Soluciones Ecuacion de Onda
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8/19/2019 Soluciones Ecuacion de Onda
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Demostremos que u = f (x +
αt), con f arbitraria y C 2 respecto a sus
dosvariables es solución de la ecuación de onda:
(β )∂ 2u
∂t2 = α2
∂ 2u
∂x2
Hagamos el cambio de variable z =
x + αt. Aplicando regla de la cadena:
∂u
∂x =
df
dz ∗
∂z
∂x
Derivando el producto anterior y aplicando nuevamente la regla
de la cadena,obtenemos:
∂ 2u
∂x2 =
∂
∂x
df
dz ∗
∂z
∂x +
∂
∂x
∂z
∂x ∗
df
dz
Sin embargo,∂
∂x
∂z
∂x ∗
df
dz = 0
y por regla de la cadena,
∂
∂x
df
dz ∗
∂z
∂x =
∂ 2f
∂z2 ∗
∂z
∂x
2
pero
∂z∂x2
= 1
Entonces,
(1)∂ 2u
∂x2 =
d2f
dz2
Ahora bien,∂u
∂t =
df
dz ∗
∂z
∂t
Siguiendo un proceso similar al anterior,
∂ 2u
∂t2
= ∂
∂t
df
dz
∗
∂z
∂t
+ ∂
∂t
∂z
∂t
∗
df
dz
De igual manera,∂
∂t
∂z
∂t ∗
df
dz = 0
1
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8/19/2019 Soluciones Ecuacion de Onda
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Usando regla de la cadena de nuevo,
∂
∂t
df
dz ∗
∂z
∂t =
∂ 2f
∂z2 ∗
∂z
∂t
2
Pero en este caso, ∂z
∂x
2= α2
Y por lo tanto:
(2)∂ 2u
∂t2 = α2
d2f
dz2
Por último, sustituyendo (1) y (2) en (β ):
α2d2f
dz2 = α2
d2f
dz2
Con lo que se demuestra que u =
f (x + αt) con f arbitraria es
solución a laecuación de onda.
2
