1. Para un capacitor plano de superficie S; separación d y tensión V Calcule la capacidad; densidad superficial de la carga y campo eléctrico.

∮ ε0E→ds=∫δ dr

Para σ+∮ ε0E→ds=q

∮ ε0E→( ix

→)ds ix

→+∮ε 0E

→(−ix

→)ds (−ix

→)=q

ε0∮E→ds+ε0∮E

→ds=q

2 ε 0E→S=q

E=q2 ε0 S

0≤x≤d

σ=qs

q=σS

Et=q2 ε0 S

+q2 ε0 S

=qε 0S

Et=σε0

V=−∫0

d

Edl→=E∫

0

d

dx

V=Ed

E=Vd

qV

=ε 0S

d

c=ε0 S

d

Et=σε0

Et=Vd

Vd

=σε 0

σ=Vε0

d

2. Para dos esferas conductoras concéntricas de radios a > b y diferencia de tensión V, calcule la capacidad, densidad de superficial de carga, campo eléctrico.

v=∮s

E⃗ .d l⃗⇒d l⃗=dr . i⃗ r

v=∫b

aq

4 πε0 r2i⃗ r .dr . i⃗ r=q

4 πε0∫b

adr

r2

v=q4 πε0 (−1

r )|ba=q4 πε0 (−1a

+1b )⇒ v=q

4 πε0 (1b −1a )

c=qv=

4πε 0

( 1b−1a )

⇒ c=4 πε0

(1b−1a)

∮s

ε0 E⃗ . d⃗ s=∫vdv⇒ ε0∮

s

E⃗ . d⃗ s=q

ε 0E∫0

π

∫0

2 π

r2 sin θ .dφ .dθ

ε 0Er2 [−cos θ ]0

π [θ ]02 π=q

ε 0Er2 [2 ] [ 2π ]=q

Er=q

4 πε0r2i⃗ r

σ=qs⇒ s=4 πr2⇒σ= q

4 πr2⇒q=σ 4 πr2

n=12ε0E

2

n=12ε0(q

2

16 π2ε02r

4 )n=1

2 (16 σ2π 2r4

16 π2 ε02r

4 )n=1

2σ2

ε0

F⃗=qE

F⃗=q (q4 πε 0r2 )F⃗=q

2

4 πε 0r2=

(σ 4 πr2)2

4πε 0r2

F⃗=σ24 πr2

ε 0

Ө

lh

d

Q1 Q2ӨӨ

Ty

Txmg

Fr

T

4. Dos pequeñas esferas conductoras cada una de masa m están suspendidas de los extremos de dos hilos aisladores de longitud l unidos en un punto. Se depositan cargas sobre las esferas de modo que se separan una distancia d. Una carga Q1 se coloca en la esfera 1. ¿Cuál es la carga Q2 en la esfera 2?

tgθ= hd2

tgθ=2hd

h=√l2−( d2 )2

tgθ=2√l2−( d2 )

2

d

ΣFx=0

Fr−Tx=0 Fr=TxFr=T∗cosθ(1)

ΣFy=0Ty−mg=0

T∗senθ=mg

T= mgsenθ

(2)

(2) en (1)

Fr= mgsenθ

∗cosθ

Fr=mgtgθ

Fr= mg

2√ l2−( d2 )2

d

(3)

Fr= mgd

2√l2−( d2 )2

F= Q 1Q 2

4 π ε0d2

( 4 )

(3) = (4)

Q 1Q2

4 π ε0d2= mgd

2√ l2−( d2 )2

Q 2=4 π ε 0d

3mg

2Q 1√l2−( d2 )2/¿

5. Una pequeña esfera de masa M esta en un campo gravitacional g, y tiene una carga Q. Mediante una cuerda de masa despreciable se conecta a una lámina de caga superficial e la misma polaridad y con densidad σ. Cual e el ángulo entre la lamina y la carga?

(1)

(2) (3)

(2) y (3)

(4)

Igualando (1) y (4)

6. Deduzca la inducción magnética que genera una línea recta de corriente

σ .Q2 . ε0

=Mg .Tang θ

Tangθ=σ .Q2 . ε0 .Mg

θ=Tang−1(σ .Q2 . ε0 .Mg )

Fe=Mg . senθcos θ

Fe=MgTangθ

ΣF y=0ℓ . cosθ−Mg=0

ℓ=Mgcos θ

ΣF x=0Fe−ℓ senθ=0Fe=ℓ senθ

E=σ2 εo

F lam=σ .Q2 ε o

∮1μo

B→

.dL=∫ I→

.ds→

+∂∂ t ∫ξoE

→.ds

→

ξo∂∂ t ∫ E

→.ds

→=0⇒Car gaNeta

∮1μo

B→

.dL=I

∮1μo

B→iφ→

.(dr ir+→rd φiφ+

→dz iz+

→ )=I

∮1μo

Brd φ=I

1μo

Br∫0

2 π

dφ=I

B r 2π=μo I

B=μo I

2πr

∮s

❑

❑9. Una esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en todo su volumen,

calcular el campo y el potencial eléctrico en el interior y exterior de la esfera y realizar un grafico de E y V en función de la distancia (radio) de la esfera.

Є0 E.ds = q

Є0 Ed∫❑s = q

Є0 E.S = q => S = 4πr2

E = q

Є₀S =

qЄ₀ 4 πr ²

x x ax x x x x x x

ρ = q

Volumen => q1 = ρ Volumen

Vesfera = 43

πr3

E = ρ .Volumen

4 πr ³

E = ρ(4 πr ³/3)

4 πr ²

E = ρ . r

3Є ₀

En el Interior

ρ = q

Volum.T .

VT = 43

π

Eint = qT . r

4 π a3

Vint. = +∫0

r

Er .ir . dr . ir = + ∫0

rqT . r

4Є₀ π a ³dr = +

qT4Є₀ π a ³

∫0

r

r . dr =

Vint. = qT

4Є0π a3 ( r2

2¿

Vint. = qT

8π a3 (r ² ¿

En el exterior

Si r = a

Eext. = q(r)

4 πr ³Є₀

Eext. = q

4 π Є₀ r ²

Vext. = +∫0

∞

Er .ir . dr . ir = - ∫0

∞q

4Є₀ π r ²dr

Vext. = - q

4 πЄ₀ ∫

0

∞1r ²dr

Vext. = - q

4 π Є0( 1−r

)

Eext. = q

4 π Є₀ r

Gráfica:

r E inter. E exter. V inter. V exter. 0 0 ∞ 0 ∞ a q

4 πЄ₀a2

q

4 πЄ₀a2

q8πЄ ₀a❑

q4 πЄ₀a

∞ ∞ 0 ∞ 0

E

0 r

10. Un cable coaxial esta lleno de un dieléctrico de campo eléctrico de distribución de 20000V/cm. Calcular la máxima energía que podría transportar este cable si tiene una longitud de 50m, un radio exterior de 2cm y un radio interior de 1cm.

Ejercicios:

1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo.

V (r )=A+B (r )

WE=ε oE2

E=−∇Vcondiciones−de−border=a∴V=Vor=b∴V=0condicion(1)r=a∴V=VoVo=A+B ln (a )condicion(2 )r=b∴V=00=A+B ln (b )(1) y (2)Vo=A+B ln (a ) ¿0=−A−B ln (b ) ¿

Vo=B ln (a )+B ln (b )

Vo=B ln(ba

)

B=Vo

ln(ba

)

0=A+Vo

ln(ba

)ln (b )

A=−Vo

ln(ab

)ln (b )

V (r )=−Vo

ln(ab

)ln (b )+Vo

ln(ba

)ln (r )

E=−∇V

E=∂V∂ r

ir

E=−Vo

r . ln( ab

)ir

E=Vo

r . ln(ba

)ir

WE=ε oE2

V (r )=A+B (r )

WE=ε oE2

E=−∇ Vcondiciones−de−border=a∴V=Vor=b∴V=0condicion(1)r=a∴V=VoVo=A+B ln (a )condicion(2 )r=b∴V=00=A+B ln (b )(1) y (2)Vo=A+B ln (a ) ¿0=−A−B ln (b ) ¿

Vo=B ln (a )+B ln (b )

Vo=B ln (ba

)

B=Vo

ln (ba

)

0=A+Vo

ln (ba

)ln (b )

A=−Vo

ln (ab

)ln (b )

V (r )=−Vo

ln (ab

)ln (b )+Vo

ln (ba

)ln (r )

E=−∇ V

E=∂V∂ r

ir

E=−Vo

r . ln ( ab

)ir

E=Vo

r . ln (ba

)ir

WE=ε oE2

2. Calcule la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno α . y externoβ . si se aplica un voltaje Vo.

Condiciones de borde

V (r )=A+B (r )

WE=ε oE2

E=−∇ Vcondiciones−de−border=a∴V=Vor=b∴V=0condicion(1)r=a∴V=VoVo=A+B ln (a )condicion(2 )r=b∴V=00=A+B ln (b )(1) y (2)Vo=A+B ln (a ) ¿0=−A−B ln (b ) ¿

Vo=B ln (a )+B ln (b )

Vo=B ln (ba

)

B=Vo

ln (ba

)

0=A+Vo

ln (ba

)ln (b )

A=−Vo

ln (ab

)ln (b )

V (r )=−Vo

ln (ab

)ln (b )+Vo

ln (ba

)ln (r )

E=−∇ V

E=∂V∂ r

ir

E=−Vo

r . ln ( ab

)ir

E=Vo

r . ln (ba

)ir

WE=ε oE2

WE=εo2 [Vor . ln(ba ) ]

2

EE=WE∗Vol

EE=εo2 [Vor . ln(ba ) ]

2

Πr2 l

EE=εo .Vo 2 lΠ

2 ln2(ba )

Aplicando las condiciones tenemos

Entonces

Reemplazando e en a

Reemplazando A y B en la ecuación principal

3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de

radio r

B→

X

R

r1

Y

P r

Z

Io dl

r→=ziz r−r1=ziz−Rir

r 1=Rir |r−r1|=(R2+z2)12

B→=I o

μo4 π

∮ dlx (r−rl )|r−rl|3

B→=I o

μo4 π

∮ (Rd φiφ )x (−Rir+ziz )

(R2+z2)32

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

∮ (Rd φiφ )x (−Rir+ziz )

(Rdφiφ ) x (−Rir+ziz )=|0 Rdφ0−R0 z

i→x i

→y i

→z

|

(Rdφiφ ) x (−Rir+ziz )=zRdφ ir+R2dφ iiz

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR∫0

2 π

(zRd φ ir+R2dφ iz )

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR∫0

2 π

dφ ir+R2∫0

2 π

dφiz

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR2πr+R2 2π iz)

Para el entro de la espira z = 0

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

(2πR2iz )

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

iz⇒ para una espiraH= 1

μ0

Bbobina

B→

bobina=NBespiraH= 1

μ0

NI 0 μ0

2R

B→=N

I o μo2 R

H=NI 02R

n = Densidad de energía

U = Energía

n =

12μ0H

2

n =

12μ0 (NI 02 R )

2

n =

12μ0(NI 02 R )

2

n =

18

μ0 I02N

2

R2

4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Vz=A+Bz

Condiciones de borde

1.−Z=0V=0

2.−Z=l V=Vo

condición 1

Z=0V=0

0=A+Bz

A=0

condición 2

Z=lV=Vo

Vo=A+Bl

B=Vo−Al

B=Vol

V ( z )=A+Bz

V ( z )=Vo (z )l

E⃗=−∇V

E⃗=−Vo (−iz )

l

E⃗=Vo (iz )l

J⃗=σ E⃗

J⃗=σVo ( iz )l

I⃗=∮ J⃗ ds

I⃗=∬0 a

2π b

σVo ( iz )l

rdrdφ

I⃗=σ Volr2

22 π

I⃗=σ Vol

¿

I=Io

I⃗o=σ Vol

¿

IoI

=R

R= lσ ¿¿

7.- Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una permeabilidad 2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es 1.

condicionesr=0∴B2=finitor→∞∴B1=B extr=a∴n1 .B1+n2B2=0

r=a∴n1 x1μ1

B1+n2 x1μ2

B2=0

n2=irn1=−ir

2

11

2

B1=(μ1Ho−μ1a2Ho (μ1−μ2 )(μ2+μ1 ) ) (cosφ ir−senφ iφ )

B1=μ1Ho(1−a2 (μ1−μ2 )(μ2+μ1 ) ) (cosφ ir−senφ iφ )

B2=μ1Ho(1−(μ1−μ2 )(μ2+μ1 ) ) (cos φ ir−sen φiφ )

9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la

siguiente distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de

radio a que transporta una corriente superficial k0 iφ .

Condiciones:

1) r = 0 1 = finito

2) r = a 2 = 0

3) r = a n→

1B→

1+n→

2B→

2=0

4) r = an→

1∗1μ0

B→+n

→

2∗1μ0

B→

2=−kt

φ={φ2=(Cr+ D

r2 )cosφ

φ=( Ar+ B

r2 )cosφ

1) r = 0 φ1=finito 2) r = 2 = 0

B = 0 C = 0

k0 iφ→

. n→=i r

→

n2

→=−i r

→

a

n2→

n1→

2

1

1 = Ar cos 1 =

D

r2cos φ

∇ φ=dφdr

i r→+ 1 dφr dφ

i φ→+ dφdz

i z→

B→=∇ φ

B={¿B→= D

r3cos φ i r

→−D

r3senφ iφ

→B→

1=Acosφr r→−Asenφ i φ

→

3) r = a n→

1B→

1+n→

2B→

2=0

i r→∗A cosφi r

→[−D

r3senφi r

→]=0

4) r = a n→

1∗1μ0

B→+n

→

2∗1μ0

B→

2=−kt

ktx1μ0

(−Asenφ ii φ)−i r→x

1μ0

[−D

r3sen φiφ

→ ]=−k 0sen φi z→

− Aμ0

sen φi z→+ D

r3 μ0

senφi z→=−k 0sen φi z

→

− Aμ0

+ D

r3 μ0

=k0

− D

μ0a3+ Dμ0 a3

=−k0 ;2Dμ0 a3

=−k0

D=−k 0 μ0a

3

2

o

B={¿B→=−k 0 μ0 a

3

2r3 (cosφi r→−senφ iφ

→)B→

1=k0 μ0

2( cosφi r

→−senφ i φ

→)

10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad limitada por el espacio libre.

A=r2 o

Az=−Joa2

2 ε0C2

ln r

Az=−Joa2 μ0

2ln r

B=∇ x A

B=−∂∂r (−Joa2 μ0

2ln r )iφ

B=Joa2 μ0

2 r

B=Jo .a .μ0

2

H=1μB

H=Jo .a2

q=∫ε oE .ds

ds (r )=rd φdz

q=∫0

l

∫2Π

ε oErd φdz

q=ε oErl2Π

E=qε orl2Π

λ=ql

E=λr 2 εoΠ

V=−∫Edr

V=∫ λr2 εoΠ

dr

V= λ2 εoΠ

ln (r )

λ=a2Πφ

V=−a2Πφ2 εoΠ

ln (r )

V=−a2φ2 εo

ln (r )

φ=JC2

3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de

radio r

r→=ziz r−r1=ziz−Rir

r 1=Rir |r−r1|=(R2+z2)12

B→=I o

μo4 π

∮ dlx (r−rl )|r−rl|3

B→=I o

μo4 π

∮ (Rd φiφ )x (−Rir+ziz )

(R2+z2)32

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

∮ (Rd φiφ )x (−Rir+ziz )

(Rdφiφ ) x (−Rir+ziz )=|0 Rdφ0−R0 z

i→x i

→y i

→z

|

(Rdφiφ ) x (−Rir+ziz )=zRdφ ir+R2dφ iiz

B→

X

R

r1

Y

P r

Z

Io dl

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR∫0

2 π

(zRd φ ir+R2dφ iz )

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR∫0

2 π

dφ ir+R2∫0

2 π

dφiz

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

( zR2πr+R2 2π iz)

Para el entro de la espira z = 0

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

(2πR2iz )

B→=

I o μo

4 π (R2+z2 )32

iz⇒ para una espiraH= 1

μ0

Bbobina

B→

bobina=NBespiraH= 1

μ0

NI 0 μ0

2R

B→=N

I o μo2 R

H=NI 02R

n = Densidad de energía

U = Energía

n =

12μ0H

2

n =

12μ0 (NI 02 R )

2

n =

12μ0 (NI 02 R )

2

n =

18

μ0 I02N

2

R2

4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Vz=A+Bz

Condiciones de borde

1.−Z=0V=0

2.−Z=l V=Vo

condición 1

Z=0V=0

0=A+Bz

A=0

condición 2

Z=lV=Vo

Vo=A+Bl

B=Vo−Al

B=Vol

V ( z )=A+Bz

V ( z )=Vo (z )l

E⃗=−∇V

E⃗=−Vo (−iz )

l

E⃗=Vo (iz )l

J⃗=σ E⃗

J⃗=σVo (iz )l

I⃗=∮ J⃗ ds

I⃗=∬0 a

2π b

σVo ( iz )l

rdrdφ

I⃗=σ Volr2

22 π

I⃗=σ Vol

¿

I=Io

I⃗o=σ Vol

¿

IoI

=R

R= lσ ¿¿

6.-Una corriente contante Koiφ→

fluye sobre la superficie de una esfera de radio R. Cuál es el campo magnético en el centro de la esfera?

n1→

=ir→

n2→

=−ir→

ϕ (r ,φ , z )=(Ar+ B

r2 )cosθ

Condiciones:

1 .−r=0 .. .. .. . .B1

→=finito

2 .−r=R . . .. .. . .n1

→. B1

→+n2

→.B2

→=0

3 .−r=R .. .. . .. .n1

→x

1μ0

.B1

→+n2

→x

1μ0

.B2

→

4 .−r→∞ .. . .. .. B2

→=0

B1

→=∇ .ϕ1=(A−

2B

r3 )cosθ . ir→+(A+

B

r 3 )senθ . iθ→

B→

2=∇ .ϕ2=(C−2Dr3 )cosθ . ir

→+(C+D

r 3 )sen θ. iθ→

ϕ1=(A r+B

r2 )cosθ

ϕ2=(Cr+Dr2 )cosθ

Condición 1:

r=0 .. .. . .. .B→

1=finito

B→0 .. .. . .B→

1=A cosθ ir→+Asenθ iθ

→

Condición 4:

r→∞ .. . .. .. B2

→=0 .. .. . ..B2

→=−2D

r3cosθ ir

→−D

r3senθ iθ

→

Condición 2:

r=R . . .. .. . .. .n1

→.B1

→+n2

→.B2

→=0

ir→

. (A cos θ .ir−→

Asenθ . iθ→ )+ir→ .(2DR3

cosθ . ir→+DR3

sen θ. iθ→ )

A cosθ+2DR3

cosθ=0

A=−2DR3

Condición 3:

r=R .. . .. .. .n1

→x

1μ0

.B1

→+n2

→x

1μ0

.B2

→=−μ0 .k

ir→

.(A cosθ .ir−→

Asenθ. iθ→ )+ir

→.(2DR3

cos θ .ir→+DR3

senθ .iθ→ )=−μ0 .k 0 .iθ

→

−Asenθ .iθ→+DR3

senθ . iθ→=−μ0 .k 0 .iθ

→

−Asenθ+DR3

senθ .=−μ0 .k0 .

2DR3

senθ+DR3

senθ=−μ0 .k0

3DR3

senθ=−μ0 .k0

D=−μ0 .k0R

3

3 senθ

∫0

π

D . senθ .dθ=−∫0

π −μ0 .k0R3

3dθ

−D cos θ Ι0

π

=−μ0 .k0R

3 π

3

D (cosπ−cos 0)=μ0 .k0R

3 π

3

D (−1−1)=μ0 .k 0R

3 π

3

−2D=μ0 .k0R

3 π

3

D=μ0 .k0R

3π

6

A=2D

R3

A=μ0 .k0R

3π

3R3

A=μ0 .k0 π

3

B1

→=μ0 .k0 π

3(cosθ ir

→+rsen θ iθ

→ )

B1

→=μ0 .k0 π

3iz→