8-3

Página 125

1. La clasificación de las funciones es: a) Función algebraica racional polinómica de grado

2.

b) Función algebraica racional polinómica de grado 2.

c) Función trascendente. d) Función algebraica irracional. e) Función algebraica racional fraccionaria. f) Función trascendente.

2. Las funciones pertenecen a las siguientes familias: a) Función algebraica racional polinómica de grado

3. b) Función trascendente. c) Función algebraica racional polinómica de grado 1

afín. d) Función algebraica racional fraccionaria. e) Función algebraica irracional. f) Función trascendente.

Página 126

3. Las funciones afines son de la forma f(x) = mx + n. Hallamos m y n: a) m = 2; f(1) = 4; 4 = 2·1 + n; n = 2.

Solución: f(x) = 2x + 2.

b) f(-1) = 6 y f(2) = 3. Tenemos el sistema de ecuaciones siguiente: 6 = -m + n, 3 = 2m + n. -3 = 3m, m = - 1. 6 = 1 + n, n = 5. Solución: f(x) = - x + 5.

c) f(1) = 0; m = 3. 0 = 3 + n; n = - 3. Solución: f(x) = 3x - 3.

4. La función se puede escribir como f(x) = ax2 + bx +c. Hallamos a, b y c:

f(0) = 1 c = 1, f(2) = 7 7 = 4a + 2b + 1, f(-1) = 4 4 = a - b + 1.

Resolviendo el sistema, 3 = 2a +b, 3=a - b. 6 = 3a a = 2. 3 = 2 - b b = -1.

Solución: f(x) = 2 x2 - x + 1.

5. La abscisa del vértice viene dada por x = - b/2a de lo que obtenemos x = 1/4. La parábola no corta el eje de abscisas. Dichos cortes vienen dados por las x tales que 2x2 - x + 1 = 0, que no tiene solución.

Página 127

6. f(0) = - 2. f(1) = -1/2. f(2) = 0. f(-2) = 4. f(4) = 2/5.La función no está definida para x = -1.

7. Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma f(x) = k/x. Hallamos k:

f(3) = -1 -1 = k/3 k = -3. Solución: f(x) = -3/x

8. Sea f(x) = 1/(x2 - a).

a) Dom(f) = ℝ-{- a , a }. a = 3 a = 9.

b) Sí. Cualquier a < 0, ya que en este caso a no es real y, por tanto, no hay puntos excluidos del dominio.

Página 128

9. Las soluciones son:

a) 5 - x ≥ 0 x ≤ 5. Dom(f) = (∞, 5]. Im(f) = [0,∞).

x -4 1 4 5

f(x) 3 2 1 0

b) x + 5 ≥ 0 x ≥ -5.

Dom(f) = [-5,∞).

Im(f) = (-∞,0].

x - 5 - 4 - 1 4

f(x) 0 1 2 3

Soluciones de las actividades

8-4

c) x2-4 ≥ 0; |x| ≥ 2 x ≥ 2 o bien x ≤ -2. Dom(f) = (-∞,-2] ∪ [2,∞). Im(f) = [0,∞).

x - 4 - 2 2 4

f(x) -2 3 0 0 2 3

d) x2 - 4x + 3 ≥ 0. Hallamos cuando es igual a 0:

x2 - 4x + 3 = 0 x = 3 y x = 1. Dado que el coeficiente de x2 es positivo, tenemos x ≥ 3 y x ≤ 1 (el polinomio es cóncavo, por lo tanto es positivo para x mayores que la mayor raíz y para x menores que la menor raíz). Dom(f) = (-∞,1] ∪ [3,∞). Im(f) = [0,∞).

x 0 1 3 4

f(x) 3 0 0 3

10. Dado que se trata de raíces de polinomios, el dominio

son todos los reales cuando el índice de la raíz es impar. Si el índice de la raíz es par hay que examinar cuando el radicando es no negativo.

a) Dom(f) = [-3,∞).

b) Dom(f) = ℝ.

c) 2x - 3 ≥ 0 x ≥ 3/2 Dom(f) = [3/2,∞)

d) Dom(f) = ℝ.

Página 129

11. Los valores de las funciones son:

a) f(0) = 22 = 4. f(1) = 23 = 8. f(-1) = 21 = 2. f(2) = 24 = 16. f(-2) = 20 = 1.

b) f(0) = 0. f(1) = 1/2. f(-1) = (-1)2/2-1 = 2. f(2) = 22/22 = 1. f(-2) = (-2)2/2-2 = 4·4 = 16.

c) f(0) = 21 = 2. f(1) = 21-1 = 1. f(-1) = 1. f(2) = 21-4 = 1/8. f(-2) = 1/8.

d) f(0) = 2. f(1) = (e + 1/e)/2 ≈ 1,54. f(-1) = (1/e + e)·2 ≈ 6,17. f(2) = (e2 + 1/e2)/4 ≈ ≈1.88. f(-2) = (e2 + 1/e2)·4 ≈ 30.10.

e) f(0) = 1. f(1) = (e + 1/e)/2 ≈ 1,54. f(-1) = (1/e + e)/2 ≈ 1,54. f(2) = (e2 + 1/e2)/2 ≈ ≈3.76. f(-2) = (1/e2 + e2)/2 ≈ 3,76.

f) f(0) = 0. f(1) = (e - 1/e)/2 ≈ 1,17. f(-1) = (1/e - e)·2 ≈ -4,70. f(2) = (e2-1/e2)/4 ≈ ≈1,81. f(-2) = (1/e2 - e2)·4 ≈ -29,0.

g) f(0) = 1. f(1) = 1/4. f(-1) = 1/4. f(2) = 1/16. f(-2) = 1/16.

h) f(0) = 0. f(1) = (e-1/e)/2 ≈ 1.18. f(-1) = (1/e - e)/2 ≈ -1.18. f(2) = (e2 - 1/e2)/2 ≈ ≈3,63. f(-2) = (1/e2 - e2)/2 ≈ 3,63.

i) f(0) = 0. f(1) = (e - 1/e)/(e + 1/e) ≈ 0,76. f(-1) = (1/e - e)/(1/e + e) ≈ -0,76. f(2) = (e2 - 1/e2)/(e2 - 1/e2)/(e2 - 1/e2) ≈ 0.96. f(-2) = (1/e2 - e2)/(1/e2 + e2) ≈ -0.96

12.El número de bacterias viene dado por N(t) = 9 + 2et.

a) 3días = 3·24h = 72h. N(72) = 9 +2·e72 ≈ 3,71·1031. Inicialmente = 0h. N(0) = 9 + 2 = 11.

b) N(t) = 9 + 2·et > 44000; et > 43991/2; t > ln(43991/2) ≈ 9,99. Si queremos dar un número natural de horas: tienen que haber pasado 10h.

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13. Los dominios e imágenes son:

a) Dom(f) = (0,∞). Im(f) = ℝ.

b) Dom(f) = (0,∞). Im(f) = ℝ.

c) El argumento toma valores en el intervalo [1,∞). Dom(f) = ℝ. Im(f) = [0,∞).

d) x2 - 4 0; x > 2 y x < -2. Dom(f) = (-∞,-2) ∪ (2,∞). Im(f) = ℝ.

14. Los dominios son: a) (2 - x)/(x - 4) > 0.

2 - x es positivo (negativo) para x < 2 (x > 2). x - 4 es positivo (negativo) para x > 4 (x < 4). Tienen el mismo signo (y, por tanto, su cociente es positivo) en el intervalo (2,4). Así pues: Dom(f) = (2,4).

a) 2x/(x2 - 7) > 0.

x2 - 7 > 0 x > 7 , x > - 7 .

x2 - 7 < 0 - 7 < x < 7 .

8-5

Numerador y denominador tienen el mismo signo en x > 7 y en - 7 < x < 0. Por lo tanto, el domi-nio es: Dom(f) = (- 7 ,0) ∪ ( 7 ,∞).

Página 131

15. Las gráficas de las funciones son:

a) f(x) = 4 x si x 32 x 5 si x 3

−

8-6

b) Para x entre 0 y 1 la expresión de la interpolación lineal a trozos viene dada por la recta que interpola los puntos (0, 1) y (1,-3). Aplicando la fórmula

0001

01 )( yxxxxyy

y +−−−

=

obtenemos f1(x) = -4x + 1. Para x entre 1 y 4 la expresión de la interpolación lineal a trozos viene dada por la recta que interpola los puntos (1, -3) y (4, 5). Aplicando la fórmula de interpolación obtenemos f2(x) = 8/3(x – 1) – 3. Así pues, la función de interpolación lineal a trozos f(x) toma valores f1(x) en el intervalo (0, 1) y f2(x) en el intervalo (1,4). Finalmente, f(0,5) = f1(x) = -1; f(2) = f2(2) = 8/3 – – 3 ≈ -0,33

19. Hemos de interpolar los nodos (1, 21 = 2), (2, 22 = 4) y (3, 23 = 8). Planteamos el sistema de ecuaciones: y0 = ax02 + bx0 +c, y1 = ax12 + bx1 +c, y2 = ax22 + bx2 + c.

Obtenemos 2 = a + b + c, 4 = 4a +2b +c, 8 = 9a +3b + c

Concluimos: 2 = 3a + b, 6 = 8a + 2b 2 = 2a a = 1 b = -1 c = 2.

La función interpoladora es f(x) = x2 – x + 2. El error cometido al interpolar 20 es: f(0) -20 = 2 – 1= 1. Al interpolar (0, 1) se comete un error de magnitud 1.

El error cometido al interpolar 24 es: f(4) - 24 = 14 - 16 = -2. Al interpolar (4, 16) se comete un error de magnitud 2.

Página 137

P1. Esquema a modo de ejemplo:

Funciones reales de variable real Algebraica Trascendente

Racional Irracional Polinómica Fraccionaria · Grado 0 · Grado 1 · Grado 2 · .............

P2. Una función polinómica es una función de la forma f(x)=P(x), siendo P(x) un polinomio.

La función f(x) = (x - 1)·(x - 2) = x2-3·x + 2 es un ejemplo de función polinómica (de segundo grado).

P3. Las funciones fraccionarias son aquellas de la forma

)()()(

xQxPxf = , donde P(x) y Q(x) son polinomios,

siempre que P(x) no sea el polinomio nulo y el gra-do de Q(x) sea 1 o superior.

La función f(x) = x/(x+1) y la función g(x) == (x5 + 4x3 + 1)/(x2 + 7) son ejemplos de funciones fraccionarias.

P4. Una función irracional es aquella en la que la varia-ble x está afectada por la operación de radicación.

Las funciones:

f(x) = 242 −+ xx , g(x) = x + x +3 y

h(x) = 3 4x , son ejemplos de funciones irracionales.

P5. La función y = ax, a > 0, a ≠ 1, corta el eje de ordenadas en y = 1. No corta el eje de abscisas. Es creciente (decreciente) si a > 1 (a < 1). Representación gráfica para a = 10 y a = 1/10:

P6. La función y = logax, a > 0, a≠1, es la función inversa de y = ax. Corta el eje de abscisas en x = 1. No corta el eje de ordenadas. Es creciente (decreciente) si a > 1 (a < 1). Representación gráfica para a = 10 y a = 1/10:

P7. Un ejemplo de función definida a trozos es:

si x 1x 1f ( x )si x 1.x 1

≥−=

8-7

La interpolación es lineal cuando partimos de dos nodos distintos, obteniendo una función de interpolación polinómica afín. Por ejemplo, la función de interpolación lineal de los nodos (0, 1) y (1, 3) es f(x) = 2x + 1

La interpolación es cuadrática cuando partimos de tres nodos distintos, obteniendo una función de interpolación polinómica de grado 2. Por ejemplo, la función de interpolación lineal de los nodos (0, 1) , (1, 1) y (-1, 0) es f(x) = -1/2 x2 + 1/2 x + 1.

20. Las gráficas de las funciones son:

a) f1(x) = 2x + 1

b) f2(x)= 2x -2

c) f3(x)= 2x -0,5

Las tres funciones son polinómicas de grado 1, afines y con pendiente 2.

21. Dado que es paralela a la recta y = -x +3 deducimos que tiene pendiente -1. Buscamos una función de la forma f(x) = -x + c. Imponiendo que la gráfica pasa por (2, -1), obtenemos -1 = -2 + c c = 1 Solución: f(x) = -x + 1

22. Dada una función f(x) = a x2 + b x+ c, el vértice viene dado por el punto x = -b/2a, los puntos de corte con el eje de abscisas se corresponden con las soluciones de

f(x)=0 y el punto de corte con el eje de ordenadas se corresponde con y = f(0).

a) f(x) = -x2 – 3x + 12. Vértice x = 3/2. Cortes con el eje de abscisas: x = -3/2 + 57 /2, x = -3/2 - 57 /2. Corte con el eje de ordenadas: y = 12.

b) f(x) = 5x2 + 2x. Vértice x = -1/5. Cortes con el eje de abscisas: x = -2/5, x = 0. Corte con el eje de ordenadas: y = 0.

c) f(x) = -(x-4)2 + 4 = -x2 + 8 x - 12. Vértice x = 4. Cortes con el eje de abscisas: x = 2, x= 6. Corte con el eje de ordenadas: y = - 12.

d) f(x) = 2x2 - 15x + 21. Vértice x = 15/4. Cortes con el eje de abscisas:

x = 15/4 + 57 /4, x= 15/4 - 57 /4. Corte con el eje de ordenadas: y = 21.

23. Las expresiones de las funciones f(x) = ax2 + bx+ cson:

a) Dado que f tiene un mínimo en 1 = -b/2a concluimos que a ha de ser positivo. Tomamos por ejemplo a = 1 b = -2 -3 = f(1) = 1 – 2 + c c = -2.

Obtenemos: f(x) = x2 – 2x – 2.

b) Buscamos una función f(x) tal que f(x) = 0 no tenga solución. Por ejemplo f(x) = x2 + 1

c) Dado que el vértice está en x = -2, tenemos -2 = = -b/2a a = b/4. Imponiendo que pase por (-2, 3) y (1, -2) obtenemos el sistema 3 = 4a – 2b +c; -2 = a + b + c 5 = 3a – 3b 5= 3/4 b – 3b b = -20/9 a = -5/9 c = 7/9.

Obtenemos: f(x) = -5/9x2 – 20 /9x + 7/9

d) f(0) = 5 c = 5. Con los otros dos nodos obtenemos 5 = a –b, 20 = 16a + 4b 40 = 20a a = 2 b = -3.

Obtenemos: f(x) = 2x2 – 3x +5.

e) Dado que x = -3 y x = 4 son soluciones de f(x) = 0, tenemos que f(x) = k (x + 3)(x – 4). Imponiendo f(0) = -5 obtenemos k = 5/12.

Obtenemos: f(x) = 5/12(x + 3)(x – 4)

24. Dado que x = 1 y x = 3 son soluciones de f(x) = 0, tenemos que f(x) = k (x – 1)(x – 3). Imponiendo que f(2) = 5 obtenemos k = -5.

Solución: f(x) = -5 (x – 1)(x – 3).

25. f(x) = -(x + 3)3 + (x – 2)3 = -15x2 – 15x – 35.

8-8

El vértice viene dado por x= -b/2a = 1/2.

26. Las gráficas de las funciones son:

a) f(x) = -7/x

b) f(x) = 3/x

27. Los dominios, puntos de cortes con los ejes y las asíntotas verticales son: a) Dom(f) = ℝ - {-2, 3}.

Corte con el eje de abscisas x = 0. Corte con el eje de ordenadas y = 0. Asíntotas verticales x = -2, x = 3.

b) Dom(f) = ℝ - {2 + 5 , 2 – 5 }. Cortes con el eje de abscisas x = +2, x = -2. Corte con el eje de ordenadas y = 4. Asíntotas verticales x = 2 + 5 , x = 2 + 5 .

c) Dom(f) = ℝ - {-2, 2}. Corte con el eje de abscisas x = 0. Corte con el eje de ordenadas y = 0. Asíntotas verticales x = -2, x = 2.

d) Dom(f) = ℝ - {-1, 0, 1}. Asíntotas verticales x = -1,, x = 0, x = 1. Cortes con el eje de abscisas:

x = 3 / 2 29 / 2+ , x = 3 / 2 29 / 2− + . No corta el eje de ordenadas dado que x = 0 no pertenece al dominio.

28. La función más sencilla con estas características es

91

)3)(3(1)( 2 −

=+−

=xxx

xf .

Su dominio es Dom(f) = ℝ - {-3,3}. Existen otras funciones con asíntotas en x = -3 y x = 3 que tienen otros dominios.

29. Las posibles funciones son:

a) f(x) = 1 2x 2

−−

b) f(x) = x 2( x 1)

− ++

c) f(x) = 1 1x− −

30. Los dominios, imágenes y gráficas de las funciones son:

a) 2x + 10 ≥ 0 x ≥ - 5.

Dom(f) = [-5,∞),

Im(f) = [0, . ∞).

b) 2x + 10 ≥ 0 x ≥ - 5.

Dom(f) = [-5,∞),

Im(f) = (-∞,0].

c) x2 – 9 ≥ 0 x ≤ -3 ó x ≥ 3.

Dom(f) = (-∞, -3] ∪ [3, ∞),

Im(f) = [0, . ∞).

8-9

d) x2 – 4 ≥ 0 x ≤ -2 ó x ≥ 2.

Dom(f) = (-∞, -2] ∪ [2, ∞).

Im(f) = [2, . ∞).

31. Los dominios son:

a) Dom(f) = ℝ.

b) (x + 1) / (x – 1) ≥ 0 si x ≤ -1 ó x > 1. Dom(f) = (-∞, -1] ∪ (1, ∞).

c) Dom(f) = [0,∞).

d) Dom(f) = ℝ - {-1}.

32. Dom(f) = ℝ. Im(f) = (0,∞).

33. La gráfica de la función es:

34. Las gráficas de las funciones son:

a) Para x < 0.

b) Para x >0.

c) Tenemos que (1/2)x > (1/3)x > (1/5)x si x > 0 y (1/2)x < (1/3)x < (1/5)x si x < 0.

Página 138

35. 1-x2 > 0; |x| < 1 Dom(f) = (-1,1). El argumento del logaritmo toma valores entre 0 y 1: Im(f) = (-∞,0].

36. ln(y) = 0 y = 1. x2 - 8x + 7 = 1; x2 - 8x + 6 = 0; x = 4 ± 10 . El argumento del logaritmo puede tomar el valor 1, así que la función sí puede valer cero. También puede tomar valores negativos.

37. Los dominios de las funciones son:

a) 3x + 4 > 0,

x > -4/3.

Dom(f) = (-4/3, ∞).

b) 4 -3x –x2 > 0,

-4 < x < 1.

Dom(f) = (-4, 1).

38. Dado que si a > 0 la función 10ax es creciente en x tenemos que f(x) = log(ax) es creciente para todo a positivo. Análogamente, si a < 0 la función 10ax es decrecienteen x y por lo tanto f(x) = log(ax) es decreciente para todo a negativo.

39. Los dominios, imágenes y representaciones gráficas de las funciones son:

a) Dom(f) = ℝ. La parte de x < 1 es una recta con pendiente negativo. Para x = 1 tenemos 4 - 2 · 1 = 2.

Por lo tanto, esta parte de la función toma valores en el intervalo (2,∞).

Nótese el “(”, debido al signo “

8-10

Así, Im(f) = [0,∞). La gráfica:

c) La función no está definida en el tramo 2 ≤ x 5, en (2,∞). La unión de estos conjuntos da: Im(f) = [2,∞).

41. La función es como la de log(x), pero con su imagen simétrica para x < 0:

42. Para calcular el valor de y para x = 10 usamos la interpolación lineal entre los nodos (2, 5) y (13, 258).

Usando la fórmula 0001

01 )( yxxxxyy

y +−−−

= nos

queda: y = 23 (x – 2) + 5. Evaluando en x = 10 obtenemos y = 189.

Para calcular el valor de x correspondiente a y = 442 interpolamos usando los nodos (13, 258) y (25, 534). Obtenemos la fórmula y = 23 (x – 13) + 258. Evaluando para y = 442 obtenemos 184 = 23 (x – 13) x = 21.

43. Buscamos una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c. Evaluando en los 3 nodos obtenemos un sistema de ecuaciones

22 ,5 441a 21b c62,5 1225a 35b c90 1764a 42 b c

= + + = + + = + +

De la primera y la tercera ecuaciones obtenemos 3c = = -42b. c = -14b. De la primera y la segunda ecuaciones obtenemos a = 5/98. Finalmente b = c = 0.

Obtenemos f(x) = 5/98 x2.

f(27) = 272 · 5/98 ≈ 37,194. Alcanzará una altura de unos 37,2 metros.

44. Buscamos una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c. Evaluando en los 3 nodos obtenemos un sistema de ecuaciones

1100 100a 10 b c1400 144a 12 b c1450 196a 14 b c

= + + = + + = + +

8-11

Obtenemos 300 = 44a + 2b, 50 = 52a +2b a = = 125/4 b = 1675/2 c = -4150

f(x) = 125/4 x2 + 1675/2 x - 4150

f(13) = 1456,25. Habrá tenido unas 1456 visitas.

45. Las funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y el tercer cuadrantes, dada por la recta y = x. Lo podemos observar en la gráfica:

Ambas funciones se cortan en el punto x tal que log0.5(x) = 0.5x.

46. Para calcular las inversas escribimos y = f(x) y aisla-mos x en función de y.

a) y = 2·5x+1 y/2 = 5x+1 log5(y/2) = x+1 log5(y/2)-1 = x.

La función inversa es h(x) = log5(x/2) – 1

b) y = 5·2x+1 log2(y/5)-1 = x.

La función inversa es h(x) = log2(x/5) – 1

c) y = 25x+1 log2(y) = 5x+1 (log2(y) -1)/5 = x.

La función inversa es h(x) = (log2(x) -1)/5.

47. Si el coche se deprecia un 20% cada año, significa que al año siguiente vale un 80% de lo que valía el año anterior.

Su valor al cabo de un año será 15000 · 0.8 = 12000 €. Al cabo de dos años valdrá 15000 · 0.8 · 0.8 = 9600 €. El valor decrece de forma exponencial siguiendo la

fórmula f(x) = 15000 · 0.8x.

48. Realizamos interpolación lineal siguiendo la fórmula

0001

01 )( yxxxxyy

y +−−−

= .

Obtenemos f(x) = 0.5 (x – 3) + 6,5. a) f(5) = 7,5. Al cabo de 5 meses el bebé pesará unos

7,5 kg. b) f(9) = 9,5. Al cabo de 9 meses el bebé pesará unos

9,5 kg.

49. La gráfica de la función es:

a) El máximo de beneficio se da en vértice de la parábola x = b/2a = 6. La empresa obtiene un beneficio máximo si venden 6000 unidades.

b) Resolvemos -0,5x2 +12x – 20 = 0 y obtenemos las raíces x = 12 + 2 26 y x = 12 - 2 26 . Usando que 1000 (12 + 2 26 ) ≈ 22198, concluimos que la empresa entrará en pérdidas si vende más de 22 198 unidades.

50. La demanda de un producto viene dada por 8192·2-x.

a) f(2) = 8192 · 2-2 = 8192/4 = 2048.

b) 8192 · 2-x = 8; x = -log2(8/8192) = log2(1024) = 10.

c) Dom(f) = ℝ. Im(f) = (0,∞).

51. Las representaciones se corresponden a los siguientes tipos de funciones:

a) Función polinómica.

b) Función polinómica de grado 3.

c) Función fraccionaria.

d) Función fraccionaria.

e) Función polinómica de grado 1 afín.

f) Función polinómica de grado 2.

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52. Los dominios, imágenes y representaciones gráficas de las funciones son:

a) Dom(f) = ℝ; Im(f) = ℝ

b) f(x) = (x + 3)2/5 + 2x + 4 = x2/5 + 16/5x + 29/5

Dom(f) = ℝ

log0.5(x)

0.5x

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Dado que el coeficiente en x2 es positivo, la pará-bola tiene un mínimo en su vértice:

x = -b/2a = -8.

Dado que f(-8) = -7, concluimos:

Im(f) = [-7, ∞).

c) Dom(f) = ℝ Dado que Im(ex) = (0, ∞), tenemos:

Im(f) = (-1, ∞)

d) Dom(f) = ℝ - {3} Asíntotas: La recta x = 0 es una asíntota horizontal dado que se trata de una translación de una función de pro-porcionalidad inversa.

Im(f) = ℝ - {0}

e) 2x + 10 ≥ 0,

x ≥ - 5.

Dom(f) = [-5,∞),

Im(f) = [0, . ∞).

f) Dom(f) = (1, ∞)

Im(f) = ℝ

53 Región x ≤ - 3: 2 + 5x ≠ 0 x ≠ - 5/2 > -3, que está fuera de la región.

Región - 3< x ≤ 2: x2 - 2 ≥ 0 |x| ≥ 2 . Región x > 2: x ≠ 3.

El dominio, finalmente, es:

Dom(f) = (-∞,- 2 ]∪[ 2 ,3)∪(3,∞).

54. Tenemos c0 = 200, i = 0,02 y t = 15. El capital obtenido es: C15 = 200 · e 0,02 · 15 ≈ 268,97 €

55 Las soluciones son:

a) Tenemos que P0 = 600 y que P(2) = 1000. Por lo tanto: 1000 = 600 · e2 k k = ln(5/3)/2

b) Usando la k obtenida en el apartado anterior: 2000 = 600 e k t t = 2 ln(10/3)/ln(5/3) ≈ 4,71 Deberán transcurrir unas 4,71 horas.

56. La gráfica de la función es:

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57. Las propiedades se demuestran:

a) Sea F(x) la “parte fraccionaria” de x, es decir:

x = E(x) + F(x).

Tenemos que:

E(2x) = E[2E(x) + 2F(x)].

Ahora, dado que E(2x) es un número entero, sabemos que

E(2x) = 2E(x) + E[2F(x)] =

=12

12

0 F(x)2 E ( x ) si2 E ( x ) 1 si F( x ) 1

≤

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Si los logaritmos empleados tienen de base 1/4:

1/4

1/4

log xy

log (1 / 4 )= 1/4

log xy

1= 1/4y log x=

8. El dominio se corresponde con el conjunto de x a los que la función asigna un valor:

Dom(f) = [-4, 1) ∪ (1, 3].

La gráfica es:

9. Las soluciones son:

a) x2 + 3x - 10 = 0 x = 2 y x = -5. Así, la función, expresada como función definida a trozos, es:

2

2

2

x 3x 10 si x 5f ( x ) x 3x 10 si 5 x 2

si x 2.x 3x 10

+ − ≤ −

= − − + − < −

10. Planteamos las tres ecuaciones:

f(1) = a + b + c = 2,4

f(3) = 9a + 3b + c = 4,7

f(5) = 25a + 5b + c = 4,8

Restando la primera ecuación a las restantes obte-nemos:

8a + 2b = 2,3

24a + 4b =2,4

Finalmente tenemos: -2b = -4,5 b = 2,25; a = -0,275;c = 0,425.

f(x) = -0,275x2 + 2,25x + 0,425

Interpolamos para t = 4: f(4) = 5,025. Al cabo de 4segundos el cohete está a una altura de 5,025 metros.

Extrapolamos para t = 6: f(6) = 4,025. Al cabo de 6s el cohete está a una altura de 4,025 metros.

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