

b bb b b

b b

2.- Expresa el vector (1,5)a

como combinacin lineal de los vectores (3, 2)b

y

14,

2c

.

Solucin:

Sean my ntales que a mb nc

. Por tanto,

1 3 41(1,5) (3, 2) 4,

5 2 1 22

m nm n

m n

. Resolviendo el sistema de ecua-

ciones, se obtiene la solucin41 34

,13 13

m n .

As, podemos decir que 41 3413 13

a b c

3.- Cules de los siguientes pares de vectores forman una base?

a) (3, 1), ( 3,1)u v

b)2

(2,6), , 23

u v

c) (5, 4), (5, 4)u v

Solucin:

a)

No forman una base porque v u

b)

No forman una base porque1

3v u

c)

S forman una base, porque no existe R tal que v u

.

4.- Sea u

un representante del vector libre AB

:

a)

Halla las coordenadas de u

, sabiendo que (5, 3)A y (3, 4)B .

b)

Halla las coordenadas del punto Bsabiendo que ( 3,1)A y (5,4)u

.c) Halla las coordenadas del punto Asabiendo que ( 1,7)B y (3,4)u

.


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Solucin:

a) Llamando (5, 3)a

y (3,4)b

a los vectores de posicin de los puntosAy

Btenemos que (3,4) (5, 3) ( 2,7)AB b a

.

b)

( 3,1) (5,4) (2,5)b a u

.

c) ( 1,7) (3,4) ( 4,3)a b u

.

5.- Dado el romboide de vrtices (1,1), (7,1), (5, 3) y ( 1, 3)A B C D , demuestra vecto-

rialmente que el cuadriltero que se obtiene al unir los puntos medios de cada lado

es un paralelogramo.

Solucin:

Sean M, N, Py Q los puntos medios de los ladosAB,BC, CDy DA. Las coordenadas de los puntos me-

dios son: (4,1), (6, 2), (2,3) y (0, 2)M N P Q . Se tiene

que MN QP

y MQ NP

. En efecto,

(6, 2) (4,1) (2,1); (2,3) (0, 2) (2,1)

(0, 2) (4,1) ( 4,1); (2,3) (6, 2) ( 4,1)

MN QP MN QP

MQ NP MQ NP

6.- Dados los puntos ( 3,5), (4,6), ( 1,9) y (8,6)A B C D :

a) Halla el mdulo, el argumento y las coordenadas de los vectores yAB CD

.

b) Calcula las coordenadas de dos vectores unitarios de la misma direccin y senti-

do que yAB CD

.

c) Calcula las coordenadas de un vector de mdulo 2 en la direccin de BC

y ensentido opuesto.

Solucin:

a)

2 2 1(4,6) ( 3,5) (7,1); 7 1 50 5 2; arg arctg 8 7 '48, 4 ''7

AB AB AB

2 2(8,6) ( 1,9) (9, 3) ; 9 ( 3) 90 3 10 ;CD CD

3arg arctg 34133'54, 2 ''9

CD

.

b) Basta multiplicar yAB CD

por el inverso de su mdulo:

7 1 7 2 2

, ,10 105 2 5 2

AB

AB

;

9 3 3 10 10

, ,10 103 10 3 10

CD

CD


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c) 2 2( 1,9) (4,6) ( 5,3); ( 5) 3 34BC BC

. Multiplicando BC

por

2

34

se obtiene un vector de mdulo 2 y sentido opuesto a BC

:

2 2 5 34 3 34( 5,3) ,

17 1734 34BC

.

7.- Dados los vectores de la figura:

a) Determina las coordenadas de yu v

respecto de la

base cannica.

b) Halla , ,u v u v

.

c) Halla u v

.

d)

Halla la proyeccin de u

sobre v

.e)

Calcula el ngulo que forman yu v

.

f) Encuentra un vector unitario en la direccin y el sentido del vector u

.

g) Halla un vector ortogonal a u

de mdulo 1.

Solucin:

a) (5,2) ; ( 3,3)u v

.

b)

2 2 2 2

2 2

5 2 29 ; ( 3) 3 18 3 2

(2,5); 2 5 29

u v

u v u v

c) (5, 2) ( 3,3) 15 6 9u v

d) Proyeccin de u

sobre9 3 3 2

23 2 2

u vv

v

e) 9 3 3 58cos ,5829 3 2 58

u vu v

u v

3 58, arccos 11311 54,9358

u v

f) Basta multiplicar el vector u

por el inverso de su mdulo:

5 2 5 29 2 29, ,

29 2929 29

uw

u

g) El vector ( 2,5)p

es ortogonal a u

, ya que 0p u

. Por tanto, el vector

2 29 5 29,

29 29

q

es unitario y ortogonal a u

.


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8.- Prueba, con ayuda del producto escalar, el teorema del coseno.

Solucin:

En el tringulo ABC de la figura construimos

los vectores ,a CB b AC y c BA

. De estaforma, a b c

. Multiplicando esta igualdad

escalarmente por s misma,

2 2 2

2a a b c b c a b c b c

Por tanto, 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cosa b c b c b c a b c bc

9.- Puede ser el mdulo del vector suma de dos vectores de mdulo 10 y 5, respec-

tivamente, mayor que 15? Y menor que 4?

Solucin:

Sean ya b

tales que 10 y 5a b

. Para hallar el mdulo del vector suma, se

aplica el teorema del seno del siguiente modo,

2 2 2| | | | | | 2 | || | cos( , ) 100 25 100cos( , )a b a b a b a b a b

. Como

1 cos( , ) 1a b

, se tiene que 225 | | 225a b

; luego 5 | | 15a b

. As pues,

es imposible que el mdulo del vector a b

sea mayor que 15 o menor que 4.

10.-Sean yu v

dos vectores tales que 2 2( ) 25 y ( ) 9

u v u v

. Calcula el pro-

ducto escalar u v

.

Solucin:

Se tiene que:

2 2 2

2 2 2

25 ( ) 2

9 ( ) 2

u v u v u v

u v u v u v

Restando ambas expresiones se obtiene que 16 4 u v

. Luego 4u v

.

11.-Dos vectores ya b

son tales que 10, 10 3 y 20a b a b

. Halla el n-

gulo que forman ya b

.

Solucin:

Aplicando el teorema del coseno, se tiene que

2 2 2

| | | | | | 2 | || | cos( , )a b a b a b a b

.Por tanto,


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2

2 220 10 10 3 2 10 10 3 cos( , ) 400 100 300 200 3 cos( , )a b a b

.

Luego

cos( , ) 0a b

y as,

( , ) 90a b

.Los vectores ya b

son ortogonales.

12.-Sean A,B, Cy Dcuatro puntos arbitrarios del plano. Demuestra que se verificasiempre:

0AB CD AC DB AD BC

Solucin:

Llamando [ ], [ ] y [ ]u AB v AC w AD

, se tiene que

[ ] , [ ] y [ ]CD w v DB u w BC v u

. Sustituyendo

estos valores en la expresin inicial:

( ) ( ) ( ) 0

AB CD AC DB AD BC

u w v v u w w v u u w u v v u v w w v w u

13.- Sea AB un segmento de longitud myMsu punto medio. Si Pes un punto cual-

quiera del plano y des su distancia aM, demuestra que se cumple:

2

2

2

mPA PB d

Solucin:

De la figura se deduce que PA PM MA

y PB PM MB

. As,

2

2

2 2

| | | | | | cos(180 )

| | | | cos | | | | cos180

cos cos2 2 2 2

PA PB PM PM PM MB PM MA MB MA

PM PM MB

PM MA MB MA

m m m md d d d

2


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14.- Demuestra vectorialmente que el ngulo inscrito en una semicircunferencia es

recto.

Solucin:

Sean yu OB v AO OC

. Entonces,

AB u v y BC v u

.

2 2 2 2( ) ( ) | | | | 0AB BC u v v u v u r r

.

Por lo tanto, los vectores AB y BC

son ortogonales.

15.- Demuestra vectorialmente que las tres alturas de un tringulo concurren en un

punto.

Solucin:

Sea Hel punto de interseccin de las alturas queparten de los vrtices A y B. Se tiene que

0 0HA BC y HB AC

. Se trata de probar que

0HC AB

.

( ) ( )HC AB HA AC AC CB

HA AC HA CB AC AC AC CB

( ) 0AC HA AC CB AC HB .

16.- Calcula la ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas de cada una de las si-

guientes rectas:

a) La recta que pasa por el punto ( 3,1)P y lleva la direccin del vector

( 1, 2)u

.

b) La recta que pasa por los puntos (2, 3)A y (1,4)B .

c) La recta que tiene como vector director ( 3,3)u

y corta a la parte positiva del

eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.d) La recta que tiene como vector director (2, 5)u y corta a la parte negativa del

eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.e) La recta que tiene como vector director (3,7)u

y corta al eje de ordenadas en

un punto que dista 2 unidades negativas del origen de coordenadas.

Solucin:

a) Ecuacin vectorial: : ( , ) ( 3,1) ( 1, 2)r x y .

Ecuaciones paramtricas:3

:1 2

xr

y

b)

Tomamos como vector director de la recta el vector ( 1, 7)AB

.


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Ecuacin vectorial: : ( , ) (2, 3) ( 1,7)r x y .

Ecuaciones paramtricas:2

:3 7

xr

y

c) Ecuacin vectorial: : ( , ) (3, 0) ( 3, 3)r x y .

Ecuaciones paramtricas:3 3

:3

xr

y

d) Ecuacin vectorial: : ( , ) ( 2,0) (2, 5)r x y .


:5

xr

y

e) Ecuacin vectorial: : ( , ) (0, 2) (3,7)r x y .

Ecuaciones paramtricas: 3:2 7

xry

17.- Calcula la ecuacin continua y la ecuacin general de cada una de las siguientes

rectas:

a)

Pasa por el punto ( 3, 4)A y tiene la direccin del vector (1, 2)u

.

b) Pasa por los puntos (2, 5)P y (5,1)Q .

c)

Pasa por el origen de coordenadas y por el punto ( 3, 4)B .d)

Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extre-

mos (1, 3)M y (5,2)N .

Solucin:

a) Ecuacin continua:3 4

1 2

x y

Ecuacin general: 2 10 0x y

b) Tomamos como vector director el vector1

(1,2)3

PQ

Ecuacin continua:2 5

1 2

x y


c) Ecuacin continua:3 4

x y


d) El punto medio del segmento MNes el punto1 5 2 3 1

, 3,2 2 2

P

.

Podemos tomar como vector director de la recta el vector 2 (6, 1)OP

.

Ecuacin continua:6 1

x y

Ecuacin general: 6 0x y


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18.- Halla las ecuaciones paramtricas de las rectas:

a) 2 3r y x c)1 3

1 02 4

t x y

b) 4 3 6 0s x y d) La recta que pasa por (0,0)O y tiene pendiente 2m

Solucin:

a) La recta pasa por el punto (0,3)P . Como (2,1)n

es un vector normal, un

vector director es (1, 2)u

. Las ecuaciones paramtricas de la recta son:

3 2

xr

y

b) La recta pasa por el punto (0,2)P . Como (4,3)n


vector director es ( 3,4)u


3

2 4

xr

y

c)

La recta pasa por el punto (2,0)P . Como1 3

,2 4

n


vector director es ( 3,2)u


2 3

2

xr

y

d) La recta es 2y x , que pasa por el punto (0,0)O . Como (2,1)n

es un vec-

tor normal, un vector director es (1, 2)u

. Las ecuaciones paramtricas de la

recta son:

2

xr

y

19.- Halla la ecuacin general y la ecuacin normal cannica de la recta que tiene a

(2,4)n como vector normal y pasa por el punto medio del segmento AB siendo(0, 2)A y ( 3,0)B .

Solucin:

El punto medio del segmento AB es3 0 2 0 3

, , 12 2 2

M M

. La ecua-

cin normal es3

2 4( 1) 02

x y

. La ecuacin general ser,

2 4 7 0x y

, y como 20 2 5n

, la ecuacin normal cannica es,


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2 4 7 1 2 70 0

2 5 2 5 2 5 5 5 2 5x y x

20.- Calcula la ecuacin vectorial, las ecuaciones paramtricas, la ecuacin general y la

ecuacin explcita de la recta ren los siguientes casos:

a)

Pasa por el punto ( 3,6)P y es paralela a la recta de ecuacin 2 3 5 0x y .b) Corta a los ejes coordenados en los puntos (0, 3)P y ( 1,0)Q .

Solucin:

a)

La direccin de la recta es la del vector (3,2)u

y pasa por el punto ( 3,6)P .

Por tanto:

Ecuacin vectorial: ( , ) ( 3, 6) (3, 2)x y


6 2

x

y

Ecuacin general: 3 6 2 3 24 03 2

x y x y

Ecuacin explcita:2

83

y x

b) La direccin es la del vector ( 1, 3)PQ

.

Ecuacin vectorial: ( , ) (0, 3) ( 1,3)x y


x

y

Ecuacin general:3

3 3 01 3

x yx y

Ecuacin explcita: 3 3y x

21.- Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

a)

31 2

: :1

12

tx

xr s

y ty

d)1 1 7

: 7 : 02 2 2

r x y s x y

b) : 3 2 7 : 2 3 8r x y s x y e) 1: : 4 8 02 2xr s x yy

c)2 1

: 2 5 0 : 5 03 3

r x y s x y f) : 2 3 :2

xr y x s y

Solucin:

a)

Los vectores directores de las rectas son1 1

(1, 1) ,2 2

r su u

. Como el

punto (3,1)P de sno pertenece a r, ya que3 1 2

1 1 0

, las rectas son

paralelas.


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b)3 2

2 3

las rectas son secantes. Se cortan en el punto (1, 2)P

.

c) sse puede escribir como 2 15 0x y y al ser2 1 5

2 1 15

las rectas

son paralelas.

d)

sse escribe como 7 0x y

, que es la misma expresin de r, por lo que las

rectas con coincidentes.

e) 4(1 ) 2 2 8 0 3 . Las rectas son secantes y se cortan en el pun-

to (4, 8)P

.

f) Las pendientes de las rectas son 2rm y1

2sm . Las rectas son secantes y se

cortan en el punto6 3

,5 5

P

.

22.- En cada caso, calcula el valor del parmetro kpara que las rectas tengan la posicin

relativa indicada:

a) : 1 0; : 4 3 0r x ky s kx y , paralelas.

b)

: 2 4 0; : 3 4 0r kx y k s x y , coincidentes.

c) : 2 5 1 0; :3 2 0r kx y s x ky , paralelas.

Solucin:

a) Ha de verificarse que 21 1

4 24 3

kk k

k

b)

Ha de verificarse que2 4 2

1 3 4 3

k kk

c)

Ha de verificarse que 22 5 1

2 153 2

kk

k

que no tiene solucin. Por

tanto, las rectas no pueden ser paralelas.

23.- Calcula la ecuacin del haz determinado por las rectas secantes : 2 3r y x y

: 3 5s y x y halla la recta de este haz que pasa por el punto ( 2,2)P .

Solucin:

La ecuacin del haz es 2 3 (3 5) 0x y x y . Si la recta pasa por

( 2, 2)P , se tiene que 4 2 3 ( 6 2 5) 0 . Luego 913

. Por tanto, la recta

buscada es

92 3 (3 5) 0 26 13 39 27 9 45 0 4 6 0

13x y x y x y x y x y

24.- Dado el tringulo de vrtices (1,3), ( 1,2) y (0, 3)A B C :

a) Calcula las coordenadas del baricentro.

b) Calcula las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro.

c) Calcula las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro.

d)

Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo.

e) Calcula la ecuacin de la recta de Euler.


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Solucin:

a) El baricentro es1 1 0 3 2 3 2

, 0,3 3 3

G G

b)1 2 1 3

: :5 3 0 : : 5 14 01 5 5 1

BC BC A A

x y x yr r x y h h x y

1 3 1 2: : 6 3 0 : 6 11 0

1 6 6 1AC AC B B

x y x yr r x y h h x y

Resolviendo el sistema que forman las dos ecuaciones de las alturas:

5 14 0 29 25Ortocentro: ,

6 11 0 11 11

x yH

x y

c)

1 3: : 2 5 0

2 1AB ABx y

r r x y

Punto medio de AB :1 1 2 3 5

, 0,2 2 2

M M

5 2: : 4 2 5 01 2AB ABx ym m x y

1 3: : 6 3 0

1 6AC ACx y

r r x y

. El punto medio de AC es1

,02

N

. Por

tanto,1 2

: : 2 12 1 06 1AC AC

x ym m x y

. Resolviendo el sistema que forman

las ecuaciones de las dos mediatrices,

4 2 5 0 29 3Circuncentro: ,

2 12 1 0 22 22

x yC

x y

d) El radio de la circunferencia es2 2

29 3 5490( , ) 1 3 3,37

22 22 484d C A u

e) La recta de Euler es 53 87 58 0x y .

25.- Dado el cuadriltero de vrtices5

(1,1), (5,2), (3,3) y 1,2

A B C D

:

a) Demuestra que es un trapecio.

b)

Calcula el punto donde se cortan las diagonales.


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c) Comprueba que la recta que une los puntos medios de los dos lados no paraleloses paralela a las bases del trapecio.

Solucin:

a) Los ladosAByDCson paralelos porque

los vectores (4,1)AB

y 12,

2DC

son

proporcionales pues 2AB DC

.

b)

: 0 7 7,

: 8 21 0 3 3

AC

DB

r x yE

r x y

c)

Los puntos medios de los lados no paralelos

son1 1 1 5 2 7

, 1,2 2 4

E E

y

5 3 2 3 5, 4,

2 2 2F F

. La recta que

pasa por los puntos E y F es paralela a los lados AB y DC, ya que los vectores

(4,1)AB

,1

2,2

DC

y

33,

4EF

son proporcionales.

26.- Halla el punto de la recta : 2 1 0r x y que equidista de los puntos (2,2)A y

( 2, 4)B .

Solucin:

El punto buscado ser la interseccin de la recta rcon la mediatriz del segmento

AB . El punto medio del segmento AB es

2 2 2 4

, (0,3)2 2M M

.

La mediatriz del segmento AB es:3

2 3 01 2

x ym m x y . El punto

de interseccin es:2 1 0

( 1,1)2 3 0

x yP

x y

27.- Calcula el rea del tringulo de vrtices los puntos de corte de las rectas:

: 3 14r x y

: 3 5 14s x y

: 2 7t x y


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Solucin:

Los vrtices del tringulo son:

3 14(2,4)

3 5 14

x yA

x y

3 14

( 1, 5)2 7

x yB

x y

3 5 14

( 3,1)2 7

x yC

x y

.

La longitud de la base es: ( , ) 9 1 10d A B u

La longitud de la altura es:| 3 3 14 | 14 7 10

( , )510 10

d C AB u

.

El rea es: 2

1410

10 72

S u

28.- Los vrtices opuestos de un cuadrado son los puntos (0,3)A y (4,0)C . Cules son

las coordenadas de los otros dos vrtices? Cul es el rea del cuadrado?Solucin:

Una de las diagonales del cuadrado es la recta quepasa por los puntosAy C:

3: : 3 4 12 0

4 3AC ACx y

r r x y

. La dia-

gonal mide 2 2( , ) 4 3 25 5d A C u y su

punto medio es0 4 3 0 3

, 2,

2 2 2

M M

. SiD

es otro vrtice del cuadrado, el vector MD

es proporcional al vector (3,4)ACn

y su

mdulo vale5

2u . Entonces,

(3, 4) (3 ,4 )MD

y 2 25 1 3

(3 ) (4 ) 5 , 22 2 2

MD MD

.

Si ( , )D a b son las coordenadas del puntoD, entonces:

3 3 7 7, 2 2, ,

2 2 2 2a b D

. Por ltimo, si ( , )B a b son las coordenadas

del cuarto vrtice, comoMes el punto medio de BD :

3 7 2 7 2 1 1 1 12, , , ,

2 2 2 2 2 2 2

a ba b B

.

El lado del cuadrado mide:2 2

1 1 5 2( , ) 3

2 2 2l d A B u

. Y por tanto el

rea vale: 2 225

2S l u .


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29.- En el paralelogramo de vrtices ABCD se conocen las coordenadas de los puntos(0,3)A , (1,0)B y (6,1)C . Calcula la medida de sus diagonales y el ngulo que

forman.

Solucin:

El punto medio de ACes (3,2)M . ComoM

es el punto medio de BD , si ( , )D a b son las

coordenadas del vrtice que falta, entonces:

1 0, (3, 2) (5, 4)

2 2

a bD

. Las medidas

de las diagonales son:

2 2( , ) 6 ( 2) 40 2 10d A C u y

2 2

( , ) 4 4 32 4 2d B D u

.El ngulo que forman las diagonales es:

| | | 24 8 |cos 0, 447 63 26

2 10 4 2| | | |

AC BD

AC BD

30.- Calcula las rectas que pasan por el punto (1,2)P y que determinan con los ejes

coordenados un tringulo de rea 4,5 unidades cuadradas.

Solucin:

Las rectas que pasan por el punto Pson de la forma

2 ( 1)y m x . Los puntos de corte de la recta con

los ejes coordenados son los puntos (0,2 )A m y

2,0

mB

m

. El rea del tringulo ser:

2 2

2(2 )

94 4 9 5 4 0

2 2

mm

mS m m m m m

Resolviendo la ecuacin de segundo grado obtenemoslos valores

1 2

4, 1m m

. Por lo tanto, las rectas

pedidas son: 4 6, 3r y x s y x .

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Solución Tema 7