103. Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la

figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 MPa y

50 MPa , respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2Para el

cable AB y 200 mm2Para el cable AC .

Datos:

σ AB≤100 MPa

σ AC≤50 MPa

AAB=400 mm2

AAC=200 mm2

SOLUCIÓN:

1. Diagrama de Cuerpo Libre

2. Encontrando los posibles valores de las cargas en los cables AB y AC a partir

de las condiciones de esfuerzo dadas, sabiendo que σ= P

A

a) σ AB≤100×106 Pa b) σ AC≤50×106 Pa

PAB

A AB

≤100×106 PaPAC

A AC

≤50×106 Pa

PAB

400×106 m2≤100×106 Pa

PAC

200×106 m2≤50×106 Pa

PAB≤100×106Pa400×106 m2

PAC≤50×106 Pa200×106 m2

PAB≤40000 N PAB≤10000 N

3. Condiciones de equilibrio del sistema

a) ∑ F y=0

PAB⋅sen30 °+ PAC⋅sen 45 °−W =0

W =PAB⋅sen30 °+ PAC⋅sen 45 ° . .. . .. .. .. (1)

b) ∑ F x=0

−PAB⋅cos30 °+ PAC⋅cos45 °= 0

PAC=P AB⋅cos 30°

cos 45°. . .. .. . .. .. . .. . (2)

O a su vez

PAB=P AC⋅cos 45 °

cos30 °.. . .. .. . .. .. . .. (3 )

c) Reemplazando PAB=40000 N en (2)

PAC=40000 N⋅cos30 °cos 45°

=48989 ,794 N Caso 1

d) Reemplazando PAC=10000 N

en (2)

PAB=10000 N⋅cos 45 °cos30 °

=8164 ,97 N Caso 2

4. Evaluando los esfuerzos con el valor PAB=40000 N para determinar si cumple

las condiciones dadas σ AB≤100×106 Pa y σ AC≤50 MPa

. (Caso 1)

σ AB=40000 N

400×106 mm2

σ AB=100000000 Paσ AB=100 MPa⇒Cumple

σ AC=48989 ,794 N

200×106 mm2

σ AC=244948974 , 28 Paσ AC=244 , 949 MPa⇒ No cumple

Por tanto se evaluara con el valor PAC=10000 N

5. Evaluando los esfuerzos con el valor PAC=10000 N

para determinar si cumple

las condiciones dadas σ AB≤100×106 Pa y σ AC≤50 MPa

. (Caso 2)

σ AB=8164 , 97 N

400×106 mm2

σ AB=20412414 ,52 Paσ AB=20 ,412 MPa⇒Cumple

σ AC=10000 N

200×106 mm2

σ AC=50000000 Paσ AC=50 MPa⇒ Cumple

Ambos esfuerzos cumplen con las condiciones dadas por tanto procederemos

a calcular el peso del cuerpo con los valores de PAB y PAC correspondientes

6. Reemplazando los valores PAB=8164 ,97 N y PAC=10000 N

en (1)W =8164 , 97 N⋅sen30 °+10000 N⋅sen 45°⇒W =11153 ,55 N=11 ,154 kN

104. Calcule para la armadura de la figura, los esfuerzos producidos en los elementos

DF , CE y BD . El área transversal de cada elemento es 1200 mm2. Indique la

tensión (T) o bien la compresión (C).

SOLUCIÓN:

1. Resolución de fuerzas en la armadura

a) Sumatoria de momentos con respecto al punto E

∑ M B=0DF⋅senθ⋅(3 m)+180 kN⋅(3 m )=0

DF⋅( 45 )⋅(3 m )+180 kN⋅(3 m )=0

DF=−180 kN⋅(3 m )⋅5

4⋅(3 m )=−255 kN

σ DF=DFADF

=−255×103 N1200×10−6 m2

=187500000 Pa

σ DF=187 ,5 MPa

∑ F y=0

DF⋅( 45 )+DE+180 kN−200 kN=0

DF⋅( 45 )+DE+180 kN−200 kN=0

DE=200 kN−(−225 kN )⋅( 45 )−180 kN

DE=200 kN

∑ F x=0

CE+DF⋅( 35 )=0

CE=− (−225 kN )⋅( 35 ) ⇒CE=135 kN

σ CE=135×103 N1200×10−6 m2

=112 ,5 MPa

DCL nodo D

∑ F x=0

−BD ( 3

√13 )−CD ( 35 )+DF ( 3

5 )=0

∑ F y=0

BD ( 2

√13 )−DE−DC ( 45 )−DF ( 4

5 )=0

105. Determine, para la armadura de la figura las áreas transversales de las barras BE ,

BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/m2en tensión, ni de

80 MN/m2en compresión. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una

tensión reducida en la compresión.

SOLUCIÓN:

En toda la estructura

∑ M A=0

RDy (6 m )−40 kN (9 m )−50 kN (12 m )=0

RDy=40 kN (9 m )+50 kN (12 m )

6 m=160 kN

∑ F y=0

RAy−90 kN+160 kN=0

RAy=−70 kN

En el corte x-x

∑ M F=0

BE( 35 ) (4 m )−50 kN (3 m )=0

BE=50 kN (3 m ) (5 )

(3 ) (4 m )=62, 5 kN

ABE=BEσ BE

=62, 5×103 N100×106 N/m2

=625 mm2

∑ F y=0

BE(45 )+BF(8

√73 )−90 kN=0

BF(8

√73 )=90 kN−62 ,5 kN(45 )

BF=(90 kN−50 kN ) (√73 )8

=42 , 72 kN

ABF=BFσBF

=42, 72×103 N100×106 N/m2

=427 , 2 mm2

∑ F x=0

−BE( 35 )−BF ( 3

√73 )−CF=0

CF=−62 ,5 kN( 35 )−42 ,72 kN( 3

√73 )=−52 , 5 kN

ACF=CFσCF

=52 , 5×103 N80×106 N/m2

=652 , 25 mm2

106. Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una sección de 30 mm por 60 mm : determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan a los fijados en el problema 105.

SOLUCIÓN:

En toda la estructura:

∑ M C=0

RAy (10 m )−P (3,6 m)=0

RAy=P (3,6 m)10 m

=0 , 36 P

∑ F y=0

RAy+RCy=P

RCy=P−0 ,36⋅P=0 , 64 P

DCL nodo B

∑ F x=0

AB( 45 )−BC( 3

5 )=0

AB=34

BC .. .. .. . .. .(1)

∑ F y=0

−AB( 35 )−BC( 4

5 )−P=0

3 AB+4 BC=−5 P . .. .. . .. .. . .(2)

Reemplazando (1) en (2)

3( 34

BC)+4 BC=−5 P

9 BC+16 BC=−20 P

25 BC=−20 P

BC=− 45

P

Luego reemplazamos BC=− 4

5P

en (2):

3 AB+4 (−45

P)=−5 P

3 AB−165

P=−5 P

15 AB−16 P=−25 P

AB=−35

P

DCL NODO A

∑ F x=0

AB( 45 )+AC=0

AC=−(−35

P)( 45 )=12

25P

Tenemos que P=σ⋅A , y A=(30 mm ) (60 mm )=180 mm2=180×10−6m2, entonces:

En BC: −4

5P=( 80×106 N/m2 ) ( 180×10−6 m2)

P=− 54

( 80×106 N/m2 ) (180×10−6m2)=−180000 N=−180 kN

En AB: −3

5P=( 80×106 N/m2 ) (180×10−6m2)

P=−53

(80×106 N/m 2) (180×10−6 m2)=−240000 N=−240 kN

En AC:

1225

P= (80×106 N/m2 ) (180×10−6m2)

P=2512

(80×106 N/m2 ) (180×10−6m2)=275000 N=275 kN

Para que no exceda las condiciones escogemos el menor: P=180 kN

107. Una columna de hierro fundido (o fundición) soporta una carga axial de

comprensión de 250 kN . Determinar su diámetro interior si el exterior es de 20 0 mm y el máximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa .

DATOS:

P=250 kN (C)

σ max=50 MPa

SOLUCIÓN:

A=Pσ

=250×103 N50×106 N/m2

=5×10−3 m2=50000 mm2

A=π4 (Dext

2−Dint

2)5000 mm2=π

4 ( (200 mm )2−Dint

2)π4

Dint

2=π4

(200 mm )2−5000 mm2

Dint=√( π4

(200 mm )2−5000 mm)4

π=183 , 395mm

108. Calcule el diámetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar una

fuerza de tensión de 500 kN con un esfuerzo máximo de 140 MN/m2: Suponga que

el espesor de las paredes es una décima parte del diámetro exterior.DATOS:

σ max=140 MN/m2

P=500 kN (T)SOLUCIÓN:

Es espesor es igual a e=

Dext−Dint

2 , y sabiendo que este es una décima parte del diámetro exterior tenemos que:

110

Dext=Dext−Dint

22 Dext=10 Dext−10 D int

Dint=8

10D ext .. . .. .. . .. .. . .(1 )

A=Pσ

=500×103 N140×106 N/m2

=3 ,571×10−3 m2=3571 mm2

A=π4 (Dext

2−Dint

2) .. .. . .. .. . .(2)

Reemplazamos (1) en (2)

3571 mm2= π4 (Dext

2−(0,8 Dext )2)3571 mm2= π

4 (0 , 36 Dext

2)Dext=√3571 mm2 (4 )

π (0 .36 )=112 ,38 mm

109. En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el

esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una

reacción del terrenoR=20 kN . AB forma un ángulo de 53 , 1° con BC .

SOLUCIÓN:

DCL

∑ M C=0

R (650 mm )+AB sen 53 ,1 ° (450 mm )=0

AB=−20 kN (650 mm )(450 mm ) sen53 , 1 °

=−36 ,125 kN

AAB=π4

( 402−302)=549 ,779 mm2

σ AB=ABAAB

=36 , 125×103 N549 ,779×10−6 m2

=65 , 708 MN/m2

110. Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los

puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPaen el aluminio; de 1 50 MPa en el acero; o de 10 0 MPa en el bronce.

Corte Al

R=−P

σ Al=PAl

AAl

80×106 N/m2=PAl

200×10−6 m2

PAl=16 kN

Corte Acero

R=−P+3 P=2 P

σ Acero=PAcero

AAcero

80×106 N/m2=2 PAcero

200×10−6 m2

PAcero=30 kN

Corte bronce

R=−P+3 P+2 P=4 P

σ Bronce=PBronce

ABronce

100×106 N/m2=4 PBronce

200×10−6 m2

PBronce=12, 5 kN

Escogemos el menor: P=12 , 5 kN

111. Una barra homogénea AB (de 150 kg ) soporta una fuerza de2 kN , como puede

verse en la figura. La barra esta sostenida por un perno (en B ) y un cable (CD ) de 10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.

SOLUCIÓN:

DCL

∑ M B=0

CD ( 45 ) (3 m )−20000 N (6 m )6−1470 N (3 m )=0

CD=(20000 N (6 m ) 6+1470 N (3 m ) ) (5 )

4 (3 m )=6 , 838 kN

ACD=π4

(0 , 01 m)2=78 , 54×10−6m2

σ CD=CDACD

= 6 , 838×103 N78 , 54×10−6 m2

=87 ,064 MPa

112. Calcule el peso del cilindro más pesado que se puede colocar en la posición que se

indica en la figura; sin rebasar un esfuerzo de 50 MN/m2en el cable BC :

Desprecie el peso de la barra AB . El área transversal del cable BC es de 10 0 mm2.

SOLUCIÓN:

Diagrama de cuerpo libre (Barra)

∑ M A=0

R (4 m )+BC( 45 ) (10 m )=0

BC=−R (4 m ) (5 )4 (10 m )

=− R2

σ BC=BCABC

50×106 N/m2=

R2100×10−6 m2

R=50×106 N/m2 (100×10−6 m2 ) (2 )=10000 N=10 kN

DCL cilindro

∑ F y=0

W =R sen37 °

W =10 kN( 35 )=6 kN

113. Una barra homogénea AB (de 1000 kg de masa) pende de dos cables AC y BD ,

cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en la

figura. Determine la magnitud P . Así como la ubicación de la fuerza adicional

máxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD ,

tiene un límite de 10 0 MPa y 50 MPa , respectivamente.

SOLUCIÓN:

Diagrama de cuerpo Libre

σ AC=100×106 N/m2

σ AC=ACAAC

AC=100×106 N/m2⋅400×10−6 m2=40 kN

∑ F y=0

AC+BD=9800+P

BD=9800 N−40000 N+P

BD=P−30200 N

σ BD= BDABD

50×106N/m2= P−30200 N

400×10−6m2

50×106N/m2=P−30200 N

400×10−6m2

P=50×106 N/m2 (400×10−6 m2)+30200 N=50200 N=50 ,2 kN

∑ M B=0

AC (2 )=9800 N (1 m )+P (2m−x )

50200 N (2 m−x )=4000 N (2 m )−9800 N (1 m )

x=2 m−4000 N (2 m)−9800 N (1 m)50200 N

=0 ,602 m