Guia 2 Esfuerzo Simple

2010

Ing. Ramón E. Vilchez G.

e-mail:

[email protected]

Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”.

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES.

GUÍA N 2. ESFUERZOS SIMPLES Web: http://resistenciadelosmaterialesteoria.blogspot.com

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. TEMA N° 1. ESFUERZO SIMPLE

Prof. Ing. Ramón E. Vilchez G. e-mail: [email protected], Web: http://resistenciadelosmaterialesteoria.blogspot.com Página 2

Contenido Introducción. ........................................................................................................................................... 3

Sistema de Unidades Básicas: ......................................................................................................... 3

Relación entre Masa, Fuerza y Peso. .............................................................................................. 4

Segunda Ley de Newton (Ley de la Fuerza). .................................................................................. 4

El factor de seguridad. ........................................................................................................................... 4

Esfuerzo Normal Simple (σ): ................................................................................................................. 5

Esfuerzo de Tensión. ......................................................................................................................... 6

Esfuerzo de compresión. ................................................................................................................... 7

Diseño de elementos estructurales sometidos a esfuerzos de directo de tensión o compresión directa. ................................................................................................................................................. 7

Esfuerzo Cortante. ................................................................................................................................. 8

Esfuerzo Cortante Simple. ................................................................................................................. 8

Esfuerzo Cortante Doble. .................................................................................................................. 9

Esfuerzo cortante de cizallamiento. .................................................................................................. 9

Diseño de Elementos Estructurales Sometidos a Esfuerzos de Cortante Directo (τd). ............ 10

Esfuerzo de contacto. .......................................................................................................................... 11

Diseño por Esfuerzo de Apoyo para el Acero (σb). ....................................................................... 11

Diseño por Carga de Apoyo Permisible para Rodillos de Acero (Wb). ....................................... 11

Problemas Propuestos ........................................................................................................................ 13



Introducción. La mecánica de materiales es una ciencia de la ingeniería que se ocupa del estudio de los

efectos causados por la acción de cargas externas que actúan sobre un determinado sistema

deformable; se encarga de analizar las fuerzas internas inducidas en sus diferentes

componentes y la relación existente entre ellas. Suministrándole al futuro ingeniero los

conocimientos los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras

portadoras de cargas.

Sistema de Unidades Básicas: Los cálculos que se requieren en la aplicación de la resistencia de los materiales involucran la

manipulación de varios conjuntos de unidades en ecuaciones. Para obtener precisión numérica,

es de gran importancia asegurarse que se utilizan unidades consistentes.

En la actualidad existen dos sistemas de unidades básicas que son:

El sistema métrico, aceptado internacionalmente, se conoce por el nombre de Sistema

Internacional de Unidades, que en el presente curso se abreviará con las siglas SI.

El sistema anglosajón, de uso en los Estados Unidos cuyo nombre es Unidades

Gravitacionales Inglesas y sus siglas son EGU (English Gravitacional Unit System).

Las magnitudes básicas para cualquier sistema de unidades son: longitud, tiempo, fuerza,

masa, temperatura y ángulo.

TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU.

MAGNITUD SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

SISTEMA ANGLOSAJÓN (EGU)

LONGITUD METRO (m) PIE (ft)

TIEMPO SEGUNDO (s) SEGUNDO (s)

FUERZA NEWTON (N) LIBRA (lbf)

MASA KILOGRAMO (kg) Slug

TEMPERATURA KELVIN (K) ºF

ANGULO RADIAN GRADO



Relación entre Masa, Fuerza y Peso. Masa: se refiere a la cantidad de sustancia que hay en un cuerpo.

Fuerza: es la acción de empujar o jalar que se ejerce sobre un cuerpo, ya sea por una

fuente externa, o por la acción de la gravedad.

Peso: es la fuerza de la atracción gravitacional sobre un cuerpo.

Segunda Ley de Newton (Ley de la Fuerza).

“La aceleración imprimida a un cuerpo dado, es proporcional a la fuerza que lo produce y

tiene la misma dirección y sentido que dicha fuerza”

Y se puede escribir de forma vectorial así:

El factor de seguridad. El es valor que le permite al diseñador minimizar el nivel de incertidumbre que existe en los

cálculos de ingeniería, este coeficiente debe ser mayor que la unidad. Y relaciona la resistencia

que posee el material con las cargas a la que este va a estar sometido para garantizar que el

mismo no falla. Este se puede especificar como ya se explico con anterioridad; sino también de

la siguiente manera:

En relación con la una carga de diseño y una carga de trabajo.

1__arg_arg

__arg_arg

TrabajodeaCPermisibleaC

DiseñodeaCultimaaCN

En relación con el esfuerzo de diseño y el esfuerzo de trabajo.

1___

___

TrabajodeEsfuerzoPermisibleEsfuerzo

DiseñodeEsfuerzoultimoEsfuerzoN

gmW 2

81,9s

mg

22,32

s

ftg

Peso EUG SI

amF



Esfuerzo Normal Simple (σ):

“Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria del material del que está hecho

un miembro para una carga aplicada externamente”.

“es la fuerza por unidad de área, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a través de una

sección dada”. De forma analítica. Ver figura N° 1

P

A

P)(

P

P

A

P)(

P

Tensión Compresión

A = ÁREA TRANSVERSAL

P = FUERZA NORMAL

P

P

P

=

A

P

FORMULA DEL ESFUERZO NORMAL SIMPLE

Figura N° 2. Convenio de Signos para Esfuerzo Normal Simple

Figura N° 1. Esfuerzo Normal Simple.



Para que esta ecuación sea válida se deben satisfacer las siguientes condiciones:

El miembro con carga debe ser recto.

El miembro con carga debe ser una sección transversal uniforme a lo largo en toda la

longitud que se considera.

El material del que está hecho el miembro debe ser homogéneo.

La carga que debe aplicarse a lo largo del eje centroidal del miembro de modo que no

haya tendencia a que este se flexione.

Los miembros a compresión deben ser cortos para que no se pandeen.

Esfuerzo de Tensión. Es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material. Donde las fuerzas que actúan

sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y sentidos opuestos hacia fuera del

material. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente fórmula:

𝜎 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜=

𝑇

𝐴𝑡

FORMULA DEL ESFUERZO:

A

P

T T

Lo

T T

Lf

Figura N° 3. Elemento Sometido a Tensión.



Esfuerzo de compresión. Es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga y acortar al miembro en sí.

Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y sentidos

opuestos hacia dentro del material. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la

siguiente fórmula:

𝜎 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜= −

𝐶

𝐴𝑡

Diseño de elementos estructurales sometidos a esfuerzos de directo de tensión o compresión directa.

𝝈𝒅 =𝑹𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 𝑺𝒚;𝑺𝒖𝒕

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒓𝒊𝒅𝒂𝒅

El esfuerzo de diseño (σd): es aquel nivel de esfuerzo que puede desarrollarse en un

material, al tiempo que asegura que el miembro soporta la carga sea seguro.

El factor de diseño (N): es el número entre el que se divide la resistencia registrada del

material para obtener el esfuerzo de diseño (σd). Debe ser mayor que la unidad.

Resistencia última a la tensión (Sut) y Resistencia a la fluencia del material (Sy) son

propiedades de los materiales.

Esfuerzo de diseño en base a la resistencia a la cedencia del material.

C C

Lf

Lo

C C

Figura N° 4. Elemento Sometido a Compresión



N

Sutd

Esfuerzo de diseño en base a la resistencia última a tensión del material.

N

Syd

A continuación, se presentan una tabla en donde se indican algunos criterios que se pueden

emplear a la hora de especificar el factor de seguridad.

Esfuerzo Cortante.

Esfuerzo Cortante Simple. Este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza actúa de forma tangencial al área de

corte. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente fórmula:

𝜎 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜=

𝑉

𝐴𝑐

V

V

Área de corte

Figura N° 5. Elemento sometido a cortante



Esfuerzo Cortante Doble. Este tipo de esfuerzo se genera en las uniones apernadas, atornilladas como se observa en la

siguiente figura, en donde la carga que genera el corte se divide a la mitad y es paralela a la

sección transversal del elemento de sujeción.

Esfuerzo cortante de cizallamiento. Este esfuerzo cortante se genera cuando se va a perforar una lámina ejerciendo una fuerza

perpendicular al área de corte, y está definida como la periferia (perímetro) en donde se

produce el corte por espesor que recorre éste.



Diseño de Elementos Estructurales Sometidos a Esfuerzos de Cortante Directo (τd).

𝝉𝒅 =𝑹𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 𝑺𝒚;𝑺𝒖𝒕

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒓𝒊𝒅𝒂𝒅

El esfuerzo cortante de diseño (τd) es aquel nivel de esfuerzo que puede desarrollarse

en un material, a tiempo que asegura que el miembro soporta la carga cortante sea

seguro.

Resistencia a la cedencia a corte, Sys, es el nivel de esfuerzo cortante al que el material

presentaría el fenómeno de cedencia

N

Sysd

A continuación, se presentan una tabla en donde se indican algunos criterios que se pueden

emplear a la hora de especificar el factor de seguridad para materiales dúctiles.

Mientras que para los materiales frágiles se puede emplear las siguientes recomendaciones

Formula

Tabla N°4. Estimaciones para la Resistencia Última a Corte

Material

Aleaciones de Aluminio

Acero

Hierrro maleable y aleaciones de Cobre

Hierrro colado gris

SuSus 65,0

SuS us 82,0

SuS us 90,0

SuS us 30,1



Esfuerzo de contacto. Cuando un cuerpo sólido descansa sobre otro y le transfiere una carga, las superficies en

contacto se desarrolla una forma de esfuerzo conocida como esfuerzo de contacto. Este

contacto no es constante en toda la superficie, por lo tanto se hace la suposición de que las

tensiones que se generan por este contacto se distribuye de forma uniforme sobre área

proyecta perpendicular a la dirección de la fuerza. Como se muestra en la siguiente figura N° 6.

Y la fórmula para el esfuerzo de contacto se expresa de la siguiente forma:

𝜎𝑏 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 Á𝑟𝑒𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜=

𝑃𝑐

𝐴𝑐

Diseño por Esfuerzo de Apoyo para el Acero (σb).

Según el AISC, el esfuerzo de apoyo permisible en el acero en el caso de superficies

planas, o en caso del área proyectada de pernos en agujeros perforados, taladrados es:

𝜎𝑏 = 0,90𝑆𝑦

Diseño por Carga de Apoyo Permisible para Rodillos de Acero (Wb).

Cuando se emplean balancines o rodillos, para soportar vigas u otro miembro de carga,

el esfuerzo de apoyo en este caso va a depender del diámetro del rodillo (d) y de la

longitud del mismo, L. La AISC específica para este caso una carga de apoyo permisible

Pc

Pc

Área de corte

Pc Pc

d

t

Figura N° 6. Elemento sometido a esfuerzo de contacto



en vez de emplear un esfuerzo, el cálculo de esta carga (Wb) se realiza mediante la

siguiente expresión.

𝑊𝑏 =𝑆𝑦 − 13

20 0,66𝑑𝐿

En donde Sy, se expresa en ksi, d y L se expresan en pulgadas, Wb en kips

Dsnghuduivbgdsiubgfvudskbvksbdvubsiubviuwbviubgwiuvbiudsbgviusdbkvbskdbviusbdvbsdiuvbkusdbvkusdvudsvbskbvsbvgsvugdskvbsvbskhdbgvkjsdvkhbskvbkdsbvuskgviudsgiuvdsubgvsdbgvsddgfvgwhdvcvchjvccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

ccccccccccccccccccc

cccccvbgdbsvhdbvhjcxhvbhjdsbvhvsdhbvhjcbvhjhj

edcdcccccccccccccccccccccccc



Problemas Propuestos

1) Calcule el esfuerzo en una barra redonda sujeta a una fuerza de tensión directa de 3200 N,

si su diámetro es de 10 mm.

2) Calcule el esfuerzo en una barra rectangular con dimensiones de sección transversal de 10

mm por 30 mm si se aplica una fuerza de tensión directa de 20 kN.

3) Una varilla circular, con diámetro de 3/8 plg soporta un calentador que pesa 1850 lb. Calcule

el esfuerzo en la varilla.

4) Se diseña una repisa para sostener cajones con una masa total de 1840 kg. Dos varillas

similares a las de la figura N° 7. sostienen la repisa cada varilla tiene un diámetro de 12 mm.

Suponga que el centro de gravedad de los cajones está en la parte media de la repisa. Calcule

esfuerzo a la mitad de las varillas.

Figura N° 7. Ejercicio # 3.

5) Tres bloques de madera cortos y cuadrados de 3½ plg de lado, soporta una máquina que

pesa 29500 lb. Calcule el esfuerzo de compresión sobre los bloques.

6) Una máquina con una masa de 4200 kg está sobre tres varillas de acero dispuestas como

se muestran en la figura N° 8. cada varilla tiene un diámetro de 20 mm. Calcule el esfuerzo en

cada varilla.



7) Una barra cuadrada soporta una serie de cargas como se muestran en la figura N° 9. calcule

el esfuerzo en cada segmento de la barra. Todas las cargas actúan a lo largo del eje central de

la barra.

Figura N° 9. Ejercicio # 7

8) Repita el problema 7. con la barra circular de la figura N° 10.

Figura N° 10. Ejercicio #8, 9




9) Repita el problema 7. con la barra circular de la figura N° 10. el tubo es de acero cédula 40

de 1½ plg.

10) Obtenga el esfuerzo de tensión en el miembro AB que se muestra en la figura 1-30.


11) Determinar el área de la sección recta de las barras BD, BE, y CE de la armadura

representada en la figura N° 12, de manera que la tensión no exceda de 1400 kgf/cm2 en

tracción, ni 850 kgf/cm2 en compresión. Se fija una tensión más reducida a compresión para

evitar el efecto de pandeo.


12) Con las mismas tensiones admisibles fijadas en el problema anterior, determinar las

secciones necesarias en las barras BD, CD y CE de la armadura en ménsula representada en

la figura N° 13.



Figura N° 13. Ejercicio #12

13) De todas las barras de la estructura articulada de la figura P-103 tienen una sección de 2 por

1 cm. Determinar la carga máxima P que puede aplicarse sin que las tensiones excedan a las

fijadas en el problema 11.


14) Una columna de fundición soporta una carga axial de compresión de 4000 kgf. Determinar

su diámetro interior si el exterior es de 16 cm y la máxima tensión no debe exceder de 600

kgf/cm2.

15) Un soporte de madera escuadrada de 20 por 20 cm descansa a través una placa de apoyo

de acero de 30 por 30 cm sobre una base de hormigón, como se muestra en la figura N° 15.

determinar el valor de P si la tensión de compresión admisible de la madera es de 110 kgf/cm2.

y en el hormigón de 50 kgf/cm2. ¿cuál debe ser la dimensión d de apoyo de la base si la presión

sobre el terreno no debe exceder de 4 kgf/cm2?




16) Un tubo de aluminio está firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce como

muestra la figura P-108. se aplican cargas axiales en las posiciones señaladas. Determinar la

tensión en cada material si P= 1500 kgf/cm2.


17) En el problema anterior, encontrar el máximo valor de P de manera que no se sobrepasen

las tensiones siguientes: 1250 kgf/cm2 en el aluminio y 1100 kgf/cm2 en el bronce.

18) La figura N° 18 muestra la forma de un trozo que debe extraerse de una lámina de aluminio

de 5mm de espesor. Calcule el esfuerzo cortante en el aluminio si se aplica una fuerza de

perforación de 38.6 kN.




19) La figura N° 19 muestra la forma de un trozo de un bocado al extraerse de una lámina de

acero de 0.194 plg de espesor. Calcule el esfuerzo cortante en el acero si se aplica una

fuerza de perforación de 45000 lb.


20) Se conectan dos tubos como se muestra en la figura N° 20. bajo una carga de compresión

de 20000 lb, la carga se transfiere del tubo superior a través del perno al conector, y luego a

través del collarín al tubo inferior. Calcule el esfuerzo cortante en el perno y en el collarín.




21) Un tubo de acero de cédula 40 de 2 plg se utiliza como una pata en una máquina. La carga

soportada por la pata es:

Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso si el tubo está abierto en uno de sus

extremos.

Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso si se suelda una placa plana a la parte

inferior del tubo con un diámetro igual al diámetro exterior del tubo.

22) Una polea de 75 cm sometida a la acción de fuerzas como se indica en la figura N° 22, está

enchavetada en un eje de 5 cm de diámetro. Calcular la anchura “b” de la chaveta si tiene

7,5 cm de longitud y la tensión cortante admisible es de 800 kgf/cm2.


23) Un vagón cargado por completo con peso de 16 k es jalado lentamente hacia arriba por una

vía inclinada por medio de un cable acero (ve figura B). El cable tiene un área efectiva en su

sección transversal de 0.471 in2 y el ángulo de inclinación de la vía es de 31º. ¿Cuál es el

esfuerzo de tensión en el cable?


24) Cada uno de los 4 eslabones verticales tienen una sección transversal rectangular

uniforme de 8 x 36 mm y cada uno de los de los 4 pasadores tienen un diámetro de 16 mm.



Determine el valor máximo del esfuerzo normal en los eslabones que conectan a) los puntos

B y D, b) los puntos C y E. (ver figura N° 22)


25) Dos varillas cilíndricas sólidas AB y BC se encuentran soldadas en B y cargadas como se

muestra en la figura N° 23. Sabiendo que el esfuerzo normal no debe exceder 25 ksi en

ninguna varilla, halle los valores mínimos permisibles de los diámetros d1 y d2.


26) Una viga horizontal AB soportada por un puntal inclinado CD lleva una carga P = 2600 lb en

la posición que se ilustra en la figura N° 24. El puntal, que consiste en dos barras, está

conectado a la viga por medio de un pasador que pasa por las tres barras que se encuentra



en el nodo C. si el esfuerzo cortante permisible en el perno es de 13500 psi, ¿cuál es el

diámetro mínimo requerido dmin para el perno?.

27) Un bote salvavidas cuelga de dos pescantes como se muestra en la figura. Un pasador a

través de cada pescante. Los cables unidos al bote pasan sobre la polea y se enrollan

alrededor de malacate que suben y bajan el bote. Las partes inferiores de los cables están

en posición vertical y las partes superiores forman un ángulo = 18º con la horizontal. La

fuerza de tensión en cada cable es de T= 8kN cuando el bote está cargado por completo.

¿Cuál es diámetro mínimo de los pasadores a través de los pescantes con base en un

esfuerzo de cortante permisible de 28 MPa?





28) En la figura N° 26 se muestra parte de un tren de aterrizaje de una avioneta. Determinar la

tensión de compresión en el tronajuntas AB producida en el aterrizaje por una reacción del

terreno R= 2000 kgf. AB forma un ángulo de 53º con BC.


29) Una barra de aluminio AB está unida a un soporte por un pasador de d= 16 mm (vea la

figura N° 27). La barra tiene un espesor t= 15 mm y ancho b= 40 mm. Si el esfuerzo

permisible de tensión en la barra es de 125 MPa y el esfuerzo cortante permisible en el

pasador es de 75 MPa, encuentre el valor permisible de la carga P de tensión.


30) Un tubo de acero como se muestra en la figura N° 28, utiliza dos cables por el cual se

soporta un equipo. Sabiendo que el tubo es de acero cédula 40 de 1 ½, determine el

alargamiento del en punto C y los esfuerzos en sección A-B y B-C.




31) Un miembro corto sujeto a compresión tiene la sección transversal que se muestra en la

figura. Calcule el esfuerzo en él si se aplica una fuerza de compresión de 52.000 lbf en línea

con su eje centroidal. (vea la figura N° 29)

32) La figura N° 30 muestra la unión en el apoyo, del par y tirante de una cercha de de madera.

Despreciando el rozamiento, determinar la dimensión b si la tensión admisible es de 9

kgf/cm2. calcular también la dimensión c, si la presión de contacto no debe exceder de 70

kgf/cm2.


0,5 in 2,65 in 0,55 in

1,4 in

Figura N° 29. Ejercicio 31



33) La palanca acodada que se representa en la figura N° 31 está en equilibrio. Determinar el

diámetro de la barra AB si la tensión normal está limitada a 4/3 de la tensión cortante en el

pasador situado en D, de 25 mm de diámetro.


"El hombre sólo puede ser hombre mediante la educación." Immanuel Kant

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