Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”12

Unidad 12. Estadística

PÁGINA 256

■ Resuelve problemas

17 A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas res-pondieron esto:

4 5 3 6 3 5 4 6 3 2

2 4 6 3 5 3 4 5 3 6

4 5 7 4 6 2 3 4 4 3

4 4 5 3 2 6 3 7 4 3

a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente.

b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.

a) Diagrama de barras

N.O DE PERSONAS EN EL HOGAR FAMILIAR

FREC.

234567

41111662

40

FRECUENCIA

N.º DE PERSONASEN EL HOGAR FAMILIAR

2

2

2 4 5 6 7

4

6

8

10

12

b)

x– = ∑ fi xi∑ fi

= 16540

= 4,125

Me = 4

b)

xi fi fi · xi fi · xi2

234567

41111661

83344303614

169917615021698

40 165 755

4 veces 11 veces 11 veces 6 veces 6 veces 2 veces 678 678 678 678 678 678

(2, 2, 2, 2, 3 … 3, 4 … 4, 5… 5, 6… 6, 7, 7. En el lugar 20 y 21 hay un 4).

Mo = 3 y 4. (Los datos que más se repiten).

q = √ ∑ fi xi2

∑ fi – x– 2 = √ 755

40 – (4,125)2 ≈ 1,364

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18 En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos eda-des distintas:

Tejido graso

Agua corporal

Músculos,órganos…

Masa ósea

A LOS 25 AÑOS A LOS 75 AÑOS

62%

17%

15%

6%

30%

12%

53%

5%

a) ¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos… en esos 50 años?

b) Si una persona de 25 años pesa 80 kg, ¿cuál es la cantidad de agua que compone su organismo? ¿Y de tejido graso?

c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75 años con el mismo peso.

a) A medida que envejecemos, se observa que la cantidad de agua corporal, músculos, órganos y masa ósea disminuye, siendo el tejido graso lo único que aumenta.

b) Agua corporal: 62 · 80100

= 49,6 kg Tejido graso: 15 · 80100

= 12 kg

c) Agua corporal: 53 · 80100

= 42,4 kg Tejido graso: 30 · 80100

= 24 kg

19 En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los re-sultados siguientes:

a) Dibuja un histograma para representar gráfi-camente los datos y haz también el polígono de frecuencias.

b) Calcula la media y la desviación típica.

PUNTUACIÓN N.º DE PERSONAS

30 - 40 640 - 50 1850 - 60 7660 - 70 7070 - 80 2280 - 90 8

c) ¿Qué porcentaje de individuos tiene una inteligencia superior a x– + 2q? ¿Y cuán-tos inferior a x– – 2q? Haz una estimación razonada.

a)

N.º DE PERSONAS

PUNTUACIÓN

30

20

40 50 60 70 80 90

40

60

80

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b)

b)INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi

2

30-4040-5050-6060-7070-8080-90

354555657585

6187670228

210810

4 1804 5501 650

680

7 35036 450

229 900295 750123 75057 800

200 12 080 751 000

x– = 12 080200

= 60,4; q = √751 000200

– (60,4)2 = 10,336

c) Como x– + 2q = 60,4 + 2 · 10,336 ≈ 81 y en el intervalo 80-90 hay 8 personas, esti-mamos que en el intervalo 81-90 hay, aproximadamente, 7 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia superior a x– + 2q es 7

200 = 0,35 ≈ 3,5%.

Por otro lado, como x– – 2q = 60,4 – 2 · 10,336 ≈ 39,7, y en el intervalo 30-40 hay 6 personas, estimamos que en el intervalo 30-39,7 hay, aproximadamente, 6 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia

inferior a x– – 2q es 6200

= 0,3 = 3%.

Los dos porcentajes deberían ser aproximadamente iguales.

20 Al medir el peso al nacer en una determinada especie de animales, hemos obtenido los datos si-guientes:

a) Representa estos datos con el gráfico adecuado.

b) Calcula la media y la desviación típica.

c) ¿Qué porcentaje de animales pesó entre x– – q yx– – q? ¿Y más que x– + q? ¿Y menos que x– – q?

PESO (kg) N.º DE ANIMALES

3,5 - 4,5 1

4,5 - 5,5 8

5,5 - 6,5 28

6,5 - 7,5 26

7,5 - 8,5 16

8,5 - 9,5 1

a)

N.º DE ANIMALES

PESO AL NACER (kg)

3,5

5

4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

10

15

20

25

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b)

x– = 53180

= 6,638

q = √3 60380

– (6,638)2 = 0,997

b)

INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi2

3,5-4,54,5-5,55,5-6,56,5-7,57,5-8,58,5-9,5

456789

18

2826161

440

168182128

9

16200

1 0081 2741 024

81

80 531 3 603

c) x– – q = 6,638 – 0,997 = 5,641 ≈ 5,5; x– + q = 6,638 + 0,997 = 7,635 ≈ 7,5

En el intervalo que va de x– – q a x– + q hay 28 + 26 = 54 individuos, que supone un 5480

= 0,675 = 67,5%.

Con más de x– + q hay 16 + 1 = 17 individuos, que supone un 1780

= 0,2125 = 21,25%

Con menos de x– – q hay 1 + 8 = 9 individuos, que supone un 980

= 0,1125 = 11,25%.

21 Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos:

14 9 9 20 18 12 14 6 14 8

15 10 18 20 2 7 18 8 12 10

20 16 18 15 24 10 12 25 24 17

10 4 8 20 10 12 16 5 4 13

a) Reparte estos datos en intervalos de extremos:

1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5

Haz la tabla de frecuencias y el histograma.

b) Calcula la media y la desviación típica.

c) Utilizando los parámetros x– y q, haz cinco intervalos con las siguientes caracte-rísticas: estudia muy poco, estudia poco, estudia normal, estudia mucho, estudia muchísimo. ¿Qué proporción de individuos hay en cada uno?

a)

a)INTERVALO FRECUENCIA

1,5-6,56,5-11,511,5-16,516,5-21,521,5-26,5

5111293

N.º DE HORAS DE

ESTUDIO SEMANAL

1,5

2

6,5 11,5 16,5 21,5 26,5

4

6

8

10

12FRECUENCIA (n.º alumnos)

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b)

x– = 53040

= 13,25 h

q = √8 30040

– (13,25)2 = 5,6513

b)

INTERVALO xi fi fi · xi fi · xi2

1,5-6,56,5-11,511,5-16,516,5-21,521,5-26,5

49141924

5111293

2099

16817172

80891

2 3523 2491 728

40 530 8 300

c) x– – 2q = 13,25 – 2 · 5,6513 ≈ 1,9

x– – q = 13,25 – 5,6513 ≈ 7,6

x– + q = 13,25 + 5,6513 ≈ 18,9

x– – 2q = 13,25 + 2 · 5,6513 ≈ 24,6

Por tanto:

Esudian muy poco los que están entre 0 h y 1,9 h a la semana.

Estudian poco los que están entre 1,9 h y 7,6 h a la semana.

Estudian normal los que están entre 7,6 h y 18,9 h a la semana.

Estudian mucho los que están entre 18,9 h y 24,6 h a la semana.

Estudian muchísimo los que están más de 24,6 h a la semana.

Construimos una tabla para hallar la proporción de individuos que hay en cada inter-valo:

INTERVALO fi %

menos de 1,9 0 0%

1,9 - 7,6 6 15%

7,6 - 18,9 27 67,5%

18,9 - 24,6 6 15%

más de 24,6 1 2,5%

40 100%

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